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Ubersicht
1. Making Group Decisions (Falko)
2. Forming Coalitions (Kevin)
3. Klausurfragen und Diskussion
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Making Group Decisions
Falko Klaaßen
22. Juni 2010
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Inhalt
1 Einleitung
2 Grundlagen
3 MehrheitswahlMehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
4 Weitere WahlverfahrenDie Borda-WahlSlater Ranking
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Motivation
Das Treffen von Entscheidungen in einer Gruppe bedarf andererRegeln und Uberlegungen, als wenn man fur sich alleine eineEntscheidung fallen muss.
Wie kann man in einer Gruppe Entscheidungen treffen?
Welche Verfahren, Moglichkeiten, Regeln?
Eigenschaften von Wahlverfahren
Strategien, Beeinflussbarkeit, Manipulationen
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Grundlegendes
Endliche Menge von Agenten: Ag = 1, . . . , n|Ag | ungerade ⇒ verhindert Unentschieden
Menge verschiedener Kandidaten bzw. Ergebnisse:Ω = ω1, ω2, . . .
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Grundlegendes
Wahler haben i. A. unterschiedliche Interessen
⇒ Rangordnung der Kandidaten/ErgebnisseBsp. Agent i bevorzugt ω2 vor ω1 vor ω3 ⇒ (ω2, ω1, ω3)
Praferenz Agenten 1 bis n: $1, . . . , $n
ω i ω′ bedeutet Agent i bevorzugt ω vor ω′ in $i
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Grundlegendes
Wohlfahrtsfunktion
f :∏
(Ω)× · · · ×∏
(Ω)︸ ︷︷ ︸n−mal
→∏
(Ω)
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Grundlegendes
Kollektive Entscheidungsfunktion
f :∏
(Ω)× · · · ×∏
(Ω)︸ ︷︷ ︸n−mal
→ Ω
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Motivation
Wahlverfahren und Durchfuhrung beeinflussen Ergebnis der Wahl:
Wie funktioniert die Mehrheitswahl?
Welche Vor- und Nachteile hat sie?
Wie beeinflusst die Durchfuhrung das Ergebnis?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Die Mehrheitswahl
Algorithmus der Mehrheitswahl:
1 Jeder Wahler gibt Praferenzliste ab
2 Zahle Erstplatzierte
3 Gewinner: Der am haufigsten Erster
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Die Mehrheitswahl
Vor- und Nachteile
Vorteile:
Einfach zu implementieren
Leicht verstandlich
Nachteile:
Viele Informationen ungenutzt
Anomalien bei mehr als zwei Parteien
Beeinflussbarkeit
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Beispiel einer Anomalie
Drei Parteien, 100000 Wahler:
Liberal, 43000 Wahler
Mitte, 12000 Wahler
Konservativ, 45000 Wahler
⇒ Konservativ gewinnt.Betrachten wir einmal die Praferenzlisten.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Beispiel einer Anomalie
Praferenzliste der Wahler:
Liberal: ωL ωM ωK , 43000 Wahler
Mitte: ωM ωL ωK , 12000 Wahler
Konservativ: ωK ωM ωL, 45000 Wahler
Frage: Was fallt auf?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Beispiel einer Anomalie
Praferenzliste der Wahler:
Liberal: ωL ωM ωK , 43000 Wahler
Mitte: ωM ωL ωK , 12000 Wahler
Konservativ: ωK ωM ωL, 45000 Wahler
Frage: Was fallt auf?
55% der Wahler lehnen die Konservativen ab!
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Das Condorcet-Paradoxon
Das Condorcet-Paradoxon
Es gibt Situationen in denen die Mehrheit unzufrieden sein wird,unabhangig vom Gewinner der Wahl.
Wie konnte so ein Fall aussehen?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Das Condorcet-Paradoxon
Ω = ω1, ω2, ω3 mogliche ErgebnisseAg = 1, 2, 3 Wahler mit Praferenzen:
1 ω1 1 ω2 1 ω3
2 ω3 2 ω1 2 ω2
3 ω2 3 ω3 3 ω1
Egal wer gewinnt, 23 der Wahler sind unzufrieden.
