inverseprobleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ito.pdf · inverseprobleme bastian von...
TRANSCRIPT
![Page 1: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/1.jpg)
Inverse Probleme
Bastian von [email protected]
Lehrstuhl fur Optimierung und inverse Probleme, Universitat Stuttgart
Institut fur Technische Optik,12. Juni 2013.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 2: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/2.jpg)
Impedanztomographie
Quelle: Dr. G. Hahn, Prof. Dr. G. Hellige, EIT Group Gottingen,
Abteilung Anasthesiologische Forschung Universitatsmedizin Gottingen.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 3: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/3.jpg)
MF-System Goe-MF II
Stromquelle 5− 500mArms, 44 Bilder/s a 32x32 Pixel, CE zertifiziertdurch Fa. Viasys Healthcare, zugelassen fur klinische Forschung
Quelle: Dr. G. Hahn, Prof. Dr. G. Hellige, EIT Group Gottingen,
Abteilung Anasthesiologische Forschung Universitatsmedizin Gottingen.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 4: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/4.jpg)
Inverse Probleme
F : ,,Korperinneres“ 7→ ,,Messungen”
x : Korperinneres (raumliche Leitfahigkeitsverteilung)y : Messungen (Strom-Spannungs-Werte)
Direktes Problem: Simulation/Vorhersage der Messungen(fur bekanntes Korperinneres)
Gegeben x berechne F (x) = y!
Inverses Problem: Rekonstruktion des Korperinneren(aus durchgefuhrten Messungen)
Gegeben y lose F (x) = y!
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 5: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/5.jpg)
Inhalt
Einfuhrung in inverse Probleme
Elektrische Impedanztomographie
Identifizierbarkeitsfragen
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 6: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/6.jpg)
Einfuhrung in
Inverse Probleme
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 7: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/7.jpg)
Wohlgestelltheit
Hadamard (1865–1963): Ein Problem heißt wohlgestellt, wenn
eine Losung existiert,
die Losung eindeutig ist,
die Losung stetig von den Daten abhangt.
Inverses Problem: Gegeben y lose F (x) = y!
F surjektiv?
F injektiv?
F−1 stetig?
(bzgl. der Anwendung angemessenen mathematischen Strukturen...)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 8: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/8.jpg)
Schlechtgestellte Probleme
Schlechgestelltheit: F−1 : Y → X unstetig.
x ∈ X : gesuchte Losungy = F (x) ∈ Y : exakte Messung
y δ ∈ Y : reale Messungen mit Messfehler δ > 0,etwa ‖yδ − y‖Y ≤ δ
Fur δ → 0
y δ → y , aber (i.A.) F−1(y δ) 6→ F−1(y) = x
Rekonstruktion schon bei kleinsten Messfehlern unbrauchbar.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 9: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/9.jpg)
Beispiel
Beispiel: Numerische Differentiation (h = 10−3)
0 0.5 10
0.5
1
0 0.5 10
2
4
g(x) und g δ(x) g(x+h)−g(x)h und gδ(x+h)−gδ(x)
h
Differentiation ist schlechtgestelltes (inverses) Problem
Direktes Problem Integration wohlgestellt,
z.B. bzgl. C([0, 1]) → C([0, 1]) oder L2([0, 1]) → L2([0, 1]).
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 10: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/10.jpg)
Regularisierung
Numerische Differentiation:
g ∈ C 2, C := 2 supξ |g ′′(ξ)| < ∞, |g δ(x)− g(x)| ≤ δ ∀x
∣
∣
∣
∣
g ′(x)− g δ(x + h)− g δ(x)
h
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
g ′(x)− g(x + h)− g(x)
h
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
g(x + h)− g(x)
h− g δ(x + h)− g δ(x)
h
∣
∣
∣
∣
≤ Ch +2δ
h→ 0.
fur δ → 0 und an δ angepasstes h = h(δ), z.B. h :=√δ.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 11: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/11.jpg)
Regularisierung
Regularisierung inverser Probleme:
F−1 unstetig, also i.A. F−1(yδ) 6→ F−1(y) = x fur δ → 0
Rh stetige Approximationen an F−1 (Regularisierung),Rh → F−1 (pkt.weise) fur h → 0
Rh(δ)yδ → F−1y = x fur δ → 0
bei richtiger Wahl der Parameterwahlstrategie h = h(δ).
