klasse art schwierigkeit math. thema nr. 7 Üben x ... · klasse art schwierigkeit math. thema nr....
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Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101
Berechne jeweils den Termwert:
a) 0,7⋅2,56 b) 4 : 41
c) (- 6) : (- 0,25) d) ( )6:149 −
e) 0,75 : 0,3 f) 24⋅0,0025
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 101 a) 1,792 b) 16
c) 24 d) 283−
e) 2,5 f) 0,06
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Wiederholung Klasse 6 102
Zeichne eine Zahlengerade mit Längeneinheit 2 cm und trage darauf die
Markierungen für die Zahlen 532− ,
411− ,
32 , 2,5 und 0,6 ein. Wähle dann darunter
jeweils zwei Zahlen so aus, dass der Wert
a) ihrer Summe möglichst klein b) ihrer Summe möglichst groß
b) ihrer Differenz möglichst klein d) ihrer Differenz möglichst groß
e) ihres Produkts möglichst klein f) ihres Produkts möglichst groß
g) ihres Quotienten möglichst klein h) ihres Quotienten möglichst groß
wird.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Wiederholung Klasse 6 102
a) ( ) ( )2017
41
53 312 −=−+− b)
61
32 35,2 =+
c) 1,55,2253 −=−− d) ( ) 1,525,2
53 =−−
e) ( )21
53 65,22 −=⋅− f) ( ) ( )
41
41
53 312 =−⋅−
g) ( )31
53 46,0:2 −=− h) 2,5 : 0,6 =
614
-3 -2 -1 1 2 3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Wiederholung Klasse 6 103
Übertrage die Angaben in dein Heft und ergänze dort die fehlenden Zahlen für die
Leerstellen �
a) 10
7
1012
37
179516
57 56=�
�=
⋅�⋅
⋅�⋅=
⋅⋅
⋅�⋅
b) �
�=
⋅�⋅
⋅�⋅=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅�⋅
⋅��⋅
371
11
3785
1251
11185
65
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Wiederholung Klasse 6 103
a) 10
714
10
147
152
377
179516
57 191 56==
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅
b) 74
3
3721
311
3785
1251
11110485
366517=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung Klasse 6 104
Wie viele Prozent der folgenden Figuren sind jeweils in einer Farbe bzw. weiß
dargestellt? (Schätze gegebenenfalls)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 104 a) rot: 25 %, weiß: 10 % blau: 65 %
b) orange und violett: je 50 %
c) grün: 37,5 % weiß: 12,5 % blau: 50 %
d) violett: 25 % grün: 12,5 % gelb: 62,5 %
e) blau: 75 % weiß: 25 %
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung Klasse 6 105
Bei der Bürgermeisterwahl in Harberg wurden insgesamt 2150 gültige Stimmen
abgegeben. Das Diagramm zeigt, wie viele Stimmen auf die vier Kandidaten
Schrötter (S), Elfontaine (E), Murksel (M) und Frischer (F) entfielen.
a) Wie viele Stimmen erhielt jeder der Kandidaten?
b) Wie viele Prozent erhielten die beiden Kandidaten, die die meisten Stimmen
vereinigen konnten, zusammen?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 105
a)
� Elfontaine. 10 % , 215 Stimmen
� Schrötter: 30 % , 645 Stimmen
� Murksel: 40 % , 860 Stimmen
� Frischer: 20 %, 430 Stimmen
b) Schrötter und Murksel erhielten zusammen 70 % der Stimmen.
S ME F
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Wiederholung Klasse 6 106
In der Klasse 7 a war in der letzten Lateinschulaufgabe der Notendurchschnitt 3,3.
Dabei erhielten von 30 Schülern jeweils 10 % die Note 1 bzw. die Note 5. Ein Drittel
aller Schüler schaffte mindestens eine 2, während die Hälfte aller Schüler schlechter
als 3 war.
a) Finde durch Überlegen und Probieren heraus, wie die Notenverteilung war und
lege eine entsprechende Tabelle an.
b) Stelle die Notenverteilung in einem Säulen- und in einem Kreisdiagramm dar und
gib die Winkel im Kreisdiagramm an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Wiederholung Klasse 6 106 a)
Note 1 2 3 4 5 6 Anzahl 3 7 5 10 3 2 Winkel 36° 84° 60° 48° 36° 24°
b)
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Wiederholung Klasse 6 109
Bestimme jeweils den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz des farbig
markierten Anteils:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Wiederholung Klasse 6 109
a) 76 % ∧
= 95 € b) 1 ∧
= 2 dm3 c) 63 ° ∧
= 140 cm
1 % ∧
= 1,25 € 81
∧
= 250 cm3 1° ∧
= 920 cm
100 % ∧
= 125 € 83
∧
= 750 cm3 360° ∧
=8 m
a) Grundwert: 125 € Prozentwert: 30 € Prozentsatz: 24 %
b) Grundwert: 2 dm3 Prozentwert: 750 cm3 Prozentsatz: 37,5 %
c) Grundwert: 8 m Prozentwert: 1,4 m Prozentsatz: 17,5 %
24 %
95 €
1,4 m 2 l
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung Klasse 6 110
In Mittelstadt beträgt der Preis für einen 5,55 a großen Bauplatz 149850 €.
a) Wie viel kostet ein 465 m2 großer Bauplatz bei gleichem Quadratmeterpreis?
b) In Vorstadt beträgt der Quadratmeterpreis nur 3266 % des Preises von
Mittelstadt. Welche Fläche erhält man für 120960 €?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 110 a) Quadratmeterpreis: 149850 € : 555 = 270 €
Preis für 465 m2: 125550 €
b) Preis pro m2 in Vorstadt: 32 von 270 € = 180 €
Für 120960 € erhält man 120960 : 180 = 672 m2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Wiederholung Klasse 6 111
a) Gib die Abmessungen zweier verschiedener Parallelogramme an, die einen
Flächeninhalt von 80 a besitzen!
b) Beschreibe auch zwei verschiedene Trapeze, deren Flächeninhalt 42 cm2
beträgt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Wiederholung Klasse 6 111
a) Die Parallelogramme könnten die Grundlinie 160 m und die Höhe 50 m
besitzen oder die Grundlinie 80 m und die Höhe 100 m.
(Beachte: 80 a = 8000 m2)
b) Die Trapeze könnten die Parallelseiten a = 8 m und c = 6 m sowie die Höhe
h = 6 m besitzen oder auch a = 12 m, b = 9 m und h = 4 m.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Achsensymmetrie 202
Hans sieht im Spiegel eine Uhr, die nur Markierungen, aber keine Ziffern auf ihrem
Zifferblatt hat . Wie spät ist es in Wirklichkeit, wenn die Uhr im Spiegel
a) 7:00 Uhr b) 13:45 Uhr c) 15:30 Uhr
anzeigt?
Berechne in den drei Fällen auch den kleineren der beiden Winkel, den großer und
kleiner Zeiger miteinander einschließen
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Achsensymmetrie 202
a) Es ist 5:00 Uhr oder 17:00 Uhr; der Winkel ist (360° : 12) ⋅ 5 = 150°
b) Es ist 10:15 Uhr oder 22:15 Uhr; der Winkel ist
30°⋅434 = 142,5°
c) Es ist 8:30 Uhr oder 20:30 Uhr; der Winkel ist 30°⋅2,5 = 75°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Achsensymmetrie 204
Fragen zur Achsenspiegelung:
1) Die Achse einer Achsenspiegelung heißt Fixpunktgerade, Lote zur Achse heißen dagegen Fixgeraden. Erkläre den Unterschied.
2) Die folgenden Aussagen sind falsch. Zeichne zu jeder Aussage ein Gegenbeispiel.
a) Wenn sich zwei Geraden auf der Symmetrieachse schneiden, sind sie symmetrisch.
b) Zwei Geraden, die zur Symmetrieachse parallel sind, sind symmetrisch.
c) Zwei Kreise mit gleichem Radius, deren Mittelpunkte von der Symmetrieachse gleichen Abstand haben, sind symmetrisch.
3) Zwei Kreise k1(P;r1) und k2(Q/r2) sind zueinander symmetrisch bezüglich einer Symmetrieachse a. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) P = Q b) Q ist symmetrisch zu P.
c) Die Kreise schneiden sich auf der Achse.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Achsensymmetrie 204 1) Jeder Punkt der Achse wird auf sich selbst abgebildet und ist daher Fixpunkt. Bei den
Lotgeraden wird nicht jeder Punkt auf sich selbst abgebildet, aber die Geraden
insgesamt auf sich selbst.
2) a) Zwei Geraden, bei denen die Achse nicht Winkelhalbierende ist, sind nicht
symmetrisch, auch wenn sie sich auf der Achse schneiden.
b) Parallelen zur Achse, die unterschiedlichen Abstand zu ihr haben, sind nicht
symmetrisch.
c) Die Mittelpunkte können so liegen, dass sie nicht zueinander symmetrisch sind.
3) a) und c) sind falsch, b) ist richtig.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Achsensymmetrie 205
Gegeben sind die Punkte A(5/3), B(- 1/2) und C(3/- 2) sowie K(2/1).
a) Zeichne das Dreieck ABC und spiegle es an der Parallelen a zur y-Achse
durch den Punkt K. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A’, B’ und C’ an
und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AB] und [BC].
b) Die Punkte O(0/0), P(5/-1), Q(- 6/2), R(2/5) und S(- 1/- 4) sollen nun an der
Achse aus a) gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte O’,
P’, Q’, R’ und S’ an ohne die Zeichnung durchzuführen.
c) Nun soll das Dreieck ABC an der Parallelen b zur x-Achse durch den Punkt K
gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A“, B“ und C“ an
und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AC] und [BC].
d) Gib wieder ohne Zeichnung die Koordinaten der Spiegelpunkte O“, P“, Q“, R“
und S“ zu den Punkten aus b) an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Achsensymmetrie 205
a) A’(- 1/3), B’(5/2), C’(1/- 2) c) A“(5/- 1), B“(- 1/0), C“
Fixpunkte (2/2,5) bzw. (2/1) Fixpunkte: (4,2/1) bzw. (0/1)
b) O’(4/0), P’(- 1/- 1), Q’(10/2), d) O“(0/2), P“(5/3), Q”(- 6/0) R’(2/5), S’(5/- 4) R”(2/- 3), S“(- 1/6)
-1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
A
B
C
K
a
A'
B'
C'
-1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
A
B
C
Kb
C"
A"
B"
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Achsensymmetrie 207
Nach dem Reflexionsgesetz für Lichtstrahlen scheint ein Lichtstrahl, der von einer Lichtquelle L kommt und an einem Spiegel reflektiert wird, geradlinig vom Spiegelpunkt L’ der Lichtquelle zu verlaufen. Du befindest dich in einem Spiegelkabinett am Punkt A, dein Freund am Punkt B. Über den Spiegel [PQ] könnt ihr euch direkt in die Augen sehen; d.h. dass ein Lichtstrahl von A über [PQ] nach B verläuft und umgekehrt. a) Ermittle mit Hilfe einer Zeichnung,
auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] du schauen musst, damit du deinen Freund siehst. Auf welchen Punkt muss er schauen, damit er dich sieht.
b) Auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] musst du schauen, damit du das Spiegelbild B’ deines Freundes im Spiegel [SQ] sehen kannst?
Übertrage dazu die Zeichnung in dein Heft und konstruiere den Verlauf der Lichtstrahlen!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Achsensymmetrie 207
P
Q
S
Wand
A
B
A'
a
b
P
Q
S
Wand
A
B
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 301
Gegeben sind die Punkte A(2/4), B(5/4), C(5/9), D(2/6) und D’(10/2).
a) Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.
b) Welche Art von Viereck bilden die Punkte ABCD?
c) Konstruiere das Bildviereck A’B’C’D’ zum Viereck ABCD, so dass D auf D’
abgebildet wird.
d) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD und gib den Flächeninhalt
des Vierecks A’B’C’D’ an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 301 b) Das Viereck ist ein Trapez.
c) In der Zeichnung wurden die
Konstruktionslinien der
Punkte nicht mit eingezeich-
net.
d) A = 21 ⋅(2+5)⋅3 = 10,5 (FE)
Das Viereck A’B’C’D’ hat
den gleichen Flächeninhalt,
da es deckungsgleich ist.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
BA
D
D'
C'
A'
B'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 302
Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(9/6) und P’(8/2) .
Konstruiere (mit Zirkel und Lineal) die Strecke, die zur Strecke [PQ] achsensymmet-
risch ist, wenn P und P’ zueinander symmetrisch sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 302
Zur Lösung musst Du mit der 1. Grundkonstruktion die Symmetrieachse zu P und P’
konstruieren und dann mit der 2. Grundkonstruktion den Bildpunkt von Q.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 303
Die Punkte P(1/8) und Q(9/3) bestimmen die Symmetrieachse a.
Konstruiere das Spiegelbild des Kreises k um M(5/3) mit Radius 3 cm und markiere
in Deiner Zeichnung das Spiegelbild des Kreissegmentes, das von der Achse a vom
Kreis abgeschnitten wird.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 303
PPPP
QQQQaaaaMMMM
M'M'M'M'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 304
Gegeben sind die Punkte P(2/1) , Q(8/8) , R(3/7) , S(7/6) , T(5/1) und U(1/6).
Es gelte: a = PQ , h = RS .
a) Konstruiere die zu h symmetrische Gerade h’ , wobei a die Symmetrieachse ist.
b) Konstruiere den zu T symmetrischen Punkt T’ bezüglich der Achse a.
c) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der
Achse a.
d) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der
Achse h.
e) Konstruiere die zur Geraden a symmetrische Gerade a’ bezüglich der Achse h.
f) Konstruiere den zum Kreis k(T/r = 2,5 cm) symmetrischen Kreis k’.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 304
PPPP
QQQQ
RRRR
UUUU
SSSS
aaaa
hhhh
S'S'S'S'
R'R'R'R'
a'a'a'a'
TTTT
T'T'T'T'
h'h'h'h'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305
Zeichne die Punkte P(4/0) , Q(6/4) und S(1/4).
a) Konstruiere den zu P symmetrischen Punkt R bezüglich der Achse a = QS und gib
seine Koordinaten an.
b) Zeichne das Viereck PQRS. Es enthält die beiden Dreiecke PQR und PRS. Wel-
che Eigenschaft haben diese beiden Dreiecke? Berechne den Flächeninhalt des
Vierecks PQRS.
c) Die Strecken [PS] und [QS] sind gleich lang. Begründe mit einer Eigenschaft der
Achsenspiegelung, dass die Symmetrieachse zu P und Q durch S gehen muss
und bestätige dies durch eine Konstruktion.
d) Warum muss die Symmetrieachse zu R und Q ebenfalls durch S gehen?
e) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt S folglich?
f) Zeichne einen Kreis k, auf dem die Punkte P , Q und R liegen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305
a) R(4/8)
b) PQ QR= und PS RS= . Man nennt diese Dreiecke daher gleich-schenklig. Außerdem ist Dreieck PQS symmetrisch zum Dreieck PRS. Der Flächeninhalt der Dreiecke ist 10 FE, der des Vierecks ist 20 FE.
c) Achsenpunkte sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Daher muss S auf der Achse liegen.
d) SR SP SQ= = , daher gleiche Begründung wie bei c).
e) S ist von P, Q und R gleich weit entfernt und daher
f) Mittelpunkt des Kreises ist S.
SSSS
PPPP
QQQQ
RRRR
aaaa
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 306
Das Apachenmädchen „Schöne Augen“ wohnt im Dorf A(4/- 3), der Apachenjunge
Winnetou im Dorf B(1/3). Sie haben sich am Fluss (y-Achse) zum Angeln verabredet.
Wo müssen sie sich treffen, damit für beide der Weg gleich lang ist?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 306
Der Treffpunkt ist der
Schnittpunkt der Sym-metrieachse zu A und B mit der y-Achse.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
A
B
Treffpunkt
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 307
Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Konstruiere nur mit Zir-
kel und Lineal eine Parallele zu g durch P. Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 307 Zuerst konstruiert
man das Lot von P auf g.
Danach wird auf dem Lot in P ein Lot er-richtet. Dieses ist dann die gesuchte Parallele zu g.
P
P'
g
3
p
12
4
5
6
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 308
Gegeben sind die Punkte A(11/0) und B(0/8).
a) Spiegle den Punkt P(6/7) an der Achse a = AB.
b) Konstruiere das Lot l von Q(8/1) auf die Gerade PP’ .
c) Begründe, dass die Achse a und das Lot l parallel sind.
d) Konstruiere einen Kreis, der durch die Punkte P, P’ und Q verläuft.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 308
Die Zeichnung zeigt
zur Kontrolle die
Lage der Punkte.
Du musst die ent-
sprechenden
Grundkonstruktio-
nen verwenden. l ist
parallel zu a, da
beide auf der Gera-
den PP’ senkrecht
stehen.
AAAA
BBBB
PPPP
QQQQ
P'P'P'P'aaaa
llll
MMMM
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 309
Die Punkte A(5/1) , B(8/5) und C(2/7) bestimmen das Dreieck ABC.
a) Konstruiere die Parallele p zu AB durch C und die Parallele q zu CB durch A und
lies zur Kontrolle die Koordinaten des Schnittpunkts von p und q ab.
b) Konstruiere die Mittelparallele zu CB und q. Ermittle die Schnittpunkte dieser Mit-
telparallelen mit den Seiten des Dreiecks. Welche Bedeutung haben diese Punkte
für das Dreieck?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 309 Die Konstruktion der Parallelen erfolgt wie in 307. Zur Konstruktion der Mittelparalle-len wird in P1 das Lot von A auf CB gefällt und die Symmetrieachse zu P1 und dem Schnittpunkt P2 des Lotes mit CB konstruiert. Die Mittelparallele schneidet die Dreiecksseiten in ihren Mittelpunk-ten
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
p
q
S
P1
P2
m
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 310
Zeichne einen Winkel ε = 103° und konstruiere dann nur mit Zirkel und Lineal fol-
gende Winkel:
a) ε=α43 b) ε=
23ß c) ε=γ
85
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 310 Da die Durchführung mit
Dynageo sehr kom-pliziert aussieht, wird hier nur die Zeich-nung für ß = 1,5ε ge-zeigt. Kontrolliere deine Er-gebnisse durch Be-rechnen und Nach-messen der konstru-ierten Winkel.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 311
Konstruiere folgende Winkel:
a) 157,50
b) 67,50
Kontrolliere Deine Ergebnisse durch Nachmessen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 311 Lösungsmöglichkeiten:
a) 157,50 = 1800 - 22,50
Den Winkel von 22,50 erhält man, indem man einen rechten Winkel zweimal hal-
biert.
b) 67,50 = 450 + 22,50 oder 67,50 = 900 - 22,50
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 312
Konstruiere ein Quadrat, bei dem bekannt ist, dass die Diagonale [BD] eine Länge
von 7 cm hat. Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 312 Da die Diagonalen im
Quadrat auch Symmet-rieachsen sind, konstru-ieren wir zuerst die Symmetrieachse zu B und D. Auf dieser liegen die Ecken A und C.
Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang und halbieren sich, daher liegen die Ecken A und C auch auf einem Kreis um den Mittelpunkt von [BD] durch B und D.
B
D
C
A
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 313
Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von 30°.
Von einem Rechteck ABCD sind die Ecken B(10/3) und D(1/9) bekannt sowie der
Winkel ∠DBA = 30°.
Konstruiere das Rechteck nur mit Zirkel und Lineal. Der 30° - Winkel soll mit Zirkel
und Lineal übertragen werden.
Beschreibe deine Konstruktionsschritte.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 313 Der Punkt A liegt auf dem
freien Schenkel von ∠DBA = 30° und dem Lot von D auf diesen freien Schenkel. Zur Konstruktion von C muss man z.B. das Lot auf DA in D und das Lot auf AB in B errichten. (Die Kon-struktionslinien dazu wur-den in der Zeichnung nicht eingetragen.)
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
A
C
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 314
Gegeben sind die Punkte M(3/2) , A(8/1) , B(5/7) und C(3/5) und der Kreis
k(M;r = 3 cm).
a) Konstruiere eine Gerade a derart, dass der Kreis und die Gerade AB bezüglich
der Achse a zu sich selbst symmetrisch sind.
b) Die Gerade h = BC schneidet den Kreis in einem weiteren Punkt D. Konstruiere
zunächst möglichst einfach die zur Geraden h bezüglich der Achse a symmetri-
sche Gerade h’ und markiere dann die zu C und D symmetrischen Punkte
C’ und D’.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 314
a) Die Achse a ist die Lotgerade von M auf h (rot; die Konstruktionslinien fehlen in der Zeich-nung). b) Die Gerade h’ verläuft durch den Spiegelpunkt B’ von B und den Schnitt-punkt von h mit a. Die Punkte C’ und D’ sind die Schnitt-punkte von h’ mit dem Kreis.
MMMMAAAA
BBBB
CCCC
DDDD
C'C'C'C'D'D'D'D'
B'B'B'B'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315
Gegeben sind die Punkte P(1/1) , Q(3/5) , sowie die Gerade h = AB mit A(0/0) und
B(8/3). Die Strecke PQ soll mit einer Achsenspiegelung so abgebildet werden, dass
die Bildstrecke auf der Geraden h liegt. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten.
a) Konstruiere die beiden möglichen Symmetrieachsen und die Bildstrecken.
b) An der Zeichnung erkennst Du eine Möglichkeit, die Bildstrecken auch ohne
Konstruktion der Achsen zu finden. Beschreibe diese Möglichkeit.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315
Die Endpunkte
der Bildstre-cken liegen auf Kreisen um den Schnittpunkt der Geraden h und der Geraden PQ durch P bzw. Q.
PPPP
QQQQ
BBBB
AAAA
P'P'P'P'
Q'Q'Q'Q'
P"P"P"P"
Q"Q"Q"Q"
w1w1w1w1
w2w2w2w2
hhhh
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 316
a) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O(0/0) durch P(4/3).
b) Konstruiere die Tangente durch p an die Kreislinie.
c) Spiegle die Tangente an der y-Achse und begründe, dass auch die Bildgera-
de Tangente an die Kreislinie ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 316 Da der Kreis auch sym-
metrisch zur y-Achse ist, sind alle Schnitt-punkte des Kreises mit der Tangente t sym-metrisch zu den Schnittpunkten des Kreises mit der ge-spiegelten Tangente t’. Daher hat t’ nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis und ist folglich ebenfalls eine Kreistangente im Spiegelpunkt P’ von P.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
PP'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317
Gegeben sind drei Geraden r, s und t, von denen keine zwei parallel sind.
Konstruiere ein Dreieck ABC, das drei Symmetrieachsen besitzt, von denen eine die
Gerade t ist, so dass die Punkte A auf r, B auf s und C auf t liegen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317 A und B liegen
symmetrisch be-züglich der Achse t. Daher liegt B auch auf der Bild-geraden r’ zu r und A liegt auch auf der Bildgera-den s’ zu s. Da die Seiten des Dreiecks gleich lang sind, ist C der Schnittpunkt des Kreises um B durch A mit t.
t
s
r
s'
r'A
B
C
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 318
Zeichne die Punkt P(6/2), Q(1/7) und M(5/- 2,5) in ein Koordinatensystem ein.
Konstruiere ein Quadrat ABCD so, dass A und C auf OP, D auf OQ und B auf dem
Kreis um M mit Radius 2,5 cm liegen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie 318 Wegen der Symmetrie
des Quadrats zur Dia-gonalen AC = OP liegt D auf dem zum Kreis um M symmetrischen Kreis. Daher ist D der Schnittpunkt von OQ mit dem Bildkreis.
A und C findet man dann, indem man einen Kreis um den Schnitt-punkt der Diagonalen BD mit der Geraden OP durch B und D zeichnet.
Es gibt zwei Lösungen.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
P
Q
M
A
C
B
D
D1
A1
B1
C1
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Punktspiegelung 401
Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(6/4) und R(4/7) . Bilde das Dreieck durch eine
Punktspiegelung ab, wenn
a) das Zentrum Z = A ist;
b) das Zentrum Z der Mittelpunkt von [BC] ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Punktspiegelung 401
A=ZA=ZA=ZA=Z
BBBB
CCCC
M=ZM=ZM=ZM=Z
B'B'B'B'
C'C'C'C'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Punktspiegelung 402
Gegeben ist das Dreieck A(1/1) , B(6/0) und C(3,5/4) . Konstruiere das Bilddreieck
bei einer Punktspiegelung am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Punktspiegelung 402
AAAA
BBBB
CCCC
ZZZZ
B'B'B'B'
C'C'C'C'
A'A'A'A'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Punktspiegelung 403
Fragen zur Punktspiegelung:
a) Hat eine Punktspiegelung Fixpunkte, Fixgeraden bzw. Fixpunktgeraden. Falls ja,
welche sind das?
b) Entscheide, ob folgende Aussagen über die Punktspiegelung wahr oder falsch
sind:
1) Gerade und Bildgerade sind bei einer Punktspiegelung parallel.
2) Zu je zwei parallelen Geraden gibt es eine Punktspiegelung, die sie aufeinan-
der abbildet.
3) Bei einer Punktspiegelung an einem festen Zentrum Z gilt für je zwei parallele
Geraden, dass sie aufeinander abgebildet werden.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Punktspiegelung 403 a) Einziger Fixpunkt ist das Zentrum, es gibt keine Fixpunktgerade, aber alle Gera-
den durch Z sind Fixgeraden.
b) 1) wahr;
2) wahr; das Zentrum liegt auf der Mittelparallelen;
3) falsch.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Punktspiegelung 404
Entscheide bei folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind:
a) Zwei parallele Geraden sind immer punktsymmetrisch.
b) Zwei parallele Geraden besitzen immer genau eine Symmetrieachse.
c) Zwei sich schneidende Geraden sind immer achsensymmetrisch.
d) Zwei sich schneidende Geraden sind immer punktsymmetrisch.
e) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine achsensymmetrische Fi-
gur.
f) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine punktsymmetrische Figur.
Überlege dir bei den richtigen Aussagen auch, wie die Achse verläuft bzw. wo das
Symmetriezentrum liegt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Punktspiegelung 404 Alle Aussagen mit Ausnahme von b sind richtig.
a) Jeder beliebige Punkt auf der Mittelparallelen ist Zentrum.
c) Die Winkelhalbierenden sind die Symmetrieachsen.
d) Der Schnittpunkt der Geraden ist Symmetriezentrum.
e) Die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte ist Achse.
f) Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte ist Zentrum.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Punktspiegelung 405
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4/- 3), B(2/2) und C(-3/0). Konstruiere das dazu
punktsymmetrische Dreieck A’B’C’, wenn der Punkt A’ die Koordinaten (-2/2) hat.
Gib die Koordinaten der zu konstruierenden Punkte an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Punktspiegelung 405
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
A
B
C
A'
Z
B'
C'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Punktspiegelung 406
Zeichne die Punkte R(3/1), A(5/2), P(3/3), I(2/5), D(1/3) und P’(1/1) in ein Koordi-
natensystem ein. Dabei ist P’ der Spiegelpunkt von P bei einer Punktspiegelung am
Zentrum Z.
a) Konstruiere Z und die Spiegelpunkte R’, A’, I’ und D’.
b) Zeichne das Achteck RAPIDA’P’I’ und markiere darin mit Farbe zwei zuei-
nander punktsymmetrische Strecken und zwei zueinander punktsymmetri-
sche überstumpfe Winkel.
c) Ermittle den Flächeninhalt des Achtecks RAPIDA’P’I’ .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Punktspiegelung 406
b) Die Winkel ARI’ und A’R’I sind z.B. punktsymmetrisch und überstumpf.
c) Das Viereck lässt sich aus dem Quadrat
P’RPR’ und vier Dreiecken, die so groß sind wie das Dreieck PRA zusammen-setzen. Also hat es den Flächeninhalt
1222422A21 =⋅⋅⋅+⋅= FE
-1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
R
A
P
I
D
P'
ZA'
I'
R'
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Punktspiegelung 407
1) Wo liegen die Zentren einer Punktspiegelung, die einen Kreis so abbildet, dass
der Bildkreis den ursprünglichen Kreis berührt?
