2. Korrelationsfonktionen ond Korrelationsfolgen

Nach einer Einfiihrung in den Begriff der Korrelationsfunktion zeitdiskreter Signale werden in den Abschnitten 2.2 und 2.3 dieses Kapitels zunachst die Eigenschaften der aperiodischen und periodischen Korrelationsfunktionen von Folgen und verkniipften Folgen zusammengestellt. Beim ersten Lesen konnen diese Abschnitte iibergangen werden, da in den spateren Kapiteln auf viele der Beziehungen dieser "Formelsammlung" zuriickgegriffen und naher eingegangen wird.

Der letzte Abschnitt 2.4 fiihrt dann in die besonderen Eigenschaften "guter" Korrelationsfolgen ein.

2.1 Korrelation als AhnlichkeitsmaD

Das Konzept der Korrelation wurde in Kap. 1 iiber den Optimalempfang von Signalen bekannter Form unter Storung durch weiBes Rauschen eingefiihrt. Ein anderer Ansatz definiert die Korrelation als AhnlichkeitsmaB zweier Signale [Liike 1990]: Es sei s(n) ein reellwertiges, zeitdiskretes Signal; s(n) wird Ener­giesignal genannt, wenn seine Energie endlich ist, also

00

E = L s2(n), mitO < Es < 00. (2.1) n= - 00

JE wird als Norm des Signals bezeichnet. Zur Definition eines amplitudenunabhangigen AhnlichkeitsmaBes zweier

Energiesignale s(n), g(n), werden die Signale auf ihre Normen bezogen und die Energie ihrer Differenz gebildet

00 (s(n) g(n) )2 00

E4b = n=~oo JE. -~ = 2 - 2 n=~oo s(n)g(n)/JEsEg • (2.2)

Dieser Ausdruck kann Werte im Bereich 0 bis 4 annehmen. Zur Vereinfachung und Symmetrierung wird dieses MaB auf den Bereich ± 1 umgeformt und dann "normierter Kreuzkorrelationskoeffizient" PSg genannt, also

00

Psg = 1 - E4b/2 = L s(n)g(n)/ JEsEg. (2.3) n= - 00

H. D. Lüke, Korrelationssignale© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992

2.1 Korrelation a1s AhnlichkeitsmaB 17

Der Wert Psg = 1 ergibt sich bei Signalen, die entweder identisch sind oder sich nur durch einen positiven, reellen Amplitudenfaktor unterscheiden

Psg = 1 fiir s(n) = kg(n), k postiv, reell. (2.4)

Den Wert - 1 fiir groBte Unahnlichkeit in dem hier definierten Sinn erhalt man als

Psg = - 1 fiir s(n) = - kg(n), k positiv, reell, (2.5)

wahrend das MaB bei orthogonalen Signalen zu Null wird, d.h. 00

Psg = 0 fiir L s(n)g(n) = O. (2.6) n= -00

Der Korrelationskoeffizient ist immer auch von einer gegenseitigen Verschie­bung beider Signale abhangig. In einer verallgemeinerten Definition wird der Korrelationskoeffizient in seiner Abhangigkeit von dieser Verschiebung als normierte Korrelationsfunktion bezeichnet

00

psg(m) = L s(n)g(n + m)/JEsEg. (2.7) 11= - 00

SchlieBlich wird im folgenden fast nur die im Zahler von (2.7) stehende unnor­mierte Form benutzt und kurz Korrelationsfunktion ({Jsg(m) genannt.

