korrelationssignale || korrelationssignale und korrelationsempfang
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1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
"Not with a Bang, but a Chirp"
B.M. Oliver (Bell Lab. Mem. 1951)
In der Nachrichtentechnik und MeBtechnik wird Mufig die Aufgabe gestellt, Signale bekannter Form auch unter starken Storungen zu entdecken und ihre Amplitude und Ankunftzeit zu schatzen.
Bei Storung durch weiBes Rauschen fiihrt die optimale Losung auf einen Empflinger, der das gestorte Signal mit einem ungestorten Mustersignal iiber ein Korrelationsverfahren vergleicht.
Durch geeignete Formung des Signals lassen sich weitere Bedingungen erfiillen. So kann man lang andauernde und damit energiereiche Signale konstruieren, die durch den Korrelationsvorgang in schmale Impulse umgeformt werden und damit fiir eine genaue Laufzeitmessung besonders geeignet sind.
Solche Signale hat die natiirliche Evolution bereits seit Millionen von Jahren in der akustischen Echoorientierung der Fledermause realisiert. Die Zirplaute ("chirp" signals) dieser Tiere im Ultraschallbereich sind ein schones Beispiel fiir "gut korrelierende" Signale. Die entsprechenden Anwendungen dieses Prinzips der Biotechnik in Sonar- und Radaranlagen liegen auf der Hand. Nicht mit einem kurzen, gewalttatigen "bang" sondern mit einem langergezogenen "chirp" laBt sich eine Radarortung oder auch eine Synchronisation eleganter durchfiihren.
1m allgemeineren Fall konnen durch geeignete Konstruktionen groBere Familien derartiger Signale gebildet werden, bei denen die Korrelation in den zugehorigen Empfangern nieht nur eine Verminderung der Rauschstorungen sondern zugleich auch die Trennung der Signale untereinander bewirkt. Diese Trennung ist die Grundlage fiir die gleichzeitige Ubertragung dieser Signale auf einem gemeinsamen Kanal. Auf solchen Familien von Korrelationssignalen bauen sich insbesondere die Codemultiplex-Verfahren auf, die zunehmend fiir Anwendungen in modernen Mobilfunksystemen diskutiert werden und die auch grundlegend fiir den Erfolg der heutigen Satelliten-Navigationssysteme sind. Bemerkenswert ist schlieBlich, daB dieselben Verfahren, mit denen sich zeitliche Korrelationssignale konstruieren lassen, auch zur Bildung ein- oder zweidimensionaler ortlicher Signalstrukturen anwendbar sind. Diese Korrelationsarrays ermoglichen die Synthese von Antennenanordnungen, wie sie von der Akustik iiber die Hochfrequenztechnik und Optik bis zur Gestaltung abbildender Verfahren im Rontgenbereich Anwendung finden.
1m folgenden werden, nach einer kurzen Einfiihrung in die theoretischen Grundlagen des Korrelationsempfangs, Verfahren zur Synthese von Korrela-
H. D. Lüke, Korrelationssignale© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992
2 1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
tionssignalen behandelt. Dabei wird den an die digitale Signalverarbeitung angepaBten diskreten Korrelationssignalen die Hauptaufmerksamkeit zuteil.
1.1 Korrelationsempfang gestorter Signale
Viele Probleme beim Empfang gestorter Signale lassen sich auf das folgende statistische Entscheidungsproblem zuriickfiihren: Es wird entschieden zwischen der Hypothese Ho, daB in einem bestimmten Zeitabschnitt am Empfangereingang nur Storsignale n(t) und ggf. unerwiinschte Nutzsignale u(t) vorhanden sind
Ho: ro(t) = n(t) + u(t) (1.1)
und der Hypothese H 1, daB r(t) auch ein zu entdeckendes Nutzsignal s(t) enthalt
H 1: rl (t) = s(t) + n(t) + u(t). (1.2)
Das unerwiinschte Nutzsignal kann z.B. in der Radartechnik das Signal eines benachbarten Ziels sein, im Fall der Multiplextechnik der Trager eines Nachbarkanals oder bei Synchronisationsverfahren die das Synchronsignal umgebenden Informationssignale. Die allgemeine Losung dieses Entscheidungsproblems hangt von den gewahlten Modellen der beteiligten Signale, dem Entscheidungskriterium und auch dem Empfangermodell abo Hierzu existiert eine reiche Literatur, deren Ergebnisse hier aber nicht weiter diskutiert werden sollen [Schwartz und Shaw 1975, Wozencraft und Jacobs 1967, Poor 1988].
