modellierung und simulation analoger...
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MSAS – Modellierung und
Simulation analoger Systeme
Dr.-Ing. Eckhard Hennig <[email protected]>
Technische Universität Ilmenau, Wintersemester 2012/13
14.12.2012
Analoge Schaltungstechnik ...
... ist eine Wissenschaft für sich:
Wie funktioniert die Schaltung?
Wie muss sie dimensioniert werden?
Warum funktioniert sie nicht?
Welche Elemente oder Parameter sind
für das (Fehl-)Verhalten verantwortlich?
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 2
1.0 E0 1.0 E2 1.0 E4 1.0 E6 1.0 E8 1.0 E10
Frequency
-60
-40
-20
0
20
40
60
edutingaM
HBd
L
H@sD ==gm$M2 gm$M6 VIN1
HGds$M2 + Gds$M4L HGds$M6 + Gds$M7L + CC gm$M6 s
M1 M2
M3 M4
M5M8 M7
M6
M9
VDD
VSS
VDD
IBIASCC 0
CL
v+v– vout
M6
Zeit
0s 5us 10us 15us 20us 25us 30us V(OUT) V(Vin1:+)
-2.0V
0V
2.0V
2
... heute besteht die Herausforderung in der Entwicklung komplexer
elektronischer und mechatronischer (heterogener) Systeme.
Ein guter Schaltungsblock ist erst dann von großem Nutzen, wenn er
sich in ein funktionierendes Systemkonzept einbetten lässt.
Aber ...
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Q: Infineon
Entwurf komplexer Systeme
Fragen
Wie stelle ich sicher, dass ein Systemkonzept funktioniert?
Wie bekomme ich die Komplexität des Systementwurfs in den Griff?
Wie stelle ich sicher, dass ich alle Anforderungen des Kunden an das zu entwerfende System berücksichtigt habe?
Antwort
Durch hierarchische Modellierung und Simulation (modellbasierter Systementwurf)
– Simulierbare Spezifikation
– Systemarchitektur
– Schrittweise Verfeinerung (Top-Down-Entwurf)
– Komponenten-Entwurf
– Systemverifikation (Bottom-Up-Modellierung)
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3
Themen dieser Vorlesung
Systematische Modellierung und Simulation komplexer analoger
elektronischer und heterogener Systeme
Erstellung von simulierbaren Modellen für mechatronische
Systemkomponenten, elektronische Schaltungen und Bauelemente
Aufbau, Funktionsweise, Modellierung und Simulation spezieller
elektronischer Schaltungen und Systeme (PLL, A/D-Wandler)
Wir beschäftigen uns nicht vordergründig mit
– Analogschaltungstechnik auf Transistorebene,
– digitaler Schaltungstechnik, ...
... aber diese Themen betten sich auf natürliche Weise in den
Kontext „Systemmodellierung“ ein.
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Lernziele
Kennen lernen
– der Notwendigkeit und der Grenzen des modellbasierten Entwurfs technischer Systeme
– erforderlicher mathematischer Grundlagen zur Modellierung heterogener Systeme
Erlernen einer systematischen Vorgehensweise zur Erstellung simulierbarer Modelle für komplexe dynamische Systeme
– Top-down-Entwurf und Bottom-up-Modellierung
– Vom Systemkonzept bis hinunter auf die Bauelemente-Ebene
Erwerb von Grundlagenkenntnissen zu Modellierungssprachen und Simulationswerkzeugen für analoge elektronische Schaltungen und heterogene Mixed-Signal-Systeme
– VHDL-AMS
– SystemVision
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4
Einige Begriffe, mit denen wir uns beschäftigen werden ...
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System
analog
digital
mixed-signal dynamisch
Signal N-Tore
verteilt
A/D-Wandler linear
nichtlinear
VHDL-AMS
konservativ nicht-konservativ
diskret
kontinuierlich
Zeit
zeitvariant
zeitinvariant
N-Pole
Umwelt
Element
PLL
Modell
hierarchisch
Domäne
Abstraktion
Simulation
Testbench
Realität
Interaktion
Beschreibungssprache offen
aktiv
geschlossen
heterogen
Kirchhoff-Gleichungen
konzentriert
Stimulus
Signalfluss
Netzwerk
Elementebeziehung
Wert
Zeitbereich
Frequenzbereich
Entwurf
Top-down
Bottom-up
Verhalten Struktur
Flussgröße
Differenzgröße
VCO Filter
Transistor
Modellierung und Simulation analoger Systeme
Was bedeuten diese Begriffe?
– System
– Analog
– Modellierung
– Simulation
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5
Was ist ein System?
Der Begriff ist abgeleitet aus dem griechischen Wort
σύστημα (sýstema) = das Gebilde, das Verbundene
Ein System ist eine Menge von Elementen, die miteinander in
Beziehung/Wechselwirkung stehen und gemeinsam eine
Funktionseinheit bilden, die sich von der Umwelt abgrenzen lässt.
System organisieren und erhalten sich durch Strukturen (strukturlose
Mengen von Elementen werden Aggregate genannt).
Struktur bezeichnet das Muster/die Form der Systemelemente
(Elementestruktur) und ihrer Beziehungen (Verbindungsstruktur).
Q: wikipedia.de
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System vs. Aggregat
System Aggregat
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Umwelt
System
E1
E2
E3
Umwelt
Aggregat
E1
E2 E3
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Ein Beispiel für ein (sehr) komplexes heterogenes System
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Fluggeschwindigkeit Auftrieb
Anströmung Schub
Ruderstellung
Pilot
Fluglage-
regelung Autopilot
Schwerkraft
Ruderservos
Seitenwind
Funk-
kommunikation
Treibstoff-
pumpe
On-Board-
Entertainment Trägheits-
moment
Elektronik
Mechanik
Thermodynamik Hydraulik
Ebenen des Systementwurfs (elektronische Systeme)
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Ver-
arbeitung Inputs Outputs
Q: CSR
Q: UC Berkeley
Spezifikationserfassung
Systempartitionierung
(Funktionsblöcke)
Blockdiagramm
(Signalfluss,
elektrische Ebene)
Schaltung
Funktions-konzept
System-architektur
Subsystem
Komponente
Bauelement Transistor
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Komponente
System-
architektur
Ebenen des Systementwurfs (heterogene Systeme)
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Q: modelica.org
Funktions-
konzept
Subsystem
Ein kleineres Beispiel: Ferngesteuertes Flugzeugmodell
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Seitenruder
Ruderservo
Funkempfänger
Batterie
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Seitenruderanlage des Flugzeugmodells
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Servo
Rudergestänge
Seitenruder
Lastmoment
(Wind)
Sollposition
(Steuerspannung) Energieversorgung
(Batteriespannung)
Modellbasierter Entwurf
Ein Hardware-Entwurf durch Versuch und Irrtum wäre teuer und
zeitaufwändig modellbasierter Entwurf
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Erstellung eines Systemkonzepts
Mathematische Modellierung des Systems und seiner Komponenten
Simulation und Bewertung
Anpassung der Systemparameter
Modellbasierter Entwurf der Funktionsblöcke
Hardware-Entwurf
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Modellierung und Simulation des Rudersystems (1)
Systemkonzept: Identifikation der Eingangs- und Ausgangsgrößen
und der Systemfunktion
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Lastmoment MR2 Steuerspannung Batteriespannung
Ruderwinkel φR
Einstellung des
Ruderwinkels
proportional zur
Steuerspannung
• Steuerspannung
• Batteriespannung
• Last
• Ruderwinkel
Identifikation der Systemkomponenten (Teilsysteme)
„Freischneiden“ der Komponenten, Identifikation der Interfacegrößen
Modellierung und Simulation des Rudersystems (2)
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Rudergestänge
Ruder Servo
Lastmoment MR2
Antriebsmoment MR1 Lastmoment MS, Stellwinkel φS
Antriebsmoment MG1
Stellwinkel φG1
Lastmoment MG2
Stellwinkel φG2
Steuerspannung Batteriespannung
Ruderwinkel φR
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Hierarchische Verfeinerung von Teilsystemen bis zur gewünschten
Detaillierungstiefe
Modellierung und Simulation des Rudersystems (3)
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Servo
Lastmoment MS
Stellwinkel φS
Steuer-
spannung
Batteriespannung
+
–
Verstärker
Elektromotor Getriebe
Potentiometer
(Drehwinkelmessung)
Einachsige Mechanik
Mechanisches (Teil-)System, in dem alle Kräfte, Verschiebungen,
Drehmomente, Drehwinkel entlang einer Koordinatenachse
ausgerichtet sind
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Q: S. Porter, www.motionsystemdesign.com
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Rechtskoordinatensystem (Korkenzieherregel)
Positive Referenzrichtungen für Flussgrößen (Momente Mi) an den
Schnittstellen von Elementen: jeweils in das Element hinein zeigend
Positive Referenzrichtung für Differenzgrößen (Winkel φi bzw.
Winkelgeschwindigkeiten ωi): gemäß gewählter Block-
Referenzrichtung
Einachsige rotatorische Mechanik: Referenzrichtungen
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x
y
z M, ω, φ
ω1, φ1
M1
ω2, φ2
M2 Welle
Rotatorische Referenz
(„Masse“)
Block-Referenzrichtung
für ω, φ
Referenzrichtungen für M
Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:
Rudergestänge
Referenzbepfeilung
Modellierung und Simulation des Rudersystems (4)
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Rudergestänge
Antriebsmoment MG1
Stellwinkel φG1
Lastmoment MG2
Stellwinkel φG2
2 1
2 1
G G
G G
M M
Gleiche Schenkellängen,
verlustfreie Übertragung von
Moment und Stellwinkel
φG2
MG2
φG1
MG1
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Mathematische Modellierung der Systemkomponenten: Ruder
Referenzbepfeilung
Modellierung und Simulation des Rudersystems (4)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 23
R R RM K
Lastmoment durch Luftstrom
proportional zu Ruderwinkel,
Proportionalitätskonstante KR
MR
φR φR
MR
Ruder
Lastmoment MR
Ruderwinkel φR
Wind
Modellierung und Simulation des Rudersystems (5)
Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:
Servo Verstärker
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 24
0 1 2
1
2
( )
0
0
0
A
A B
u A u u
i i
i
i
+
–
u1
u2
uB
uA
iB
i1
i2
iA
Linearer Spannungsverstärker mit Verstärkungsfaktor A0;
Idealisierung: Betriebsstrom (iB) = Ausgangsstrom (-iA)
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Modellierung und Simulation des Rudersystems (6)
Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:
Servo Elektromotor
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 25
22 1 2
11 2 1
M
M
dM K i D J
dt
diu K Ri L
dt
Elektromotor mit Drehmomentkonstante KM,
Trägheitsmoment J, Reibungskoeffizient D,
Windungsinduktivität L, Serienwiderstand R
u1
i1
M2
ω2
Modellierung und Simulation des Rudersystems (7)
Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:
Servo Getriebe
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 26
2 1
1 2
G
G
K
M K M
Verlustfreies Getriebe mit Übersetzungsfaktor KG;
das Vorzeichen von KG bestimmt, ob An- und Abtrieb gleichsinnig (KG > 0)
oder gegensinnig (KG < 0) laufen.
M1
ω1
M2
ω2 , φ2
21
1 2
G
G
dK
dt
M K M
oder
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Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:
Servo Potentiometer
Modellierung und Simulation des Rudersystems (7)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 27
1
1 0
A Pu K
M
Proportionale Wandlung Drehwinkel Spannung mit
Proportionalitätskonstante KP
φ1
iA
uA
M1
Benennung (Durchnummerierung) der Systemvariablen
Modellierung und Simulation des Rudersystems (8)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 28
i0
u0= UB
+
– u2
u3
u4
u5
i4
i2
i3
i5
u6
i6
M1
ω1
M5
φ5
M6
φ6
M7
φ7
i1
u1= UCtrl
φ4
i7
u7
M4
M2
ω2
M3
φ3
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Modellierung und Simulation des Rudersystems (9)
Aufstellung der Elementebeziehungen in den Systemvariablen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 29
0
1
5 0 2 3
4 5
2
3
66 1 6
11 6 1
( )
0
0
0
B
Ctrl
M
M
u U
u U
u A u u
i i
i
i
diu K Ri L
dt
dM K i D J
dt
32
2 3
4
7 4
6 5
6 5
7 7
0
G
G
P
R
dK
dt
M K M
M
u K
M M
M K
Modellierung und Simulation des Rudersystems (10)
Aufstellung der strukturellen Zwangsbedingungen
Flussgrößen Differenzgrößen
(Knotengleichungen) (Maschengleichungen)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 30
1 2
0 4
3 7
5 6
1 2
3 4 5
6 7
0
0
0
0
0
0
0
i i
i i
i i
i i
M M
M M M
M M
1 2
0 4
5 6
3 7
1 2
3 4
3 5
6 7
0
0
0
0
0
0
0
0
u u
u u
u u
u u
16
Modellierung und Simulation des Rudersystems (11)
Plausibilitätscheck: Anzahl der Variablen = Anzahl der Gleichungen?