Inexakte aber stetige Rekonstruktion (Regularisierung)+ Anpassung an Messfehler (Parameterwahlstrategie)= Konvergenz
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 12: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/12.jpg)
Inverse Probleme
Inverse Probleme:
F−1(y δ) 6→ F−1(y), aber Rh(δ)yδ → F−1y
,,Manchmal muss man das falsche Problem losen,
um die richtige Losung zu erhalten”
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 13: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/13.jpg)
Die elektrische
Impedanztomographie (EIT)
und verwandte elektromagnetische Probleme
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 14: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/14.jpg)
Impedanztomographie
Quelle: Dr. G. Hahn, Prof. Dr. G. Hellige, EIT Group Gottingen,
Abteilung Anasthesiologische Forschung Universitatsmedizin Gottingen.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 15: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/15.jpg)
Mathematisches Modell
Elektrisches Potential lost
∇ · (σ∇u) = 0 in B ⊂ Rn
Randbedingungen:
Angelegte Strome: Neumann-Randwerte σ∂νu|∂B ,Gemessene Spannungen: Dirichlet-Randwerte u|∂B .
Strom-/Spannungsmessungen:
Neumann-zu-Dirichletabbildung (NtD) Λ(σ) : σ∂νu|∂B 7→ u|∂B .(In der Praxis: Modellierung der Elektroden, Kontaktwiderstande,
fehlende/redundante Messungen, . . . )
Theorie linearer elliptischer PDGL: (B beschrankt, glatt berandet, σ ∈ L∞+ (B))
=⇒ Λ(σ) ∈ L(L2⋄(∂B)) kompakt, selbstadjungiert. σ 7→ Λ stetig.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 16: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/16.jpg)
EIT: Λ(σ) 7→ σ ?
Eindeutigkeit (,,Calderon-Problem“):
Messungen auf komplettem Rand:
Calderon (1980), Kohn/Vogelius (1984), Sylvester/Uhlmann (1987),
Nachman (1996), Astala / Paivarinta (2006)
Messungen auf Teil des Randes:Bukhgeim / Uhlmann (2002), Knudsen (2006), Isakov (2007), Kenig / Sjostrand
/ Uhlmann (2007), H. (2008), Imanuvilov / Uhlmann / Yamamoto (2009+2010)
Schlechtgestelltheit: Λ(σ) 7→ σ unstetig,
Regularisierung notwendig
Modellierungsfehler (Elektrodenpos., Korperhulle) unvermeidbar
Verwendung von Differenzdaten ,,Λ(σ)− Λ(σ0) 7→ σ− σ0“,
Λ(σ0) Referenzmessung mit gleichen Modellierungsfehlern,(z.B. ausgeatmeter Zustand).
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 17: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/17.jpg)
Linearisierung
Generischer Ansatz: Linearisierung
Λ(σ)− Λ(σ0) ≈ Λ′(σ0)(σ − σ0)
Λ′(σ0): Frechet-Ableitung (sensitivity matrix).
Λ′(σ0) : L∞(Ω) → L(L2⋄(∂Ω)).
Lineares inverses Problem fur σ − σ0.
Oft: supp(σ − σ0) ⊂⊂ Ω kompakt. (”Inklusion“)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 18: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/18.jpg)
Linearisierte Verfahren
Linearisierte Rekonstruktionsverfahrenz.B. NOSER (Cheney et al., 1990), GREIT (Adler et al., 2009)
Lose Λ′(σ0)κ ≈ Λ(σ)− Λ(σ0), dann ist κ ≈ σ − σ0.
Vielfaltige Moglichkeiten fur Regularisierung
Keine (lokale) Konvergenztheorie fur fur Newton-artigeVerfahren (im kontinuierlichen Modell)
Rigorose Theorie fur einzelnen Linearisierungsschritt moglich?