Verallgemeinert man die Betrachtungen auf komplexwertige Signale, wie sie insbesondere fiir die Beschreibung und Synthese von BandpaBsignalen wichtig sind [Liike 1990], so erhalt man als endgiiltige Form der Korrelationsfunktion den Ausdruck 1

00

((Jsg(m) = L s*(n)g(n + m). (2.8) n= -00

Die so definierte Korrelationsfunktion zeitdiskreter Energiesignale und ihre Abwandlungen spielen in den weiteren Kapiteln eine dominierende Rolle. In den folgenden Abschnitten 2.2 und 2.3 werden daher ihre wichtigsten Eigenschaften in einer Art Formelsammlung zusammengestellt. Die Ausdriicke gehen aile von der Definition (2.8) fiir komplexwertige Signale aus. 1m Fall reellwertiger Signale kann einfach im Zeitbereich die Konjugiert-Komplex-Operation (also das *-Zeichen) weggelassen werden. Der Kiirze wegen werden im folgenden zeitdis­krete Signale als "Folgen" bezeichnet. In der Literatur finden sich Zusammen­stellungen von Eigenschaften der Korrelationsfunktionen von Folgen besonders in [MacWilliams und Sloane 1976, Sarwate 1979, Sarwate und Pursley 1980, Schotten 1990].

1 In der Literatur nicht einheitlich definiert, statt sen) wird hiiufig g(n + m) konjugiert komplex gesetzt. Die so definierte Korrelationsfunktion ist konjugiert komplex zu (2.8).

18 2. Korrelationsfunktionen und Korrelationsfolgen

2.2 Aperiodische Korrelationsfunktionen von Foigen

2.2.1 Grundbeziehungen

Gegeben ist die Folge (Energiesignal)

s(n), n = 0(1)N - 1, s(n) E C

bei komplexwertigen Folgen auch

(2.9)

s(n) = sr(n) + jSj(n) (2.10)

= Is(n)lejArcs(n), Sr,i(n), Is(n)l, Arcs(n)E lit

1m Frequenzbereich gilt mit der Fourier-Transformation2

S(f) = L s(n)e- j21tnf , IE~, Periode 1. (2.11) n

Der Mittelwert der Folge ist

m. = Ls(n) = S(O). (2.12) n

Autokorrelationsfunktionen. Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist mit (2.8) fiir g(n) = s(n) definiert als

CfJss(m) = L s*(n)s(n + m), fUr Iml = 0(1)N - 1 (2.13) n

oder iiber die Faltung zeitdiskreter Signale

CfJss(m) = s*( - m) * s(m). (2.14)

Die Breite der AKF hat den Wert 2N - 1. Transformiert man diese Beziehung in den Frequenzbereich, so erhiilt man als Spektrum der AKF (Energiedichtespektrum)

cPss(f) = S*(f)·S(f) = IS(fW mit der Peri ode 1. (2.15)

Die AKF hat weiter folgende Eigenschaften: Sie ist konjugiert symmetrisch

CfJ.s( - m) = CfJss *(m). (2.16)

Fiir die Energie der Folge gilt mit (2.3) und (2.15) (Parsevalsches Theorem)

1

E = CfJss(O) = ~ Is(nW = flS(fWdf (2.17)

o

2 1m folgenden bedeutet L ( . ) die Summierung fiber aile n, fUr die das Argument ( . ) nicht verschwin­det.

2.2 Aperiodische Korre1ationsfunktionen von FoJgen 19

Weiter ist mit (2.3) die AKF beschriinkt durch

I q> .. (m) I ~ E.

Fiir die "Fliiche" der AKF gilt schlieBlich

m

(2.18)

(2.19)

Kreuzkorrelationsfunktionen. Die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) nach (2.8) liiBt sich wieder als diskrete Faltung darstellen

q>sg(m) = Ls*(n)g(n + m) n

= s*( - m)*g(m). (2.20)

Ihre Breite betriigt Ns + N g - 1, wobei N., N g die Breiten der Folgen s, g sind. 1m Frequenzbereich gilt

cPsg(f) = S*(f)· G(f) mit der Periode 1.

Die KKF weist die Symmetrieeigenschaft

q>sg( - m) = q>;s(m)

auf. Mit (2.7) ist sie beschriinkt durch

Iq>sg(m) I :$ JEsEg.