2) Gegeben ist nun der Kreis k um M(4/3) mit Radius r = 2 cm. Konstruiere die bei-
den Zentren Z1 und Z2 so, dass der Bildkreis bei einer Punktspiegelung an Z1
bzw. Z2 sowohl den Kreis k wie auch die RW-Achse berührt. Zeichne auch die
Bildkreise ein.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Punktspiegelung 407 1) Mögliche Zentren sind alle Punkte der Kreislinie. 2) Zuerst sind die Mittelpunkte der beiden Kreise zu konstruieren. Sie liegen auf einem Kreis um M mit Ra-dius 4 cm und auf einer Parallelen zur RW-Achse im Ab-stand 2 cm. Die Zentren sind die Schnittpunkte der Verbindungen der Mittelpunkte mit der Kreislinie k.
MMMMZ1Z1Z1Z1Z2Z2Z2Z2
M1M1M1M1M2M2M2M2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Punktspiegelung 408
Zeichne die Strecken [AB] und [A’B’] mit A(-4/3), B(- 4/- 1), A’(4/- 3) und B’(4/1) in ein
Koordinatensystem ein. Sie sind punktsymmetrisch bezüglich des Zentrums Z(0/0).
a) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest
lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in x-Richtung verschiebt?
b) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest
lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in y-Richtung verschiebt?
Begründe deine Überlegungen!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Punktspiegelung 408
a) Mit jeder Längeneinheit, um die das Zentrum nach rechts verschoben wird,
verschiebt sich die Strecke [A’B’] um 2 LE nach rechts, denn das Zentrum
liegt immer in der Mitte der Strecke [AA’], und wenn sich die Mitte um eine LE
verschiebt, muss sich das Ende der Strecke um 2 LE verschieben.
b) Dabei verschiebt sich die Strecke [A’B’] um doppelt so viele Längeneinheiten
nach oben wie das Zentrum nach oben verschoben wird.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Punktspiegelung) 409
1. Teilbarkeit:
Welche der Zahlen 325, 954, 1005, 452, 546762 bzw. 10100019 sind durch 3
bzw. durch 6 bzw. durch 9 teilbar?
2. Primzahlen und Quadratzahlen:
Welche der Zahlen 1, 53, 169, 101, 64, 27, 289 bzw. 79 sind Quadratzahlen,
welche sind Primzahlen?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Punktspiegelung) 409
1. Regeln für die Teilbarkeit: Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Sie ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar ist. Durch 3 teilbar sind: 954, 1005, 546762, 10100019; durch 9 teilbar ist: 954 durch 6 teilbar sind 954 und 546762
2. Primzahlen sind: 53, 101, 79 Quadratzahlen sind: 1, 169, 64 und 289
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Punktspiegelung) 410
1. Wie viele verschiedene sechsstellige ungerade natürliche Zahlen besitzen
den Quersummenwert 3?
2. Wie viele verschiedene sechsstellige natürliche Zahlen besitzen den Quer-
summenwert 53? Gib alle an!
3. Wie viele verschiedene vierstellige ganze Zahlen kannst du aus den Ziffern 0,
1, 2 und 3 bilden, wobei die Ziffern beliebig oft vorkommen dürfen?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Punktspiegelung) 410
1. In der Zahl dürfen entweder 3 Ziffern 1 oder eine Ziffer 1 und eine Ziffer 2 vor-kommen. Alle anderen Ziffern müssen 0 sein, die weder vorne noch hinten stehen dürfen. Die Zahlen haben entweder das Aussehen 1XXXX1 oder 200001, wobei eines der X durch 1 zu ersetzen ist. Es gibt also 5 Zahlen, die die Bedingung erfüllen.
2. Um bei 6 Ziffern auf eine Quersumme von 53 zu kommen, müssen 5 Ziffern 9 sein und eine 8 vorkommen. Daher gibt es 6 verschiedene Zahlen, die die Bedingung erfüllen.
3. Es gibt für die Tausenderstelle 3 Möglichkeiten (1 oder 2 oder 3), für jede an-dere Stelle 4 Möglichkeiten, also gibt es 3⋅4⋅4⋅4 = 192 verschiedene Zahlen. (Zählprinzip)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Symmetrische Vierecke 501
Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besit-
zen:
a) Alle Seiten sind gleich lang.
b) Je zwei Gegenseiten sind gleich lang.
c) Zwei Gegenseiten sind gleich lang.
d) Je zwei aneinander stoßende Seiten sind gleich lang.
e) Alle Winkel sind gleich groß.
f) Je zwei Gegenwinkel sind gleich groß.
g) Zwei Gegenwinkel sind gleich groß.
h) Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Symmetrische Vierecke 501
a) Raute, Quadrat b) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck c) Gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck d) Drachenviereck, Quadrat e) Quadrat, Rechteck f) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck g) Drachenviereck, Parallelogramm, Raute h) Gleichschenkliges Trapez, Quadrat, Rechteck
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Symmetrische Vierecke 502
Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besit-
zen:
a) Das Viereck ist achsensymmetrisch.
b) Das Viereck ist punktsymmetrisch.
c) Das Viereck besitzt genau eine Symmetrieachse.
d) Das Viereck besitzt genau zwei Symmetrieachsen.
e) Genau eine Diagonale des Vierecks ist Symmetrieachse.
f) Die Diagonalen halbieren sich.
g) Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Symmetrische Vierecke 502
a) Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez
b) Parallelogramm, Quadrat, Raute, Rechteck
c) Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez
d) Rechteck, Raute
e) Drachenviereck
f) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck, Raute
g) Quadrat, Raute, Drachenviereck
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Symmetrische Vierecke 503
Steckbrief: Welches Viereck wird jeweils gesucht?
a) Ein Viereck, bei dem nur zwei Gegenseiten parallel und die beiden anderen
Seiten gleich lang sind.
b) Ein Viereck, das zugleich Rechteck und Raute ist.
c) Ein Viereck, das punktsymmetrisch bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts
ist.
d) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und gleich lang
sind.
e) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und aufeinander
senkrecht stehen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 503
a) gleichschenkliges Trapez
b) Quadrat
c) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck
d) Quadrat, Rechteck
e) Quadrat, Raute
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Symmetrische Vierecke 504
Gib zu jeder der Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist. Zeichne zu jeder falschen
Aussage ein Gegenbeispiel:
a) Ein Trapez, in dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren, ist ein Recht-
eck.
b) Ein Trapez, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.
c) Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
d) Jedes punktsymmetrische Viereck ist ein Parallelogramm.
e) Jedes Rechteck besitzt zwei gleich lange Diagonalen.
f) Jedes Viereck, das zwei gleich lange Diagonalen besitzt, ist ein Rechteck.
g) Bei einem Drachenviereck halbieren die Diagonalen die Winkel.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 504
a) Richtig b) Richtig c) Richtig d) Richtig e) Richtig f) Falsch; Gegenbeispiel: gleichschenkliges Trapez g) Falsch; Gegenbeispiel: ein Drachenviereck, bei dem die Diagonalen nicht
gleich lang sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Symmetrische Vierecke 505
Die Punkte A(1/- 1), B(4/0) und D(0/2) sind Eckpunkte einer Raute ABCD. Konstruie-
re die Ecke C und gib ihre Koordinaten sowie die Koordinaten des Diagonalen-
schnittpunkts M an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Symmetrische Vierecke 505
C(3/3), M(2/1)
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
A
B
D
C
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Symmetrische Vierecke 506
Die Punkte P(1/1) und Q(3/- 1) sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [BC] des
Quadrates ABCD. Konstruiere die vier Eckpunkte und gib an, wie viel Prozent der
Fläche des Quadrats im IV. Quadranten liegen.
Fertige eine Planfigur und beschreibe deine Konstruktion!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Symmetrische Vierecke 506 Man erhält B, indem man z.B. an
die Strecke [MN] in M und N jeweils einen 45°-Winkel an-trägt. Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt B. A liegt auf der Halbgeraden [BM und Kreis um M durch B; C erhält man entsprechend. D ist z.B. der Schnittpunkt der Lote auf AB in A und BC in C.
25 % der Fläche des Quadrats liegen im IV. Quadranten. 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
M
NB
A
C
D
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Symmetrische Vierecke 507
Konstruiere das Drachenviereck ABCD mit A(2/5), C(- 1,5/1,5) und D(?/- 1), wenn
gilt: 8BD = cm. Die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist BD.
Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 507 D liegt auf der Symmetrie-
achse zu [AC] und auf der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt (0/-1).
B liegt auf der Symmetrie-achse zu [AC] und dem Kreis um D mit Radius 8.
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
A
C
D
B
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Symmetrische Vierecke 508
Zeichne das Schrägbild eines Würfels ABCDEFGH der Kantenlänge a = 4 cm. Dabei
sollen die nach hinten verlaufenden Würfelkanten in halber Länge schräg unter ei-
nem Winkel von 45° angetragen werden.
Um welche Art von Viereck handelt es sich beim Viereck ABGH? Zeichne das Vier-
eck in wahrer Größe.
Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Vierecks ABGH ungefähr größer als
der des Quadrates ABCD?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Symmetrische Vierecke 508
Das Viereck ABGH erscheint in der Zeichnung verzerrt. In Wirklichkeit ist es ein Recheck, wobei [BG] bzw. [AH] ebenso lang sind wie die Strecke [AF] in der Zeichnung, al-so ungefähr 5,6 cm. (Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man diese Streckenlänge auch berech-nen.)
Die Flächeninhalte betragen: AABCD = 16 cm2, AABGH ≈ 22,4 cm2
Das Viereck ABGH ist damit um ungefähr 40 % größer als das Viereck ABCD.
A B
CD
E F
GH
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 509
Bruchrechnen:
Berechne:
a) 1825
53 ⋅ b)
43:25,1 c) 3,0:1
52
d) 2,0421 ⋅ e) 16:
74 f)
412:18
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 509
a) 6
5 b)
3
21
3
5= c)
3
24
3
14=
d) 9,010
9= e)
28
1 f) 8
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 510
Bruchrechnen:
Berechne:
a) 43
52 71,64 −+−
b) 65
54 13,31 +−
c) 252:643
32 ⋅−
d) ( ) ( ) ( )32
41 5,45,1:5 −⋅−+−
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 510
a) … = - 4,4 + 6,1 – 7,75 = 6,1 – 12,15 = - 6,05 = 2016
b) … = 103
309
3010
3019
3010
3025
3024 33311 ==−=−+
c) … = 61
63
62
23
31 8113103 −=−=−
d) … = ( ) ( ) ( )21
27
32
29
32
421 3 −=+−=−⋅−+−⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 511
Bruchrechnen:
1. Welche Zahl muss für das Kästchen � eingesetzt werden, damit die Glei-
chung richtig ist?
( )61
51
31 −−�=−
2. Wähle aus der Menge der Zahlen { }18;;;5,1;631
103−−− zwei Zahlen so aus,
dass ihr Quotient
a) den kleinstmöglichen Wert
b) den größtmöglichen Wert annimmt!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 511
1. Der Hauptnenner aller Brüche ist 30: ( )
103
309
305
304
305
306
3010
=�=
−−�=
−−�=−
2. a) Der kleinstmögliche Wert ist negativ. Dafür müssen Divisor und Dividend verschiedene Vorzeichen haben, und der Betrag des Dividenden möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein:
( ) 60:18103 −=−
b) Der größtmögliche Wert ist positiv. Dafür müssen beide Zahlen gleiches Vorzeichen besitzen, und der Betrag des Dividenden muss möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein.
54:1831 =
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 601
Ein Gemeindegebiet hat eine Fläche von 480 ha. In der Zeichnung ist dabei der Anteil des Waldes dunkelgrün, der der Wiesen hellgrün, der der Häuser rot, der des Ackerlandes blau und sonstige Flächen gelb dargestellt. Miss die Winkel und gib die Größe der jeweiligen Fläche an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 601
1. Wald: 1350 entspricht 135
360
3
8= der Gesamtfläche = 180 ha
Wiese: 600 entspricht 1
6 der Gesamtfläche = 80 ha
Ackerland: 900 entspricht 1
4 der Gesamtfläche = 120 ha
Häuser: 450 entspricht 1
8 der Gesamtfläche = 60 ha
Sonstiges: 300 entspricht 1
12 der Gesamtfläche = 40 ha
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 602
Zeichne die Winkel α = 480 und ß = 350 mit dem Winkelmesser. Konstruiere durch
Winkelübertragung mit Zirkel und Lineal folgende Winkel:
a) 2α b) 3ß c) 3ß - α d) 3ß + 2α
Miss zur Kontrolle die von Dir konstruierten Winkel nach!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 602
rechnerische Lösungen:
a) 960 b) 1050 c) 570 d) 2010
(Abweichungen um bis zu 30 in Deiner Zeichnung sind vertretbar.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 603
Die Winkel α = 1370 17“ und ß = 810 20’ 55“ sind gegeben. Berechne
a) α + ß b) α - ß c) 1800 - α d) 900 - ß
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 603
a) α + ß = 2180 21’ 12“ b) α - ß = 550 39’ 22“
c) 180 - α = 420 59’ 43“ d) 90 - ß = 80 39’ 5“
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 604
1. Rechne folgende Winkel um in eine Angabe aus Grad, Minuten und Sekunden:
a) 53,430 b) 78,780
2. Ermittle die dezimale Schreibweise folgender Winkel:
a) 720 51’ b) 240 16’ 12“
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 604
1. 0,10 = 1
1060 6⋅ =' ' 0,010 =
1
1003600 36⋅ =" "
a) 53,430 = 53 4 6 3 36 53 24 108 53 25 480 0 0+ ⋅ + ⋅ = + + =' " ' " ' "
b) 78,780 = 78 7 6 8 36 78 42 288 78 46 480 0 0+ ⋅ + ⋅ = + + =' " ' " ' "
2. a) 720 51’ = 7251
6072
17
2072 850
00
00+ = + = ,
b) 240 16’ 12“ = 2416
60
12
360024
4
15
1
30024
81
3000
0 00
0 00
0
+ + = + + = + =
= 2427
10024 270
00+ = ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 605
1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´): a) 90´ b) 120´ c) 400´´ d) 5° 140´ e) 3600“
2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ): a) 3° 30´ b) 11°40´ c) 6´ 7´´ d) 2° 8´ 50´´ e) 15° 10´ 20´´ f) 90° 30“
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 605
1. a) 1° 30´ b) 2° c) 6´ 40´´ d) 5° + 2° 20´ = 7° 20´ e) 60´ = 1°
2. a) 210´ b) 660´ + 40´ = 700´ c) 367´´ d) 120´ + 8´ 50´´ = 128´ 50´´ = 7730´´ oder 120´ + 530´´ = 7200´ + 530´´ = 7730´´ e) 900´ + 10´ 20´´ = 910´ 20´´ = 54600´´ + 20´´ = 54620´´ f) 5400´ + 30´´ = 324 000´´ + 30´´ = 324 030´´
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 606
1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´):
a) 10 000´
b) 1 234´´
c) 58´ 243´´
d) 23° 57´ 180´´
e) 99° 111´ 22 222´´
2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ):
a) 3° 30´´
b) 110°40´
c) 60´ 7´´
d) 12° 98´ 50´´
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 606
1. a) 166° 40´
b) 20´ 34´´
c) 1° 2´ 3´´
d) 24°
e) 107° 1´ 22´´
2. a) 180´ 30´´ = 10 830´´
b) 6 640´
c) 3607´´
d) 49 130´´
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 607
Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr
einschließen, wenn es
a) 13.00 Uhr b) 19.00 Uhr
c) 9.30 Uhr d) 8.45 Uhr
e) 16.10 Uhr f) 11.11 Uhr ist
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 607
Hinweis: Wenn der Stundenzeiger um 1 Stunde weiterwandert, entspricht das 30°. Der Minutenzeiger wandert in
1 Minute um 6°.
a) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger steht auf 1. Der Winkel ist also 30°. b) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger zeigt auf 7. Der Winkel ist also
5•30° = 150°. c) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 9 und 10.
Der Winkel ist also 3•30° + 15° = 105°.
d) Der Minutenzeiger steht 9, der Stundenzeiger ist um 4
1
60
15= von 30° von der 9 entfernt.
Der Winkel ist also 4
1 von 30° = 7,5°.
e) Der Minutenzeiger steht auf der 2. Der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist um
6
1
60
10= von 30 ° von der 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 2•30° + 5° = 65°.
f) Der Minutenzeiger steht 1•6° nach der 2, der Stundenzeiger ist von der 11 um 11•0,5° weitergerückt. Der Winkel ist also 3•30° + 6° - 11•0,5° = 90,5°.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 608
Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr
einschließen, wenn es
a) 14.30 Uhr b) 23.15 Uhr
c) 16.40 Uhr d) 7.23 Uhr ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 608
a) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 2 und 3. Der Winkel ist also 3 30 150 0⋅ + = 1050 .
b) Der Minutenzeiger zeigt auf 3, der Stundenzeiger ist um 15
60
1
4= von 300 von 11
weitergerückt. Der Winkel ist also 3 30 22 50 0⋅ + , = 112,50 . c) Der Minutenzeiger zeigt auf 8, der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist
um 40
60
2
3= von 300 von 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 4 30 200 0⋅ − = 1000 .
d) Der Minutenzeiger steht 7 60⋅ vor der 6, der Stundenzeiger ist von 7 um 23 0 50⋅ ,
weitergerückt. Der Winkel ist also 420 + 300 + 11,50 = 83,50
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 609
1. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < (g,h), < (h,k), < (k,l), < (l,h), < (h,g), < (k,h).
2. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < ABC, < BCD, < CDE,
< EDF, <EDC, <ABD
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 609
h
k g
l
B
C D
A
E
F
< (h,g)< (h,g)< (h,g)< (h,g)
kkkk
hhhh
llll
< (g,h)< (g,h)< (g,h)< (g,h)
< (l,h)< (l,h)< (l,h)< (l,h)
< (h,k)< (h,k)< (h,k)< (h,k)
< (k,l)< (k,l)< (k,l)< (k,l)
< (k,h)< (k,h)< (k,h)< (k,h)
gggg
AAAA BBBB
CCCCDDDD
EEEE
FFFF
< CDE< CDE< CDE< CDE
< EDF< EDF< EDF< EDF
< EDC< EDC< EDC< EDC
< BCD< BCD< BCD< BCD
< ABC< ABC< ABC< ABC
< ABD< ABD< ABD< ABD
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Wiederholung: Winkel 610
1. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen Punkte oder Schenkel:
2. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen
Punkte oder Schenkel:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Wiederholung: Winkel 610
1. rot: < BEC
blau: < ECB
grün: < BAD
violett: < CBE
2. rot: < (m,k)
blau: < (l,k)
gelb: < (g,l)
grün: < (k,g)
violett: < (h,m)
kkkk
mmmm
llllAAAA
gggg hhhh
AAAA BBBB
CCCC
DDDD
EEEE
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Wiederholung: Winkel 611
1. Gegeben ist der Winkel a = 70° und eine Halbgerade [SX. Übertrage a so, dass S der Scheitel und [SX
a) der erste Schenkel b) der zweite Schenkel
ist. 2. Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von a) 135° b) 220°.
Übertrage die Winkel in ein Koordinatensystem so, dass der erste Schenkel mit [ST zusammenfällt, wenn S (1|1) und T(5|2) ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Wiederholung: Winkel 611
aaaa
AAAA
SSSS
XXXX
aaaa
AAAA
SSSS
XXXXPPPP
a1a1a1a1
a2a2a2a2
SSSS
TTTT
135.0 ° 135.0 ° 135.0 ° 135.0 °
220.0 ° 220.0 ° 220.0 ° 220.0 °
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Wiederholung: Winkel 612
1. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 3 spitzen Winkeln („spitzwinkliges Dreieck“).
Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere die Größe
die entstandenen Winkels.
2. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 1 stumpfen Winkel („stumpfwinkliges
Dreieck“). Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere
die Größe die entstandenen Winkels. Was fällt auf, wenn du die Ergebnisse aus
1. und 2. vergleichst?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Wiederholung: Winkel 612
1. und 2.: Größe des neuen Winkels jeweils 180°. (Ungenauigkeiten bis 3° erlaubt!) Hinweis: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180°!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 701
In nebenstehender Skizze ist α = 380 27’
a) Gib α in dezimaler Schreibweise an.
b) Berechne die Winkel ß , γ und δ .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 701
a) α = + = =3827
6038
9
2038 45
0 0
0o,
b) ß = 1800 - 900 - 38,450 = 51,550
γ = α (Scheitelwinkel) δ = 1800 - γ = 141,550
α
ß γ
δ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702
In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) sind die Winkel α1 + ß1 = 88° und
α2 + γ2 = 134°. Berechne alle Winkel!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702
Es ist: α1 + ß1 + γ1 = 180°.
Außerdem ist α1 + ß1 + α2 + γ2 = 88° + 134° = 222° und γ2 = γ1 .(Scheitelwinkel)
Daher muss α2 = 42° sein.
α1 = 42°, da Scheitelwinkel zu α2.
ß1 = 46° = ß2 und
γ1 = γ2 = 92°
α1
ß1
γ1
α2
γ2
ß2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 703
Gegeben ist die skizzierte Geradenkreuzung der vier Geraden g, h, s und t. Dabei sind die Geraden g und h parallel.
a) Gib alle Winkel an, die so groß sind wie α1 . (Gib als Begründung das verwendete Winkelgesetz in einem Stichwort an.)
b) Nun ist weiter bekannt, dass α2 dreimal so groß ist wie α1 . Außerdem ist γ3 = 720 . Berechne die Winkel α1 , α2 , α6 und β3 .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 703
a) α4 (Scheitelwinkel), ß2 (Wechselwinkel) und ß4 (Stufenwinkel)
b) α1 + α2 = 1800 − 720 = 1080 (Nachbarwinkel zu γ3 )
α2 = 3α1 ⇒ α1 = 1080 : 4 = 270 ⇒ α2 = 810
α6 = γ3 = 720 (Stufenwinkel)
ß3 = 1800 - α1 = 1530 (Nachbarwinkel)
gggg
hhhh
sssstttt
α1 α2 α3
α4 α5
α6
γ3
γ4 γ1
γ2
ß1
ß2 ß3
ß4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 704
In der Figur gilt: g // h , α = 53,50 ,
δ = 112,10 . Berechne ß .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 704
ß = δ − α = 112,10 - 53,50 = 58,60
(ß ist Scheitelwinkel zu δ - α1 , α1 ist Stufenwinkel zu α)
53.5 ° 53.5 ° 53.5 ° 53.5 °
112.1 ° 112.1 ° 112.1 ° 112.1 °
gggg
hhhh
δ
α
ß
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 705
In der Zeichnung sind die Halbgeraden g und h parallel. Berechne die Winkel α und
ß!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 705
Man zeichnet als Hilfslinie in der „Mitte“ noch eine Parallele zu g und h.
α1 ist Z-Winkel zu 52°, α2 ist
Z-Winkel zu 69°. Daher ist
α = 52° + 69° = 121° und
ß = 360° - 121° = 239°
52 °
g h
69 °
ß
α
52 °
g h
69 °
α1 α2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 706
Zeichne ein Trapez ABCD mit [AB] || [CD] und α = 50° und ß = 80°.
Berechne die anderen Innenwinkel γ und δ.
Formuliere einen Satz für die Innenwinkel eines Trapezes.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 706
γ = 180° - ß = 100° (Nachbarwinkel zu ß)
δ = 180° - α = 130° (Nachbarwinkel zu α)
Aussage: Je zwei Winkel, die an einem Schenkel des Trapezes anliegen ergänzen
sich zu 180°.
Es gilt aber auch folgende Aussage:
Die Summe der Innenwinkel eines Trapezes ist 360°.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 707
Berechne alle im Inneren des Buchstaben liegende Winkel und gib sie mit Hilfe der
gegebenen Punkte an!
(Vgl. Cornelsen: Fokus Mathematik 7 / S. 40/ Nr. 27)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 707
∠CBA = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)
∠DCB = 360° - 120° = 240° (∠BCD = ∠CBA, da Wechselwinkel)
∠MKI = 360° - ∠IKM = 360° - 60° = 300° (∠IKM = ∠DCK = 180° - ∠BCD = 60°)
∠AHG = 180° - 60° = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)
∠LMK = 360° - ∠KML = 360° - (180° - ∠IKM) = 240°
Die Winkel der rechten Hälfte der Figur entsprechen den berechneten Winkeln, da
sie symmetrisch sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708
Begründe zunächst, dass die beiden
Geraden g und h nicht parallel sind. Ändere
nun die Größe des Winkels
a) α b) ß
c) γ
so ab, dass g und h zueinander parallel sind.
Bei jeder Teilaufgabe sollen die beiden
anderen Winkel unverändert bleiben.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708
Der Stufenwinkel zu α ist 180° - (ß’ + γ) = 180° - (36° + 81°) = 63° ≠ α
Daher sind g und h nicht parallel. (ß’ ist der Scheitelwinkel von ß.)
a) α = 63° (durch Drehung von g)
b) ß = 38° ( durch Drehung der aller Geraden außer g))
c) γ = 83° (durch Drehung von h)
81 °
36 °
61 ° α
γ
ß
g
h
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Winkel an 709
1. Gib in der in Klammern angegebenen Einheit an:
a) 0,65 m3 ( dm3 ) b) 0,05 ha ( m2)
c) l83 (mm3 ) d)
504 km2 ( a )
e) 65 cm ( km ) f) 702519 m ( km)
2. Sortiere folgende Längenangaben nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten!
69 cm; 0,7 dm; 688 mm; 0,067 m; 6,85 dm; 32 m
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Winkel an 709
1.a) 650 dm3 b) 50000 m2
c) 375 mm3 d) 800 a
e) 0,00065 km f) 0,07076 km
2. 0,7 dm < 32 m < 6,85 dm < 688 mm < 69 cm
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Winkel an 710
Die Spielerinnen einer Handballmannschaft haben folgende Körpergrößen:
1,62 m; 1,75 m; 1,78 m; 1,63 m; 1,88 m;1,69 m.
Berechne den arithmetischen Mittelwert ihrer Körpergrößen!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Winkel an 710
Der Durchschnitt ihrer Körpergrößen ist:
m725,1m6
35,10m
6
69,188,163,178,175,162,1==
+++++
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 801
1) In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 900 und γ = 270 . Wie groß ist ß ?
2) Wie groß sind die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn γ = 900 ist und
a) α dreimal so groß ist wie ß. b) α um 240 größer als ß ist ?
3) In einem Dreieck ist α = ß. Der Winkel γ ist
a) um 330 kleiner als ß b) viermal so groß wie ß.
Berechne die Winkel.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 801
1) ß = 630
2) a) β = 22,50 , α = 67,50 b) α = 570 , β = 330
3) a) β + β + (β − 330) = 1800 ⇒ β = 710 = α , γ = 380
b) β + β + 4β = 1800 ⇒ β = 300 = α , γ = 1200
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 802
1) In einem Dreieck ist γ halb so groß wie ß und α ist ein Drittel von γ . Berechne alle
drei Winkelgrößen.
