Prof. Dr. H. Iwe 21. Februar 2002

Mathematische Logik Bei der mathematischen Logik handelt es sich um eine formalisierte Theorie. Sie spielt in der gesamten Informatik eine zentrale Rolle f r die Beschreibung formaler Systeme wie Programmier-sprachen, Datenmodelle oder Wissensreprsentationsmodelle. Neben ihrer Verwendung zur For-malisierung kann Logik auch direkt dazu herangezogen werden, Wissen zu reprsentieren und Schlussfolgerungen auf diesem Wissen zu ermglichen. Logik ist somit auch ein Wissensreprsen-tationsformat. Ihre Attraktivitt liegt dabei in der schon eingef hrten Syntax und Semantik sowie in der Bereitstellung eines Schlussfolgerungsapparates. Die wichtigsten Logikkalk le der mathematischen Logik sind:

Aussagenlogik Prdikatenlogik Fuzzy-Logik

Klassische Logik

Mathematische Logik

Nichtklassische Logik

Temporre LogikModallogik Grundbegriff und Basisobjekt der klassischen mathematischen Logik: Aussage Gegenstand der Logik sind Aussagen. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagestzen formuliert. Eine Aussage dr ckt einen Tatbestand aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangs-sprache bekannten Fragestze, Aufforderungsstze, Befehlsstze, Wunschstze, Zweifelsstze usw. keine Aussagestze. Die Gesamtheit aller mglichen Aussagen a, die einen Tatbestand ausdr cken, sollen zu der Menge {a|a ist eine Aussage} zusammengefasst werden. Unter all diesen Aussagen a sind solche, die entweder wahr oder falsch sind. Jene werden zu einer neuen Menge der zweiwertigen Aus-sagen M = {a|a ist zweiwertige Aussage} zusammengestellt. Durch diese Definition gehren solche Aussagen wie z.B. die Bewertungen einer Klausur, die ja blicherweise mit den Wahr-heitswerten (Zensuren) 1 bis 5 erfolgen, nicht zur neu definierten Menge. Die charakteristische Eigenschaft des betrachteten Gebildes Aussage besteht darin, seiner inhaltli-chen Bedeutung nach entweder wahr oder falsch zu sein. Jeder Aussage a mit aM kann man eindeutig einen bestimmten Wahrheitswert w(a) zuordnen, nmlich W f r wahr oder F f r falsch, wobei es eine dritte Mglichkeit nicht geben soll (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten). Dieses Zweiwertigkeitsprinzip f hrt auf eine zweiwertige Logik mit den Wahrheitswerten W und F, die die Wahrheitsmenge {W, F} bilden. Hierauf beruhen klassische und Prdikatenlogik. Die Ermitt-lung von Wahrheitswerten mathematischer Aussagen ist eine Aufgabe der Mathematik und keine spezielle Aufgabe der Logik.

Beispiel: a = Dresden liegt an der Elbe w(a)=W, a= 10 ist durch 3 teilbar w(a)=F Die Festlegung auf die zweiwertige Logik bzw. die Reduzierung der Anzahl der Elemente der Wahrheitsmenge bedeutet nat rlich eine eingrenzende Formalisierung der Wahrheitswerte der Aussagen des tglichen Lebens. F r viele Flle besser angepasst ist die Fuzzy-Logik, eine mehr-wertige Logik mit einem Kontinuum von Wahrheitswerten. Aussagenvariable: Hierunter versteht man einen Platzhalter f r Aussagen. Aussagenvariablen werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet wie z.B. a. Durch Einsetzen einer konkreten Aussage f r a erhlt diese Aussagenvariable a ihren Belegungswert |a| = w(a). Man sagt: a wird mit einer wah-ren oder falschen Aussage belegt: |a| = W, F.

