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Vortragsreihe "Mathematik und Physik zwischen Schule und Hochschule"
Universität Stuttgart, 23. November 2018
Leonhard Euler als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule
Moritz Adelmeyer
Kantonale Maturitätsschule für Erwachsene Zürich
Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften Winterthur
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Zusammenfassung
Leonhard Euler (1707–1783) ist unbestritten einer der wissen-
schaftlich produktivsten und bedeutendsten Mathematiker aller
Zeiten. Weniger bekannt sind seine Verdienste um die Lehre der
Mathematik. Er hat ein Dutzend Lehrbücher verfasst, darunter die
noch heute lesenswerte "Vollständige Anleitung zur Algebra".
Sie gilt als eines der ersten mathematischen Lehrbücher im
modernen Sinne. Im Vortrag wird anhand von Originalpassagen
erläutert, was damit gemeint ist und inwieweit dies zutrifft.
Weiter wird im Vortrag dargelegt, wie die Schnittstellen-
diskussion zwischen Schule und Hochschule im Fach Mathe-
matik in der Schweiz verläuft und aufgezeigt, wie Euler und sein
Werk als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule dienen
können.
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Inhalt
Eulers Leben und Werk
Eulers mathematische Lehrbücher
Eulers Vollständige Anleitung zur Algebra
Schweizer Gymnasium
Bildungspolitische Entwicklungen in der Schweiz
Kanon Mathematik
Euler als Brückenbauer
Materialien zu Euler
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IN ERINNERUNG
an Klaus Kirchgässner
Professor für Mathematik an der Universität Stuttgart von 1972 – 1998
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Euler:
"Principes généraux du movement des fluides", 1757, E226
eulerarchive.maa.org
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Eulers Leben und Werk
1707 – 1727 Basel
1727 – 1741 St. Petersburg
1741 – 1766 Berlin
1766 – 1783 St. Petersburg
Euler, 1753
Pastellbild von Emanuel Handmann
Kunstmuseum Basel
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Ca. 500 wissenschaftliche Arbeiten, 12 Lehrbücher und ca. 3000 wissenschaftliche Briefe
Chronologisches Publikationsverzeichnis von Gustaf Eneström
Nummeriert E001 bis E866
Gesamtausgabe der Akademie der Naturwissenschaften Schweiz:
Leonhardi Euleri Opera Omnia
Teubner, Orell Füssli, Birkhäuser, Springer, 1911 bis heute Serie I : Mathematik, 29 Bände, alle erschienen
Serie II : Mechanik und Astronomie, 31 Bände, alle erschienen
Serie III : Physik und Sonstiges, 12 Bände, alle erschienen
Serie IV A : Briefe, 10 Bände, davon 4 erschienen
Serie IV B : Notizbücher und Tagebücher, noch keine erschienen
Online Archiv der Mathematical Association of America: eulerarchive.maa.org
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Euler: Auszug aus Brief an Johann Bernoulli I, 1740
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Eulers mathematische Lehrbücher
"Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gmnasii bey der Kayserlichen
Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg", 1738, 277, E17
"Vollständige Anleitung zur Algebra"
Zwei Teile, 1770, 256 und 384 Seiten, E387 und E388
"Introductio in analysin infinitorum"
Zwei Teile, 1748, 320 und 398 Seiten, E101 und E102
"Insitutiones calculi differentialis"
Zwei Teile, 1755, 880 Seiten, E212
"Insitutionum calculi integralis"
Drei Teile, 1768, 1769 und 1770, 542, 526 und 639 Seiten,
E342, E366 und E385
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"Es kommt vor, dass ein Mathematiker, der sich für die Geschichte seines Fachs
interessiert, einen Blick auf die Pionierwerke der wissenschaftlichen Revolution des
17. und 18. Jh. werfen möchte. Ein frustrierendes Unterfangen: Bahnbrechende
Arbeiten wie Descartes' Géometrie, die Nova Methodus, mit der Leibniz den Grund-
stein für die Differentialrechnung legte oder die Ars Conjectandi, Jacob Bernoullis
grosser Traktat über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, sind dem historisch ungeschul-
ten Fachwissenschaftler heute völlig unzugänglich. Notation, Denkstil, Beweis-
führung, und Umgang mit dem Zielpublikum haben sich seither so grundlegend ver-
ändert, dass er den Darlegungen … kaum mehr in den Grundzügen wird folgen
können.
Ganz anders, wenn unser Experte ein Werk Eulers in die Hände bekommt, etwa die
Introductio in Analysin Infinitorum, die Vollständige Anleitung zur Algebra oder die
Lehrbücher zur Differential- und Integralrechnung. Hier wird er die vertrauten
Zeichen und Wörter finden, den Gedankengang nachvollziehen können und auf-
atmend erkennen: Ja, das sind die Wurzeln dessen, was wir heute tun."
