Mathematische Probleme lösen mit Hilfe von Mindmaps Dr. Thomas Teepe Alosenweg 37 70329 Stuttgart E-Mail: thomasteepe@web.de Überblick In diesem Text möchte ich eine Methode zur Bearbeitung mathematischer Probleme darstellen. Dabei geht es nicht in erster Linie um die Elemente einer mathematischen Heuristik selbst (wie etwa die Strategie der Rückwärtssuche oder die Betrachtung von Extremfällen), sondern es geht um eine Technik, mit der diese Elemente gezielt eingesetzt werden können. Die Methode nutzt wesentliche Ideen des Mindmapping. Diese bekannte Technik zum Sammeln und Ordnen von Ideen wird im Abschnitt I beschrieben. Sofern der Leser mit dem Mindmapping vertraut ist, kann er diesen Abschnitt überspringen. Die Grundidee der Methode besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden: - Das gegebene Problem wird in einer Mindmap bearbeitet; - dabei werden Lösungswerkzeuge aus einer oder mehreren Hilfs-Mindmaps herangezogen. Dieses Vorgehen wird in Abschnitt II vorgestellt. Im Abschnitt III wird untersucht, wie die Methode auf das Lösen mathematischer Probleme angewendet werden kann. Im Mittelpunkt steht dabei der Aufbau der benutzten Mindmaps. Inhaltsverzeichnis I. Mindmapping .................................................................................................................................................. 2

I.1 Grundlagen.............................................................................................................................................. 2 I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps ................................................................................................ 2 I.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 2 I.4 Bemerkungen .......................................................................................................................................... 2

II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps................................................. 3 II.1 Grundidee und Bezeichnungen ............................................................................................................... 3 II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps .............................................................................................................. 3 II.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 4

III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme ............................... 5 III.1 Gliederung der Problem-Map.................................................................................................................. 5 III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps ............................................................................................................. 6 III.3 Diskussion ............................................................................................................................................. 12

IV. Literaturverzeichnis................................................................................................................................... 12

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I. Mindmapping I.1 Grundlagen Mindmapping ist eine einfache und wirkungsvolle Technik zum Sammeln und Aufbereiten von Ideen. Entwickelt wurde diese Technik in den 1970er Jahren von dem Engländer Tony Buzan. Beim Mindmapping sollen die folgenden Fähigkeiten des menschlichen Gehirns besser genutzt werden: - Assoziationen bilden, - Hierarchien von Begriffen bilden und - sowohl in Wörtern als auch in Bildern denken. Herkömmliche Techniken zum Aufzeichnen von Ideen nutzen diese Fähigkeiten oft unzureichend oder unterdrücken sie sogar. I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps - Man benötigt ein Blatt Papier, vorzugsweise im Format DIN A4 oder größer, und Schreibstifte,

vorzugsweise in verschiedenen Farben. - Man benutzt das Papier im Querformat. Dies erleichtert das Layout der Mindmap. - In die Mitte des Papiers schreibt man das Thema der Mindmap und zeichnet einen Rahmen darum. Dadurch

kann man die Ideen buchstäblich in alle Richtungen entwickeln und behält zugleich das zentrale Thema im Blick.

- Die Hauptideen werden um dieses Zentrum herum aufgeschrieben und durch Linien mit dem Zentrum verbunden. Diese Ideen-Äste werden durch Ideen-Zweige und -Unterzweige verfeinert. Durch diese Baumstrukturen entstehen Hierarchien von Begriffen. Neue Einfälle können sachgerecht an passenden Orten eingefügt werden.

- Beim Mindmapping sollte man Stichwörter anstelle ganzer Sätze verwenden, um Redundanz zu vermeiden und Platz zu sparen. Zudem lassen sich Assoziationen leichter zu einzelnen Wörtern bilden als zu einem ganzen Satz.

- Man sollte oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden, um die Fähigkeiten des Gehirns zu bildhaftem Denken auszunutzen.