30 Variablen
– i0..7 (8)
– u0..7 (8)
– M1..7 (7)
– ω1..2 (2)
– φ3..7 (5)
30 Gleichungen
– 15 Elementebeziehungen
– 7 Knotengleichungen
– 8 Maschengleichungen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 31
Modellierung und Simulation des Rudersystems (12)
Das vollständige mathematische Modell des Systems ist damit ein
Algebrodifferential-Gleichungssystem (DAE) in 30 Variablen.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 32
0
1
5 0 2 3
4 5
2
3
66 1 6
11 6 1
( )
0
0
0
B
Ctrl
M
M
u U
u U
u A u u
i i
i
i
diu K Ri L
dt
dM K i D J
dt
32
2 3
4
7 4
6 5
6 5
7 7
0
G
G
P
R
dK
dt
M K M
M
u K
M M
M K
1 2
0 4
3 7
5 6
1 2
3 4 5
6 7
0
0
0
0
0
0
0
i i
i i
i i
i i
M M
M M M
M M
1 2
0 4
5 6
3 7
1 2
3 4
3 5
6 7
0
0
0
0
0
0
0
0
u u
u u
u u
u u
17
Modellierung und Simulation des Rudersystems (13)
Zur Simulation des Rudersystems benötigen wir
1. Testkonfiguration (Testbeschaltung und Stimuli)
2. Numerische Werte für die Modellparameter
3. Einen Simulator (Differentialgleichungslöser)
4. Eine Notationsform für die Gleichungen (Beschreibungssprache), die der
Simulator verarbeiten kann
Testkonfiguration
– Hier: in den Modellgleichungen enthalten (Steuerspannung, Lastmoment)
– Anregung:
Parameterwerte
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 33
0 sin(2 )CtrlU A ft
2
0
Nm5 V 1Hz K 3 0,5
A
0,1V 1 5 Nms 0,2 V
1000 40 H 1 Nms 0,1N
B M G
C P
R
mU f K
U R D K
A L J K
Modellierung und Simulation des Rudersystems (14)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 34
Mentor Graphics SystemVision: Schaltungs- und Systemsimulation
mit SPICE und VHDL-AMS
Kostenlose Demoversion verfügbar
– Eingeschränkt auf 30 analoge Variablen und 100 digitale Signale
– URL: http://www.mentor.com/products/sm/download/systemvision-eval
18
Modellierung und Simulation des Rudersystems (15)
Beschreibung des Modells in VHDL-AMS
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 35
-- RC airplane rudder system library IEEE; use IEEE.math_real.all; entity rudder_system is generic ( A0: real := 1000.0; UB: real := 5.0; R: real := 1.0; L: real := 4.0e-5; Km: real := 3.0e-3; D: real := 5.0e-6; J: real := 1.0e-6; Kg: real := 0.5; Kp: real := -0.2; Kr: real := 0.1; Uc: real := 0.1; freq: real := 1.0 ); end entity rudder_system;
architecture equations of rudder_system is quantity i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7 : real; quantity u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 : real; quantity M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 : real; quantity w1, w2, w3 : real; quantity phi3, phi4, phi5, phi6, phi7 : real; begin -- Constitutive equations u1 == Uc*sin(math_2_pi*f*now); u5 == A0*(u2 - u3); i4 + i5 == 0.0; i2 == 0.0; i3 == 0.0; u6 == -Km*w1 + R*i6 + L*i6'dot; M1 == Km*i6 + D*w1 + J*w1'dot; phi3'dot == Kg*w2; M2 == -Kg*M3; M4 == 0.0; u7 == Kp*phi4; M6 == -M5; phi6 == phi5; M7 == Kr*phi7;
-- Node equations i1 + i2 == 0.0; i0 + i4 == 0.0; i3 + i7 == 0.0; i5 + i6 == 0.0; M1 + M2 == 0.0; M3 + M4 + M5 == 0.0; M6 + M7 == 0.0; -- Loop equations -u1 + u2 == 0.0; -u0 + u4 == 0.0; -u5 + u6 == 0.0; -u3 + u7 == 0.0; -w1 + w2 == 0.0; -phi3 + phi4 == 0.0; -phi3 + phi5 == 0.0; -phi6 + phi7 == 0.0; end architecture equations;
Modellierung und Simulation des Rudersystems (16)
Beschreibung des Modells in VHDL-AMS: Deklaration
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 36
-- RC airplane rudder system library IEEE; use IEEE.math_real.all; entity rudder_system is generic ( A0: real := 1000.0; UB: real := 5.0; R: real := 1.0; L: real := 4.0e-5; Km: real := 3.0e-3; D: real := 5.0e-6; J: real := 1.0e-6; Kg: real := 0.5; Kp: real := -0.2; Kr: real := 0.1; Uc: real := 0.1; freq: real := 1.0 ); end entity rudder_system;
architecture equations of rudder_system is quantity i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7 : real; quantity u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 : real; quantity M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 : real; quantity w1, w2, w3 : real; quantity phi3, phi4, phi5, phi6, phi7 : real; begin -- Constitutive equations u1 == Uc*sin(math_2_pi*f*now); u5 == A0*(u2 - u3); i4 + i5 == 0.0; i2 == 0.0; i3 == 0.0; u6 == -Km*w1 + R*i6 + L*i6'dot; M1 == Km*i6 + D*w1 + J*w1'dot; phi3'dot == Kg*w2; M2 == -Kg*M3; M4 == 0.0; u7 == Kp*phi4; M6 == -M5; phi6 == phi5; M7 == Kr*phi7;
-- Node equations i1 + i2 == 0.0; i0 + i4 == 0.0; i3 + i7 == 0.0; i5 + i6 == 0.0; M1 + M2 == 0.0; M3 + M4 + M5 == 0.0; M6 + M7 == 0.0; -- Loop equations -u1 + u2 == 0.0; -u0 + u4 == 0.0; -u5 + u6 == 0.0; -u3 + u7 == 0.0; -w1 + w2 == 0.0; -phi3 + phi4 == 0.0; -phi3 + phi5 == 0.0; -phi6 + phi7 == 0.0; end architecture equations;
-- Kommentar
Referenzen auf
Library-Elemente
Interface-Deklaration
(entity)
Parameterliste
Modellparameter mit
Typ-Deklaration und
Default-Wert
Abschluss der
Interface-Deklaration
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Modellierung und Simulation des Rudersystems (17)
Beschreibung des Modells in VHDL-AMS: Implementierung
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 37
-- RC airplane rudder system library IEEE; use IEEE.math_real.all; entity rudder_system is generic ( A0: real := 1000.0; UB: real := 5.0; R: real := 1.0; L: real := 4.0e-5; Km: real := 3.0e-3; D: real := 5.0e-6; J: real := 1.0e-6; Kg: real := 0.5; Kp: real := -0.2; Kr: real := 0.1; Uc: real := 0.1; freq: real := 1.0 ); end entity rudder_system;
architecture equations of rudder_system is quantity i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7 : real; quantity u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 : real; quantity M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 : real; quantity w1, w2, w3 : real; quantity phi3, phi4, phi5, phi6, phi7 : real; begin -- Constitutive equations u1 == Uc*sin(math_2_pi*f*now); u5 == A0*(u2 - u3); i4 + i5 == 0.0; i2 == 0.0; i3 == 0.0; u6 == -Km*w1 + R*i6 + L*i6'dot; M1 == Km*i6 + D*w1 + J*w1'dot; phi3'dot == Kg*w2; M2 == -Kg*M3; M4 == 0.0; u7 == Kp*phi4; M6 == -M5; phi6 == phi5; M7 == Kr*phi7;
-- Node equations i1 + i2 == 0.0; i0 + i4 == 0.0; i3 + i7 == 0.0; i5 + i6 == 0.0; M1 + M2 == 0.0; M3 + M4 + M5 == 0.0; M6 + M7 == 0.0; -- Loop equations -u1 + u2 == 0.0; -u0 + u4 == 0.0; -u5 + u6 == 0.0; -u3 + u7 == 0.0; -w1 + w2 == 0.0; -phi3 + phi4 == 0.0; -phi3 + phi5 == 0.0; -phi6 + phi7 == 0.0; end architecture equations;
Deklaration einer (von
beliebig vielen) Imple-
mentierungen der entity
Deklaration von
zeitkontinuierlichen
Variablen Zeit t
Beginn der Modell-
implementierung
Eine Differential-
gleichung
Abschluss der Modell-
implementierung
Simultane
Gleichungen
Modellierung und Simulation des Rudersystems (18)
Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s
Alles in Ordnung ... oder vielleicht auch nicht?
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 38
20
Modellierung und Simulation des Rudersystems (19)
Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s bei begrenzter Motorspannung
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 39
Modellierung und Simulation des Rudersystems (20)
Die Erstellung bzw. Modifikation des Simulationsmodells für das
Rudersystem auf die gezeigte Weise ist äußerst mühsam und
fehleranfällig.
Besser:
– Komponentenorientierte Modellierung mittels N-Tor-Beschreibungen
– Netzlistenbasierte Strukturbeschreibung des Systems
– Automatische Aufstellung der Erhaltungsgleichungen für die
Verbindungsstruktur (verallgemeinerte Kirchhoff-Regeln) durch den
Simulator
Was das bedeutet und wie das geschieht werden wir im Folgenden
genauer untersuchen.
Aber zunächst zurück zu einigen grundlegenden Begriffen und
Methoden zum Thema „Systeme und Modellierung“ ...
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 40
21
Modellierung und Simulation analoger Systeme
Was bedeuten diese Begriffe?
– System
– Analog
– Modellierung
– Simulation
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 41
Systeme und Signale
Die Interaktion zwischen Komponenten physikalischer (technischer)
System erfolgt über Signale.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 42
Umwelt
System
E1
E2
E3
Eingangssignal
(Input)
Ausgangssignal
(Output)
Interne Signale
22
Signale (1)
Ein Signal ist der (informationstragende) Zeitverlauf einer messbaren
Größe in einem System.
Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 43
Zeitkontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal
f
t
( );
: ,n
f f t t
f n
( ); ,
: ,
k k
n
f f t k t
f n
f
t tk
fk
Signale können wertkontinuierlich oder wertdiskret sein.
Signale (2)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 44
Wertdiskrete Signale Wertkontinuierliche Signale
f
t tk
fk
f
t
f
t
f
t tk
fk
23
Signale (3)
Wertkontinuierliche Signale werden als analoge Signale bezeichnet.
Analoge Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 45
Zeitkontinuierliches analoges Signal Zeitdiskretes analoges Signal
f
t
f
t tk
fk
Ein zeit- und wertdiskretes Signal, dessen Wertemenge endlich ist,
heißt n-äres oder digitales Signal.
Ein digitales Signal, dessen Wertemenge aus zwei Elementen
besteht, heißt binäres Signal (oder elementares digitales Signal).
Signale (4)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 46
Binäres Signal
f
t tk
fk
f
t tk
fk
Digitales Signal
24
Definition: analoge und digitale Systeme
Ein System, dessen Komponenten über analoge Signale
interagieren, heißt analoges System.
Ein System, dessen Komponenten über digitale Signale interagieren,
heißt digitales System.
Systeme, die sowohl analoge als auch digitale Signale verarbeiten,
werden in der Elektrotechnik üblicherweise als Mixed-Signal-
Systeme bezeichnet.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 47
Einordnung analoger und digitaler Systeme
Zeit-
Wert-
kontinuierlich diskret
kontinuierlich
diskret
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 48
Analoge Systeme
Digitale
Systeme
Signale
25
Modellierung, Modell
Modellierung ist eine zielgerichtete Vereinfachung der Realität durch
Abstraktion.
In unserem Sinne ist ein Modell ist eine formale (mathematische)
Beschreibung eines abstrahierten Systemverhaltens.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 49
Q: B. Binninger, RWTH Aachen, 2005
Definition Modell nach Minsky (1965)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 50
Q: B. Binninger, RWTH Aachen, 2005
26
Modellbildung durch Abstraktion in zwei Schritten
1. Strukturelle Abstraktion
– Identifikation abgrenzbarer Teile und ihrer Verknüpfungen des
betrachteten Systems
– Qualitatives Wissen
2. Phänomenologische Abstraktion
– Identifikation der physikalischen Vorgänge, welche in den Teilsystemen
und deren Verknüpfungen ablaufen
– Quantitatives Wissen
Q: B. Binninger, RWTH Aachen, 2005
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 51
Definition des Begriffs Simulation
Definition nach VDI-Richtlinie 3633
Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit
seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren
Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit
übertragbar sind.
Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten,
Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem
Simulationsmodell verstanden.
Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten
komplexer Systeme untersucht werden.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 52
27
Modellierung und Simulation analoger Systeme
Was bedeuten diese Begriffe?
