investition und finanzierung

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  • Investition und Finanzierung

    Prof. Dr. Thomas Braun

    Lehrstuhl fr Betriebswirtschaftslehre, insb. Finanzwirtschaft

    Sommersemester 2010

    Prof. Dr. Thomas Braun 1/110

  • Literatur

    Braun, T. (2009), Investition und Finanzierung, Berlin.

    Kistner, K.-P. (2003), Optimierungsmethoden: Einfhrung in dieUnternehmensforschung fr Wirtschaftswissenschaftler, Heidelberg,3. Auflage.

    Rasmusen, E. (2001), Games and Information, 3rd Ed., Blackwell,Oxford.

    Tirole, J. (1988), The theory of industrial organization, Cambridge.

    Prof. Dr. Thomas Braun 2/110

  • Inhalte der Veranstaltung

    1. Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen1.1 Dominanz und Effizienz1.2 Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen1.3 Zinsstze als Kapitalkostenstze

    2. Investitionsrechnung2.1 Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium2.2 Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren2.3 interner Zinsfu2.4 Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines

    Hypothekendarlehens2.5 optimaler Investitionszeitpunkt2.6 Sensitivittsanalyse

    Macauley Durationmodifizierte Duration und Convexity als Sensitivittskennziffern

    3. Grundlagen der RentenversicherungProf. Dr. Thomas Braun 3/110

  • Inhalte der Veranstaltung

    3.1 Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischerNotation

    3.2 Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfevon Periodensterbetafeln

    3.3 Grundlagen der Prmienkalkulation3.4 Kommutationen als Rechenhilfe3.5 prospektives Deckungskapital

    4. Investitionsrechnung in stetiger Zeit

    5. Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen5.1 Spezifitt von Investitionen5.2 strategische Positionierung6. Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten alsKnappheitspreise)6.1 Das Modell von Dean6.2 Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des

    Simplex-AlgorithmusProf. Dr. Thomas Braun 4/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Dominanz und Effizienz

    Notation :

    (z ji )N ji=n : durch die Verwirklichung von Projekt j = 1, . . . ,J

    ausgelste Folge von Zahlungen z jn, . . . ,zjN j

    N := max(N1, . . . ,NJ )

    zNj

    n := (zji )

    N ji=n

    zentrale Annahmen :

    Jedes Investitionsprojekt j lsst sich durch eine Folge vonsicheren Zahlungen zjn vollstndig abbilden

    jedem Zhlindex i N := {1, . . . ,N} ist genau ein Zeitpunkt tizugeordnet

    Prof. Dr. Thomas Braun 5/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Dominanz und Effizienz

    Definition : DominanzProjekt a dominiert Projekt b genau dann, wenn

    zai zbi fr alle i N (1)

    und

    zai > zbi fr wenigstens ein i N . (2)

    Prof. Dr. Thomas Braun 6/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Dominanz und Effizienz

    Aufgabe : DominanzGibt es Dominanzbeziehungen zwischen den Projekten a, . . . ,d?Wenn ja, welche?

    Projekt a b c dZeitpunkt

    t0 -100 -110 -100 -99t1 10 12 11 0t2 110 0 110 110

    Lsung : c dominiert a

    Problem : mangelnde Vergleichbarkeit von Zahlungen, die inverschiedenen Zeitpunkten erfolgen trotz ingesamt wesentlichhherer Nettozahlungen keine Dominanz von c gegenber b

    Prof. Dr. Thomas Braun 7/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Annahme :Der Wert einer Folge von Zahlungen z0 = (zi)Ni=0 lsst sich miteiner linearen Bewertungsfunktion

    V0 (z0) =N

    i=0

    i zi (3)

    mit

    0 = 1

    bewerten.

    Prof. Dr. Thomas Braun 8/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Annahme :Der Entscheider ist in der Lage, fr alle Zeitpunkte ti(i = 0, . . . ,N 1) durch Angabe von Ausgleichszahlungen i+1Indifferenzbeziehungen der folgenden Art zu spezifizieren:

    z0, . . . ,zi 1,zi+1 +i+1, . . . ,zN (zi)Ni=0 (4)

    Schlussfolgerung :Es knnen Tauschrelationen angegeben werden:

    i+1i

    =1

    i+1(i = 0, . . . ,N 1)

    Prof. Dr. Thomas Braun 9/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Definition : KapitalkostensatzDer Preis

    ki,i+1 := i+1 1

    fr die berlassung einer Geldeinheit ber den Zeitraum von tibis ti+1 heit Kapitalkostensatz der Periode [ti , ti+1).

    Prof. Dr. Thomas Braun 10/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Schlussfolgerung :Der Wert von zn (n = 1, . . . ,N) im Zeitpunkt tm (m = 0, . . . ,n1)kann in Verbindung mit der Definition von kapitalkostenbasiertenBewertungsfaktoren

    qm,n :=n1

    i=m

    1

    1+ ki,i+1=

    n1

    i=m

    1

    i+1=

    n1

    i=m

    i+1i

    =nm

    wie folgt bestimmt werden

    Vm (zn) =N

    i=n

    qm,i zi

    Prof. Dr. Thomas Braun 11/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Fr m = 0, . . . ,n1, n = 1, . . . ,N 2 und o = n + 1, . . . ,N 1und p = o + 1, . . . ,N gilt

    qm,p =pm

    =om

    po

    = qm,o qo,p

    und mithin

    Vm (zn) =o

    i=n

    qm,i zi + qm,oN

    i=o+1

    qo,i zi =o

    i=n

    qm,i zi + qm,o Vo (zo+1)

    Prof. Dr. Thomas Braun 12/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Fr n = 0, . . . ,N 1 erhlt man unter Bercksichtigung vonVN (zN+1) = VN (0) = 0

    Vn (zn+1) = qn,n+1 zn+1 + qn,n+1 Vn+1 (zn+2)

    In Verbindung mit

    q1n,n+1 1 = n+1 1 = kn,n+1 ,

    folgt hieraus die

    Prof. Dr. Thomas Braun 13/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitprferenzen

    Fundamentalgleichung I

    zn+1 + Vn+1 (zn+2)Vn (zn+1) = kn,n+1 Vn (zn+1) (5)

    Die Wahlentscheidung fllt auf der Grundlage einer Bewertung,die garantiert, dass der Wert des (noch nicht realisierbaren!)Gesamtvermgens in jeder zuknftigen Teilperiode um dieKapitalkosten anwchst!

