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Kapitel 3Fuzzy-Mengen und Relationen
12. Mai 2005
Ruckblick Fuzzy-Mengen Reprasentation von Fuzzy-Mengen Fuzzy-Relationen
Ruckblick
I Darstellung unscharfer Konzepte mit Hilfe von Fuzzy-Mengen,
I Definition von Fuzzy-Mengen,
I Fuzzy-Mengen uber einem festen Universum bilden einenVerband,
I Alternative”Schnitt-“und
”Vereinigungsoperatoren“.
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Paare von t-Normen und t-Konormen
I die Weber-Familie (umfaßt die von beschranktem Produkt,Produkt und drastischem Produkt erzeugten Paare):
tλ(a, b) = max{0, a + b − 1 + λab
1 + λ} fur λ ∈ (−1,∞),
sλ(a, b) = min{1, a + b − λab
1 + λ} fur λ ∈ (−1,∞),
I die Yager-Familie(umfaßt die von drastischem Produkt undMinimum erzeugten Paare):
tp(a, b) = 1−min{1, [(1− a)p + (1− b)p]1p } fur p ∈ [0,∞),
sp(a, b) = min{1, [ap + bp)]1p } fur p ∈ [0,∞),
I Archimedische t-Normen und t-Konormen.3(34)
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Archimedische t-Normen
Definition
Seien t : [0, 1]2 → [0, 1] und s : [0, 1]2 → [0, 1] zwei Funktionen.
1. t heißt archimedische t-Norm genau dann, wenn t stetiget-Norm ist und fur alle a ∈ (0, 1) die Ungleichung t(a, a) < agilt.
2. s heißt archimedische t-Konorm genau dann, wenn s stetiget-Konorm ist und fur alle a ∈ (0, 1) die Ungleichungs(a, a) > a gilt.
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Darstellung von Archimedischen t-Normen undt-Konormen
SatzEine Funktion t : [0, 1]2 → [0, 1] ist genau dann eine archimedischet-Norm, wenn eine streng monoton fallende Funktionf : [0, 1] → [0,∞] existiert mit f (1) = 0 undt(a, b) = f −1(f (a) + f (b)), wobei f −1 die Pseudoinverse von f istmit
f −1(y) =
{x ∈ [0, 1] | f (x) = y , falls y ∈ [0, f (0)];0, falls y ∈ [f (0),∞].
Fur f (0) = ∞ ist t streng monoton wachsend in beidenArgumenten.
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Beispiel Archimedische t-Normen
Sei f : [0, 1] → [0, 1] mit f (x) = 1− x .Dann gilt:
f (0) = 1,
f −1(y) =
{1− y , falls y ∈ [0, f (0)]
0, sonst.
t(x , y) = max{0, a + b − 1} (beschrankte Summe)
I die im Satz auftretende Funktion f ist eindeutig bis aufMultiplikation mit einer positiven reellen Konstanten,
I f heißt additiver Generator von t,
I eine archimedische t-Norm heißt nilpotent, wenn f (0) <∞.
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Beispiele fur Archimedische t-Normen II
fp : [0, 1] → [0, 1], fp(x) = (1− x)p, p ∈ [0,∞)
t(a, b) = f −1(f (a) + f (b))= f −1((1− a)p + (1− b)p)
= 1− ((1− a)p + (1− b)p)1p
definiert die Yager-Familie.
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Beispiel fur Archimedische t-Normen III
f : [0, 1] → [0, 1],
f (x) =
{−ln(x), falls x ∈ [0, 1],
∞, fallsx = 0.
t(a, b) = f −1(f (a) + f (b))= f −1(−ln(a)− ln(b))
= e ln(a)+ln(b) = a ∗ b
definiert das algebraische Produkt.
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Literatur zu t-Normen
I Ling,C.-H. Representations of associative functions,Publucations Mathematicae Debrece, 12: 189-212, 1965
I H.Bandemer, S.Gottwald: Einfuhrung in Fuzzy-Methoden,Akademie-Verlag, Berlin, 4.Auflage, 1993,
I S.Gottwald: A Treatise on Many-Valued Logic, Studies inLogic and Computation 9, Research Studies Press, Baldock,2000,
I G. Klir, T.A. Folger: Fuzzy-Sets, Uncertainty, and Information,Prentice Hall, 1988
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α-Schnitte von Fuzzy-Mengen
I bisher wurden Fuzzy-Mengen u ausschließlich durch die siecharakterisierende Zugehorigkeitsfunktion dargestellt: vertikaleReprasentation,
I ein Experte muß dazu fur jedes Element x aus demReferenzbereich M einen Wert u(x) bestimmen,
I horizontalen Reprasentation durch Niveau-Mengen.
