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Abiturprüfung Mathematik 2014Baden-Württemberg
Allgemeinbildende GymnasienPflichtteilLösungen
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Aufgabe 1:Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .
(2 VP)Lösung:Für verwende die Produkt- und Kettenregel
Pflichtteil 20142
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Aufgabe 2:Berechnen Sie das Integral . (2 VP)
Lösung:
Pflichtteil 20143
∫0
1 4(2 𝑥+1 )3
𝑑𝑥
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Pflichtteil 2014
Aufgabe 3:Lösen Sie die Gleichung .
(3 VP)Lösung:
| | Substitution
| p-q-Formel
⇒ , | Rücksubstitution
⇒ bzw.
Ergebnis: .
4
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Pflichtteil 20145
Aufgabe 4:Gegeben sind die Funktionen und mit und .
a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von aus dem Graphen von erhält.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von für . (4 VP)
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Pflichtteil 2014
Lösung:a) Wie erhält man den Graphen von aus demjenigen von ?Verdopple die Amplitude, d.h. aus wird .Ändere die Frequenz, d.h. aus wird .Verschiebe den Graphen um Einheiten nach unten und erhalte .
b) Nullstellen von für
Ergebnis: Die Nullstellen von für sind bzw. .
6
+2 :2
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Pflichtteil 20147
Aufgabe 5:Die Abbildung zeigt die Graphen und zweier Funktionen und .a) Bestimmen Sie .
Bestimmen Sie einen Wert für so, dass ist.
b) Die Funktion h ist gegeben durch .Bestimmen Sie
(4 VP)
𝐾 𝑔
𝐾 𝑓
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Pflichtteil 2014
Lösung:a) Wert für Ergebnis: Wegen und ist .
Wert für , so dass istFür liest man und ab. Wir suchen also Werte für x, so dass oder ist. Für ist und für ist .
Ergebnis: Für und ist .
8
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Pflichtteil 2014
b) Für bestimme Mit der Produktregel gilt
und damit Durch Ablesen erhält man , Da die Ableitung nichts anderes als die Steigung ist, liest man weiterhin ab:,
Ergebnis: .
9
𝐾 𝑔
𝐾 𝑓
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Aufgabe 6:Gegeben sind die Ebenen und .a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem
dar.Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und an.
b) Die Ebene ist parallel zur -Achse und schneidet die -Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene .Geben Sie eine Gleichung der Ebene an.
(5 VP)
Pflichtteil 201410
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Lösung:a) Darstellung der Ebenen in einem KoordinatensystemZunächst bestimmt man die Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Achsen) der beiden Ebenen. Für erhält man, indem man setzt und nach auflöst, den Spurpunkt bzw. , indem man setzt und nach auflöst den Spurpunkt . Einen Schnittpunkt mit der -Achse gibt es nicht, d.h. verläuft parallel zur -Achse.Analog erhält man die Spurpunkte für (durch Nullsetzen zweier Koordinaten und Auflösen nach der dritten Koordinate), nämlich , und .
Pflichtteil 201411
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Durch Einzeichnen und Verbinden der jeweiligen Spurpunkte im Koordinatensystem erkennt man die Lage der beiden Ebenen.Die Schnittgerade erhält man durch Lösendes LGS (oder durch einfaches Ablesen) und liefert . Übrig bleibt die Gleichung in der man z.B. frei wählen kann, etwa . Dadurch erhält man . Somit ergibt sich das
Ergebnis: Die Schnittgerade ist gegeben durch
Pflichtteil 201412
𝐸1=𝐹1
𝐸2=𝐹 2
𝐹 3
2
𝐸
𝐹4
4
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b) Gleichung für Wir nehmen als einenRichtungsvektor für . Da parallel zur -Achse verläuft,können wir als zweiten Richtungsvektor
verwenden. Der Punkt liegt auf und kann somit als Stützvektor dienen.
Ergebnis: Eine Parameterform für lautet
Pflichtteil 201413
parallel zur -Achse hat dieselbe Spurgerade in der -Ebene wie
2
44
𝐺
𝐹𝐹 2
𝐹 3
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Pflichtteil 201414
Aufgabe 7:Gegeben sind die Punkte , und .Die Gerade verläuft durch und .Bestimmen Sie den Abstand des Punktes von der Geraden .
(4 VP)
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Pflichtteil 201415
Lösung:Für die Geradengleichung von verwende z.B. als Stützvektor und als Richtungsvektor. Somit haben wir mit als Geradengleichung.
Im nächsten Schritt bilden wir eine Hilfsebene , die senkrecht zu steht, so dass in liegt.
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Pflichtteil 201416
Als Normalenvektor für nehmen wir den Richtungsvektor von und erhalten damit zunächst mit einem noch unbekannten .
Da in liegt, setzen wir die Koordinaten von ein und erhalten: und damit die vollständige Ebenengleichung:
Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von bestimmen wir den Schnittpunkt .
𝐶 (2∨3∨1)
𝑔 : �⃗�=( 1101 )+𝑡 (−430 )
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Pflichtteil 201417
Den soeben gefundenen Wert setzen wir in einund erhalten , somit ist der Schnittpunkt von mit .Der Abstand von zu ist dann gegeben durch:
Ergebnis: Der Abstand von zu beträgt LE.
𝑔 : �⃗�=( 1101 )+𝑡 (−430 )𝐶 (2∨3∨1)
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Pflichtteil 201418
Aufgabe 8An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.a) Formulieren Sie ein Ereignis , für das gilt:
b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?
(3 VP)
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Pflichtteil 201419
Lösunga) Ereignis mit Laut Aufgabe ist die WS für „verlieren“ , also für „gewinnen“. Der Teilausdruck gibt die WS an, in Spielen mal zu gewinnen und mal zu verlieren. Entsprechend ist die WS, in Spielen mal zu gewinnen und mal zu verlieren.Ebenso ist die WS für mal verlieren in Spielen.
WS := Wahrscheinlichkeit
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Pflichtteil 201420
Alle Teilergebnisse zusammen führen zu folgendemErgebnis: Der angegebene Ausdruck beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „In Spielen höchstens mal gewinnen“.
WS := Wahrscheinlichkeit
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Pflichtteil 201421
b) WS für genau 2mal verlieren bei 4 SpielenWS für „verlieren“ ist , WS für „gewinnen“ ist . Damit gibt der Ausdruck die gesuchte WS an, wobei beschreibt, auf wie viele Arten sich die Gewinne (G) und die Niederlagen (N) in den Spielen verteilen können, nämlich auf diese Arten:GGNN, GNGN, GNNG, NGGN, NGNG, NNGG.Damit ist
Ergebnis:
WS := Wahrscheinlichkeit
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Pflichtteil 201422
Aufgabe 9:Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene.Die Kugel berührt diese Ebene.Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.
(3 VP)
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Pflichtteil 201423
LösungBilde eine Gerade senkrecht zur Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel. dient dabei als Stützvektor von und der Normalenvektor von als Richtungsvektor.Bestimme den Schnittpunkt von mit . Dies ist der Berührungspunkt der Kugel mit der Ebene.Der Abstand ist schließlich der Radius der Kugel.
𝑀
𝐹
𝑔
𝐸