1m folgenden wird nur der einfachste, aber in vielen Fallen schon optimale oder dem Optimum nahe kommende Ansatz betrachtet (ausfiihrlich z.B. in [Liike 1990]). Zunachst sei hierzu angenommen, daB das Storsignal n(t) signalunabhangiges, weiBes Rauschen der Leistungsdichte No sei. Weiter seien die unerwiinschten Nutzsignale vernachlassigbar u(t) = o. Das Nutzsignal sei ein Signal bekannter Form s(t) mit der Energie E und der Eintreffwahrscheinlichkeit Pl. SchlieBlich wird der Empfanger durch die Schaltung in Bild 1.1 beschrieben.
~~-T H1 wenn yIn> c r It) hit) It
ylt) ylT) Ho wenn ylTl ~ c
Bild 1.1. Modell eines Empfiingers mit Optimalfilter und Schwellenentscheidung
Die Optimierung des Empfangers erfolgt im einfachsten Fall in zwei Stufen. In der 1. Stufe wird ein Filter der StoBantwort h(t) so bestimmt, daB im Abtastzeitpunkt bei im betrachteten Zeitabschnitt vorhandenem Nutzsignal das VerhaItnis der Augenblicksleistungen von Nutz- zu Storsignal maximal ist. In
1.1 Korrelationsempfang gest(irter Signale 3
der 2. Stufe wird dann durch Wahl der Schwelle C eine geeignete Entscheidungswahrscheinlichkeit optimiert.
1. Stufe: Korrelationsempfang. Mit
r1 (t) = s(t) + n(t)
wird nach Faltung mit der StoBantwort h(t)
Y1 (t) = rdt) * h(t) = [s(t) * h(t)] + [n(t) * h(t)] ~ "---v--""
g(t) + ne(t)
und im Abtastaugenblick
Y1(T) = g(T) + n.(T);
dann gilt fUr die Augenblicksnutzleistung
00
Sa = g2(T) = [ f h(t)s(T - t)dtJ
-00
(1.3)
(1.4)
(1.5)
und fur die Augenblicksstorleistung bei weiBem Rauschen der Leistungsdichte No
00
Na = No f h2(t)dt. (1.6) -00
Bildet man aus den Gleichungen (1.5) und (1.6) das Sa/Na-Verhiiltnis und erweitert es mit der Signalenergie
00 00
E = f s2(t)dt = f s2(T - t)dt,
-00 -00
so ergibt sich
00
Sa E [ f h(t)s(T - t)dt J
-00 (1.7) -=-' Na No 00 00 f h2 (t)dt f s2(T - t)dt
-00 -00
Dabei entspricht der ganz rechts stehende Bruch dem Quadrat des normierten Kreuzkorrelationskoeffizienten Psb zwischen den Funktionen h(t) and s(T - t),
4 1. Korreiationssignaie und Korreiationsempfang
also ist
Sa E 2
Na = No Psh· (1.8)
Der Kreuzkorrelationskoeffizient kann nur Werte im Bereich von -1 bis + 1 annehmen. Damit wird im optimalen Fall
Sa E
Na No' (1.9)
wenn Psh = ± 1 ist. Diese Maximalwerte werden erreicht fUr
h(t) = ± ks(T - t), k positiv, reelI. (1.10)
Das optimale Empfangsfilter hat also eine StoBantwort, deren Verlauf zum Signal s(t) zeitlich gespiegelt ist.