- Man kann die Ideen in der Mindmap über die hierarchische Gliederung hinaus organisieren, indem man sie nummeriert, Wichtiges grafisch hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet.

Die genannten Regeln können abgeändert werden, wenn dies dem Zweck der Mindmap dient. Von solchen Abweichungen wird im Folgenden häufig Gebrauch gemacht. I.3 Diskussion Vorteile: - Mindmapping ist eine sehr wirkungsvolle Methode, um Ideen zu sammeln und zu ordnen. - Es ist praktisch überall verfügbar. - Es ist außerordentlich breit einsetzbar. - Die Anwendung ist einfach, macht Spaß und führt rasch zu Erfolgen. Nachteile: - Die Stichwörter und Symbole in einer Mindmap geben einen Gedanken oft nur skizzenhaft wieder.

Deshalb eignen sich Mindmaps nur dann zur Vermittlung von Ideen, wenn sie für diesen Zweck aufbereitet werden.

- Ideen in einem intuitiven, nicht-sprachlichen und nicht-bildhaftem Stadium lassen sich in Mindmaps nicht sinnvoll erfassen.

- Mindmaps können dazu verführen, die wesentlichen Aspekte eines Problems unbearbeitet zu lassen und sich stattdessen mit seinen zugänglicheren Aspekten zu beschäftigen oder sich in übermäßigen Vorplanungen zu verlieren.

I.4 Bemerkungen Eine umfassende Darstellung des Mindmapping bieten Tony und Barry Buzan (Buzan/Buzan 1999).

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Es gibt eine wachsende Zahl von Computer-Programmen für das Mindmapping. Zumindest eines dieser Programme (mit Namen „Freemind“) kann kostenlos im Internet heruntergeladen werden; zu anderen Programmen gibt es kostenlose Testversionen. Internet-Suchmaschinen liefern einen raschen Überblick über das Angebot an Mindmapping-Programmen.

II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps II.1 Grundidee und Bezeichnungen Die Grundidee besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden. 1. Das gegebene Problem wird in der so genannten Problem-Map (PM) bearbeitet. 2. Unterstützt wird die Bearbeitung durch eine Reihe von Werkzeug-Maps (WMs). Diese WMs enthalten

Operatoren, also Strategien und Techniken, die die Lösung von Problemen unterstützen. Die gleichzeitige Verwendung von PM und WMs wird im folgenden Werkzeug-Mapping genannt. II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps Im Folgenden werden die drei wesentlichen Aspekte der Arbeit mit WMs untersucht: (a) Zusammenstellung der WMs, (b) Verwendung der WMs beim Bearbeiten von Problemen und (c) Anpassung der WMs.

(a) Zusammenstellung der WMs

Es gibt mehrere Ausgangspunkte für die Zusammenstellung von WMs: - Der Benutzer organisiert die heuristischen Kenntnisse, die er bereits besitzt, in WMs und entwickelt dieses

