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Grundoperationeu mit Lineal und Zirkel auf, welche zu zwei Zahlen S und E fiihrt, die er ,simplieit6" und ,,exactitude" nannte; nach diesen Zahlen beur- teilte er die Einfachheit, bezw. die Genauigkeit der Konstruktionen. Er fund nicht blol~ in Frankreich, sondern auch in Deutschland zum Teil begeisterte Anhi~nger, zum Tell wurden andere Abzi~hlungsweisen vorgeschlagen oder es wurden Bedenken gegen die Sache ge'Xu~ert. Wenn auch die bisherigen geo- metrographisehen Untersuchungen den Charakter der Zufi~lligkeiten an sieh tragen und durchaus nicht an die klassischen Beispiele S t ei n e r s (Ausfiihrung der Konstruktionen mR einem gezeichneten Kreise) und M a s e h e r o n i s (Aus- fiihrung mit dem Zirkel allein) hinanreiehen, so ist der Grundgedanke (der iibrigens schen 1884 bet W i e n e r vorkomm~) nicht ohne Bedeutung, ander- seits wurde durcb sie die Aufmerksamkeit selbst hervorragender Mathematiker wieder auf die geometrisehen Konstrukfionen gelenkt. Von dieser Seite beein- flal~t, entstanden einige Abhandlungen (z. B. N i t z , Beitr~ge zu einer Fehler- theorie der geometrischen Konstruktionen, Zft. f. Math. 1906), dutch welche eine Weiterentwicklung gekennzeichnet ist.

Das vorliegende erste deutsche Buch fiber Geometrographie enthMt die Behandlung einiger Gruppen yon Aufgaben aus dem planimetrischen Lehrstoffe fi]r Mittelschulen: I. Hilfskonstruktionen (Normale, Parallele, Winkel), II. Tel- lung der Strecke, ]II. Vervielfachung und Teilung des Quadrats, IV. Geome- trische ()rter, V. Merkwiirdige Punkte des Dreieckes (bier werden aueh die nach G e r g o n n e , N a g e l , G r e b e , B r o c a r d benannten Pnnkte kon- struiert), VI. Merkwiirdige Kreise des Dreieckes, VII. Bertihrungsproblem des Apollonius (als Beispiel ether komplizierten Aufgabe, naeh zwei Methoden be- handelt and die beiden Vorg~nge miteinander verglichen). Das Bueh hat den Zweck, Lehrerkreise in den Gegenstand einzufiihren, damit sie dann manches beim U n t e r r i c h t verwerten. In letzterer Hinsicht mahnt der Yerfasser selbst zur Vorsicht, er zhhlt also zu den gemhfiigten Anhiingern. Yon L e m o i n e weicht der Verfasser insofern ab, als er (wie B e r n S s ) ,das Einsetzen der Zirkelspitze in einen bestimmten Punkt yon dem Einsetzen auf eine gegebene Linie n i c h ~ unterseheidet, wodurch sieh aber die Zahlen S und E nicht ~indern. Das Symbol kSnnte da kurz so geschrieben werden: [11, m l ; 12, m2]~ wobei sich der erste Teil auf die Anzahl der Inzidenzen und der zweite Teil auf die Anzahl der Linien bezieht. Die Absicht des Verfassers, den geometro- graphischen Untersuchungen neue Freunde zu gewinnen, wird dureh seine sorgfiLltige und mtihevolle Arbeit gewil~ erfiillt werden. Th. Sch.

L e h r b u c h d e r a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e . V o n L . H e f f t e r u n d C, K 5 e h 1 e r. I . B a n d : G e o m e t r i e in den G r u n d g e b i l d e n e r s t e r S tu fe u n d in de r E b e n e . L e i p z i g und Ber l in . D r u c k u n d V e r l a g y o n B. G . Teubner~ 1905 ( X V I u n d 526 S.).