1m ungestorten Fall ergibt sich das Ausgangssignal dieses optimalen Filters damit zu
g(t) = s(t) * [ks(T - t)] = kq>ss(t - T). (1.11 )
Das Filter bildet dann die zeitlich verschobene Autokorrelationsfunktion des Nutzsignals, die Abtastung erfolgt in ihrem Maximum
g(T) = kq>ss(O). (1.12)
Derart optimierte Filter werden daher Korrelationsfilter genannt, andere Bezeichnungen sind matched filter, signalangepaBte Filter, oder wegen s( - t) o----e S *(f) konjugierte Filter. Der Autokorrelationshauptwert in (1.12) liiBt sich statt in einem Filter auch in einem Korrelator durch direkte Multiplikation und Integration hilden, fUr zeitbegrenzte Signale im Bereich (0, T) ist
T
g(T) = f s(t)ks(t)dt
o
mit der Prinzipschaltung in Bild 1.2.
sUI
(1.13)
Bild 1.2. Korrelator als Optimaiempfiinger
Fiir den zeitdiskreten Fall ergeben sich entsprechende Ausdriicke und Schaltungen, wenn die Integration durch eine Summation ersetzt wird.
Das Prinzip des Korrelationsempfangs liiBt sich auch auf Storungen durch nichtweiBes Rauschen erweitern. Diese Modifikation, die auf eine zusiitzliche Filterung ("prewhitening"-Filter) zuriickgefiihrt werden kann, wird in der Praxis nur selten angewendet [Liike 1990].
1.1 Korrelationsempfang gestorter Signale 5
2. StuCe: Schwellenentscheidung. Bei der betrachteten zweiwertigen Entdekkungsaufgabe soIl durch eine einfache Schwellenentscheidung zwischen den Hypothesen Ho und HI entschieden werden. Hierzu werden die bedingten Verteilungsdichtefunktionen (Bild 1.3) der ZufaIlsgroBe y(T) am Ausgang des Korrelators betrachtet [Schwartz und Shaw 1975].
Bild 1.3. Bedingte Verteilungsdichtefunktionen bei Korrelationsempfang
a) Entdeckung mit minimaler Fehlerwahrscheinlichkeit
Wenn die Wahrscheinlichkeit dafUr, daB das Signal vorhanden ist, als a prioriWahrscheinlichkeit PI bekannt ist, dann ergibt sich die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit zu
c 00
= PI I py(xls)dx + (1 - Pd I py(xIO)dx
- 00 C
00
und mit I py(X I s)dx = 1 auch
-00
00
p. = PI + I(l -Pdpy(xIO) - PIPy(xls)dx. (1.14)
C
Dieser Ausdruck soIl durch Variation von C minimiert werden. Da py (.) und PI positivwertig sind, ist der Integrationsbereich so zu wahlen, daB im Integranden fUr aIle x gilt
PIPy(xls) > (1 - Pdpy(xIO),
damit erhalt das Integral den negativsten Wert, also muB gel ten
py(xls) I-PI --->---py(xIO) PI'
(1.15)
der linke Ausdruck wird "Likelihood-Verhaltnis" genannt.
6 1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
~ o I X-
Py()('S'f py()(IOl
1 -----
o
I I I I
/ ,
-x
Bild 1.4. Bestimmung der optimalen Entscheidungsschwelle aus dem Likelihood-Verhiiltnis
Am Beispiel einer eingipfligen ("unimodalen") Verteilungsdichtefunktion (z.B. GauBverteilung) zeigt Bild 1.4 die damit mogliche Bestimmung der optimalen Entscheidungsschwelle C.
Diese Entdeckung mit minimaler Fehlerwahrscheinlichkeit ist z.B. fUr eine digit ale Nachrichteniibertragung gebrauchlich. 1st speziell bei Gleichwahrscheinlichkeit der iibertragenen Binarwerte Pi = 1/2, so wird (1 - PdlP l = 1, und bei symmetrischer Verteilungsdichtefunktion liegt die optimale Schwelle Cb
dann im Schnittpunkt der Verteilungsdichtefunktionen (Bild 1.4).