2) In der Skizze gilt: AC ⊥ AB , AD ⊥ BC,
w ist Winkelhalbierende von γ .
Berechne σ .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 802
1) α + β + γ = 1800
γ α γ= ⇒ = ⇒ = ⇒ =1
2
1
6180 1800 0ß ß ß =
1
3ß
1
6ß +ß +
1
2
5
3
⇒ β = 1080 , γ = 540 , α = 180
2) γ = 1800 − 900 − 320 = 580 (Winkelsumme im ∆ABC) ⇒ ∠ACE = 290
∠DAC = 1800 - 580 - 900 = 320 (Winkelsumme im ∆ADC)
α = 1800 − ∠DAC - ∠ACE = 1800 - 320 - 290 = 1190
(Winkelsumme im Dreieck ASC und Scheitelwinkel)
320
σ
A B
C
D
w
γ
E
S
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 803
In der Skizze gilt: g // h .
Berechne aus den angegebenen
Winkelgrößen die Winkel α γ δ, , ,ß
und ε mit Hilfe der Winkelgesetze.
Gib zu jedem Winkel den
verwendeten Sachverhalt in
Stichworten an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 803
α = 1800 − 1100 = 700 (Nachbarwinkel zu 1100 bzw. Scheitelwinkel)
ε = 1100 (Scheitelwinkel zu 1100)
ß = 1800 - 700 - 420 = 680 (Winkelsumme)
γ = 1800 − 420 = 1380 (Nebenwinkel zu 420)
δ = 1800 − γ = 1800 − 1380 = 420 (Nachbarwinkel zu γ und Scheitelwinkel)
42.0 ° 42.0 ° 42.0 ° 42.0 °
110.0 ° 110.0 ° 110.0 ° 110.0 °
gggg
hhhh
α
ß
γ
δ
ε
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 804
In der Skizze gilt: g // h.
Berechne aus den
angegebenen
Winkelgrößen die Winkel
α γ δ, , ,ß und ε mit Hilfe
der Winkelgesetze.
Gib zu jeder Berechnung
eine kurze Begründung an.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 804
β = 1800 − 1400 = 400 (Nebenwinkel)
δ = β = 400 (Stufenwinkel zu ß)
γ‘ = 1800 - 900 - 400 = 500 (Winkelsumme im Dreieck)
γ = 1800 - 500 = 1300 (Nebenwinkel zu γ‘)
α = 1800 − γ = 500 (Nachbarwinkel zu γ)
ε = 1800 − 900 − α = 400
140.0 ° 140.0 ° 140.0 ° 140.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
gggg
hhhh
ß α
γ
ε
δ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 805
a) Welche Voraussetzung muss erfüllt
sein, dass man zur Berechnung von
Winkeln in der Figur die Gleichheit
von Stufenwinkeln verwenden kann?
b) Ermittle die Größe des Winkels α.
Begründe Deine Rechenschritte.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 805
a) g muss parallel zu h sein.
b) ß = 1800 - 126,20 = 53,80 (Nebenwinkel zu 126,20)
α = 53,80 + 93,50 = 147,30 (der Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht
anliegenden Innenwinkel im Dreieck)
gggghhhh
126,20
93,50
α
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 806
In der Skizze gilt:
CF // AB , AD // BF
a) Bestimme die Winkel α und φ.
b) Welche Bedeutung hat der Winkel ß
für das Dreieck EFB?
c) Berechne ß und gib an, wo er
nochmals in der Skizze auftritt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 806
a) φ = 74,90 (Stufenwinkel)
α = 1800 - 46,10 - 74,90 = 590 (Winkelsumme im ∆AED)
b) ß ist ein Außenwinkel des Dreiecks BEF
c) ß = 74,90 + 46,10 = 1210
Er tritt nochmals als Stufenwinkel bei A bzw. bei C auf.
46.1 ° 46.1 ° 46.1 ° 46.1 °
74.9 ° 74.9 ° 74.9 ° 74.9 °
A
B C
D
E
F
α
ß
φ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 807
In der Zeichnung gilt: g // h und
p // q . Außerdem sind die
markierten Winkel gegeben.
Berechne die Größe von ∠DAE
und ∠CBD .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 807
∠CBA = 1800 - 119,90 = 60,10 (Nebenwinkel)
∠DAE = 86,30 - 60,10 = 26,20 (Hinweis: Stufenwinkel zu ∠CBA)
∠BAD = 1800 - 86,30 = 93,70 (Nebenwinkel)
∠DBA = 1800 - 43,10 - 93,70 = 43,20 (Winkelsumme im ∆ABD)
∠CBD = 1800 - 119,90 - 43,20 = 16,90
43.1 ° 43.1 ° 43.1 ° 43.1 °
119.9 ° 119.9 ° 119.9 ° 119.9 ° 86.3 ° 86.3 ° 86.3 ° 86.3 °
gggg
hhhh
pppp qqqq
AAAA BBBB
CCCCDDDDEEEE
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 808
Berechne α , γ und δ in der Zeichnung. Die beiden mit α bzw. mit γ bezeichneten
Winkel sind gleich groß.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 808
γ = (1800 − 460) : 2 = 670
α = (1800 − 670) : 2 = 56,50
δ = 1800 − (1800 − α) − 460 = 10,50
46.0 ° 46.0 ° 46.0 ° 46.0 °
γ
γ
α α
δ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 809
In einem Dreieck ist der Winkel ß = 72°. Berechne die anderen Winkel, wenn
bekannt ist, dass:
a) α 60 % von ß ist;
b) α 60 % von γ ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 809
a) °=°+°−°=γ⇒=⋅=⋅=α 8,64)2,4372(1802,4372ß 00106
106
b) γ⋅=α
°=°−°=γ+α
106
10872180 ⇒ °=γ⇒°=γ⋅ 5,67108
1016
°=α 5,40
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 812
Zeichne die Drachenfliegerfigur mit den gegebenen Abmessungen in dein Heft.
Berechne zuerst die Winkel, die du
für eine Konstruktion brauchst.
(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 45/ Nr. 23)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 812
Du musst die Winkel der beiden Dreiecke jeder Seite berechnen. Das Dreieck, das
direkt an der Achse anliegt, besitzt die Winkel 110°, 45° und 25°, das außen
gelegene Dreieck besitzt die Winkel 135°, 15° und 30°. Nun kannst du zuerst das
außen liegende Dreieck, dann das an die Achse grenzende Dreieck und dann durch
Achsenspiegelung den gesamten Drachen konstruieren.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 813
Der rechteckige Grundriss eines
Raumes hat die angegebenen Maße. In
der Ecke E steht ein Scheinwerfer, der
den gelb markierten Teil des Raumes
mit seinem Lichtkegel beleuchtet.
Ermittle den Flächeninhalt der
beleuchteten Bodenfläche. Wie viel
Prozent der gesamten Bodenfläche sind
beleuchtet?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck 813
ARechteck = 80 m2
Agelbes Dreiieck = m 8m 721 ⋅⋅ = 28 m2.
Anteil der beleuchteten Fläche = 10035
207
8028 == = 35 %
E
A B
C
D
3m
8m
10m
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 814
Ein Walmdach fällt nach allen Seiten
schräg ab. Das abgebildete Walmdach
soll neu eingedeckt werden.
Gegenüberliegende Dachflächen haben
die gleichen Abmessungen. Berechne
die einzudeckende Dachfläche.
(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 38/ Nr. 3)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck 814
Vorne: ( ) 2,674,6912A21
Trapez =⋅+⋅= (in m2)
Seitlich: 8,202,58A21 =⋅⋅=∆
Insgesamt: 67,2 m2⋅2 + 20,8 m2
⋅2 = 134,4 m2 + 41,6 m2 = 176 m2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 815
DAGOBERT besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken DRT und GOB und zwei
Quadraten DAER und AGBE.
Berechne die Winkel ∠TEO und ∠ATE.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 815
∠TRE = 60° + 90° = 150°
Das Dreieck TER ist gleichschenklig mit Basis [TE]. ∠ETR = (180° - 150°):2 = 15°
Genauso findet man den Winkel ∠DTA = 15°.
Daher ist ∠ATE = 60° - 2⋅15° = 30°.
∠RET = ∠ETR = 15° ⇒ ∠TEO = 180° - 2⋅15° = 150°.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 816
Drei Strecken schneiden sich in einem Punkt und
sind paarweise miteinander verbunden wie es in
der Zeichnung dargestellt ist. Wie groß ist die
Summe der markierten Winkel?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 816
Die Summe der Innenwinkel in den drei Dreiecken beträgt 3⋅180° = 540°. Von den
sechs Winkeln, die im Schnittpunkt der Geraden in der Mitte der Figur entstehen,
sind jeweils zwei gleich groß, da es Scheitelwinkel sind. Daher ist die Summe der
drei in den Dreiecken gelegenen Winkel 360° : 2 = 180°. Somit ergibt sich als
Summe der markierten Winkel 540° - 180° = 360°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 901
1) Berechne die Größe des vierten Innenwinkels eines Vierecks, wenn die drei
anderen gegeben sind:
a) α = 770 , ß = 580 , γ = 800 b) α = γ = 250 , δ = 1000
2) Ein Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Trapez.
a) Berechne im Trapez ABCD, in dem AB // CD ist und α = 430 , γ = 780 sind, die
Winkel ß und δ . (Fertige eine Skizze!)
b) In einem weiteren Trapez ABCD ist AB // CD , AD ⊥ BC und α = 330 . Berechne ß,
γ und δ . (Fertige eine Skizze!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 901
1) a) δ = 1450 b) ß = 2100
2) a) δ = 1800 - α = 1370 (Nachbarwinkel zu α)
ß = 1800 - γ = 1020 (Nachbarwinkel zu γ)
b) β = 1800 − α − 900 = 570 (Winkelsumme im ∆ABE)
δ = 1800 − α = 1470
γ = 1800 − β = 1230
A B
C D
E
900
330
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 902
In der gezeichneten Figur ist δ = 79,60 , ε = 54,70 , σ = 110,20.
Berechne α , ß , γ und τ .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 902
β = 1800 − δ = 100,40 (Nebenwinkel)
γ = ε = 54,70 (Scheitelwinkel)
α = 1800 − β − γ = 24,90 (Winkelsumme im Dreieck)
τ = 3600 − 900 − σ − ε = 105,10 (Winkelsumme im Viereck)
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
54.7 ° 54.7 ° 54.7 ° 54.7 °
110.2 ° 110.2 ° 110.2 ° 110.2 °
79.6 ° 79.6 ° 79.6 ° 79.6 °
δ
ε
σ
α
ß γ
τ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Winkelsumme im Viereck 903 Berechne σ , τ und γ , wenn gegeben ist:
α = 45,60 , β = 25,60 , ε = 36,60 , δ = 124,60 .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Winkelsumme im Viereck 903
β1 = 1800 − δ − ε = 18,80 (Winkelsumme im Dreieck) ⇒ σ = β + β1 = 44,4
0
γ = 1800 − α − σ = 900 (Winkelsumme im Dreieck)
τ = 3600 − σ − δ − γ = 360° - 259° = 101° (Winkelsumme im Viereck)
124.6 ° 124.6 ° 124.6 ° 124.6 °
25.6 ° 25.6 ° 25.6 ° 25.6 °
45.6 ° 45.6 ° 45.6 ° 45.6 °
36.6 ° 36.6 ° 36.6 ° 36.6 °
σ
τ γ α
ß
ε
δ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 904
In Vierecken sind die Winkel entsprechend der zugehörigen Ecken benannt; d.h. zu
A gehört α, zu B ß usw.
Berechne alle anderen Winkel des jeweiligen Vierecks ABCD, wenn folgendes
bekannt ist:
a) Das Viereck ist ein Parallelogramm und α = 65°.
b) Das Viereck ist ein Drachenviereck mit α = 70 ° und ß = 80° und
Symmetrieachse BC.
c) Das Viereck ist ein Trapez mit BC || AD und ß = 72° und γ = 67°.
d) Das Viereck ist eine Raute mit δ = 73°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 904
a) γ = α = 65°, ß = δ = (360° - 130°) : 2 = 115°
b) γ = α = 40°; δ = 360° - (70° + 70° + 80°) = 140°
c) α = 180° - ß = 108°; δ = 180° - γ = 113°
d) ß = δ = 73°; α = γ = (360° - 2⋅73°) : 2 = 214° : 2 = 107°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 905
Berechne:
a) 0,91 m – 38 cm – 2,5 dm b) 5,9 a – 53 m2 + 0,16 ha
c) 323 t – 750 kg d) 4,2 h – 1 h 45 min
e) 17 min 25 s + 3,8 min f) 4,5 m ⋅ 80 cm
g) 3,2 km2 : 800 m h) 15 ha : 75 a
i) 45 l : 50 cm2 j) 1,5 m ⋅ 8 dm2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 905
a) … = 91 cm – (38 cm + 25 cm) = 28 cm
b) … = 590 m2 + 1600 m2 – 53 m2 = 2137 m2 0 21,37 a
c) … = t2tt3tt31211
129
128
43
32 =−=−
d) … = 4 h 12 min – 1 h 45 min = 2 h 27 min
e) … = 17 min 25 s + 3 min 48 s = 21 min 13 s
f) … = 45 dm ⋅ 8 dm = 360 dm2 = 3,6 m2
g) … = 3,2 km2 : 0,8 km = 4 km
h) … = 1500 a : 75 a = 20
i) … = 45000 cm3 : 50 cm2 = 900 cm = 9 m
j) … = 15 dm ⋅ 8 dm2 = 120 dm3 = 120 l = 0,12 m3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 906
Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Größen der
Rechtecke:
Länge Breite Flächeninhalt Umfang
5,2 cm 2,7 cm
3,9 m 19,1 m
0,75 km 17,1 ha
36 a 300 m
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 906
Länge Breite Flächeninhalt Umfang
5,2 cm 2,7 cm 14,04 cm2 15,8 cm
5,65 m 3,9 m 22,035 m2 19,1 m
0,75 km 228 m 17,1 ha 1956 m
120 m 30 m 36 a 300 m
(letzte Zeile durch Probieren!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 907
a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 13,5 m2. Wie lang sind seine
Kanten und wie groß ist sein Volumen?
b) Ein Würfel hat einen Rauminhalt von 729 l. Wie groß ist sein
Oberflächeninhalt?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 907
a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels der Kantenlänge a ist 6⋅a2.
a2 = 1350 dm2 : 6 = 225 dm2 . Also ist a = 15 dm.
Das Volumen des Würfels ist a3. Also ist es 3375 l.
b) V = 729 dm3. Durch Probieren findet man a = 9 dm.
Der Oberflächeninhalt ist dann 6⋅ 9 dm2 = 486 dm2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Winkelsumme im Vieleck 908
Die Zeichnung zeigt ein
gleichseitiges Dreieck und ein
regelmäßiges Fünfeck. Wie groß ist
der Winkel x?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Winkelsumme im Vieleck 908
Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 60°, die des Fünfecks 540° : 5 = 108°.
Dann sind die Innenwinkel des unten links gelegenen Dreiecks 60°, 72° und 48°.
Der Winkel x ist Nebenwinkel zum 48°-Winkel, also x = 180° - 48° = 132°.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Berechnen von Termen 1001
Lasse bei folgenden Termen zur Vereinfachung der Schreibweise überflüssige
Klammern und Malpunkte weg:
a) ( )yx25 ⋅⋅+ b) ( )nk:6 ⋅ c) ( )yx510 +⋅⋅
d) ( )1xx10 +⋅⋅ e) ( ) ( )3x3x +⋅− f) ( )[ ]yx:2x3 ⋅+⋅
g) ( )213:
2
x510⋅
⋅− h) ( )[ ] xz:y:x ⋅ i) ( )x73x:x ⋅⋅+
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Berechnen von Termen 1001
a) 5 + 2xy b) kn:6 c) ( )yx510 +⋅
d) 10x(x + 1) e) (x – 3)(x + 1) f) [ ]xy:2x3 +
g) ( )213:
2
x510⋅
− h) ( )[ ]xz:y:x i) ( )x73x:x ⋅+
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1002
Schreibe zu folgenden Beschreibungen die jeweiligen Terme auf:
a) Bilde die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 17.
b) Addiere 17 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit 2.
c) Dividiere eine Zahl durch die um 2 verkleinerte Zahl.
d) Multipliziere eine Zahl mit ihrem Vorgänger.
e) Addiere die Hälfte einer Zahl zum Dreifachen der um 5 vergrößerten Zahl.
f) Addiere zum Quadrat einer Zahl die 3. Potenz dieser Zahl und dividiere das
Ergebnis durch 10.
g) Der Term ist das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und der Differenz
dieser Zahlen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1002
a) 2x + 17
b) 2(x + 17)
c) x : ( x - 2)
d) x(x – 1)
e) ( ) x5x321++
f) (x2 + x3) : 10
g) (x + y)(x – y)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1003
Gib zu jedem der Terme eine Rechenanweisung an:
a) ( )x1xxT += b) ( )
3a
3aaT
−
+=
c) ( ) 22 ba4b;aT −= d) ( )yx
xyy;xT
+=
e) ( ) ( )cbaabcc;b;aT ++= f) ( )2k
1
k
1kT −=
g) ( ) ( )( )6
2n1nnnT
−−= , wobei n eine natürliche Zahl größer 2 ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1003
a) Addiere zu einer Zahl ihren Kehrwert.
b) Dividiere die Summe von a und 3 durch die Differenz von a und 3.
c) Subtrahiere vom vierfachen Quadrat der ersten Zahl das Quadrat der zweiten
Zahl.
d) Dividiere das Produkt zweier Zahlen durch die Summe der beiden Zahlen.
e) Multipliziere das Produkt dreier Zahlen mit der Summe der drei Zahlen.
f) Subtrahiere vom Kehrwert der Zahl den Kehrwert des Quadrats der Zahl.
g) Bilde das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen und dividiere es durch
die Zahl 6.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1004
Ermittle die Definitionsmenge der folgenden Terme in der Grundmenge G = Q:
a) ( )x1xT = b) ( )
aa23aT +−=
c) ( )4v
vvT
2 −= d) ( )
s2
3
s3
2sT
+−
−=
e) ( ) ( )2
1nnnT
−= f) ( )
( )1zz
3zT
−=
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1004
a) D = Q \ {0} b) D = Q \ {0}
c) D = Q \ {- 2; 2} d) D = Q \ {- 2; 3}
e) D = Q f) D = Q \ {0 ; 1}
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1005
Schreibe die Tabelle ab und ergänze sie für die jeweiligen Terme:
x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5
T(x)
a) T(x) = 2x2 – 4x + 5
b) T(x) = (x + 1)3 + 1
c) ( ) x1x
2xT −
+=
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1005
a) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5
T(x) 43,5 21 6,92 5 3 11 35
b) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5
T(x) 1685 0 1,216 2 9 65 217
c) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5
T(x) 2,7 0 31511 2 1 -2,5 -4
32
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1006
Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie:
x -3 1 1 0,5 - 0,9
y 2 -2 0 0,5 0,9
T(x;y)
a) T(x;y) = 2x2 – 3xy + y2
b) ( )yx
yxy;xT
−
+=
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1006
a) x -3 1 1 0,5 - 0,9
y 2 -2 0 0,5 0,9
T(x;y) 40 12 2 0 4,86
b) x -3 1 1 0,5 - 0,9
y 2 -2 0 0,5 0,9
T(x;y) 0,2 31− 1 Geht
nicht
0
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1007
Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Was fällt dir dabei auf?
z T1(z) = (z+1)(z-3) T2(z) = z2 – 2z - 1 T3(z) = (z + 1)2
- 1,5
0,4
2,5
4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1007
z T1(z) = (z+1)(z-3) T2(z) = z2 – 2z - 1 T3(z) = (z - 1)2
- 1,5 2,25 4,25 6,25
0,4 - 3,64 - 1,64 0,36
2,5 - 1,75 0,25 2,25
4 5 7 9
Die Werte der Terme sind jeweils um 2 größer als die der vorherigen Terme.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1008
Finde die Zahl(en), für die der jeweilige Term den Wert 0 annimmt:
a) T(x) = 4x – 8 b) T(x) = 3x – 1
b) T(x) = x(2x + 3) c) T(x) = x2 – 9
d) T(x) = (5x + 2)(4x – 3) e) T(x) = 6x3
4x2
−
+
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1008
a) x = 2 b) x = 31
c) x = 0 bzw. x = - 1,5 d) x = 3 bzw. x = - 3
e) x = - 0,4 bzw. x = 0,75 f) x = - 0,5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1009
Finde heraus, für welche Werte der Variablen y der Term T(y) = y2 + 4 den jeweils
angegebenen Termwert annimmt:
a) T(y) = 13 b) T(y) = 4
c) T(y) = 125 d) T(y) = 365
e) T(y) = 914 f) T(y) = 0
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1009
a) y = 3 bzw. Y = - 3 b) y = 0
c) y = 11 bzw. y = - 11 d) y = 19 bzw. y = - 19
e) y = 31 bzw. y =
31− f) geht nicht
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Berechnen von Termen 1010
Gib zu jedem der folgenden Terme die Art des Terms an:
a) T(a) = 3(a – 1)2 + 2 : a b) T(b) = (b + 3)(2b – 3)
c) T(c) = 2c – c:2 d) T(d) = 2(d –d : 2)
e) T(e) = (e + 3) : e – 5 f) T(f) = f + 3 . (f – 5)
g) T(g) = (g + 3) : (g – 5) h) T(h) = 2,5h +h(h + 1)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1010
a) Summe b) Produkt
c) Differenz d) Produkt
e) Differenz f) Summe
g) Quotient h) Summe
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1011
Mit folgenden Termen sollen Flächen berechnet werden. Die Variable x ist dabei die
Länge einer Strecke. Gib die Intervalle für x an, für die eine Einsetzung sinnvoll sein
kann.
a) A(x) = (x + 4)(15 – x) b) A(x) = x(7 + x)
c) A(x) = (x – 3)(11 – x) d) A(x) = (4 – x)2
e) Gib selbst einen Term A(x) an, bei dem nur Einsetzungen zwischen 5 und 9 für
x sinnvoll sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1011
a) D = ]0;15[ b) D = Q0+
c) D = ]3;11[ d) D = ]0;4[
e) A(x) = (x – 5)(9 – x)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1012
Ein Rechteck ABCD besitzt die Länge 15 cm und die Breite 10 cm.
a) Bestimme die Fläche und den Umfang des Rechtecks.
b) Nun wird die Breite um x cm verkleinert und dafür die Länge auf beiden Seiten um x cm vergrößert (siehe Skizze). Bestimme zunächst Fläche und Umfang des neuen Rechtecks für x = 2 bzw. x = 3.Gib nun Terme A(x) und u(x) für die Berechnung des Umfangs des neuen Rechtecks A’B’C’D’ an.
c) Welche Einsetzungen für x sind sinnvoll?
d) Was passiert, wenn x immer näher an die obere Grenze des in c) angegebenen Intervalls wächst?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1012
a) A = 15 ⋅10 = 150 u = 2⋅(10 + 15) = 50
b) x = 2: A = (15 + 2⋅2)⋅(10 – 2) = 152 u = 2⋅[(15 + 2⋅2) + (10 – 2)] = 54
x = 3: A = (15 + 2⋅3)⋅(10 – 3) =147 u = 2⋅[(15 + 2⋅3) + (10 – 3)] = 56
allgemein: A(x) = (15 + 2⋅x)⋅(10 – x) u(x) = 2⋅[(15 + 2⋅x) + (10 – x)]
c) D = ]0;10[
d) Der Flächeninhalt wird immer kleiner (wandert gegen 0) und der Umfang nähert
sich immer mehr 70 an.
A B
CD
A' B'
C'D'
15cm
10cm
x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1013
a) Der Winkel γ ist viermal so
groß wie ß. Berechne die
Winkel α, ß und γ.
b) Gib einen Term an, der die
Größe der drei Winkel
beschreibt, wenn γ n-mal so
groß wie ß ist. Dabei soll
n ∈ N \ {1} sein.
c) Für welche Werte von
n ∈ {2,3,…9} nehmen die
Winkel ß und γ ganzzahlige
Werte an?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1013
a) γ und ß ergänzen sich zu 180°, da der Nebenwinkel von γ Stufenwinkel zu ß ist.
Daher ist ß = 180° : 5 = 36° und γ = 144°; α = 180° - (90° + ß) = 54°
b) ß = 180° : ( n + 1) =1n
1800
+ γ = n⋅ß =
1n
180n 0
+
⋅
1n
18090ß90
+
°−°=−°=α
c) ß und γ sind ganzzahlig, wenn n + 1 ein Teiler von 180° ist; d.h. wenn
n+1 ∈ {3,4,5,6,9,10} ist, also, wenn n ∈ {2,3,4,5,8,9} ist.
g
h90 °
90 °
A
α
ß
B
C
γ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Aufstellen von Termen 1014
Gib einen Term für den
Flächeninhalt des rot gefärbten
Fünfecks an. Bestimme seinen Wert
für g = 6 cm, a = 4 cm und x = 2a
und y = 1,5a.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1014
A(a,g,x,y) = ( ) ( ) gaaygaxg21
21
21 −+++
A(4;6;8;6) = 541230364610612621
21
21 =−+=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
g
a
x
y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Aufstellen von Termen 1015
Die Internetprovider Surfnet und Websurfer bieten ihren Kunden folgende Tarife an:
Surfnet: monatliche Grundgebühr: 6,50 €; Preis pro Stunde: 0,80 €
Websurfer: keine Grundgebühr; Preis pro Stunde 1,20 €.
a) Lege für beide Tarife eine Wertetabelle an.
b) Gib zwei Terme an, mit denen sich die Kosten für das Surfen im Internet in
Abhängigkeit von der Stundenzahl berechnen lässt.
c) Zeichne die zu den Zuordnungen Stundenzahl → Kosten gehörenden
Graphen und entscheide, welcher Tarif für welche Stundenzahl günstiger ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1015
Zahl der T1(x) T2(x)
Stunden
0 6,5 0 1 7,3 1,2 2 8,1 2,4 3 8,9 3,6 4 9,7 4,8 5 10,5 6 6 11,3 7,2 7 12,1 8,4 8 12,9 9,6 9 13,7 10,8 10 14,5 12 11 15,3 13,2 12 16,1 14,4 13 16,9 15,6 14 17,7 16,8 15 18,5 18 16 19,3 19,2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Berechnen von Termen 1016
Lege für den Term T(x) = x3 – x2 eine Wertetabelle an für x ∈ {-1,5, -1, 0, 0,5, 1, 2} und fertige eine Skizze des zugehörigen Graphen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Berechnen von Termen 1016
x f(x) -1,5 -5,625 -1 -2 0 0
0,5 -0,125 1 0 2 4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Berechnen von Termen 1017
Zu jedem der folgenden Graphen sind drei Terme zur Auswahl angeboten. Stelle fest, welcher Term tatsächlich passt! (a)
1. T1(x) = x + 2 2. T2(x) = 2x + 1 3. T3(x) = 2x −1
(b)
1. T1(x) = 1 − 2
x
2. T2(x) = 1 − x 3. T3(x) = 1 −2x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Berechnen von Termen 1017
(a) T2(x) ist richtig (b) T1(x) ist richtig
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Häufigkeiten und Prozente 1018
In der Klasse 7 b gab es in der ersten Mathematik-Extemporale 2 Einser, 4 Zweier, 7
Dreier, 6 Vierer, 3 Fünfer und 2 Sechser.
a) Berechne die relative Häufigkeit für die Noten und gib sie als Bruch, als auf
3 Dezimalen gerundeten Dezimalbruch und in Prozentschreibweise an.
b) Stelle die Notenverteilung in einem Kreisdiagramm dar.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Häufigkeiten und Prozente 1018
Note Anzahl Bruch Dezimalb. Prozent Winkel
1 2 121 0,083 8,3% 30°
2 4 61 0,167 16,7% 60°
3 7 247 0,292 29,2% 105°
4 6 41 0,250 25,0% 90°
5 3 81 0,125 12,5% 45°
6 2 121 0,083 8,3% 30°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Vierfeldertafel 1019
Eine Schule bietet ab der 8. Klasse die Wahl zwischen dem naturwissenschaftlich-
technologischen Zweig und dem neusprachlichen Zweig an. Die 150 Schüler der 7.