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Durchfuhrung und Manipulation
Fragen:
Welchen Einfluss hat der Aufbau des Wahlverfahrens?
Was passiert, wenn man statt einer einzigen Wahl eine Reihevon Wahlen durchfuhrt?
Kann man den Ausgang einer Wahl manipulieren, indem mandie Reihenfolge andert?
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Sequentielle Mehrheitswahl
Sequentielle Mehrheitswahl
Gewinner tritt gegen nachsten Kandidaten an
Gesamtsieger ist Gewinner der letzten Wahl
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Sequentielle Mehrheitswahl
Ein Beispiel:
Reihenfolge: ω2, ω3, ω4, ω1
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Bedeutung der Reihenfolge
Frage: Welche Bedeutung hat die Reihenfolge?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Bedeutung der Reihenfolge
Frage: Welche Bedeutung hat die Reihenfolge?
Je weiter vorne, umso mehr Wahlen zu bestreiten.
⇒ Reihenfolge kann Ergebnis andern
Frage: Wie legt man die Reihenfolge fest?
Zufallig? ⇒ Gluck oder Pech beeinflussen Wahlausgang
Bestimmt durch Wahlkommitee? ⇒ Manipulation moglich
Ordne Gegner nach GefahrlichkeitGefahrlichste Gegner zuerstEigene Kandidat zuletzt
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Der Mehrheitsgraph
Es reicht zu wissen, wer wen besiegt. ⇒ Mehrheitsgraph
Der Mehrheitsgraph
Gerichteter Graph mit Kandidaten in Knoten
Kante zeigt vom Sieger zum Besiegten
Graph komplett ⇒ ωi , ωj Ergebnisse, dann besiegt ωi ωj oderumgekehrt.
Asymmetrie: Besiegt ωi ωj , dann kann ωj niemals ωi besiegen.
Irreflexibilitat: Ergebnis besiegt sich niemals selber.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Ein Beispiel
99 Wahler
3 Kandidaten: ω1, ω2, ω3
33 Wahler bevorzugen: ω1 i ω2 i ω3
33 Wahler bevorzugen: ω3 i ω1 i ω2
33 Wahler bevorzugen: ω2 i ω3 i ω1
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Ein Beispiel
Der Mehrheitsgraph sieht dann so aus:
Was fallt auf?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Ein Beispiel
Der Mehrheitsgraph sieht dann so aus:
Was fallt auf?
Der Graph enthalt einen Zyklus.⇒ Wir konnen bestimmen wer gewinnen soll!
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Ein Beispiel
ω1 siegt bei: ω3, ω2, ω1
Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω2 bzw. ω3?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Noch ein Beispiel
Ein weiterer Mehrheitsgraph:
Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω4?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
MehrheitswahlDurchfuhrung und ManipulationMehrheitsgraph
Noch ein Beispiel
Ein weiterer Mehrheitsgraph:
Frage: Bei welcher Reihenfolge gewinnt ω4?Bei ω1, ω3, ω2, ω4 oder ω3, ω1, ω2, ω4.
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EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Die Borda-Wahl
Bei Mehrheitswahl nur Erstplatzierte beachtet ⇒ viel Informationvernachlassigt.
Die Borda-Wahl
k Kandidaten, |Ω| = kJedem Kandidat wird Wert zugeordnet:
1 Betrachte jede Praferenzliste
2 Wenn ωi Erster, erhohe Wert von ωi um k − 1
3 Zweite erhalt k − 2
4 usw. Letzter bekommt 0 Punkte
5 Reihenfolge hangt von erhaltenen Punkten ab
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Die Borda-Wahl
Nochmal das Beispiel von der Anomalie:
Liberal: ωL ωM ωK , 43000 Wahler
Mitte: ωM ωL ωK , 12000 Wahler
Konservativ: ωK ωM ωL, 45000 Wahler
Wie sahe das Ergebnis bei der Borda-Wahl aus?
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Die Borda-Wahl
Nochmal das Beispiel von der Anomalie:
Liberal: ωL ωM ωK , 43000 Wahler
Mitte: ωM ωL ωK , 12000 Wahler
Konservativ: ωK ωM ωL, 45000 Wahler
Wie sahe das Ergebnis bei der Borda-Wahl aus?