System weiter. - Der Benutzer organisiert heuristische Empfehlungen aus der einschlägigen Literatur in WMs. - Der Benutzer arbeitet mit WMs, die er von einem Lehrer erhalten hat. Ein bloßes Aufhäufen von Operatoren in den WMs ist in jedem Fall nur wenig sinnvoll. Die Operatoren sollten vielmehr so angeordnet werden, dass diejenigen Operatoren, die in einer Bearbeitungssituation von Nutzen sind, leicht gefunden werden können. Damit stellt sich die Frage nach den Prinzipien für die Gliederung der WMs. Einige werden nun vorgestellt. Gliederung nach Bearbeitungsphasen: Die Bearbeitung eines Problems lässt sich aufteilen in verschiedene Phasen, wie etwa Orientierungsteil, Ausführungsteil und Kontrollteil (vgl. Sell/Schimweg 2002, Kap. 4; ähnlich Polya 1988, S. 5ff). Gliederung nach Operatorgruppen: Beispiele für Operatorgruppen sind etwa Analysetechniken oder Kreativitätstechniken. Gliederung nach Bearbeitungssituationen: Eine Bearbeitungssituation kann etwa darin bestehen, dass noch unklar ist, worin das Problem überhaupt besteht, welche Lösungsansätze in Frage kommen, welcher von mehreren Lösungswegen eingeschlagen werden soll oder darin, dass bei der Verfolgung eines Lösungsansatzes Hindernisse auftreten. In den WMs kann es Operatoren zur Untersuchung solcher Schwierigkeiten geben. Diesen „Diagnose-Operatoren“ können dann „Therapie-Operatoren“ zugeordnet werden, mit denen die Schwierigkeiten bewältigt werden können. Beispiel: Der Benutzer merkt, dass er einen Ansatz augenblicklich nicht weiter voranbringen kann. Mit einem Fragenkatalog kann er prüfen, - ob die verwendeten Begriffe unklar sind, - ob unsichere Hypothesen die weitere Arbeit stören, - ob die Beziehungen von Bestandteilen des Problems unübersichtlich sind oder - ob er nicht weiß, was als nächstes zu tun ist. Abhängig vom Ergebnis dieser Prüfung kann er gezielt Operatoren benutzen, um die Schwierigkeiten zu beseitigen. Gliederung nach fachlichen Aspekten: Bei der Gliederung nach fachlichen Aspekten lassen sich Operatoren danach zusammenfassen, zu welcher Teildisziplin sie gehören oder auf welche Objekte sie sich anwenden lassen. Diese Gliederungen überlappen sich teilweise; dabei hat jede einzelne ihre sinnvollen Anwendungen. Es empfiehlt sich daher, sie parallel zu verwenden. Ein gewisses Maß an Redundanzen und Querverweisen zwischen den verschiedenen Gliederungen ist dabei vorteilhaft.

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Wenn die Zahl benutzter Gliederungen eine gewisse Grenze überschreitet, ist es sinnvoll, mehrere WMs zu erstellen. Der Nutzen eines derartigen Satzes von WMs hängt entscheidend von seiner Gesamtstruktur ab; eine Reduktion auf die einzelnen Techniken, die in den Blättern der Baumstruktur einer WM zu finden sind, ist nicht möglich. Sinnvoll ist es stattdessen, den gesamten Satz von WMs selbst als einen Super-Operator mit einer Hierarchie von Sub-Operatoren aufzufassen.

(b) Verwendung der Werkzeug-Maps beim Bearbeiten von Problemen

Der Benutzer kann aus den verschiedenen Gliederungen diejenigen auswählen, die zu seinen Zielen und der augenblicklichen Bearbeitungssituation passen. Sofern die WMs, wie oben beschrieben, Operatoren zur Diagnose und Therapie von Schwierigkeiten in einer Bearbeitungssituation enthalten, kann sich der Benutzer hiervon leiten lassen. Die Verwendung von WMs ist ebenso wie die sonstige Bearbeitung eines Problems stark von der Intuition des Benutzers beeinflusst. Es erscheint deshalb nicht sinnvoll, die Verwendung von WMs in ein enges Korsett von Regeln zu zwängen. Wenn die WMs dem Benutzer bei der Bearbeitung nur wenig nutzen, so können ihre Mängel bei der Rückschau untersucht und beseitigt werden.

(c) Anpassen der Werkzeug-Maps und die Bedeutung der Rückschau

Die WMs sind nicht als statische Objekte gedacht. Der Benutzer soll sie laufend seinen Erfahrungen, Kenntnissen, Bedürfnissen und Vorlieben anpassen können.1 Die Anpassung der WMs kann wiederum unterstützt werden durch Operatoren in der WM, mit denen das Vorgehen beim Bearbeiten eines Problems ausgewertet werden kann. 2 Zu diesen Operatoren können etwa die folgenden Fragen gehören: - An welchen Stellen und aus welchen Gründen war die Bearbeitung des Problems gestört? - Durch welche Operatoren hätte sich das vermeiden lassen? - Welche neuen Operatoren sollten in die WMs aufgenommen werden, und wie sollten sie eingegliedert