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Aussagenlogischer Kalk l Jeder Satz der nat rlichen Sprache als Ganzes, der seiner inhaltlichen Bedeutung nach entweder wahr oder falsch ist, stellt eine Aussage dar. Es interessiert dabei nicht der syntaktische Aufbau (Subjekt - Prdikat - Objekt). Auch braucht man nicht zu wissen, ob die Aussagen wahr sind; es besteht aber kein Zweifel, dass sie nur entweder wahr oder falsch sein knnen. Sprachschichtung bei einer formalisierten Theorie: Objekte des Aussagenkalk ls: aussagenlogische Ausdr cke Objektsprache: Menge aller zulssigen aussagenlogischen Ausdr cke Metasprache: Sprachbeschreibungssprache, mit der man ber die Objektsprache spricht. - Semantik(Bedeutung) der Zeichen - Erklrungen zur Allgemeing ltigkeit - Erf llbarkeit oder Unerf llbarkeit von Ausdr cken - Beziehungen (Relationen) zwischen Ausdr cken wie z.B. "", "" - Aussagen zur Axiomatik des Kalk ls - Widerspruchsfreiheit - Vollstndigkeit - Entscheidbarkeit Syntax Die Syntax umfasst die Gesamtheit von Konstruktionsvorschriften, auf welche Weise Zeichen aus einer gegebenen Zeichenmenge (Zeichenvorrat) zu Ausdr cken zusammengesetzt werden knnen, die keinen Bezug zur inhaltlichen(semantischen) Bedeutung der Zeichen nehmen. Charakteristisch f r diese Vorschriften ist ihr rein formaler Aufbau. Die Trennung von Syntax und Semantik ist typisch f r jeden logischen Kalk l.

Menger aller Ausdr cke

zulssige Ausdr cke (echte Teilmenge)

Die berpr fung eines beliebigen Ausdruckes im Hinblick auf ihre syntaktische Korrektheit bedarf keinerlei berlegung, die an die Bedeutung der Zeichen gekn pft ist, sondern ist ein formaler Prozess. Damit lsst sich die Trennung der Ausdr cke mit den Eigenschaften "zulssig" und "unzulssig" automatisieren, d.h. die Menge der zulssigen Ausdr cke ist entscheidbar.

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Aussagenverkn pfungen: Verkn pfungen sind Operationen Eine Aussageform ist ein beliebiger Ausdruck, der aus Aussagevariablen und Verkn pfungssym-bolen gebildet wird und nach dem Einsetzen von Aussagen an Stelle aller Variablen zu einer wah-ren oder falschen Aussage wird.

- Verkn pfungszeichen stehen zwischen Wahrheitswerten, Aussagevariablen und Ausdr cken. - Aus Einzelaussagen entstehen zusammengesetzte Aussagen. - Der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussagen hngt nur vom Wahrheitswert der

Einzelaussagen ab. - Stze der Umgangssprache werden auf vielfache Weise miteinander verkn pft. In der

Aussagenlogik steht nicht das gesamte nat rlichsprachliche, meist mehrdeutige Spektrum zur Verf gung.

- Wenn - dann - Aussage ( a b ) ( a c ) Wenn a, dann b Ergnzung: und wenn nicht a, dann c Wahrheitstafel Bewertung aussagenlogischer Ausdr cke(Interpretation) Ein aussagenlogischer Ausdruck mit Variablen heit aussagenlogische Aussageform. Diese ist keine Aussage! Die n-stellige Aussageform hat die Gestalt A( x1, ... , xn ) und besitzt genau 2n mgliche Bele-gungs-n-tupel. Die Berechnung des Wahrheitswertes erfolgt gem

| A( x1, ... , xn ) | = A( |x1| , ... , |xn | ) f r die Belegung |x1| , ... , |xn | {W, F}

Analogie: f(x, y, z)=x y z ist keine reelle Zahl. Diese erhlt man erst durch Wertezuweisung, z.B. f(1, 1, 1)=1. Erf llungsmenge: E[ A( x1, ... , xn ) ] = { ( |x1| , ... , |xn | ) | A( |x1| , ... , |xn | ) = W }

Verkn pfung Junktor Bindungsstrke sprachlich Verkn pfungs-

(Operation) (Verkn pfungssymbol) fallend ergebnis Negation Negator nicht, es gilt nicht Negat Konjunktion Konjugator und Konjugat Disjunktion Disjunktor oder Disjungat Subjunktion Subjungator wenn ..., dann ... Subjungat Bijunktion Bijungator genau dann, wenn ... Bijungat

