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LogikVorlesung 3: Aquivalenz und Normalformen
Andreas Maletti
7. November 2014
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Uberblick
Inhalt
1 Motivation und mathematische Grundlagen2 Aussagenlogik
Syntax und SemantikAquivalenz und NormalformenWeitere EigenschaftenResolution
3 Pradikatenlogik
Syntax und SemantikAquivalenz und NormalformenHerbrand-TheorieUnifikation und Resolution
4 Ausblick
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Vorlesungsziele
heutige Vorlesung
1 Aquivalenz und klassische Aquivalenzen
2 Probleme in der Aussagenlogik
3 Normalformen aussagenlogischer Formeln
Bitte Fragen direkt stellen!
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Aussagenlogik
Wiederholung: Semantik
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Aussagenlogik
Inhalt
1 Motivation und mathematische Grundlagen2 Aussagenlogik
Syntax und SemantikAquivalenz und NormalformenWeitere EigenschaftenResolution
3 Pradikatenlogik
Syntax und SemantikAquivalenz und NormalformenHerbrand-TheorieUnifikation und Resolution
4 Ausblick
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Aussagenlogik — Semantik
Definition (Modell, Widerlegung)
Sei F eine Formel und I eine Interpretation
I ist ein Modell fur F gdw. F I = 1 kurz: I |= F
I ist eine Widerlegung fur F gdw. F I = 0 kurz: I 6|= F
erweiterte Wahrheitswertetabelle:
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A→ B A↔ B
0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1
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Aussagenlogik — Semantik
Definition
Eine Formel F ist
eine Tautologie oder allgemeingultig,gdw. I |= F fur alle Interpretationen I
unerfullbar, gdw. I 6|= F fur alle Interpretationen I
erfullbar, gdw. I |= F fur eine Interpretation I
widerlegbar, gdw. I 6|= F fur eine Interpretation I
erfüllbare Formeln unerfüllbare FormelnTautologien
keine TautologienF1 ¬F1
F2 ¬F2
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Aussagenlogik
Aquivalenz
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Definition
Zwei Formeln F1 und F2 sind aquivalentgdw. F1 ↔ F2 eine Tautologie ist
Beispiel
A ∨ B und ¬A→ B sind aquivalent
A B A ∨ B ¬A ¬A→ B (A ∨ B)↔ (¬A→ B)
0 0 0 1 0 10 1 1 1 1 11 0 1 0 1 11 1 1 0 1 1
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Theorem
Seien F1 und F2 aquivalente Formeln und I eine Interpretation.Dann gilt F I
1 = F I2 .
Beweis.
Da F1 und F2 aquivalent sind, ist F1 ↔ F2 eine Tautologie.Folglich gilt (F1 ↔ F2)I = 1. Gemaß Wahrheitswertetabelle fur ↔gilt daher F I
1 = F I2 .
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Korollar
Seien F1 und F2 aquivalente Formeln.
F1 ist eine Tautologie gdw. F2 eine Tautologie ist
F1 ist erfullbar gdw. F2 erfullbar ist
F1 ist widerlegbar gdw. F2 widerlegbar ist
F1 ist unerfullbar gdw. F2 unerfullbar ist
Notizen
aquivalente Formeln sind semantisch ununterscheidbar
wohl aber syntaktisch unterscheidbar(vgl. ‘selbe’ vs. ‘gleiche’)
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Theorem (Ersetzungstheorem)
Sei F eine Formel und F ′ eine Teilformel von F .Des Weiteren sei G ′ eine Formel, die aquivalent zu F ′ ist.Dann ist F aquivalent zu der Formel, die man aus F erhalt,indem man ein Vorkommen der Teilformel F ′ durch G ′ ersetzt.
Beispiel
Wir wissen, dass A ∨ B und ¬A→ B aquivalent sind.Nach obigem Theorem sind auch
(A ∨ B)→ B und (¬A→ B)→ B aquivalent
→
∨
A B
B
→
→
¬
A
B
B
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Beweis (1/2).
Sei G die Formel nach der Ersetzung.Z.zg. F und G sind aquivalent. Per struktureller Induktion:
1 Sei F = Ai . Dann muss F ′ = F sein und da F ′ und G ′
aquivalent sind, sind auch F = F ′ und G = G ′ aquivalent.2 Sei F = ¬F1.
Sei F ′ = F . Dann weiter wie in 1
Das Vorkommen von F ′ liegt in F1. Sei G = ¬G1. PerInduktionsannahme sind F1 und G1 aquivalent. Sei J einebeliebige Interpretation. Es gilt
F J= (¬F1)J = 1− F J1 = 1− G J
1 = (¬G1)J = G J
und damit (F ↔ G )J = 1.Da J beliebig war, ist F ↔ G eine Tautologie
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Beweis (2/2).