    Begrndung: Die Kapitalkosten sind die aus der Sicht desEntscheiders notwendige Kompensation fr das Aufschieben vonKonsum!Im Allgemeinen hngt die Investitionsentscheidung demnach vonKonsumprferenzen ab!

    Prof. Dr. Thomas Braun 14/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Zinsstze als Kapitalkostenstze

    Frage : Kann man Investitionsgelegenheiten auch unabhngigvon Konsumprferenzen bewerten?

    Antwort : Wer Kapitalkostenstze in Hhe tatschlich geltenderZinsstze fr alle Teilperioden ansetzt, kann Konsumprferenzenignorieren, weil eine den Prferenzen entsprechendeVerschiebung von Zahlungen auf der Zeitachse in diesem Fallnichts an der Bewertung ndert.

    Hinweis (Zinssatz): Ein Zinssatz ist der Preis fr die berlassungeiner Geldeinheit fr einen bestimmten Zeitraum bezogen auf einNormlnge von einem Jahr (daher der Zusatz p.a. (pro annum)).

    Prof. Dr. Thomas Braun 15/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Zinsstze als Kapitalkostenstze

    Annnahme (Existenz eines vollkommenen und vollstndigenKapitalmarktes):

    Auf vollkommenen und vollstndigen Kapitalmrkten lassen sichdie Preise fr die Verlagerung von Geldeinheiten ber beliebigeTeilzeitrume [n,n + 1) zum Zeitpunkt der Bewertung t0 ausbeobachtbaren Preisen ableiten. Sie werden als impliziteTerminzinsstze f0,n,n+1 bezeichnet.

    Die Identifikation von Kapitalkostenstzen mit implizitenTerminzinsstzen gewhrleistet in diesem Fall eine Bewertungzuknftiger Zahlungen zu dem Preis, den man in t0 am Markt frdiese erzielen kann oder bezahlen muss. Dieser Preis wird alsMarktwert bezeichnet und symbolisch durch 0 dargestellt.

    Prof. Dr. Thomas Braun 16/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Zinsstze als Kapitalkostenstze

    In diesem Fall erhlt man statt (5) die

    Fundamentalgleichung II

    zn+1 +n+1 (zn+2)n (zn+1) = fn,n+1 n (zn+1) (6)

    und es ergeben sich Implikationen fr den mglichen Konsum:

    Beispiel (Kapitalerhaltung):

    n+1 (zn+2) = n (zn+1) fr alle n = 0, . . . ,N 1

    zn+1 = f0,n,n+1 n (zn+1) fr alle n = 0, . . . ,N 1

    Das Vermgen bleibt demnach genau dann erhalten, wenn amEnde jeder Periode die am Markt realisierbaren Zinsen auf daszu Beginn der jeweiligen Periode vorhandene Kapital konsumiertwerden!

    Prof. Dr. Thomas Braun 17/110

  • Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

    Zinsstze als Kapitalkostenstze

    Finanzplne dienen der Ermittlung der mit einerInvestitionsgelegenheit verbundenen Konsummglichkeiten.Finanzplne sind insbesondere dann ntzlich, wennMarktunvollkommenheiten (z.B. gespaltene Zinsstze, Steuern)zu bercksichtigen sind.

    Prof. Dr. Thomas Braun 18/110

  • Investitionsrechnung

    Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

    Notation :

    I : Anschaffungsauszahlung fr eine Investitionim Betrachtungszeitpunkt (grundstzlich t0)

    Definition : Present Value (Barwert, Gegenwartswert)

    PV : = V0 (zn) (7)

    wird als Present Value der zuknftigen Zahlungen zn bezeichnet

    Definition : Net Present Value (Kapitalwert)

    NPV := PV I

    Prof. Dr. Thomas Braun 19/110

  • Investitionsrechnung

    Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

    Bei einer Bewertung zuknftiger Cash Flows durch

    Vn (zn+1) =N

    i=n+1

    qn,i zi

    ist ist qua definitionem von qn,i gewhrleistet, dass einInvestitionprojekt ber alle Perioden ab t1 die Kapitalkosten aufden Wert der jeweils noch im Projekt gebundenen Cash Flowserwirtschaftet

    notwendig und hinreichend dafr, dass eine Investition bersmtliche Perioden wenigstens die Kapitalkosten erwirtschaftet,ist demnach:

    z1 + V1(z2) I k0,1 I (8)

    Prof. Dr. Thomas Braun 20/110

  • Investitionsrechnung

    Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

    (8) ist unter Bercksichtigung von k0,1 = q10,1 1 quivalent zum

    Kapitalwertkriterium

    q0,1 (z1 + V1(z2)) I

    PV I

    NPV 0 (9)

    Prof. Dr. Thomas Braun 21/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Allgemein gilt fr den Present Value einer Zahlungscharakteristikzn und n < o < N

    PV =o

    i=n

    q0,i zi + q0,o Vo (zo+1)

    Notation :

    m : valuation multiple, cash multiple (Multiplikator)

    Vorgehensweise :

    Vo (zo+1) m zo

    Prof. Dr. Thomas Braun 22/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Unter vereinfachenden Annahmen an die Struktur

    der Zahlungscharakteristik (zi)Ni=o+1 und/oder der Bewertungsfaktoren (qo,i )Ni=o+1

    lassen sich Multiples und Bemessungsgrundlagen exaktberechnen:

    Annahmen (konstante Kapitalkostenstze, konstanteCash-Flow-nderungsraten g):

    qo,i = qio

    zi = zo (1+ g)io

    }

    fr i = o + 1, . . . ,N; g > 1

    Prof. Dr. Thomas Braun 23/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Bewertungsformeln : In Verbindung mit

    k :=k g

    1+ gund q := q(k) =

    1

    1+ k=

    1+ g

    1+ k

    gilt

    Vo (zo+1) =N

    i=o+1

    qio zo = zo m

    Prof. Dr. Thomas Braun 24/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    mit

    m =

    {N o falls g = k

    1k (1 qNo) falls g 6= k

    und (Gordonsche Wachstumsformel )

    limN

    m =1

    k(0 < k g < k)

    Fazit :Konstante Cash-Flow-nderungsraten knnen durchModifikationen des Kapitalkostensatzes bercksichtigt werden.