Die "Fliiche" der KKF hat den Wert

m

Bei orthogonalen Folgen ist mit (2.6), (2.21)

1

q>Sg(O) = ~ s*(n)g(n) = f S*(f)G(f)df

o 1

= f cPsg(f) df = o. o

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

SchlieBlich besteht zwischen AKF und KKF mit (2.14), (2.20) die Beziehung

(2.26)

daraus folgt bei Auswerten der Faltung im Nullpunkt und mit den Symmetrie­beziehungen (2.16), (2.22) [Sarwate 1979]

(2.27) m m

20 2. Korrelationsfunktionen und Korre1ationsfolgen

Grundtransformationen. Die Auswirkungen einiger Grundtransformationen der Folgen auf die zugehOrigen Korrelationsfunktionen sind in den drei Tabel­len 2.1-3 zusammengestellt. Zunachst werden in Tabelle 2.1 wieder Grundtrans­formationen der AKF betrachtet.

Wie diese Tabelle zeigt, lassen einige der Transformationen die Autokorre­lationsfunktion ungeiindert oder betragsmaBig ungeiindert. Diese wichtigen "Invarianzoperationen" sind in Tabelle 2.2 zusammengefaBt und ergiinzt darge­stellt.

SchlieBlich enthiilt Tabelle 2.3 die Auswirkungen der betrachteten Transfor­mationen auf die Kreuzkorrelationsfunktionen.

2.2.2 Verkniipfung aperiodiscber Foigen

Fiir die Synthese von Folgen mit vorgeschriebenen Korrelationsfunktionen sind Verkniipfungen mehrerer Folgen grundlegend. Die wichtigsten dieser Ver-

TabeUe 2.1. Transformationen von Folgen und ihre AKF

s(n)

as(n), aeC

s(n) + a, aeC

s(n - no), noeN

s·(n) s(-n) s·(-n)

Zerlegung in geraden und ungeraden Anteil

fP .. (m)

N-l-m N-l

fP .. (m) + (N - m)lal2 + a L s*(n) + a* L s(n)

fiirm~O

fP .. (m)

fP!(m) fP!(m) fP .. (m)

11=0 11='"

s.(n) + sv(n) mit s.(n) = s:(N - 1 - n) fP •••• (m) + fP'u'u(m) und s.(n) = - s:(N - 1 - n)

Zerlegung in Real- IIIIIl l""'fliniirteil

s,(n) + jSI(n)

Addition einer linearen p~

eilu/"s(n), x e R

Alternierung

( -1)"s(n)

Dehnung

1)"[s(n)] = {os(nIC) fiir nlc ganz sonst

= s(O), 0, ... ,0, s(1),0, ... L--.r---'

c - 1 Nullen

fP, .... ,(m) + fP •••• (m) + j[fP ...... (m) - fP,.s,(m)]

( -1)"'fP .. (m)

D'[fP .. (m)]

2.2 Aperiodische Korrelationsfunktionen von Foigen 21

Tabelle 2.2. Invarianzoperationen von Foigen beziiglich ihrer AKF

Invarianzoperationen Typ I (AKF-Werte unveriindert)

Verschieben Negieren Konjugiert komplex Spiegeln Addition einer konst. Phase

s(n - no) -s(n)

s*(-n) ei·s(n)

qJ .. (m) qJ .. (m) qJ .. (m) qJ .. (m)

Invarianzoperationen Typ II (Betrag der AKF-Werte unveriindert)

Spiegeln Konjugiert komplex Addition einer lin. Phase AItemierung

s(-n) s*(n) ei2 •• /Xs(n)

( -1)·s(n)

qJ!(m) qJ!(m) ei2,,,/x qJ .. (m)

( -1)"'qJ..,(m)

Invarianzoperationen Typ III (AKF-Werte umsortiert)

Konjugiert komplex Spiegeln

s*(n) s(-n)

qJ .. ( -m) qJ .. ( -m)

Tabelle 2.3. Transformationen von Foigen und ihre KKF

s(n), g(n)

as(n), bg(n), a, bee

s(n) + a, g(n) + b, a, bee

s(n - n,), g(n - n.), n, .• e N

s* (n), g*(n) s(-n), g(-n)