Sei G die Formel nach der Ersetzung.Z.zg. F und G sind aquivalent. Per struktureller Induktion:
3 Sei F = (F1 ∧ F2).
Sei F ′ = F . Dann weiter wie in 1
Das Vorkommen von F ′ liegt in F1. Sei G = G1 ∧ F2. PerInduktionsannahme sind F1 und G1 aquivalent. Sei J einebeliebige Interpretation. Es gilt
F J= (F1 ∧ F2)J = min(F J1 ,F
J2 )
= min(G J1 ,F
J2 ) = (G1 ∧ F2)J = G J
und damit (F ↔ G )J = 1.Da J beliebig war, ist F ↔ G eine TautologieDas Vorkommen von F ′ liegt in F2. Analog.
4 Sei F = (F1 ∨ F2). Analog zu 3
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Notizen
aquivalente Formeln konnen fureinander substituiert werden
→ Ersetzungsregeln
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Aussagenlogik — Aquivalenz
aquivalente Formeln BezeichnungF ∧ G G ∧ F Kommutativitat von ∧F ∨ G G ∨ F Kommutativitat von ∨
(F ∧ G ) ∧ H F ∧ (G ∧ H) Assoziativitat von ∧(F ∨ G ) ∨ H F ∨ (G ∨ H) Assoziativitat von ∨F ∧ (G ∨ H) (F ∧ G ) ∨ (F ∧ H) Distributivitat von ∧F ∨ (G ∧ H) (F ∨ G ) ∧ (F ∨ H) Distributivitat von ∨
F ∧ F F Idempotenz von ∧F ∨ F F Idempotenz von ∨¬¬F F Involution ¬
¬(F ∧ G ) (¬F ) ∨ (¬G ) deMorgan-Gesetz fur ∧¬(F ∨ G ) (¬F ) ∧ (¬G ) deMorgan-Gesetz fur ∨
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Vorsicht
F1 = (F → G )→ H und F2 = F → (G → H)sind nicht aquivalent.
Beweis.
Mit Wahrheitswertetabelle:
F G H F → G F1 G → H F2 F1 ↔ F2
0 0 0 1 0 1 1 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Theorem (Beweisprinzip: Kontraposition)
F → G und ¬G → ¬F sind aquivalent(“wenn F , dann G” entspricht “wenn nicht G , dann nicht F”)
Beweis.
F → G
aquivalent zu ¬F ∨ G
aquivalent zu ¬F ∨ ¬¬Gaquivalent zu ¬¬G ∨ ¬Faquivalent zu ¬G → ¬F
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Aussagenlogik — Aquivalenz
Vereinfachung
((A ∧ B) ∨ (A ∧ C )) ∧ A
aquivalent zu (A ∧ (B ∨ C )) ∧ A
aquivalent zu ((B ∨ C ) ∧ A) ∧ A
aquivalent zu (B ∨ C ) ∧ (A ∧ A)
aquivalent zu (B ∨ C ) ∧ A
Notationsvereinfachungen
Ketten gleicher Junktoren ohne Klammern
F1 ∧ F2 ∧ F3 statt F1 ∧ (F2 ∧ F3) oder (F1 ∧ F2) ∧ F3
keine Wiederholung gleicher Atome
freies Vertauschen der Elemente in Ketten
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Aussagenlogik
Probleme
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Aussagenlogik — Probleme
Fragestellungen
Sei F eine Formel.
Ist eine geg. Interpretation I ein Modell fur F? Gilt I |= F?
Ist F erfullbar? Gibt es I mit I |= F?
Ist F widerlegbar? Gibt es I mit I 6|= F?
Ist F eine Tautologie? Gilt I |= F fur alle I?
Ist F unerfullbar? Gilt I 6|= F fur alle I?
Weitere Fragestellungen
Sind Formeln F1 und F2 aquivalent? Ist F1 ↔ F2 Tautologie?
Folgt Formel F2 aus Formel F1? Ist F1 → F2 Tautologie?
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Aussagenlogik — Probleme
Problembeziehungen
F ist widerlegbar gdw. F keine Tautologie istfur Widerlegbarkeit reicht Test auf Tautologie
F ist unerfullbar gdw. ¬F eine Tautologie istauch fur Unerfullbarkeit reicht Test auf Tautologie
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Aussagenlogik — Probleme
Grundlegende Fragestellungen
Sei F eine Formel.
