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Mathematik IBasics +
wichtige Satze
WichtigeSatze
Mengen
Logarithmen
Injektivitat,Surjektivitat
Grenzwerte,de l’Hosp.
Funktionenin einer
Variablen
Symmetrie
Beschranktheit
ExtremaKonvexitat
Stetigkeit
Monotonie
Differential-rechnung
Differenzier-barkeit
Taylor-approximation
Ableitung d.Umkehrfunktion
Funktionenin mehreren
Variablen
TotalesDifferential
Tangential-ebene
(verallg.)Kettenregel
Extrema
Optimierungunter
Nebenbed.
ImpliziteFunktionen
beschrankt,unbeschrankt
Infimum, Supremum
Operationen,kartesisches Produkt
∀x > 0, y > 0, a > 0, c ∈ R :• loga(x · y) = loga(x) + loga(y)• loga(x/y) = loga(x)− loga(y) falls y 6= 0• loga(x
c) = c · loga(x)• naturlicher Logarithmus: ln := loge• ∀x ∈ (0,∞) : eln x = x• ∀x ∈ R : ln(ex) = x
f : D → R beschrankt ⇐⇒ Wf beschrankt
global, lokal, relativ
• f : D → R, 0 ∈ D gerade ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(−x) = f(x)• f ungerade ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(−x) = −f(x)
f : D ⊆ R→ R, I ⊆ D Intervall.• f konvex auf I ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I ∀α ∈ [0, 1] :f(αx1 + (1− α)x2) ≤ αf(x1) + (1− α)f(x2)• f konvex =⇒ f(x+ h) ≥ f(x) + hf ′(x)• f konkav ⇐⇒ −f konvex
f heisst differenzierbar an der Stelle x0, falls f aufdem Intervall (x0 − δ, x0 + δ) definiert ist fur einδ > 0 und der Grenzwert
limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
existiert (= Ableitung von f an der Stelle x0)
n-tes Taylorpolynom:
Pn(x) =
n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
f invertierbar, diff.bar in x0,f(x0) = y0, f
′(x0) 6= 0:
(f−1)′(y0) =1
f ′(x0)
• Weierstrass• Zwischenwertsatz• Nullstellensatz
16. Dezember 2011andreas [email protected], made with PGF/TikZ
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy
Im Punkt (x0, y0, f(x0, y0)):z = f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x−x0)+fy(x0, y0)(y−y0)
ddt (f(x(t), y(t)) = fx(x(t), y(t)) · x′(t) + fy(x(t), y(t)) · y′(t)
Notw. fur (x∗, y∗) lok. Extr.: fx(x∗, y∗) = fy(x
∗, y∗) = 0.Hinr. Krit.: Definitheit der Hesse-Matrix in (x∗, y∗).
• Lagrange• Reduktionsmethode
Unter geeign. Vor.: f(x0, y0) = 0 def. impliziteFkt. y = h(x) in Umg. von (x0, y0). Dann gilt:
h′(x0) = −fx(x0, y0)
fy(x0, y0)
f ′(x) ≥ 0 =⇒ f mon. st.,f ′(x) ≤ 0 =⇒ f mon. f.Str. Mon. bei > bzw. <.
f konvex ⇐⇒ f ′′(x) ≥ 0f konkav ⇐⇒ f ′′(x) ≤ 0
diff.bar in x0=⇒ stetig in x0
f streng monoton =⇒ f injektiv.
f stetig, injektiv =⇒ f streng monoton.
f : X → Y injektiv: x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y)f : X → Y surjektiv: Wf = Yinj. + surj. = bijektiv ⇐⇒ Umkehrfunkt. ex.
notwendig fur x∗ lok. Extr.: f ′(x∗) = 0.f ′′(x∗) > 0→ lok. Min., f ′′(x∗) < 0→ lok.Max. Altern.: Vorz.wechsel von f ′ in x∗.