Definition
Sei u ∈ F(M) und α ∈ [0, 1]. Die Menge
C (u, α) = {x ∈ M | u(x) ≥ α}
heißt α-Schnitt von u.
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Beispiel α-Schnitte
I Interpretation des Begriffes”jung-Sein“durch die
Fuzzy-Menge u(x) = e−1/1000x
I 0.5− Schnitt von u besteht aus den Jahreszahlen, fur die wir(entsprechend unserer Modellierung) sagen wurden, daß einMensch in diesem Alter mindestens zum Grad 0.5 als jungbezeichnet werden kann.
Alter
1
10 20 30 40
0.5
C(u, 0.5) 0.5-Schnitt der Fuzzy-Menge u(x) = e−1/1000x
1
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Eigenschaften von α-Schnitten
Satz
Sei u ∈ F(M), α, β ∈ [0, 1]. Dann gilt:
1. C (u, 0) = M,
2. fur α < β gilt: C (u, α) ⊇ C (u, β),
3.⋂
α|α<β C (u, α) = C (u, β).
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Offene α-Schnitte
Definition
Ein offener α-Schnitt einer Fuzzy-Menge u wird definiert durch:
O(u, α) = {x ∈ M | u(x) > α}
I Im obigen Beispiel ist der offene 0.5-Schnitt das rechtsseitighalboffene Intervall [0,26.6).
I fur alle u ∈ F(M) gilt: O(u, 1) = ∅.I O(u, 0) heißt Trager der Fuzzy-Menge u. Falls O(u, 0) nur ein
einziges Element enthalt, dann heißt u Fuzzy-Einermenge.
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Eigenschaften abgeschlossener α-Schnitte
Satz
1. Die Familie der abgeschlossenen α-Schnitte einerFuzzy-Menge ist sup-umkehrend, d.h. fur eine Menge{αi}i∈I ⊆ [0, 1] gilt:
C (u, supi∈I
αi ) =⋂i∈I
C (u, αi ).
2. Fur eine Menge {ui}i∈I ⊆ F(M) von Fuzzy-Mengen giltaußerdem:
C (l
i∈I
ui , α) =⋂i∈I
C (ui , α).
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Eigenschaften offener α-Schnitte
Satz
1. Die Familie der offenen α-Schnitte einer Fuzzy-Menge istinf-umkehrend, d.h. fur eine Menge {αi}i∈I gilt:
O(u, infi∈Iαi ) =
⋃i∈I
O(u, αi ).
2. Fur eine Menge {ui}i∈I ⊆ F(M) von Fuzzy-Mengen gilt:
O(⊔i∈I
ui , α) =⋃i∈I
O(ui , α).
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α-Schnitte zur Charakterisierung von Fuzzy-Mengen
Sei α ∈ [0, 1],X ⊆ M, uα(x) := α fur alle x ∈ M.Bezeichnung:
α ∧ X = uα u χX
α ∨ X = uα t χX
Satz
Fur jede Fuzzy-Menge u ∈ F(M) gilt:
u =⊔
α∈[0,1]
(α ∧ C (u, α)) und u =⊔
α∈[0,1]
(α ∧ O(u, α)),
u =l
α∈[0,1]
(α ∨ C (u, α)) und u =l
α∈[0,1]
(α ∨ O(u, α)).
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Extensionsprinzip
I bisher Moglichkeit der Verallgemeinerung mengentheoretischerOperationen auf Fuzzy-Mengen,
I Erweiterung von Funktionen f : X n → Y zu Abbildungenf : F(X )n → F(Y ),
I v Interpretation des Begriffes”Jung“, u Interpretation des
Begriffes”ungefahr 20“,
I man interpretiert u(22) als Grad der Akzeptanz, daß dieAussage
”22 ist ungefahr 20“ korrekt ist,
I u u v(22) ist der Zugehorigkeitsgrad von 22 zum vagen Begriff
”ungefahr 20 und jung“ ,
I Akzeptanzgrade stellen verallgemeinerte Wahrheitsgrade dar,
I Wie operiert man auf solchen Akzeptanzgraden?