Ist eine geg. Interpretation I ein Modell fur F? Gilt I |= F?Auswertung
Ist F erfullbar? Gibt es I mit I |= F?Erfullbarkeit
Ist F eine Tautologie? Gilt I |= F fur alle I?Allgemeingultigkeit
Algorithmus fur Auswertung
I |= F gdw. F I = 1
rekursive Definition fur ·I liefert rekursiven Algorithmus
effizient
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Aussagenlogik — Probleme
Notizen
Wahrheitswertetabelle kann alle Probleme losen
fur Auswertung: Berechnung einer Zeilefur Erfullbarkeit: Existiert Zeile mit Bewertung 1?fur Allgemeingultigkeit: Alle Zeilen mit Bewertung 1?
Beispiel
Wahrheitswertetabelle fur (A ∨ B)→ (A→ B)
A B A ∨ B A→ B (A ∨ B)→ (A→ B)
0 0 0 1 10 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 1 1
erfullbar, da I = ∅ Modell (AI = 0 und B I = 0)
nicht allgemeingultig, da I = {A} Widerlegung
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Aussagenlogik — Probleme
Problem
Aufstellen der Wahrheitswertetabelle ist ineffizient
hat 2|Atome(F )| Zeilen
→ exponentieller Aufwand
Geht es besser?
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Aussagenlogik — Zwischenfrage
Frage
Wie wurden Sie diese Probleme losen?
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Aussagenlogik
Normalformen
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Aussagenlogik — Normalformen
Definition (Literale)
Eine Formel F ist ein Literal gdw.
1 F = Ai fur ein i ∈ N ist oder positives Literal
2 F = ¬Ai fur ein i ∈ N ist negatives Literal
Literale der Form 1 bzw. 2 heißen positiv bzw. negativ
Definition (Negationsnormalform)
Eine Formel F ist in Negationsnormalform falls Negationen (¬) nurin Literalen vorkommen.
Beispiele
A1 ∧ (¬A2 ∨ A3) ∧ ¬A0 ist in Negationsnormalform
¬(A1 ∨ A2) und ¬¬A0 sind nicht in Negationsnormalform
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Aussagenlogik — Normalformen
Theorem
Fur jede Formel F existiert eine aquivalente Formel inNegationsnormalform
Beweis.
1 Auflosen der Abkurzungen → und ↔2 Anwendung der Aquivalenzen von links nach rechts
aquivalente Formeln Bezeichnung¬¬F F Involution ¬
¬(F ∧ G ) (¬F ) ∨ (¬G ) deMorgan-Gesetz fur ∧¬(F ∨ G ) (¬F ) ∧ (¬G ) deMorgan-Gesetz fur ∨
bis keine solche Anwendung mehr moglich ist
Dies terminiert (siehe Ubung) und nach Ersetzungstheorem ist dieerhaltene Formel aquivalent zu F
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Aussagenlogik — Normalformen
Beispiel
A1 ∧ ¬(A2 ↔ A3
)aquivalent zu A1 ∧ ¬
((A2 → A3) ∧ (A3 → A2)
)aquivalent zu A1 ∧ ¬
((¬A2 ∨ A3) ∧ (¬A3 ∨ A2)
)aquivalent zu A1 ∧
(¬(¬A2 ∨ A3) ∨ ¬(¬A3 ∨ A2)
)aquivalent zu A1 ∧
((¬¬A2 ∧ ¬A3) ∨ (¬¬A3 ∧ ¬A2)
)aquivalent zu A1 ∧
((A2 ∧ ¬A3) ∨ (A3 ∧ ¬A2)
)A1 ∧
((A2 ∧ ¬A3) ∨ (A3 ∧ ¬A2)
)ist in Negationsnormalform
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Aussagenlogik — Normalformen
Definition
Eine Formel F ist
ein Konjunktionsglied gdw.F = L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Ln =
∧ni=1 Li fur Literale L1, L2, . . . , Ln
(Konjunktion von Literalen)
ein Disjunktionsglied gdw.F = L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Ln =
∨ni=1 Li fur Literale L1, L2, . . . , Ln
(Disjunktion von Literalen)
Beispiele
(¬A5 ∧ A2) ∧ (A1 ∧ ¬A0) ist ein Konjunktionsglied
¬¬A3 ist kein Konjunktionsglied
A1 ∨ (A3 ∨ ¬A0) ist ein Disjunktionsglied
¬(A0 ∨ A4) ∨ A3 ist kein Disjunktionsglied
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Aussagenlogik — Normalformen
Theorem
Sei F eine Formel und I eine Interpretation.