werden? - Was war ausschlaggebend für den Erfolg? - Wie lässt sich das auf andere Probleme übertragen? Bei der laufenden Anpassung der WMs sollte eine Überfrachtung mit Operatoren, die allzu selten genutzt werden können, sorgfältig vermieden werden. II.3 Diskussion Vorteile: - Werkzeug-Mapping regt dazu an, sich mit dem eigenen Verhalten bei der Bearbeitung von Problemen zu

beschäftigen. - Werkzeug-Mapping kann angepasst werden an verschiedene Problemtypen und an die Erfahrungen,

Kenntnisse, Bedürfnisse und Vorlieben des Benutzers. Insbesondere ist eine laufende Weiterentwicklung der WMs während einer längeren Lernphase sinnvoll.

- Werkzeug-Mapping kann als ein sich selbst verbessernder Prozess konstruiert werden: Spezielle Operatoren für die Nachbereitung einer Problembearbeitung können helfen, Schwachstellen in der eigenen Vorgehensweise und im Aufbau der WMs aufzudecken und zu beheben.

- Werkzeug-Mapping nutzt alle Vorteile des gewöhnlichen Mindmapping. Insbesondere bei den WMs ist die Darbietung heuristischer Operatoren in einer Mindmap günstiger als Darbietungen etwa in Form von Listen3: Die flächige, grafische und hierarchische Anordnung erleichtert die Orientierung und das Auffinden relevanter Operatoren, und weitere Operatoren lassen sich leicht sachgerecht hinzufügen.

- WMs können eine große Zahl von Operatoren darbieten. Dadurch können WMs insbesondere weniger erfahrenen Problemlösern nützliche Operatoren ins Gedächtnis rufen.

- Die selbstständige Erstellung eigener WMs verankert heuristische Operatoren im Arbeitsgedächtnis. - Durch die Verbindung von Diagnose- mit Therapie-Operatoren kann der Benutzer sehr gezielt Abhilfe für

seine Schwierigkeiten finden.

1 Eine Phase der Rückschau ist enorm wichtig, wenn die Fähigkeit, Probleme zu lösen, verbessert werden soll. Dies wird von zahlreichen Autoren betont, z.B. Mason 1985, S.57ff; Polya 1988, S.14ff. 2 Bei der Erstellung und nachfolgenden Anpassung der WMs ist Mindmapping-Software nützlich. 3 Ein prominentes Beispiel einer derartigen Liste findet sich in Polya 1988, S. xvi-xvii.

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- Werkzeug-Mapping unterstützt den Transfer heuristischer Kenntnisse: Ratschläge aus der Literatur können in WMs aufbereitet werden; Experten können Teile ihrer Erfahrungen in WMs darstellen und so für Anfänger nutzbar machen; Gruppen können gemeinsame WMs erstellen und damit die Erfahrungen der Einzelnen für die Gruppe verfügbar machen.

Nachteile: - Werkzeug-Mapping ist wie jede neue Methode gewöhnungsbedürftig. - Werkzeug-Mapping ist für Menschen mit einer stark intuitiven Denkweise, die weder ausgeprägt sprachlich

noch bildlich ist, weniger geeignet. - Der Benutzer braucht zu Beginn Augenmaß, um die WMs nicht mit einer Überfülle nur scheinbar nützlicher

Operatoren zu überfrachten. Eine geringere Zahl sinnvoll ausgewählter und strukturierter Operatoren führt zu besseren Ergebnissen.

III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme III.1 Gliederung der Problem-Map Erfasst werden sollten in der PM alle Schritte, die bei der Bearbeitung des Problems wesentlich sind, insbesondere - Operatoren, deren Anwendung versucht werden soll, und - Ideen, die durch die Anwendung der Operatoren entstanden sind. Die folgende Grafik gibt einen sinnvollen Aufbau einer PM wieder. Abb. 1: Allgemeiner Aufbau einer PM

Ziel

Thema

Hauptansatz

Ansatz Ansatz...