Hoffnung: Faktorisierungsmethode (Kirsch, Hanke, Bruhl, . . . )
charakterisiert Inklusionen nur mit Referenzlosungen
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 19: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/19.jpg)
Exakte Linearisierung
H./Seo (SIAM J. Math. Anal. 2010):
Linearisierung enthalt exakte Gebietsinformation.(unabhangig vom Linearisierungsfehler)
Genauer: Seien κ, σ, σ0 stk.weise anlytisch.
Λ′(σ0)κ = Λ(σ)− Λ(σ0). ⇒ supp∂Bκ = supp∂B(σ − σ0)
supp∂B : außerer Trager ( = supp, wenn Komplement zusammenhangend)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 20: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/20.jpg)
Linearisierung
Linearisierung enthalt exakte Gebietsinformation.(unabhangig vom Linearisierungsfehler)
,,Manchmal darf man das falsche Problem losen,
und erhalt (trotzdem) die richtige Losung.”
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 21: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/21.jpg)
Planare EIT
Ts/Lee/Seo/H./Kim (2012): Partielle Inversion plus Linearisierung
Sensing Electrodes
Γ
E1
E_1
E_2
+ E2
+
Graph of
8 cm
0
8
20 cm
20 cm
E1
E_1
E_2
+
E2
+
2 cm 2 cm
Distance from sensing surface = d cm
0
8
4
d cm
thickness = 1cm
0
25
0
16
0
11
d = 1 : ‘E’ is located at z = 6 d = 2 : ‘E’ is located at z = 5 d = 3 : ‘E’ is located at z = 4
Sensing electrodes are placed on z = 8 surface
0
0.25
0
0.16
d = 2 d = 3original image deblurred image original image deblurred image
0
250
0
180
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 22: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/22.jpg)
Frequenzdifferente EIT
Frequenz ω/(2π) der angelegten Wechselstrome:
< 1kHz: σ(x) ∈ R, wie Gleichstrom1kHz – 500kHz: σω(x) ∈ C, frequenzabhangig
Frequenzdifferente EIT: (H./Seo/Woo)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 23: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/23.jpg)
Hybride EIT-Verfahren
Erhalte (innere) Information durch erganzendes Verfahren
MREIT:Messung des Magnetfelds (innere) StromdichteKwon/Woo/Yoon/Seo (2002), Kim/Kwon/Seo/Yoon (2002),
Kim/Kwon/Seo/Woo (2003), Nachman/Tamasan/Timonov (2007+2009)
Magnetoakustik:Ext. Magnetfeld Lorentzkrafte Druckwelle StromdichteMa/He (2007), Ammari/Capdeboscq/Kang/Kozhemyak (2009)
EIT durch elastische Deformation:Ultraschall lokale Leitfahigkeitsanderung EnergiedichteAmmari/Bonnetier/Capdeboscq/Tanter/Fink (2008)
Impedanzakustik:EIT erzeugt therm. Ausdehnung Druckwelle EnergiedichteH./Scherzer SIAM J. Appl. Math. 2008, Osterr. Patent 2009.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 24: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/24.jpg)
Elektromagnetische Wellen
Maxwell-Gleichungen
curl
(
1
µcurl Eω
)
− ω2ǫEω = iωJ
Niedrige Frequenzen / große Wellenlangen
ω ≪ 1 Eω ≈ ωE ,
curl
(
1
µcurl E
)
= iJ
Faktorisierungsmethode fur Maxwell-Gl.:Kirsch(2004),
H./Hanke/Kirsch/Muniz/Schneider (2005),
H./Hanke/Schneider (2008)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 25: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/25.jpg)
Wirbelstrome
Berucksichtigung elektrischer Leitfahigkeiten σ > 0
curl1
µcurlEω − ω2ǫEω = iω(J+σEω)
Niederfrequenzasymptotik im Zeitbereich:
∂t(σE )− curl1
µcurlE = −∂tJ,
parabolisch in Leitern (σ > 0), elliptisch außerhalb (σ = 0).Ammari, Buffa, Nedelec (2000)
Skalares Model-Problem
∂t(cu)−∇ · (κ∇u) = 0, c ≥ 0
Fruhauf, H., Scherzer (2007): GebietsrekonstruktionsproblemeH. (2007): Sensitivitatsanalyse
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 26: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/26.jpg)
Wirbelstrome
∂t(σE )− curl1
µcurlE = −∂tJ,
parabolisch in Leitern (σ > 0), elliptisch außerhalb (σ = 0).