Martin Mattmüller, Bernoulli-Euler-Zentrum Basel
Uni Nova – Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Heft 105/2007
www.euler-2007.ch/artikel.htm
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Eulers Vollständige Anleitung zur Algebra
"Noch heute künden zahlreiche, sich auf Euler
beziehende Benennungen von Formeln, Glei-
chungen und Gesetzen in der Mathematik von
seiner anhaltenden Bedeutung; die Eulersche Zahl
(e = 2,718...) ist vielleicht die bekannteste darun-
ter. Neben Bahnbrechendem steht aber auch
Didaktisches: Die 'Vollständige Anleitung zur
Algebra', zuvor auf Russisch erschienen, erfuhr
1770 ihre erste Auflage in deutscher Sprache; es
folgten zahlreiche weitere, ebenso wie Überset-
zungen in andere Sprachen. Um Klarheit und Ein-
fachheit bemüht, stellt dieses Buch in handlichem
Format eines der ersten Lehrbücher im modernen
Sinn dar und prägt die Didaktik des Mathematik-
unterrichtes bis heute."
Historisches Museum Basel, 2007
www.hmb.ch/sammlung/
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"Die Anzahl der Rechenbücher, welche sowohl in Deutschland als anderwärts heraus-
gegeben worden, ist so gross und überhäuft, dass manchem diese Arbeit höchst
unnöthig und überflüssig scheinen möchte. … … befinden sich bei den meisten ausländischen Rechenbüchern solche Mängel,
welche man allhier abzuhelfen für höchst rathsam hielt. Denn entweder sind darinn
nichts als die blossen Regeln nebst einer grossen Anzahl Exempel enthalten; von dem
Grunde aber und den Ursachen, worauf die Regeln beruhen, wird nicht die geringste
Meldung gethan. … … so hat man sich bemühet, in gegenwärtiger Anleitung von allen Regeln und Opera-
tionen den Grund vorzutragen und zu erklären, … dabei hat man gleichwohl die Re-
geln und Vortheile, welche im Rechnen zustatten kommen können, ausführlich
beschrieben und mit Exempeln genugsam erläutert … Denn wenn man auf diese Art nicht nur die Regeln begreift, sondern auch den Grund
und Ursprung derselben deutlich einsieht, so wird man einigermassen in Stand
gesetzt, selbsten neue Regeln zu erfinden und vermittelst derselben solche Aufgaben
aufzulösen, zu welchen die sonst gewöhnlichen Regeln nicht hinreichend sind."
Euler: "Rechen-Kunst", Vorbericht
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EINFÜHRUNG IN GLEICHUNGSLEHRE
Euler:
"Algebra", Teil II, Kapitel 1
20 Personen, Männer und Weiber
ein Mann verzehrt 8 Groschen
ein Weib verzehrt 7 Groschen
ganze Zeche beträgt 6 Reichstaler
(= 144 Groschen)
wie viele Männer und Weiber gewesen?
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Anzahl der Männer x
Zahl der Weiber 20 – x
Verzehr der Männer 8 x Groschen
Verzehr der Weiber 140 – 7 x Groschen
Verzehr Männer und Weiber 140 + x
Gleichung 140 + x = 144
x = 4
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20 Personen, Männer und Weiber
Männer verzehren 24 Gulden (= Floren)
Weiber verzehren 24 Gulden
ein Mann zahlt 1 Gulden mehr als ein Weib
wie viel waren es Männer und Weiber?
Zahl der Männer x
Zahl der Weiber 20 – x
ein Mann verzehrt ––– Gulden
ein Weib verzehrt –––––– Gulden
Gleichung ––– – 1 = ––––––
x
24
24
20 – x
x 24 24
20 – x
– 16 –
x = 8
––– – 1 = ––– ist 2 = 2
12
24 24
8
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AUFBAU Zunächst ausführliche Hinführung zum Thema (§1–§4),
dann zwei eingehend erläuterte Beispiele (§5–§6)
und zuletzt eine Vororientierung über Auflösungsregeln und Gleichungstypen (§7–§10).
SPRACHE Überwiegend Umgangssprache, wenig Fach- und Formelsprache.
Grundvorstellungen und Zielsetzungen sind sorgfältig und explizit ausformuliert.
FOKUS Ausrichtung auf das Wesen einer Gleichung, nicht auf deren Auflösung.
Konzeptionelles Verständnis steht im Vordergrund, nicht die Rechentechnik.
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BEISPIELE Einfache und doch algebraisch genug reichhaltige Textaufgaben.
Variablen stehen für konkrete Grössen und nicht nur abstrakte Symbole.
Notwendige Rechenfertigkeiten sind aus Teil I der „Algebra“ bekannt. Es treten keine
Gleichungsauflösungsschritte auf.