    Prof. Dr. Thomas Braun 25/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Herleitung : Allgemein gilt fr eine geometrische Reihexn,xn+1, . . . ,xN mit x 6= 1:

    N

    i=n

    x i =xN+1 xn

    x 1

    und mithin

    N

    i=o+1

    qio = qo qN+1 qo+1

    q1=

    q

    q1 (1 qNo)

    =1

    q1 1 (1 qNo)

    =1

    k (1 qNo)

    Prof. Dr. Thomas Braun 26/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Annahmen (konstante Kapitalkostenstze, Konvergenz der CashFlows zu einem Normalniveau z mit Geschwindigkeit v):

    qo,i = qio

    zi = z + q(v)io (zo z)

    }

    fr i = o + 1, . . . ,N; v 0

    Definitionen :

    m(x ,y) :=1

    x (1q(x)y )

    : =m(k +(1+ k) v ,N o)

    m(k ,N o)

    Prof. Dr. Thomas Braun 27/110

  • Investitionsrechnung

    Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

    Hinweis

    m(x ,y) =1

    xq(x)y

    1

    x= V0(z

    1 )q(x)

    y Vy(zy+1)

    Bewertungsformel :

    Vo = m ( zo +(1) z)

    Fazit : Konvergenz der Cash Flows zu einem Normalniveau kanndurch eine Modifikation der Bemessungsgrundlage fr denMultiplikator bercksichtigt werden.

    Prof. Dr. Thomas Braun 28/110

  • Investitionsrechnung

    interner Zinsfu

    Definition (interner Zinsfu):Ein interner Zinsfu einer Zahlungsreihe ist ein Zinssatz y (yield),fr den der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe den Wert Nullannimmt. Interne Zinsfe werden als Kennziffer zurBeschreibung von Zahlungsreihen verwendet.

    Beispiel (Effektivrendite einer Kuponanleihe):Gesucht ist die Effektivrendite einer Kuponanleihe mitNominalwert 1, einer Restlaufzeit von N Jahren und jhrlichemKupon c. Die Anleihe hat in t0 einen Preis P

    N,c0 und zahlt am

    Ende der darauf folgenden N Jahre einen Kupon in Hhe von cund bei Flligkeit zustzlich den Nominalwert 1. DieEffektivrendite y (yield to maturity) entspricht dem internenZinsfu der durch ein Buy-and-Hold Geschft in der Anleihe

    Prof. Dr. Thomas Braun 29/110

  • Investitionsrechnung

    interner Zinsfu

    ausgelsten Zahlungsreihe und wird definitionsgem implizitdurch

    PN,c0 + c

    (1

    yq(y)N

    1

    y

    )

    + q(y)N 1!= 0 (10)

    bestimmt.

    Spezialfall (Pari-Notiz):Fr PN,c0 = 1 (Preis = Nominalwert) wird (10) von y = c erfllt.

    Prof. Dr. Thomas Braun 30/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    Notation :

    f0 : Nominalbetrag (Auszahlungsbetrag)z : monatliche RatefN : Restschuldr : Nominalzinssatzi : Bruchteil der i-ten Monatsrate, der fr die Tilgung verbleibt : anfnglicher jhrlicher TilgungssatzN : Anzahl voller Monatsraten

    Zahlungscharakteristik (aus Glubigersicht)

    Prof. Dr. Thomas Braun 31/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    f0z...z

    z + fN

    mit z =r +

    12 f0

    Bestimmung von Laufzeit und Restschuld: Sei j der Bruchteilder j-ten Monatsrate, der fr die Tilgung verbleibt, dann gilt

    j z =

    {z f0

    r12 fr j = 1

    z (

    f j1i=1 j z)

    r12 fr j = 2, . . . ,N

    Prof. Dr. Thomas Braun 32/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    Unter Bercksichtigung von

    j = 1

    (

    f0z

    j1

    i=1

    j

    )

    r

    12

    = 1

    (

    f0z

    j2

    i=1

    j

    )

    r

    12

    j1

    + j1 r

    12

    erhlt man

    j =

    r+ fr j = 1

    (1+ r12

    )j1 fr j = 2, . . . ,N

    Prof. Dr. Thomas Braun 33/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    Es verbleibt also eine Restschuld in Hhe von

    fN = f0 zN1

    i=1

    i

    = f0 z1N1

    i=0

    q(

    r12

    )i

    = f0 (

    r+12 f0

    )(

    r+

    )

    q(

    r12

    )N1

    q(

    r12

    )11

    = f0 (

    1 r

    (

    q(

    r12

    )N1))

    Der interne Zinsfu pro Monat ym wird implizit durch

    z m(ym,N)+ fN q(ym)N != f0

    Prof. Dr. Thomas Braun 34/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    bzw.

    (r+12

    ) 1ym

    (

    1q(ym)N)

    +(

    1 r

    (

    q(

    r12

    )N1))

    q(ym)N != 1

    ym =r

    12

    bestimmt.Fr den Effektivzinssatz p.a. y gilt

    1+ y = (1+ ym)12 ,

    und somit fr das Hypothekendarlehen

    y =(1+ r12

    )121 > r12

    Als maximale Anzahl voller Monatsraten (Anm.: x bezeichnetdie grte ganze Zahl, die nicht grer als x ist)

    Prof. Dr. Thomas Braun 35/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    Nmax := x : zx

    i=1

    i = f0

    errechnet sich

    Nmax = ln(1+ r )ln(1+ r12)

    Prof. Dr. Thomas Braun 36/110

  • Investitionsrechnung

    Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

    Beispiel

    f0 : 10.000r : 4,4% : 100%

    z = 0,044+112 10.000 = 870

    Nmax = ln(1+ 0,0441 )ln(1+ 0,04412 )

    = 11,765 = 11

    f11 =

    (

    1 10,044

    ((

    1+ 0,04412

    )111

    ))

    10.000 663,42

    Prof. Dr. Thomas Braun 37/110

  • Investitionsrechnung

    optimaler Investitionszeitpunkt

    AnnnahmeDie Verwirklichung einer Investitionsgelegenheit kann verschobenwerden. Die Zahlungskonsequenzen der Verschiebung sind mitSicherheit bekannt.