– System
– Analog
– Modellierung
– Simulation
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 53
Definitionen: dynamisches System, Zustand
Ein dynamisches System ist ein System, dessen Zustand 𝑠(𝑡) („state“) zu einem zukünftigen Zeitpunkt 𝑡 > 𝑡0 vom aktuellen
Zustand 𝑠(𝑡0) zum Zeitpunkt 𝑡0 abhängig ist.
Der Zustand 𝑠 eines Systems ist ein Punkt in seinem
Zustandsraum 𝑆:
𝑠 ∈ 𝑆
Der Zustandsraum wird aufgespannt durch eine Menge von
unabhängigen Koordinaten, mit denen das Systemverhalten
vollständig beschrieben werden kann.
Mathematische Definition: ein dynamisches System ist eine Regel 𝑅
für die Evolution eines Zustands innerhalb eines Zustandsraums 𝑆
über einer Menge von Zeiten 𝑇.
𝑅: 𝑆 × 𝑇 → 𝑆 𝑠 𝑡 ∈ S; t ∈ 𝑇
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 54
28
Eigenschaften dynamischer Systeme
Dynamische Systeme werden durch Anfangswertprobleme
beschrieben, d.h. Differential- bzw. Differenzengleichungen mit
gegebenen Anfangswerten 𝑠 𝑡0 = 𝑠0.
𝐹 𝑠, 𝑠 , 𝑥, 𝑡 = 0
Ein dynamisches System heißt deterministisch, wenn jeder
zukünftige Zustand 𝑠(𝑡), 𝑡 > 𝑡0 eindeutig durch 𝑠(𝑡0), 𝑡 und den
Verlauf der Eingangssignale 𝑥(𝑡) bestimmt ist.
Beobachtung
– Ein dynamisches Systeme hat ein „Gedächtnis“ – sein aktueller Zustand
ist eine Folge der Zustände aus seiner Vergangenheit.
– In physikalischen Systemen wird die Gedächtnisfunktion durch
Speichermedien für potentielle und kinetische Energie repräsentiert
(Kapazitäten, Induktivitäten, Druckspeicher, Federn, Massen, ...)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 55
Dynamisches System: Beispiel RLC-Schwingkreis
Zustandsraum
Zustand
Übergangsregel R
(= Zustandsgleichungen F)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 56
R L
C
iL
uC U0(t)
( ) ( ), ( )C Ls t u t i t
span( , )C LS u i
0
100
11
C C
L L
u ud CU
i idt RL
L L
29
RLC-Schwingkreis: Simulation, Zustandsraum
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 57
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75
V$3 t
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
I$L t
uC
iL Trajektorie im Zustandsraum
20 40 60 80 100
t
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
20 40 60 80 100
t
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
20 40 60 80 100t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
U0
uC
iL
t
t
t
00.1; 1; 1; ( ) ( 10)
(0) 0; (0) 0c L
R L C U t t
u i
Signaldomänen
Signale, die physikalische Messgrößen im Sinne von Energien bzw.
Energieflüssen repräsentieren, können einer Energiedomäne bzw.
Signaldomäne zugeordnet werden.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 58
Energie-/Signaldomäne Dimensionen
Elektrisch Spannung, Strom, Ladung, magnetischer
Fluss
Mechanisch (translatorisch) Kraft, Weg, Geschwindigkeit
Mechanisch (rotatorisch) Moment, Drehwinkel,
Winkelgeschwindigkeit
Hydraulisch/pneumatisch Druck, Volumenstrom, Speichervolumen
Thermisch Temperatur, Entropiefluss, Wärmefluss
Optisch Lichtstrom, Leuchtdichte, ...
... ...
30
Definition: heterogenes System
Ein System, dessen Komponenten über Signale aus mehreren
Signaldomänen interagieren, heißt heterogenes System.
Beispiel: das Rudersystem für das Modellflugzeug
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 59
Mechanische Signale
(rotatorisch) Elektrische Signale
i0
u0= UB
+
–u2
u3
u4
u5
i4
i2
i3i5
u6
i6
M1
ω1
M5
φ5
M6
φ6
M7
φ7
i1
u1= UCtrl
φ4
i7
u7
M4
M2
ω2
M3
φ3
Weitere Systemeigenschaften
Ein System heißt ...
offen, wenn es mit seiner Umwelt interagiert.
geschlossen, wenn es nicht mit seiner Umwelt interagiert.
autonom, wenn es nur Ausgangssignale liefert aber keine Eingangssignale verarbeitet (Beispiel: Oszillator).
konzentriert, wenn seine Signale nur Funktionen der Zeit aber nicht des Orts sind (Beschreibung durch gewöhnliche Differentialgleichungen)
verteilt, wenn seine Signale Funktionen der Zeit und des Orts sind (Beschreibung durch partielle Differentialgleichungen)
zeitvariant/zeitinvariant, wenn sein Verhalten vom Zeitpunkt der Betrachtung abhängt/nicht abhängt.
konservativ/nicht-konservativ (siehe folgende Seiten)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 60
31
Definition: konservatives System (Physik)
Allgemeine Definition in der Physik: ein System heißt konservativ,
wenn es energieerhaltend (nicht-dissipativ; verlustfrei) ist.
Beispiel: ideales Pendel im Vakuum
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 61
m
g
φ 1 2 3 4
t
-1
-0.5
0.5
1
Definition: konservatives System (Modellierung)
Ein System heißt konservativ, wenn jedem Anschluss bzw. jedem
Klemmenpaar seiner Komponenten ein Paar von Signalen
zugeordnet ist, deren Produkt eine Leistung (Energiefluss) darstellt,
und das Verbindungsnetzwerk Energie(fluss) erhaltend ist.
Charakteristisch für konservative Systeme ist der bidirektionale
Signalfluss (gegenseitige Rückwirkung von Komponenten)
Beispiele: elektrische und hydraulische Netzwerke
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 62
Q: www.free-online-private-pilot-ground-school.com
R
C
i1
u3 U0(t)
i2
u1
i3 u2
k k kP u i
32
Definition: nicht-konservatives System
Repräsentieren die Interaktionen der Komponenten abstrakte
Signalflüsse, so wird ein System als nicht-konservativ bezeichnet.
Charakteristisch für nicht-konservative Systeme ist der
unidirektionale Signalfluss (Rückwirkungsfreiheit der Komponenten)
Das Verbindungsnetzwerk unterliegt keinen Erhaltungsgleichungen.
Beispiele für nicht-konservative Systeme
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 63
clock_1
(1 µs, 50%, 2 µs)
clk_1
clock_2
(1.3 µs, 75%,2.5 µs)
clk_2
and2_1
(100 ns) dout
inv_1
(100 ns)
clk_2q
Digitale Logikschaltungen Regelungstechnische
Blockdiagramme
H1(s) X(s)
H2(s)
+ Y(s)
z1 z2 z3
z4
Aufstellung der Modellgleichungen für nicht-konservative
Systeme
1. Weise jedem Knoten k (= Ausgang der k-ten Komponente) eine
eindeutige Variable zk zu.
2. Schreibe alle Ausgangsgrößen zk als Funktion der Eingangsgrößen.
𝑧𝑘 = 𝑓(𝑧ℎ, 𝑧𝑖 , 𝑧𝑗)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 64
f(zh, zi, zj)
zh
zi
zj
zk
33
Beispiel: regelungstechnisches Blockschaltbild
Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System)
Gleichungssystem
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 65
H1(s) X(s)
H2(s)
+ Y(s)
z1 z2 z3
z4
1
2 1 4
3 1 2
4 2 3
( )
( )
( )
z X s
z z z
z H s z
z H s z
Beispiel: Logikschaltung
Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System)
Gleichungssystem
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 66
1 clock1
2 clock2
2 2
1 2
clk
clk
clk q clk
dout clk clk q
clock_1
(1 µs, 50%, 2 µs)
clk_1
clock_2
(1.3 µs, 75%,
2.5 µs)
clk_2
and2_1
(100 ns) dout
inv_1
(100 ns)
clk_2q
34
Fluss- und Differenzgrößen in konservativen Systemen
Charakteristisch für konservative Systeme ist die Verknüpfung
jedes Anschlusses (Klemme) eines Elements bzw. Tors des
Verbindungsnetzwerks mit einer Flussgröße Φ und einer
Differenzgröße Δ, für die Erhaltungsgleichungen (Kirchhoffsche
Gesetze) gelten.
Beispiel: elektrisches Netzwerk
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 67
R Δ 2 = u 2
Φ2 = i 2
Δ 1 = u 1
Φ1 = i 1
1 2
1 2
0
0
Fluss- und Differenzgrößen
Eine Differenzgröße (effort; across quantity) ist eine Größe, die zwischen zwei Punkten im System bzw. mit Referenz auf einen Bezugspunkt gemessen wird.
Eine Flussgröße (flow; through quantity) repräsentiert Kräfte oder Stofftransporte durch eine Komponente bzw. entlang einer Verbindung zwischen Komponenten; sie kann nur durch das Aufschneiden der Verbindung direkt sichtbar gemacht werden.
Anmerkung: Flussgrößen werden oft indirekt mit Hilfe von Differenzgrößenmessungen bestimmt:
– Messung eines elektrischen Stroms I über die Spannung U an einem Serienwiderstand
– Messung eines Volumenstroms J in einem Rohr über die Durchflussgeschwindigkeit v
– Messung einer Kraft F über die Auslenkung Δx einer Feder
– Messung eines Moments M über den Drehwinkel Δφ einer Torsionsfeder
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 68
35
Fluss- und Differenzgrößen in verschiedenen
Energiedomänen
Das Produkt aus korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen
hat die Dimension einer Leistung (power conjugate quantities).
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 69
Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung P
[W]
Elektrisch Strom I [A] Spannung U [V] P = UI
Mechanisch
(translatorisch)
Kraft F [N] Geschwindigkeit v [m/s] P = Fv
Mechanisch
(rotatorisch)
Moment M
[Nm]
Winkelgeschwindigkeit ω
[1/s]
P = Mω
Hydraulisch Volumenstrom
J [m3/s]
Druck p [N/m2]
P = pJ
Thermisch Entropiefluss S
[J/(Ks)]
Temperaturdifferenz ΔT
[K]
P = SΔT
Alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare
Aus praktischen Gründen werden für mechanische und thermische
Systeme auch alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare
verwendet
Der Leistungsfluss ergibt sich jedoch nicht aus dem Produkt der
korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 70
Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung [W]
Mechanisch
(translatorisch)
Kraft F [N] Auslenkung Δx [m] P = F dx/dt
Mechanisch
(rotatorisch)
Moment M
[Nm]
Winkel Δφ [1] P = M dφ/dt
(Pseudo-)
Thermisch
Wärmestrom Φ
[J/s]
Temperaturdifferenz ΔT
[K]
P = Φ
36
Themenbereiche für diese Vorlesung
Wir beschäftigen uns in erster Linie mit heterogenen, analogen,
dynamischen Systemen.
Diese können konservativ oder nicht-konservativ sein.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 71
Mathematische Grundlagen der Systemanalyse:
Laplace-Transformation
Motivation: wozu brauchen wir die Laplace-Transformation?
Definition des Begriffs „Transformation“
Definition der Laplace-Transformation
Eigenschaften der Laplace-Transformation (Rechenregeln)
Rücktransformation in den Zeitbereich
Anwendung der Laplace-Transformation auf die Analyse linearer
dynamischer Systeme
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 72
37
Laplace-Transformation: Motivation (1)
Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) werden durch lineare
Differentialgleichungssysteme (bzw. DAE-Systeme) mit konstanten
Koeffizienten beschrieben.
Die Lösung solcher Gleichungen im Zeitbereich ist mühsam
( Diagonalisierung, Eigenwerte, Matrix-Exponentialfunktion, ...)
Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann die Lösung eines
linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten
in ein einfaches algebraisches Problem transformiert werden, das
mit den Mitteln der linearen Algebra lösbar ist.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 73
R L
C
iL
uCU0(t)
0
100
11
C C
L L
u ud CU
i idt RL
L L
Laplace-Transformation: Motivation (2)
Die Laplace-Transformation berücksichtigt Anfangsbedingungen und
erlaubt damit die Lösung linearer Anfangswertprobleme:
Die Laplace-Transformation kann als Transformation von
Zeitfunktionen in den Frequenzbereich interpretiert werden. Dies
ermöglicht die Analyse des Frequenzverhaltens von LTI-Systemen
( Übertragungsfunktionen).
Damit ist die Laplace-Transformation eins der wichtigsten
mathematischen Werkzeuge in der Nachrichten- und
Regelungstechnik.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 74
0
100
11
C C
L L
u ud CU
i idt RL
L L
0
0
(0)
(0)
CC
LL
uu
ii
38
Laplace-Transformation: Analyse von LTI-Systemen im
Frequenzbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 75
Time domain
Laplace/ Fouriertransform (*)
s/ jw domain
algebraic equations
solution v(t)
V(s)
inverse
transformation
“ frequency domain”
(*) also z-transform
equations
differential
è digital filters
Q: R. Sommer, TU Ilmenau, 2008
Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (1)
Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von einer Punktmenge
auf eine andere Punktmenge.