Klassen zeigen folgendes Wahlverhalten:
technologisch neusprachlich
Mädchen 80
Jungen 30
70
a) Ergänze die Vierfeldertafel.
b) Wie groß ist die relative Häufigkeit der Mädchen im neusprachlichen Zweig?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den neusprachlichen
Zweig gewählt hat?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Vierfeldertafel 1019
technologisch neusprachlich
Mädchen 30 50 80
Jungen 40 30 70
70 80 150
b) 85 = 67,5 %
c) 158 = 53,3 %
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Prozentrechnen 1020
1. Ein Handwerker verlangt 180 € für eine Reparatur. Hinzu kommen noch 16 %
Mehrwertsteuer. Wie lautet der Rechnungsbetrag? Wie nennt man bei dieser
Rechnung die 180 €, die 16 % und das Ergebnis, das man für den Betrag der
Mehrwertsteuer erhält?
2. Nach einem Preisnachlass von 35 % auf ein auslaufendes Skimodell zahlt ein
Kunde nur noch 253,50 €. Wie viel kostete das Skimodell vor dem
Preisnachlass?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Prozentrechnen 1020
1. 16 % von 180 € = 0,16⋅180 € = 28,8 € Der Rechnungsbetrag lautet auf 208,80 €. 180 € sind dabei der Grundwert, 16 % der Prozentsatz und 28,8 € der Prozentwert.
2. 65 % entsprechen 253,50 €
100 % entsprechen =⋅
65
1005,253 390
Das Skimodell kostete vor dem Nachlass 390 €.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Aufstellen von Termen 1021
Hans hat 17 Kugeln, 6 Würfel und eine Pyramide. Mit einer Balkenwaage stellt er fest, dass
� jede der 17 Kugeln die gleiche Masse hat, � jeder der sechs Würfel die gleiche Masse besitzt, � die Pyramide und fünf Würfel zusammen die gleiche Masse wie
14 Kugeln besitzen, � ein Würfel und acht Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die
Pyramide besitzen. Finde heraus, wie viele Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die Pyramide besitzen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Aufstellen von Termen 1021
Masse einer Kugeln: x Masse eines Würfels: y Masse der Pyramide: z
Dann gilt: z + 5y = 14x
und x + 8y = z
⇒ x + 8y + 5y = 14x ⇒ 13x = 13y x = y
Also ist z = x + 8x = 9x
Neun Kugeln haben die gleiche Masse wie die Pyramide.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Aufstellen von Termen 1022
Lina bastelt auf einem Holzbrett ein Spiel aus quadratischen Spielfeldern. Diese werden durch gleich lange Holzstäbchen abgegrenzt. Sie beginnt in einer Ecke, klebt die Stäbchen für das erste Feld auf und erweitert es dann wie in der Zeichnung.
a) Wie viele Holzstäbchen braucht sie für die 7. Erweiterung, nachdem sie die 6. Erweiterung abgeschlossen hat?
b) Gib einen Term an, der beschreibt, wie viele Stäbchen man für die n-te Erweiterung braucht.
(aus Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Aufstellen von Termen 1022
a)
Erweiterung 1 2 3 4 5 6 7
Stäbchenzahl 8 12 16 20 24 28 32
b) Für die n-te Erweiterung braucht man T(n) = 4(n + 1) Stäbchen
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Aufstellen von Termen 1023
Bei wie vielen zweistelligen Zahlen ist die durch das Vertauschen der
beiden Ziffern entstehende Zahl größer als das Dreifache der
ursprünglichen Zahl?
(aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Aufstellen von Termen 1023
Ist die Einerziffer der Zahl x und die Zehnerziffer y, so ist der Wert der Zahl x + 10y;
vertauscht man die beiden Ziffern, so ist der Wert der Zahl y + 10x. Es muss gelten:
y + 10x > 3⋅(x + 10y) ⇒ y + 10x > 3x + 30y ⇒ 7x > 29y
⇒ yx729>
Daher kann y nur 1 oder 2 sein.
Für y = 1 ist x > 714 , also ist x = 5, 6, 7, 8 oder 9 möglich;
Für y = 2 ist x > 728 , also kommt nur 9 in Frage.
Daher gibt es insgesamt 6 der gesuchten Zahlen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Aufstellen von Termen 1024
Ein Käfer bewegt sich im 1. Quadranten des Koordinatensystems (siehe Zeichnung) wie folgt: Er startet im Punkt (0/0) und bewegt sich in Pfeilrichtung vorwärts. Um dabei von einem Gitterpunkt zum nächstfolgenden zu gelangen, braucht er genau 1 Sekunde. Beispielsweise erreicht er so den Punkt (0/2) nach 4 Sekunden. Welche Koordinaten hat der Punkt, den er nach genau 2 Minuten erreicht? (aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Aufstellen von Termen 1024
Der Käfer erreicht die Punkte mit geradzahligen Koordinaten, die auf der x-Achse
liegen, also P(2k/0) in einer Schrittzahl nach folgender Tabelle:
Punkt (2/0) (4/0) (6/0) (8/0)
Schritte 8 24 48 80
Also kommt er zum Punkt P(2k/0) nach T(k) = (2k+1)2 – 1 Schritten.
Da 2 Minuten 120 Sekunden sind, muss (2k + 1)2 = 121 sein. Daher ist 2k + 1 = 11
und daher 2k = 10. Der erreichte Punkt ist also P(10/0)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Berechnen von Termen 1025
Sei a ≠ 0 eine fest vorgegebene Zahl. Welche der folgenden Aussagen
ist für T(k) = (a – k)(a + k) richtig, wobei k eine beliebige Zahl sein kann:
a) T(k) kann beliebig groß, aber nicht beliebig klein sein.
b) T(k) kann beliebig klein, aber nicht beliebig groß sein.
c) T(k) ist immer negativ.
d) T(k) kann jeden Wert annehmen.
e) T(k) kann weder beliebig groß noch beliebig klein werden.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Berechnen von Termen 1025
T(k) = a2 – k2
Da k2 > 0 ist, ist T(k) ≤ a2 , also kann T(k) nicht beliebig groß werden, aber beliebig
klein. Für k = 0 ist T(k) = a2 > 0.
Daher trifft nur die Aussage b) zu.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Umformen von Termen 1 1101
In jeder Teilaufgabe sind zwei Terme angegeben, von denen nur einer zum
ursprünglichen Term äquivalent ist. Finde diesen heraus und begründe, dass der
andere nicht äquivalent ist:
a) T(a) = a + a2 + 2a T1(a) = 3a + a2 T2(a) = 3a4
b) T(b) = 3b + b T1(b) = 3b2 T2(b) = 4b
c) T(x) = x3 + x – 2x3 T1(x) = x4 – 2x3 T2(x) = x – x3
d) T(d) = d2 – 2d⋅d T1(d) = - 1 T2(d) = - d2
e) T(y) = (y + y)⋅(y + y) T1(y) = 4y2 T2(y) = 4y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Umformen von Termen 1 1101
a) T2(a) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T2(1) = 3 ist, also ist T1(a) der zu T(a) äquivalente Term.
b) T1(b) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T1(1) = 3 ist, also ist T2(b) der zu T(b) äquivalente Term.
c) T1(x) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 0 und T1(1) = - 1 ist, also ist T2(x) der zu T(x) äquivalente Term.
d) T1(d) ist nicht äquivalent, da z.B. T(0) = 0 und T1(0) = - 1 ist, also ist T2(d) der zu T(d) äquivalente Term.
e) T2(y) ist nicht äquivalent, da z.B. T(2) = 16 und T2(2) = 8 ist, also ist T1(y) der zu T(y) äquivalente Term.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1102
Von den angegebenen vier Termen sind genau zwei äquivalent. Entscheide, welche
dies sind, indem du die anderen ausschließt. Begründe außerdem, nach welchem
Rechengesetz die beiden verbleibenden Terme äquivalent sind.
a) T1(a) = 4a2 + 4a T2(a) = 8a2 T3(a) = 4a(a + 1) T4(a) = 4(a2+1)
b) T1(x) = (4x2 + 6) :2 T2(x) = 2x + 3 T3(x) = x2
x6x4 2 + T4(x) = 2(x + 3)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1102
a) Es gilt T1(2) = 24, T2(2) = 32, T3(2) = 24 und T4(2) = 20, daher scheiden die
Terme T2(a) und T4(a) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf
T3(a) erhält man T1(a).
b) Es gilt T1(1) = 10, T2(1) = 5, T3(1) = 5 und T4(1) = 8, daher scheiden hier die
Terme T1(x) und T4(x) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf
T3(x) erhält man T2(x).
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Umformen von Termen 1 1103
Vereinfache folgende Terme:
a) 4x + 8y + 2y + 3x b) 4x - 8y + 2y + 3x c) -4x + 8y - 2y + 3x
d) 4x - 8y - 2y - 3x e) -4x - 8y - 2y - 3x f) -4x + 8y + 2y - 3x
g) 2
3
1
63
1
3
5
6c e c e+ + + h)
2
3
1
63
1
3
5
6x y x y− + +
i) − + − +2
3
1
63
1
3
5
6m n m n j)
2
3
1
63
1
3
5
6k m k m− − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Umformen von Termen 1 1103
a) 7x + 10y b) 7x - 6y c) -x + 6y
d) x - 10y e) - 7x - 10y f) - 7x + 10y
g) 4c + e h) 4x + 2
3y
i) - 4m + n j) − −22
3k m
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Umformen von Termen 1 1104
Vereinfache folgende Terme:
a) − + + −2
3
1
63
1
3
5
6u v u v b) − − − −
2
3
1
63
1
3
5
6p q p q
c) 8,5x2 - 8,3x - 8,6 + 2,7x + 0,6x2 - 7,4 d) 3uv - 0,3u -0,3uv + 3,7u + 2,3uv
e) 4x - (+ 7x) + (- 11x) - 3x f) 8 - 9a + (- 13) - (- 7a)
g) − + − −
−
2
31
2
3
1
51z z
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Umformen von Termen 1 1104
a) 22
3
2
3u v− b) - 4p - q
c) 9,1x2 - 5,6x - 16 d) 5uv + 3,4u
e) - 17x f) - 5 - 2a
g) z −4
5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1105
Berechne:
1) − + − − + +31
418 2
1
33 5 4 2 7, , ,
2) 1
2
2
3
3
4
7
8
1
62
1
2− − + + −
3) 86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45
4) -0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z
5) -2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c
6) 4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1105
1) − + − − + +31
418 2
1
33 5 4 2 7, , , = 13 - 3
3
122
4
123
6
1213 9
1
123
11
12+ +
= − =
2) 1
2
2
3
3
4
7
8
1
62
1
2− − + + − =
12
24
21
24
4
24
8
12
9
122
6
12113
243
11
122
3
8+ +
− + +
= − = −
3) 86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45 = 185,35 - 230,5 = - 45,15
4) -0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z = 1,7x + 0,3y + z
5) -2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c = 3,3a + 0,4b + 0,4c
6) 4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n = 0,875m + 0,13n
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1106
Berechne:
a) − − −
⋅ + −
⋅4
4
5
3
2
9
103 b) ( )− ⋅ −
⋅ −
− −
⋅
4
1
4
4
3
4
5
5
9
c) 51
4
3
8
1
21
1
4− ⋅ −
− ⋅ −
d) ( ) ( )[ ] ( )[ ]8 3 5 2 4 4 2 6 5− − ⋅ − ⋅ − ⋅ −, , ,
e) ( ) ( )3 7 2 5 2⋅ − ⋅ −x x, f) ( ) ( )− ⋅ − ⋅6 4 5 8ab a b,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1106
a) −51
2 b) −3
1
9
c) 415
16 d) [ ] [ ]... , , ,= − ⋅ − − =8 8 4 25 2 5 12 08
e) 52,5x3 f) 216a
2b
2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1107
Berechne:
1) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − ⋅ −4 3 9x y
2) ( ) ( ) ( )6 4 3 8 15x y x y x y xy⋅ − − ⋅ − + − ⋅ −
3) ( )6 4 3 8 15x y x y x y x y⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − − −( ) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 5 6 5 18 25a b b a b b⋅ − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − ⋅ −( )
5) ( ) ( ) ( )6 8 2 5 9 6 12 432 2a b b a b b b a a b⋅ − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅( ) ( )
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1107
1) 108xy
2) ... = 24xy - 3xy - 8xy - 15xy = - 2xy
3) ... = - 24xy - 3xy + 8xy + 15xy = - 4xy
4) ... = - 105ab + 30b + 18ab + 25b = - 87ab + 55b
5) ... = 96ab2 - 45ab2 + 72ab2 + 43ab2 = 166ab2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1108
Berechne:
1) (-2)4 2) -24 3) (-3)5 4) -35
5) −
1
3
5
6) −3
4
4
7) −
5
8
2
8) −5
8
2
9) 0,23 10) 0,35 11) -182 12) (-5)3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1108
1) 16 2) - 16 3) -243 4) -243
5) −1
243 6) −
81
4 7)
25
64 8) −
25
8
9) 0,008 10) 0,00243 11) - 324 12) - 125
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1109
Berechne:
(Beachte dabei, dass Potenzieren noch vor der Punktrechnung kommt!)
1) −
2
3
7
2
2) 17
9
2
3) −
2
1
3
3
4) −
1
1
3
4
5) ( )− ⋅3 42 6) ( ) ( )− ⋅ −5 2
3 7) 15 11
3
2
⋅ −
8) ( ) ( )− ⋅ −19 10
2 3,
9) ( )[ ]− ⋅6 22 10) ( )− ⋅6 2
2 11) − ⋅6 22 12) −
⋅ −
5
8
2
5
2 3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1109
1) 289
495
44
49= 2)
256
813
13
81= 3) − = −
343
2712
19
27 4)
256
81
5) 36 6) 40 7) 80
326
2
3= 8) -3610
9) 144 10) 72 11) -24 12) - 1
40
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1110
Berechne:
(Beachte die Regel: Potenzrechnen vor Punktrechnen vor Strichrechnen!)
1) ( )− − ⋅ −
9 2
1
32 2) −
⋅ −
2
5
5
4
2 3
3) − ⋅ −
2
5
5
4
2 3
4) 52 - 25 5) 33 - 24 6) 28 - 82
7) 132 - 52 - 122 8) 6 8 4 92 2⋅ − ⋅ 9) 3 2 4 33 4⋅ − ⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1110
1) 189 2) 5 3) 25
16
4) - 7 5) 11 6) 256 - 64 = 192
7) 0 8) 60 9) - 300
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1111
Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:
1) ab2a2ab2a3 2) xy2z(-x)z 3) a3b4(-a)4b3
4) ( )25 172 3 3− ⋅ ⋅d e d e 5) ( , ) ,− ⋅ ⋅18 122 4x y xy 6) ( )16 3 52 2 2 3 2, ,ab c a b c⋅ − ⋅
7) (- 0,03x)3 8) (-4uv)3 9) ( ) ( )[ ]− ⋅ − ⋅2 43 2
2
c c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1111
1) a7b4 2) - x2y2z2 3) a7b7
4) 425d5e4 5) - 2,16x3y5 6) - 5,6a3b5c4
7) - 0,000027x3 8) - 64u3v3 9) 16384c8
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Umformen von Termen 1 1112
Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:
1) ( ) ( )15 4 52 2 3, x x x⋅ − ⋅ − 2) ( )− ⋅ − ⋅125 314 163 3, ,a b b
3) ( ) ( )2
5
3
4
5
7⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅uv uw v u 4) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −1
9 4 5 6m n m n
5) 5
73
5
2
vw
x⋅
6) ( ) ( ) ( ) ( )5
1
2
9
11
5
62 2b a b c a c⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Umformen von Termen 1 1112
1) - 120x7 2) 62,8a
3b
4
3) 3
143 2u v w 4) m
9n
7
5) 25
496
2
10v
w
x⋅ 6) −
15
42 2 4a b c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Umformen von Termen 1 1113
Berechne und schreibe so kurz wie möglich:
1) 1
515 6 8 5 3
1
392 2 3 2 2 2 2a a b a b a ab a b ab⋅ − + ⋅ − ⋅
2) 4 6 11
28
1
714 92 2 2 2x xy xy xy x xy x y⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
3) ( ) ( ) ( )9 4 541
92 32 3 2 3 2 3 2 2m n m n m n m n n⋅ − − − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Umformen von Termen 1 1113
1) 7a3b2
2) ... = 24x2y2 - 12x2y2 + 2x2y2 - 9x2y2 = 5x2y2
3) ... = - 9m2n3 - 16m2n3 + 6m2n3 - 12m2n3 = - 13m2n3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1114
Berechne und schreibe so kurz wie möglich:
1) ( ) ( ) ( ) ( )8 5 4 151
848 52 4 5, ,⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + −
⋅ − ⋅ − ⋅a a a a
2) ( ) ( ) ( ) ( )3
424 7 2 2 4 5 32 4 2 2 2 4 2 2 2 2
x y x y y y x x y y⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ −
3) ( ) ( ) ( )− ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + ⋅3 4 22 2 5 6 63 2 3 2 2 3 3 2c d c d d c c d
4) 2 5 16 3 5 14 9 8 173 2 3 2 3 4 3 2 3, , , ,v u v v u v u v u v⋅ − ⋅ + ⋅ −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1114
1) ... = 51a6 - 30a6 = 21a6
2) ... = 18x2y4 -14x2y4 +64x2y4 + 45x2y4 = 113x2y4
3) ... = - 108c3d2 - 22c3d2 - 20c3d2 + 36c3d2 = - 114c3d2
4) ... = 4u2v3 - 4,9u3v5 +72u3v5 - 17u2v3 = - 13u2v3 + 67,1u3v5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Umformen von Termen 1 1115
Berechne folgende Terme:
1) 8a : (- 4) 2) (- 10,8y) : 0,9 3) (- 15xy) : (- 2) 4) 102a : 12
5) − ⋅
6
1
42
1
23x : 6) 15t : (- 3) 7) (cd) : d 8) (- cd) : c
9) (-29ac) : (- a) 10) (- 8xy2) : y 11) (- 42w) : (- 8w) 12) z4 : z2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Umformen von Termen 1 1115
1) - 2a 2) - 12y 3) 7,5xy 4) 8,5a
5) - 2,5x3 6) - 5t 7) c 8) - d
9) 29c 10) - 8xy 11) 5,25 12) z2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Umformen von Termen 1 1116
Berechne folgende Termwerte:
1) 16y : (- 2y) 2) (- abc) : (ac) 3) (-xy2) : (- y)2
4) (-a)3 : (-a2) 5) ( )− ⋅32 8 5v v: 6) (- s)7 : (- s)2
7) x9 : (- x)3 8) r11 : (-r4) 9) {96 : [(- 72):12]} : [(- 36) : 9]
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Umformen von Termen 1 1116
1) - 8 2) - b 3) - x
4) a 5) - 32v3 6) (- s)5 = - s5
7) - x6 8) - r7 9) {96:[-6]}:[-4] = {-16}:[-4] = 4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Umformen von Termen 1 1117
Berechne folgende Quotienten:
1) (- 102x) : 17 2) 138x2 : (- 23x) 3) (-78c2) : (-13c2)
4) (- 216x2) : 36x 5) (- 32c2d) : (- 2) 6) 29ab2 : (- ab2)
7) (- 54xyz) : (- 9y) 8) (- 156mn2p) : (-12mn) 9) (- 117v2w) : (-9vw)
10) ( )19 80 95a b b⋅ −: 11) ( ) ( ) ( )− ⋅ −9 150 135x y xy: 12) ( ) ( )56 82ab c ab: − ⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1117
1) - 6x 2) - 6x 3) 6
4) - 6x 5) 16c2d 6) - 29
7) 6xz 8) 13np 9) 13v
10) - 16a 11) 10 12) - 7a2b3c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Umformen von Termen 1 1118
Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:
1) ( )36 1 3 8 194 2 2, , ,x y z : x y z ⋅
2) ( ) ( )4 4 0 8 171 0 95 6 0 8 0 5 36 12 0 22 3 2 2 3 3 2 2, : , , :( , ) , , : , : ,m n n m n mn n m n m n mn n− − ⋅ ⋅ +
3) ( ) ( )3 5 0 14 7 8 12 21 12
32 0 253 5 3 3 2 4
, : , , : : ,a a a a a a a a− − −
+ − ⋅ −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Umformen von Termen 1 1118
1) 36 1
7 225
4 2
22,
,
x y z
x yzx y=
2) 5,5m2n - 1,8mn2 - 2,4mn2 + 6m2n = 11,5m2n - 4,2mn2
3) 25a2 - 0,65a2 + 12,6a - 4a2 = 20,35a2 + 12,6a
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Umformen von Termen 1 1119
Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:
1) ( ) ( )27 38
225 5 6 15 73
5 2
2 22 2 2 3
5
3k s ksx y z
x y zk y ky k x
k
k: :− − ⋅
+ − ⋅
2) (- 45a2b5) : (- 9b2) - (63a4b4) : (- 7a2b) + (99a3b3) : (- 11b) - (13a2b) ⋅ (-4ab)
3) (- 84x2y5) : (- 7y2) + (- 108x4y4) : (- 12x2y) - (96x3y2) : 16 - (7x2y) ⋅ (- 4xy)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Umformen von Termen 1 1119
1) 9k2 - [4x3 - 30k2] +15x3 - 7k2 = 32k2 + 11x3
2) 5a2b3 + 9a2b3 - 9a3b2 + 52a3b2 = 14a2b3 + 43a3b2
3) 12x2y3 + 9x2y3 - 6x3y2 + 28x3y2 = 21x2y3 + 22x3y2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1120
Berechne:
a) (-9,46) + (-59,2) b) (-17,5) - (-9,3) c) (-14,7) - (-28,9)
d) 57,4 - (-11,6) e) 82,9 - (+161,7) f) 73,41 - (+76,11)
g) (-18,7)+23,4 h) 105,7 - (-99,9) i) (- 77,6) - (-88,3)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1120
a) - 68,66 b) - 8,2 c) + 14,2
d) + 69 e) -78,8 f) - 2,7
g) + 4,7 h) + 205,6 i) + 10,7
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1121
Berechne:
a) (-27,8) + 25,4 b) -147,5 + 174,2 c) -386,3 + (-181,4)
d) −
+ −
1
6
2
3 e) −
+ −
1
3
42
4
5 f) −
+ +
5
2
3
1
2
g) +
+ +
6
3
54
2
3 h) −
+ +
4
3
53
2
5 i) +
+ −
6
5
76
3
14
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1121
a) - 2,4 b) + 26,7 c) - 567,7
d) −5
6 e) −4
11
20 f) −5
1
6
g) 114
15 h) −1
1
5 i)
1
2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1122
Berechne:
a) −
+ −
6
4
75
5
6 b) −
+ +
6
5
137
10
26 c) −
+ −
13
1
212
2
3
d) 63
89
3
4+ −
e) −
+2
1
77
6
7 f) −
+ −
3
4
58
6
7
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1122
a) −1217
42 b) + 1 c) −26
1
6
d) −33
8 e) +5
5
7 f) −12
23
35
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1123
Berechne:
a) ( , )+ + −
27 2 31
4
5 b) ( , )− + −
49 3 17
3
5
c) −
+38
3
824 625, d) −
+19
17
2024 74,
e) 172
329 4+ −( , ) f) ( )−
+ −16
1
417 6,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1123
a) - 4,6 b) - 66,9
c) −133
4 d) + 4,89
e) ( )172
329 4 17
2
329
2
517
10
1529
6
1511
11
15+ − = + −
= + −
= −,
f) ( ) ( )−
+ − = − + = −16
1
417 6 16 25 17 6 33 85, , , ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1124
Berechne:
a) −
⋅ +
1
3
1
7 b) +
⋅ −
2
3
6
7 c) −
⋅ −
5
12
3
20
d) −
⋅ −
7
8
7
12 e) +
⋅ −
2
5
81
5
7 f) −
⋅ −
4
2
34
1
2
g) ( )− ⋅ +
2 4 1
1
4, h) −
⋅3
1
42 5, i) −
⋅ −1
5
115 5( , )
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1124
a) −1
21 b) −
4
7 c)
1
16
d) 49
96 e) +
⋅ −
= −
21
8
12
74
1
2 f) 21
g) - 3 h) −81
8 i) 8
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1125
Berechne:
a) 8 4 41
6, ⋅ −
b) −
⋅3
1
848 c) ( )− ⋅ −
4 9
18
35,
d) ( )− ⋅38 57
11, e)
25
626
1
5⋅ −
f) ( )−
⋅ −
23
7537 5,
g) ( ) ( )− ⋅ +2 8 4 4, , h) ( ) ( )− ⋅ +0 28 0 44, , i) ( ) ( )− ⋅ +28 0 0044,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1125
a) - 35 b) - 150 c) 213
25 = 2,52
d) −241
2 e) −2
1
2 f) 11
1
2
g) - 12,32 h) - 0,1232 i) - 0,1232
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1126
Berechne:
a) ( ) ( ) ( )− ⋅ + ⋅ −7 3 8 b) ( )( ) ( )+ − ⋅ −6 9 11 c) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ −4 5 12
d) −
⋅ +
⋅ −
3
4
2
3
4
3 e) −
⋅ −
⋅ −
1
3
52
1
43
1
3 f) 2
1
21
2
36
1
4⋅ −
⋅ −
g) −
⋅ +
1
1
42
4
5
2
h) −
1
2
3
3
i) −
⋅ −
1
1
8
4
9
2 2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1126
a) 168 b) 594 c) - 240
d) 2
3 e) 12 f)
24
126
24
625=
g) 35
84
3
8= h) − = −
125
274
17
27 i)
1
4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben WH Rationale Zahlen 1127
Berechne:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ + ⋅ − − + ⋅ − ⋅ +2 6 5 3 8 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − + − ⋅ + ⋅ +8 7 3 9 7 2
c) ( ) ( )− ⋅ −
− +
⋅ −15 2
1
51
7
126 d) ( )− ⋅ +
− −
⋅15 2
2
32
1
412,
e) ( )−
⋅ −
+ −
⋅ +
8
9
3
201
2
53 f) ( )+
⋅ −
+ −
⋅ −
3
79
1
32
3
44
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung WH Rationale Zahlen 1127
a) 60 - (- 96) = 156 b) - 168 - 126 = - 294
c) 33 + 9,5 = 42,5 d) -4 + 27 = 23
e) 2
15
21
5
61
154
1
15− = − = − f) - 4 + 11 = 7
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Auflösen von Klammern 1201
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1) − + −
− − + −
−1
1
22
2
32 1
3
102
4
52
1
23
5
6a b a b a
2) 1
33
5
11
1
3
3
114
10
11x y x y y− −
− − −
− −
3) 4
52
1
23
7
10
4
55
1
2v u v u− −
− − + −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Auflösen von Klammern 1201
1) − + −
− − + −
−1
1
22
2
32 1
3
102
4
52
1
23
5
6a b a b a =
= − + − + − + − = − − +115
302
10
152 1
9
302
12
152
1
23
25
304
1
30
2
15
1
2a b a b a a b
2) 1
33
5
11
1
3
3
114
10
11x y x y y− −
− − −
− −
=
2
37 1
1
11x y− +
3) . . .= − − + − + = − +4
52
1
23
7
10
4
55
1
21
1
23
3
102
1
2v u v u v u
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Auflösen von Klammern 1202
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1) ( )[ ] ( )− − − + − − − −4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2, , , , , ,u v w u v w
2) − − + − +
+ −
5 2
1
335 9 55 2
1
39 05x y z y, ,
3) -4,8a - [-6,5y - (8,2z - 3,5a)+(6,3z - 7,6a) - 8,1y]
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Auflösen von Klammern 1202
1) [ ]. . . , , , , , ,= − − + − + + =4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2u v w u v w
= − + − − + + = − + −4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2 9 2 17 3, , , , , , ,u v w u v w u v w
2) . . . , , ,= − + − + − = + −5 21
335 9 55 2
1
39 05 5 35 18 6x y z y x z
3) ... = -4,8a - [-6,5y - 8,2z + 3,5a + 6,3z - 7,6a - 8,1y] =
= - 4,8a - [- 14,6y - 1,9z - 4,1a] = - 4,8a + 14,6y + 1,9z + 4,1a =
= - 0,7a + 14,6y + 1,9z
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1203
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1) 3
4
5
3
1
4
2
3
7
32 2 2xy x y z xy x y z x y− +
− − +
+ − +
2) 21
21
3
48
1
49 1
1
22 62 2 2u u u u u u+ −
− + −
− + −
3) ( ) ( ) ( )[ ]{ }− − − − − + + − + + +20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1203
1) . . .= − + + − − + =3
4
5
3
1
4
2
3
7
32 2 2xy x y z xy x y z x y xy
2) . . .= + − − − + − − + = − +21
21
3
48
1
49 1
1
22 6
1
272 2 2u u u u u u u
3) [ ]{ }. . .= − − − − − − − + + + =20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a
{ }= − − − + + + − + + =20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a
{ }= − − + − + =20 91 31 39 17a b c a a
= − − − + + = − −20 91 31 39 17 36 91 31a b c a a a b c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1204
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }5 3 5 7 3 8 8 62 2 2 2 3a a a a a a a− + − − − + − − − +
2) 8 5 32
3
5
9
7
121
2
3
3
4
1
61
8
9, x y z y x z x y+ − + − −
− +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1204
1) [ ] [ ]{ }. . .= − + − − − + − − + − =5 3 5 7 3 8 8 62 2 2 2 3a a a a a a a
{ }= + − − − + − − =5 2 7 3 14 92 2 2 3a a a a a
= + + + − + + = + − +5 2 7 3 14 9 17 2 72 2 2 3 2 3a a a a a a a a
2) . . . ,= + − + − +
− −
=8 5 32
3
5
9
7
121
2
3
3
4
1
61
8
9x y z y x z x y
= + − − −
=8 5 32
31
11
361
11
361
5
6, x y z y x
= + − + + == + −8 5 32
31
11
361
11
361
5
610
1
34
35
361
11
36, x y z y x x y z
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1205
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1) ( )10 5 61
25 4 5 7
1
20 8 7 4
1
54 62 2 2, , ,+ − + +
− − + + +
−u u u u u v u v
2) − − +
− − −
+ − + −
+4 1
2
5
3
10
3
100 7 2
1
22
2
58
1
1032 2 2 2 2 2 2 2, ,a b c b c a a a b a
3) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }2 2 3 4 6 6 2a b b a c b b c− − + − − − +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1205
1) . . . , , ,= + − − − − + + + + − =10 5 61
25 4 5 7
1
20 8 7 4
1
54 62 2 2u u u u u v u v
= +7 u+v
2) . . . , ,= − + − − − + + − + − + =4 12
5
3
10
3
100 7 2
1
22
2
58
1
1032 2 2 2 2 2 2 2a b c b c a a a b a
= − − + +2 5 82 2a c a
3) ( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }2 2 3 4 6 6 2 2 2 3 2 12a b b a c b b c a b b a c b− − + − − − − = − − + − − =
{ }= − − + − + = − − − + = − − +2 2 3 2 12 2 14 3 2 15 2a b b a c b a b b a c a b c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1206
Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:
1) Von der Differenz von 23x und 14y ist die Summe der Terme 16x - 15y und
11y - 54x zu subtrahieren
2) Von der Differenz der Terme 71c - 35d und 18d - 14c ist der Term 89d - 31c zu
subtrahieren.
