leonhard paul euler - gjgtgjgt.sk/.../matematika/2012/63_leonhard_paul_euler.docx · web viewsa...
TRANSCRIPT
Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského Banská Bystrica
PROJEKTLeonhard Paul Euler
Ján Murín, III.F
2011/2012
Obsah
1 ÚVOD................................................................................................................3
2 ŽIVOT...............................................................................................................4
2.1 Detstvo......................................................................................................4
2.1.1 Rodina................................................................................................4
2.1.2 Vzdelanie...........................................................................................4
2.2 Práca..........................................................................................................5
2.2.1 Petrohrad............................................................................................5
2.2.2 Berlín..................................................................................................6
2.2.3 Návrat do Ruska a problémy so zrakom.............................................7
2.3 Zaujímavosti..............................................................................................7
3 VEDECKÁ PRÁCA........................................................................................8
3.1 Matematika................................................................................................8
3.1.1 Matematický zápis..............................................................................8
3.1.2 Eulerovo číslo.....................................................................................8
3.1.3 Eulerova priamka................................................................................9
3.1.4 Teória grafov......................................................................................9
3.2 Fyzika a astronómia.................................................................................10
4 ZÁVER............................................................................................................11
Použitá literatúra...............................................................................................12
Prílohy...............................................................................................................13
2
1 ÚVOD
18. storočie. Veda všetkých vied, matematika, napreduje míľovými krokmi vďaka
mnohým skvelým matematikom ako Laplace, Bernoulli, Lagrange. Ale jeden ich všetkých
prevyšuje, vďaka svojím stovkám publikácií a zisteniam- Leonhard Paul Euler.
Pri výbere témy som sa rozhodol pre projekt o nejakom významnom matematikovi. Po
prečítaní pár viet z Eulerovho životopisu som neváhal a okamžite som si na úvodnú stranu
napísal jeho meno.
V mojej práci som sa zameral komplexne opísať tohto geniálneho matematika.
Zameral som sa na jeho pôvod, rodinné pomery, počiatok jeho štúdia a momenty, ktoré
ovplyvnili jeho napredovanie. Zaznamenal som zmeny, ktoré vyplývali presťahovaním sa.
Jeho vedecká a pedagogická činnosť tvorí ďalšiu časť projektu, kde poukazujem na
najznámejšie a priekopnícke diela, ktoré publikoval.
Zaujal ma svojou cieľavedomosťou a zanietením pre matematiku. Takmer každý
týždeň publikoval niektorú zo svojich prác. Dokázal vyriešiť mnoho problémov, ktoré sa
ostatným matematikom zdali nemožné alebo na ne potrebovali niekoľkokrát viac času, za čo
dostal veľa cien. A v tom mu nezabránili ani problémy so zrakom a úplná slepota v
posledných 20 rokov svojho života, za čo si zaslúži môj obdiv.
,,Čítajte Eulera, čítajte Eulera, on je učiteľ nás všetkých.”
Pierre-Simon Laplace
3
2 ŽIVOT
2.1 Detstvo
2.1.1 Rodina
Otec Leonharda Eulera, Paul Euler, študoval teológiu na univerzite v Bazileji, kde
navštevoval prednášky Jacoba Bernoulliho, v tej dobe považovaného za popredného
európskeho matematika. Po vyštudovaní sa stal protestantským pastorom a oženil sa
s Margaretou Bruckerovou, dcérou iného protestantského pastora. Leonhard mal dve mladšie
sestry pomenované Anna Mária a Mária Magdaléna. Zanedlho po narodení Leonharda sa celá
jeho rodina presťahovala z Bazileji do mesta Riehen, kde Euler strávil väčšinu svojho detstva.
Paul Euler mal matematické vzdelanie a učil svojho syna elementárnu matematiku, spolu
s ďalšími predmetmi. Pravdepodobne najväčší vplyv na Eulera a jeho budúci záujem
o matematiku mal práve rodinný priateľ Jacob Bernoulli.