Beispiel:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 76
( )x f x
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
f(x)
2( )f x x
39
Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (2)
Eine Transformation ist eine Abbildung einer Funktion auf eine
andere Funktion.
Beispiel
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 77
-1 -0.5 0.5 1
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
( ) ( )f t F
t
f(t) |F(ω)|
-30 -20 -10 10 20 30
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ω
( ) ( ) j tF f t e dt
Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (3)
Eine Funktional ist eine Abbildung einer Funktion auf einen Punkt.
Beispiel
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 78
( )f t z
-1 -0.5 0.5 1
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)
( )z f t dt
1z
40
Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (4)
Eine Funktion
ist von exponentieller Ordnung σ, wenn
In Worten: Eine Funktion f ist von exponentieller Ordnung, wenn es
eine Exponentialfunktion gibt, die punktweise eine obere Schranke
für den Betrag von f darstellt.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 79
0:f
0
( ) t
M tf t M e
Laplace-Transformation: Voraussetzungen
f(t) ist von exponentieller Ordnung σ
f(t) = 0 für t < 0
f(t) besitzt eine endliche Anzahl von Minima und Maxima in jedem
beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞
f(t) besitzt eine endliche Anzahl von endlichen Unstetigkeiten in
jedem beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 80
-1 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0.5
1
-1 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0.5
1
Q: J. Achenbach, Analoge und digitale Filter und Systeme, 1991
f(t) g(t)
t t
( ) ( 1)f t t ( ) sintg t e t
41
Laplace-Transformation: Transformationsvorschrift
Die (einseitige) Laplace-Transformation von f(t) ist definiert durch
mit komplexer Frequenz
Schreibweise für Transformationsbeziehung zwischen Funktionen im
Zeit- und Frequenzbereich:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 81
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
;s
s j
( ) ( )f t F s
Laplace-Transformation: Einige Korrespondenzen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 82
1
1
1
0 2 2
0
00 2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1
1( )
!( ); 0,1,2,...
1( )
!( )
( )
cos( ) ( )
sin( ) ( )
n
n
at
n at
n
f t F s F s f t
t
ts
nt t n
s
e ts a
nt e t
s a
st t
s
t ts
42
Laplace-Transformation: Rücktransformation
Die Rücktransformation erfordert die Berechnung eines
Kurvenintegrals in der komplexen s-Ebene.
In der Praxis wird für Hin- und Rücktransformation die
Korrespondenztabelle verwendet.
Dazu ist die Kenntnis der Sätze der Laplace-Transformation
notwendig.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 83
1 1
( ) ( ) lim ( )2
jA
st
AjA
f t F s F s e dsj
Laplace-Transformation: Einige Sätze
Linearität
Verschiebung und Streckung im Zeitbereich
Differentiation
Faltung
Integration
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 84
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )af t bf t aF s bF s
1
( ) ( )b
sa
sf at b e F
a a
( 1)
1
( ) ( ) (0)n n
n n k k
nk
df t s F s s f
dt
( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s
0
1( ) ( )
t
f d F ss
43
Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation
und Integration
Es seien D der Differentialoperator und D-1 der inverse
Differentialoperator (Integrationsoperator) im Zeitbereich:
Es sei F(t) eine Stammfunktion von y(t):
Nach den Sätzen der Laplace-Transformation gilt:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 85
1
0
: ; :t
dD D d
dt
1
( ) ( ) (0)
1( ) ( )
D y t sY s y
D y t Y ss
0
( ) ( ) '( ) ( )t
F t y t dt F t y t
Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation
und Integration
Verknüpfung der Operationen: Differentiation, danach Integration
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 86
1
00
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) (0)t
tD D y t y d y y t y
1 (0)
( ) (0) ( ) ( ) (0); 0y
sY s y Y s y t y ts s
44
Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation
und Integration
Verknüpfung der Operationen: Integration, dann Differentiation
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 87
1
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (0) ( )
ttd d
D D y t y d Fdt dt
d dF t F y t
dt dt
0
0
1( ) (0) ( ) ( )s Y s F Y s y d
s( ); 0y t t
Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation
und Integration; Schlussfolgerungen
Anfangsbedingungen y(0) bzw. F(0) werden in beiden
Verknüpfungsrichtungen korrekt berücksichtigt.
Konsequenz: im Laplace-Frequenzbereich darf mit dem
Differentialoperator s und dem Integrationsoperator s-1 = 1/s
algebraisch gerechnet werden (Multiplikation, Division, Kürzen):
Anmerkung: dies gilt nicht für den D-Operator im Zeitbereich!
Damit können mit Hilfe der Laplace-Transformation lineare
Anfangswertprobleme mit algebraischen Mitteln gelöst werden.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 88
1
1
1
1
1
1
s
s
s s s
s s s
45
Laplace-Transformation: Lösung linearer
Anfangswertprobleme
Gegeben sei das Anfangswertproblem (AWP)
mit
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 89
( ) ( 1)
1 1 0
( ) ( )
1 1 0
...
...
n n
n n
m n
m m
a y a y a y a y
b x b x b x b x
( )
,0
( )
,0
(0) ; ; 0...
(0) ; ; 0...
0
i
i i
j
j j
y y a i n
x x b j m
t
Laplace-Transformation: Lösung linearer
Anfangswertprobleme
Unter Verwendung der Sätze zur Linearität und zur Differentiation
lautet die Laplace-Transformierte des AWP:
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1
1 1 0 ( 1),0
0 1
1
1 1 0 ( 1),0
0 1
... ( )
... ( )
n in n i k
n n i k
i k
jmm m j k
m m j k
j k
a s a s a s a Y s a s y
b s b s b s b X s b s x
46
Laplace-Transformation: Lösung linearer
Anfangswertprobleme
Lösung des Problems durch algebraische Auflösung der Gleichung
nach Y(s), anschließend Rücktransformation in den Zeitbereich.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 91
1
1 1 0
1
1 1 0
( 1),0 ( 1),010 0 1
1
1 1 0
...( ) ( )
...
...
m m
m m
n n
n n
jin mi k j k
i k j kki j k
n n
n n
b s b s b s bY s X s
a s a s a s a
a s y b s x
a s a s a s a
Übertragungsfunktion H(s)
Laplace-Transformierte der Nullzustandsantwort
Laplace-Transformierte der Nulleingangsantwort
Laplace-Transformation: Lösung linearer
Differentialgleichungssysteme
Gegeben sei ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung:
Die Laplace-Transformation des DGl-Systems ergibt ein lineares
Gleichungssystem (Lösung durch Gauß- Verfahren, Cramersche
Regel, etc.)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 92
1 1 111 12 1
2 21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nnn n n
y y ba a a
y a a a y bx
a a ay y b
y y bA
( ) (0) ( ) ( )
( ) ( ) (0)
s s s X s
s s X s
Y y AY b
E A Y b y
47
Laplace-Transformation: Beispiel Einschaltvorgang
Zustandsgleichungen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 93
1 11 1
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
( )
1 1 0
4 4 4 ( )
1 1 0
C C
C C
C C
C C
RC RCu u I t
u u
RC RC
u u I t
u u
1
2
0
1 0
2
1
1
4
1
( )
(0)
(0) 0
C
C
R
C
C
I t I
u U
u
R
C2
uC2
I0
uC1
C1
t = 0 t = 0
Laplace-Transformation: Beispiel Einschaltvorgang
Laplace-Transformation der Zustandsgleichungen
Lösung der linearen Gleichungen, Partialbruchzerlegung
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 94
1 1
2 2
4 4 4 ( )
1 1 0
C C
C C
u u I t
u u
1 0
2
4( )4 4
( )1 1 00
(0)( ) ( )
C
C
IU ss U
sU ss
s s syE A Y X
1
1 0
2
1
0 0
2
0 0
2
4( ) 4 4
( ) 1 1 00
(0)( ) ( ) ( )
44 16 16
5 25 25( 5) 5( 5) 5
4 4 4
5 25 25( 5) 5( 5) 5
C
C
IU s s U
sU s s
s s s
U UI I I
s s s s s
U UI I I
s s s s s
yY E A X
48
Laplace-Transformation: Beispiel Einschaltvorgang
Rücktransformation in den Zeitbereich unter Verwendung der
Korrespondenztabelle
Bemerkung:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 95
0 0
21
2 0 0
2
44 16 16
( ) 5 25 25( 5) 5( 5) 5
( ) 4 4 4
5 25 25( 5) 5( 5) 5
C
C
U UI I I
U s s s s s s
U s U UI I I
s s s s s
5 50 0
1
5 52 0 0
44 16 16
( ) 5 25 25 5 5
( ) 4 4 4
5 25 25 5 5
t t
C
t tC
U UI I It e e
u t
u t U UI I It e e
1 0
2
(0)
(0) 0
C
C
u U
u
Systematische Aufstellung von Modellgleichungen für
konservative Systeme
Elementebeziehungen: allgemeine n-Tore bzw. n-Pole
Verbindungsnetzwerke
Verallgemeinerte Kirchhoffsche Gesetze
Graphenstruktur konservativer Systeme
Grundlagen der Graphentheorie
Inzidenzmatrizen
Aufstellung der Strukturgleichungen für Verbindungsnetzwerke
Schleifenströme und Knotenpotentiale
Aufstellung von Modellgleichungssystemen mit Hilfe der
modifizierten Knotenpotentialanalyse
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49
Allgemeine Darstellung konservativer Systemkomponenten
als n-Tore oder n-Pole
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 97
n-Tor-Darstellung n-Pol-Darstellung
1.. 1..( , ) 0n nf
Φ1
Φ1
Δ1
Φ2
Φ2
Δ2
Φ3
Φ3
Δ3
Φn
Φn
Δn
Referenzknoten (Massepotential),
oft nicht explizit herausgeführt!
f: mehrdimensionale
funktionale Abhängigkeit
zwischen den Torgrößen
(Elementebeziehung)
1.. 1..( , ) 0n nfΦ1
Δ1
Φref
Φ2
Δ2
Φ3
Φn
Δ3
Δn
Zweitor- (bzw. Vierpol-)Darstellung des Elektromotors
Beispiel: Elektromotor
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 98
Φ1
Φ1
Δ1
Φ2
Φ2
Δ2
1 2 1 2( , , , ) 0f
2 1 2 2
1 2 1 1
0
0
M
M
K D J
K R L
1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
i M
umit
u1
i1
M2
ω2
50
Das Verbindungsnetzwerk (rot) verknüpft die b Tore Tk (k = 1, ..., b)
der Komponenten zu einem konservativen System.
Verbindung von n-Toren/n-Polen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 99
Φ1
Φ1
Δ1
Φ7
Φ7
Δ7
Φ8
Φ8
Δ8
Φ9
Φ9
Δ9
Φ10
Φ10
Δ10
Φ3
Φ3
Δ3
Φ4
Φ4
Δ4
Φ5
Φ5
Δ5
Φ6
Φ6
Δ6
Φ2
Φ2
Δ2
f1
f2 f3 f4
f5
f6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Betrachtet man nur die Tore und das Verbindungsnetzwerk eines
konservativen Systems, so erhält man eine Graphenstruktur.
Das Tor Tk (k = 1, ... , b) wird durch einen Zweig bk repräsentiert, der
mit der Flussgröße Φk und der Differenzgröße Δk verknüpft ist.
Insgesamt enthält das System 2b Unbekannte: Φ1, ..., b, Δ1, ..., b
Graphenstruktur konservativer Systeme (Topologie)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 100
Φ1
Φ1
Δ1
Φ7
Φ7
Δ7
Φ8
Φ8
Δ8
Φ9
Φ9
Δ9
Φ10
Φ10
Δ10
Φ3
Φ3
Δ3
Φ4
Φ4
Δ4
Φ5
Φ5
Δ5
Φ6
Φ6
Δ6
Φ2
Φ2
Δ2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
b9
b10
51
Ein (gerichteter, endlicher) Graph G besteht aus
– einer nichtleeren, endlichen Menge V (Knoten, englisch: vertices),
– einer endlichen Menge E, die mit V elementefremd ist (Kanten oder
Zweige, englisch: edges bzw. branches)
– und einer Inzidenzabbildung Φ, die jeder Kante bk ein geordnetes Paar
von Knoten (vi, vj) zuordnet.
Gemäß obiger Inzidenzabbildung Φ(bk) = (vi, vj) heißt die Kante bk
positiv inzident mit vi und negativ inzident mit vj.
Graphentheorie: Definition Graph
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 101
( , , )
:
G V E
V E
E V V
Beispiel: Graph
Knotenmenge
Kantenmenge
Inzidenzabbildung
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 102
v1
v2 v3
v4
b4
b1 b2
b3
b5
b6
Graph G 1 2 3 4, , ,V v v v v
1 2 3 4 5 6, , , , ,E b b b b b b
2 1
1 3
2 3
4 2
3 4
4 1
( )
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
kk b
v v
v v
v v
v v
v v
v v
52
Graphentheorie: Definition Schleife
Eine endliche, alternierende Folge W von Knoten und Kanten in
einem Graphen G heißt ein Weg.