b) Entdeckung mit fester Falschalarmrate (Neyman-Pearson-Kriterium)
1st die Wahrscheinlichkeit Pi sehr klein oder unbekannt, wie es typischerweise fUr Alarmsysteme der Fall ist (Radartechnik, Brandmeldegeber etc.), so lautet die Optimierungsaufgabe hiiufig, die Entdeckungswahrscheinlichkeit Pd = 1 - Pel bei festgehaltener, noch tolerierbarer "Falschalarmwahrscheinlichkeit" P eO ZU maximieren (S. Bild 1.3 bei Entscheidung aus einer Beobachtung). 1m einfachsten Fall bei unimodalen Verteilungsdichtefunktionen und sehr kleinem Pi ist die optimale Schwelle dann durch den Wert von P eO gegeben.
1.2 Einfiihrende Anwendungsbeispiele
Wie Gleichung (1.9) zeigt, ist der bisher betrachtete Korrelationsempfang zunachst von der Form des Tragersignals s(t) unabhiingig. Das Nutz- zu Storsignalverhiiltnis wird bei dem angenommenen Ubertragungsmodell nur von der Signalenergie bestimmt. Diese einfache Aussage stimmt aber schon dann nicht
1.2 Einfiihrende Anwendungsbeispiele 7
mehr, wenn das empfangene Signal, wie in (1.1) und (1.2) bereits beriicksichtigt, weitere "unerwiinschte" Nutzsignale u(t) enthiilt. Hierzu werden einleitend zwei einfache Beispiele betrachtet. Einzelheiten und weitere FaIle werden dann ausfiihrlicher in den Kapiteln 10 und 18 besprochen.
1.2.1 Beispiel I: Radartechnik
In der Impuls-Radartechnik erzeugt der Sender im einfachsten Fall ein impulsformiges Signal s(t) der Energie Eo und strahlt es in einem engen Raumwinkelbereich abo Die Hypothese, ob in einem bestimmten Entfernungsbereich {R, R + AR} (Entfernungszelle) dieser Richtung ein Zielliegt, wird dann danach entschieden, ob im Zeitbereich {2R/c, 2(R + AR)/e} (e Lichtgeschwindigkeit) nur Rauschen oder aber Rauschen und reflektiertes Nutzsignal empfangen wird. Liegt nun im direkt benachbarten Entfernungsbereich ein anderes Ziel, so kann das dadurch erzeugte unerwiinschte Nutzsignal u(t) die Entdeckungswahrscheinlichkeit verschlechtern. Die zu fordernde Auflosung benachbarter Ziele, aber auch die eindeutige Zuordnung eines Einzelziels zu einem bestimmten Entfernungsbereich laBt sich am einfachsten dadurch erreichen, daB das Nutzsignal die Breite 2ARIe nicht iiberschreitet (s. Bild 1.5a and b). Weiter wird die Energie Eo des Sendesignals bei nicht spiegelnder Reflexion an einem Ziel im Abstand R mit einem Wert E empfangen\ der urn einen Faktor '" R- 4 vermindert ist. Bei durch technische Randbedingungen immer gegebener Amplitudenbegrenzung des Sendesignals konnen beide EinfluBgroBen - schmale Impulsbreite und groBere Entfernung - schnell zu einer Empfangsenergie E fiihren, die keine hinreichende Entdeckungswahrscheinlichkeit mehr ermoglicht. Ein geschickter Ausweg liegt dann darin, zwar die Breite des Sendesignals geniigend
01
to =2R/c tl
cl 5 2(t1t
-t
Bild 1.5. Impuls-Radar (a) mit Sendesignalen S1.2 (im TiefpaBbereich) und Empfangssignalen gl.2 am Ausgang der Korrelationsfilter fUr einfache Pulsforrnen (b) und Impulskompressionstechnik (c)
8 1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
groB zu wahlen, aber das Sendesignal so zu gestalten, daB die Breite seiner am Ausgang des Korrelationsfilters auftretenden Autokorrelationsfunktion die urspriingliche Beschrankung erfUIlt. Dies ist das Wesen der Impulskompressionstechnik, s. Bild 1.5c.