Ansatz

Ansatz

...

Ansatz...

...

...

Ansatz...

Ansatz

Hauptansatz

AnsatzAnsatz

Ansatz

Ansatz

Hauptansatz

Erläuterungen: - Der Gesamtüberblick fällt u.U. leichter, wenn man das Thema der PM am linken Rand notiert. - Eine scharfe Trennung von Zielen, Hauptansätzen und Ansätzen ist für Anwendungen nicht notwendig. - Im Lauf der Bearbeitung können weitere Ziele hinzukommen. - In dem Diagramm steht jeder Ansatz oder Hauptansatz für ein Element einer möglichen Lösung: Ein solches

Element kann etwa ein Operator sein, eine Idee, die bei der Anwendung eines Operators entstanden ist oder ein spontaner Einfall für einen Lösungsversuch.

- Der Benutzer kann entscheiden, bis zu welchem Auflösungsgrad die PM die Bearbeitung des Problems abbilden soll: Ein erfahrener Problemlöser kann auf die Dokumentation einzelner Zwischenschritte verzichten.

Die obige Darstellung ist aus folgenden Gründen günstig: - Sie dokumentiert sinnvoll die einzelnen Bearbeitungsschritte. Insbesondere gibt sie wieder, welche Ansätze

untersucht worden sind und was dabei herausgekommen ist. Die Bearbeitungsversuche sind gemäß ihren Abhängigkeiten gegliedert. (In Wirklichkeit stehen die Gedanken natürlich nicht in strikt hierarchischer Beziehung zueinander. Dennoch gibt die vorgeschlagene Struktur die Verhältnisse gut wieder. Verfeinerungen durch Querverweise sind leicht möglich.)

- Sie kann flexibel verschiedene heuristische Vorgehensweisen abbilden, insbesondere Vorwärts- und Rückwärtssuche.

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- Sie ermöglicht es, rasch die kritischen Punkte bei der Bearbeitung eines Problems zu erkennen: - Ziele und Hauptansätze – hier werden grundsätzliche Entscheidungen über Lösungswege getroffen; - sonstige Verzweigungspunkte – hier werden weitere Entscheidungen über den Lösungsweg getroffen;

evtl. wurden an diesen Stellen alternative Ansätze noch nicht berücksichtigt; - Endpunkte, in denen die Verfolgung eines Ansatzes zumindest vorläufig abbricht. An diesen Punkten ergeben sich oft charakteristische Schwierigkeiten bei der Bearbeitung eines Problems. Die WMs können gemäß diesen Schwierigkeiten gegliedert werden und sodann gezielt Operatoren für deren Bewältigung zur Verfügung stellen.

III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps Es folgt eine Auswahl aus einem Satz von WMs. Dabei geht es mir weit weniger um einzelne Operatoren und ihre Anordnung, sondern um eine Illustration der Grundideen des Werkzeug-Mapping. Auswahl und Anordnung der Operatoren orientieren sich teilweise an zwei Büchern zur mathematischen Heuristik, in denen es um Aufgaben aus nationalen und internationalen Mathematik-Wettbewerben geht (Engel 1998; Zeitz 1999). Der gesamte Satz von WMs ist baumartig gegliedert. Die folgende Map bildet die Wurzel dieses Baums und dient zur allgemeinen Orientierung während der Bearbeitung eines Problems. Die Pfeile „>>“ verweisen auf andere WMs. Wegen ihrer besonderen Bedeutung ist die Rückschau getrennt aufgeführt. Abb. 2: Mathematische Probleme lösen (WM)

>> Rückschau

>> Ergebnisse darstellen

Problem

bearbeiten

Mathematische

Probleme

lösen

>> Problem erfassen

>> Ansätze erzeugen

>> Ansätze verfolgen

>> Wissen beschaffen

Abb. 3: Problem erfassen (WM)