Sind mit Ausnahme des Anfangs- und Endknotens vi1 und vin alle
Knoten in W paarweise verschieden, so heißt W elementarer Weg.
Ist vi,1 = vi,n, so heißt W geschlossener Weg.
Ein elementarer, geschlossener Weg heißt Schleife oder Masche
(englisch: loop).
Anmerkung: da die Inzidenzabbildung bekannt ist, kann eine
Schleife l auch ohne Nennung der beteiligten Knoten dargestellt
werden, ggf. mit expliziter Angabe der Kantenorientierung:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 103
1 1 2 2 1, , , , ... , ,
n ni k i k k iW v b v b b v
1 2 1
( ) ( ) ( ), , ... ,nk k kl b b b
Beispiel: Schleifen
Schleifen
Anmerkung: es gibt noch
andere Möglichkeiten, die
Schleifen zu legen
(welche?)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 104
( ) ( ) ( )
1 1 2 3
( ) ( ) ( )
2 3 4 5
( ) ( ) ( )
3 1 4 6
, ,
, ,
, ,
l b b b
l b b b
l b b b
v1
v2 v3
v4
b4
b1 b2
b3
b5
b6
Graph G
l3
l1
l2
53
Definitionen: Zusammenhang, Teilgraph, Komponente
Ein Graph G = (V, E, Φ) heißt zusammenhängend, wenn es für jedes
Knotenpaar (vi, vj) V × V einen Weg von vi nach vj gibt.
Es sei VT V eine Teilmenge der Knoten von G und ET E die
Menge der mit allen Knotenpaaren (vi, vj) VT × VT inzidenten
Kanten. Der Graph T = (VT, ET, Φ) heißt (knoten-)induzierter
Teilgraph von G.
Ein maximal zusammenhängender Teilgraph eines nicht
zusammenhängenden Graphen G heißt Komponente von G.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 105
Komponenten
K2
K3
Graph G K1
Graphentheorie: Definition Knoteninzidenzmatrix
Es sei n die Anzahl der Knoten und b die Anzahl der Kanten eines zusammenhängenden, gerichteten Graphen G.
Die erweiterte Knoteninzidenzmatrix Aa = [αij] des Graphen G ist definiert als die (n × b)-Matrix mit
Die Zeilen der erweiterten Knoteninzidenzmatrix sind linear abhängig mit Rang(Aa) = n – 1.
Die (reduzierte) Knoteninzidenzmatrix A geht aus Aa durch Entfernen einer beliebigen Zeile hervor; A ist linear unabhängig.
Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten gilt Rang(Aa) = n – m .
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 106
ij
1 falls bj mit vi positiv inzident ist
0 falls bj mit vi nicht inzident ist
-1 falls bj mit vi negativ inzident ist
54
Beispiel: Knoteninzidenzmatrix
Erweiterte
Knoteninzidenzmatrix
(Reduzierte)
Knoteninzidenzmatrix
(Zeile 4 von Aa entfernt)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 107
v1
v2 v3
v4
b4
b1 b2
b3
b5
b6
Graph G
1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
aA
1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
A
Graphentheorie: Definition Schleifeninzidenzmatrix
Es sei l die Anzahl der Schleifen und b die Anzahl der Kanten in
einem gerichteten Graphen G.
Die mit den gewählten Schleifen assoziierte Schleifeninzidenzmatrix
B = [βij] ist definiert als die (l × b)-Matrix mit
Der maximale Rang einer Schleifeninzidenzmatrix in einem
zusammenhängenden Graphen ist b – n + 1.
Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten
gilt Rang(B) b – n + m.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 108
ij
1 falls li mit bj positiv inzident ist (gleiche Orientierung)
0 falls li mit bj nicht inzident ist
-1 falls li mit bj negativ inzident ist
(entgegengesetzte Orientierung)
55
Beispiel: Schleifeninzidenzmatrix
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 109
v1
v2 v3
v4
b4
b1 b2
b3
b5
b6
Graph G
l3
l1
l2
Schleifeninzidenzmatrix
Anmerkung: B hat den
höchsten möglichen Rang:
Rang(B) = b – n + 1
= 6 – 4 + 1
= 3
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
B
Erhaltungsgleichungen für Fluss- und Differenzgrößen in
Verbindungsnetzwerken: Kirchhoffsche Gesetze
Flussgrößen: Knotenregel
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 110
Differenzgrößen: Maschenregel
0k k 0k k
Φ 1
Φ 2
Φ5
Φ 3
Φ4 Δ3 Δ1
Δ2
σk = ±1 entsprechend der Inzidenz der Zweige mit dem Knoten/der Schleife
56
Zusammenhang Kirchhoffsche Gesetze/Inzidenzmatrizen
Knotenregel (englisch: KCL = Kirchhoff‘s Current Law)
Für alle Knoten vj:
mit
Maschenregel (englisch: KVL = Kirchhoff‘s Voltage Law)
Für alle Schleifen lj:
mit
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 111
, , 0 0j k j k
k
Aφ
, , 0 0j k j k
k
Bδ
1( , ... , )Tbφ
1( , ... , )Tbδ
KVL und KCL liefern insgesamt b unabhängige Gleichungen für die
Topologie eines konservativen Systems (b = Anzahl der Kanten)
KCL: n – 1 unabhängige Knotengleichungen
KVL: b – n + 1 unabhängige Maschengleichungen
Summe: b unabhängige topologische Gleichungen
Zusammenfassung zu einem (b × 2b)-Gleichungssystem:
Anzahl der topologischen Gleichungen, Rang des Systems
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 112
00
0
A φ
B δ
57
Beispiel: Topologische Gleichungen
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Inzidenzmatrizen
Topologische Gleichungen
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
B
v1
v2 v3
v4
l3
l1
l2
Φ3, Δ3
1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
A
A B
1
6
1
6
01 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
Zusammenfassung der Zwischenergebnisse,
Beobachtungen
Das Verbindungsnetzwerk eines konservativen Systems mit b Toren liefert b topologische Gleichungen in 2b unbekannten Fluss- und Differenzgrößen Φ1, ..., b, Δ1, ..., b .
Die topologischen Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Knoten- und Schleifeninzidenzmatrizen des Netzwerkgraphen aufstellen.
Die topologischen Gleichungen sind immer linear – auch für nichtlineare Systeme!
Um alle Fluss- und Differenzgrößen Φ1, ..., b, Δ1, ..., b eindeutig bestimmen zu können, fehlen noch b Gleichungen. Diese müssen durch die Elementebeziehungen der n-Tore geliefert werden.
Das Aufstellen der topologischen Gleichungen in der bisher gezeigten Form ist nicht effizient.
– Aufstellung der Schleifeninzidenzmatrix ist aufwändig
– Große Matrizen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 114
58
Der Kirchhoff-Raum
Das (b x 2b)-System der topologischen Gleichungen
hat die Form eines linearen Gleichungssystems
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist ein b-dimensionaler
Vektorraum K; dieser heißt Kirchhoff-Raum:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 115
00
0
xT
A φ
B δ
0T x
dim( ) def( ) 2K b b bT
2ker 0bK T x Tx
Allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen
Da K ein Vektorraum ist, existiert eine allgemeine Lösung der
Kirchhoff-Gleichungen in der Form
mit
und
Bemerkung: S ist eine Basis des Kirchhoff-Raums.
Lässt sich die Matrix S in bereits bekannten Größen ausdrücken?
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 116
2span( ) bK S x x Sy
2 ,bxb bS y
0, Rang( ) bTS S
Ja ... (siehe folgende Seiten)
59
Multiplikation von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrix
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 117
Inzidenzmatrizen
Produkt der Inzidenzmatrizen
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
B
1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
A
v1
v2 v3
v4
b4
b1 b2
b3
b5
b6 l3
l1
l2
1 0 1
1 0 01 1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 01 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 10 1 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
TA B
Orthogonalität der Inzidenzmatrizen A und B
Definition: exaktes Matrizenpaar
Ein Matrizenpaar (K, M) mit heißt exakt, wenn
Voraussetzung: Es sei A die Knoteninzidenzmatrix eines Graphen
G und B eine Schleifeninzidenzmatrix von G mit maximalem Rang.
Satz: Das aus A und B gebildete Matrizenpaar (A, BT) ist exakt.
Anmerkung: Der Satz gilt entsprechend für (B, AT).
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 118
,n b b mK M
1. 0
2. Rang( ) Rang( ) b
K M
K M
0
Rang( ) Rang( )
T
T b
A B
A B
60
Exaktes Matrizenpaar: Beweis (1)
Betrachte die p-te Zeile von A (korrespondierend mit dem Knoten vp)
und die q-te Zeile von B (korrespondierend mit der Schleife lq).
Die Schleife lq enthält
I. entweder keinen mit dem Knoten vp inzidenten Zweig (trivialer Fall)
II. oder genau zwei mit vp inzidente Zweige bi und bj in einer von vier
möglichen Anordnungen (a, b, c, d).
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 119
bi bj
vp
lq
a)
bi bj
vp
lq
b)
bi bj
vp
lq
c)
bi bj
vp
lq
d)
Exaktes Matrizenpaar: Beweis (2)
Matrixeinträge
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 120
bi bj
vp
lq
IIa)
bi bj
vp
lq
IIb)
bi bj
vp
lq
IIc)
bi bj
vp
lq
IId)
1 1 1 1 0vp lq p
bi bj bi bj
A B ABT
q
1 1 1 1 0vp lq p
1 1 1 1 0vp lq p
1 1 1 1 0vp lq p
61
Exaktes Matrizenpaar: Beweis (3)
In allen zu betrachtenden Fällen heben sich die Produkte der
Matrixeinträge gegeneinander auf. Das Gesamtergebnis ist:
Für den Rang der Matrizen gilt
Der Beweis für (B, AT) erfolgt auf die gleiche Weise.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 121
0TAB
Rang( ) Rang( ) Rang( ) Rang( )
( 1) ( 1)
T
n b n
b
A B A B
Eine Basis des Kirchhoff-Raums
Mit Hilfe der Exaktheitsbeziehung von A und B lässt sich eine
allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen finden. Wähle
dazu φ und δ als Linearkombinationen der Spalten von AT und BT:
Damit kann eine Basis S für den Kirchhoff-Raum bestimmt werden:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 122
1
1
,
,
T b n
T n
φ B j j
δ A v v
0 0
0 0
0 00
0 0
T
T
T
T
yT S
A φ A B j
B δ B A v
A jB
B vA
62
Knotenpotentiale
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
Die n – 1 Elemente des Vektors v können als unabhängige
Knotenspannungen (bzw. Knotenpotentiale) interpretiert werden.
Knotenpotentiale erfüllen immer KVL!
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 123
Knoten ..... spannung
1 1 2
2 1 3
1
3 2 3
2
4 2
3
5 3
6 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
T
v v
v vv
v vv
vv
v
vv
δ A
v1
v2 v3
v4
Φ3, Δ3
Schleifenströme
Die b – n + 1 Elemente des Vektors j können als Schleifenströme
(bzw. Schleifenflüsse) interpretiert werden.
Schleifenströme erfüllen immer KCL!
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 124
j3
j1
j2
Φ3, Δ3
Schleife(n) ..... strom
1 1 3
2 1
1
3 1 2
2
4 2 3
3
5 2
6 3
1 0 1
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
T
j j
jj
j jj
j jj
j
jj
φ B
63
Satz von Tellegen
Satz: In einem konservativen System gilt
Beweis: Mit φ = ATv und δ = BTj ist
Folgerung: Diese Eigenschaft ist nur von der Topologie des
Systems abhängig. Der Satz gilt daher auch, wenn φ und δ aus zwei
verschiedenen Netzwerken mit identischer Topologie stammen
(siehe Übungsaufgabe 5).
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 125
, 0Tφ δ φ δ
0
0T
T T T T Tφ δ A v B j v AB j
10 Ω 10 Ω
10 Ω 150 V 30 V 2 V
1 S
3 S uc
uc 2 A 1 S
, 0a bφ δφa δb
a) b)
Knotenpotentiale und Schleifenströme: Folgerungen
Die Knotenpotentiale und Schleifenströme bilden eine Basis des
Kirchhoff-Raums.
Werden die Modellgleichungen für ein konservatives System in den
Basisvariablen v und j formuliert, so ist keine Aufstellung und
Lösung der topologischen Gleichungen erforderlich, da diese
automatisch erfüllt sind.
Aus dieser Erkenntnis lassen sich effiziente, systematische
Analyseverfahren für konservative Systeme ableiten, z. B. die
Modifizierte Knotenanalyse (engl. modified nodal analysis, MNA).