1 Wenn F ein Konjunktionsglied ist,dann ist F I = 1 gdw. LI = 1 fur alle Literale L in F
2 Wenn F ein Disjunktionsglied ist,dann ist F I = 0 gdw. LI = 0 fur alle Literale L in F
Notizen
Konventionen zu leeren Gliedern:
leere Konjunktion:(∧
i∈∅ Li
)I= 1
leere Disjunktion:(∨
i∈∅ Li
)I= 0
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Aussagenlogik — Normalformen
Definition
Eine Formel F ist in
konjunktiver Normalform gdw.F = D1 ∧D2 ∧ · · · ∧Dn fur Disjunktionsglieder D1,D2, . . . ,Dn
(Konjunktion von Disjunktionsgliedern)
disjunktiver Normalform gdw.F = K1 ∨K2 ∨ · · · ∨Kn fur Konjunktionsglieder K1,K2, . . . ,Kn
(Disjunktion von Konjunktionsgliedern)
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Aussagenlogik — Normalformen
Theorem
Fur jede Formel F existieren
eine aquivalente Formel in konjunktiver Normalform und
eine aquivalente Formel in disjunktiver Normalform.
Beweis (1/4).
Seien
F1 =∧
I⊆Atome(F )F I=0
(∨A∈I
(¬A) ∨∨
A∈Atome(F )\I
A)
F2 =∨
I⊆Atome(F )F I=1
(∧A∈I
A ∧∧
A∈Atome(F )\I
(¬A))
F1 und F2 sind in konjunktiver bzw. disjunktiver Normalform.
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Aussagenlogik — Normalformen
Beweis (2/4).
Es bleibt zu zeigen, dass F , F1 und F2 aquivalent sind. Wirbeginnen mit der Aquivalenz von F und F1:
Sei I ⊆ Atome(F ) eine Interpretation.Wir zeigen F I = 0 gdw. F I
1 = 0
(→) Sei F I = 0. Offenbar ist(∨
A∈Atome(F )\I A)I
= 0, denn AI = 0
fur alle A ∈ Atome(F ) \ I , und(∨
A∈I (¬A))I
= 0, dennAI = 1 fur alle A ∈ I .
Also gilt F I1 = 0, denn das Disjunktionsglied
D =∨A∈I
(¬A) ∨∨
A∈Atome(F )\I
A
kommt in der Konjunktion von F1 vor und D I = 0.
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Aussagenlogik — Normalformen
Beweis (3/4).
Es bleibt zu zeigen, dass F , F1 und F2 aquivalent sind. Wirbeginnen mit der Aquivalenz von F und F1:
Sei I ⊆ Atome(F ) eine Interpretation.Wir zeigen F I = 0 gdw. F I
1 = 0
(←) Sei F I1 = 0. Also existiert eine Interpretation J ⊆ Atome(F )
und ein Disjunktionsglied
D =∨A∈J
(¬A) ∨∨
A∈Atome(F )\J
A
mit F J = 0 und D I = 0. Da D I = 0 muss jedes Literal in Dfalsch sein. Folglich gilt AI = 0 fur alle A ∈ Atome(F ) \ J.Damit A /∈ I fur alle A /∈ J. Andererseits (¬A)I = 0 fur alleA ∈ J, womit A ∈ I fur alle A ∈ J. Also gilt I = J und damitF I = F J = 0
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Aussagenlogik — Normalformen
Beweis (4/4).
Es bleibt zu zeigen, dass F , F1 und F2 aquivalent sind. DieAquivalenz von F und F1 ist bewiesen.
Die Aquivalenz zwischen F und F2 beweist man analog.
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Aussagenlogik — Normalform
A1 A2 A3 F
0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1
Beispiel
Ablesen der
konjunktiven Normalform
Kodierung der Zeilen mit F I = 0 alsDisjunktionsgliederLiteral A fur Atome A mit AI = 0Literal ¬A fur Atome A mit AI = 1
(A1 ∨ A2 ∨ ¬A3) ∧ (A1 ∨ ¬A2 ∨ A3)
∧ (¬A1 ∨ ¬A2 ∨ A3)
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Aussagenlogik — Normalform
A1 A2 A3 F
0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1
Beispiel
Ablesen der
disjunktiven Normalform
Kodierung der Zeilen mit F I = 1 alsKonjunktionsgliederLiteral A fur Atome A mit AI = 1Literal ¬A fur Atome A mit AI = 0
(¬A1 ∧ ¬A2 ∧ ¬A3)
∨ (¬A1 ∧ A2 ∧ A3) ∨ (A1 ∧ ¬A2 ∧ ¬A3)
∨ (A1 ∧ ¬A2 ∧ A3) ∨ (A1 ∧ A2 ∧ A3)
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Zusammenfassung
Aquivalenz und klassiche Aquivalenzen
Probleme der Aussagenlogik
Negationsnormalform
konjunktive und disjunktive Normalform
Zweite Ubungsserie ist bereits verfugbar.