Problemerfassen

Erste Schritte

Skizze anfertigen

Bezeichnungen einführen

Spezialfälle betrachten Systematisieren

Vereinfachtes Problem

Verwandte Probleme

Problem-Repräsentation

Geometrisch

Algebraisch

Algorithmisch

Dynamisch/statisch

Verschiedene Blickwinkel Koordinatensystemwählen

Problem modifizieren

Gegebene Größen

Gesuchte Größen

Bedingungen

Problem zerlegen

Ziel festlegen

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Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Die Inhalte der WM „Ansätze erzeugen“ sind von besonderer Bedeutung bei der Suche nach Hauptansätzen und bei der Suche nach alternativen Ansätzen an Verzweigungspunkten. An dieser WM lassen sich einige allgemeine Eigenschaften zeigen: - Die knappen Einträge in der WM können nur dann sinnvoll genutzt werden, wenn sie zuvor erläutert und

durch Beispiele verdeutlicht worden sind: WMs können Erfahrungen im Bearbeiten von Problemen nicht ersetzen.

- Die Orientierung in der WM fällt umso leichter, je genauer man ihre Organisation kennt. Der Benutzer kann deshalb großen Nutzen daraus ziehen, wenn er die WMs selbst erarbeitet.

- Sobald ein Ast eine gewisse Größe erreicht, können seine Inhalte in eine separate WM ausgelagert werden. - Die WM weist Überlappungen mit der WM „Problem erfassen“ auf. Abb. 3: Ansätze erzeugen (WM)

Ansätze erzeugen

>>Problem erfassen

BeweisverfahrenWiderspruch

Induktion

Vorgehensweisen

Verwandtes suchenFragestellungen

Methoden

SuchrichtungVorwärts

Rückwärts

Vorletzten Schritt planen

Zerlegen in Teilprobleme

Zwischenziele festlegen

Wunschdenken

Modifizieren

Gegebene Größen

Gesuchte Größen

Bedingungen

Prinzipien

ExtremalprinzipExtremale Elemente untersuchen

Monotonisieren

Symmetrie

Geometrische Symmetrien

Algebraische Symmetrien

Paare bilden

Invarianten

Monovarianten

Konstruktion

Mit Abständen

Durch Parität

Durch HilfsobjekteSummen

Produkte

Konstruktionen

Passende Größen definieren

Funktionen definieren

Substitutionen

Werkzeuge

Reihen

Erzeugende Funktionen

Graphen

...

Disziplinen

>> Algebra

>> Zahlentheorie

>> ...

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Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Aus der Struktur der PM ist unmittelbar ersichtlich, welche Ansätze bislang nicht weiter verfolgt worden sind: Dies sind die oben genannten Endpunkte, von denen keine weiteren Verzweigungen ausgehen. An diesen und evtl. weiteren Stellen können Operatoren zum Thema „Ansätze verfolgen“ die Bearbeitung voranbringen. Die Map zeigt, wie Diagnose- und Therapie-Operatoren zusammenwirken: Der Ast „Blockaden beseitigen“ führt zu verschiedenen Typen von Blockaden (Diagnose).4 Zu jedem Typ findet man dann eine Reihe von Operatoren, die beim Auflösen dieser Blockade helfen (Therapie). Die Möglichkeit, Hilfestellungen auch bei emotionalen Schwierigkeiten anzubieten, ist durch den Ast „Frustration“ nur knapp angedeutet. Dieser Ansatz ist sehr entwicklungsfähig. Abb. 4: Ansätze verfolgen (WM)

Ansätze verfolgen

Blockaden beseitigen

UnklarheitUnklarheit benennen

Klärung der Unklarheit als Zwischenziel formulieren

Komplexität

Teilproblemeuntersuchen

Spezialfälle untersuchen

>> Ansätze erzeugen

Neuartigkeit>> Wissen beschaffen

Unsichtbare Elemente

Identifizieren

Informationen über Elemente sammeln

>> Wissen beschaffen

Unsichere HypothesenIdentifizieren

Überprüfen

FrustrationSich an frühere Erfolge erinnern

Sich selbst Ratschläge geben

Abbruch sinnvoll?Was spricht für/gegen Abbruch?