    Notation :

    (z ij )N ij=i+1 : durch die Verwirklichung der Gelegenheit in ti = i

    ausgelste Folge von Zahlungen z ii+1, . . . ,ziN i

    zi+1 := (z ij )N ij=i+1

    Prof. Dr. Thomas Braun 38/110

  • Investitionsrechnung

    optimaler Investitionszeitpunkt

    Bedingung fr den Aufschub der Projektrealisierung vomZeitpunkt i auf den Zeitpunkt i + 1

    q(ki,i+1) (Vi+1(z

    N+1i+2 ) Ii+1

    )> Vi(z

    Ni+1) Ii

    bzw.

    Vi+1(zN+1i+2 )Vi(z

    Ni+1) (Ii+1 Ii) > ki,i+1 (Vi(z

    Ni+1) Ii)

    (11)

    Spezialflle : konstante Investitionsauszahlung Ii+1 = Ii = I undewige Rente

    Prof. Dr. Thomas Braun 39/110

  • Investitionsrechnung

    optimaler Investitionszeitpunkt

    Fall OZ1: konstante Investitionsauszahlung und ewige RenteBedingung (11) konkretisiert sich zu:

    0 > ki,i+1 (Vi(zi+1) I)

    Eine solche Gelegenheit wird entweder sofort oder niemalsrealisiert!

    Fall OZ2: konstante Investitionsauszahlung Ii+1 = Ii = I und ewig mit derRate g wachsende ZahlungenUnter Bercksichtigung von

    Vi+1(zi+2)Vi(z

    i+1) = g Vi(z

    i+1)

    konkretisiert sich Bedingung (11) zu:

    g Vi(zi+1) > ki,i+1 (Vi(z

    i+1) I)

    Prof. Dr. Thomas Braun 40/110

  • Investitionsrechnung

    optimaler Investitionszeitpunkt

    bzw.

    Vi(zi+1) g fr alle i an, dann existierteine Schwelle (Barrier)

    B :=kg

    kg 1

    I > I ,

    die der Present Value wenigstens erreichen muss, bevor dieInvestitionsgelegenheit ergriffen werden sollte. Im Fall g > kbesteht keine Veranlassung zu warten, weil der Wert in jedemmglichen Investitionszeitpunkt unendlich gro ist.

    Prof. Dr. Thomas Braun 41/110

  • Investitionsrechnung

    optimaler Investitionszeitpunkt

    Fall OZ3: konstanter Kapitalkostensatz; endliche Anzahl N von Zahlungen,die mit konstanter Rate g = k wachsen und

    z i+1j zij =

    {0 fr j = i + 2, . . . , i + N

    z i+1i+1+N = (1+ g)N z ii+1 fr j = i + 1+ N

    Bedingung (11) konkretisiert sich zu:

    N zi+1 N zi > k (N zi I)

    bzw.

    g zi > k (zi I

    N) zi i) P (Tx > i)

    und der Kurzschreibweise

    P (Tx > i) ipx

    impliziert die Stationaritt

    P (i < Tx i + 1) = ipx 1qx+i

    Prof. Dr. Thomas Braun 56/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    konstante Anzahl von Geburten + stationre Verteilung derLebensdauer

    berlebens- und Sterbewahrscheinlichkeiten jngerer Menschenlassen sich mittels Volkszhlung unmittelbar aus der Altersstrukturdes Gesamtbestands ableiten:Sei lx die Anzahl der Lebenden im Alter x und dx die Anzahlderjenigen, die im Alter x versterben, dann gilt

    1qx+i =dx+ilx+i

    =lx+i lx+i+1

    lx+i

    ipx =lx+ilx

    Prof. Dr. Thomas Braun 57/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    Von denberlebenden

    im Alter xvollendetes Sterbe- berlebens- berlebende Gestorbene bis zum insgesamt Durchschnittliche

    Alter wahrscheinlichkeit im Alter x im Alter x Alter x +1 noch zu Lebenserwartungvom Alter x bis x +1 bis unter x +1 durchlebte durchlebende im Alter x

    Jahre in Jahrenx qx px lx dx Lx ex lx ex

    0 0,00451084 0,99548916 100 000 451 99 621 7 621 066 76,211 0,00038944 0,99961056 99 549 39 99 530 7 521 445 75,562 0,00020135 0,99979865 99 510 20 99 500 7 421 916 74,583 0,00018239 0,99981761 99 490 18 99 481 7 322 415 73,604 0,00014866 0,99985134 99 472 15 99 465 7 222 934 72,615 0,00012825 0,99987175 99 457 13 99 451 7 123 470 71,626 0,00011832 0,99988168 99 444 12 99 439 7 024 019 70,637 0,00011816 0,99988184 99 433 12 99 427 6 924 581 69,648 0,00011928 0,99988072 99 421 12 99 415 6 825 154 68,659 0,00010729 0,99989271 99 409 11 99 404 6 725 739 67,66

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .100 0,37845799 0,62154201 539 204 437 1 060 1,97

    Tabelle: Periodensterbetafel 2003/2005 fr die mnnliche deutscheBevlkerung, entnommen aus ? S. 30.