Addition einer lin. Phase

Alternierung

(-J)"s(n), (-I)"g(n)

Dehnung

LY[s(n)], LY[g(n)]

qJ.,(m)

a*bqJ.,(m)

N-l-m N-l

qJ.,(m) + (N - m)a*b + b L s*(n) + a* L g(n)

fiir m ~ 0, N, = N. = N

qJ.,[m - (n. - n,)]

qJ~(m)

qJ.,( -m) = qJ:,(m)

( -1)"'qJ.,(m)

n=O

kniipfungen und ihre Auswirkungen auf die resultierenden Korrelationsfunktio­nen sind hier zusammengestellt.

Autokorrelationsfunktionen verkniipfter Folgen

Addition. Zwei Folgen mit beliebigen Langen werden addiert.

hen) = sen) + g(n)

CPhh(m) = cp •• (m) + cpgg(m) + cp.g(m) + cpg.(m).

(2.28)

22 2. Korrelationsfunktionen und Korrelationsfolgen

Faltung. Zwei Folgen mit beliebigen Langen werden gefaltet (Wiener-Lee­Theorem fUr determinierte Folgen):

h(n) = s(n) * g(n) mitNh = N. + Ng - 1

({Jhh(m) = ({J .. (m) * ((Jgg(m).

(2.29)

Reihung. An die Folge s(n) der Lange N. wird eine zweite Folge g(n) beliebiger Lange angehangt:

h(n) = s(n) + g(n - N.) mitNh = N. + N g (2.30)

({Jhh(m) = ({J .. (m) + ({Jgg(m) + ({J.g(m - N.) + ({Jg.(m + N.).

Verkettung. Die Elemente zweier Folgen gleicher Lange werden abwechselnd aneinandergereiht:

h(n) = s(n) ®v g(n), mit h(2k) = s(k), h(2k + 1) = g(k), k = O(l)N - 1

und der Lange N h = 2N (2.31)

({Jhh(m) = [({J .. (m) + ({Jgg(m)] ®v [({J.g(m) + ({Jg.(m + 1)].

Kronecker-Produkt. Die Folge g(n) der Lange N g wird mit der urn N g gedehnten Folge s(n) gefaltet. (Dehnungsoperator wie in Tabelle 2.1). Die AKF ergibt sich mit (2.29)

h(n) = DN'[s(n)] * g(n) mit Nh = N .. Ng

((Jhh(m) = DN'[({J .. (m)] * ((Jgg(m).

(2.32)

Kreuzkorrelationsfunktionen verkniipfter Folgen. In entsprechender Weise las­sen sich die Verkniipfungsoperationen auf die Kreuzkorrelationsfunktionen von Familien von Folgen St (n), s2(n), ... der Lange N .. und gt (n), g2(n), ... der Lan­ge N 9 verallgemeinern.

Addition

ht ,2(n) = St,2(n) + g1,2(n)

({Jh,h2(m) = ({J.,.,(m) + ({J9'92(m) + ({J"92(m) + ((J9"2(m).

Faltung

ht ,2(n) = St,2(n)*gt,2(n)

({Jh,h2(m) = ({J.,.,(m) * ((Jg,g,(m).

Reihung

ht , 2(n) = St, 2(n) + gt, 2(n - N.)

({Jh,h2(m) = ({J.,.,(m) + ({J9'92(m) + ({J.,g,(m - N.) + ({Jg,.,(m + N.).

(2.33)

(2.34)

(2.35)

2.3 Periodische KorreIationsfunktionen von FoJgen 23

Verkettung

h1,2(n) = Sl,2(n)®vgl,2(n), ®vwie in (2.31)

<Ph,h2(m) = [<PS,S2(m) + <P9192(m)] ®v [<PS,92(m) + <P9,S2(m + 1)].

Kronecker-Produkt

hI. 2(n) = DN'[Sl, 2(n)] * gl, 2(n)

<Ph,h2(m) = DN'[<PS,S2(m)] * <p9l(/.,(m).