a b a b a b a b a b W W W W W W W F F W F F F W F W W F F F F F W W

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3 Typen von aussagenlogischen Aussageformen existieren. Die Aussageform heit - allgemeing ltig oder Tautologie, wenn sie f r alle 2n Belegungen wahr ist. - teilg ltig oder eine Kontingenz (Neutralitt), wenn sie f r m Belegungen ( 0< m < 2n ) wahr ist. - ung ltig oder eine Kontradiktion, wenn sie stets falsch sind. Die Aussageformen sind erf llbar(Tautologie und Kontingenz) oder unerf llbar(Kontradiktion). Die Bewertung kann als deterministisches Verfahren automatisiert werden, der nach endlich vielen Schritten zum Ergebnis f hrt. Die Allgemeing ltigkeit aussagenlogischer Ausdr cke ist also ent-scheidbar. Zur Ermittlung der Allgemeing ltigkeit dienen folgende Verfahren: - Wahrheitstafeln - Methode der Normalformen. Aussagenlogische Gesetze Diese beziehen sich auf allgemeing ltige Aussageformen. Die beiden wichtigsten Typen von Tautologien sind: - quivalenz (Sie bedeutet immer zwei Implikationen, nmlich in beide Richtungen) - Implikation (Sie ist zugleich Hauptbestandteil der aussagenlogischen Schlussregeln) quivalenz Zwei aussagenlogische Ausdr cke A und B heien gleichwertig oder quivalent, wenn sie bei jeder Belegung der in ihnen vorkommenden Aussagevariablen denselben Wert annehmen, d.h. die gleichen Erf llungsmengen haben. Diese Eigenschaft der Aussageformen wird durch das metasprachliche quivalenlzzeichen "" charakterisiert, das aber kein Verkn pfungszeichen des Kalk ls darstellt, sondern eine Aussage ber den Ausdruck A B macht. quivalenz A B (lies: A quivalent B) |A| = |B| f r alle Belegungen E[A] = E[B] A B ist allgemeing ltig A B W ist eine algebraische quivalenz-Relation quivalenzerhaltende Umformungen: - Variablenersetzung: In der quivalenz A( x1, ... , xn ) B( x1, ... , xn ) wird beiderseits

die gleiche Variable durch einen beliebigen Ausdruck ersetzt. - Teilausdruckersetzung: A( x1, ... , xn, T( x1, ... , xn ) ) A( x1, ... , xn, S( x1, ... , xn ) ) mit T( x1, ... , xn ) S( x1, ... , xn ) Implikation F r einen allgemeing ltigen aussagenlogischen Ausdruck der Gestalt A B W gilt: Die zwei aussagenlogische Ausdr cke A und B stehen in der Implikation A B genau dann, wenn die Erf llungsmenge E[A] des Vordersatzes eine Teilmenge der Erf llungsmenge E[B] des Hinter-satzes ist. Implikation A B (lies: A impliziert B) F r alle Belegungen |A| = |B| = W oder |A| = F, |B| {W, F} E[A] E[B] A B ist allgemeing ltig A B W ist eine algebraische Ordnungsrelation

Kontradiktion Kontingenz

Tautologie

Menge aller Ausdr cke

A B

E[A]=E[B]

A B

E[A] E[B]

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Praxisrelevante Gesetze:

Konjunktionsgesetze Disjunktionsgesetze a b b a Kommutativitt a b b a a (b c) (a b ) c Assoziativitt a (b c) (a b ) c a (b c) (a b) (a c) Distributivitt a (b c) (a b) (a c) a (a b) a Absorption a (a b) a (a b ) a b de Morgan-Gesetz (a b ) a b a b (a b) a b a b Subjunktionsgesetze a b b a a (b c) b (a c) a b a b a (b c) (a b) c a (b c) (a b) (a c) (a b) c (a c) (b c) a (b c) (a b) (a c) (a b) c (a c) (b c) Bijunktionsgesetze a b b a a b ( a b) (a b) a (b c) (a b) c a b (a b) ( a b) a b a b a b ( a b) ( b a) Implikationen a ( a b) b (ab) (bc) ac b ( a b) a (a b) ((ac)(b c)) c

quivalenzen in eine Aussagenvariable a a a a W a a a a a a a a F a a W a W a a W W a F F a F a

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Darstellung in Normalformen Jede aussagenlogische Aussageformen A( x1, ... , xn ) lsst sich in eine disjunktive oder konjunk-tive Normalform umformen, wobei die Variablen in beliebiger Reihenfolge, wiederholt, negiert und nicht-negiert auftreten knnen. Zu jedem Ausdruck gibt es unendlich viele disjunktive und konjunktive Normalformen, die untereinander alle quivalent sind. Disjunktive Normalform: A K1 K2 ... Kr Konjunktive Normalform: A D1 D2 ... Ds Unter all diesen Darstellungsmglichkeiten gibt es eine ausgezeichnete Form, die so genannte kanonische Form, die u.a. den Vergleich mit anderen Aussageformen ermglichen. Jede g ltige aussagenlogische Aussageform A( x1, ... , xn ), die keine Kontradiktion ist, lsst sich eindeutig als kanonische disjunktive Normalform darstellen. Die auftretenden Konjunktionsterme Mi( x1, ... , xn ) , die Minterme, enthalten alle Variablen (negiert oder nicht-negiert) genau einmal in ausschlielich konjunktiver Verkn pfung. F r einen gegebenen Minterm existiert genau eine Belegung, f r die M wahr und f r jede andere falsch ist. Damit entspricht jedem Minterm genau ein Element der Erf llungsmenge und ist f r dieses wahr. Hat der Ausdruck A alle seine 2n Min-terme, so ist er allgemeing ltig.

