lektion 4a: folgen, konvergenz,...
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Lektion 4a:
Folgen, Konvergenz, Grenzwerte
Folgen in ℝ und ℂ, Darstellung von Folgen,
Definition der Konvergenz, Grenzwerte
Tutorium zur Analysis 1 - David Präsent 20W – L04b: Folgen
Was sind Folgen?
• Definition: Eine (unendliche) Folge reller (bzw. komplexer) Zahlen ist eine Funktion �: ℕ → ℝ (bzw. ℂ)
• Mit �� �∈ℕ bzw. mit ��, � , … � ist die Folge (Englisch: sequence) als Ganzes gemeint.
• Für einen Funktionswert schreibt man �� statt ��� und nennt ihn �-tes Folgenglied.
• Ein Argument � ∈ ℕ wird typischerweise als Index bezeichnet.
• Bemerkungen:
• Mit den natürlichen Zahlen als Definitionsmenge wird automatisch eine Ordnung induziert.
• Im Wesentlichen ist eine Folge eine geordnete Liste von Zahlen.
• Die Null kann in der Definitionsmenge enthalten sein, oder nicht.
• Auch Funktionen �: � → ℝ (bzw. ℂ) mit � ⊆ ℕ werden als Folgen bezeichnet.
• Ebenfalls möglich: Folgen von anderen Objekten anstelle von Zahlen (z.B. Folgen von Intervallen oder von Funktionen).
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Darstellungen
• Aufzählend: Für endliche oder periodische Folgen, sowie solche mit einem offensichtlichen Bildungsgesetz.
Beispiele: �� �∈ℕ � 0, 1, 0, 1, 0 … � oder �� �∈ℕ � 1, 4, 7, 10, 13, … �
• Explizit: Man kann alle Folgenglieder durch eine oder mehrere Formeln darstellen.
Beispiel: �� �∈ℕ gegeben durch �� � �1 � ⋅�
�
• Rekursiv: Aus einem gegebenen Folgenglied werden alle anderen iterativ berechnet.
Beispiel: �� �∈ℕ�ist für ∈ ℝ! gegeben durch ��!� �
�
�� "
#
$%und �& �
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Beispiel: Rekursive Berechnung eines Kreditrückzahlungsplans mit Excel
Ein Darlehen über 25 000 € soll bei monatlicher Verzinsung beimZinssatz von monatlich 0,2 % in gleichen Raten von 800 € pro Monatbeglichen werden. Wann ist der Kredit so abbezahlt?
Antwort: Nach 33 Raten (letzte Rate ist geringer)
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Konvergenz
Die Konvergenz ist ein Hauptuntersuchungsmerkmal von Folgen und für die Analysis zentral!
• Definition: Eine Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert +, genau dann, wenn gilt:
∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ *� � � 4 -
Lies: „Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn man für jede positive Fehlerschranke - einen
passenden Index 01 finden kann, sodass alle nachfolgenden Folgenglieder in der Umgebung
von � liegen und deren Abstand zu � kleiner als - ist.“
Egal wie klein man diese --Umgebung zu � wählt: wenn die Folge gegen � konvergiert, dann
liegen trotzdem fast alle Folgenglieder in der Umgebung (bis auf endlich viele vor dem Index 01).
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Vorstellung zur Definition
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Re
Im
ℂ
ℝ
0
ℂ
Re
Im
° �
Erinnerung: *� �∈ℕ konvergiert gegen � ∈ ℤ, g.d.w.
∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ *� � � 4 -
Alternative Darstellung für reellwertige Folgen durch den Funktionsgraphen
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ℝ
�
��
Erinnerung: � �∈ℕ konvergiert gegen � ∈ ℝ, g.d.w.
∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ � � � 4 -
�
� " -
� � -
Bemerkungen
• Für „Die Folge *� �∈ℕ konvergiert mit Grenzwert (Limes) �“ schreibt man: lim�→=
*� � � oder *� �→=
�
• Hat eine Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen den Grenzwert 0, dann nennt man sie Nullfolge.
• Existiert der Grenzwert einer Folge *� �∈ℕ nicht, dann nennt man sie divergent.
• Z.B., wenn die Folgenglieder unbeschränkt anwachsen/abfallen.
• Oder bei manchen Folgen, die ein alternierendes Verhalten aufweisen (siehe auch: Häufungspunkt).
• Alle Eigenschaften, die für komplexe Folgen gelten, sind auch für reelle Folgen erfüllt.
• Der Grund: ℝ ist in ℂ eingebettet.
• Der Aufbau der Analysis mithilfe von Grenzwerten geht zurück auf Cauchy,
die sog. Epsilontik auf Weierstraß.
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Augustin-Louis Cauchy
(1789 – 1857)
Karl Weierstraß
(1815 – 1897)
Beispiel
Es sei � �∈ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert � . 1. Zeige, dass lim�→=
�?� � 0.
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See you in part 2!