2.1.2 Vzdelanie
Prvé oficiálne vzdelávanie začal Euler v Bazileji, kde bol poslaný bývať k svojej starej
mame z matkinej strany. V trinástich rokoch bol prijatý na Univerzitu v Bazileji a v roku
1723 získal titul Master of Philosophy (dnes Mgr.) s diplomovou prácou, ktorá porovnávala
filozofiu Descarta a Newtona. V tom čase dostával Euler sobotné lekcie od Johanna
Bernoulliho, ktorý rýchlo objavil u svojho nového žiaka neuveriteľné nadanie na matematiku.
Euler v tom čase študoval teológiu, gréčtinu a hebrejčinu na naliehanie svojho otca, ktorý
chcel, aby sa Euler stal pastorom, Bernoulli však presvedčil Paula Eulera, že Leonhardovi je
predurčené stať sa veľkým matematikom. V roku 1726 Euler ukončil svoju PhD. dizertáciu o
šírení zvuku s názvom De Sono a v roku 1727 sa zapojil do súťaže Prize Problem Parížskej
akadémie, kde problémom toho roku bolo nájsť najlepší spôsob, ako umiestniť sťažne na lodi.
Vyhral druhú cenu, porazil ho len Pierre Bouguer, ktorý je teraz známy ako „otec lodnej
architektúry“. Euler následne vyhral túto významnú cenu dvanásťkrát počas svojej kariéry.
4
2.2 Práca
2.2.1 Petrohrad
Dňa 17. mája 1727 pricestoval Euler do hlavného mesta Ruska. Bol povýšený z
pozície „juniora“ na lekárskej katedre akadémie na miesto na katedre matematiky. Býval s
Danielom Bernoullim, s ktorým často úzko spolupracoval. Naučil sa ruštinu a usadil sa v
Petrohrade. Prijal aj ďalšiu prácu ako medik v ruskom námorníctve.
Akadémia v Petrohrade, založená Petrom Veľkým, bola určená pre zlepšenie
vzdelávania v Rusku a preklenutie vedeckej priepasti so západnou Európou. Týmto sa stala
zvlášť atraktívnou pre zahraničných učencov, akým bol aj Euler. Akadémia mala dostatok
finančných prostriedkov a rozsiahlu knižnicu ťažiacu zo súkromných knižníc samotného Petra
Veľkého a šľachty. Do akadémie bol prijímaný obmedzený počet študentov, aby bol učiteľský
zbor odbremenený s dôrazom na výskum a bol mu poskytnutý nielen čas ale aj sloboda
venovať sa vedeckým otázkam. Katarína I, sponzorka akadémie, ktorá pokračovala v
pokrokovej politike svojho manžela, zomrela v deň príchodu Eulera. Ruská šľachta takto
nadobudla väčšiu moc nad dvanásťročným Petrom II.
Euler v roku 1727 publikoval svoj prvý článok. V 1735 za začali jeho problémy so
zrakom. Parížska Akadémia vied vypísala cenu za riešenie istého astronomického problému.
Problém bol pomerne zložitý a väčšina matematikov žiadala na jeho riešenie niekoľko
mesiacov. Euler na ňom pracoval bez prerušenia 3 dni a cenu získal. Veľké vypätie a zlé
pracovné podmienky pripravili Eulera o jedno oko.
Keďže šľachta nedôverovala zahraničným vedcom akadémie, rozhodla sa znížiť
financovanie a spôsobovala ďalšie ťažkosti Eulerovi a jeho kolegom. Po smrti Petra II sa
podmienky trochu zlepšili, Euler rýchlo postupoval v pozíciách na akadémii a v roku 1731 sa
stal profesorom fyziky. O dva roky neskôr, Daniel Bernoulli, znechutený cenzúrou a
nehostinnosťou, ktorým musel v Petrohrade čeliť, odišiel do Bazileji. Euler nastúpil na jeho
miesto ako vedúci katedry matematiky.
7. januára 1734 sa oženil s Katharinou Gsellovou, dcérou maliara Akademického
Gymnázia. Mladý pár kúpil dom na rieke Neve. Z ich trinástich detí sa iba päť dožilo
vyššieho veku.