Die Minterme Mi enthalten nur Konjunktionen.

Auer Tautologien lsst sich jede nicht-allgemeing ltige Aussageform A( x1, ... , xn ) eindeutig als kanonische konjunktive Normalform darstellen. Die auftretenden Disjunktionsterme Ni( x1, ... , xn ) , die Maxterme, enthalten alle Variablen (negiert oder nicht-negiert) genau einmal in aus-schlielich disjunktiver Verkn pfung. F r einen gegebenen Maxterm existiert genau eine Bele-gung, f r die N falsch und f r jede andere wahr ist, d.h. A wird damit falsch.

Die Maxterme Ni enthalten nur Disjunktionen.

Die beiden Normalformen knnen selbstverstndlich ineinander berf hrt werden, sofern es sich um teilg ltige Aussagen handelt. Von den beiden Normalformen wird die disjunktive Normal-form bevorzugt, da man sich leichter den Aufbau von Mintermen vorstellen kann. Die umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen W-Werten und Mintermen bzw. F-Werten und Maxtermen erlaubt es, bei gegebenem Wahrheitswerteverlauf sofort wenigstens eine der kanonischen Normalformen niederzuschreiben.

kanonische disjunktive Normalform A M1 M2 ... Ms

kanonische konjunktive Normalform A N1 N2 ... Nk

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Aussagenlogisches Schlieen Schlussregeln (Vorschriften zur Ausf hrung eines logischen Schlusses) basieren auf den Gesetzen der Aussagenlogik, sind selbst aber metasprachlicher Natur. Sie beschreiben verbal und formal, wie man aus einer oder mehreren Prmissen auf den Folgesatz schliet. Auch hierbei wird stets von wahren Prmissen auf eine wahre Konklusion geschlossen. Die Feststellung der Richtigkeit der Prmissen erfolgt durch inhaltliche berlegungen. Nur der Schluss selbst ist logisch im Sinne des aussagenlogischen Schlieens. Ein wichtiger Aspekt ist die Tatsache, dass der Vorgang rein syntaktisch, also vllig unabhngig von der Bedeutung der herangezogenen Aussageformen ist. Die Aussageform A( x1, ... , xn ) heit eine aussagenlogische Folgerung aus den aussagen-logischen Aussageformen A1( x1, ... , xn ), A2( x1, ... , xn ), ... , Am( x1, ... , xn ), wenn f r jede Belegung |x1| , ... , |xn | {W, F} folgendes gilt: Bezeichnung Kurzform A1 ( |x1| , ... , |xn | ) = W A1 A2 ( |x1| , ... , |xn | ) = W Prmissen, A2 . Voraussetzung, . . Vorderstze . Am( |x1| , ... , |xn | ) = W Am A ( |x1| , ... , |xn | ) = W Konklusion, A Schluss-Satz, Folgesatz Unter diesen Bedingungen ist A eine Folgerung der A1,..., Am genau dann, wenn das Subjungat A1 A2 ... Am A allgemeing ltig ist, d.h. die Implikation A1 A2 ... Am A besteht. Wenn das Konjugat der Ai keine Kontradiktion ist, heit die Prmissenmenge { A1,..., Am } konsistent. Eine triviale Folgerung liegt vor, wenn es sich bei A um eine Tautologie handelt. quivalenzen lassen sich als zwei Implikationen verstehen, die man in beide Richtungen lesen kann. Schlussregeln Modus ponens (Abtrennungsregel) A Gilt mit dem Subjungat das Vorderglied, ist auch das Hinterglied wahr, d.h. A B man bentigt A nicht weiter; es kann abgetrennt werden. Je nach Umfang und Komplexitt der Herleitung wird man den modus ponens in B Teilschl sse zerlegen: A B1 B2 ... Bn B Modus tollens (Widerlegungsregel) A B Aus einem wahren Subjungat mit falschem Hinterglied schliet man auf ein B falsches Vorderglied. Diese Widerlegungsregel findet vornehmlich beim indirekten Beweis Verwendung. A Kontrapositionsregel A B Eine Aussage A gelte. Um die Aussage B zu beweisen, zeigt man die G ltigkeit von B A. B A Kettenschluss (A B1) (B1 B2) (B2 B3) ... (Bn B) A B