Unter den zahlreichen neuen Lehrb~tehern der analytischen Geometric niramt das vorliegende eine ganz besondere Stellung ein. Es ist ein mit Sorg- falt und Geschick unternommener Versuch yon allem Anfang den modernen wissensehaftlichen Gesichtspunkten im vollen Umfang gerecht zu werden. Dieser Absicht entsprechend sind beim Aufbau die drei Abstufungen der Geo- metrie scharf auseinandergehalten, welche tier Zugrundelegung der Gruppe der projektiven Transformationen, der Gruppe der affinen und endlich den Ahnlich-

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keitstransformationen entspringen und der Leser hat immer vor Augcn, wie die folgende Abstufung sicb der vorhergehenden unterordnet. Ffir jede der drei Abstufungen, welche die Verfasser bezw. als projektive, affine und gquiforme Geometrie bezeichnen, werden die charakteristischen absoluten Invarianten abgeleitet und bei der Einffihrung des zugehSrigen naturgemal]en Koordinaten- systems verwertet, lm Sinne der yon E. S t u d y nachdrficklich erhobenen Forderung nach scharfen Definitionen und genauer Abgrenzung des Gfiltig- keitsbereiches bei Lehrs~tzen in der Geometrie ist der korrekten Formulierung der Ergebnisse ganz besondere Aufmerksamkeit zugewendet worden. Die zum Zweeke einer leichten und doch ausnabmslos riehtigen Formulierung einge- ftlhrten neuen Definitionen sind nach Ansicht des Referenten nicht in allen Fii, llen gltickliche. Als unzweckra~l]ig eraehtet er die Einffihrung des identischen Kegelsehnittes, dem alle Punkte der Ebene angehSren, und des identischen Biischels, das nut ein Element besitzt. Konsequent w~re dann ein einzelner Punkt als spezieller Raum yon beliebig vielen Dimensionen anzusehen.

Dem Stoffe nach bietet das Buch einen vollst~ndigen Kursus der ana- lytisehen Geometrie der geradlinigen Figuren und der Kegelsehnitte, eingeleitet durch eine 'nach allen Seifen griindIiehe Untersuchung der Grundgebilde erster Stufe, der vielfach insbesondere aueh durch die eingehende Behandlung des Kegelsehnittbfischels und der Kegelschnittschar fiber das gewShnliehe Mall hinausgeht. Uberhaupt ist neben der ganzen Behandlungsart im einzelnen viel Originelles zu verzeichnen. Es sei in dieser Richtung namentlich auf die affine Metrik aufmerksam gemaeht. HSufige tabellarische Zusammenstellungen der Ergebnisse sind geeignet, die Ubersicht wesentlich zu f6rdern.

Alles in allem haben wir ein originelles und gediegenes Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene vor uns, das wir den Studierenden, die tiber die Elemente dieser Diszip]in scbon hinaus sind, zur Erweiterung des Gesiehts- kreises und Ausbreitung der Kenntnisse warm empfehlen kSnnem G. ~:

Vorlesung 'en fiber technische Mechanik yon Dr. Aug. F 5 p p 1, Prof. a. d. techn. Hochschule in !~'[tinchen. 3. Auflage. Erster B a n d : E in f i ih rung in die Meehanik, mit 103 F igu r e n im Text, gr. 8~ X V I und 428 S. Dri t ter Band : Fest igkei ts lehre~ mit 83 F i gu r e n im Text~ gr. 8~ X V I und 434 S. - - Leipzig~ 1905. B. G, Teubner . Preis pro B a n d : geb. 10 M.

Der erste Band dieses bereits allgemein bekannten Lehrbuches hat gegenfiber den friiheren Auflagen nur geringe Anderungen erfahren: Einsehal- tungen und Weglassungen sowie sehi~rfere und deutliehere Herausarbeitung tier Einzelausf/~hrungen.

Weitgehendere Veriinderungen hat hingegen diese Neuauflage des dritten Bandes aufzuweisen. Wegen erforderlicher Aufnahmen einer Reihe yon Er- ggnzungen uud Erweiterungen wurde es zur Verminderung des Buehumfanges notwendig, einige Teile zu streichen. Es besteht der Plan, s~mtliche Abstriche aus den vier ersten B~,nden saint verschiedenen Zus~tzen in einen ffinften Band ztl vereinigen, der zur Verwendung ffir jene gedacht ist, die sich noch fiber das Notwendigste hinaus in der ~eehnisehen Meehanik zu unterriehten wtinschen. Aueh sonst erfuhr der Stoff an vielen Stellen dieses Bandes Umarbeitungen. Als besonders wiehtig sei erwghnt, dail die Mohrsehe Theorie der Bruch-