Entsprechende Probleme und Losungsmoglichkeiten finden sich auBer in der Radartechnik iiberall dort, wo unter Storbedingungen Zeit- oder Ortsmessungen vorgenommen werden. Beispiele sind andere Ortungsverfahren (Sonar, Ranging-Verfahren, satellitenbasierte Ortung), weiter Synchronisationsverfahren, aber auch Messungen des Ubertragungsverhaltens gestorter Kanale und Systeme (s. Kap. 10).
1.2.2 Beispiel 2: Codemultiplex-Technik
Codemultiplex-Verfahren sind yom Prinzip her nahe Verwandte der klassischen asynchronen Frequenzmultiplex-Verfahren. Die Codemultiplex-Technik verwendet breitbandige, zeitbegrenzte Tragersignale Si(t), deren Kreuzkorrelationsfunktionen CfJij(r) zwar nicht wie in der Frequenzmultiplex-Technik fUr aIle r exakt verschwinden konnen, aber iiberall nur geringe Amplitudenwerte annehmen. Durch diese Eigenschaft wird erreicht, daB fUr ein zu iibertragendes Signal keine Zuteilung eines festen Unterkanals notwendig ist. Die einzelnen Tragersignale iiberlagern sich sowohl im Zeit- wie im Frequenzbereich und ermoglichen so einen freiziigigen, bedarfsabhangigen Zugriff auf den gemeinsamen Kanal.
Geeignete, sog. quasiorthogonale Tragerfunktionen dieser Art sind z.B. zeitlich begrenzte Ausschnitte aus tiefpaBbegrenztem wei Ben Rauschen. In den eigentlichen Codemultiplex-Verfahren werden technisch einfacher anwendbare und an die digitale Schaltungstechnik angepaBte binare Pseudonoise-Signale benutzt. Beispiele derartiger Tragersignale mit Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen sind in Bild 1.6 dargestellt. Ihre Synthese wird in den folgenden Kapiteln diskutiert.
N ;:: 127
Bild 1.6. Tragersignale eines Codemultiplex-Systems mit Autound Kreuzkorrelationsfunktionen (Folgenlange N = 127)
nT f2~t) ~ TP
Ii
Sender
Bild 1.7. PAM-Codemultiplex-System
1.2 Einfiihrende Anwendungsbeispiele 9
Kanal
Aus dem prinzipiellen Aufbau eines Multiplex-Systems mit Pulsamplitudenmodulation (PAM) laBt sich das Blockschaltbild eines PAM-CodemultiplexSystems in Bild 1.7 entwickeln [Liike 1990].
Der Empfanger benutzt in diesem Beispiel Korrelatoren. Die Generatoren fiir Si(t) im Empfanger brauchen wegen des asynchronen Verhaltens der einzelnen Tragersignale nur auf die jeweils zugeordneten Sendesignale synchronisiert zu werden.
Bei der zumeist iiblichen Ubertragung iiber BandpaBkanale werden die mi(t) noch in geeigneter Weise moduliert. Zur Ubertragung digitaler Signale muB die Schaltung entsprechend modifiziert werden.
Die Codemultiplex-Technik hat gegeniiber den klassischen Orthogonalverfahren Vor- und Nachteile. Ein Nachteil ist die nur angenaherte Orthogonalitat der Tragerfunktionen. Schon bei nur zwei Kanalen entsteht auch bei idealer Ubertragung Nebensprechen, das mit steigender Kanalzahl zunimmt. Geringes Nebensprechen kann nur durch Wahl sehr langer Tragersignalfolgen erreicht werden. Es ist daher iiblich, den EinftuB der Nebensprechstorungen durch digitale Ubertragungsverfahren zu mindern.