3) Subtrahiere von 135x die Summe von 56y + 81z und 45x - 69y und vermindere
das Ergebnis um die Differenz aus 63z + 47y und 58z - 95x.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1206
1) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]23 14 16 15 11 54 23 14 16 15 11 54x y x y y x x y x y y x− − − + − = − − − + − =
= − + + = −23 14 38 4 61 10x y x y x y
2) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]71 35 18 14 89 31 71 35 18 14 89 31c d d c d c c d d c d c− − − − − = − − + − + =
= − − + = −85 53 89 31 116 142c d d c c d
3) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]135 56 81 45 69 63 47 58 95x y z x y z y z x− + + − − + − − =
[ ]{ } [ ]= − − + + − + − + =135 13 81 45 63 47 58 95x y z x z y z x
= + − − − − − = − − −135 13 81 45 5 47 95 5 34 86x y z x z y x x y z
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1207
Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:
1) Von 19,6x - 47,6y ist die um 413
5x vergrößerte Differenz der Terme
69,8y - 46,7x und 14x + 89y zu subtrahieren.
2) Subtrahiere die Differenz der Terme 385a und 254b von der Differenz der
Terme 658b - 846a und 759a + 904b .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1207
1) (19,6x - 47,6y) -{[(69,8y - 46,7x) - (14x + 89y)] +41,6x} =
= 19,6x - 47,6y - {69,8y - 46,7x -14x - 89y +41,6x} =
= 19,6x - 47,6y - 69,8y + 46,7x + 14x + 89y -41,6x = 38,7x - 28,4y
2) [(658b - 846a) - (759a + 904b)] - (385a - 254b) =
= 658b - 846a - 759a - 904b - 385a +254b = 8b - 1990a
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1301
Berechne:
1) 8(5a + 7b - 6c) + 11(5a - 4b + 9c) - 12(3a - 6b + 7c)
2) 25(2a + 3b - 5) - 16(4a - 6b) + 12(9 - 7b) - 14(5 - 3a)
3) x(x - 3y) - y(3x - y)
4) u(3u + 4w) - 2w(4u + 6w)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1301
1) 40a + 56b - 48c + 55a - 44b + 99c - 36a + 72b - 84c = 59a + 84b - 33c
2) 50a + 75b - 125 - 64a + 96b + 108 - 84b - 70 + 42a = 28a + 87b - 87
3) x2 - 3xy - 3xy + y2 = x2 - 6xy + y2
4) 3u2 + 4uw - 8uw - 12w2 = 3u2 - 4uw - 12w2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1302
Vereinfache:
1) a(a - 5) - 6a2 + 9a(8a + 7) - 4a(3 + 5a)
2) 14c(8x - 3y + 7c) + 13x(9c - 8y + 2x) - 11y(7x - 6c + 11y)
3) (4m2 - 5nm)2n - 4n(3mn + 7m2) - 8mn(4n - 3m)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1302
1) a2 - 5a - 6a2 + 72a2 + 63a - 12a - 20a2 = 47a2 + 46a
2) 112cx - 42cy + 98c2 + 117cx - 104xy + 26x2 - 77xy + 66cy - 121y2 =
= 229cx + 24cy +98c2 - 181xy + 26x2 - 121y2
3) 8m2n - 10mn2 - 12mn2 - 28m2n - 32mn2 + 24m2n = 4m2n - 54mn2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1303
Berechne:
1) 8b - 11(2a - 3b) + 15(3a + 4b)
2) - v(6 - 7w) + 6v(8 - 5w)
3) 6(16 + 4,8y) - 15(2y + 6)
4) 8(3c + 12d) + 6c(11 + 13d) + 2c(-6 + 5d)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1303
1) 8b - 22a + 33b + 45a + 60b = 23a + 101b
2) - 6v + 7vw + 48v - 30vw = 42v - 23vw
3) 96 + 28,8y - 30y - 90 = 6 - 1,2y
4) 24c + 96d + 66c + 78cd - 12c + 10cd = 78c + 96d + 88cd
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1304
„Distributivgesetz rückwärts“
Forme die Terme so um, dass Produkte entstehen:
1) 17x + 17y 2) 14a - 14b 3) 20x - 25y
4) - 77a + 56b 5) 144x - 108y 6) - 289p - 187q
7) 5ax + 5ay 8) 2x2y - zx2 9) - m2qt + m2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1304
1) 17(x + y) 2) 14(a - b) 3) 5(4x - 5y)
4) 7(- 11a + 8b) 5) 36(4x - 3y) 6) - 17(17p + 11q)
7) 5a(x + y) 8) x2(2y - z) 9) m2(- qt + 1)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1305
Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:
1) x(x + 2y - 4) - y(2x + 2y - 5) - 6(x - 3y) - 9(x - 5
9y )
2) 8(a - 2b + 15) - 14(a + 3b) + 19(2b - 4a - 7)
3) 187p - 17(p + 3q - 2r) - 16(5p - 6q + 8r) + 18(3q + 4r - 5p)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1305
1) x2 + 2xy - 4x - 2xy - 2y2 + 5y - 6x + 18y - 9x + 5y = x2 - 2y2 - 19x + 28y
2) 8a - 16b + 120 - 14a - 42b + 38b - 76a - 133 = - 82a - 20b - 13
3) 187p - 17p - 51q + 34r - 80p + 96q - 128r + 54q + 72r - 90p = 99q - 22r
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1306
Vereinfache folgende Terme:
1) 54(x + y + z) - 33(x - y + z) + 42(x + y - z) - 53(y - z - x)
2) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 13 3 5 6 16 5 12 2 14 8 7 21a b c a c b a a+ + ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − +
3) ( ) ( ) ( )4 2 3 6 3 5 7 7 9 14 2 3u v u u v v u v+ − + − − − ⋅ − − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1306
1) 54x + 54y + 54z - 33x + 33y - 33z + 42x + 42y - 42z - 53y + 53z + 53x =
= 116x + 76y + 32z
2) 26a + 39b + 52c - 48a + 80 + 96c - 70b + 168 + 28a - 56a - 168 =
- 50a - 31b + 148c + 80
3) 4u + 8v - 12 + 6u - 21u + 35v + 49 - 9v - 28u + 42v = - 39u + 76v + 37
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1307
Vereinfache folgende Terme:
1) 0,4x(0,6x - 0,9y) - 0,7y(1,3y - 2,2x)
2) 31
23
2
75
1
31
3
42
5
76
1
3a a b b a b−
− +
3) 26
72
4
516
1
34
4
93
3
55
5
8x x y y x y−
− −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1307
1) 0,24x2 - 0,36xy -0,91y2 +1,54xy = 0,24x2 + 1,18xy - 0,91y2
2) 7
2
23
7
16
3
7
4
19
7
19
3a a b b a b−
− +
=
= − − − = − −23
2
56
3
19
4
133
1211
1
223
5
1211
1
122 2 2 2a ab ab b a ab b
3) 20
7
14
5
49
3
40
9
18
5
45
8x x y y x y−
− −
=
= − − + = − +8140
316 25 8 62
2
3252 2 2 2x xy xy y x xy y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1308
Wende das Distributivgesetz an:
1) (68x - 85) : 17 2) (144a + 72b) : 12 3) (3x - 9y) : 4
4) (39x2 - 117x3) : 13 5) (65x2 - 104x3) : 13x 6) (26x2 - 91x3) : 13x2
7) ( )5 71
32y z+ : 8) ( )− +a b6
1
4: 9) ( )− −8 7 0 1u v : ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1308
1) 4x - 5 2) 12a + 6b 3) 3
4
9
4x y−
4) 3x2 - 9x3 5) 5x - 8x2 6) 2 - 7x
7) 15y2 + 21z 8) - 4a + 24b 9) - 80u - 70v
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1309
Wende das Distributivgesetz an:
1) ( )6 12 48 64 2 3 5 3 3a b a b a b a b− + :
2) ( )25 40 85 52 4 3 3 5 3x y xy x y xy− + :
3) ( )35 21 77 74 5 3 2 4 3 3 2k m k m k m k m− − :
4) ( )16 72 28 85 4 2 3 3 4 2 3u v u v u v u v− − :
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1309
1) ab - 2 + 8a2b2
2) 5xy - 8 + 17x2y2
3) 5km3 - 3 - 11km
4) 2u3v - 9 - 3,5uv
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1310
Divisionen lassen sich auch mit Bruchstrichen schreiben. Bearbeite die Aufgaben
nach folgendem Muster: ( )4 12
44 12 4 3
22a ab
aa ab a a b
−= − = −:
1) 12 28
4
x + 2)
− −12 28
4
x 3)
12 27
3
x −
−
4) − −
−
12 27
3
x 5)
4 82a a
a
+ 6)
4 93 2a a
a
−
−
7) 15 25
5
a ⋅ 8)
15 25a
a
⋅ 9)
8 3 2
2
x x
x
−
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1310
1) 3x + 7 2) - 3x - 7 3) - 4x + 9
4) 4x + 9 5) 4a + 8 6) - 4a2 + 9a
7) 75a 8) 375 9) 8x - 1
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1311
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( ) ( )−−
+ + − − − ⋅ −65 39
136 9 8 6 4
xx x
2) ( )64 96
84 12 9 18
aa a
−
−− + + −
3) −−
+ −−
−−
78 48
615
143 78
1319
a ba
b ab
4) ( ) ( ) ( ) ( )176 66 11 14 117 72 9 11u v u v u v− − + + − − +: :
Hinweis: ( )6 2
26 2 2 3
a ba b a b
+= + = +:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1311
1) ... = - 5 + 3x + 6x + 72 - 9x - 24 = 43
2) ... = - 8a + 12 - 4a + 12a + 108 - 18 = 102
3) ... = - 13a + 8b + 15a + 11b - 6a - 19b = - 4a
4) ... = - 16u + 6v + 14u - 13v + 8u + 11v = 6u + 4v
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1312
Vereinfache folgende Terme:
Achte besonders auf die Reihenfolge der Berechnung!
1) ( )50 5 34 3 2 2 2a a a b b a: :+
2) ( ) ( )[ ]5 6 7 2 3 32v u v v uv v v− − ⋅ − − ⋅ :
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]− ⋅ − − + − − − + +4 8 6 4 51 69 3 4 2 9 1402 2 2x y x x yx x y x x y:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1312
1) ( ). . . : : ,= + = =50 5 3 50 8 6 254 4 3a a a a a a
2) [ ] [ ]. . . : := − − − + = − = − =5 6 7 6 9 5 2 5 2 32 2 2v uv v uv v v v v v v v v
3) ( ) ( )[ ]. . .= − ⋅ − − − − + − + =4 32 24 17 23 36 18 140 2x x xy x xy xy x x y
( ) [ ]= − ⋅ − + + + − + =4 32 24 17 23 36 18 140 2x x xy x xy xy x x y
( ) [ ]− ⋅ + + = − − + = −4 31 35 140 124 140 140 1242 2 2 2 2x x xy x y x x y x y x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1313
Vereinfache folgende Terme:
1) 4(6x - 5y) - 8(3x + 2y)
2) ( ) ( )u v u u uv− ⋅ − −6 6 2
3) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 3 5 5a b ab a b− + ⋅ − − + ⋅ −
4) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 5 1 302 2y y y y y+ − ⋅ + − ⋅ −
5) ( ) ( )m m m m m m2 3 7 64 3− ⋅ − − :
6) ( ) ( ) ( ) ( )18 27 9 18 27 9 18 27 92 2 2u u u⋅ − − + − −: : :
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1313
1) ... = 24x - 20y - 24x - 16y = - 36y
2) ... = u2 - 6vu - 6u2 + 6uv = - 5u2
3) ... = - 12a + 6b - 9ab + 5ab + 25b = - 12a + 31b - 4ab
4) ... = 10y + 20y2 -30y3 - 30y + 30y3 = - 20y + 20y2
5) ... = 4m5 - m6 - m6 + 3m5 = 7m5 - 2m6
6) ... = 54u2 - 2u2 + 3 - 2u2 + 3 = 50u2 + 6
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1314
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( ) ( )11 4 3 12 9 6 18 2 32 2x xy y y xy x xy x y+ − − + −
2) ( ) ( )3
714 35
3
816 88 212 2 2 3 2 2p q p pq pq qp p q− + − −
3) 37
91
10
176 45 3
3
5
35
12
55
5430 15
8
9
13
210
5
61
5
132 2a a b b b a b ab a− +
− − −
− − +
⋅
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1314
1) ... = 44x2y + 33xy2 -108xy2 + 72x2y + 36x2y - 54xy2 = 152x2y - 129xy2
2) ... = 6p4q2 - 15p2q2 + 6p2q2 - 33p4q2 - 21p2q2 = - 27p4q2 - 30p2q2
3) ... = 34
9
27
176b 45
18
5
35
12
55
5430
143
9
13
2
65
6
18
132 2a a b b a b ab a− +
− − −
− − +
⋅ =
= − + − + + − + − =668
3170
21
2
11
3108 22 9 152 2 2 2a ab b ab b ab a
= − − + −9 10 278 321
22 2a ab b
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1315
Vereinfache folgende Terme:
1) 19a(2a + 3b + 4c) - 11b(5a - 6b + 7c) - 15c(8a + 9b -c)
2) 16(13p + 14q) - 18(15p - 12q) + 17(8p + 9q)
3) 6(29x - 27y + 33z) - 7(23z - 24y + 43x) + 26(6y - 9z - 8x)
4) 7(12a - 18b + 89c) - 9(37c - 99a - 35b) - 25(22b + 44c - 32a)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1315
1) ... = 38a2 + 57ab +76ac - 55ab + 66b2 - 77bc - 120ac - 135bc + 15c2 =
= 38a2 + 66b2 + 15c2 + 2ab - 44ac - 212bc
2) ... = 208p + 224q - 270p + 216q + 136p + 153q = 74p + 593q
3) ... = 174x - 162y + 198z - 161z + 168y - 301x + 156y - 234z - 208x =
= - 335x + 162y - 197z
4) ... = 84a - 126b + 623c - 333c + 891a + 315b - 550b - 1100c + 800a =
= 1775a - 361b - 810c
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1316
Vereinfache folgende Terme: 1) 5xy(x - z) - 2yz(3y - 4x) - y2(5x - 6z) + 5xy2
2) ( ) ( ) ( )4 3 6 2 7 2 4 3 3 2 7a b c a a b c b c a b+ − ⋅ − − − ⋅ − +
3) (195p + 90q - 225r) : 15 - 7(2p - 3q + 5r) + (324p + 126q + 270r) : 18
4) ( ) ( ) ( ) ( )1
840 56
1
642 54
1
945 108
1
798 56x y y x y x y x− − − − + − − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1316
1) ... = 5x2y - 5xyz - 6y2z + 8xyz - 5xy2 + 6y2z + 5xy2 = 5x2y + 3xyz
2) ... = 12a2 + 24ab - 8ac - 14ab + 28b2 + 21bc - 6ac - 21bc =
= 12a2 + 10ab - 14ac + 28b2
3) ... = 13p + 6q - 15r - 14p + 21q - 35r + 18p + 7q + 15r = 17p + 34q - 35r
4) ... = 5x - 7y + 7y + 9x + 5y - 12x - 14y + 8x = 10x - 9y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1317
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( )[ ] ( )[ ]6 4 7 3 2 5 8 9 5 8 3 2 5⋅ − + ⋅ − + − − − − + −x y x y y x x
2) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3 4 9 2 8 5 17 4 3 2 8 7 3 4y a a b b y a b a b− ⋅ − + − − + ⋅ − − +
3) ( ) ( )8 6 154 196 14 171 2281
19u v v u u v− − + − − ⋅:
4) ( )19
3
11
27 5 2 5
7
36
1
18
2
3y z y z y z y− − −
− + −
, ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1317
1) ... = [ ] [ ]6 7 28 6 15 8 9 40 15 10 5⋅ − + − − − ⋅ + + − − =x y x y y x x
[ ] [ ]= ⋅ − + − ⋅ + − = − + − − + =6 13 13 8 40 10 1 78 78 320 80 8x y y x x y y x = − − +158 242 8x y 2) [ ] [ ]3 4 18 72 45 17 4 24 16 21 28y a a b b y a b a b− + − − − + + − =
[ ] [ ]= − + − − − = − + − − + =3 14 55 45 4 45 12 42 165 135 180 48y a b y a b ay by y ay by
= -222ay + 213by - 135y 3) ... = 8u - 6v - 11v - 14u - 9u + 12v = - 15u - 5v
4) . . . , ,= − − +
− + −
=
19
3
11
27 5 2 5
7
3
1
34y z y z y z y
= − + + − = −19
38 7 5
5
3
1
315 5 8
1
3y z y y z y z, ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1318
Vereinfache folgende Terme:
1) ( )8 115 3 4 2 2
3 2 32x y x y
xyx xy x
−− −, ,
2) ( ) ( ) ( )[ ]11 4 6 9 42 98 14 7 4 2x y x y x y− − − + − ⋅:
3) ( ) ( )221 28 9 18 7 20 4 0 176 4 5 3 3 2 3 4 3 2, , , , : ,c d c d c d c d c d− + − −
Hinweis: ( )6 2
26 2 2 3
a ba b a b
+= + = +:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1318
1) ... = 8x2y - 11x2 - 17x2y2 + 11x2 = 8x2y - 17x2y2
2) ... = 44x - 66y - 9[3x - 7y + 14x - 8y] = 44x - 66y -153x + 135y = - 109x + 69y
3) ... = - 130 c3d2 + 170c2d - 110 + 120d2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Distributivgesetz 1319
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( )[ ] ( )[ ]15 2 4 6 2 6 3 13 16 69 36 3 142x y x y x x xy x y− ⋅ − − + − − − −:
2) ( ) ( )( ) ( )[ ]13 4 6 55 2 11 8 5 7 5 92 2a a b a b a a ab a− − − + − − − +
3) ( ) ( ) ( )72
128 12 2 2 3 4
8
22
3
2
c
cc d c d
d
d−− − − − − + −
−
−
: :
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Distributivgesetz 1319
1) ...= 15[12x - 24y + 12x - 6y] - 13[16x - 23x + 12y - 14y] =
= 15[24x - 30y] - 13[- 7x - 2y] = 360x - 450y + 91x + 26y = 451x - 424y
2) ... = 52a2 - 78ab - 55a2 - 2[- 55ab - 40a2 + 35ab - 63a2 ] =
= 52a2 - 78ab - 55a2 - 2[- 20ab - 103a2] =
= 52a2 - 78ab - 55a2 + 40ab + 206a2 = 203a2 - 38ab
3) ... = - 6c + 4c - 6d - [- 6c + 8d - 4] : 2 = - 2c - 6d + 3c - 4d + 2 = c - 10d + 2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Distributivgesetz 1320
Verwandle folgende Summen in Produkte:
1) 2a2 - 16a 2) cy + c 3) ab - b2
4) 3x3 + 6x 5) 36abc2 - 8ac 6) 14x2y + 7xy2
7) 3xy - 21x2y2 8) 5z2 + 5z 9) 40p3q2 - 32p2q3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Distributivgesetz 1320
1) 2a(a - 8) 2) c(y + 1) 3) b(a - b)
4) 3x(x2 + 2) 5) 4ac(9bc - 2) 6) 7xy(2x + y)
7) 3xy(1 - 7xy) 8) 5z(z + 1) 9) 8p2q2(5p - 4q)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1321
Klammere soviel wie möglich aus:
1) 6ax3 - 9ax2 + 12ax 2) 75a3 - 25a + 65a2
3) 9,1y3 + 5,2y2 + 7,8y4 4) 12a2b3 - 18a3b - 36a2b2
5) 9
8
3
20
15
42 3v v v+ + 6)
5
2
25
6
15
42 2 3st s t s t− +
7) 4ab + 8ac + 12 ad 8) 196a2b2 - 112a3b2 + 42a2b3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1321
1) 3ax(2x2 - 3x + 4) 2) 5a(15a2 - 5 + 13a)
3) 1,3y2(7y + 4 + 6y2) 4) 6a2b(2b2 - 3a - 6b)
5) 3
4
3
2
1
55 2v v v+ +
6)
5
21
5
3
3
22st st s− +
7) 4a(b + 2c + 3d) 8) 14a2b2(14 - 8a + 3b)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1322
Schreibe folgende Terme als Produkte:
1) ( ) ( )a b x a b y+ ⋅ + + ⋅ 2) ( ) ( )m n a m n c− ⋅ − − ⋅
3) 3k(c - d) + c - d 4) m(2x + y) - 2x - y
5) 4ax + 6ay + 6bx + 9by 6) 12mu - 8mv - 30nu + 20nv
7) 2ns - nt - 2ps + pt 8) 4c2x - 12c2y - 3d2x + 9d2y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1322
1) (a + b)(x + y) 2) (m - n)(a - c)
3) (c - d)(3k + 1) 4) (2x + y)(m - 1)
5) 2a(2x + 3y) + 3b(2x + 3y) = (2x + 3y)(2a + 3b)
6) 4m(3u - 2v) - 10n(3u - 2v) = (3u - 2v)(4m - 10n)
7) n(2s - t) - p(2s - t) = (2s - t)(n - p)
8) 4c2(x - 3y) - 3d2(x - 3y) = (x - 3y)(4c2 - 3d2)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Distributivgesetz 1323
Verwandle folgende Terme in Produkte:
1) a2x + b2x - a2y - b2y 2) a2c2 - a2d2 + bd2 - bc2
3) xy + z - yz - x 4) 3x - 4 - 20y + 15xy
5) 4m + 2n + 5pn + 10pm 6) 3a2 - 2ab + 8b2 - 12ba
7) y4 + y3 - 3y - 3 8) 3,3cd + 8,8ce - 3,6bd - 9,6be
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Distributivgesetz 1323
1) x(a2 + b2) - y(a2 + b2) = (x - y)(a2 + b2)
2) a2(c2 - d2) - b(c2 - d2) = (a2 - b)(c2 - d2)
3) y(x - z) -(x - z) = (x - z)(y - 1) (Umsortieren!)
4) (3x - 4) + 5y(3x - 4) = (3x - 4)(1 + 5y)
5) 2(2m + n) + 5p(2m + n) = (2m + n)(2 + 5p)
6) a(3a - 2b) - 4b(3a- 2b) =(3a - 2b)(a - 4b)
7) y3(y + 1) - 3(y + 1) = (y + 1)(y3 - 3)
8) 1,1c(3d + 8e) - 1,2b(3d + 8e) = (3d + 8e)(1,1c - 1,2b)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Multiplikation von Summen 1401
Multipliziere folgende Klammern aus:
1) (x + 3)(x + 2) 2) (k - 5)(k + 2) 3) (y - 6)(y - 7)
4) (- z + 2)(z + 3) 5) (- 2x + 3)(5- 4x) 6) (-2k - 3)(- 3k - 2)
7) (0,4a - 0,5b)(0,5a + 0,4b) 8) (0,7x + 1,3y)(0,7x - 1,3y)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Multiplikation von Summen 1401
1) x2 + 5x + 6 2) k2 - 3k - 10 3) y2 - 13y + 42
4) - z2 - z + 6 5) 8x2 - 22x + 15 6) 6k2 + 13k + 6
7) 0,2a2 - 0,09ab - 0,2b2 8) 0,49x2 - 1,69y2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Multiplikation von Summen 1402
Multipliziere folgende Klammern aus:
1) - (4x + 3y)(2x - 5y) 2) - (- 6a + 4b)(- 2a + 5b)
3) - (3p - 8q)(- 2p - 7q) 4) - (15r - 12s)(- 8s - 11r)
5) (2a2 - 4c2)(9c2 - 8a2) 6) 3
5
2
3
1
4
5
6u v v u+
−
7) 11
32
1
22
1
41
1
5a b a b−
− +
8) ( )( )18 16 18 162 3 3 2, , , ,x y y x− +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Multiplikation von Summen 1402
1) - 8x2 + 14xy + 15y2 2) - 12a2 + 38ab - 20b2
3) 6p2 + 5pq- 56q2 4) 165r2 - 12rs - 96s2
5) - 16a4 + 50a2c2 - 36c4 6) − − +1
2
73
180
1
62 2u uv v
7) − + −3 79
4032 2a ab b 8) 2,88x4 +0,68x2y3 - 2,88y6
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Multiplikation von Summen 1403
Vereinfache folgende Terme.
1) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 3 6 2 4 4 1x x x x− ⋅ + + + ⋅ −
2) ( ) ( ) ( ) ( )8 7 9 5 11 13 12 14a b a b a b b a− ⋅ + − − ⋅ −
3) ( ) ( ) ( ) ( )50 5 2 9 8 15 4 4 3cd c d c d c d d c− + ⋅ − − − ⋅ −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Multiplikation von Summen 1403
1) ... = 6x2 + 12x - 15x - 30 + 8x2 - 2x + 16x - 4 =
= 14x2 + 11x - 34
2) ... = 72a2 + 40ab - 63ab - 35b2 - 132ab + 154a2 + 156b2 - 182ab =
= 226a2 - 337ab + 121b2
3) ... = 50cd - 45c2 + 40cd - 18cd + 16d2 - 60cd + 45c2 + 16d2 - 12cd =
= 32 d2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Multiplikation von Summen 1404
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 2 2 5 3 7 3 8 5⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ +k k k k
2) ( ) ( ) ( ) ( )3 15 0 8 0 4 2 5 6 12 2 4 2 5 15⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ −, , , , , , , ,a a a a
3) - v(v - 1) - [(v - 2)(v + 3) - 6(v + 5)(v - 3)]
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Multiplikation von Summen 1404
1) ... = 4(12k + 30k2 + 4 + 10k) - 3(56k2 + 35k - 24k - 15) =
= 4(30k2 + 22k + 4) - 3(56k2 + 11k - 15) =
= 120k2 + 88k + 16 - 168k2 - 33k + 45 = - 48k2 + 55k + 61
2) ... = ( ) ( )3 0 6 3 75 0 32 2 6 3 18 6 3 62 2⋅ + − − − ⋅ − + − =, , , , ,a a a a a a
( ) ( )= ⋅ + − − ⋅ + − =3 0 6 3 43 2 6 3 4 2 3 62 2, , , ,a a a a
= 1,8a2 + 10,29a - 6 - 18a2 - 25,2a + 21,6 = - 16,2a2 - 14,91a + 15,6
3) ... = - v2 + v - [v2 + 3v - 2v - 6 - 6(v2 - 3v + 5v - 15)] =
= - v2 + v - [v2 + v - 6 - 6v2 - 12v + 90] =
= - v2 + v - v2 - v + 6 + 6v2 + 12v - 90 = 4v2 + 12v - 84
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Multiplikation von Summen 1405
Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen:
1) ( ) ( ) ( )4 5 3 2x y x y x y− ⋅ − ⋅ + 2) ( ) ( ) ( )2 1 4 3 3 2e e e+ ⋅ + ⋅ −
3) ( ) ( ) ( )9 4 3 2 3 22 2a b a b a b+ ⋅ − ⋅ + 4) ( ) ( ) ( )2 5 3 2 15 4 8, , , ,p q q p p q− ⋅ + ⋅ +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Multiplikation von Summen 1405
1) ( ) ( ). . .= − + ⋅ + = + − − + + =4 9 5 3 2 12 8 27 18 15 102 2 3 2 2 2 2 3x xy y x y x x y x y xy xy y
= − − +12 19 3 103 2 2 3x x y xy y
2) ( ) ( ). . .= + + ⋅ − = − + − + − =8 10 3 3 2 24 16 30 20 9 62 3 2 2e e e e e e e e
= + − −24 14 11 63 2e e e
3) ( ) ( ). . .= + ⋅ − = −9 4 9 4 81 162 2 2 2 4 4a b a b a b
4) ( ) ( ). . . , , ,= + − − ⋅ + =3 75 12 4 8 15 362 2pq p q pq p q
( ) ( )= − − ⋅ + =12 4 8 11612 2p q pq p q, ,
= − − + − − =12 4 8 1161 12 4 8 11613 2 2 2 3 2p pq p q p q q pq, , , ,
= − + −12 16 41 0 39 4 83 2 2 3p pq p q q, , ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Multiplikation von Summen 1406
Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:
1) ( ) ( )x y z x y z+ + ⋅ − − 2) ( ) ( )a a a a2 22 3 2 3− + ⋅ + +
3) ( ) ( )2 3 4 5 6 7c d e e d c+ − ⋅ − + 4) ( ) ( )2 5 4 3 12 0 8 14, , , ,k m n k m n+ + ⋅ − +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Multiplikation von Summen 1406
1) ... = x2 - xy - xz +xy - y2 - yz + xz - yz - z2 = x2 - y2 - 2yz - z2
2) . . .= + + − − − + + + = + +a a a a a a a a a a4 3 2 3 2 2 4 22 3 2 4 6 3 6 9 2 9
3) ... = 10ce - 12cd + 14c2 + 15de - 18d2 + 21cd - 20e2 + 24de - 28ce =
= 14c2 - 18d2 - 20e2 + 39de - 18ce + 9cd
4) ... = 3k2 - 2km + 3,5kn + 4,8km - 3,2m2 + 5,6mn + 3,6kn - 2,4mn + 4,2n2 =
= 3k2 - 3,2m2 + 4,2n2 + 2,8km + 3,2mn + 7,1kn
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Multiplikation von Summen 1407
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 5 7 2 5 1 2 33 2⋅ − + − − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ +a a a a a a a a
2) ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y y x y x y x y+ ⋅ − − ⋅ + − + + − − +5 4 7 10 3 2 5 1 3 5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Multiplikation von Summen 1407
1) ( ) ( ). . .= − + − − + + + + + ⋅ + =12 8 4 10 25 14 35 3 2 33 2 2 2a a a a a a a a a
= − − + + + + + + + =12 18 7 35 3 2 3 9 63 2 3 2 2a a a a a a a a
= − + +13 12 4 413 2a a a
2) . . .= + − − − + + − + + − + −x xy y xy y y x xy x xy y y2 2 2 2 220 7 10 3 2 6 10 5 15 25
− + − = − − + + −x y x xy y y x3 5 3 7 45 31 9 52 2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen bei Textaufgaben 1527
Die vier auf der linken Seite der Tafelwaage stehenden Dosen haben gleiche Masse.
Berechne diese.
(siehe auch Focus7; S.116 / 17)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
X Gleichungen bei Textaufgaben 1527
x sei das Gewicht einer Dose.
kggxgx 25001003 =+++
gggx 600|20006004 −=+
4|:14004 gx =
gx 350= Antwort: Jede Dose wiegt 350g.
100g
500g
2 kg
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen und Textaufgaben 1528
Ein einem Dreieck ist α dreimal so groß wie β . Außerdem ergeben β und γ
zusammen 60°. Wie groß sind die Winkel α , β und γ ?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
XX Gleichungen und Textaufgaben 1528 α+ β + γ = 180°
α = 3 β und β + γ =60° einsetzen in die Gleichung zur Winkelsumme:
{0
603
180=++
°
321γβα
β
3 β +60°=180° |-60° 3 β =120° |:3 β =40° Und damit folgt: α = 120° und γ =20°
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen und Textaufgaben 1529
Anton ist dreimal so alt wie Bastian und 5 Jahre älter als Christian. Alle zusammen
sind 30 Jahre alt. Bestimme das Alter von Anton, Bastian und Christian!
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
X Gleichungen und Textaufgaben 1529
Alter von Bastian: x
Alter von Anton: 3x
Alter von Christian: 3x – 5
Gleichung: Gesamtalter
5
7:|357
5|3057
30)53(3
=
=
+=−
=−++
x
x
x
xxx
Bastian ist 5, Anton 15 und Christian 10 Jahre alt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen und Textaufgaben 1530
Peter hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 58€. Petra hat so viele SMS
geschrieben, dass sie ihr Konto um 40€ überziehen musste. Ab Januar zahlen beide
monatlich einen festen Betrag auf ihr Konto ein. Und zwar Peter jeweils 25€ und
Petra 39€. Finde heraus, wann Peter und Petra gleich viel Geld auf ihrem Konto
haben. (Zinsen sollen nicht berücksichtigt werden.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
XX Gleichungen und Textaufgaben 1530
Geg: Peter: 58€ und monatlich 25€ Petra: -40 € und monatlich 39€ Ges: Anzahl der Monate: x Lsg: Angaben in €:
.7
14:;1498
2540;39402558
x
x
xxx
=
⋅=
⋅−+⋅+−=⋅+
Ant: Im Juli haben beide gleich viel Geld auf dem Konto, wenn Zinsen unberücksichtigt werden.
Monate
€
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen und Textaufgaben 1531
Tom hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 56 €. Tina hatte ihr Konto um 28€ überzogen. Ab Januar 2007 zahlen Tom und Tina monatlich jeweils den gleichen Betrag auf ihr Konto ein, und zwar Tom 25 € und Tina 39 €.
Finde heraus, wann Tom und Tina gleich viel Geld auf ihren Konten haben.
a) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Tabelle der monatlichen Kontostände und veranschauliche deine Ergebnisse in einem Diagramm.
b) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung.
(siehe auch delta7; S. 119 / IX)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
XXX Gleichungen und Textaufgaben 1531 a)
Dez Jan Feb März April Mai Juni Juli
Tom 56€ 81€ 106€ 131€ 156€ 181€ 206€ 231€
Tina -28€ 11€ 50€ 89€ 128€ 167€ 206€ 245€
b) x sei die Anzahl der Monate
xx 39282556 +−=+ x1484 = 6=x
Antwort: Im Juni 2007 haben Tina und Tom den gleichen Kontostand.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen und Textaufgaben 1532
Der Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge 2 dm ist um 84 cm² größer
als der eines Quaders der Länge 50 cm und der Breite 12 cm. Wie hoch ist der
Quader?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
XX Gleichungen und Textaufgaben 1532
Oberflächeninhalt des Würfels: ( ) ²2400²2462 cmdmdm ==⋅= Oberflächeninhalt des Quaders: hcmhcmcmcm ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 12250212502
cmh
cmhcmcm
cmhcmcmcm
cmcmhcmhcmcmcmcm
9
124:|124²1116
²1200|124²1200²2316
²84|²8412250212502²2400
=
⋅=
−⋅+=
−+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen und Textaufgaben 1533
Herr Blume besitzt einen rechteckförmigen Garten. Das Rechteck ist 2,5 mal so lang
wie breit. Die Fläche ist zehnmal so groß wie die eines Quadrats mit Seitenlänge 13.
a) Wie lang ist der Garten? Löse mit einer Gleichung!
b) Der Garten soll mit einem Zaun eingefasst werden. Wie viele Meter Zaun
braucht man dazu?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
XXX Gleichungen und Textaufgaben 1533
a) 22 13105,2 ⋅=x
26
6762
=
=
x
x
Der Garten ist also 26 m lang.
b) Der Garten ist 26 m lang und 5,2:26 , also 10,4 m breit.
Damit besitzt das Rechteck einen Umfang von 8,724,102262 =⋅+⋅ m.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Gleichungen und Textaufgaben 1534
Der Strompreis beim Anbieter Kurzschluss setzt sich zusammen aus einer
Grundgebühr und dem Preis für die bezogenen Kilowattstunden (kurz kWh). Familie
Meier bezahlt für ihren Jahresbedarf von 1500 kWh an elektrischer Energie 372 €.
Familie Huber bezahlt für ihren Jahresbedarf von 2200 kWh an elektrischer Energie
512€. Was kostet 1 kWh Strom? Wie hoch ist die monatliche Grundgebühr beim
Anbieter Kurzschluss? (Hinweis: Es sind zwei Größen gesucht! Wie viele
Unbekannte brauchst du?)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
EXP Gleichungen und Textaufgaben 1534
Du brauchst für diese Aufgabe zwei Variablen.
x : Grundgebühr in € y : Kosten für 1 kWh Strom in € Du erhältst zwei Gleichungen: 372 = 12 x + 1500 y 512 = 12 x + 2200 y Löse beide Gleichungen nach 12 x auf: 12 x = 372 – 1500 y 12 x = 512 – 2200 y Dann kannst du gleichsetzen: 372 – 1500 y = 512 – 2200 y | +2200 y – 372 700 y = 140 | : 700
y = 0,20 [€] Eine kWh kostet also 20 Cent. 612:7212:)15002,0372( ==⋅−=x [€]
Die monatliche Grundgebühr beträgt also 6 €.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Gleichungen und Textaufgaben 1535
Finde heraus, wie viele verschiedene Lösungen die Gleichung 59732 =−⋅ yx hat,
wenn x und y natürliche Zahlen sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösungen
EXP Gleichungen und Textaufgaben 1535
Geg: ℵ∈=−⋅ yxyx ,;59732 Ges: x,y Lsg:
;600
3;59732
2
=⋅
+=−⋅
yx
yx
Zerlege 600 in Primfaktoren: 23 532600 ⋅⋅= Also sind 4 und 25 die einzigen vorkommenden Quadratzahlen. Außerdem kann noch die Zahl 1 als x verwendet werden.
( ) ( ) ( ){ }24/5;150/2;600/1=L Ant: Es gibt drei Lösungen, wenn x und y natürliche Zahlen sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1501
Löse folgende Gleichungen:
1) 16 + 12x = 40 2) - 26 + 15x = 34
3) 3 = 39 - 18x 4) 20 = 48 - 14x
5) 16x - 48 = 176 6) - 18x - 288 = - 72
7) 38 - 2x = 200 - 20x 8) 9x + 3 = 15x - 9
9) 57 - 6x = 24x - 48
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1501
1) x = 2 2) x = 4
3) x =2 4) x = 2
5) x = 14 6) x = - 12
7) x = 9 8) x = 2
9) x = 3,5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1502
Löse folgende Gleichungen:
1) 75 + 3x = 126 2) 1
2x + 28 = 19
3) 3 85 317
20, + =x 4) 2
1
73 2
1
4+ =x
5) - 38,2 = 6,4 + x 6) 145
16
43
3= + x
7) 13
41
2
31
1
32 75x x− = + , 8)
7
18
9
16x x= −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1502
1) x = 17 2) x = - 18
3) x = 0 4) x =1
28
5) x = - 44,6 6) x = −1
48
7) x = - 3 8) x = 0
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1503
Löse folgende Gleichungen:
1) 6x + 25 - 3x = 64 2) 4x + 20 + 2x = 44
3) - 3x + 24 - 9x = 0 4) 73 = 73 - 16x + 3x
5) 82 + 3x = 162 - 5x 6) 42 + 16x = 51 + 13x
7) 17x - 65 = 16x - 55 8) 25x - 25 = 75 + 15x
9) 8x - 32 = 38 - 6x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1503
1) x = 13 2) x = 4
3) x = 2 4) x = 0
5) x = 10 6) x = 3
7) x = 10 8) x = 10
9) x = 5
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1504
Löse folgende Gleichungen:
1) 12x + 33 - 5x = 117 - 11x - 48
2) 9x = 17x + 6 + 15x + 17 - 30x
3) 49 + 13x - 53 = 14 + 12x - 38
4) 58x + 55 - 63x = 77 - 20x - 22
5) 12x + 8 - 15x = - 17x + 6 + 14x - 4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1504
1) x = 2
2) x = 32
7
3) x = - 20
4) x = 0
5) L = { }
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1505
Löse folgende Gleichungen:
1) 4x - 27 + 7x = 11x - 22 - 5
2) 13x - 26 = 14x - 19 - 4x + 5
3) 0 = 42 - 24x + 5x - 9x + x + 12
4) 17x + 76 - 8x - 73 + 6x = 23
5) 23x = 17x + 5 + 12x + 16 - 13x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1505
1) L = Q
2) x = 4
3) x = 2
4) x = 11
3
5) x = 3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichungen 1506
Löse folgende Gleichungen:
1) 39x - 19 - 27x + 20 = 55 + 7x - 14
2) 9x - 8 + 6x - 5 + 4x - 3 + 2x - 1 = 4
3) 28 - 6x = 98 - 8x - 16 - 6x - 5 - 4x + 11
4) 22x - 25 + 14x - 14 + 12x - 9 = 0
5) 16x - 23 + 7x - 11 + 11x - 15 - 25x + 22 = 0
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichungen 1506
1) x = 8
2) x = 1
3) x = 5
4) x = 1
5) x = 3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1507
Löse folgende Gleichungen:
1) − + = −1223
366
3
42
5
27x
2) 28 4 11
829 4 1
1
4, ,x x− = +
3) 17
87 3 2125x x+ = + ,
4) - 4,6x - 1,376 = - 2,907 - 5,6x
5) 6
112
2
315 2
1
3
1
22x x x x− − = − +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1507
1) x = −223
27
2) x = −23
8
3) L = { }
4) x = - 1,531
5) x = 90
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1508
Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen, die Formvariable enthalten:
1) 3c + x = 5c 2) 6x - 8k = 10k 3) 4x - 12 = 8a
4) x - 3m = n - 3m 5) y + 6d = 6d 6) 3x - 6a2 = 12a
7) 3
4
2
3k x p− = 8) x + c2 = c3 9) 0 = x - 6u + 5v
10) m2 - 6n = m2 + 5x - 11n
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1508
1) x = 2c 2) x = 3k 3) x = 2a + 3
4) x = n 5) y = 0 6) x = 2a2 + 4a
7) x k p= −3
4
2
3 8) x = c3 - c2 9) x = 6u - 5v
10) x = n
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1509
Löse folgende Gleichungen, die Formvariable enthalten:
1) 12ax - 9a = 27a 2) k - 4x = 2m 3) - 15d = 10x
4) 3ax = a2 5) 5k2x = 10k3 6) 14x + 16a = 6x - 24b
7) 1
37x k= 8)
1
32 5s x s+ = 9)
x
aa= +5
10) - 7x - 4a - b = 3b + 2a - 9x 11) 5x - (7c - 2d) = 5d - 4x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1509
1) x = 3 2) x k m= −1
4
1
2 3) x = - 1,5d
4) x a=1
3 5) x = 2k 6) x = - 2a - 3b
7) x = 21k 8) x s= 21
3 9) x = 5a + a2
10) x = 3a + 2b 11) x c d= +7
9
1
3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1510
Löse folgende Gleichungen:
1) 4x - (8 + 6x) = 18 - 28x
2) 14x - 12(2,5 - x) = 2(2x + 2) + 10
3) (12x + 8) - (10 + 7x) = 5x + 8
4) 3(5x + 7x) + 64 : 8 = 17 - (9 - 9x)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1510
1) x = 1
2) x = 2
3) L = { }
4) x = 0
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1511
Löse folgende Gleichungen:
1) 7 - 6x = 15 + [11 + 4x - (12x + 9)]
2) - 17 + [9x - 12 - (7 - 11x)] = 24 - [- 3x - (16 + 7x)]
3) 26 + 8x - [(x - 4) - (2x - 17)] = 5x - (- 3x + 5)
4) 7x - 11 - {7 - 6x - [12 - 4x - (2x + 5)]} = 4x - 8
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1511
1) x = 5
2) x = 7,6
3) x = - 18
4) x = 1
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1512
Löse folgende Gleichungen:
1) ( ) ( )12 2 3 2 9 12x x− = −
2) ( ) ( )18 2 8 8 18 4+ ⋅ = + ⋅x x
3) ( ) ( )24 6 4 2 9 4 24− − = + −x x
4) ( ) ( )4 3 400 350 2 3 3 350x x x− − − ⋅ = +
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1512
1) x = 2
2) x = 2
3) x = 4
4) x = 200
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1513
Löse folgende Gleichungen:
1) ( )[ ] ( )6 6 6 15 29 3− − − = − −x x
2) 33 97
11 56+ = −
⋅x
x
3) ( )114 3 6 5 9 8 2 3 12 3, , , , ,− = − ⋅ −x x x
4) x x x
x3 12
92
5
8− = + −
5) 17
2027
80 15 2 5
16x
xx
x+ = − + −
,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1513
1) x = 2
2) x = - 649
3) x = 4
4) x = 24
5) x = - 17
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1514
Löse folgende Gleichungen:
1) 17x - 4(x - 3) = 8(3x - 6) - 3(2 + 4x)
2) 15x + 3[2x + 3(8 - x)] = 29 + 11x
3) 5 - 8(2,5x + 11) = 5[13x - 8(3x - 6)] + 9(4x - 14)
4) 3,5(2 - 3x) - [6(1,9 + 0,7x) - 12] + 16x = 1,3x + 2
5) xx
x⋅ +
⋅ +
⋅ + = −
1
3
1
6
3
4
3
8
4
5
7
10
3
5
3
10
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1514
1) x = - 66
2) x = - 43
3) x = - 197
4) L = { }
5) x = 11
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1515
Löse folgende Gleichungen:
1) 6(5,4 - 9x) - 30 = 9 - 15(3x - 4)
2) 0,75(11x - 24) - 0,25(13x - 120) + 13 = 0
3) 74
17 53
66
104x x x
−
− +
= −
4) ( )3
52
1
6
5
8
4
72
1
77 2−
− +
= −x x x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1515
1) 32,4 - 54x - 30 = 9 - 45x +60 2) 8,25x - 18 - 3,25x + 30 + 13 = 0 2,4 - 54x = 69 - 45 x 5x + 25 = 0 - 66,6 = 9x 5x = - 25 x = -7,4 x = - 5
3) 7
4119
5
330
1
6104x x x− − − = − 4)
6
5
1
10
5
14
5
41
2
7− − − = −x x x
21
12
20
12149
2
12104x x x− − = −
24
20
7
70
25
70
25
201
20
70− − − = −x x x
1
12149
2
12104x x− = − − − = −
32
70
1
201
20
70x x
− =451
12x − =
21
20
6
35x
x = - 540 x = −61
8
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1516
Löse folgende Gleichungen:
1) 4 10
32 8
xx
+= +
2) 22 8
18
10 11
6
+=
−x x
3) 7 9
4
2 14
37
x x−−
−=
4) 11 9
4
1
8
2
3
7 13
12
x x+− = −
−
Anleitung:
Beispiel: ( )2 5
32 5 3
2
3
5
3
xx x
+= + = +:
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1516
1) 4
3
10
32 8x x+ = + 2)
11
9
4
9
5
3
11
6+ = −x x
− =14
3
2
3x
55
18
11
9= x
x = -7 x = 5
2
3) 7
4
9
4
2
3
14
37x x− − + = 4)
11
4
9
4
1
8
2
3
7
12
13
12x x+ − = − +
21
12
27
12
8
12
56
127x x− − + =
33
12
17
8
1
12
13
12x x+ = +
77
12
35
127x − =
5
3
49
24x = −
77
12
119
12x = x = −
49
40
x =17
11
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1517
Löse folgende Gleichungen:
1) 1 ( ) ( ) ( )9 11 7 12 13 5 17 2 10− + + + − − = − +x x x x( )
2) ( ) ( )[ ]57 7 2 9 13 111 7 17 4 5 2+ − − = − − − +x x x x x
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]49 15 3 6 11 5 9 2 12 23 10 17+ − − = + − + − −x x x x x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1517
1) 19 - 11x - 7 + 12 + 13x - 5x + 17 = - 2x - 20 41 - 3x = - 2x - 20 x = 61 2) 57 + 7x - 18x + 26 = 111- 7x - [17x - 20 - 8x] 83 - 11x = 111 - 7x - 9x + 20 5x = 48
x = 93
5
3) 49 + 15x - 18x + 33 = 45 + 10x - [12x + 23 - 10x + 17] 82 - 3x = 45 + 10x - 2x - 40 82 - 3x = 5 + 8x 11x = 77 x = 7
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1518
Löse folgende Gleichungen:
1) ( )[ ] ( ) ( )[ ]− − + − = − − − −7 8 3 4 9 50 18 6 3 5 3x x x x x
2) ( ) ( ) ( )4 3 3 9 18 10 1 3x x x− + − = −
3) ( ) ( ) ( )7 3 7 5 3 4 17 103 11x x x x− + − + − = −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1518
1) - 7x - [8 + 12x - 27] = 50 - 18x - 6[- 2x + 3] - 7x + 19 - 12x = 50 - 18x + 12x - 18 - 19x + 19 = 32 - 6x 13x = - 13 x = - 1 2) 4x - 3 + 27 - 54x = 10 - 30x - 50x + 24 = 10 - 30x 14 = 20x x = 0,7 3) 21x - 49 + 5x - 15 + 68 - 4x = 103 - 11x 22x + 4 = 103 - 11x 33 x = 99 x = 3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1519
Löse folgende Gleichungen:
1) ( ) ( )4
35 4 6
2
311 2x x x x x− − = − −
2) ( ) ( )1
49 12 2 3 1
3
4
1
37 8x x x x x x− = − −
+ −
3) 5x(6x + 7) - 3x(10x + 8) + 99 = 0
4) 8x(6 - 5x) + 20x(2x - 3) = 45
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1519
1) 4
3
20
34 6
22
3
4
32 2x x x x x− − = − + 2)
9
43 2 3
9
4
7
3
8
32 2x x x x x x− = − + + −
− = −32
36
22
3x x − = − +3
11
3
7
3x x
− =10
3
18
3x
2
3
7
3x =
x = −9
5 x =
7
2
3) 30x2 + 35x - 30x2 - 24x + 99 = 0 4) 48x - 40x2 + 40x2 - 60x = 45 11x = - 99 - 12x = 45
x = - 9 x = −15
4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichungen 1520
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
1) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x− ⋅ + = + ⋅ −4 8 6 2 2) ( )( ) ( )( )7 5 2 3− + = − −x x x x
3) ( )( ) ( )( )2 4 6 1 4 2 3 1x x x x− + = − − 4) ( ) ( )1
21 4 6 3
1
39 6x x x x−
+ = −
−
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichungen 1520
1) x2 + 4x - 32 = x2 + 4x - 12 / - x2 - 4x - 32 = - 12 ⇒ L = { } 2) 7x + 35 - x2 - 5x = 3x - x2 - 6 + 2x / + x2 2x + 35 = 5x - 6 / + 6 - 2x 41 = 3x / : 3
x = 132
3
3) 12x2 + 2x - 24x - 4 = 12x2 - 4x - 6x + 2 / - 12x2 - 22x - 4 = - 10x + 2 / + 22x - 2 - 6 = 12x / : 12 x = - 0,5 4) 2x2 + 3x - 4x - 6 = 27 - 18x - 3x + 2x2 / - 2x2 - x - 6 = 27 - 21x / + 21x + 6 20x = 33 / : 20 x = 1,65
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1521
Löse folgende Gleichungen:
1) ( ) ( )( ) ( )( )11 3 4 3 2 10 7 7 6 4 52x x x x x x x− − − − = + − − −
2) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 1 4 6 5 2 5 8 36− − − + + = − + +x x x x x x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1521
1) 33x2 - 44x - 3x + 6 + x2 - 2x = 10x2 + 7 - 28x + 35 + 24x2 - 30x
34x2 - 49x + 6 = 34x2 - 58x + 42 / - 34x2 + 58x - 6
9x = 36 / : 9
x = 4
2) 6 - 4x - 3x + 2x2 - 12x2 - 18x - 4x - 6 = 25x + 40 - 10x2 - 16x + 36
- 10x2 - 29x = - 10x2 + 9x + 76 / + 10x2 - 9x
- 38x = 76 / : (- 38)
x = - 2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1522
Löse folgende Gleichungen:
1. 3 14 2
4,5x 3 (28x 6) 13 x+ = − +
2. 22
3(12x 6)(x 6) (2x) 2− + = ⋅
3. 2 31 1
2 4 2( x 2) (2 x) ( x)− = − ⋅ −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1522
1. 3 14 2
4,5x 3 (28x 6) 13 x+ = − +
92
4,5x 3 21x 13,5x+ = − +
152
30x =
41x =
2. 223
(12x 6)(x 6) (2x) 2− + = ⋅
8x2 + 44x – 24 = 8x2
x = 116
3. 2 231 14 8 4
x 2x 4 3 2x x x− + = − − +
38
x 1= −
38
x = −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichungen 1523
Löse folgende Gleichungen: 1. (3x – 2)(5x + 3) = - x² + (4x)² 2. (x – 3)(x² - 5x – 2) = -x(8x – x²) - 20 3. - (2x + 2)² = (x – 4)(x + 2)(- 4)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichungen 1523
1. 15x² + 9x – 10x – 6 = - x² + 16x²
15x² - x – 6 = 15x²
- x – 6 = 0 ⇒ x = - 6
2. x³ - 5x² - 2x – 3x² + 15x + 6 = -8x² + x³ - 20
x³ - 8x² + 13x + 6 = x³ - 8x² - 20
13x + 6 = - 20
13x = - 26 ⇒ x = - 2
3. - (4x² + 8x + 4) = (x² - 4x + 2x – 8)(- 4)
-4x² - 8x – 4 = -4x² + 8x + 32
-8x – 4 = 8x + 32
- 36 = 16x ⇒ x = - 2¼
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1524
Finde fünf aufeinander folgende ganze Zahlen so, dass die Summe der Quadrate
der kleineren drei Zahlen gleich der Summe der Quadrate der beiden größeren
Zahlen ist.