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Prdikatenlogik Die Aussagenlogik ist weder f r eine logische Grundlegung der Mathematik noch f r eine Darstel-lung der realen Welt ausreichend, da diese Logik die Aussagen als unteilbares Ganzes behandelt. Gegenstand einer ausdrucksreicheren Logik, nmlich der Pr dikatenlogik, ist die Formalisierung der Subjekt - Prdikat - Strukturen, etwa solcher Beispiele wie die Zahl ... ist gerade; ... ist wertvoll; die Zahl ... und die Zahl ... sind Teiler von 6; Person ... ist mit Person ... verheiratet.

Setzt man an Stelle von Punkten die Namen der entsprechenden Subjekte ein, so erhlt man ver-schiedene Aussagen. In der Praxis ist es bequemer, die Stellen, an denen man Namen einsetzen kann, mit Symbolen die Variablen und die Beziehungen nach Mglichkeit mit vereinbarten Sym-bolen zu bezeichnen. Die Variablen, deren Werte die Namen der Elemente einer Menge sind, heien Subjektvariablen. Bei der Einf hrung einer Subjektvariablen ist stets ihr Bereich zu definie-ren, d.h. die Menge der Elemente, deren Namen an Stelle dieser Subjektvariablen eingesetzt wer-den d rfen. Auf diese Weise erfolgt die Formalisierung der Satzstrukturen ber die Einf hrung von Subjekt-variablen x, y, z, ... sowie Pr dikatvariablen P, Q, R, .... Erstere stehen als Platzhalter f r Gegenstnde, Subjekte, Individuen, letztere erfassen Eigenschaften der Subjekte. Die Formalisie-rung der Satzstruktur f hrt dann auf Px mit der Bedeutung, dass das Subjekt x die Eigenschaft (das Prdikat) P besitzt. Es entstehen dadurch prdikatenlogische (prdikative) Aussageformen. Eine prdikatenlogische Aussageform trifft auf eine Menge von Individuen zu oder nicht zu. Eine Aussageform lsst sich also als ein Ausdruck mit einer bestimmten Anzahl von Aussage-variablen definieren, so dass man, wenn man statt aller dieser Variablen Namen einsetzt, die zu den entsprechenden Bereichen der Variablen gehren, eine wahre oder falsche Aussage erhlt. Dabei werden einstellige Prdikate mit Eigenschaften, mehrstellige mit Beziehungen identifiziert: einstellig: Px x besitzt die Eigenschaft P. zweistellig: Pxy x steht mit y in Beziehung P oder x und y stehen in der Relation P. n-stellig: Px1...xn Synonym: Pn x1...xn Zwischen Prdikaten und Relationen besteht eine sehr einfache Verbindung. Einstellige Prdikate beschreiben Eigenschaften der Elemente der zugrunde liegenden Menge M. ber die Elemente einer Menge werden gewisse Aussagen gemacht, die je nach gewhlten Elementen wahr oder falsch ist, d.h. ein Element xM hat genau die durch das Prdikat beschriebene Eigenschaft, wenn Px = W gilt. Eine Aussage ber einzelne Elemente, ber Paare von Elementen oder allgemeiner ber n-Tupel von Elementen wird als Pr dikat ber eine entsprechende Menge bezeichnet. Zweistellige Prdi-kate entsprechen den binren Relationen in M, die aus all den geordneten Paaren aufgebaut sind, f r die der Funktionswert gleich W ist. Um ein n-stelliges Prdikat handelt es sich, wenn es Aus-sagen ber je n Elemente macht. In jedem Fall nimmt in Abhngigkeit von den gewhlten Elemen-ten ein Prdikat den Wahrheitswert W oder F an. Durch Hinzunahme solcher Relationen und Quantoren zur Aussagenlogik gelangt man zur Prdikatenlogik. In der Aussagenlogik spielen Aussagevariable die zentrale Rolle, in der Prdikatenlogik sind es die Subjektvariablen. F r alle Aussageformen gilt jedoch: Belegt man ihre Variablen, so gehen sie in Aussagen ber. Prdikatenlogik und Aussagenlogik bestehen aber nicht einfach nebeneinander, sondern die Prdikatenlogik umfasst die Gesetze der Aussagenlogik. Dar ber hinaus ist sie ungleich vielfltiger und weitreichender als die Aussagenlogik. Notation: Px, Pxy, Px1...xn Prfixnotation wie z.B. < xy Die Lesbarkeit von umfangreichen Ausdr cken wird verbessert. xPy Infixnotation wie z.B. x