1 Mitte: 112000 Punkte
2 Liberal: 98000 Punkte
3 Konservativ: 90000 Punkte
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Slater Ranking
Ziel: Minimierung der Diskrepanz zwischen Mehrheitsgraph undder kollektiver Entscheidung durch:
Eliminieren von Zyklen.
Erzeugen einer stimmigen Rangfolge.
Bestimmen der Abweichung vom Ideal.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Slater Ranking
Slater Ranking
1 Betrachte alle moglichen Reihenfolgen.
2 Bestimme Abweichung zwischen Reihenfolge undMehrheitsgraph.
3 Kosten = Anzahl der Kanten, die umgedreht werden mussen.
4 Wahle Reihenfolge mit geringsten Kosten.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Slater Ranking
Reihenfolge: ω1 ∗ ω3 ∗ ω2 ∗ ω4
Reihenfolge stimmt mit Mehrheitsgraph uberein ⇒ Kosten: 0.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Slater Ranking
Reihenfolge: ω1 ∗ ω2 ∗ ω4 ∗ ω3
Graph hat Zyklus ⇒ Jede Reihenfolge weicht vom Graph ab.
Kante ω4 → ω1 umdrehen ⇒ Kosten: 1.
Kante ω3 → ω4 umdrehen ⇒ Kosten: 2.
Falko Klaaßen Making Group Decisions
EinleitungGrundlagen
MehrheitswahlWeitere Wahlverfahren
Die Borda-WahlSlater Ranking
Mindmap
Falko Klaaßen Making Group Decisions
Erinnert ihr euch an folgende Situation?
IIC D
IIIII
Wodurch konnte das Dilemma aufgelost werden?
bindende Vereinbarungen undkeine direkte Gewinnauszahlung an das Individuum!
Erinnert ihr euch an folgende Situation?
IIC D
IIIII
Wodurch konnte das Dilemma aufgelost werden?
bindende Vereinbarungen undkeine direkte Gewinnauszahlung an das Individuum!
Forming Coalitions
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Ubersicht
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Paradigmen und Begriffe
Voraussetzung fur kooperative Spiele
Moglichkeit bindender Vereinbarungenuber Handlungen und die Gewinnaufteilung
zwischen weiterhin rational handelnden Akteuren (Agenten), dieihren eigenen Gewinn maximieren wollen.
Paradigmen und Begriffe
KoalitionGruppe aus Agenten
Große KoalitionGruppe aller Agenten
Einzelkoalitionein Agent
Paradigmen und Begriffe
kooperatives Spielbesteht aus Agenten und einer Spielfunktion
Spielfunktionordnet jeder moglichen Koalition einen Gewinn zu
Ubersicht
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Kooperationszyklus
Agenten(= Ressourcen + Fähigkeiten + Ziele)
Koalitionen(= Gruppen aus Agenten)
Teams(= Koali<onen + Pläne)
Koalitionsbildung
Teambildung
Gewinn
Handlungen Gewinn-verteilung
Ubersicht
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Koalitionsbildung
Versucht, rational zu denken! :-)
Warum wurdet ihr in einer Gruppe statt alleine arbeiten?
Koalitionsbildung
Alle Agenten handeln jedoch genauso!
Fur eine bestimmte Koalition mussen alle Mitglieder keinenVorteil davon haben, in einer anderen Koalition zu sein!
Koalitionsbildung
Stabilitatnotwendige, aber nicht unbedingt hinreichende Bedingung fur dieBildung einer bestimmten Koalition
Gewinnaufteilungmuss sowohl moglich, als auch effizient sein(vollstandige Gewinnallokation)
KernMenge aller Gewinnaufteilungen auf die Mitglieder,die von keinem der Mitglieder abgelehnt werden
kleines Zahlenbeispiel
Agent Lila und Agent Blau konnen alleine jeweils 4 verdienen.Die Koalition aus beiden kann 10 verdienen.