Alternativen zum Abbruch?

Allgemeine Tricks

Verbalisieren

Visualisieren

Was würde X jetzt tun?

Was würde X mir jetzt raten?

Zwischenstand zusammenfassen

Abstand zum Problem gewinnen

Pause machen

Perspektive eines Beobachters einnehmen

Einer anderen Person das Problem schildern

4 Die Klassifikation der Blockaden benutzt Ideen aus Dörners Theorie der „Unbestimmtheit“ (vgl. Dörner 1998, S. 351ff), sofern mir diese für mathematische Fragestellungen relevant erschienen.

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Die folgende WM umfasst Teile des Kapitels über Algebra aus dem Buch von Paul Zeitz über mathematisches Problemlösen (Zeitz 1999, Kap. 5). Sie soll vor allem zeigen, wie nicht nur heuristische Prinzipien in WMs organisiert werden können, sondern auch mathematisches Wissen. Mathematische Terme lassen sich leicht in handgeschriebene WMs einfügen; sie fehlen hier aus Gründen der technischen Darstellbarkeit. Abb. 5: Algebra (WM)

Algebra

FaktorisierungenBinomische Formeln

Quadrate benutzen

Substituieren und Vereinfachen

Symmetrien ausnutzen

Geeignete Ergänzungen einführen

Faktoren

Summanden

Teleskop-Summen

Produkte

Polynome

Faktorisierung

Fundamentalsatz

DivisionsalgorithmusRestsatz

Koeffizienten und Nullstellen Elementarsymmetrische

Polynome

Rationale NullstellenLemma von Gauß

Satz über rationale Nullstellen

...

Die folgende WM erfasst einige Methoden zur Beschaffung mathematischen Wissens. Abb. 6: Wissen beschaffen (WM)

Wissen beschaffen

StandardwerkeInhaltsverzeichnisse

Register

Lexika und Handbücher

Datenbank-Recherche

Zentralblatt für Mathematik

Mathematical Reviews

...

InternetSuche

Diskussionsgruppen

Experten befragen

Persönlich

E-Mail

Fragen nach ...

Literatur

Ansprechpartnern

Inhaltlichen Hinweisen

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Die vorletzte der vorgestellten WMs soll die Darstellung der Ergebnisse unterstützen. Wesentliche Ideen stammen aus dem Buch von Beutelspacher zur Formulierung mathematischer Gedanken (Beutelspacher 2002). Abb. 7: Ergebnisse darstellen

Ergebnissedarstellen

Allgemeines Vorgehen

Welche Gegenständetreten auf?

In der Problemstellung

In eigenen Hilfs-konstruktionen

Zahlen

Folgen

Abbildungen

...

Skizzen anfertigen

Geeignete Bezeichnungen einführen

Eigenschaften der Gegenstände

Eigenschaften fordern

Eigenschaften nachweisen

Gegenstände mit besonderenEigenschaften Extremale

Gegenstände

Manipulation an Gegenständenmathematisch beschreiben

Durch Abbildungen

...

Beweise aufschreiben

Was soll bewiesen werden?

Beweis gliedern

Schritt 1, Schritt 2 ...

Fallunterscheidung

Zwischenbehauptungen formulieren

Beweis-Ende deutlich machen

Standard-Beweis-verfahren

Widerspruchs-beweis

Formulierung einerAnnahme

Schlussfolgerung ziehen

Widerspruch zur Annahme

Widerspruch zu gültigermathematischer Aussage

Gegenbeispiel

Induktionsbeweis

Induktionsanfang

Induktionsvoraussetzung

Induktionsschluss

...

Mathematische Stilistik

Vollständige Sätze!

Klare, überschaubare Sätze!

Gute Bezeichnungen

Ähnliche Bezeichnungen fürähnliche Gegenstände

Hierarchien der Gegenständein Bezeichnungen deutlich machen

Standardbezeichnungen benutzen

Symbole in SätzenNicht am Anfang!