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Syntax Bez glich Syntax gilt das unter der Aussagenlogik gesagte. Die beiden syntaktischen Grund-elemente der Prdikatenlogik sind Terme und Ausdrcke(auch Formeln genannt). Die Menge der prdikatenlogisch zulssigen Ausdr cke heit die Sprache der Prdikatenlogik. Term Terme ti sind entweder Subjektvariablen oder n-stellige Funktorenvariable

f (t1, t2, ...,tn). Atomarer Ausdruck Sind t1, t2, ...,tn Terme, so ist Pt1, t2, ...,tn ein atomarer Ausdruck. P heit

dann eine n-stellige Prdikatenvariable. Damit ist t1=t2 als spezielle zwei-stellige Relation, nmlich der Identittsrelation, ein atomarer Ausdruck, wobei das Gleichheitszeichen als Name der Identittsrelation auftritt.

Prdikatenlogischer Hierunter versteht man jeden atomaren Ausdruck. Sind a, und b Ausdr cke, Ausdruck so sind es auch die Verkn pfungen a b, a b, a b, a b, a

sowie x a, xa (in der Reihenfolge zunehmender Bindungsstrke). Das

Ergebnis ist stets eine prdikatenlogische Aussageform! Quantisieren von Aussagen Neben den in der Aussagenlogik eingef hrten Junktoren, die Operationen definieren, verwendet man in der Prdikatenlogik weitere Operationen, um prdikatenlogische Aussagen zu quantisieren. Zum Zwecke der Formalisierung sind dies der Allquantor und der Existenzquantor. Allquantor

x Gltigkeitsbereich des Allquantors

......................................... ( )1 244444 344444 lies: "F r alle x gilt"

Interpretation: Mit dem Allquantor x

wird angezeigt, dass sich eine Eigenschaft oder Beziehung auf alle jene Gebilde erstrecken, die x enthalten. hat die Bedeutung eines verallgemeinerten Konjugators und lautet f r den Subjektbereich {x1, ..., x2} demnach

x (Px)=Px1...Pxn.

Beispiel: Px: x hat die Eigenschaft Metall; Qx: x leitet den Strom; Px Qx: Wenn x ein Metall ist, leitet x den Strom

x (PxQx): F r alle x gilt: PxQx oder umgangssprachlich: Alle Metalle leiten den Strom.

Existenzquantor x Gltigkeitsbereich des Existenzquantors

............................................... ( )1 2444444 3444444

hat die Bedeutung eines verallgemeinerten Disjugators x(Px)=Px1...Pxn.

Beziehungen zwischen Allquantor und der Existenzquantor: Jeder dieser beiden Quantoren kann durch den jeweils anderen ausgedr ckt werden ber den Zusammenhang: Die Negation einer Allaussage f hrt auf eine Existenzaussage, die Negation einer Existenzaussage ergibt eine Allaussage.

x (Px)

x(Px)

x(Px)

x (Px)

Alle x haben die Eigenschaft P. Es gibt ein x mit der Eigenschaft P. Mindestens ein x hat nicht die Eigenschaft P. Es trifft nicht zu, dass alle x die Eigenschaft P nicht haben. Freie und gebundene Variable Durch die Quantisierung durchluft die Variable x die Menge aller zum Bereich gehrenden Namen, d.h. durch den Quantor wird die Variable x gebunden. Sie ist nicht mehr mit einem ande-ren Gegenstand belegbar. Aus der Aussageform ist eine Aussage geworden!! Man sagt, dass der Quantifikator die Subjektvariable x bindet, wenn sie unter diesem Quantifikator und in seinem Wirkungsbereich auftritt. Subjektvariablen, die von keinem Quantifikator gebunden werden, hei-

lies: "Es gibt ein x" oder"Es gibt mindestens ein x"