2.3 Periodische Korrelationsfunktionen von Folgen

2.3.1 Grundbeziehungen

Gegeben ist die periodische Folge

s(n), s(n) E C

mit der Eigenschaft

s(n) = s(n + qN), n = O(I)N - 1, q E 7L, Periode N.

(2.36)

(2.37)

(2.38)

1st nur die Grundperiode von Bedeutung, so wird sie im folgenden auch als s(n) bezeichnet. Komplexwertige Folgen lassen sich wie in (2.10) zerlegen. 1m Frequenzbereich ist mit der diskreten Fourier-Transformation (OFT)

N-l S(k) = L s(n)e- j2"nkIN, k = O(I)N - 1. (2.39)

n=O

Der Mittelwert der Folge ist

N-l m. = L s(n) = S(O). (2.40)

n=O

Periodische Autokorrelationsfunktion. Die periodische Autokorrelationsfunk­tion (PAKF) mit gleicher Periode N wie die Folge wird definiert als (zur mod-Operation s. Abschn. 3.1)

N-l cPs.(m) = L s*(n)s(n + m)

n=O

N-l = L s*(n)s[(n + m)modN]

n=O

oder als periodische Faltung geschrieben [Liike 1990]

cP.s(m) = s*( - m) *pers(m).

(2.41)

(2.42)

1m Frequenzbereich folgt mit der OFT als frequenzdiskretes, periodisches

24 2. Korrelationsfunktionen und Korrelationsfolgen

Spektrum der PAKF

cP •• (k) = S*(k)' S(k) = IS(kW. (2.43)

Weitere allgemeine Eigenschaften der PAKF sind: Sie ist konjugiert symmetrisch

<p .. (m) = <P:( - m) = <p:(N - m). (2.44)

Fiir die Energie einer Periode der Folge gilt (Parsevalsches Theorem) N-l 1 N-l _

E = L Is(n)12 = <P .. (O) = - L IS(kW. n=O N k=O

(2.45)

Auch hier ist die PAKF beschrankt durch

I <p .. (m) I ~ E. (2.46)

Die "Flache" der PAKF wird gegeben durch N-l

L <p •• (m) = IS(OW = Im.12. (2.47) m=O

Die PAKF steht zur aperiodischen AKF der Grundperiode s(n) der Folge in der Beziehung

<p •• (m) = q> •• (m) + q> •• (m - N) fUr 0 ~ m < N, (2.48)

die entsprechende DitTerenz wird auch als "ungerade PAKF" bezeichnet.

Periodische Kreuzkorrelationsfunktion. Die periodische Kreuzkorrelations­funktion (PKKF) lautet in Verallgemeinerung von (2.41)

N-l

<p.g(m) = L s*(n)g(n + m) n=O

N-l

= L s*(n)g[(n + m)modN], (2.49) n=O

dabei wird im folgenden durchweg angenommen, daB die Perioden von s(n) und g(n) gleich sind: N. = Ng = N. Verallgemeinert gilt (2.49) aber auch bei unter­schiedlichen Perioden, wenn N = kg V(N., Ng) gesetzt wird. Uber die periodische Faltung errechnet sich die PKKF zu

<p.g(m) = s*( - m) *per g(m).

1m Frequenzbereich gilt DFT _ _ _

<p.g(m) o---e cf>.g(k) = S*(k)' G(k).

Die Symmetrieeigenschaft der PKKF lautet

<p.g(m) = <P;.( - m).

(2.50)

(2.51)

(2.52)

2.3 Periodische Korrelationsfunktionen von Folgen 25

Die PKKF ist weiter beschrankt durch

Icpsg(m) I :::;; JEsEg. (2.53)

SchlieBlich ist ihre "Flache" N-l

L CPSg(m) = m: . mg. (2.54) m=O

Fur orthogonale Folgen gilt

N-l 1 N-l

CPsg(O) = L s*(n)g(n) = - L S*(k)G(k) = O. n=O N k=O

(2.55)