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 126
64
Modifizierte Knotenanalyse (1)
Es seien G = (V, E, Φ) der Graph eines konservativen Systems mit b
Toren und den zugehörigen Elementebeziehungen
Partitioniere E in zwei Teilmengen E1 und E2 mit korrespondierenden
Flussgrößen φ1 und φ2 (Zweige dazu ggf. neu durchnummerieren).
– E1 enthält die b – r Zweige b1 ... bb–r, deren Flussgrößen φ1 nicht als
Steuergrößen für andere Zweige oder Beobachtungsgleichungen dienen
und deren Elementebeziehungen sich in folgender Form schreiben
lassen:
– E2 enthält die übrigen r Zweige bb–r+1 ... bb mit den zugehörigen
Elementebeziehungen
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 127
2( , ) 0; : b r rh φ δ h
1 2 1 2 1 2, ,T
E E E E E φ φ φ
2( , ) 0; : b bf φ δ f
1 2( , ); : b r b rφ g φ δ g
Modifizierte Knotenanalyse (2)
Für die Elementebeziehungen gilt damit
Partitioniere die Knoteninzidenzmatrix A von G entsprechend der
Partitionierung von E.
Mit der gewählten Partitionierung folgt aus KCL
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 128
1 2
2
( , )( , ) 0 0
( , )
φ g φ δf φ δ
h φ δ
1 2A A A
1
1 1 1 2 22
2
0 0φ
Aφ A A A φ A φφ
65
Modifizierte Knotenanalyse (3)
Multipliziere die zu E1 gehörigen Elementebeziehungen mit A1,
drücke die Zweigdifferenzgrößen durch Knotenpotentialdifferenzen
aus und eliminiere φ1.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 129
1 21
2
1 1 1 2
2
2 2 1 2
2
( , )00
( , )0
( , )0
( , )
( , )0
( , )
T
T
T
T
T
δ A v
φ g φ δA
h φ δE
A φ A g φ A v
h φ A v
A φ A g φ A v
h φ A v
MNA-System: n – 1 + r Gleichungen in n – 1 + r Unbekannten v und φ2.
Elementweise Komposition des MNA-Systems
Betrachte den Zweig bi (entspr. i-ter Spalte von A).
– Fall 1) bi E1 (i = 1, ..., b – r)
– Fall 2) bi E2 (i = b – r + 1, ..., b)
Bestimme die MNA-Beiträge
des Zweigs bi in allgemeiner
Form.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 130
Φi
Δi
vp
Φi
vq
bi
Φ1
Δ1
b1
Φj ≠ i
Δj ≠ i b j ≠ i
Φb
Δb
bb
2( , ) 0i b rh φ δ
2( , )i ig φ δ
2 2 1 2
2
( , )0
( , )
T
T
A φ A g φ A v
h φ A v
Fall 1
Fall 2
66
MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 1
Betrachte die Beiträge des Zweigs bi zu A1 und g:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 131
1 2 2
2
2
1
( , ) ( , )
1
( , )
( , )
T T
i
T
i
T
i
p
q
p
q
g
g
g
A g φ A v φ A v
φ A v
φ A v
i
Betrachte die Beiträge des Zweigs bi zu A2 und h:
MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 2
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 132
2 2
1
1
i
i
i
p p
q q
A φ
i – b + r
2 2( , ) ( , )T T
i b rhh φ A v φ A v
i – b + r
67
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (1)
Gegeben sei das abgebildete nichtlineare, dynamische elektrische
Netzwerk.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 133
RB
UB U0(t)
RC
RE CE
iB β iB
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (2)
Elementebeziehung der unabhängigen Spannungsquelle
(nicht auflösbar nach dem Zweigstrom i)
Elementebeziehung des linearen elektrischen Widerstands
(auflösbar nach dem Zweigstrom i, sofern R ≠ 0)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 134
u = U0
i
0 00 0i u U u U
1
0 0; 0R i u i u RR
R
i
u
68
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (3)
Elementebeziehung der linearen Kapazität
(auflösbar nach dem Zweigstrom i)
Elementebeziehung der linearen stromgesteuerten Stromquelle
(engl. current-controlled current source, CCCS)
(auflösbar nach dem Zweigstrom i2)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 135
0du
i Cdt
2 1 0i i
C
i
u
i1
i2 = β i1
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (4)
Elementebeziehung der Diode
(auflösbar nach dem Zweigstrom i)
mit IS: Sperrsättigungsstrom (engl. reverse-bias saturation current)
Vt: Temperaturspannung (engl. thermal voltage)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 136
/ 1 0tu V
Si I eD
i
u
69
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (5)
Netzwerkgraph und Partitionierung von Zweigmenge,
Flussgrößenvektor und Knoteninzidenzmatrix
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 137
1 1 2 3
8
5
2 6 7
4, , , ,
, ,
E b b b b b
E b b b
1 1 2
2 6
4 5
7
3
8
, , ,
,
,
,T
Ti i i i i
i i iφ
φ
21
1 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 0
0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 1
A A
A
v1
v2
v3
v4
b4
b1
b2 b3
b5
b6
b7
b8
v5
v0
8, 6, 3b n r
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (6)
Ausdrücken des Differenzgrößenvektors durch Knotenpotentiale
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 138
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5
, , , , , , ,
, , , ,
T
T
u u u u u u u u
v v v v v
δ
v
1 2
3
1
3
2
4 3
3
4 5
4
1
5
2 3
5
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 1
T
v v
vv
vv
v vv
v vv
vv
v v
v
δ A v
v1
v2
v3
v4
b4
b1
b2 b3
b5
b6
b7
b8
v5
v0
70
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (7)
Elementebeziehungen der Partition 1, Ersetzen der
Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 139
1 11 1 2
1 12 3
3 31 2
7
1 1
2
4 5
7
5
, ,
B B
E E
C C
R R
R R
TE E
R R
u v v
u v
C C
i
u v
i
u v v
φ g δ g φ Aφ v
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (8)
Elementebeziehungen der Partition 2, Ersetzen der
Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 140
7
2 3
6 0
/
8
1 0
( )/
2 7
5
2 7, 1 0
, 1 0
t
t
u V
S
B
v v VT
S
B
u U
I e
u U
v U
i I e
v
i
U
h δ
h φ A
φ
v
71
Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (9)
Elementweise Aufstellen der MNA-Gleichungen
1. RB
2. RE
3. CE
4. CCCS
5. RC
6. U0
7. Diode
8. UB
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 141
2 3
6
7
7
8
1 0
( )
11 2
11 2
13 3 7
17 4 5
1
/
7
5
4 5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
B
C
C
t
B
E
R
R
ER
R
v v V
S
R
B
v v
v v
v C
i
i
i
i
v U
v i
i v v
I e
v
v v
i
U
Modifizierte Knotenanalyse (MNA): Zusammenfassung
Die modifizierte Knotenanalyse ist in Bezug auf die zulässigen
Formen von Elementebeziehungen ebenso allgemeingültig wie das
(2b × 2b)-Sparse Tableau.
Die MNA liefert aber ein wesentlich kompakteres System von
n – 1+ r Gleichungen in n – 1 + r Variablen v und φ2.
Die Aufstellung von MNA-Gleichungen kann elementeweise aus
einer Netzlistenbeschreibung eines Systems erfolgen. Eine
Aufstellung von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrizen ist nicht
erforderlich.
Die MNA ist das in Netzwerk-Simulationsprogrammen am häufigsten
eingesetzte Verfahren zur Gleichungsaufstellung.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 142
72
Modellierung elektronischer Systeme
Phasenregelschleife (Phase-Locked Loop, PLL)
Top-Down- und Bottom-Up-Modellierung
Switched-Capacitor-Schaltungen
Analog/Digital-Wandler
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 143
Phasenregelschleife (PLL)
Eine PLL (Phase-Locked Loop) ist ein nichtlineares elektronisches
Regelungssystem, welches das Ausgangssignal eines gesteuerten
Oszillators in Frequenz und Phasenlage mit einem periodischen
Eingangssignal synchronisiert.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 144
PLL 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1
-0.5
0.5
1
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1
-0.5
0.5
1
Eingangssignal mit Eingangssignal
synchronisiertes
Ausgangssignal (blau)
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
PLL 2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
73
Typen und Anwendungen von PLL-Systemen
Typen u.a.
– Lineare (analoge) PLL
(LPLL, APLL)
– Digitale PLL (DPLL)
– Software-PLL (SPLL)
Anwendungen u.a.
– Frequenz- und Phasenmodulation/-demodulation in Rundfunk- und
Datenkommunikationssystemen (FM-Radio, WLAN, ...)
– Entstörung von frequenz- und phasenmodulierten Signalen
(Entrauschen, Kompensation von kurzzeitigem Signalverlust, ...)
– Frequenzsynthese (FM-Radio, Mobilfunk, WLAN, ...)
– Takt/Daten-Rückgewinnung in Datenkommunikations- und
Speichersystemen (Festplatten, DRAM, ...)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 145
Quarz-
Oszillator PLL
HF-
Verstärker
IF-
Verstärker X PLL-
Demodu-
lator
Audio-
verstärker
FM-Empfänger
Prinzipieller Aufbau einer PLL
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 146
PD F(s) VCO
÷N
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Frequenzteiler
Referenz-
frequenz
fref
Ausgangs-
frequenz
fout
Modulationsspannung vm
fout/N
74
Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 147
PD F(s) VCO
÷N
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Frequenzteiler
Referenz-
frequenz
fref
Ausgangs-
frequenz
fout
Modulationsspannung vm
fout/N
Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor
Der Phasendifferenzdetektor liefert ein zur Differenz der
Phasenlagen der Eingangssignale Δθ = θ – θ0 proportionales
Ausgangssignal vp.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 148
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Δθ = θ – θ0
vp
~KP
vp = KP Δθ
θ = θ0 θ < θ0 θ > θ0
75
Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 149
PD F(s) VCO
÷N
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Frequenzteiler
Referenz-
frequenz
fref
Ausgangs-
frequenz
fout
Modulationsspannung vm
fout/N
Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator
Der gesteuerte Oszillator (VCO, voltage-controlled oscillator) erzeugt
ein periodisches Ausgangssignal vo(t) mit einer Frequenz ω, deren
Differenz Δω zur Freilauffrequenz ω0 proportional zu seiner
Steuerspannung vm(t) ist.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 150
2 4 6 8
t
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5 vm
vo
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
vm
Δω
~KF
Δω = KF vm
ω = ω0 + KF vm
76
Komponenten einer PLL: Frequenzteiler
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 151
PD F(s) VCO
÷N
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Frequenzteiler
Referenz-
frequenz
fref
Ausgangs-
frequenz
fout
Modulationsspannung vm
fout/N
Komponenten einer PLL: Frequenzteiler
Der Frequenzteiler erzeugt ein mit der Oszillatorfrequenz
synchrones periodisches Ausgangssignal, dessen Frequenz um den
Faktor N geringer ist als die Oszillatorfrequenz.
Frequenzteiler können mit Hilfe digitaler Zähler realisiert werden.
Der Frequenzteiler ist nur in PLL-Anwendungen zur
Frequenzsynthese erforderlich, nicht bei Nachlauf-PLL (N = 1).
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 152
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
Eingangssignal Ausgangssignal (N = 3)
77
Komponenten einer PLL: Schleifenfilter
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 153
PD F(s) VCO
÷N
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Frequenzteiler
Referenz-
frequenz
fref
Ausgangs-
frequenz
fout
Modulationsspannung vm
fout/N
Komponenten einer PLL: Schleifenfilter
Der Schleifenfilter bestimmt das dynamische Verhalten einer PLL.
– Stabilität der Regelschleife
– Einschwingverhalten bei sprunghafter Änderung der Referenzfrequenz
bzw. –phase
– Unterdrückung unerwünschter Frequenzkomponenten (HF-Anteile im
Ausgang des Phasendifferenzdetektors, Rauschen)
Die Ausgangsspannung des Schleifenfilters steuert die Frequenz
des Oszillators.
Der Schleifenfilter hat typischerweise Tiefpass-Eigenschaften mit
einer Übertragungsfunktion F(s) der unten stehenden Form; die
Wahl der Koeffizienten (Null oder von Null verschieden) bestimmt die
Ordnung der PLL.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 154
2
1 20 2
1 2
1( )
1
b s b sF s A
a s a s
78
Analoge Nachlauf-PLL (APLL)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 155
PD F(s) VCO
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Referenzfrequenz
und -phase
ωref
θref
Ausgangs-
frequenz
und -phase
Modulationsspannung vm
ωout
θout
Aufbau und Analyse der APLL
Realisierung und Modellierung des Phasendifferenzdetektors
Modellierung des VCO
Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL im eingerasteten
Zustand (locked state)
Realisierung des Schleifenfilters
Ermittlung des zeitlichen Verhaltens der APLL im eingerasteten
Zustand für verschiedene Filterordnungen
– Wie reagiert die PLL auf sprunghafte Änderungen der
Referenzfrequenz?