    Prof. Dr. Thomas Braun 58/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    Leistungscharakteristik (Todesfallversicherung):Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres, in dem derVersicherungsnehmer stirbt

    Barwert der erwarteten Leistung von Todesfallversicherungen

    . . . bei unbegrenzter Laufzeit (whole life insurance)

    Ax : =Xx

    i=1

    q i P (i 1 < Tx i)

    Ax : =Xx1

    i=0

    q i+1 P (i < Tx i + 1)

    =Xx1

    i=0

    q i+1 ipx 1qx+i

    Prof. Dr. Thomas Braun 59/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    . . . bei begrenzter Laufzeit n X x (Risikolebensversicherung,term insurance)

    nAx =n1

    i=0

    q i+1 i px 1 qx+i

    Leistungscharakteristik (n-jhrige Erlebensfallversicherung):Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres n, falls derVersicherungsnehmer dann noch lebt

    Barwert der erwarteten Leistung einer n-jhrigenErlebensfallversicherung (pure endowment):

    nBx := qn n px

    Prof. Dr. Thomas Braun 60/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    Barwert der erwarteten Leistungen einer unbegrenztenvorschssigen Leibrente

    ax : =Xx1

    i=0

    iBx

    Barwert der erwarteten Leistungen einer auf n Zahlungenbegrenzten vorschssigen Leibrente

    ax :n | : =n1

    i=0

    iBx

    Prof. Dr. Thomas Braun 61/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

    Kapitallebensversicherung = Risikolebensversicherung +Erlebensfallversicherung

    Ax :n | := nAx + nBx

    PensionsversicherungBarwert einer lebenslangen Rente in Hhe von 1 GE abErreichen des Renteneintrittsalters z an einen VN mit Alter x < z

    |zx ax : = qzx zx px az

    Prof. Dr. Thomas Braun 62/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Grundlagen der Prmienkalkulation

    Kalkulationsschema:Nettoprmie

    + Sicherheitszuschlag+ Kostenzuschlge= Ausreichende Prmie+ Gewinnzuschlag= Tarifprmie (als Jahres- oder Einmalprmie)+ Ratenzuschlag= Tarifprmie (bei Prmienzahlung in Raten)+ Versicherungssteuer= Bruttoprmie

    Die Nettoprmie basiert auf dem Prinzip der Gleichheit vonLeistung und Gegenleistung (quivalenzprinzip )

    Nettoprmie = erwarteter Leistungsbarwert

    Prof. Dr. Thomas Braun 63/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Grundlagen der Prmienkalkulation

    Beispiel (Risikolebensversicherung mit Laufzeit n)

    Annahmen :

    der komplette Jahrgang der heute x-Jhrigen wird versichert(perfektes Pooling)

    diskontierter erwarteter Gesamtschaden pro Vertrag:

    n1i=0 qi+1 dx+ilx

    =n1

    i=0

    qi+1 lx+ilx

    dx+ilx+i

    =n1

    i=0

    qi+1 i px 1 qx+i

    = nAx

    Prof. Dr. Thomas Braun 64/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Grundlagen der Prmienkalkulation

    faire laufende Prmie bei m gleiche Raten

    m1

    i=0

    qi lx+i!= lx nAx

    Aequivalenzbedingung

    = nAx

    m1i=0 qi ipx=

    nAxax :m |

    Beispiel (Rentenversicherung)

    faire Prmie fr die Anwartschaft eines x-Jhrigen auf eine abErreichen des Renteneintrittsalters z > x zahlbare lebenslangevorschssige Leibrente in Hhe von 1 GE jhrlich

    zx|ax =

    zx |axax :zx |

    Prof. Dr. Thomas Braun 65/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Kommutationen als Rechenhilfe

    Anwendungsvoraussetzungen: konstante, linear oder geometrische wachsende Zahlungen konstanter Diskontierungszinssatz

    Eine Kommutation erster Ordnung ist die diskontierte Zahl derLebenden

    Dx := qx lx

    Durch Aufsummieren der diskontierten Zahlen der Lebendenerhlt man die Kommutation zweiter Ordnung

    Nx : =X1

    i=x

    Di

    Prof. Dr. Thomas Braun 66/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Kommutationen als Rechenhilfe

    Beispiele

    nBx : = qn n px

    =qx+n

    qx

    lx+nlx

    =Dx+nDx

    ax : =Xx1

    i=0

    iBx

    =1

    Dx

    Xx1

    i=0

    Dx+i

    =1

    Dx

    X1

    i=x

    Di

    =NxDx

    Prof. Dr. Thomas Braun 67/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    Kommutationen als Rechenhilfe

    noch mehr Beispiele

    ax :n | =Nx Nx+n

    Dx

    ax :n | =Nx+1 Nx+n+1

    Dx

    zx |ax =NzDx

    zx| ax =

    NzNx Nz

    Prof. Dr. Thomas Braun 68/110

  • Grundlagen der Rentenversicherung

    prospektives Deckungskapital

    Prospektives Deckungskapital fr eine von einem heutey-jhrigen im Alter x abgeschlossene mit Erreichen des Alters zlebenslnglich jhrlich vorschssig zahlbare Altersrente in Hhevon 1 GE

    DKx ,y ,z =

    {

    |zy ay zx|ax ay :zy | falls y < zay sonst

    =

    {NzDy

    NzNxNz NyNz

    Dyfalls y < z

    NyDy

    sonst

    Prof. Dr. Thomas Braun 69/110

  • Investitionsrechnung in stetiger Zeit

    Bei stetiger Verzinsung geht die Anzahl der Abrechnungsperiode ngegen unendlich. Wird zu Beginn eines Jahres eine GE zum Zinssatzr p.a. (per annum) angelegt, dann betrgt der Saldo des Anlagekontosam Jahresende:

    limn

    (

    1+r

    n

    )n= er

    Angenommen Sie legen 1.000.000 eam 1. Januar eines Jahres zu10% an, dann verfgen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres bereinen Betrag in Hhe von

    1.100.000,00 e bei jhrlicher Abrechnung

    1.102.500,00 e bei halbjhrlicher Abrechnung

    1.103.812,89 e bei vierteljhrlicher Abrechnung

    Prof. Dr. Thomas Braun 70/110

  • Investitionsrechnung in stetiger Zeit

    1.104.713,07 e bei monatlicher Abrechnung

    1.105.155,78 e bei tglicher Abrechnung (365 Tage)

    1.105.170,92 e bei stetiger Abrechnung

    Prof. Dr. Thomas Braun 71/110

  • Investitionsrechnung in stetiger Zeit

    Bei einem Zinssatz in Hhe der konformen Kassazinsrate

    rc := ln(1+ r) = 9,531018%

    verfgen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres ber einen Betrag inHhe von

    1.099.986,31 e bei tglicher Abrechnung (365 Tage)

    1.100.000,00 e (1000000 eln(1+0,1) = 1000000 (1+ 0,1)) beistetiger Abrechnung

    Prof. Dr. Thomas Braun 72/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Spezifitt ist das Gegenteil von Universalitt: Je geringer dieAnzahl alternativer Verwendungsmglichkeiten, destospezifischer ist eine Investition