• Rechenregeln für Grenzwerte
• Einige wichtige Grenzwerte
• Konvergenzkriterien
• Majorantenkriterium
• Einschließungssatz
• Monotoniekriterium
• Konvergenz von rekursiven Folgen
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Lektion 4b:
Grenzwerte und
Konvergenzkriterien für Folgen
Wichtige Grenzwerte und Rechenregeln für Grenzwerte,
Majoranten, Einschließungs- und Monotoniekriterium
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Rechenregeln für Grenzwerte
• Sind �� �∈ℕ und �� �∈ℕ konvergente Folgen komplexer Zahlen mit den Grenzwerten � und �, dann gilt:
1. lim�→=
�� @ �� � � @ �
2. lim�→=
�� ⋅ �� � � ⋅ �
• Insbesondere gilt für die konstante Folge �� � �, dass lim�→=
� ⋅ �� � � ⋅ �
3. lim�→=
A%
B% �
A
Bund fast alle �� C 0, falls zusätzlich � C 0
4. lim�→=
�� � |�|
5. lim�→=
Re �� � Re�� und lim�→=
Im �� � Im��
6. lim�→=
�� E
� �E für F ∈ ℚ
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Vorsicht: für F ∈ ℚ ∖ ℤ (also Potenzen von Wurzeln) spielt eventuell das Vorzeichen von �� eine Rolle.
Beweis zu Regel 6
6. lim�→=
�� E
� �E für F ∈ ℚ
Wir beweisen als Übung nun die folgenden Spezialfälle:
i. F � I ∈ ℕ
ii. F � �I ∈ ℤ ∖ ℕ
iii. F ��
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Wichtige Grenzwerte
1.�
�J → 0 für alle F ∈ ℚ!
2. �% → 1 für alle � ∈ ℝ!
3. �E% → 1 für alle F ∈ ℚ!
• Insbesondere gilt: �% → 1 (Der allgemeine Fall folgt aus diesem Spezialfall)
4. Für sogenannte geometrische Folgen � � F� gilt: wenn F 4 1, dann ist lim�→=
F� � 0 .
• Für F � 1 ist die Folge konstant und konvergiert trivialerweise gegen 1
• Für F . 1 divergieren alle geometrischen Folgen
5. Für I ∈ ℕ und � ∈ ℤ mit � . 1 gilt: lim�→=
�K
$% � 0
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Noch ein paar Definitionen
• Definition:
• Eine Folge *� �∈ℕ heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl L 4 ∞ gibt, sodass ∀� ∈ ℕ: *� N L.
• Eine reelle Folge � �∈ℕ heißt monoton wachsend (bzw. fallend), wenn ∀� ∈ ℕ: �!� 2 � (bzw. �!� N �).
• Man nennt � �∈ℕ streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn ∀� ∈ ℕ: �!� . � (bzw. �!� 4 �).
• Zwei komplexe Folgen *� �∈ℕ und �� �∈ℕ heißen asymptotisch gleich, wenn lim�→=
O%
$%� 1 (schreib: *� ≃ ��)
• Vorsicht! Es muss nicht gelten, dass lim�→=
*� � �� � 0 .
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Konvergenzkriterien (1)
Majorantenkriterium: Wenn es zu einer Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen eine Nullfolge �� �∈ℕ und
eine Zahl � ∈ ℂ und ein 0 ∈ ℕ gibt, sodass für alle � 2 0 gilt, dass
*� � � N �� ,
dann konvergiert *�� gegen �.
Beispiel: Zeige, dass *� �∈ℕ mit *� ≔ R "�⋅S%
%konvergiert.
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Konvergenzkriterien (2)
Einschließungssatz: (Majorantenkriterium für reelle Folgen)
Für eine Folge � �∈ℕ reeller Zahlen gilt: Wenn es zwei konvergente Folgen �� �∈ℕ
und �� �∈ℕ mit lim �� � lim �� �: T gibt, dann konvergiert � ebenfalls gegen T,
wenn bis auf endlich viele Ausnahmen gilt, dass
�� N � N ��
Beispiel: Man zeige, dass � �∈ℕ mit � � 1 �?� %
�U!�konvergiert und bestimme den Grenzwert.
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„Sandwich-Theorem“
„Einzwicklemma“
„Satz von den zwei Polizisten und dem Betrunkenen“
(insbesondere, wenn entweder�� oder �� konstant ist)
Konvergenzkriterien (3)
Monotoniekriterium: Wenn eine Folge � �∈ℕ reeller Zahlen beschränkt und monoton ist, dann
ist sie auch konvergent. (bis auf endlich viele Ausnahmen)
• Umgekehrt gilt das nicht! Zwar ist jede konvergente Folge beschränkt, aber nicht zwingend Monoton.
• Gegenbeispiel:
• Das Monotoniekriterium eignet sich in vielen Fällen, um die Konvergenz von rekursiven Folgen zu prüfen.
• Ebenso ist der Einschließungssatz bzw. das Majorantenkriterium generell gut dafür geeignet.
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Beispiel zu rekursiven Folgen
Sei � �∈ℕ gegeben durch �!� � F ⋅ � " V und & � 6V für F �X
Yund V . 0.
Prüfe die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert �.
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Beispiel zu rekursiven Folgen
Sei � �∈ℕ gegeben durch �!� � F ⋅ � " V und & � 6V für F �X
Yund V . 0.
Prüfe die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert �.
Wertvolle Übung: Wie verhält es sich mit Konvergenz und Grenzwert, falls V . 0, & . 0 und 0 4 F 4 1 beliebig sind?
Was passiert, wenn F . 1 und V 4 0 für verschiedene Werte für &?
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