0|10
1|9
2|8
3|7
10|0
9|1
8|2
7|3
4|6
5|5
6|4
Agent Lilaallein besser gestellt
Agent Blauallein besser gestellt
0|10
1|9
2|8
3|7
10|0
9|1
8|2
7|3
4|6
5|5
6|4
Agent Lilaallein besser gestellt
Agent Blauallein besser gestellt
beide in Koalitionmindestens gleichoder besser gestellt als allein
$ $$ $
Agent Lilaallein besser gestellt
0|10
1|9
2|8
3|7
10|0
9|1
8|2
7|3
4|6
5|5
6|4
Agent Blauallein besser gestellt
beide in Koalitionmindestens gleichoder besser gestellt als allein
$ $$ $DER KERN
Koalitionsbildung
Fur eine bestimmte Koalition mussen alle Mitglieder keinen Vorteildavon haben, in einer anderen Koalition zu sein!
wird zu
Eine Koalition ist stabil, wenn der Kern nicht leer ist.
Ubersicht
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Gewinnaufteilung
Anforderungen an eine gerechte Gewinnaufteilung
Symmetriegleiche Beitrage fuhren zu gleicher Gewinnbeteiligung
Dummy-Spielererzeugt ein Spieler keinen Synergieeffekt, wird er nur um denBetrag beteiligt, den er alleine verdienen konnte
Additivitatder Gewinn aus mehreren Spielen wird durch Addition kumuliert,es gibt keinen Vorteil durch mehrfaches Spielen
Shapley-Wert
ordnet jedem Agenten eine Gewinnbeteiligung zu, die diegenannten Anforderungen erfullt
entspricht dem Durchschnitt des marginalen Beitrags zurKoalition, berechnet uber alle moglichen Beitrittsreihenfolgen indie Koalition
Warum Beitrittsreihenfolgen? Je nach Stelle des Beitrittsunterscheidet sich die Veranderung des Koalitionsgewinns durchden Beitritt!
Shapley-Wert
Formel
shi = 1|Ag |!
∑o∈
∏(Ag)
µi(Ci(o))
Ag : Menge aus Agenten z.B. 1, 2∏(Ag): Menge aller Sortierungen z.B. (1, 2), (2, 1)
µi : marginaler Beitrag des Agenten i
Ci (o): Anhand Sortierung o vor Agent i beigetretene Agenten
Shapley-Wert
kleines Zahlenbeispiel
v : Gewinn
v(1) = 5; v(2) = 5; v(1, 2) = 20
µ1(∅) = 5; µ1(2) = 15; µ2(∅) = 5; µ2(1) = 15
sh1 = sh2 = (5 + 15)/2 = 10
Ubersicht
Paradigmen und Begriffe
Kooperationszyklus
Koalitionsbildung
Gewinnaufteilung
Spielvarianten
Qualitative Koalitionsspiele
Agenten haben Mengen von Zielen
Koalitionen haben Mengen von Optionen
Ein Agent ist zufrieden mit einer Menge von Zielen, wenn mind.eines seiner Ziele erreicht wird
Eine Menge von Zielen ist machbar fur eine Koalition, wenn sieTeil ihrer Optionen ist
Eine Koalition ist erfolgreich, wenn sie alle ihre Mitgliederzufrieden stellt
Coalition Structure Formation
statt Gewinnmaximierung durch einzelne Agenten, Maximierungder sozialen Wohlfahrt, des Gesamtnutzens
System bestimmt zu bildende Koalition, also jene mit großtemGesamtnutzen
Klausurfragen
Wie lautet der Algorithmus der Borda-Wahl?
Warum ist die Reihenfolge bei der sequentiellen Mehrheitswahl vonBedeutung?
Wann spricht man von einer stabilen Koalition? Verwende dasKonzept des Kern zur Erlauterung!
Welche Große wird durch den Shapley-Wert bestimmt und nachwelchem grundsatzlichen Ansatz?
Diskussion
Haltet ihr die Borda-Wahl fur gerechter als eine einfacheMehrheitswahl?
Sind Verteilungsfragen wirklich”intuitiv“ zu beantworten? Wer
konnte hier, vor allem in einem offenen System, Entscheidungentreffen?