5
2.2.2 Berlín
Znepokojovaný trvajúcim nepokojom v Rusku, opustil Euler dňa 19. júna 1741
Petrohrad a prijal miesto v Berlínskej Akadémií, ktoré mu ponúkol pruský kráľ Fridrich
Veľký. Dvadsaťpäť rokov žil v Berlíne(Príloha 2- Obrázok 2), kde napísal viac ako 380
článkov a vydal dve diela, ktoré ho najviac preslávili:
Introductio in analysin infinitorum, text o funkciách, v roku 1748
Institutiones calculi differentialis, text o diferenciálnom počte, v roku 1755.
Okrem toho bol Euler požiadaný, aby sa stal súkromným učiteľom Fridrichovej netere,
princeznej z Anhalt-Dessau. Euler jej napísal vyše 200 listov, ktoré boli neskôr zahrnuté v
najpredávanejšom zväzku:
Eulerove listy o rôznych veciach v prírodnej filozofii adresované nemeckej
princeznej, táto práca obsahovala Eulerov výklad rôznych vecí vzťahujúcich sa na fyziku a
matematiku a rovnako dobre ponúkala cenné pohľady na Eulerovu osobnosť a náboženské
vyznanie. Táto kniha sa stala čítanejšou než ktorékoľvek iné z jeho matematických prác a
bola publikovaná v celej Európe a v Spojených štátoch. Popularita týchto „Listov“ svedčí o
Eulerovej schopnosti efektívne predniesť vedecké záležitosti laickému publiku, čo je
zriedkavou schopnosťou horlivého výskumného vedca.
Napriek obrovskému prínosu k prestíži Akadémie, bol nakoniec Euler nútený Berlín
opustiť. Bolo to čiastočne kvôli osobnému konfliktu s Fridrichom, ktorý začal na Eulera
nazerať ako na nesofistikovaného a to najmä v porovnaní s filozofmi nemeckého kráľa, ktorí
prišli na akadémiu. Medzi tými, ktorí boli vo Fridrichovych službách, bol aj Voltaire a tento
Francúz zastával výsadné postavenie v kráľovskom spoločenskom okruhu. Euler, pracovitý a
jednoduchý pobožný muž, bol veľmi konvenčný vo svojich názoroch a vkuse. V mnohých
ohľadoch bol priamym opakom Voltaira. Euler nebol skúsený v rétorike. Mal sklon
diskutovať o záležitostiach, o ktorých vedel len málo a kvôli tomu sa stal častým terčom
Voltairovych vtipov. Aj Fridrich vyjadril sklamanie nad Eulerovými schopnosťami z
praktického inžinierstva:
„Chcel som mať vo svojej záhrade vodnú trysku. Euler vypočítal silu kolies potrebnú na
zvýšenie hladiny vody v nádrži, odkiaľ by mala znovu poklesnúť kanálmi a nakoniec
vystrieknuť v Sanssouci. Moje zariadenie bolo skonštruované geometricky a nevedelo
vytlačiť väčšie množstvo vody bližšie než na päťdesiat krokov (asi 74 m) k nádrži. Márnosť
nad márnosť! Márnomyseľná geometria!“
6
2.2.3 Návrat do Ruska a problémy so zrakom
V roku 1766 prijal ponuku pracovať v Petrohrade pod záštitou cárovnej Kataríny II.
(Veľkej). Traduje sa, že na tú dobu dojednával tvrdé finančné podmienky "prestupu" vrátane
zamestnania pre svojich synov. Podmienky boli prijaté a Euler sa napriek nesúhlasu
Friedricha II. presťahoval do Petrohradu, kde pracoval až do svojej smrti.
V roku 1766 sa stav druhého oka zhoršil v dôsledku šedého zákalu. Euler sa však
nevzdal a začal trénovať písanie so zatvorenými očami. Po niekoľkých týždňoch úplne
oslepol. Spočiatku bol rukopis čitateľný, ale po niekoľkých mesiacoch sa stal nečitateľným a
Eulerovým pisárom sa stal jeho syn Albert (neskôr aj asistent špeciálne pozvaný zo
Švajčiarska). Vďaka svojej fenomenálnej pamäti (po Európe mu hovorili aj: stelesnená
analýza), mohol aj ako slepec diktovať ďalšie práce. Mnohí historici a matematici považujú
posledných 17 rokov, ktoré strávil Euler v slepote, za najproduktívnejšie obdobie jeho života.