    Problem : Wer sich von seinem Vertragspartner abhngig macht,muss damit rechnen, dass dieser ihm den Kooperationsgewinn(teilweise) vorenthlt (hold up)

    Konsequenz : spezifische Investitionen werden nicht oder nurunzureichend gettigt

    Prof. Dr. Thomas Braun 73/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Beispiel (Tirole, 1988, S. 24f)

    Notation :

    B BuyerI Anschaffungsauszahlung (Investition)S Seller

    cB(I) Kosten der Kooperation mit B fr S (abhngig von I)v Nutzen der Kooperation fr B (ffentlich bekannt)p Verkaufspreis

    Prof. Dr. Thomas Braun 74/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Annahmen :

    v = 3

    cB(I) =

    {3, falls I = 00, falls I = 2

    Erluterung: Die variablen Kosten (= Grenzkosten) von S hngendavon ab, ob dieser zuvor eine auf B zugeschnittene(spezifische) Investition I gettigt hat oder nicht

    Prof. Dr. Thomas Braun 75/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    ein Planer wrde die spezifische Investition ttigen, da

    v cB(2)2 > v cB(0)0 = 0

    S muss frchten, dass B ihm die Hlfte des ex-postKooperationsgewinns in Hhe von

    v cB(2) = 30

    vorenthlt, obwohl B im Gegensatz zu S keine Vorleistungenerbringen musste

    Prof. Dr. Thomas Braun 76/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Bestimmung des Gleichgewichtspreises p:Da der Kooperationsgewinn v cB(I) geteilt werden soll, mussder Gewinn von Kufer B (v p) dem halbenKooperationsgewinn entsprechen

    v p =v cB(I)

    2 p = v

    v cB(I)

    2

    die spezifische Investition lohnt sich fr S bei einemVerkaufspreis in Hhe von

    p = v v cB(2)

    2= 1.5

    wegen p I = 1.52 = 0.5 nicht!

    Prof. Dr. Thomas Braun 77/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Annahme : Es gibt einen Markt fr das von S angeboteneProdukt, auf dem ein Preis in Hhe von pM = 3 erzielbar ist

    eine an die Bedrfnisse des Marktes angepasste Versionverursacht bei S variable Kosten (= Grenzkosten) in Hhe von

    cM(I) =

    {3, falls I = 01, falls I = 2

    Prof. Dr. Thomas Braun 78/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    Spezifitt von Investitionen

    Der ex-post Kooperationsgewinn reduziert sich auf

    v cB(2) (pM cM(2))

    Die Teilung impliziert einen Verkaufspreis in Hhe von

    p = v v cB(2) (pM cM(2))

    2= 2.5

    Dank alternativer Einsatzmglichkeiten (Belieferung desMarktes) hat sich die Spezifitt der Investition verringert,so dass sich die Investition nunmehr rechnet.

    tendenziell wird im Bemhen um eine mglichst guteex-post Verhandlungsposition zu viel in Flexibilittinvestiert (schwimmende Kraftwerke)

    Prof. Dr. Thomas Braun 79/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    strategische Positionierung

    Spielzge (Rasmusen, 2001, S. 93f)

    I ist bereits am Markt, E entscheidet ber denMarkteintritt

    Zahlungskonsequenzen

    Monopolgewinn M

    Duopolgewinn D

    Kosten des Markteintritts cE

    Kosten der (stets erfolgreichen) Gegenwehr cI

    Prof. Dr. Thomas Braun 80/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    strategische Positionierung

    collude

    fightenter

    stay out(0,M)

    (cE ,M cI)

    (D2 cE ,D2 )

    E

    I

    Abbildung: Die extensive Form des Spiels (vgl. Rasmusen (2001, S. 94))

    Prof. Dr. Thomas Braun 81/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    strategische Positionierung

    Ist die Androhung von Gegenwehr glaubwrdig?

    Rekursionsprinzip: Die Androhung ist nur glaubwrdig,falls I sich nicht selbst schadet, wenn er sie (ex post)wahr macht. Die Bedingung hierfr lautet:

    M cI D2

    cI M D2

    Prof. Dr. Thomas Braun 82/110

  • Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

    strategische Positionierung

    Gleichgewicht

    Der Markteintritt kommt dann und nur dann zu Stande,wenn

    cI > M D2

    und

    cE 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 84/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Literaturhinweis :

    Kistner (2003, S. 40f)

    zentrale Annahme :

    beschrnkter Zugang zum Kapitalmarkt

    zentrale Erkenntnisse :

    Kapitalkostenstze lassen sich auch mit der Knappheit anZahlungsmitteln begrnden

    auf der Grundlage dieser Kapitalkostenstze (= endogeneKalkulationszinsstze)

    lsst sich die optimale Entscheidung mit Hilfe derKapitalwertmethode reproduzieren

    lassen sich Auswirkungen von nderungen des Datenkranzesbeurteilen

    Prof. Dr. Thomas Braun 85/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Notation :

    zt : Zahlungen, die im Zeitpunkt t vomUnternehmen an die Anteilseigner (zt > 0) oderin umgekehrter Richtung (zt < 0) flieen

    ztj : Zahlungskonsequenzen der Investitions-und Finanzierungsgelegenheiten j = 1, . . . ,Jpro eingesetzer GE in den Zeitpunkten t = 0, . . . ,T

    xj : der in Geldeinheiten gemessene Umfang, in demdie Gelegenheit j realisiert wird

    xJ+1 : Kassenhaltungxj : maximal mglicher Umfang in GE, in dem

    Gelegenheit j realisiert werden kann

    Prof. Dr. Thomas Braun 86/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Primales Programm

    0 x1 . . . +0 xJ + xJ+1 maxxJ+1

    !

    unter den Bedingungen xj 0 fr j = 1, . . . ,J + 1 und

    z01 x1 . . . +z0J xJ xJ+1 z0 q0...

    ......

    ......

    zT 1 x1 . . . +zTJ xJ zT qTx1 x1 qT+1

    . . ....