Zweites Beispiel ist eine Variation des ersten. Das Aufstellen der Gleichung ist im
zweiten Beispiel fast so einfach wie im ersten, die Auflösung der Gleichung dagegen
wäre bedeutend schwieriger.
FAZIT Eine fachlich und didaktisch gelungene expositorische Einführung: abgestimmt auf
Vorkenntnisse, konkret gehalten, konzeptionell orientiert, exemplarisch illustriert, ein-
gehend kommentiert.
Ergänzt mit Aufgaben zur aktiven Auseinandersetzung und Verarbeitung noch heute
als Selbststudienmaterial einsetzbar.
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EINFÜHRUNG NEGATIVER EXPONENTEN
…..
Euler: "Algebra", Teil I, Kapitel 16
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Schweizer Gymnasium
GESAMTSCHWEIZERISCHE VORGABEN ERZIEHUNGSDIREKTORENKONFERENZ (EDK) Dauer: Mindestens vier Jahre (mindestens Klassen 9 – 12)
Grundlagenfächer: u.a. Mathematik
Profilfächer / Schwerpunktfächer: u.a. Physik und Anwendungen der Mathematik
Rahmenlehrplan: ca. zwei Seiten pro Fach
Stundenzahlen: u.a. Mathematik durchgehend ca. 4 Lektionen pro Woche
Maturprüfungen: u.a. Mathematik schriftlich
Lehrerqualifikation: für Festanstellung Fachmaster plus didaktischer Weiterbildungsmaster
www.edk.ch
KANTON Erlass von Ausführungsbestimmungen, Koordination, Finanzierung, Kontrolle, u.a.
SCHULE Angebot der Profilfächer, Lektionentafel, Stoffpläne (ca. 2 Seiten pro Fach), Prüfungswesen, u.a.
NOCH Keine Kompetenzstandards, keine zentralen Prüfungen, keine Vorgaben zu Lehrmitteln, u.a.
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Bildungspolitische Entwicklungen in der Schweiz
HARMOS UND LEHRPLAN 21
Interkantonale Vereinbarung über die Harmonisierung der obligatorischen Schule,
betrifft Klassen 1 – 8, in nationaler Volksabstimmung 2006 angenommen
Nationale Bildungsstandards zu Grundkompetenzen in Schulsprache, zwei Fremdsprachen,
Mathematik und Naturwissenschaften, inzwischen in fast allen Kantonen eingeführt
EVAMAR II
Wissenschaftliche Studie zum Leistungsstand von Maturand/innen, u.a. in Erstsprache und
Mathematik, von EDK in Auftrag gegeben, vom Institut für Erziehungswissenschaft der
Universität Zürich 2005 – 2008 durchgeführt
Ergebnis: Ausbildungsstand insgesamt zufriedenstellend, aber grosse Unterschiede
Fazit: "Interpretiert man allgemeine Studierfähigkeit dahin gehend, dass jeder Maturitätsausweis
genügend Eingangskenntnisse für alle Studienfächer bescheinigen sollte, so ist dies … nicht
gegeben."
EVAMAR II: Die Ergebnisse in Kürze. www.ife.uzh.ch
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Neue Zürcher Zeitung, 21.01.2015, www.nzz.ch
BASALE KOMPETENZEN
Projekt zur Festlegung und Überprüfung basaler, fachlicher Studierkompetenzen,
von EDK in Auftrag gegeben, vom Institut für Erziehungswissenschaft der Universität Zürich
ausgearbeitet, von EDK 2016 beschlossen, Umsetzung in Erstsprache und Mathematik im Gange
www.edk.ch
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Kanon Mathematik
Ziel: Richtlinien zur Gestaltung des Grundlagenfachs Mathematik am Gymnasium
im Hinblick auf den Übergang zur Hochschule
Erarbeitung/Überarbeitung: Seit 1990 durch gesamtschweizerische Kommission von
Mathematiker/innen aus Schule und Hochschule
Umfang: derzeit 25 Seiten
Inhalt: Allgemeine Ziele des MU
u.a. Allgemeinbildung versus Hochschulvorbereitung
Themenübergreifende Aspekte des MU
u.a. handwerkliche Fertigkeiten versus Technologieeinsatz
Gewichtung der Themengebiete des MU
u.a. weniger Geometrie versus mehr Stochastik
Inhalte der Themengebiete des MU
Einteilung in verstehensorientierte Kenntnisse und verfahrensorientierte Fertigkeiten
Trennung zwischen Grundlagen und Erweiterungen/Vertiefungen
Hinweise zu Anwendungen und Querverbindungen
www.math.ch/kanon
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"Es ist keine Frage, dass der Mathematikunterricht heute hinter dem zurückbleibt, was
er leisten könnte. Der Forderung der Bildungspolitik nach besseren schulischen
Leistungen ist nachvollziehbar. Es ist aber eine Tragödie, dass die Bildungspolitik die
Kompetenzorientierung in Verbindung mit Bildungsmonitoring als einzigen erfolg-
versprechenden Weg ansieht und sich auch durch fundierte Kritik nicht davon ab-
bringen lässt. Der richtige Weg wäre, zu Lehrplänen zurückzukehren, die auf einem authentischen
Bild von Mathematik beruhen und sich an Ausschnitten elementarer Theorien orien-
tieren. Darauf aufbauend müssten Curricula entwickelt werden, die aufbauendes
fachliches Lernen vom Kindergarten bis zum Abitur ermöglichen. Struktur- und
Anwendungsorientierung müssen dabei in sinnvolle Beziehung gesetzt werden. … Durch ein fachlich aufgebautes Curriculum kann für eine Sicherung der Grund-
kenntnisse in stetiger Wiederholung gesorgt werden, … Die Qualitätssicherung muss im
Unterricht selbst, d.h. systemisch, erfolgen. In dieser Richtung sollte die Bildungs-
administration mit der konstruktiven Entwicklungsforschung und der Lehrerschaft tätig
werden."