Ein fUr manche Anwendungen der Codemultiplex-Technik wichtiger Vorteil ist neben dem asynchronen Verhalten die Breitbandigkeit der iibertragenen Signale. Wie Bild 1.6 zeigt, besitzen die Tragersignale Autokorrelationsfunktionen mit impulsfOrmigem Verhalten in der Umgebung von r = O. Nach dem Wiener-Khintchine-Theorem ist das Energiedichtespektrum also entsprechend verbreitert. Die Codemultiplex-Ubertragung gehort zu den Verfahren mit spektraler Spreizung (spread-spectrum-Verfahren). Die Signale sind daher gegen schmalbandige Storungen und auch gegeniiber schmalbandigen Fadingerscheinungen, wie sie durch Mehrwegeausbreitung hervorgerufen werden, erheblich unempfindlicher als Frequenzmultiplex-Signale. Weiter sind die Signale wegen ihrer im Vergleich zur Zeitmultiplex-Technik groBeren Dauer ebenfalls unempfindlicher gegen impulsformige Storungen. Das Verhalten gegeniiber Storungen durch weiBes Rauschen ist allerdings wieder nur yom Ej N 0-Verhaltnis (E: Energie der Tragerfunktionen) abhangig, also nicht anders als bei den iibrigen linearen Multiplexverfahren.
10 1. Korreiationssignale und Korreiationsempfang
Eine ausfiihrliche Diskussion dieser und weiterer Anwendungsbeispiele von Korrelationssignalen erfolgt in Kap. 10.
1.3 Analoge und digitale Korrelationssignale
Die ersten VorschUige zur Anwendung von hochstrukturierten Signalen mit bewuBt gestalteten Korrelationsfunktionen geht auf Radar- und Ubertragungssysteme der 40er Jahre zuriick. In der Radartechnik wurden hierzu zunachst analoge frequenzmodulierte Signale vorgeschlagen und benutzt. Ein solches linear-frequenzmoduliertes Signal mit seiner Autokorrelationsfunktion zeigt Bild 1.8.
-T
t Ilpss(TII
I \ I \
I
I I
I I
I
I
o
\ \
\ \ \ \ \ \ \ \
\ \
T T-
Bild 1.S. Linear-frequenzmoduliertes Signal ("Chirp"-Signal) und seine Autokorrelationsfunktion (gestrichelt: Autokorrelationsfunktion eines unmodulierten Signals gleicher Dauer)
Ein erstes Patent iiber Puls-Radarsysteme mit solchen Signalen wurde E. Hiittmann [1940] erteilt. Ein entsprechendes Radarsystem mit dem Ziel hoher Storfestigkeit wurde in Deutschland gegen Kriegsende unter dem Namen "Kugelschale" entwickelt. Ein wei teres System "Reisslaus" versuchte damals, dieses Ziel iiber Ziel iiber eine Frequenzsprungtechnik zu erreichen [Scholtz 1982, Trenkle 1979]. Einen anderen Weg schlug der Schweizer G. Guanella [1938,1956] ein, ihm wurde 1938 ein Patent iiber ein Breitband-Radarsystem mit rauschahnlichen Signalen erteilt. Gute Uberblicke iiber die Weiterentwicklung in den 50er Jahren werden von Scholtz [1982], sowie Cook und Siebert [1988] gegeben. Erst spater wurde entdeckt, daB die Evolution diese Erfindungen
1.3 Analoge und digitale Korre1ationssigmile 11
oj
-;; 40 .. .. ~ 0 0 ii w zo ~
0 Z 4 6 8 10
TIME (msec)
bl
----- ----- -- --
4 Tlt.4E DE LAY Imsec)
Bikll.9. Akustische Ortungssignale der F1edennaus Lasiurus borealis. (a) Signal und Veri auf der Augenblicksperiodendauer. (b) Autokorrelationsfunktion (gestrichelt: Verlauf bei unmoduliertem Signal)
bereits seit langer Zeit kennt: Fledermause benutzen ein akustisches Ortungsund Beutesuchsystem, das mit typischen "Chirp"-Signalen arbeitet, s. Bild 1.9 [Cahlander 1964, Suga 1990].