Weiter ist der Zusammenhang der PKKF mit der aperiodischen KKF der Grundperioden s(n), g(n) gegeben durch

cpsg(m) = ({JSg(m) + ({Jsg(m - N), 0:::;; m < N, (2.56)

auch hier wird die Differenz "ungerade PKKF" genannt. Zwischen PAKF und PKKF besteht die zu (2.26) entsprechende Beziehung

cpss(m) * cpgg(m) = CPSg(m) * cpgs(m),

woraus sich wieder bei Auswerten der Faltung im NUllpunkt ergibt N-l N-l

L Icpsg(mW = L cp!(m)cpgg(m). m=O m=O

Tabelle 2.4. Transformationen periodischer Folgen und ihre PAKF

s(n)

as(n), aEC

s(n) + a, aEC

s(n - no), noE N

s*(n) s(-n) s*( -n)

Zerlegung gerade-ungerade

s.(n) + su(n) mit s.(n) = s:(N - 1 - n) und su(n) = -s:(N - 1 - n)

Alternierung

(-l)"s(n), N gerade

Dehnung

_ {s(n/e) fUr n/e ganz lY[s(n)] = o sonst

Periode eN

iP .. (m)

laI 2 iPss(m)

iPss(m) + Nlal 2 + am: + a*ms

iPss(m)

iP!(m) iP!(m) iP,,(m)

lY[rPss(m)] Periode eN

(2.57)

(2.58)

26 2. Korrelationsfunktionen und Korrelationsfolgen

Die Tabellen 2.4--6 stellen einige Grundtransformationen im Zeit- und Korrela­tionsbereich zusammen.

Die aus Tabelle 2.4 folgenden "Invarianzoperationen" der PAKF sind wie­der in Tabelle 2.5 zusammengefaBt. Eine wichtige, nur fur periodische Folgen gultige Invarianzoperation stellt die Dezimation dar [Golomb 1967]. Bei der Dezimation wird einer periodischen Folge jeder dote Wert entnommen, wobei d und N teilerfremd sein mussen, also ggT (d, N) = 1. Die sich dann ergebende umsortierte Folge hat die gleiche Periode N, wobei ihre PAKF ebenfalls nur in gleicher Weise umsortiert ist.

SchlieBlich enthiilt Tabelle 2.6 die Anwendungen der Grundtransformatio­nen auf die PKKF.

TabeUe 2.5. Invarianzoperationen periodischer Folgen beziiglich ihrer PAKF

Invarianzoperationen Typ I (PAKF-Werte unveriindert)

Verschieben Negieren Konjugiert komplex Spiegeln Addition einer konst. Phase

sin - no) -s(n)

5*( - n) ej's(n)

Invarianzoperationen Typ II (Betrag der PAKF-Werte unveriindert)

Spiege1n Konjugiert komplex Altemierung

s( -n) 5*(n) ( -l)"s(n)

N gerade

Invarianzoperationen Typ III (PAKF-Werte umsortiert)

Konjugiert komplex Spiege1n Dezimation

5*(n) s( -n) s(dnmodN)

d, N teilerfremd

Tabelle 2.6. Transformationen periodischer Folgen und ihre PKKF

s(n), g(n) rpsg(m)

a*brpsg(m)

iP .. (m) rp .. (m) rp .. (m) rp .. (m)

rp!(m) rp::'(m) ( -l)'"rp.,(m)

rp .. ( -m) rp.,( -m) iP .. (dm mod N)

as(n), bg(n), a, bee

s(n)+ a, g(n) + b, a, bee

s(n - ns ), g(n - n.), n •.• E N

s*(n), g*(n)

rpsg(m) + Na*b + bm: + a*m.

rpsg[m - (n. - ns)]

s( -n), g( -n)

Alternierung

(-lfs(n), (-l)"g(n) N., N. gerade

Dehnung

D'[s(n)], D'[g(n)] Periode eN

rp!.(m) rpsg( -m)

D'[rp •• (m)]

2.3 Periodische Korrelationsfunktionen von Folgen 27

2.3.2 Verkniipfung periodiscber Folgen

Die in Abschn. 2.2.2 fiir aperiodische Folgen und ihre Korrelationsfunktionen zusammengestellten Verkniipfungsregeln lassen sich in iihnlicher Weise auf periodische Folgen anwenden. Dariiber hinaus existiert hier als weitere wichtige Verkniipfung die im folgenden hiiufig benutzte periodische Multiplikation.