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Beispiel
+ : R× R → R Addition auf den reellen Zahlen.Ziel: eine Additionsoperation auf Intervallen
+ : P(R)× P(R) → P(R).
Seien A1,A2 ⊆ R reele Intervalle.
A1+A2 = {x1 + x2 mit x1 ∈ A1, x2 ∈ A2}.
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Verallgemeinerung auf Mengen
Fur f : X n → Y ergibt sich f : (P(X ))n → P(Y ), mit
f (A1, . . . ,An) = {y ∈ Y | ∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An :f (x1, . . . xn) = y}
Der Akzeptanzgradacc(y gehort zum Bild von (A1, . . . ,An))
= acc (∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An : f (x1, . . . xn) = y)
=
{1, falls ∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An : f (x1, . . . xn) = y)
0, sonst.
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Verallgemeinerung auf Fuzzy-Mengen
Erweiterung von f : X n → Y auf f : (F(X ))n → F(Y )Der Akzeptanzgrad
acc(y gehort zum Bild von (v1, . . . , vn)) | vi ∈ F(X )
ist dann= acc(∃(x1, . . . , xn) ∈ X n f (x1, . . . xn) = y
x1 gehort zu v1 undx2 gehort zu v2 und...xn gehort zu vn.)
=sup(x1,...,xi )∈X n,y=f ((x1,...,xi )){min{v1(x1), . . . vn(xn)}}
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Extension
Definition
Sei f : X n → Y eine Abbildung, die Extension von f ist gegebendurch
f : (F(X ))n → F(Y )
mit
f (v1, . . . vn)(y) = sup{min{v1(x1), . . . vn(xn)} | (x1, . . . , xi ) ∈ X n
und y = f (x1, . . . , xn)}
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Fuzzy-Relationen
Definition
Eine Fuzzy-Relation S uber U1, . . . ,Un ist eine Abbildung
S : U1×, . . . ,×Un → [0, 1].
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Beispiel
I Relation n � m:”die naturliche Zahl n ist viel kleiner als m“,
I laßt sich im klassischen Sinn einer Relation nicht definieren,
I als Fuzzy-Relation:
S(n,m) =
{0 falls m ≥ n
1− 1n−m sonst.
I es gibt kein absolutes”viel kleiner“ d.h. es existiert kein Paar
(n,m) so daß S(n,m) = 1.
I die Werte von S(m, n) konvergieren aber fur (m − n) →∞gegen 1
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Beispiel
I andere Definition:
Sx(n,m) =
{0 falls m ≥ n
(1− 1n−m )x sonst.
I man erhalt damit eine (allerdings der Intuition nicht besondersgut entsprechende) scharfe Relation, wenn man fur x = 0einsetzt,
I welche Definitionen im konkreten Fall verwendet wird, istkeine mathematische Frage, sondern hangt vomAnwendungszweck ab.
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t-Ahnlichkeitsrelationen
Definition
Sei t eine t-Norm. Eine Fuzzy-Relation R : U×U → [0, 1] uber demUniversum U heißt t-Ahnlichkeitsrelation, wenn fur alle x , y , z ∈ Ugilt:,
(i) R(x , x) = 1 (Reflexivitat)
(ii) R(x , z) ≥ t(R(x , y),R(y , z)) (Transitivitat)
(iii) R(x , y) = R(y , x) (Symmetrie)
Falls ∀x , y ∈ U gilt R(x , y) ∈ {0, 1} dann ist R charakteristischeFunktion einer klassischen Aquivalenzrelation.
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Beispiel
Thriller Krimi SciFi Fantasy
Thriller 1 0.8 0.7 0.5
Krimi 0.8 1 0.5 0.5
SciFi 0.7 0.5 1 0.4
Fantasy 0.5 0.5 0.4 1
R ist t2-und t4-Ahnlichkeitsrelation aber keine t1-odert3-Ahnlichkeitsrelation.
R(K ,T )t1R(T ,S) = min(0.8, 0.7) = 0.7 � R(K ,S) = 0.5
R(K ,T )t3R(T ,S) = 0.8 ∗ 0.7 = 0.56 � R(K ,S) = 0.5
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Produkt von Relationen
Definition
Seien R ⊆ U1, . . . ,Un,W und S ⊆ W ,V1, . . . ,Vm Relationen. DasProdukt R ◦ S zweier Relationen ist gegeben durch:
(x1, . . . , xn, y1, . . . ym) ∈ R ◦ S ,
gdw. ∃z ∈ W , so daß (x1, . . . , xn, z) ∈ R und (z , y1, . . . ym) ∈ S .
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Produkt von Fuzzy-Relationen
I Fuzzy-Relationen sind Fuzzy-Mengen, namlich uber dementsprechenden kartesischen Produkt,
I die schon definierten Operationen u,t,− lassen sich aufPaare von Fuzzy-Relationen anwenden,
I das Produkt von Fuzzy-Relationen laßt sich nicht mit Hilfe derverallgemeinerten Mengenoperationen darstellen.
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Standardprodukt von Fuzzy-Relationen
Definition
Seien S1 : U1× . . .×Un×W → [0, 1] und S2 : W ×V1× . . .×Vm →[0, 1] zwei unscharfe Relationen. DasStandardprodukt S1 ◦ S2 : U1 × . . .× Un × V1 × . . .× Vm → [0, 1]wird definiert durch:
S1 ◦ S2((x1, . . . , xn, y1, . . . ym)) =
sup{min(S1((x1, . . . , xn, z)),S2((z , y1, . . . ym))) | z ∈ W }.
I Verwendet man anstelle von sup nur max, so ist S1 ◦ S2
eventuell nur partiell definiert.
I Andere Produkte von Fuzzy-Relationen als dasStandardprodukt erhalt man, wenn man min durch eineandere t-Norm ersetzt.
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Abstrakte Ahnlichkeitslogik
I (Ying, 1994) Logik fur approximatives Schließen auf der Basisvon Fuzzy-Relationen,
I Ableitungsregeln konnen auch dann anwendet werden, wenndie Pramissen den Antezenten nur annahernd erfullen,
I Gegeben sei folgende Inferenz:
x ist ein Thriller ⇒ x gefallt mir,y ist ein Krimi,
Thriller ist ahnlich zu Krimi,
y gefallt mir.
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Abstrakte Ahnlichkeitslogik II
I Die Relation ahnlich zu ist eine Fuzzy-Relation.
I Eine Fuzzy-Logik sollte einen Zusammenhang zwischen demGrad der Ahnlichkeit und dem Grad, zu dem wir dieKonklusion als gultig anerkennen, herstellen.
I Der Grad der Konklusion”y gefallt mir“ sollte groß sein, wenn
wir annehmen wollen, daß der Grad der Ahnlichkeit zwischenKrimi und Thriller groß ist.
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Transitive Hulle unter einer Fuzzy-Ahnlichkeitsrelation
Sei R : FL×FL → [0, 1].
SIM(u)(ϕ) = sup{t2(R(ϕ,ψ), u(ψ)) | ψ ∈ FL}.
Beispiel
I Sei R die t2 Ahnlichkeitsrelation von oben,
I u mit u(T ) = 0.8, u(F ) = 0.9 Charakterisierung einerspannenden Fantasy-Geschichte,
I SIM(u)(T ) = 0.8,SIM(u)(K ) = 0.6SIM(u)(S) = 0.7,SIM(u)(F ) = 0.9
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Transitive Hulle unter einer Fuzzy-Ahnlichkeitsrelation II
I SIM(u) ist eine Art”transitive Hulle “,
I es gilt:
1. SIM(u)(ϕ) ≥ u(ϕ) (Inklusion)2. fur u v v gilt SIM(u) v SIM(v) (Monotonie)3. SIM(SIM(u)) = SIM(u) (Idempotenz)
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Abstrakte Ahnlichkeitslogik
Fur den Schluß”y gefallt mir“ brauchen wir noch einen
Abschlußoperator D, der das logische Schließen ubernimmt.
D : F(FL) → F(FL), Abschlußoperator auf Fuzzy-Mengen
K = D ◦ SIM
v v SIM(v) v D(SIM(v)) v SIM(D(SIM(v)))...→ DR(v)
DR(v) =⊔n∈N
Kn(v).
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