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Integração Numérica- continuação
McGraw-Hill
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Cambridge University Press
Prentice-Hall
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Euler explícito:
Métodos Explícitos em Dinâmica:. O equilíbrio no instante t usa-se para calcular o deslocamento em t+Δt
Instabilidade Numérica
. Sempre que o erro local de round –off se propaga e cresce.
como se mostrou na lição anterior.
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2ª ordem
4ª ordem
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Derivando (2) e substituindo em (4-a, b, c):
Abordagem construtiva de métodos de integração
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Fazendo:
i.e.
e, conhecido o operador de aproximação C, B e dgn/dt, a solução em tn+1 obtem-se da solução em tn
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...
Pode escrever-se, para oscilações livres,
Sendo o vector inicial “limitado”, para que un o seja, pretende-se que C e Cn o sejam também.
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Por conveniência, considere-se g(t)=0 , i.e. un+1= C un
e veja-se que
i.e.
un+1= C un
un+1- un= C un – un
(un+1- un) / Δt = (C – I) un / Δt
du C IA u com A lim quando t 0dt t
−⎡ ⎤= = Δ →⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
n 1 n n (6)u Cu g(t )+ = +
Defina-se, agora, o operador A, útil para a exposição que se segue
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Noção de operador consistente
Teorema de Lax e Richtmayer: o método de integração apresentado é convergente se o operador C for consistente e estável.
Questão: o que significa “consistente”?
(un+1- un) / Δt = (C – I) un / Δt
du C IA u com A lim quando t 0dt t
−⎡ ⎤= = Δ →⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
n 1 nu Cu+ =
O operador C é consistente se o operador A, definido pelo limite acima para Δt tendendo para zero, for exacto, i.e. verificar du/dt= A u
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Exemplo de Consistência
E duas identidades :
aceleração=aceleração e velocidade= velocidade
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CONCEITO DE ESTABILIDADE
Viu-se que:
O operador aproximação C, à potência n, tem que se manter limitado quando Δt tende para zero e n tende para infinito para que o processo conduza a valores finitos
Partindo do vector inicial tem-se:
Da ALGA sabe diagonalizar-se C através da transformação
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Obtem-se
com
i.e. se os valores próprios de C forem de módulo <= 1
e equação quadrática:
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Em polares:
Prosseguindo, pode provar-se que:
para
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Métodos de Newmark
Retome-se (4) que foi usada assim para que dela emanem vários métodos.
Substituindo (4-a) nas duas seguintes, obtem-se:
que é o método de Newmark generalizado. Com r1=r2=r3=1 tem-se o método de Newmark
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Oscilação Simples
r2=2
r2=4
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Exemplo de amortecimento numérico no livro de texto de Anik Chopra
PE = period elongation; AD= amplitude decay
Para que o erro seja pequeno, não basta assegurar estabilidade.
Δt/T deve ser, em geral, muito menor do que o limite imposto por estabilidade
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Método das Diferenças Centrais – Chopra, Cap. 5
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Nota importante:
Obs. - Exercícios resolvidos no texto
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Variantes de Newmark in Chopra
Leia, interprete e aplique, se necessário:
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Formulação para problemas não lineares
mu cu f (s)u p(t)+ + =&& &
Escrevendo
Permite-se incluir na 3ª parcela comportamento material não linear.
Sendo:
i i s i i
s i i sec i
obtem sem u c u ( f ) p
Se usar o mo´dulo secante ( f ) (k ) u
−Δ + Δ + Δ = Δ
Δ = Δ
&& &
Como os valores em t+Δt não são conhecidos, pode tentar-se usar o módulo tangente em t, kt
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i i i i im u c u k u pΔ + Δ + Δ = Δ&& &
Usando ki para módulo tangente em ti, fica:
com aspecto similar ao de sistemas lineares para que se recomendou o método de Newmark.
Há 2 erros adicionais:- O módulo tangente;- A detecção do ponto em que se inicia a descarga
Este erro diminui se se usar Δt menor, e.g. Δt/5, e se iterar atéa velocidade ser, dentro de critério estabelecido, “nula”.
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A formulação do método de integração com r1, r2 e r3 foi feita,mas retome-se o processo com a notação de Chopra, no caso linear
observando
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No caso não linear tem-se
E usa-se um método iterativo para resolver o problema do modo esquematizado na figura (ver os livros de texto para detalhes)
O procedimento, na exposição do texto de Chopra, pg. 179, mostra-se tabelado no slide seguinte.
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Termina-se aqui esta rápida incursão nos métodos computacionais.O comportamento não linear prevalece na resposta dinâmica e osfuturos engenheiros têm que deter conhecimentos que lhes permitamabordar estas questões e aprofundar conhecimentos se deles vierema ter necessidade.
Recorda-se que a compreensão de aspectos básicos exige compreensãode dissipação de energia e de espaços de fase, sendo os slides seguintesreferência complementar a esses temas.
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Apêndices referentes a aulas anteriores
Do texto de Anik Chopra
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Energia em sistema com amortecimento viscoso
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Espaço de fase
Rubens Sampaio – PUC RJ
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Recordar:
Reescrever:
Diagrama de Fase
2 4= −D I R
0=D amortecimento crítico
A D=0 corresponde uma parábola no plano de amortecimento versus rigidez da figura seguinte
22 4 0 4 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c kI R oum m
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R=0.25 I2I
R
k>0
c>0
1º Quadrante
Acima da parábola tem duas raízes reais, portanto sobreamortedcidos.
Abaixo da parábola estão os sub-amortecidos, assintoticamente estáveis.
No eixo OR é c=0, sistemas conservativos, estáveis.
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Métodos explícitos e implícitos