Erich Wittmann: Kompetenzorientierung vs. solide mathematische Bildung
Franco Caluori u.a. (Hrsg.): Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. WTM-Verlag, 2015
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Euler als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule
POLYEDERFORMEL
Euler: "Demonstratio nonnullarum insignium properietatum quibus solida
hedris planis inclusa sunt praedita", 1757, E231
David Richeson: Euler's Gem – The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
Princeton University Press, 2008
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Eulers Vorgehen:
Eine Ecke nach der anderen abschneiden und zeigen, dass dabei der Wert von e – k + f gleich bleibt.
Ecke mit n ausgehenden Kanten wird durch n – 2 Pyramiden weggeschnitten:
e, k, f e ' = e – 1 e ', k ', f '
k ' = k – n + (n – 3) = k – 3
f ' = f – n + (n – 2) = f – 2
e ' – k' + f ' = (e – 1) – (k – 3) + (f – 2) = e – k + f
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BASLER PROBLEM
––– + ––– + ––– + ––– + ….. = ?
Euler: "De summis serierum reciprocarum", 1740, E41
Eulers Vorgehen:
f(x) = 24 – 20 x + 4 x2 = 4 (6 – 5 x + x
2) = 4 (2 – x) (3 – x) = 24 (1 – ––) (1 – ––)
–––––– = 1 – –– x2 + –– x
4 – ….. = (1 – ––– ) (1 + ––– ) (1 – ––– ) (1 + ––– ) …..
= (1 – ––––– ) (1 – ––––– ) ….. = 1 – ( ––––– + ––––– + ….. ) x2 + …..
=> –– = ––––– + ––––– + …..
Armin Barth: Einem Genie über die Schultern schauen – Euler trifft auf die Lehr- und Lernforschung
MINT-Lernzentrum ETH Zürich, www.armin-p-barth.ch/didaktik/referate/
12 2
2 3
2 4
2
1 1
1
1
sin(x) 1 1 x x x x
2 3
x 3! 5! 1 1 2 2
x2 x
2 1 1
12
2 2
2
2 1
2
2 2
2
2
3! 12
2 2
2
2
1 1 1
x x
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EULER ALS VERMITTLER
Euler verbindet Mathemtiker/innen aller Gebiete und Stufen. Noch immer gilt der Laplace
zugeschriebene Ausspruch:
"Lest Euler, lest Euler, er ist unser aller Meister!"
Euler verbindet Lehre und Forschung.
Euler verbindet reine und angewandte Mathematik, das Theoretische mit dem Praktischen.
Euler verbindet Problemlösung mit Theoriebildung.
Euler verbindet das Spezielle mit dem Allgemeinen, das Konkrete mit dem Abstrakten.
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Materialien zu Euler
Euler-Archiv der Mathematical Association of America (MAA): eulerarchive.maa.org
William Dunham: Euler – The Master of Us All. MAA, 1999
William Dunham: The Genius of Euler – Reflections on his Life and Work. MAA, 2007
William Dunham: A Tribute to Euler. Vortrag, Harvard University, 2008, Dauer 55 Min.
Edward Sandifer: How Euler Did It. MAA, 2007
Edward Sandifer: How Euler Did Even More. MAA, 2015
Eulerjahr 2007 in Basel: euler-2007.ch
Bernoulli-Euler-Zentrum der Universität Basel: bez.unibas.ch
Emil Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt Taschenbuch, 1995
Wladimir Velminski: Leonhard Euler im Paradies der Gelehrten. Film, Dauer 30 Min.
Yoko Ogawa: Das Geheimnis der Euerschen Formel. Liebeskind, 2012
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DANK
an meine Partnerin Hélène Berther für die grosse Unterstützung
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Gedenktafel für Euler in Riehen bei Basel