Die Anwendung hochstrukturierter Signale, d.h. von Signalen mit hohem Zeit-Bandbreite-Produkt, fiir die Nachrichteniibertragung hatte zunachst kryptografische Griinde. Man versuchte eine Ubertragung dadurch geheirnzuhalten, daB entweder ein rauschahnlicher Trager benutzt oder die Tragerfrequenzen schnell pseudozufallig gewechselt wurden. Patente von P. Kotowski und K. Dannehl (1935) sowie G. Vogt (1939) in Deutschland schlugen synchron rotierende, unregelmaBig geschlitzte Scheiben in Sender und Empfanger vor, urn Sprachsignale mit auf diese Art koharent erzeugten, periodisch-rauschahnlichen Signalen modulieren und demodulieren zu konnen. Solche Systeme wurden im 2. Weltkrieg auf deutscher und amerikanischer Seite eingesetzt [Scholtz 1982, Price 1983]. Die Codierungsscheibe eines amerikanischen Systems von 1950 ist in Bild 1.10 wiedergegeben.
12 1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
Bild 1.10. Codierungsscheibe mit Pseudorauschsignal nach M. Rogoff (1440 dezimale Werte)
Die letzten Beispiele zeigen deutlich, wie miihsam und unzuliinglich die analoge Erzeugung hochstrukturierter Signale ist. In den Bell-Laboratorien wurden daher bereits in der Mitte der 40er Jahre rein elektronische, digitale Pseudozufallsgeneratoren konzipiert [Scholtz 1982].
Die ersten Untersuchungen zur Synthese und Erzeugung digitaler Signale mit guten Korrelationseigenschaften reichen in den Anfang der 50er Jahre zuriick. Erwiihnt seien besonders die wichtigen Arbeiten zur rekursiven Erzeugung biniirer Pseudo-Rauschsignale in verschiedenen US-amerikanischen Laboratorien, besonders von S. Golomb, N. Zierler und M. Nicholson [Scholtz 1982].
Ein weiterer friiher Beitrag ist die Entdeckung der biniiren Barker-Folgen [Barker 1953].
Ein ganz anderes Gebiet, in dem hochstrukturierte, aber zweidimensionale Signale mit gutem Korrelationsverhalten etwa zur gleichen Zeit eingesetzt wurden, ist die optische MeBtechnik (vgl. Abschn. 18.1). Zwei Beispiele zweidimensionaler Masken mit gut autokorrelierender Apertur zeigt Bild 1.11. Auch hier sind ortskontinuierliche ("analoge") und ortsdiskrete ("digitale") Losungen moglich. Bild l.l1a stellt eine Fresnelsche Zonenplatte als zweidimensionale, rotationssysmmetrische "Chirp"-Funktion dar, Bild l.l1b eine Biniirmaske in Form einer zweidimensionalen Pseudorauschfolge mit 4095 Elementen [Barrett und Horrigan 1973, Harwit und Sloane 1979].
Heute haben die Vorteile der Erzeugung und Verarbeitung digitaler Signale die analogen Korrelationssignale zuriickgedriingt. Die folgenden Ausfiihrungen beschriinken sich daher auf Synthese, Erzeugung und Eigenschaften von zeitdiskreten "Korrelationsfolgen" und von ortsdiskreten "Korrelationsarrays".
Ein ausfiihrlicher Uberblick iiber analoge Korrelationssignale der Radartechnik ist z.B. in dem Buch "Radar Signals" von Cook und Bernfeld [1967] zu finden. Doch liiBt sich auch bei der Synthese zeitkontinuierlicher Signale das Entwurfsproblem durch Anwendung des Abtasttheorems auf den i.allg. einfacheren Entwurf zeitdiskreter Signale zuriickfiihren.
1.4 Aperiodische und periodische Korrelationssignale 13
a)
b)
Bild 1.11. "Analoge" und "digitale" '--____________ --' optische Aperturmasken
1.4 Aperiodische und periodische Korrelationssignale
Zeitdiskrete Signale mit impulsfOrmigen Autokorrelationsfunktionen finden, wie beispielhaft dargestellt wurde, vielfaltige Anwendung in Nachrichten- und Me13technik. In Bild 1.12 ist als Beispiel ein temiires Signal (a) dieser Art zusammen mit seiner aperiodischen Autokorrelationsfunktion (AKF) (b) dargestellt.