V 1776 podstúpil operáciu šedého zákalu. Niekoľko dní sa zdalo, že bude znova vidieť, ale
rana sa vplyvom infekcie zapálila a Euler bol znova uvrhnutý do tmy.
Zomrel v Petrohrade, dňa 18. septembra 1783 na krvácanie do mozgu. Bol pochovaný
so svojou manželkou na Smolenskom evanjelickom cintoríne na Vasilevského ostrove.
2.3 Zaujímavosti
Figuroval na šiestich sériách Švajčiarskej 10-frankovej bankovky(Príloha 2- Obrázok
3) a na mnohých švajčiarskych, nemeckých a ruských poštových známkach. Asteroid 2002
Euler bol pomenovaný na jeho počesť. Podľa Kalendára svätých Evanjelickej cirkvi si Eulera
pripomínajú 24. mája – bol zástancom biblickej neomylnosti, písal apologetiky a
argumentoval proti prominentným ateistom svojich čias.
7
3 VEDECKÁ PRÁCA
3.1 Matematika
3.1.1 Matematický zápis
Euler zaviedol a popularizoval niekoľko konvencií v označovaní vo svojich početných
a široko kolujúcich učebniciach. Predovšetkým zaviedol pojem funkcie a ako prvý začal písať
f(x), čo označuje funkciu f aplikovanú na argument x. Taktiež zaviedol moderné označovanie
trigonometrických funkcií, písmeno e pre základ prirodzeného logaritmu, grécke písmeno Σ
pre sčitovanie a písmeno i pre označenie imaginárnej jednotky. Euler propagoval aj
používanie gréckeho písmena π na označenie pomeru obvodu kružnice k jej priemeru aj
napriek tomu, že nepochádzalo od neho.
3.1.2 Eulerovo číslo
Matematická konštanta e je základom prirodzeného logaritmu. Jeho približná hodnota
na 30 desatinných miest je:
e = 2,718281828459045235360287471352...
Popri π a imaginárnej jednotke i, je e jedno z najvýznamnejších čísel v matematike.
Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Tri najznámejšie
definície:
Definícia e ako limity:
Definícia e ako súčet nekonečného radu:
Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že:
8
3.1.3 Eulerova priamka
Je to priamka(Obrázok 1) nachádzajúca sa v každom nerovnostrannom trojuholníku.
Prechádza jeho priesečníkom výšok (ortocentrom), ťažiskom, stredom opísanej kružnice
a stredom Feuerbachovej kružnice. Ťažisko delí spojnicu ortocentra a stredu opísanej kružnice
v pomere 2:1. Rovnostranný trojuholník túto priamku nemá, lebo v ňom všetky tieto body
splývaju. V rovnoramennom je priamka kolmá na základňu.
Obrázok 1, Eulerova priamka
H- ortocentrum
S- ťažisko
U- stred opísanej kružnice
3.1.4 Teória grafov
V roku 1736 Euler vyriešil problém známy ako Sedem mostov Königsbergu. Pruské
mesto Königsberg, bolo postavené na rieke Pregol a zahŕňalo dva veľké ostrovy, ktoré boli aj
s pevninou navzájom poprepájané siedmimi mostmi. Problémom bolo rozhodnúť, či je možné
sledovať cestu, ktorá prechádza každým mostom práve raz a vrátiť sa do východiskového
bodu. Nedá sa: nie je tam Eulerova kružnica. Toto riešenie sa považuje za prvú vetu teórie
grafov, konkrétne v teórii planárnych grafov.
A mnoho ďalších poznatkov z oblastí analýzy (diferenciálneho a integrálneho počtu),
teórie čísel, aplikovanej matematiky, logiky, geometrie, ktoré sú náplňou štúdia vyššieho
matematického vzdelania.