    ......

    xJ xJ qT+J

    Prof. Dr. Thomas Braun 87/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    quivalentes primales Programm

    0 x1 . . . 0 xJ xJ+1 minxJ+1

    !

    unter den Bedingungen xj 0 fr j = 1, . . . ,J + 1 und

    z01 x1 . . . +z0J xJ xJ+1 z0 q0...

    ......

    ......

    zT 1 x1 . . . +zTJ xJ zT qTx1 x1 qT+1

    . . ....

    ......

    xJ xJ qT+J

    Prof. Dr. Thomas Braun 88/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Duales Programm

    z0 q0 . . . +zT qT x1 qT+1 . . . xJ qT+J maxq0,...,qT+J

    !

    unter den Bedingungen qi 0 fr i = 0, . . . ,T + J und

    z01 q0 . . . +zT 1 qT qT+1 0 x1...

    .... . .

    ......

    ...z0J q0 . . . +zTJ qT qT+J 0 xJ

    q0 1 xJ+1

    Prof. Dr. Thomas Braun 89/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Satz vom komplementren Schlupf

    Existiert eine optimale Lsung, dann existieren Dualvariablen qtfr alle Zeitpunkte t , so dass

    T

    t=0

    ztj qt < 0 xj = 0

    T

    t=0

    ztj qt > 0 xj = xj

    bzw.

    xj = 0 T

    t=0

    ztj qt 0

    xj = xj T

    t=0

    ztj qt 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 90/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Gegeben sei ein Unternehmen mit den in nachfolgender Abbildung 2dargestellten Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten

    Abbildung: Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten

    Prof. Dr. Thomas Braun 91/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Ein Blick auf Abb. 2 zeigt, dass das Programm

    x1 = 20x2 = 0x3 = 10x4 = 0

    den Gewinn maximiert. Demnach mssen Bewertungsfaktorenexistieren, so dass gilt

    NPV 1 0NPV 2 0NPV 3 0NPV 4 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 92/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    In Verbindung mit der Definition (endogenerKalkulationszinssatz)

    k :=q0q1

    1

    sind die Kapitalwertrelationen quivalent zu

    k 25%k 5%k 10%k 15%

    10% k 15%

    Prof. Dr. Thomas Braun 93/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Reproduktion der Lsung mit Hilfe der linearen Programmierung:Maximiere das Endvermgen

    54 x1 +

    2120 x2 +

    1110 x3 +

    2320 x4 maxx1,...,x4

    !

    unter den Bedingungen xj 0 fr j = 1, . . . ,4 und

    x1 x2 + x3 + x4 10x1 20

    x2 10+ x3 10

    + x4 10

    Prof. Dr. Thomas Braun 94/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Transformation des Restriktionen-Systems (zustzlich gilt xj 0 frj = 1, . . . ,9) in ein Standard-Maximum-Problem

    x1 +x2 x3 x4 +x5 = 10 q0x1 +x6 = 20 q2

    +x2 +x7 = 10 q3+x3 +x8 = 10 q4

    +x4 +x9 = 10 q5

    Hinweis: q1 wird bewusst bersprungen.

    Prof. Dr. Thomas Braun 95/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Vorberlegungen

    5 der insgesamt 9 Variablen nehmen im Optimum den Wert Nullan, nmlich x2, x4, x5, x6 und x8

    Die optimale Basislsung ist primal degeneriert, weil somit aucheine der 5 Basisvariablen den Wert Null annehmen muss

    Es muss also (wenigstens) zwei optimale primale Basen Bigeben, wobei gilt

    x1,x3,x7,x9 Bi

    Prof. Dr. Thomas Braun 96/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Das duale Restriktionen-(Teil-)System in Normalform

    +q0 +q2 q6 =54 x1

    +q0 +q3 q7 =2120 x2

    q0 +q4 q8 = 1110 x3

    q0 +q5 q9 = 2320 x4

    reduziert sich in Verbindung mit (Satz vom komplementrenSchlupf)

    x1 > 0 q6 = 0

    x3 > 0 q8 = 0

    x7 > 0 q3 = 0

    x9 > 0 q5 = 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 97/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    auf

    1 q0 +54 1 = +q

    2 0

    1 q0 +2120 1 = q

    7 0

    1 q0 1110 1 = +q

    4 0

    1 q0 2320 1 = q

    9 0

    (13)

    und kann i.V.m. q1 1 wie folgt interpretiert werden

    NPV 1 0NPV 2 0NPV 3 0NPV 4 0

    q0 ,q2 ,q

    7 > 0 ist notw. Voraussetzung fr (13)

    Prof. Dr. Thomas Braun 98/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    es existieren 2 optimale duale Basen

    DB1 = {q0,q2,q4,q7}

    DB2 = {q0,q2,q7,q9}

    mit den korrespondierenden optimalen primalen Basen

    B1 = {x1,x3,x4,x7,x9}

    B2 = {x1,x3,x7,x8,x9}

    Die optimalen primalen Basen sind wegen x4 = 0 und x8 = 0

    degeneriert

    Prof. Dr. Thomas Braun 99/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Bestimmung des endogenen Kalkulationszinsfues

    Einsetzen von q4 = 0 bzw. q9 = 0 in (13) fhrt auf

    qDB10 =

    11

    10

    qDB20 =

    23

    20

    Die mit den beiden optimalen dualen Basen korrespondierendenendogenen Kapitalkostenstze belaufen sich auf

    k1 : =11101 1 = 10%

    k2 : =23201 1 = 15%

    Prof. Dr. Thomas Braun 100/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Das Modell von Dean

    Da neben den beiden Ecklsungen des Duals auch smtlicheKonvexkombinationen der beiden Ecklsungen optimal sind, gilt

    q0 = qDB10 +(1 ) q

    DB20 (0 1)

    und mithin

    10% k 15%

    Prof. Dr. Thomas Braun 101/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    B1 L.-Sp. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9x1 20 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0x3 10 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0x4 0 0 1 0 0 1 +1 0 1 0x7 10 0 +1 0 +1 0 0 +1 0 0x9 10 0 +1 0 0 +1 1 0 +1 +1

    z 14 0 + 220 0 0 +2320 +

    220 0 +

    120 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 102/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    B2 L.-Sp. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9x1 20 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0x3 10 0 1 +1 +1 1 +1 0 0 0x7 10 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0x8 0 0 +1 0 1 +1 1 0 +1 0x9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 +1

    z 14 0 + 120 0 +1

    20 +1110 +

    320 0 0 0

    Prof. Dr. Thomas Braun 103/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Auswirkungen von Parameternderungen auf den Zielfunktionswert