I.d.R. durch mindestens ein Wort trennen!

...

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Die abschließende WM zur Rückschau hat drei wesentliche Funktionen: 1. Sie soll die Prüfung von Resultaten und Methoden bei der Bearbeitung eines Problems unterstützen. 2. Sie soll helfen, die WMs laufend den inhaltlichen und methodischen Anforderungen anzupassen. 3. Schließlich soll sie helfen, das eigene Verhalten beim Bearbeiten von Problemen zu verbessern. Die folgende WM sollte als eine erste Annäherung an das komplexe Thema Rückschau aufgefasst werden. Die Operatoren zur Verbesserung des allgemeinen Problemlöseverhaltens können losgelöst von einer unmittelbaren Bearbeitung eines Problems benutzt werden. Auswahl und Gliederung dieser Operatoren ist teilweise beeinflusst von Überlegungen Csikszentmihalyis (Csikszentmihalyi 2001). Abb. 6: Rückschau (WM)

Rückschau

Wissenslücken aufspüren >> Wissen beschaffen

Resultate prüfen

Prüfung der Einzelschritte

Ergebnisse plausibel?Extremfälle

Spezialfälle

Andere Herleitung?

Methoden prüfen Weitere Einsatzmöglichkeiten?

Bearbeitungsvorgang prüfen

Welche Störungen gab es?

Ursache der Störungen?

Behebung der Störungen?

Anpassung von HMMs sinnvoll?

Neue Operatoren?

Gliederungen verändern?

Allgemeine Vorgehensweiseverbessern

Was stört die Konzentration?

Arbeitsbedingungen

Arbeitsverhalten

Geringe Motivation

Sonstige Ablenkungen

Motivation prüfen

Welchen Wert hat es, das Problem zu bearbeiten?

Wie sind die Erfolgsaussichten?

Herausforderungen angemessen?

Problem ggf.vereinfachen

Erfolgsmaßstäbe bedenken

Ziele setzenDeutliche Ziele

Erreichbare Ziele Zwischenziele setzen

Rückmeldungen auffinden und verarbeiten

Gefühlslage beachten

Umgang mit "Unbehagen"während der Bearbeitung

Wahrnehmen

Benennen

Klären

Rückmeldungenaus dem Problem

Vermutungen formulieren

Vermutungen überprüfen

Allgemein: Schwächen analysieren

Ursachen der Schwächen?

Verbesserungen?

VorbilderUntersuchen

Nachahmen

Konstruktion nützlicher Operatoren?

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III.3 Diskussion Vorteile: - Die PM liefert eine sinnvolle Dokumentation der Bearbeitungsschritte. - Kritische Punkte in der Bearbeitung des Problems lassen sich anhand der PM leicht identifizieren. Zu diesen

kritischen Punkten lassen sich dann gezielt Hilfsoperatoren in den WMs finden. Nachteile: - Wenn Probleme umfangreiche Nebenrechnungen oder platzraubende Skizzen benötigen, so kann es

Probleme mit dem Layout der PM geben. Dies lässt sich durch Querverweise in den Griff bekommen; Nebenrechnungen und Skizzen können auf gesonderten Blättern angefertigt werden.

IV. Literaturverzeichnis Beutelspacher, Albrecht (2002) “Das ist o.B.d.A. trivial” Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken. 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig. Buzan, Tony; Buzan Barry (1999) Das Mind-Map-Buch. 4. Auflage, Mvg, Landsberg. Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow – Das Geheimnis des Glücks. 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart. Dörner, Dietrich (1998) Bauplan für eine Seele. Rowohlt, Reinbek. Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies. Springer, New York. Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Oldenbourg, München. Polya, George (1988) How to Solve it. Princeton University Press, Princeton. Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lösen. Springer, Berlin. Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving. Wiley, New York. Die Mindmapping-Software FreeMind ist zugänglich unter www.sourceforge.net (zuletzt aufgerufen Anfang November 2005)