Zeige, dass der Summenwert aller fünf Zahlen entweder 0 oder 60 ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1524
1. Zahl: x 2. Zahl: x+ 1 usw. 5. Zahl: x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16 x2 – 8x – 20 = 0 Durch Raten findet man die Lösungen x = - 2 bzw. x = 10. Die gesuchten Zahlen sind dann entweder – 2, - 1, 0, 1 und 2 (mit Summenwert 0) oder 10, 11, 12, 13, 14 mit Summenwert 60.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1525
Die letzte Ziffer einer dreistelligen Zahl ist 2. Setzen wir die 2 von der letzten an die
erste Stelle und verschieben die anderen Ziffern nach hinten, so wird die Zahl dabei
um 36 kleiner. Wie groß ist die Summe der Ziffern der ursprünglichen Zahl?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1525
Ursprüngliche Zahl: Hunderterziffer: x Zehnerziffer: y Einerziffer: 2
Wert der Zahl: 100x + 10y + 2
Neue Zahl: Hunderterziffer: 2 Zehnerziffer: x Einerziffer: y
Wert der Zahl: 200 + 10x + y
Gleichung: 100x + 10y + 2 – 36 = 200 + 10x + y
90x + 9y = 234 | : 9
10x + y = 26 ⇒
Die neue Zahl ist dann also 226, die Summe der Ziffern 10.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1526
Der Osterhase hat viele hübsche Ostereier verteilt. Die Hälfte hat er in der linken
Gartenecke versteckt, die Hälfte des Restes und noch ein Ei auf der Wiese, die
Hälfte des nun verbliebenen Restes und noch 3 Eier im Beerenstrauch und das
letzte Ei kam unter den Kaffeewärmer. Wie viele Ostereier hat er insgesamt
versteckt?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2004/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1526
Anzahl der Eier: x
( ) ( )[ ] 131x1xxx21
21
21
21
21
21 ++−⋅⋅++⋅+=
13x1xxx21
81
41
21 ++−+++=
21
87 4xx +=
x = 36
Der Osterhase hat also 36 Eier verteilt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Mittelwert 1610
Lukas erzählt von der Geburtstagsfeier seiner Großmutter: „Meine Oma
hat alle ihre vierzehn Enkelkinder zu ihrem Geburtstag eingeladen. Von
den jüngsten, den vierjährigen Zwillingen Lea und Ben, abgesehen,
waren wir alle verschieden alt und, wenn wir das Alter unserer Oma
mitrechnen, im Durchschnitt 14 Jahre alt.“ Wie alt kann die Oma von
Lukas höchstens sein?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Mittelwert 1610
Bei einem Durchschnittsalter von 14 für 15 Personen ist die Summe der Alter aller
Personen 210. Zieht man die beiden Zwillinge ab, so ergibt sich für die anderen 13
Personen noch 202. Da die anderen 12 Enkel alle verschieden alt sind und älter als
4 Jahre sein müssen, sind sie mindestens 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 und 16.
Die Summe ist also 126. Dann verbleibt für die Großmutter ein Alter von höchstens
76.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Mittelwert 1611
Das Durchschnittsalter von Großmutter, Großvater und ihren 7
Enkelkindern ist 28 Jahre. Das Durchschnittsalter der Enkel ist 15. Die
Großmutter ist 3 Jahre älter als der Großvater. Wie alt ist sie?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2004/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Mittelwert 1611
Alter des Großvaters: x Alter der Großmutter: x + 3
Es gilt: 289
7153xx=
⋅+++
⇒ 2x + 108 = 252
⇒ x = 72
Der Großvater ist 72 Jahre alt, die Großmutter 75.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Mittelwert 1609
In einer Klasse mit 25 Schülern und Schülerinnen betrug der
Durchschnitt einer Schulaufgabe 2,92. Hätte jeder der Schüler bzw. jede
der Schülerinnen, die keine 1 hatten, um eine Notenstufe besser
abgeschnitten, so wäre der Notendurchschnitt 2,08 gewesen. Wie viele
Schüler und Schülerinnen hatten tatsächlich eine 1 erreicht?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Mittelwert 1609
Die Summe aller Noten der Schulaufgabe ist 2,92⋅25 = 73.
Wenn alle Schüler um eine Note besser gewesen wären, so wäre die Summe aller
Noten 2,08⋅25 = 52. Die Differenz ist 21; somit hätten sich 21 Schüler um eine Note
verbessern können. Also hatten vier Schüler bereits Note 1.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Mittelwert 1608
Der Mittelwert von 10 voneinander verschiedenen positiven ganzen
Zahlen ist 10. Wie groß ist die größte dieser Zahlen höchstens?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Mittelwert 1608
Die ersten 9 Zahlen sind kleinstenfalls 1, 2, 3, … 9. Damit ergibt sich für die größte
Zahl x:
1010
x921=
++++ ...
1 + 2 + … + 9 + x = 100
45 + x = 100
x = 55
Die größte Zahl ist höchstens 55
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Prozentrechnen 1710
Fanny, Vicky und Christina sparen für ein Zelt. Fanny hat schon 40 %
zusammen, Vicky immerhin 40 % dessen, was noch hinzukommen
muss. Christina hat die restlichen 45 € gespart. Wie viel kostet das Zelt?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Prozentrechnen 1710
Ist der Zeltpreis x, so hat Fanny 0,4x gespart, Vicky 0,4⋅0,6x = 0,24x und Christina
hat 45 €. Also gilt:
0,4x + 0,24x + 45 = x
0,36x = 45
x = 125
Das Zelt kostet 125 €.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Prozentrechnen 1711
Zwei Liter Kiwi-Erdbeer-Saft haben einen Zuckergehalt von 10,0 %; drei
Liter Ananas-Mango-Saft haben einen Zuckergehalt von 12,0 %. Die
beiden Säfte werden gemischt. Welchen Zuckergehalt hat das
Mischgetränk?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Prozentrechnen 1711
10 % von 2 Litern sind 0,2 l, 12 % von 3 Litern sind 0,36 l. Der Zuckeranteil des
Mischgetränks entspricht also 0,56 l. Die Gesamtmenge ist 5 l.
1000
112
500
56
5
560==
, ⇒ Der Zuckergehalt des Mischgetränks ist 11,2 %
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben X Zinsrechnung 1801
Berechne im Kopf:
Eine Bank zahlt 3 % Jahreszinsen. Wie hoch sind sie bei einem Kapital von
1) 200 € 2) 350 € 3) 2500 € 4) 8000 € 5) 15000 €
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung X Zinsrechnung 1801
Lösungsweg: 3) 3 % von 2500 € = 3
100⋅2500 € = 75 €
1) 6 € 2) 10,50 € 3) 75 € 4) 240 € 5) 450 €
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben X Zinsrechnung 1802
Verschiedene Banken zahlen für unterschiedliche Anlageformen des Geldes
verschieden hohe Zinssätze.
Beispielsweise beträgt bei einer Bank der Zinssatz fürs Girokonto 0,5 % , für ein
Sparbuch mit gesetzlicher Kündigung von drei Monaten 2 % , für ein Sparkonto mit
einjähriger Kündigung 3,25 % und für einen Sparbrief mit einer Laufzeit von 4 Jahren
4,5 %.
Berechne für einen Geldbetrag von 4000 € die jährlich ausbezahlten Zinsen für die
verschiedenen Anlageformen und überlege Dir, warum die Bank so unterschiedliche
Zinssätze bezahlt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung X Zinsrechnung 1802
Girokonto: 0,5 % von 4000 € = 0 5
100
,⋅4000 € = 20 €
Sparbuch mit ges. Kündigung: 2 % von 4000 € = 2
100⋅4000 € = 80 €
Sparbuch mit 1jähriger Kündigung: 3,25 % von 4000 € = 3 25
100
,⋅ 4000 € = 130 €
Sparbrief: 4,5 % von 4000 € = 4 5
100
,⋅4000 € = 180 €
Je länger das Geld angelegt wird, umso besser kann die Bank damit arbeiten und
selbst damit Geld verdienen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1803
Berechne die in der Tabelle fehlenden Größen:
Kapital 850 € 7000 € 3600 € 6600 €
Zinssatz 3,5 % 6,25 % 5,5 % 4,75 %
Jahreszinsen 2453 € 226,8 € 399 € 181,50
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1803
Kapital 850 € 7000 € 44600€ 3600 € 8400 € 6600 €
Zinssatz 3,5 % 6,25 % 5,5 % 6,3 % 4,75 % 2,75 %
Jahreszinsen 29,75 € 437,5 € 2453 € 226,8 € 399 € 181,50
Beispiele: a) 3,5 % von 850 € = 3 5
100
,⋅850 € = 29,75 €
c) Kapital =
100
5,5€ 2453
= 44600 €
d) Zinssatz = € 3600
€ 80,226 = 0,063 = 6,3 %
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1804
Herr Großfuß will zur Anschaffung eines neuen Autos einen Kredit von 15000 €
aufnehmen. Diesen möchte er nach einem Jahr zurückzahlen. Er kann dabei
zwischen zwei Angeboten wählen:
a) Zinssatz 8,75 % ohne Bearbeitungsgebühr
b) Zinssatz 8,25 % plus eine Bearbeitungsgebühr von 100 €
Welches Angebot ist für ihn günstiger?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1804
a) 8,75 % von 15000 € = 8 75
100
,⋅15000 € = 1312,5 €
b) 8,25 % von 15000 € = 8 25
100
,⋅ 15000 € = 1237,5 €
Hinzu kommt die Bearbeitungsgebühr: Gesamtbetrag: 1337,50 €
Das Angebot a) ist für ihn günstiger.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1805
Berechne die Zinsen für:
1) 500 € bei 3 % für 1
2 Jahr
2) 800 € bei 3,5 % für 9 Monate
3) 600 € bei 2,5 % für 5 Monate
4) 1500 € bei 4 % für 11 Monate
5) 2500 € bei 5,5 % für 21
2 Jahre
6) 8000 € bei 6 % für 80 Tage
7) 1400 € bei 4 % für 150 Tage
8) 900 € bei 5 % für 140 Tage
(Beachte: Ein Bankjahr hat 360 Tage)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1805
1) 3
100
1
2⋅ ⋅ 500 € = 7,50 € 2)
3 5
100
9
12
,⋅ ⋅ 800 € = 21 €
3) 2 5
100
5
12
,⋅ ⋅ 600 € = 6,25 € 4)
4
100
11
12⋅ ⋅ 1500 € = 55 €
5) 5 5
1002
1
2
,⋅ ⋅ 2500 € = 343,75 € 6)
6
100
80
360⋅ ⋅ 8000 € = 106,67 €
7) 4
100
150
360⋅ ⋅ 1400 € = 23,33 € 8)
5
100
140
360⋅ ⋅ 900 € = 17,5 €
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1806
Wie viel Zinsen erhält man für 6150,40 € vom 31. Mai bis 12.Oktober bei einem
Zinssatz von 4,5 %
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1806
Zinszeit: 4 Monate 12 Tage = 132 Tage
360
Zinszeit
100
ZinssatzKapitalZins ⋅⋅=
48,101360
132
100
5,44,6150Zins =⋅⋅= €
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XXX Zinsrechnung 1807
Bei welchem Kapital erhält man einen Zins von
a) 96 € bei 3,75 % in 8 Monaten
b) 1530 € bei 4,25 % in 81 Tagen
c) 1001 € bei 6,5 % vom 20.6. bis 14.9. ?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XXX Zinsrechnung 1807
360
Zinszeit
100
ZinssatzKapitalZins ⋅⋅=
Kapital = x €
a) 12
8
100
75,3x96 ⋅⋅=
40
1x96 ⋅=
x = 3840
b) 360
81
100
25,4x1530 ⋅⋅=
16000
153x1530 ⋅=
x=160000
c) 360
84
100
5,6x1001 ⋅⋅=
6000
91x1001 ⋅=
x = 66000
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XXX Zinsrechnung 1808
a) Berechne den Rückzahlungstag:
1350 € wurden am 31.5. zu 3,75 % ausgeliehen und mit Zinsen zu insgesamt
1377 € zurückgezahlt.
b) Bei welchem Zinssatz werden 12700 €, die vom 11.3. bis 23.8. ausgeliehen
waren, mit 13004,80 € zurückgezahlt?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XXX Zinsrechnung 1808
a) Zinszeit: x
360
x
100
75,3135027 ⋅⋅=
x400
75,31527 ⋅
⋅=
x1600
22527 ⋅=
x64
927 ⋅=
x = 192
Rückzahltag: 12.12.
b) Zinssatz = x
360
162
100
x127008,304 ⋅⋅=
x20
11438,304 ⋅=
x = 3
15
Der Zinssatz war 315 % .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XXX Zinsrechnung 1809
Herr Häuslebauer will sich für 225500 € ein Haus kaufen. Wie viel Eigenkapital muss
er mindestens haben, wenn er für ein Darlehen zu 5,4 % eine monatliche
Zinsbelastung von 640 € nicht überschreiten will?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XXX Zinsrechnung 1809
Jahreszinsen: 640 € • 12 = 7680 €.
5,4 % ∧
= 7680 €
100 % ∧
= 142222 €
Er muss also 83278 € Eigenkapital besitzen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1810
Frau Bleifuß kauft sich ein Auto zum Preis von 14950 €. 5000 € zahlt sie sofort, der
Rest wäre in 20 Tagen fällig. Sie kommt jedoch in Zahlungsverzug und kann erst
nach 56 Tagen zahlen. Wie viel muss sie jetzt inklusive Zinsen überweisen, wenn die
Verzugszinsen 10,2 % betragen?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1810
49,101360
36
100
2,109950Zins =⋅⋅=
Sie muss also 10051,49 € bezahlen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XX Zinsrechnung 1811
Frau Meier steht vor einer schwierigen Entscheidung: Soll sie sich eine
Eigentumswohnung für 160000 € kaufen oder soll sie ihre Ersparnisse auf der Bank
lassen und weiterhin zur Miete wohnen? Kauft sie die Eigentumswohnung, wo muss
sie einen Kredit über 100000 € bei der Bank aufnehmen und 5,6 % Zinsen zahlen.
Wohnt sie zur Miete, so muss sie monatlich 450 € Miete bezahlen, bekommt aber für
ihre Ersparnisse auf der Bank 4 % Zinsen. Was ist für Frau Meier günstiger?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XX Zinsrechnung 1811
Kauf der Eigentumswohnung: Jahreszinsen 5600 €
Wohnung zur Miete: Ausgaben: 5400 € Miete
Zinseinnahmen 4 % von 60000 € = 2400 €
Es bleiben also 3000 € Ausgaben.
Nach dieser Rechnung wäre also die Mietwohnung die günstigere Alternative. Es ist
jedoch auch zu bedenken, dass das Darlehen auch getilgt wird (abbezahlt), so dass
mit der Zeit die Zinsen immer weniger werden und die Wohnung irgendwann Frau
Meier selbst gehört, so dass sie keine Miete mehr zahlen muss.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XXX Zinsrechnung 1812
Auf einem Sparkonto werden alle drei Monate 250 € einbezahlt und mit 4,5 %
verzinst. Nach 2,5 Jahren ab der ersten Einzahlung wird das Konto wieder aufgelöst.
Wie hoch ist der Kontostand, wenn auch die Zinsen jährlich bzw. am Ende der
Laufzeit auf dem Konto gutgeschrieben werden?
(Hinweis: Berechne die Zinsen für 250 € für ein Vierteljahr und addiere sie passend.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XXX Zinsrechnung 1812
Datum 1.1.01 1.4.01 1.7.01 1.10.01 1.1.02 1.4.02 Einzahlung 250 250 250 250 250 250 Zinsen 0 0 0 0 28,13 0 Kontostand 250 500 750 1000 1278,13 1528,13 Datum 1.7.02 1.10.02 1.1.03 1.4.03 1.7.03 Einzahlung 250 250 250 250 0 Zinsen 0 0 74,39 0 55,74 Kontostand 1778,13 2028,13 2352,52 2602,52 2658,26 (Anmerkung: Die vierteljährlichen Zinsen für 250 € sind 2,8125 €.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Üben XXX Zinsrechnung 1813
Welchen Betrag muss man einzahlen, damit er bei einem Zinssatz von 6 % nach
3 Jahren mit Zinseszins auf 3000 € anwächst? (Runde Zwischenergebnisse auf €!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
6 Lösung XXX Zinsrechnung 1813
Rechnung fürs 3. Jahr:
106 % ∧
= 3000 €
100 % ∧
= 2830 €
Kontostand nach 2 Jahren
Rechnung fürs 2. Jahr:
106 % ∧
= 2830 €
100 % ∧
= 2670 €
Kontostand nach 1 Jahr
Rechnung fürs 1. Jahr:
106 % ∧
= 2670 €
100 % ∧
= 2519 €
Anfangskontostand
Man muss also 2519 € anlegen.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Kongruenz von Dreiecken 1901
Entscheide, ob zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ kongruent sind, wenn sie folgende
Bedingungen erfüllen:
1) c = a’ , α = α’ , β = γ’
2) b = b’ , a = a’ , ß = ß’
3) a = b’ , b = c’ , γ = α’
4) c = a’ , α = β’ , ß = γ’
(Hinweis: Markiere in einer Skizze die übereinstimmenden Teile jeweils farbig.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Kongruenz von Dreiecken 1901
1) nicht kongruent, da nicht Winkel in
gleicher Lage zur Seite übereinstim-
men.
2) nur dann kongruent, wenn b die län-
gere Seite ist (SsW-Satz);
3) kongruent nach dem SWS-Satz;
4) kongrunet nach dem WSW-Satz.
c'c'c'c'
a'a'a'a'b'b'b'b'
A'A'A'A' B'B'B'B'
C'C'C'C'
cccc
aaaabbbb
AAAA BBBB
CCCC
α ß
γ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Kongruenz von Dreiecken 1902
Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = b und die Höhen ha und hb und
begründe, dass die beiden unteren Teildreiecke, die durch diese Höhen vom Dreieck
ABC abgeschnitten werden, kongruent sind. Was folgt daraus für die Höhen?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Kongruenz von Dreiecken 1902
Behauptung: ∆ABD ≅ ∆ ABE
Begründung:
∠BAE = ∠DBA (Basiswinkel von Dreieck ABC)
∠AEB = ∠ADB = 900 (Höhen von Dreieck ABC)
[AB] kommt in beiden Dreiecken vor
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWW-Satz
Da die Höhen entsprechende Seiten in kongru-
enten Dreiecken sind, sind sie gleich lang.
AAAA BBBB
CCCC
DDDDEEEE
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Kongruenz von Dreiecken 1903
Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis [AB]. Von A und B aus werden
auf der Basis gleich lange Strecken x mit x AB<1
2 angetragen. So entstehen die
Punkte D und E (D näher bei A). Beweise, dass die Dreiecke ADC und EBC kongru-
ent sind. Was folgt daraus für das entstehende Dreieck DEC?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1903
Behauptung: ∆ADC ≅ ∆ EBC
Begründung:
∠DAC = ∠CBE (Basiswinkel von Dreieck ABC)
AD EB= ( = x)
AC CB= (gleiche Schenkel des Dreiecks ABC)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWS-Satz
⇒ DC EC= (entsprechende Seiten in kongruenten
Dreiecken) ⇒ Das Dreieck DEC ist ebenfalls gleichschenklig.
AAAA BBBB
CCCC
DDDD EEEExxxx xxxx
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Kongruenz von Dreiecken 1904
Zeichne von der Mitte M der Basis [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks die Lote
auf die Schenkel. Sie schneiden die Schenkel in den Punkten D auf [BC] und E auf
[AC]. Beweise, dass die Dreiecke AME und MBD kongruent sind. Was folgt daraus
für die gezeichneten Lotstrecken?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1904 Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD
Begründung:
∠MAE = ∠DBM (Basiswinkel von Dreieck ABC)
AM MB= (Hälfte der Basis [AB] )
∠AEM = ∠MDB ( = 900)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWW-Satz
⇒ MDEM = (entsprechende Seiten in kongruen-ten Dreiecken)
AAAA BBBB
CCCC
MMMM
DDDDEEEE
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Kongruenz von Dreiecken 1905
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und die Seitenhalbierende einer der Seiten. Fäl-
le von den Endpunkten dieser Seite die Lote auf die Seitenhalbierende und beweise
durch Betrachtung zweier kongruenter Dreiecke, dass diese Lote gleich lang sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1905
Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD
Begründung:
∠AME = ∠BMD (Scheitelwinkel)
AM MB= (Hälfte der Seite [AB])
∠MEA = ∠MDB ( = 900)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWW-Satz
⇒ DBEA = (entsprechende Seiten in kon-
gruenten Dreiecken) ⇒ Die Lotstrecken sind gleich lang.
AAAA BBBB
CCCC
MMMM
DDDD
EEEE
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Kongruenz von Dreiecken 1906
Zeichne in ein Parallelogramm eine Diagonale ein und begründe, dass dadurch das
Parallelogramm in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt wird.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Kongruenz von Dreiecken 1906
Behauptung: ∆ABD ≅ ∆BCD
Begründung:
∠DBA = ∠BDC (Wechselwinkel)
BD BD= (gleiche Strecke in beiden
Dreiecken)
∠ADB = ∠CBD (Z-Winkel)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach
dem WSW-Satz
AAAA BBBB
CCCCDDDD
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Kongruenz von Dreiecken 1907
Zeichne in einem Dreieck ABC die Seitenhalbierende sc . Sie schneidet die Seite
[AB] im Punkt M. Zeichne durch M die Parallele zu BC. Sie schneidet [AC] in P.
Zeichne außerdem die Parallele zu AC durch M. Sie schneidet [BC] in Q.
a) Begründe, dass die Dreiecke MQC und PMC kongruent sind.
b) Begründe, dass auch die Dreiecke AMP und MBQ kongruent sind.
c) Warum folgt daraus, dass P und Q die Seitenmittelpunkte sind?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1907 a) Behauptung: ∆MQC ≅ ∆PMC Begründung: ∠QMC = ∠PCM (Wechselwinkel) CM CM= (gleiche Strecke) ∠MCQ = ∠CMP (Z-Winkel) ⇒ Kongruent nach dem WSW-Satz
b) Behauptung: ∆AMP ≅ ∆MQB Begründung: ∠MAP = ∠BMQ (Stufenwinkel) AM MB= (Hälfte der Strecke [AB] ) ∠PMA = ∠QBM (Stufenwinkel)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem WSW-Satz
c) ∆AMP ≅ ∆MQB ⇒ AP MQ= (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken) ∆PMC ≅ ∆CQM ⇒ PC MQ= (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken) ⇒PC MQ AP= = ⇒ P ist Mittelpunkt von [AC] (ebenso mit Q und [BC] )
AAAA BBBB
CCCC
MMMM
PPPP QQQQ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Dreieckskonstruktionen 1908
Konstruktion aus 3 Seiten:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
a = 3,5 cm , b = 4,5 cm, c = 5,5 cm
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
2. Was kannst Du über die Zahl der Lösungen für folgende Konstruktion sagen?
a = 9 cm , b = 4 cm, c = 3,5 cm
(kurze Begründung!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Dreieckskonstruktionen 1908
Konstruktionsplan:
1) c = 5,5 cm legt A und B fest.
2) C liegt auf
a) k(A; r = 4,5 cm) und
b) k(B ; r = 3,5 cm) .
2. Das Dreieck ABC existiert nicht, da b + c < a ist.
AAAA BBBB
CCCC
1.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Dreieckskonstruktionen 1909
Konstruktion aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
a = 4,5 cm , c = 3 cm, ß = 700
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
2. Ist die Konstruktion aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel immer eindeutig
lösbar?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Dreieckskonstruktionen 1909
1.
Konstruktionsplan:
1) c = 3 cm legt A und B fest.
2) C liegt auf
a) dem freien Schenkel von ß = 700 und
b) k(B ; r = 4,5 cm)
2. Konstruktionen dieser Art sind immer eindeutig
lösbar.
AAAA BBBB
CCCC
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Dreieckskonstruktionen 1910
Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
a = 5 cm , ß = 600 , γ = 450
(Konstruiere auch die Winkel!)
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Dreieckskonstruktionen 1910
Konstruktionsplan:
1) a = 5 cm legt die Punkte B und C fest.
2) A liegt auf
a) dem freien Schenkel von ß = 600
b) dem freien Schenkel von γ = 450
(Auf die Konstruktion des 450-Winkels wurde in der
Zeichnung verzichtet.)
AAAA
BBBB
CCCC
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Dreieckskonstruktionen 1911
Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:
Konstruiere ohne Abmessen der Winkel und der
Strecke in nebenstehender Skizze nur mit Zirkel und
Lineal das Dreieck ABC aus den Angaben
α , γ und c .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Dreieckskonstruktionen 1911
Konstruktionsplan: 1) c legt A und B fest. 2) C liegt auf dem freien Schenkel von α
und von ß. (Die Winkel sind mit dem Zirkel zu übertragen!)