Naheliegender Ansatz: Zerlegung
ellipische PDGL + parabolische PDGL + Interfacebedingungen
von suppσ abhangige Variationsformulierung(Losungsraume, Eichbedingungen, Koerzivitatskonstanten, . . . )
DFG-Projekt: Wirbelstromprobleme(Arnold/H., SIAM J. Appl. Math. 2012):
Einheitliche variationelle Theorie,
Linearisierung um elliptischen Zustand
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 27: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/27.jpg)
Wirbelstromprobleme
Zuerst: methodische Motivation fur parab.-elliptische Probleme(da funktionieren elliptische Rekonstruktionsalgos noch)
Spater: Entdeckung der praktischen Anwendung Wirbelstrome
,,Manchmal ist die Theorie naher an der Realitat
als man erwartet.”
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 28: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/28.jpg)
Identifizierbarkeitsfragen
in der optischen Tomographie
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 29: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/29.jpg)
Optische Tomographie
Naturliche Erweiterung des Calderon-Problems:
Bestimme zwei Koeffizienten a, c ∈ L∞+ (B) in
−∇ · (a∇u) + cu = 0 in B
aus dem NtD-Operator Λa,c : L2(S) → L2(S), a∂νu|S 7→ u|S
(auf Randstuck S ⊆ ∂B und mit a∂νu|∂B\S = 0).
Anwendung: diffusive optische Tomographie (DOT)Ubersichtsartikel: Arridge/Schotland (2010), Gibson/Hebden/Arridge (2005)
u : B → R: Photonendichtea : B → R: Diffusions- / Streukoeffizientc : B → R: Absorptionskoeffizient
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 30: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/30.jpg)
Eindeutigkeitsfrage
DOT:
−∇ · (a∇u) + cu = 0
Arridge/Lionheart (1998 Opt. Lett. 23 882–4):
v :=√au lost
−∆v + ηv = 0, mit η =∆√a√a
+c
a.
a = 1 in Umgebung von S (u|S , a∂νu|S ) = (v |S , ∂νv |S). Λa,c hangt nur ab vom effektiven Absorpt.koeff. η = η(a, c).
Absorptions- und Streueffekte sind nicht unterscheidbar.
(Argument benotigt jedoch glatten Streukoeffizient a!)
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 31: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/31.jpg)
Theorie und Praxis
Theorie: Arridge/Lionheart (’98)
Absorptions- und Streueffekte sind nicht unterscheidbar.
Praxis: Pei et al. (’01), Jiang et al. (’02), Schmitz et al. (’02), Xu et al. (’02)
Rekonstruktion von Streu- und Absorptionskoeffizient ausexperimentell gewonnenen Daten (und dem Diffusionsmodell!)
Widerspruch zwischen Theorie und Praxis!
Pei et al. (2001):
”As a matter of established methodological principle (...) empiricalfacts have the right-of-way; if a theoretical derivation yields a
conclusion that is at odds with experimental results, thereconciliatory burden falls on the theorist, not on the
experimentalist.“B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 32: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/32.jpg)
Eindeutigkeitsresultat
Satz (H., Inverse Problems, 2009)
a1, a2 ∈ L∞+ (B) stuckweise konstant
c1, c2 ∈ L∞+ (B) stuckweise analytisch
Ist Λa1,c1 = Λa2,c2, so ist a1 = a2 und c1 = c2.
Praktische Rekonstruktionen stammen aus einfachenPhantomexperimenten mit stuckweise konstanten Koeffizienten
Resultat ,,versohnt“ Theorie und Praxis.