Wiihrend die AKF aul3erhalb des impulsformigen Hauptmaximums prinzipiell nicht iiberall verschwinden kann, ist dies bei der mit der Signaldauer periodisch wiederholten Autokorrelationsfunktion (PAKF), zwischen den periodischen Hauptmaxima moglich, vgl. Bild 1.12c. Diese PAKF kann auch als
14 1. Korrelationssignale und Korrelationsempfang
ol ~gnol
1 _0.J1 Si(tl~
Autokorrelotionsfunk ti onen
-N 0 N t/T-
cl iPidtl! -:h 6 /;L Rild 1.12. Zeitdiskretes Signal (a) und -N 0 N 2N t/T- verschiedene Formen seiner Autokor-
re1ationsfunktion: (b) aperiodisch, (c)
dl ~i~l periodisch, (d) "dteifach" korreliert
6 6 AA
(das zeitdiskrete Signal ist hier als
P= .. "'" 2tt tiT:... Foige von terniir modulierten Recht-
-N 0 N eckimpulsen der Dauer 1 dargestellt)
Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Signal und periodisch wiederholtem Signal aufgefaBt werden. Fur die Mehrzahl der Anwendungen, namlich dann, wenn die Signale einzeln (Synchronisationsimpuls, Radarsignal) gesendet und in Korrelationsempflingern empfangen werden, ist eine gute aperiodische AKF erforderlich. Leider ist dieser Fall auch der fUr die Signalsynthese schwierigere (s. Kap. 6). Es existieren keine konstruktiven Syntheseverfahren, mit denen binare oder ternare Signale mit optimal impulsformiger AKF gebildet werden konnen. Dagegen ist die Synthese von "perfekten Folgen" mit idealer PAKF wie in Bild 1.12c einfach moglich. Zwischen heiden Ansatzen bestehen aber zwei Verbindungen: Einmal konnen mit oft guten Ergebnissen Signale mit guter oder idealer PAKF auf gute AKF -Eigenschaften hin ausgesucht werden. Einen anderen Weg zeigt Bild 1.12d: Korreliert man eine dreifach uhertragene, perfekte Folge mit der einfachen Folge, dann verschwinden zwischen den Maxima die Korrelationsfunktionen wieder ideal. In diesem MeBfenster kann heispielsweise die StoBantwort des Uhertragungskanals gemessen und zur Steuerung eines Entzerrers verwendet werden, wah rend die Hauptmaxima zur Synchronisation verfUgbar sind. In der Radartechnik oder der SystemmeBtechnik sind entsprechend langere Impulsgruppen anwendbar, soweit die Randeffekte vernachlassigbar sind.
Ein weiteres Anwendungsfeld finden perfekte Folgen bei der Synthese von Orthogonalmatrizen. Schreibt man aile N zyklisch verschohenen Versionen einer perfekten Folge der Lange N untereinander, so entsteht eine zyklische
1.4 Aperiodische und periodische KorrelationssignaIe 15
Bild 1.13. Zyklische, temare Orthogonalmatrix, N = 13
+ + + 0 + + 0 0 + 0 0 + + + 0 + + 0 0 + + 0 + + + 0 + + 0 0 0 + 0 + + + 0 + + 0 0 0 + 0 + + + 0 + + + 0 0 + 0 + + + 0 +
+ 0 0 + 0 + + + 0 + + + 0 0 + 0 + + + 0 0 + + 0 0 + 0 + + +
0 + + 0 0 + 0 + + + 0 + + 0 0 + 0 + + +
+ 0 + + 0 0 + 0 + + + + 0 + + 0 0 + 0 +
Orthogonalmatrix, da die Korrelationskoeffizienten zwischen allen Folgen verschwinden. (s. Abschn. 9.2).
Ais Beispiel zeigt Bild 1.13 die ternare Orthogonalmatrix, die aus der perfekten Ternarfolge gebildet wird, die dem Signal in Bild 1.12a zugrunde liegt.
Ahnliche Zusammenhange gel ten ebenfalls fiir zweidimensionale Korrela-tionsarrays, die ausfiihrlich ab Kap. 11 betrachtet werden sollen.