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en freie Variablen. Ein Ausdruck, in dem alle Variablen gebunden sind, heit abgeschlossener Ausdruck und ist demzufolge eine Aussage, d.h. er besitzt einen Wahrheitswert. Spezielle prdikatenlogische Aussageformen P x hat nicht die Eigenschaft P. Px1...xn x1...xn stehen nicht in Beziehung P zueinander. Px Py x oder y hat die Eigenschaft P. Px Qx x hat die Eigenschaft P oder Q. Px Qx Wenn x die Eigenschaft P besitzt, dann hat y die Eigenschaft Q. Pxy Qxz x steht mit y in Beziehung P genau dann, wenn x mit z in Beziehung Q steht. Bewertung prdikatenlogischer Ausdr cke (Interpretation, Deutung) Bei der Einf hrung der Prdikatenlogik wurde eine Grundmenge G von konkreten Subjekten (Individuen) als Subjektbereich (Individuenbereich) angenommen, so dass Prdikate f r Relationen in G und Subjektvariable f r Elemente aus G stehen. Dabei war die formale Bildung eines Ausdruckes unabhngig von seiner Bedeutung ber einem Subjektbereich, d.h. man kann bei einem Ausdruck die inhaltliche Bedeutung der Symbole von der konstruktiven Seite des Ausdruckes trennen. Um zu einer Interpretation (Deutung) eines Ausdruckes zu gelangen, m ssen die verschiedenen im Ausdruck vorkommenden Variablentypen (die 4 in der Tabelle aufgezhlten) mit Werten aus dem Weltausschnitt belegt werden, ber den der Ausdruck eine Aussage darstellt. In diesem Zuordnungsprozess, d.h. Interpretation genannten Abbildung, wird ihnen damit eine konkrete Bedeutung gegeben, die durch den so genannten d-Wert des Variablentyps bestimmt ist (d soll an Deutung , also Interpretation, erinnern.): - Jeder Subjektvariablen x wird mit der d - Funktion ein konkretes Subjekt d(x), nmlich ein ganz

bestimmtes, konkret gegebenes Element aus dem Subjektbereich G, zugeordnet. d(x) liegt damit fest und ist eine Konstante.

- Jeder n-stelligen Prdikaktvariablen P wird mit der d - Funktion eine konkrete n-stellige Relation d(P) als Funktionswert zugeordnet, die stets Teilmenge von Gn+1 ist.

- Jeder Aussagevariablen A wird mit der d - Funktion ein Wahrheitswert d(A)=A {W, F} zugeordnet.

- Jeder n-stelligen Funktorenvariablen f wird mit der d - Funktion eine konkrete n-stellige Funktion ( d(x1), ..., d(xn), d(f(x1, ...,xn)) ) d(f) Gn+1 durch d( f(x1, ...,xn) ) = d(f) ( d(x1), ..., d(xn) ) zugeordnet. In dem Ausdruck d(f) ( ... ) weist die Bezeichnung d(f) auf die zugeordnete Funktion hin, deren Variablen in den Klammern ( ... ) stehen und ihrerseits durch die konkreten Subjektvariablen d(x1), ..., d(xn) gegeben sind.

Syntaktischer Begriff Semantischer Begriff d - Wert Subjektvariable x, y, z Subjekt, Individuum x a d(x), d(x) G Prdikatenvariable P, Q, R Prdikat (Relation, Attribut) P a d(P), d(P) Gn Aussagenvariable A, B, C

Aussagen (Wahrheitswert) A a d(A), d(A) {W,F}

Funktorenvariable f, g, h Funktion (Abbildung, funktionelle Relation)

f a d(f), d(f) Gn+1

Erf llbarkeit eines prdikatenlogischen Ausdruckes Bei jeder Deutung eines Ausdruckes ber eine Menge G wird aus dem Ausdruck eine Aussage, die jeweils wahr oder falsch ist. Dies luft im Prinzip darauf hinaus, auf einen solchen Ausdruck die Funktion der Deutung d anzuwenden und damit den d-Wert des Ausdruckes zu berechnen, d.h. den Funktionswert von d, der nur einen der Wahrheitswerte W oder F sein kann. Voraussetzung dieser Berechnung ist die vollstndige Interpretation aller im Ausdruck vorkommenden Variablen auf der Grundlage des Subjektbereiches G. Diese Berechnung ist die prdikatenlogische

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Verallgemeinerung der Bestimmung des Wahrheitswertes eines aussagenlogischen Ausdruckes. Wenn d eine Interpretation ber den Subjektbereich G ist, gilt: d erf llt A genau dann, wenn d(A)= A =W. d erf llt Pt1 ... tn genau dann, wenn d(Pt1 ... tn) =W bzw. ( d(t1), ..., d(tn) ) d(P) . d erf llt a * b genau dann, wenn d( a * b ) =d (a) * d (b) mit , , , f r * . d erf llt a genau dann, wenn d(a) = d (a) .