Randmessungen enthalten mehr als nur die effektive Absorption.
Beweis: Kombination von lokalisierten Potentialen und Monotonie.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 33: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/33.jpg)
Lokalisierte Potentiale
Lemma Es existieren Lsg. u mit
S
O
B∂B
‖u‖H1(B\O)
klein
‖u‖H1(O)
groß
‖u‖L2(O)
klein
S
O
B∂B
Ω
Σ
‖u‖H1(B\O∪Ω)
klein
‖u‖H1(Ω)
groß
‖u‖L2(Ω)
klein
S
O
O′
B∂B
‖u‖H1(B\O)
klein
‖u‖L2(O′)
groß
S
O
B∂B
Ω
Σ
Ω′
‖u‖H1(B\O∪Ω)
klein
‖u‖L2(Ω′)
groß
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 34: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/34.jpg)
Monotonieabschatzungen
LemmaSeien a1, a2, c1, c2 ∈ L∞+ (B). Fur alle g ∈ L2(S) ist
∫
B
(
(a2 − a1)|∇u1|2 + (c2 − c1)|u1|2)
≥ 〈(Λa1,c1 − Λa2,c2)g , g〉 ≥∫
B
(
(a2 − a1)|∇u2|2 + (c2 − c1)|u2|2)
,
u1, u2 ∈ H1(B): Lsg. fur (a1, c1) bzw. (a2, c2).
Beweis des Eindeutigkeitsresultats (stark vereinfacht . . . )
Starte mit Umgebung von S
Verwende lok. Pot. mit |∇u|2 → ∞ in dieser Region a1 = a2 Verwende lok. Pot. mit |u|2 → ∞ in dieser Region c1 = c2 Wiederhole dies fur alle Regionen.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 35: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/35.jpg)
Eindeutigkeit?
Arridge/Lionheart ’98: Keine Eindeutigkeit fur glatte (a, c).
H. ’09: Eindeutigkeit fur stkw. konstantes a, stkw. anal. c .
Welche Information uber a und c enthalt Λa,c?
Formal(!) erhalten wir aus Λa,c
η =∆√a√a
+c
a
Sprunge in a oder ∇a distributionelle Singularitaten in ∆√a.
Vermutung: Vielleicht erhalten wir aus Λa,c
η, falls a und c glatt sind,
Sprunge von a und ∇a.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 36: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/36.jpg)
Eindeutigkeit
Satz Seien a1, a2, c1, c2 ∈ L∞+ (B) stkw. analytisch auf
B = O1 ∪ . . . ∪ OJ ∪ Γ, ∂O1 ∪ . . . ∪ ∂OJ = ∂B ∪ Γ.
Dann gilt Λa1,c1 = Λa2,c2 genau dann, wenn
(a) a1|S = a2|S , und ∂νa1|S = ∂νa2|S auf S ,
(b)∂νa1a1
|∂B\S =∂νa2a2
|∂B\S auf ∂B \ S,
(c) η1 :=∆√a1√a1
+c1a1
=∆√a2√a2
+c2a2
=: η2 auf B \ Γ,
(d)a+1 |Γa−1 |Γ
=a+2 |Γa−2 |Γ
, und[∂νa2]Γ
a−2 |Γ=
[∂νa1]Γ
a−1 |Γauf Γ.
B. Harrach: Inverse Probleme
![Page 37: InverseProbleme - math.uni-frankfurt.deharrach/talks/2013ITO.pdf · InverseProbleme Bastian von Harrach harrach@math.uni-stuttgart.de Lehrstuhl fu¨r Optimierung und inverse Probleme,](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040623/5d4ea44a88c99316588ba2d2/html5/thumbnails/37.jpg)
Fazit
Manchmal muss man das falsche Problem losen,
um die richtige Losung zu erhalten.
Manchmal darf man das falsche Problem losen,
und erhalt (trotzdem) die richtige Losung.
Manchmal ist die Theorie naher an der Realitat
als man erwartet
. . . und wenn nicht, dann hat die Realitat recht.
B. Harrach: Inverse Probleme