Addition

hi, 2(n) = Sl, 2(n) + gl, 2(n) mit N, = Ng = Nh

PAKF:

<Phh(m) = <p •• (m) + <pgg(m) + <p.g(m) + <pg.(m)

PKKF:

Faltung

h1,2(n) = sl,2(n)*pergl,2(n) 'mitN. = Ng = Nh

PAKF:

<Phh(m) = <p .. (m) *per <pgg(m)

PKKF:

Verkettung

hl,2(m) = sl,2(m)Q9vgl,2(m) mitNh = 2N, = 2Ng

PAKF:

<Phh(m) = [<p,,(m) + <pgg(m)] Q9 v [<psg(m) + <pg,(m + I)J

PKKF:

Kronecker-Produkt

(2.59)

(2.60)

(2.61)

~ N ~

hi, 2(n) = D '[s1,2(n)] * gl, 2(n) mit Nh = N,' Ng, gl,2 aperiodisch! (2.62)

PAKF:

<Phh(m) = DN'[<ps,(m)] * qJgg(m), Periode Nh = N,' Ng

PKKF:

28 2. Korrelationsfunktionen und Korre1ationsfolgen

Periodische Multiplikation. Zwei periodische Folgen s(n), g(n) mit den teiler­fremden Perioden N., Ng werden miteinander multipliziert, es entsteht die periodische Folge h(n) mit der Periode Nh = N .. Ng.

h1• 2(n) = sl.2(n)·g1,2(n), ggT(Ns, Ng) = 1, Nh = Ns' Ng (2.63)

PAKF:

<Phh(m) = <pss(m)' <pgg(m), Periode N h = N .. N 9

PKKF:

<Ph,h2(m) = <PS,S2(m)' <P9,92(m).

Diese Operation wird im folgenden haufig verwendet, sie sei daher kurz be­wiesen [Luke 1986, 1988]: Einsetzen der Produktfunktionen in die Definitions­gleichung der PKKF gibt

N,N,-l

<Ph,h2(m) = L S!(n)gT(n)s2(n + m)g2(n + m). n=O

Da Ns und Ng teilerfremd sind, erscheinen in diesem Ausdruck aIle moglichen Produkte st(n)s2(n + m) oder gT(n)g2(n + m) nur einmal in einer Periode NsNg. Daher kann diese Summe von N s ' Ng Vierfachprodukten aufgespalten werden in

<Ph,h2(m) = [:~Ol st(n)s2(n + m) 1 [~Ol gT(n)g2(n + m) ]

und damit

<Ph,h2(m) = <PS,S2(m)' <P9,92(m).

Speziell fur Sl (n) = s2(n) und gdn) = g2(n) ergibt sich die bereits in [Ipatov 1980] verwendete Produktbeziehung fUr Autokorrelationsfunktionen.

2.4 Foigen mit "gutem" Korrelationsverhalten

2.4.1 Begriff der Korrelationsfolgen

Nach den Voruberlegungen in Kap. 1 werden im folgenden insbesondere Folgen betrachtet und als Korrelationsfolgen bezeichnet, bei denen die aperiodische Autokorrelationsfunktion bzw. eine Periode der periodischen Autokorrelations­funktion moglichst gut einem Einheitsimpuls entspricht.

In diesem Sinn kann es ideale aperiodische Korrelationsfolgen nicht geben, da zumindestens an den Randern der AKF endliche Werte auftreten mussen. Die beste Annaherung an den Idealfall sind hier impulsaquivalente- oder Huff­mann-Folgen, deren AKF in Bild 6.4 dargestellt ist.