9
3.2 Fyzika a astronómia
Euler pomohol rozvinúť Eulerovo-Bernoulliho rovnicu nosníka, ktorá sa stala
základným kameňom inžinierstva. Okrem úspešného aplikovania svojich analytických
nástrojov do problémov v klasickej mechanike Euler taktiež aplikoval tieto techniky na
astronomické problémy. Jeho práca v astronómii bola uznaná množstvom cien Parížskej
Akadémie niekoľkokrát počas jeho kariéry. Medzi jeho úspechy patrí určenie obežných dráh
komét a iných nebeských telies s veľkou presnosťou, pochopenie povahy komét a
výpočet paralaxy slnka. Jeho výpočty taktiež prispeli k rozvoju dĺžkových tabuliek.
Okrem toho, Euler významne prispel do optiky. Nesúhlasil s Newtonovou
korpuskulárnou teóriou svetla v optike, ktorá bola neskôr prevládajúcou teóriou. Jeho články
z roku 1740 o optike napomohli tomu, že vlnová teória svetla navrhnutá Christianom
Huygensom sa stala dominantným spôsobom zmýšľania aspoň do doby rozvinutia kvantovej
teórie svetla.
10
4 ZÁVER
Touto prácou som priblížiť život Leonharda Paula Eulera v súkromnom aj vedeckom
živote. Malý rozsah projektu mi nedovolil podrobnejšie spomenúť viacero vedcových diel, ale
podľa mňa Eulerovu priamku, Eulerove číslo a matematický zápis, ktoré pokladám za
najdôležitejšie, som zahrnul do mojej práci. Všetky jeho ostatné úspechy, životné ujmy
a prelomy sú spomenuté len okrajovo. Touto prácou som tiež poukázať na tvrdú prácu, ktorou
to všetko dosiahol v rozsiahlych oblastiach matematiky. Verím, že sa mi aj podarilo priblížiť
jeho najväčšie objavy, s ktorými sa dennodenne stretávame. Je pozoruhodné, ako jednoducho
títo velikáni žili a s akými problémami sa museli vyrovnať a predsa dokázali obohatiť
matematickú vedu o svoje objavy.
Jeho život je určite možné podrobnejšie zhrnúť, ale snažil som sa spomenúť tie
najpodstatnejšie udalosti. Nehovoriac o jeho objavoch, na ktoré by som potreboval desiatky,
ak nie stovky strán a ktoré zatiaľ ani neviem fundovane vysvetliť.
11
Použitá literatúra
Internetové zdroje:
http://www.usna.edu/
http://www.ys.sk/
http://sk.wikipedia.org/
http://en.wikipedia.org/
http://www.apprendre-math.info/
http://www.centennialofflight.gov/
http://www.maths.tcd.ie/
http://www.nndb.com/
http://www.britannica.com/
12
PRÍLOHY
13
Príloha 1
Chronologický zoznam diel
1736 - Mechanica, sive mortus scientia analytice exposita - prvá učebnica, v ktorej bola
analytickými metódami spracovaná newtonovská dynamika hmotného bodu
1744 - Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes - prvé
spracovanie variačného počtu
1748 - Introductio in analysin infinitorum – 2-zväzkové dielo, pochádza z neho súčasné
chápanie trigonometrie a väčšina súčasných zápisov, obsahuje vzťah medzi
exponenciálnymi a trigonometrickými funkciami, toto dielo sa dá považovať za prvú
učebnicu analytickej geometrie
1755 - Institutiones calculi differentialis
1768 až 1744 - Institutiones calculi integralis – 3 zväzky
1765 - Theoria mortus corporumsolidorum seu rigidorum - výklad mechaniky pevného telesa
1769 až 1771 – Dioptrica – 3 zväzky, teória prechodu svetelných paprskov sústavami
optických šošoviek
1770 - Vollständige Einleitung zur Algebra - učebnica algebry a vzor pre neskoršie učebnice
algebry.
1774 - Theoria motus planetarum et cometarum - pojednanie o nebeskej mechanike
14
Príloha 2
Obrázok 2- Leonhard Paul Euler
Obrázok 3- Leonhard na 10 frankovej bankovke
15