d erf llt xa genau dann, wenn dxx (a) = W f r alle x G,

d erf llt xa genau dann, wenn dxx (a) = W f r ein x G

Mit diesen Definitionen gilt: Ein Ausdruck a heit erfllbar ber die Menge G, wenn es eine Interpretation von a ber G gibt, bei der a in eine wahre Aussage bergeht. Ein Ausdruck a heit gltig in der Menge G, wenn er bei jeder Interpretation ber G in eine wahre Aussage bergeht. Ein Ausdruck a heit allgemeingltig oder ein Gesetz der Prdikatenlogik , wenn er in jeder Menge G g ltig ist oder anders formuliert: wenn er bei jeder beliebigen Interpretation in eine wahre Aussage bergeht, d.h. d (a)=W. Prdikatenlogische Gesetze Die beiden wichtigsten Typen allgemeing ltiger prdikatenlogischer Ausdr cke sind quivalen-zen und Implikationen. quivalenz Implikation b g (lies: b ist quivalent zu g) b g (lies: b impliziert g) a in der Form b g ist allgemeing ltig a in der Form b g ist

allgemeing ltig d( b g ) = W d( b g ) = W d(b) = d(g) : b und g sind beide erf llbar oder nicht

Prdikatenlogische Folgerung a1 a2 ... an b genau dann, wenn a1 a2 ... an a b (lies: b folgt aus a1 , a2 , ..., an), wenn f r jede Deutung d(a1)=W,..., d(an)=W auch d(b)=W gilt. ai ... Prmissen; b ... Konklusion oder Schluss Praxisrelevante Gesetze: Nachfolgend stehen die wichtigsten Typen praxisrelevanter Gesetze, aus denen man durch geschicktes Einsetzen (z.B. A statt Qx; Px * Py statt Pxy, wenn * f r , , steht) unmittelbar weitere ablesen kann.

x (Px) Px Px

x(Px)

x (Px)

x(Px)

x (Px)

x(Px)

x(Px)

x (Px)

x (Px Qx)

x (Px)

x (Qx)

x (Px Qx)

x (Px)

x(Qx)

x yC C (Pxy)

y xC C (Pxy) f r C := oder

x y(Pxy)

y x(Pxy)

mit ( ) f r ,ansonsten ( ) ( )

xx

xx

z x z xz z

d

d d

= =

=

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xC (Px * Qx)

xC(Px) *

xC(Qx) f r * := , ; C := oder

Feststellung der Allgemeing ltigkeit Aussagenlogik: Der Nachweis der Allgemeing ltigkeit ist algorithmisch lsbar. Der Aussagekalk l ist entscheidbar! Smtliche Gesetze knnen aus einem Axiomensystem ber Deduktionsregeln (Inferenz-, Ablei-

tungsregeln) hergeleitet werden. Deduktionen f hren stets zu Tautologien, d.h. der Aussagekalk l bildet ein formales System, das widerspruchsfrei, vollstndig und unabhngig ist.

Pr dikatenlogik: Alle ableitbaren Ausdr cke sind allgemeing ltig und alle allgemeing ltigen Ausdr cke sind ab-

leitbar. Ableiten heit in diesem Zusammenhang, einen Zielausdruck ber eine Kette von Aus-dr cken zu erhalten, wobei am Anfang ein Axiom oder ein bereits bewiesener Ausdruck steht, und jeder Schritt in dieser Kette durch Verweis auf Stze, Gesetze (Axiome) und Regeln gerechtfertigt werden kann.

Es existiert kein Algorithmus zur Entscheidung auf Allgemeing ltigkeit, d.h. die Prdikatenlogik ist nicht entscheidbar (Satz von Church)!!

Der Grund besteht darin, dass die Allgemeing ltigkeit der Prdikatenlogik hohe Anforderungen stellt, nmlich beliebige Subjektbereiche mit beliebigen Deutungen dar ber. Daher existieren nur Vorgehensweisen zur berpr fung eines Ausdruckes auf Allgemeing ltigkeit:

- Methode des d-Operators - Methode der quivalenzumwandlungen - Methode der Beschrnkung auf einen endlichen Subjektbereich. Der Prdikatenkalk l ist syntaktisch nicht vollstndig: Die Wahrheit ist mchtiger als das

Beweisbare.