Ermittlung von Kenngrößen der PLL per Simulation (VHDL-AMS)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 156
Q: wikipedia
79
Realisierung des analoger Phasendifferenzdetektors
Ein analoger Phasendifferenzdetektor kann durch einen
Multiplizierer (Mischer) realisiert werden.
Die Phasendifferenz ergibt sich aus dem Gleichspannungsanteil des
Mischprodukts (Filterung kann im Schleifenfilter erfolgen).
KM: Verstärkungsfaktor des Mischers (engl. mixer gain), [KM] = 1/V
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 157
× 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-0.2
0.2
0.4
0.6
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1
-0.5
0.5
1
v1(t)
v2(t)
vP(t)
1 2( ) ( ) ( )P Mv t K v t v t
Modellierung des Phasendifferenzdetektors
Gegeben seien zwei sinusförmige Signale v1(t) = vref(t)
(Referenzsignal) und v2(t) = vosc(t) (Ausgangssignal des VCO).
Befindet sich die PLL im eingerasteten (d.h. synchronisierten)
Zustand (engl. locked state), so gilt:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 158
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) cos ( )
( ) sin ( )
v t A t t
v t A t t2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1
-0.5
0.5
1
1 2
2 1( ) ( ) ( )t t t
Gleiche Frequenz
Phasenabweichung zwischen
Eingangs- und Ausgangssignal
80
Modellierung des Phasendifferenzdetektors
Das Mischprodukt von v1(t) und v2(t) ergibt
Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung
ergibt sich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 159
1 2 1 2 1 2( ) ( ) cos ( ) sin ( )v t v t A A t t t t
1
cos sin sin sin2
x y x y x y
1 21 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2
( ) ( ) sin 2 ( ) ( ) sin ( ) ( )2
sin ( ) sin 2 ( ) ( )2 2
A Av t v t t t t t t
A A A At t t t
HF-Anteil bei 2ω herausfiltern!
Modellierung des Phasendifferenzdetektors
Der HF-Anteil des Mischprodukts bei 2ω kann durch Filterung
eliminiert werden. Wir nehmen kleine Phasendifferenzen Δθ an.
Die Transformation in den Frequenzbereich (Laplace) ergibt
mit
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 160
1 21 2
1 2
( ) ( ) ( ) sin ( )2
( )2
p M M
M
A Av t K v t v t K t
A AK t
( ) ( )p PV s K s
1 2
2P M
A AK K
KP
ΔΘ(s) Vp(s)
Laplace-Ersatzschaltbild
81
Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators
Funktion des spannungsgesteuerten Oszillators
Forderung nach realistischem Verhalten: vosc(t) stetig auch bei
sprunghafter Änderung von vm(t) stetiges Argument φ(t) des
Sinus!
Instantane Kreisfrequenz ω(t)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 161
VCO vm(t) vosc(t) sinusförmig mit
ω(t) = ω0 + KF vm (t)
0( ) sin ( ) : sin ( ( ))osc mv t A t A t v t
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( )F m
t t t t
K v t
( ) ( ) ( )F mt t K v t
Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators
Wird das Übertragungsverhalten des VCO von einer Änderung der
Steuerspannung vm(t) zur Phasenänderung θ(t) betrachtet, so kann
der VCO als Integrator angesehen werden.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 162
0
( ) ( ) ( ) ( )t
F m F mt K v t t K v d
1
( ) ( )F ms K V ss
KF
Θ(s) Vm(s)
Laplace-Ersatzschaltbild
1
s
82
Laplace-Ersatzschaltbild für den eingerasteten Zustand
Bestimme die Übertragungsfunktion
Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 163
ΔΩref(s) + F(s)
KF
Phasendifferenzdetektor
KP
–
1
s
1
s
Θref(s) ΔΘ(s)
Θosc(s)
ΔΩosc(s)
Vm(s) Vp(s)
VCO
Schleifenfilter
( ) osc
ref
H s
Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL
Gleichungssystem
Gleichungssystem in Matrixform
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 164
1( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ref ref
ref osc
p p
s ss
s s s
V s K s
( ) ( )1 0 0 0 0 0( ) 01 1 0 0 0 1( ) 00 1 0 0 0
0 0 ( ) 1 0 0 ( ) 00 0 0 1 0 0( )0 0 0 0 1/ 1 0( )
refref
pP
m
F osc
osc
s s ss
V sKF s V s
K ss s
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1( ) ( )
m p
osc F m
osc osc
V s F s V s
s K V s
s ss
83
Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL
Übertragungsfunktion der PLL
H(s) beschreibt die Änderung der Ausgangsfrequenz infolge einer
Änderung der Referenzfrequenz.
Das dynamische Verhalten der PLL hängt von der
Übertragungsfunktion des Schleifenfilters F(s) ab.
– Ein Filter 0. Ordnung (konstante Verstärkung) ergibt eine
PLL-Übertragungsfunktion 1. Ordnung ( PLL 1. Ordnung)
– Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung ergibt eine
PLL-Übertragungsfunktion 2. Ordnung ( PLL 2. Ordnung)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 165
( ) ( )( )
( ) ( )osc P F
ref P F
s K K F sH s
s s K K F s
Realisierung des Schleifenfilters
Filter 0. Ordnung = konstante Verstärkung A0 PLL 1. Ordnung
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 166
0
0
( ) ( )P Fosc ref
P F
K K As s
s K K A 0( )F s A
1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1
Frequency
1.0 E 1
2.0 E 1
5.0 E 1
1.0 E0
2.0 E0
5.0 E0
1.0 E1
edutingaM
F(s)/A0
1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1
Frequency
1.0 E 1
2.0 E 1
5.0 E 1
1.0 E0
2.0 E0
5.0 E0
1.0 E1
edutingaM
H(s)
0P FK K A
84
Realisierung des Schleifenfilters
1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1
Frequency
1.0 E 1
2.0 E 1
5.0 E 1
1.0 E0
2.0 E0
5.0 E0
1.0 E1
edutingaM
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 167
Tiefpassfilter 1. Ordnung PLL 2. Ordnung
0
2 0
( ) ( )1
P F
osc refP F
K K A
Ts sK K A
s sT T
0( )1
AF s
sT
H(s)
1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1
Frequency
1.0 E 1
2.0 E 1
5.0 E 1
1.0 E0
2.0 E0
5.0 E0
1.0 E1
edutingaM
F(s)/A0
1
T T
Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich
Wie reagiert eine PLL 1. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung
der Referenzfrequenz ωref?
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 168
0
0
0
1( ) ( )
1 1; mit :
P F PLLosc ref
P F PLL
PLL P F
PLL
K K A Ks s
s K K A s K s
K K K As K s
1
( ) ( ) ( )ref reft t ss
( ) 1 ( )PLLK t
osc t e t
85
Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich
Sprungantwort der APLL 1. Ordnung
Die Ausgangsfrequenz einer APLL
1. Ordnung folgt einer Änderung der
Referenzfrequenz mit dem zeitlichen
Verlauf einer abklingenden
Exponentialfunktion.
Die Konstante KPLL wird als
Schleifenbandbreite bezeichnet.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 169
( ) 1 ( )PLLK t
osc t e t
2 4 6 8 10t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10
t
-1
-0.5
0.5
1
vref(t)
Δωref (t)
Δωosc (t)
1
PLLK
Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich
Wie reagiert eine PLL 2. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung
der Referenzfrequenz ωref?
Vergleiche Nenner mit charakteristischem Polynom eines
Schwingsystems 2. Ordnung mit D = Dämpfungskonstante,
ωn = Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung:
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 170
0
22 0
02
/ 1( ) ( )
1 / /
1/ 1; mit :
/ /
P F
PLLosc ref
P F PLL
PLL P F
PLL
K K AK TTs s
K K A s s T K T ss s
T T
s TK K K A
s s T K T s
2 2 12 ,
2
PLLn n n
PLL
Ks D s D
TK T
86
Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich
Für D < 1 lautet die korrespondierende Zeitbereichslösung für das
Schwingsystem
Entsprechend lautet die allgemeine Lösung für die Antwort der APLL
2. Ordnung im Zeitbereich
mit
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 171
21, , , , 1
2
PLLi n n d n
PLL
KC D D D
TK T
2 2( ) cos 1 sin 1nD t
n nx t e A D t B D t
1 2( ) 1 cos sin ( )t
osc d dt e C t C t t
Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich
Sprungantwort der APLL 2. Ordnung
Die Ausgangsfrequenz einer APLL
2. Ordnung folgt einer Änderung der
Referenzfrequenz mit dem zeitlichen
Verlauf einer gedämpften
sinusförmigen Schwingung
Eine PLL 2. Ordnung bietet mehr
Freiheitsgrade beim Entwurf des
Regelverhaltens als eine PLL
1. Ordnung (u.a. wichtig für Stabilität)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 172
2 4 6 8 10
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2 4 6 8 10
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10
t
-1
-0.5
0.5
1vref(t)
Δωref (t)
Δωosc (t)
1 2( ) 1 cos sin ( )t
osc n nt e C t C t t
87
Weitere Kenngrößen der PLL
Fangbereich (engl. lock-in range, lock range, auch: capture range):
Bereich ω0±ΔωL um die Freilauffrequenz ω0, in dem sich eine nicht
eingerastete PLL innerhalb von einer Periode der Eigenfrequenz ωd
auf eine Referenzfrequenz ωref [ω0-ΔωL, ω0+ΔωL] synchronisiert.
Ausrastbereich (engl. pull-out range): Frequenzbereich ω0±ΔωPO, in
dem eine eingerastete PLL einem Frequenzsprung Δωref innerhalb
von einer Periode der Eigenfrequenz ωd folgen kann.
Ziehbereich (engl. pull-in range): Frequenzbereich ω0±ΔωP, in dem
eine PLL aus dem nicht eingerasteten Zustand immer einrastet (ggf.
langsamer Prozess über mehrere Perioden von ωd).
Haltebereich (engl. hold-in range, hold range): Frequenzbereich
ω0±ΔωH, in dem eine eingerastete PLL auf eine Referenzfrequenz
ωref synchronisiert bleibt (statischer Fall) bzw. einer langsamen
Änderung der Referenzfrequenz folgen kann.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 173
Weitere Kenngrößen der PLL
Es gilt Fangbereich < Ausrastbereich < Ziehbereich < Haltebereich
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 174
Q: wikipedia
ω0 +ΔωL -ΔωL +ΔωPO +ΔωP +ΔωH -ΔωPO -ΔωP -ΔωH
88
Simulation von Zieh- und Haltebereich
Anregung der PLL mit hinreichend großer, langsamer, linearer
Aufwärts- und Abwärtsvariation der Referenzfrequenz um ω0.
Bestimmung der Frequenzen, bei denen die PLL
– aus dem unsynchronisierten Zustand einrastet,
– aus dem eingerasteten Zustand heraus die Synchronisation verliert.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 175
PLL
Eingangsfrequenz fref(t) Oszillatorfrequenz fosc(t)
f0
Testbench zur Simulation von Zieh- und Haltebereich
Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz mit Hilfe eines VCO und
einem dreieckförmigen Verlauf der Modulationsspannung.
Der Bereich der Modulationsspannung muss so gewählt werden,
dass das resultierende Frequenzintervall des VCO den Haltebereich
der PLL einschließt.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 176
PLL
Modulationsspannung vmod(t)
fosc(t) VCO
89
Simulation von Zieh- und Haltebereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 177
Ziehbereich
(pull-in range) Haltebereich
(hold range)
Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL
Im eingerasteten Zustand erzeugt die PLL eine
Modulationsspannung vm(t), die proportional zur Abweichung der
Referenzfrequenz von der Freilauffrequenz ist.
Das demodulierte FM-Signal kann daher unmittelbar durch Abgriff
der Modulationsspannung gewonnen werden (ggf. noch
Tiefpassfilterung zur Elimination verbleibender HF-Anteile vom PD
notwendig).
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 178
PD F(s) VCO
FM-Signal
ωref(t)
Modulationsspannung vm(t)
= demoduliertes FM-Signal
90
Testbench zur Simulation der FM-Demodulation
Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz durch einen VCO mit
einer zeitlich variierenden (z.B. sinusförmigen)
Modulationsspannung.
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 179
PLL
Modulationsspannung
fosc(t) VCO 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1
-0.5
0.5
1
mod mod( ) sin 2v t A f t
Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 180
Modulations-
muster des
Eingangs-
signals
Demodu-
liertes
FM-Signal
91
Demodulation von PM-Signalen mit einer APLL
Phase des VCO:
Demodulation durch Integration der
VCO-Modulationsspannung vm(t)
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MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 181
0
0
( ) ( )
( )
t
F mt t K v d
t = PM-Signal (nicht-elektrisch!)
PD F(s) VCO
PM-Signal
ωref(t)
demoduliertes
PM-Signal
(elektrisch)
∫ vm(t) Ti
Demodulation von PM-Signalen mit einer APLL
Ein reiner Integrator würde durch einen DC-Offset von vm(t) in die
Sättigung getrieben werden, daher Verwendung eines Tiefpassfilters
1. Ordnung mit einer Zeitkonstante Ti, die über der Periodendauer Ts
eines Symbols liegt.