AAAA BBBB
CCCC
α
γ
c
γ
α ß
Hilfskonstruktion für ß
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Dreieckskonstruktionen 1912
Konstruktion aus zwei Seiten und einem Gegenwinkel:
Konstruiere Dreiecke aus folgenden Angaben und entscheide vor der Durchführung
der Konstruktion, wie viele Lösungen es gibt:
1. a = 4 cm, b = 3 cm, α = 500
2. a = 4 cm, b = 3,5 cm, ß = 500
3. a = 3 cm, b = 4 cm, α = 1000
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Dreieckskonstruktionen 1912 Die Konstruktion 1) ist eindeutig lösbar (da der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt), bei 2. gibt es aus zwei Lösungen, da der gegebene Winkel der klei-neren Seite gegenüberliegt, und bei 3. gibt es keine Lösung, da der 1000-Winkel der größte Winkel im Dreieck ist und daher auch der größten Seite gegenüberliegen muss.
AAAA
BBBB
CCCC
A1A1A1A1 BBBB
CCCC
A2A2A2A2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichschenklige Dreiecke 2001
Berechne die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn
a) ein Basiswinkel 460 51’ beträgt;
b) der Winkel an der Spitze 780 19’ ist
c) der Winkel an der Spitze doppelt so groß wie ein Basiswinkel ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichschenklige Dreiecke 2001
α und ß sind Basiswinkel, γ ist der Winkel an der Spitze.
a) ß = α = 460 51’ , γ = 1800 - 2 ⋅ 460 51’ = 1800 - 930 42’ = 860 18’
b) α = ß = (1800 - 780 19’) : 2 = 1010 41’ : 2 = 500 50’ 30“
c) α = ß = 450 , γ = 900
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichschenklige Dreiecke 2002
Berechne den Winkel α.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichschenklige Dreiecke 2002
α‘ = 1800 - 900 - 470 = 430
α + α‘ = δ = (1800 - 470) : 2 = 66,50
α = 23,50
(Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit Basis [AD].)
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
47.0 ° 47.0 ° 47.0 ° 47.0 °
α
A
B
C
D
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2003
Berechne die Winkel α, ß1 , ß2 und δ.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2003
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit Basis [AC], das Dreieck BCD ist ebenfalls
gleichschenklig mit Basis [BD].
α = γ = 350 , β = 1800 − α − γ = 1100
β2 = δ = (1800 − 350) : 2 = 1450 : 2 = 72,50
β1 = β − β2 = 37,50
AAAA
BBBB
DDDD
CCCC
35.0 ° 35.0 ° 35.0 ° 35.0 °
αααα
ß1
δδδδ
ß2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2004
Im gezeichneten Viereck ABCD sind die Strecken [AD] , [DC] und [BC] gleich lang.
Berechne den Winkel γ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2004
Die Dreiecke ACD und BCD sind gleichschenklig. Die Diagonalen des Vierecks sind
die Basen dieser Dreiecke.
∠CAD = α1 = ∠DCA = γ1 = (1800 − (860 +38,50)) : 2 = 27,750
∠CBD = β1 = 38,50
γ + γ1 = 1800 − 2 ⋅ 38,50 = 1030 ⇒ γ = 75,250
cccc
cccc
cccc
86.0 ° 86.0 ° 86.0 ° 86.0 °
38.5 ° 38.5 ° 38.5 ° 38.5 °
AAAA BBBB
CCCCDDDD
γγγγ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Gleichschenklige Dreiecke 2005
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC, bei dem die Schenkel a und b je
5 cm lang und der Winkel γ = 450 ist.
(Anmerkung: Auch der Winkel ist zu konstruieren!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Gleichschenklige Dreiecke 2005
Zuerst [AC] = 5 cm antragen, dann
γ = 450 mit 1. Schenkel [CA antragen.
B ist der Schnittpunkt von k(C;r=5 cm)
mit dem freien Schenkel von γ.
AAAABBBB
CCCC
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2006
Konstruiere in einem beliebigen
gleichschenkligen Dreieck ABC die
Halbierenden der Innenwinkel.
Sie schneiden sich in einem Punkt. Wie
groß sind die Innenwinkel des Dreiecks,
wenn die Winkelhalbierende von ß und die
Winkelhalbierende von γ einen Winkel von
1240 miteinander einschließen (siehe
Skizze)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2006
Ist W der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und M der Mittelpunkt von [AB] , so
gilt im rechtwinkligen Dreieck MBW: 1
2180 90 180 124 340 0 0 0 0ß = − − − =( )
⇒ ß = 680
⇒ γ = 1800 - 2ß = 440
124.0 ° 124.0 ° 124.0 ° 124.0 °
AAAA BBBB
CCCC
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Gleichschenklige Dreiecke 2007
Zeichne einen beliebigen Winkel α und seine Winkelhalbierende w. Wähle einen
beliebigen Punkt A auf dem 1. Schenkel des Winkels α und konstruiere das Lot zu
diesem 1. Schenkel durch A. Dieses Lot schneidet den 2. Schenkel in B und die
Winkelhalbierende in P. Konstruiere nun das Lot zum 2. Schenkel durch B. Dieses
Lot schneidet die Winkelhalbierende in Q. Untersuche rechnerisch, ob das Dreieck
PQB gleichschenklig ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Gleichschenklige Dreiecke 2007
∠SPA = 180 901
20 0− − α =
= −901
20 α = ∠QPB
∠SBA = 900 - α
∠PBQ = 900 - (900 - α) = α
∠BQP = 180 901
20 0− − −
α α
= 901
20 − α = ∠QPB
⇒ Das Dreieck PQB ist gleichschenklig, da es gleich große Basiswinkel hat.
SSSS AAAA
PPPP
BBBB
QQQQwwww
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
αααα
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2008
In der Zeichnung sind die mit gleicher
Farbe und gleichem Buchstaben
bezeichneten Winkel gleich groß.
a) Welche Strecken sind gleich lang?
b) Zeige durch Rechnung, dass der Winkel
δ ebenso groß wie α ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2008
a) AD AC= (gleiche Basiswinkel im ∆ADC) , AB BC= (gleiche Basiswinkel im
∆ABC) , BE ED= (gleiche Basiswinkel im ∆EBD)
b) δ = 1800 − α − β (gestreckter Winkel bei D) , und da im Dreieck ABC die
Winkelsumme α + α + β = 1800 ist, folgt: 1800 − α − β = α .
AAAA BBBB
CCCC
DDDD
EEEE
α
α
α
δ β
β
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2009
Gegeben sind die Punkte P(1/1) , R(9/6) und C(6/1) und die Gerade g = PR.
a) Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC, das die Gerade g als Symmetrieachse
besitzt, so dass B auf g liegt.
b) Konstruiere die zweite Symmetrieachse h durch C. Sie schneidet g in S.
Begründe, dass das Dreieck ASC gleichschenklig ist.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2009
A ist der Spiegelpunkt von C
an der Achse g. B liegt auf
dem Kreis um C durch A und
der Symmetrieachse g.
Das Dreieck ASC hat zwei
gleich große Basiswinkel bei
A und C (300) PPPP
RRRR
CCCC
AAAA
BBBB
SSSS
g
h
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2010
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Spitze C ist γ = 760.
Unter welchem Winkel schneiden sich.
a) wα und hc
b) wα und wß
c) ma und mc ?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2010
a) α = β = 520
δ = 1800 − 900 − 260 = 640
b) ε = 1800 − 260 − 260 = 1280
c) φ = 1800 − 380 − 900 = 520
mc=hc
ma
C
A B
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Rechtwinklige Dreiecke 2101
1. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit ß = 900 gilt: γ α=2
3
Wie groß sind die Winkel α und γ ?
2. In einem bei A rechtwinkligen Dreieck ABC unterscheiden sich die beiden spitzen
Winkel um 380 . Wie groß sind sie?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Rechtwinklige Dreiecke 2101
1. α γ α α α γ+ = ⇒ = ⇒ ⇒90 900 0 +2
3 = 54 = 360 0
2. ß + = ⇒ = ⇒ ⇒γ β γ γ γ γ γ90 900 0 und = + 36 + + 36 2 = 54 = 270 0 0 0
ß = 630
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Rechtwinklige Dreiecke 2102
Begründe folgende Aussage:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem 300-Winkel ist die kürzere Kathete halb so
lang wie die Hypotenuse.
Konstruiere dazu zunächst ein Dreieck ABC mit α = 300 und γ = 900
(Hinweis: Für die Begründung benötigst Du eine Hilfslinie!)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Rechtwinklige Dreiecke 2102
Die benötigte Hilfslinie ist [MC].
ß = 900 - α = 600
Das Dreieck MBC ist daher gleich-
schenklig ( )MB MC= mit gleich gro-
ßen Basiswinkeln bei M und C und
ß = 600. ⇒ Das Dreieck MBC ist
sogar gleichseitig. ⇒ BC MB=
AAAA BBBB
CCCC
MMMM
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Rechtwinklige Dreiecke 2103
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse [BC] und BC = 5 cm
und AC = 3 5, cm.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Rechtwinklige Dreiecke 2103
BC = 5 cm legt die Punkte B und
C fest.
A liegt auf dem Thaleskreis über
[BC] und dem Kreis um C mit Ra-
dius 3,5 cm.
BBBB CCCC
AAAA
MMMM
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Rechtwinklige Dreiecke 2104
Begründe folgende Aussage:
In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe auf die Hypotenuse
das Dreieck in zwei gleich große, ebenfalls gleichschenklig-rechtwinklige Teildrei-
ecke.
Zeichne dazu ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und die Höhe auf die Hypo-
tenuse.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Rechtwinklige Dreiecke 2104
Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ist
achsensymmetrisch. Daher ist die Höhe
hc zugleich Winkelhalbierende von γ. Die
Basiswinkel α und ß des Dreiecks ABC
sind gleich groß und daher 450 . Außer-
dem ist γ γ γ1 2
1
2= = = 450 . Somit besit-
zen die beiden Teildreiecke AHC und HBC bei H einen rechten Winkel und gleich
große Basiswinkel. Sie sind also gleichschenklig-rechtwinklig. Gleich groß sind sie
auf Grund der Symmetrie der Figur zur Achse HC.
AAAA BBBBHHHH
CCCC
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Rechtwinklige Dreiecke 2105
Das Dreieck ABC ist gleich-
schenklig mit Basis [AB] . Ein
Kreis um B mit Radius BC
schneidet die Gerade AB in D.
a) Drücke den Winkel δ durch
den Winkel γ aus.
b) Für welchen Wert von γ ist
das Dreieck ADC bei C
rechtwinklig?
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Rechtwinklige Dreiecke 2105
a) α = β = (1800 − γ) : 2 = 900 − 1
2γ (gleichschenkliges Dreieck ABC)
β∗ = 1800 − β = 900 + 1
2γ (Nebenwinkel)
δ = (1800 − β∗) : 2 = (900 − 1
2γ) : 2 = 450 −
1
4γ (gleichsch. Dreieck BDC)
b) ∠ACD = γ + δ = γ + 450 − 1
4γ =
3
4γ + 450 = 900 wenn γ = 600 ist.
AAAA BBBB
CCCC
DDDD
γ
δ
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Rechtwinklige Dreiecke 2106
In einem Dreieck ABC ist M
die Mitte von [AB], D und E
sind die Fußpunkte der Hö-
hen ha und hb .
a) Begründe, dass das Dreieck
MDE gleichschenklig ist.
b) Berechne die Winkel ∠CDE
und ∠DEC, wenn α = 640
und ß = 380 sind.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Rechtwinklige Dreiecke 2106
a) Die Punkte D und E liegen auf dem Thaleskreis über [AB], da die Dreiecke ABD
und ABE rechtwinklig sind. M ist der Mittelpunkt des Thaleskreises, also ist
MD ME= und das Dreieck MDE ist gleichschenklig.
b) ∠EMA = 1800 - 2α = 520 (gleichschenkliges Dreieck AME)
∠BMD = 1800 - 2ß = 1040 (gleichschenkliges Dreieck BMD)
∠DME = 1800 - 1040 - 520 = 240
∠MED = ∠EDM = (1800 -240):2 = 780 (gleichschenkliges Dreieck MDE)
∠DEC = 1800 - ∠AEM - ∠MED = 1800 - 640 - 780 = 380
∠CDE = 1800 - ∠EDM - ∠MDB = 1800 - 780 - 380 = 640
AAAA BBBB
CCCC
MMMM
DDDD
EEEE
hahahaha
hbhbhbhb
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Rechtwinklige Dreiecke 2107
Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 5 cm.
Konstruiere zwei parallele Geraden a durch A und b durch B, die einen Abstand von
3 cm haben.
(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Rechtwinklige Dreiecke 2107
Man erhält einen zweiten
Punkt der Geraden a,
wenn man den Thales-
kreis über [AB] mit einem
Kreis um B mit Radius
3 cm schneidet. Daher
gibt es auch zwei Gera-
den a1 und a2 und die
jeweiligen Parallelen b1
und b2 durch B.
AAAA BBBB
3 cm3 cm3 cm3 cm
3 cm3 cm3 cm3 cm
a1a1a1a1
b1b1b1b1
b2b2b2b2
a2a2a2a2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Rechtwinklige Dreiecke 2108
Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 4 cm.
Konstruiere alle Geraden, von denen diese Punkte die Entfernung 1,5 cm haben, so
dass die Punkte auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen.
(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Rechtwinklige Dreiecke 2108
Aus Symmetriegründen müssen
die gesuchten Geraden durch den
Mittelpunkt der Strecke [AB] ge-
hen. Zeichnet man die Abstände
ein, so entstehen rechtwinklige
Dreiecke über den Hypotenusen
[AM] und [MB] . Man erhält also
einen weiteren Punkt der gesuch-
ten Geraden, indem man die Tha-
leskreise über [AM] und [BM] mit
den Kreisen um A und B mit Radius 1,5 cm schneidet.
AAAA BBBB1,5cm1,5cm1,5cm1,5cm
1,5cm1,5cm1,5cm1,5cm
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Rechtwinklige Dreiecke 2109
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC wird
die Winkelhalbierende w des Winkels α ge-
zeichnet. Sie schneidet die Strecke [BC] in W.
Das Lot zu w im Punkt W schneidet die Gerade
AB im Punkt P.
Begründe, dass die Strecke [AP] doppelt so
lang ist wie die Strecke [BW].
(Hinweis: Zeichne die Figur zunächst selbst,
damit Du Hilfslinien einzeichnen kannst.)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Rechtwinklige Dreiecke 2109
Das Dreieck APW ist rechtwinklig. Daher
liegt W auf dem Thaleskreis über [AP] . M ist
der Mittelpunkt von [AP] . Das Dreieck AMW
ist gleichschenklig mit Basiswinkeln 1
2α . Der
Außenwinkel ∠BMW = α = ß (da das Drei-
eck ABC gleiche Basiswinkel α und ß be-
sitzt.) Somit ist auch das Dreieck MBW
gleichschenklig und es folgt:
BW MW AM AP= = =1
2
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
AAAA BBBB
CCCC
wwww
WWWW
PPPP
90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °
AAAA BBBB
CCCC
wwww
WWWW
PPPPMMMM
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben EXP Transversalen 2210
Im Rechteck ABCD sind die Punkte P, Q, R und S Seitenmittelpunkte. T
wiederum ist Mittelpunkt der Strecke [SR].
Finde heraus, welchen Bruchteil des Flächeninhalts des Rechtecks
ABCD das Dreieck PQT einnimmt.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung EXP Transversalen 2210
Die Geraden SR und PQ sind parallel, denn die Dreiecke SDR, RQC, PBQ und APS
sind kongruent (nach dem SWS-Satz); die Winkel ∠SRQ und ∠RQP sind
Nachbarwinkel und mit α = ∠DRS gilt ß = ∠RSD = 90° - α. Also ist
∠SRQ + ∠RQP = 180° - 2α + 180° - 2ß = 180° - 2α + 180° - 2(90° - α) = 180°. Da
sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, sind die Geraden parallel.
Daher kann T auf der Geraden SR nach S verschoben werden, ohne dass sich die
Höhe des Dreiecks PQT verändert. Dabei bleibt dann auch der Flächeninhalt
erhalten. Das Dreieck SPQ nimmt 41 des Rechtecks ein, also auch das Dreieck PQT.
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Binomische Formeln 3001
Verwandle folgende Terme in Summen:
1) (8 + 2a)2 2) (5x - 4y)2 3) (7 - 3u)2
4) (9a - 4b)(9a + 4b) 5) (0,5u + 0,8v)2 6) 3
4
2
3
2
z a−
7) 21
43
1
3
2
+
x 8)
3
40 8
2
p q−
, 9) (4,5c - 5,3d)(4,5c + 5,3d)
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Binomische Formeln 3001
1) 64 + 32a + 4a2 2) 25x2 - 40xy + 16y2 3) 49 - 42u + 9u2
4) 81a2 - 16b2 5) 0,25u2 + 0,8uv + 0,64v2
6) 9
16
4
92 2z az a− + 7)
81
1615
100
95
1
1615 11
1
92 2+ + = + +x x x x
8) 9
16
6
5
16
252 2p pq q− + 9) 20,25c2 - 28,09d2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Binomische Formeln 3002
Verwandle folgende Terme in Summen und vereinfache:
1) (a2 + 4)2 2) (5x - 2y2)2 3) (9c2 - 3d2) (9c2 + 3d2)
4) (2ab + 3bc)2 5) (2a3 - 3a2)2 6) (x4 - x3)(x4 + x3)
7) (2p + q)2 - (2p - q)2 8) (3a + 4b)(3a - 4b) - (3a + 4b)2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Binomische Formeln 3002
1) a4 + 8a2 + 16 2) 25x2 - 20xy2 + 4y4 3) 81c4 - 9d4
4) 4a2b2 + 12ab2c + 9b2c2 5) 4a6 - 12a5 + 9a4
6) x8 - x6 7) 4p2 + 4pq + q2 - 4p2 + 4pq - q2 = 8pq
8) 9a2 - 16b2 - 9a2 - 24ab - 16b2 = - 32b2 - 24ab
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3003
Multipliziere folgende Terme möglichst geschickt:
1) (x - y)(x + y)(x - y) 2) (x2 - y2)3
3) (2a + 3b)(2a - 3b)2 4) (4x + 1)2(4x - 1)2
5) (1 - 5y)4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3003
1) ... = [(x - y)(x + y)](x - y) = [x2 - y2](x - y) = x3 - x2y - xy2 + y3
2) ... = (x4 - 2x2y2 + y4)(x2 - y2) = x6 - x4y2 - 2x4y2 + 2x2y4 + x2y4 - y6 =
= x6 - 3x4y2 + 3x2y4 - y6
3) ... = [(2a + 3b)(2a - 3b)](2a - 3b) =
= [4a2 - 9b2](2a - 3b) = 8a3 - 12a2b - 18ab2 + 27b3
4) ... = [(4x + 1)(4x - 1)][(4x + 1)(4x - 1)] = [16x2 - 1]2 = 256x4 - 32x2 + 1
5) ...= (1 - 5y)2(1 - 5y)2 = (1 - 10y + 25y2)(1 - 10y + 25y2) =
= 1 - 10y + 25y2 - 10y + 100y2 - 250y3 + 25y2 - 250y3 + 625y4 =
= 1 - 20y + 150y2 - 500y3 + 625y4
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Binomische Formeln 3004
Verwandle folgende Terme in Summen:
1) 96
5
2
x y−
2)
2
318
2
p q+
, 3)
4
7
7
8
2
a b−
4) 31
31
1
5
2
u v+
5) ( )− −0 5 0 8
2, ,k m 6) ( )3 5 3 2
yz z−
7) ( )( )− − −0 16 0 18 0 16 0 18, , , ,m n m n 8) − +
+
6
1
33
2
56
1
33
2
5p p
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Binomische Formeln 3004
1) 81108
5
36
252 2x xy y− + 2)
4
9
12
5
81
252 2p pq q+ +
3) 16
49
49
642 2a ab b− + 4)
100
98
36
252 2u uv v+ +
5) 0,25k2 + 0,8km + 0,64m2 6) 9y2z2 - 30yz4 + 25z6
7) - 0,0256m2 + 0,0324n2 8) 289
25
361
911
14
2540
1
92 2p p− = −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3005
Vereinfache folgende Terme:
1) 3(5y - 3x)2 + 4(3x - 4y)(2x + 7y) - 6(8x - 6y)2
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b a b a b a a b a b ab a b a b2 2 2 2 25 3 5 3− − − + − + − + − +( )( )
Hinweis: Multipliziere Produkte mit 4 Faktoren möglichst geschickt!
z.B. ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )x x y x y x x y x y x y x xy x y+ − = + + − = + − =2 2 2 2 . . .
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3005
1) ... = 3(25y2 - 30xy + 9x2) + 4(6x2 +21xy - 8xy - 28y2) - 6(64x2 - 96xy + 36y2) =
= 75y2 - 90xy + 27x2 + 24x2 + 84xy - 32xy - 112y2 -384x2 + 576xy - 216y2 =
= - 333x2 + 538xy - 253y2
2) ... = a4 - 2a2b2 + b4 - (ab - b2)(a2 - b2) - (a2 + ab)(a2 - b2) + ab(25a2 - 9b2) =
= a4 - 2a2b2 + b4 - a3b + ab3 + a2b2 - b4 - a4 + a2b2 - a3b + ab3 + 25a3b - 9ab3 =
23a3b - 7ab3
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3006
Vereinfache folgende Terme:
1) ( ) ( ) ( )( )4 5 6 7 5 2 4 2 42 2
x x x x− − + + + −
2) ( ) ( )( ) ( )11 15 17 19 17 19 5 14 132 2
, , , , , , , ,a b a b a b a b− − − + + +
3) ( ) ( )1
24 15 0 75
1
22 2
1
215 3
2 2x y x y y x x y− − −
−
− −, , ,
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3006
1) ... = 16x2 - 40x + 25 - 36x2 - 84x - 49 +20x2 - 80 = - 124x - 104
2) ... = 1,21a2 - 3,3ab + 2,25b2 - 2,89a2 + 3,61b2 + 5(1,96a + 3,64ab + 1,69b2 =
= - 1,68a2 - 3,3ab + 5,86b2 + 9,8a2 + 18,2ab + 8,45b2 =
= 8,12a2 +14,9ab + 14,31b2
3) ( ) ( ). . . ,= − + − − − +
− + − =
1
216 12 2 25
3
41 4 2
1
4
9
49 92 2 2 2 2 2x xy y y xy x x xy y
= − + + − + − + − =8 69
83
3
2
3
16
9
49 92 2 2 2 2 2x xy y y xy x x xy y
= + −515
16
3
24
7
82 2x xy y
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3007
Vereinfache folgende Terme:
1) 14
52
1
21
4
52
1
23 1
1
2
4
52 1
1
2
4
5
2 2
x y x y y x y x−
+
− +
− −
2) ( ) ( ) ( )4 0 2 0 3 0 8 4 5 0 6 122 2 2
, , , , ,a b a b a b− − + − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3007
1) . . .= −
+
− +
− −
=
9
5
5
2
9
5
5
23
3
2
4
52
3
2
4
5
2 2
x y x y y x y x
= − − + +
− − +
=
81
25
25
43
9
4
12
5
16
252
9
4
12
5
16
252 2 2 2 2 2x y y xy x y xy x
= − − − − − + − =81
25
25
4
27
4
36
5
48
25
18
4
24
5
32
252 2 2 2 2 2x y y xy x y xy x
= − −1
25
12
5
35
22 2x xy y
2) ... = 4(0,04a2-0,12ab+0,09b2) - 0,8(a2+8ab+16b2) - 5(0,36a2-1,44ab+1,44b2)=
= 0,16a2 - 0,48ab + 0,36b2 - 0,8a2 - 6,4ab - 12,8b2 - 1,8a2 + 7,2ab - 7,2b2=
= - 2,44a2 + 0,32ab - 19,64b2
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben X Binomische Formeln 3008
Bestimme die Lösung folgender Gleichungen:
1) ( ) ( ) ( )x x x x+ + − = +5 3 2 42 2
2) ( )( ) ( ) ( )x x x x x− + + = + − +8 8 1 2 3 3 22
3) ( ) ( )( )x x x− = − +18 12 122
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung X Binomische Formeln 3008
1) x2 + 10x + 25 + x2 - 6x + 9 = 2x2 + 8x 2x2 + 4x + 34 = 2x2 + 8x / - 2x2 - 4x 34 = 4x / : 4 x = 8,5
2) x2 - 64 +1 = 4x2 + 12x + 9 - 3x2 - 6x x2 - 63 = x2 + 6x + 9 / - x2 - 9 - 72 = 6x / : 6 x = - 12
3) x2 - 36x + 324 = x2 - 144 / - x2 - 324 - 36x = - 468 / : (- 36) x = - 13
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XX Binomische Formeln 3009
Löse folgende Gleichungen:
1) ( ) ( ) ( )1 3 5 6 3 22 2
− − + = +x x x x
2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )6 3 3 5 3 5 5 2 5 2 2 92 2
x x x x x x− − − + = + − + −
3) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 4 11 1 4 32 2 2 2
x x x x+ − − = + − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XX Binomische Formeln 3009
1) 1 - 6x + 9x2 - 30x - 5x2 = 9 + 12x + 4x2 4x2 - 36x + 1 = 4x2 + 12x + 9 / - 4x2 - 12x -1 - 48x = 8 / : (- 48)
x = −1
6
2) 36x2 - 36x + 9 - 9x2 + 25 = 25x2 - 4 + 2x2 - 36x + 162 27x2 - 36x + 34 = 27x2 - 36x + 158 / - 27x2 + 36x 34 = 158 L = { }
3) 4x2 + 4x + 1 - 9x2 + 24x - 16 = 11x2 + 22x + 11- 16x2 + 24x - 9 - 5x2 + 28x - 15 = - 5x2 + 46x + 2 / + 5x2 - 46x + 15 - 18x = 17 / : (- 18)
x = −17
18
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3010
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
1) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 11 7 9 14 3 14 3 6 162 2 2
x x x x x+ − − = − + − −
2) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 8 6 7 4 5 3 1 7 2 5 12 2 2
− − − = − + − +x x x x x
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3010
1) 4x2 + 44x + 121 - 49x2 + 126x - 81 = 196 - 9x2 - 36x2 + 192x - 256 - 45x2 + 170x + 40 = - 45x2 + 192x - 60 / + 45x2 - 170x + 60 100 = 22x / : 22
x = 46
11
2) 3(64 - 96x + 36x2) - 7(16x2 - 40x + 25) = 21x2 + 6x - 7x - 2 - 25x2 - 10x - 1 192 - 288x + 108x2 - 112x2 + 280x - 175 = - 4x2 - 11x - 3 - 4x2 - 8x + 17 = - 4x2 - 11x - 3 / + 4x2 + 11x - 17 3x = - 20 / : 3
3
26x −=
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Üben XXX Binomische Formeln 3011
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
1) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 4 2 5 2 32 2 2
x x x− = − − −
2) ( ) ( )( ) ( ) ( )7 2 9 3 4 5 5 4 31 4 2 6 2 4 72 2 2 2
x x x x x x+ − + − − = − + − −
Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.
7 Lösung XXX Binomische Formeln 3011
1) ( ) ( ) ( )3 4 4 1 2 16 16 4 5 4 12 92 2 2x x x x x x− + = − + − − +
12 12 3 32 32 8 20 60 452 2 2x x x x x x− + = − + − + − 12 12 3 12 28 372 2x x x x− + = + − / - 12x2 - 28x - 3 - 40x = - 40 / : (- 40) x = 1 2) ( ) ( ) ( ) ( )7 4 36 81 3 25 16 31 4 4 24 36 2 16 56 492 2 2 2 2x x x x x x x x+ + − − − = − + + − − +
28 252 567 75 48 31 16 96 144 32 112 982 2 2 2 2x x x x x x x x+ + − + − = − − − − + − − + + = − + −48 252 615 48 16 2112 2x x x x / + 48x2 - 16x - 615 236x = - 826 / : 236 x = 3,5