2.4 Folgen mit "gutem" Korrelationsverhalten 29

1m Gegensatz dazu existieren ideale periodische Korrelationsfolgen. Das Beispiel einer solchen "perfekten" Folge zeigt Bild 1.12.

Schwieriger sind die Verhiiltnisse, wenn ganze Familien von Korrelations­folgen mit guten Auto- und moglichst verschwindenden Kreuzkorrelationsfunk­tionen gesucht werden. Hier liiBt sich zeigen, daB "perfekte" Familien aus perfekten Folgen mit iiberall verschwindenden periodischen Kreuzkorrela­tionsfunktionen nicht existieren konnen (s. Abschn. 5.1).

Bevor in den folgenden Kapiteln die verschiedenen Moglichkeiten zur Syn­these periodischer und aperiodischer Korrelationsfolgen und ihrer Familien diskutiert werden, sollen im niichsten Abschnitt einige allgemeine Eigenschaften reellwertiger perfekter Folgen bzw. von Folgen mit zweiwertiger PAKF im Zeit­und Frequenzbereich betrachtet werden.

2.4.2 Eigenschaften von Foigen mit perfekter bzw. zweiwertiger periodischer Autokorrelationsfunktion

Betrachtet werden reellwertige periodische Folgen s(n) mit zweiwertiger PAKF, d.h. einer PAKF deren siimtliche Nebenwerte den reellen konstanten Wert ({'1

besitzen. Bei perfekten Folgen ist speziell ({'I = o. In Bild 2.1 sind PAKF und ihr DFT-Spektrum fUr eine solche Folge dargestellt.

Aus der Fliichenbeziehung (2.47) erhiilt man folgenden allgemeinen Zusam­menhang fUr derartige Folgen der Liinge N, der Energie E und des Mittel­wertes m.

(2.64)

Da weiter Im.1 ;;:: 0 ist, existiert als untere Schranke fiir die Nebenwerte der PAKF

({'I ;;:: - E/(N - 1). (2.65)

Speziell fiir Biniirfolgen mit s(n) E { ± 1} ist E = N, also gilt dann ({'I;;:: - N/(N - 1), und da ({'I ganzzahlig ist

({'I.,. ;;:: -1.

Biniirfolgen, die diesen Grenzfall erreichen, also fiir die

({'I = -1

(2.66)

(2.67)

gilt, spielen als PN-Folgen (Pseudo-Noise-Folgen, m-Folgen) eine wichtige Rolle, s. Kap. 3. Aus (2.67) und E = N folgt mit (2.64) fUr ihren Mittelwert

Im.lpN= 1. (2.68)

Bei perfekten Folgen ergibt sich mit ({'I = 0 in (2.64)

Im.1 =JE. (2.69)

PN-Folgen und perfekte Folgen konnen also nicht gleichanteilfrei sein.

30 2. Korrelationsfunktionen und Korrelationsfolgen

01 Nm-

Bild 2.1. Zweiwertige PAKF und ihr diskretes Spektrum

Die PAKF in Bild 2.1 liiBt sich als Summe zweier periodischer Ein­heitsimpulsfolgen darstellen, ihre Fourier-Transformation ist daher ebenfalls die Summe zweier Einheitsimpulsfolgen, und es gilt

;P.sCk) = IS(kW = {CPo = E + (N - l)<p 1 fiir k == 0 mod N (2.70) CP1 = E - <Pl sonst

(zur Ableitung: mit (2.47) und (2.64) ist

CPo = IS(0)12 = Im.12 = E + (N - l)<pl'

wiihrend CP1 dann z.B. iiber das Parsevalsche Theorem (2.45) ermittelt werden kann). Aus (2.70) folgt fiir perfekte Folgen mit <Pl = 0

;Pss(k) = IS(kW = E, Yk, (2.71)

sie besitzen also ein konstantes Betragsspektrum. Fiir biniire m-Folgen ergibt sich schlieBlich aus (2.70) mit (2.67) und E = N das Spektrum

;P •• (k) = IS(kW = {l fiir k == 0 mod N. (2.72) N + 1 sonst