    B1 B2

    p z(p) p p z(p) p p

    z02320 p 10 0

    1110 p 0 10

    x12

    20 p 0 103

    20 p 10 0x2 0 10 0 10 x3

    120 p 10 0 0 0

    x4 0 10 0 10 c1 20 p

    220 20 p

    320

    c2 0 220 0 1

    20c3 10 p

    120 10 p

    120

    120

    c4 0 2

    201

    20 0 1

    20

    Prof. Dr. Thomas Braun 104/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Die Mehrzahl dualer Ecklsungen bewirkt, dass Auswirkungenvon Vernderungen der Beschrnkungskonstanten vomVorzeichen abhngig sind

    Tableau zu B1 erfasst Auswirkungen einer Kapitalauszahlung

    Grundstzlich mgliche Anpassungsreaktionen: (teilweise) Nutzung noch nicht in Anspruch genommener

    Finanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte frdie Schlupfvariablen x8 und/oder x9)

    Drosselung des Volumens bereits beschlossenerInvestitionsprojekte (Voraussetzung: positive Werte fr dieEntscheidungsvariablen x1 und/oder x2)

    Prof. Dr. Thomas Braun 105/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Die optimale Basis B1 = {x1,x3,x4,x7,x9} impliziert dieAlternativen

    (teilweise) Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4,angezeigt durch die Basisvariable x9

    Drosselung des Volumens von Investitionsprojekt 1, angezeigtdurch die Basisvariable x1

    Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4 (maximalesVolumen: 10 GE)

    Tableau zu B2 erfasst Auswirkungen einer Kapitaleinzahlung

    Grundstzlich mgliche Anpassungsreaktionen: (teilweise) Verwirklichung bislang ungenutzter

    Investitionsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte fr dieSchlupfvariablen x6 und/oder x7)

    (teilweise) Substitution bereits eingeplanterFinanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte frdie Entscheidungsvariablen x3 und/oder x4.

    Prof. Dr. Thomas Braun 106/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Die optimale Basis B2 = {x1,x3,x7,x8,x9} impliziert dieAlternativen

    (teilweise) Verwirklichung von Investitionsgelegenheit 2, angezeigtdurch die Basisvariable x7

    (teilweise) Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3, angezeigtdurch die Basisvariable x3

    Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3 (maximalesVolumen: 10 GE)

    Auswirkungen des maximal mglichen Umfangs vonInvestitionsgelegenheit 1 (zugehrige Beschrnkungskonstante:b2)

    Erhhung: Nettorendite 25%15% = 10% Verminderung: Nettorendite 25%+ 10% = 15%

    Prof. Dr. Thomas Braun 107/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Auswirkungen des maximal mglichen Umfangs vonInvestitionsgelegenheit 2 und Finanzierungsgelegenheit 4(zugehrige Beschrnkungskonstante: b3,b5: keine (Projektesind inattraktiv)

    Auswirkungen des maximal mglichen Umfangs vonFinanzierungsgelegenheit 3 (zugehrigeBeschrnkungskonstante: b4)

    Erhhung: Nettorendite 0% (wird mangels hinreichend attraktiverAnlagemglichkeiten nicht in Anspruch genommen)

    Verminderung: Nettorendite +10%15% = 5% (Substitutiondurch Finanzierungsgelegenheit 4)

    Prof. Dr. Thomas Braun 108/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Die Auswirkungen von Vernderungen derZielfunktionskoeffizienten sind fr B1 und B

    2 gleich; allerdings

    unterscheiden sich die Intervallgrenzen

    Ursache fr die unterschiedlichen Intervallgrenzen ist sindvermeintlich unterschiedliche Finanzierungs- bzw.Anlagealternativen, die allerdings faktisch nicht existieren(primale Degeneration!).

    Intervallgrenzen, die auf eine degenerierte Basisvariablezurckzufhren sind, ist keine Beachtung zu schenken!

    Erluterung: Darf die Rendite von Investitionsprojekt 1 um 10%(entsprechende Basislsung: B1) oder um 15% (entsprechendeBasislsung: B2) sinken, bevor es zu einem Basiswechselkommt?

    Prof. Dr. Thomas Braun 109/110

  • Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

    Sensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

    Grundstzlich gilt: Sinkt die Rendite eines Investitionsprojekteskommt es zu einem Basiswechsel, sobald die Kapitalkosten derteuersten in Anspruch genommenen Finanzierungsform(Grenzkapitalkosten) erreicht bzw. unterschritten werden. x4 / B2impliziert Grenzkapitalkosten von 10%. x4 B1 impliziertGrenzkapitalkosten von 15%, was aber wegen x4 = 0 faktischunzutreffend ist. Tatschlich darf die Rendite vonInvestitionsprojekt 1 also um bis zu 15% sinken, bevor esverworfen wird.

    Die Intervallgrenzen zu c3 und c4 erschlieen sich, wennman bedenkt, dass ein positiver Wert einer Reduktion derKapitalkosten entspricht

    Prof. Dr. Thomas Braun 110/110

    LiteraturLiteraturInhalte der VeranstaltungGrundlagen der Bewertung sicherer ZahlungenDominanz und EffizienzKapitalkosten als Ausdruck subjektiver ZeitprferenzenZinsstze als KapitalkostenstzeInvestitionsrechnungVom Kapitalkostenkonzept zum KapitalwertkriteriumVereinfachende Bewertung mit Multiplikatoreninterner ZinsfuPraxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehensoptimaler InvestitionszeitpunktSensitivittsanalyseMacauley Durationmodifizierte Duration und Convexity als SensitivittskennziffernGrundlagen der RentenversicherungBarwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer NotationBerechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von PeriodensterbetafelnGrundlagen der PrmienkalkulationKommutationen als Rechenhilfeprospektives DeckungskapitalInvestitionsrechnung in stetiger ZeitStrategische Aspekte von InvestitionsentscheidungenSpezifitt von Investitionenstrategische PositionierungSimultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)Das Modell von DeanSensitivittsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus