klasse 9

Regionaler Arbeitskreis Mathematik

SD A.Kolb

Wh. „Ereignis“, „Gegenereignis“ Vereinigung, Schnitt – Beispiel: gezinkter Würfel – 1 und 6 mit 1/4, die anderen mit 1/8 A: Primzahl, B: ungerade

Klasse 9


SD A.Kolb

Klasse 9

Was ist also „unvereinbar“ ?


SD A.Kolb

Klasse 9 bedingte Wahrscheinlichkeit : Hintergrund


SD A.Kolb

Klasse 9 bedingte Wahrscheinlichkeit – Umsetzung Test zum räumlichen Vorstellungsvermögen:

Vierfelder-tafel


SD A.Kolb

Dasselbe mit Baumdiagrammen

Klasse 9


SD A.KolbBenutze zur Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse

E: im ersten Zug Rot, F: im zweiten Zug Rot

Klasse 9


SD A.Kolb

In der Zuverlässigkeitstheorie kann Unabhängigkeit – z.B. bei einer Reihenschaltung von Pumpen – vorausgesetzt werden.

P(untere Pumpe funktioniert) = 0,95 P(obere Pumpe funktioniert) = 0,95

Also: P(obere UND unter Pumpe funktionieren) = 0.950,95

Aufgabensorten: solche, bei denen Unabhängigkeit vorausgesetzt ist und solche, bei denen Unabhängigkeit nachgewiesen werden soll.

Beachte Aufgabenvariationen, z.B. Wahrscheinlichkeiten für eine der beiden Pumpen verkleinern u.Ä.

Klasse 9


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Zufallsvariable und Erwartungswert

Eine »Zufallsvariable« ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine (reelle) Zahl zuordnet.

Beispiel: 4-mal Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne:

S = {ggrr, grgr, rggr, grrg,rgrg,rrgg}

Zuordnung, genannt X, mit der Anweisung: »Zähle, wie oft man zieht,

bis 2-mal r (also: rot) gezogen ist?

Werte xi von X : 4 3 2P(X = 4) = 1/2, P(X = 3) = 1/3, P(X = 2) = 1/6

Klasse10


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Beispiel »Dreimaliger Münzwurf« (Ergebnisse: W,Z) X: Anzahl des Auftretens von W oder X: Anzahl der W mal Anzahl der B oder X: Geldgewinn (z.B. 2€, falls WWW oder ZZZ, sonst 0€)

Beispiel: »Urne mit 4 Zetteln« (eins,sieben,hundert,tausend) X: Anzahl der Buchstaben auf einem Zettel x1 = 4, x2 = 6, x3 = 7 mit P(X = x1) = 1/4, P(X = x2) = 1/4, P(X = x3) = 1/2 oder X: Anzahl der vorkommenden »e« x1 = 1, x2 = 2 mit P(X = x1) = 3/4 , P(X = x2) = 1/4

Klasse10


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Erwartungswert – Einführungsbeispiel »2-mal würfeln«

Bei 3600 Spielen etwa 8€ 200 + 4€400 = 3200€ bei 1800 Spielen etwa 8€100 + 4€200 = 1600€, die Hälfte! bei 1 Spiel etwa (8€200 + 4€400):3600 = 8/9 € (zu erwarten)

Klasse10


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Klasse10 Einschub: die Kunst des Zählens

1.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Hemden, 4 Krawatten und und 3 Hosen zu kombinieren? 543 (Produktregel)

2.) geordnete Stichprobe mit Zurücklegen ein Tipp beim Toto: aus der »Urne« {0,1,2} Stichprobe vom Umfang 13, z.B. (1,1,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0,1) 1.Stelle 3 Mögl., 2.Stelle 3 Mögl. .... also 313 mögliche Tippreihen

Oder: wie viele 4-stellige Nummern mit den Ziffern aus der »Ziffern-Urne« {1,...,9} gibt es? 94

allg.: n in der Urne, Stichprobenumfang k nk


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Klasse103.) geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Wie viele 4-stellige Nummern mit den Ziffern aus der »Ziffern-Urne« {1,...,9} gibt es, wenn die Ziffern sich nicht wiederholen dürfen? 9876

allg.: n in der Urne, Stichprobenumfang k n(n-1)(n-2) (n-(k-1)) =

Spezialfall n in der Urne, Stichprobenumfang auch n n(n-1)(n-2) 1 = n! Permutationen der Ziffern

)!(

!

kn

n


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Klasse104.) ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen n in der Urne, Stichprobenumfang k - ziehe »mit einem Griff« Auf wie viele Arten kann man k Kugeln aus der Urne entnehmen, wenn es nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ankommt? ---- Lottoziehung!

Berechnung: Ziehe zuerst wie bei 3.) – dann muss man aber noch durch die Permutationenanzahl k! dividieren.

Binomialkoeffizient, siehe (a+b)n

Pascalsches Dreieck

GTR: Math – PRB – 3 (=nCR) 5 nCr 3 = 10

Ende des Einschubs


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Klasse10Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung

Bernoulli-Versuch: Zufallsexperiment mit »Treffer» oder »Niete« »Erfolg« oder »Misserfolg« P(Treffer) = p und folglich P(Niete) = 1-p»Bernoulli-Kette der Länge n« - n unabhängige Bernoulli-Versuche nacheinander


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Klasse10

Beispiel: 3-mal (Laplace-)Würfeln – und es geht nur um »6« oder »Nicht-6« !!! (Treffer und Niete)

Die Zufallsvariable X soll nun »zählen«, wie oft bei 3-mal Würfeln »Treffer« vorkommt und die Wahrscheinlichkeit dafür angeben. X kann die Werte 0, 1, 2 und 3 haben.

(X=3) = {(T,T,T)} P(X=3) = 1ppp = p3 (X=2) = {(T,T,N),(T,N,T),(N,T,T)} P(X=2) = 3p2(1-p) (X=1) = {(T,N,N),(N,T,N),(N,N,T)} P(X=1) = 3p(1-p)2 (X=0) = {(N,N,N)} P(X=0) = 1(1-p)3

Die (grünen) Anzahlen: z.B. »auf wie viele Arten kann ich 2 T‘s auf 3 Plätze verteilen?« - das ist ungeordnet ohne Zurücklegen, also »n über k«


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Klasse10Ergebnis: die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomial verteilten Zufallsvariablen X


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Klasse10Eine Münze wird 20 mal geworfen. Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse: a) Genau 10 mal Wappen. b) Höchstens 15 mal Wappen. c) Mindestens 7 mal Wappen. d) Mindestens 6 mal und höchstens 16 mal Wappen.

Histogramm der Binomialverteilung und der kumulativen Verteilung


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Klasse10Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen: betrachte die Diagramme z.B. der Verteilungen für n = 50, p = 0,5 und n = 50, p= 0,7. Der Erwartungswert wird unmittelbar ersichtlich als 500,5 = 25 bzw. 500,7 = 35

Also: E(X) = np


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Klasse10Rechnerische Herleitung für n = 1 bzw. n = 2 und n = 3


SD A.Kolb

Klasse10Praxis der Berechnungen bei der Binomialverteilung: n = 25 und p= 0,3

P(X = 10) = 0,0916 2nd DISTR 0

P(X ≤ 6) = 0,34065 2nd DISTR A

P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = ........

P(5 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) – P(X ≤ 4)


SD A.Kolb

Klasse10Wie oft muss man einen L-Würfel mindestens werfen, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens eine 6 erhalten will?

Es geht um eine Bernoullikette der Länge n = ?, aber p = 1/6. X zählt die vorkommenden 6er und es muss gelten P(X ≥ 1) ≥ 0,99

also 1 – P(X = 0) ≥ 0,99 P(X = 0) ≤ 0,01

Im Register Y= dann 2nd TABLE

Ergebnis: 26

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