Für Frequenzen ω > 1/Ti verhält sich der Tiefpass wie ein Integrator,
DC-Offsets werden jedoch nicht integriert.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 182
PD F(s) VCO
PM-Signal
ωref(t)
demoduliertes
PM-Signal vm(t)
1
1 isT
92
Testbench zur Simulation der PM-Demodulation
Anwendungsszenario: Datenübertragung per n-PSK (phase-shift
keying mit n Zuständen)
Erzeuge ein PSK-Testsignal mit Hilfe eines Symbolgenerators
(Bitstromgenerator) und eines Quadraturmodulators (I/Q-Modulator).
Beschalte den Ausgang der PLL mit einem Tiefpass mit geeigneter
Zeitkonstante.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 183
Erzeugt Bitstrom
und codiert
diesen in einem
Signal φin(t)
PLL φout(t) I/Q-
Modulator
Symbol-
generator
1
1 isT
Moduliert Phase
eines
HF-Trägersignals
mit φin(t)
Rekonstruiert φin(t)
durch Integration
der Modulations-
spannung der PLL
vm(t) φin(t) f(φ, t)
Detektiert
Phasensprünge
im HF-Signal
Ein I/Q-Modulator erzeugt aus zwei orthogonalen Sinussignalen
cos ωt (in-phase) und sin ωt (quadrature) durch gewichtete
Summation ein Sinussignal mit definierter Phasenlage cos(ωt + φ).
Quadraturmodulator (I/Q-Modulator)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 184
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1 I(t) = cos ωt
Q(t) = sin ωt
I(t) cos φ
Q(t) sin φ
+
cos(ωt + φ)
ω
I
Q
φ
93
Blockschaltbild des Quadraturmodulators
Bestimmung der Gewichtungsfaktoren für I und Q
Blockschaltbild
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 185
ω
I
Q
φ
! 0 2 cos sin
cos , sin
jj je Ae Be j A jB
A B
cos(ωt)
sin(ωt)
cos φ
+
cos φ
φ(t)
I
Q
cos(ωt + φ)
Symbolgenerator
Der Symbolgenerator erzeugt Folgen von definierten Phasenlagen.
Konstellationsdiagramm (Beispiel) und zufällige Symbolfolge für
4-PSK (2 Bit pro Symbol)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 186
I
Q
φ 0° = ´00´
90° = ´01´
180° = ´10´
270° = ´11´
2 4 6 8 10 12 14
90
180
270
10 00 11 01 01 10 11 01 00 11 10 01 11 ....
φ
94
Demodulation von PM-Signalen mit einer APLL
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 187
Eingangs-
bitmuster
Modulations-
spannung
vm(t)
Ausgang
des
Tiefpasses
(Integrator)
Schaltungstechnische Realisierung der APLL-Blöcke
Schleifenfilter passive oder aktive RC-Filterstruktur
Phasendifferenzdetektor analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer
(Gilbert-Zelle)
– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch
analytische Bottom-up-Modellierung
VCO
– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch
phänomenologische Abstraktion (Black-Box-Modellierung)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 188
95
Schleifenfilter
Realisierung durch passive oder aktive Filterstruktur
Beispiel: aktiver Tiefpass 1. Ordnung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 189
1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1
Frequency
1.0 E 1
2.0 E 1
5.0 E 1
1.0 E0
2.0 E0
5.0 E0
1.0 E1
edutingaM
0
1( )
1F s A
sT
0( ) /F s A
T
F(s)
i1
u1
i2
u2
+
–
u1 u2
i1
i2
R1
C R2
R3
2
3 1
0
1( ) 1
1
RF s
R sR C
A T
Analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer: Gilbert-Zelle
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 190
Q: Burns & Bond, 1997
Vorgehensweise:
Analytische
Bottom-up-Modellierung
vom Device-Modell zur
Kennlinienbeschreibung
96
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (1)
Analyse der
Funktionsweise des
Grundbausteins der
Gilbert-Zelle:
Differenzpaar (Q1, Q2)
Bestimme
mit
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 191
1 1
2 2
( , )
( , )
C EE ID
C EE ID
i f I v
i f I v
Q: Burns & Bond, 1997
1 2ID I Iv v v
Querschnitt durch Bipolartransistoren (NPN und LPNP)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 192
Q: Burns & Bond, 1997
97
Stromkomponenten im NPN-Transistor
Annahme: VBE > 0, VBC < 0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 193
Q: Burns & Bond, 1997
Ersatzschaltbild des Bipolartransistors (Ebers-Moll-Modell)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 194
vBC
vBE
B
iB
C E iC iE R Ci F Ei
/
0 1BEqv kT
EI e /
0 1BCqv kT
CI e
B
C
B
E
IB
IC
IE
VBC
VBE
VCE
//0 0
//0 0
1 11 1
1 11 1
BCBE
BCBE
qv kTqv kTE R CE
F R F R
qv kTqv kTF E CC
F R F R
I Ii e e
I Ii e e
98
NPN-Transistor im Vorwärts-Betrieb
vBE ≈ 0.7 V, vBC < 0, kT/q ≈ 26 mV (bei Raumtemperatur 300 K)
Mit IS := ISE, αF ≈ 1,VT := kT/q,
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 195
// /0 0
1 1
:
// /0 0
1 1
:
1 11 1
1 11 1
BCBE BE
SE
BCBE BE
SC
qv kTqv kT qv kTE R CE SE
F R F R
I
qv kTqv kT qv kTF E CC SC
F R F R
I
I Ii e e I e
I Ii e e I e
/ lnBE Tv V C
C E S BE T
S
ii i I e v V
I
C
B
E
IB
IC
IE
VBC < 0
VBE ≈ 0.7 V
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (2)
Schleife l1
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 196
1 1 2 2
1 2 1 2
:
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2
/1
2
0
ln ln
ln
ln
ID
ID T
I BE BE I
I I BE BE
v
C CT T
S S
C SID T
S C
CT
C
v VC
C
v v v v
v v v v
i iV V
I I
i Iv V
I i
iV
i
ie
iQ: Burns & Bond, 1997
l1
99
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (3)
Knoten 1
Vernachlässigung des
Basisstroms
Entsprechend ergibt sich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 197
1 2 0EE E EI i i
Q: Burns & Bond, 1997
1
1 1 2 2
1 2
,
0
E C E C
EE C C
i i i i
I i i
2 /1 ID T
EEC V V
Ii
e
1 2
/
1
1 /1
ID T
ID T
C EE C
V V
EE C
EEC V V
i I i
I i e
Ii
e
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (4)
Kollektorströme
Ausgangsspannung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 198
Q: Burns & Bond, 1997
1 1
1 1
2 2
5 51 2/ /
6 63 4/ /
5 6/ /
,1 1
,1 1
,1 1
T T
T T
T T
C CC Cv V v V
a b
C CC Cv V v V
b a
EE EEC Cv V v V
c d
i ii i
e e
i ii i
e e
I Ii i
e e
1 2
1 3 2 4
OD C C
C C C C C
v v v
R i i i i
vC2 vC1
100
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (5)
Ausgangsspannung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 199
1 2 2
1 2 2
1 3 2 4
/ / /
/ / /
1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
tanh2
T T T
T T T
OD C C C C C
EE EE EE EEC
EE C EE C
EE C
v V v V v V
EE C
v V v V v V
OD EE C
T
v R i i i i
I I I IR
ca db cb da
I R I R
a c d b c d
I R
e e e
I R
e e e
vv I R
V
2tanh2 T
v
V
1 1tanh
2 1 1x x
x
e e
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (6)
DC-Übertragungskennlinie
Für v1, v2 << 2 VT:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 200
Q: Burns & Bond, 1997
1 2tanh tanh2 2
OD EE C
T T
v vv I R
V V
Analytische
Bottom-up-Modellierung
1 22
1 2
:
4
M
EE COD
T
OD M
K
I Rv v v
V
v K v v
tanh
für 1
x x
x
101
Funktionsweise der Gilbert-Zelle (7)
Das multiplizierende Verhalten zeigt sich am DC-Übertragungs-
kennlinienfeld für kleine Eingangsspannungen v1, v2 < VT
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 201
-0.2 -0.1 0.1 0.2
-1
-0.5
0.5
1
-0.02 -0.01 0.01 0.02
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
v1
vOD vOD
v1
v2
v2
VCO (1): Current-starved Ring Oscillator
Funktionsweise: Ring aus 2n – 1 Invertern (n = 1, 2, ...)
Steuerung der Oszillatorfrequenz über Inverter-Querstrom ID
– kleine Steuerspannung kleiner Querstrom niedrige Frequenz
– hohe Steuerspannung hoher Querstrom hohe Frequenz))
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 202
Q: INSA Toulouse
ID
102
VCO (2): Hochfrequenz-VCO
Funktionsweise: Entdämpfter Schwingkreis (negatives gm)
Steuerung der Frequenz über Varaktordiode (spannungsabhängige
Kapazität)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 203
Q: D. Krauße, VL Analoge CMOS-Schaltungstechnik, 2010
Tuningkurve eines kommerziellen VCOs (MAXIM 2605)
Betriebsspannung typ.VCC = 5 V
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 204
Q: MAXIM
103
Modellierung der Tuningkurve
Phänomenologische Modellierung durch numerische Approximation
der Tuningkurve (hier: quadratisches Polynom).
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 205
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
47.5
50
52.5
55
57.5
60
62.5
65
Numerische
„Black-Box“-
Modellierung
Abstraktionsebenen im Y-Diagramm (Gajski)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 206
Schaltungs-
ebene
Architekturebene (Funktionen)
Algorithmische Ebene
RT-Ebene
Logikebene
104
Abstraktionsebenen im Y-Diagramm
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 207
Architekturebene (funktionale Ebene): beschreibt ausschließlich das
Eingangs-/Ausgangsverhalten von Systemblöcken (die Funktion),
nicht deren Realisierung.
Algorithmische Ebene: beschreibt den zur Realisierung einer
Funktion verwendeten Algorithmus, aber nicht das genaue
Zeitverhalten seiner Implementierung.
Register-Transfer-Ebene: beschreibt die taktgenaue
Implementierung eines Algorithmus unter Verwendung komplexer
Datentypen, arithmetischer und logischer Operationen (Byte, Wort,
Addition, Multiplikation, ...).
Logikebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der
Ebene von Logikgattern unter Berücksichtigung der Gatterlaufzeiten.
Schaltungsebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der
Bauelemente-Ebene (Transistor-Ebene).
Switched-Capacitor-Schaltungen
Was sind Switched-Capacitor-Schaltungen?
Funktionsprinzip
Analyse von SC-Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 208
p1
p1
p2
p2
reset
reset
2C
2C1..24 C
1..24 C
Chop
VIN
To Digital
Logic
C1
C2
C3
C3
Comparator
OpAmp Vout
+
U01(t) u2
i2
Cint
–
Φ1 Φ2
C1
Integrator
Zoom-A/D-Wandler
(SAR + ΣΔ)
Kapazitiver
Energy
Harvester
105
Switched-Capacitor-Schaltungen – Beispiel
Biquadratischer Filter (biquad)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 209
U01(t)
Schalter
Kondensator
Verstärker
+ u2
CA
–
Φ1
Φ2
C1
Φ1
Φ2 +
CB
–
Φ1
Φ1
C3
Φ2
Φ2
C4
Φ1
Φ2
Φ2
C2
S2 S3
S1 S4 S5
S6 S7
S8
S9
S10
S11
Einschaltphase
Switched-Capacitor-Schaltungen
Switched-Capacitor-Schaltungen (SC-Schaltungen) bestehen aus
periodisch geschalteten Kondensatoren und Operationsverstärkern.
SC-Schaltungen sind zeitdiskrete analoge Systeme
Anwendungsgebiete
– Verarbeitung (Filterung) niederfrequenter analoger Signale
– Analog/Digital-Wandlung
– Spannungswandlung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 210
106
Switched-Capacitor-Schaltungen – Warum?
Die Verarbeitung niederfrequenter Analogsignale mit aktiven
RC-Filtern erfordert große Integrations-Zeitkonstanten 𝑇𝑖 = 𝑅𝐶
Die hierfür nötigen extrem hohen Widerstands- und Kapazitätswerte
sind in integrierten Schaltungen nicht realisierbar.
Beispiel: Invertierender Integrator mit 𝑇𝑖 = 𝑅𝐶int = 100 ms
→ 𝐶int = 10 pF , 𝑹 = 𝟏𝟎 𝐆𝛀
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 211
+ U01(t) u2
i1
i2
R
Cint
–
𝑢2 𝑡 = −1
𝑅𝐶int 𝑈01 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑈2 𝑠 = −1
𝑠𝑅𝐶int𝑈01 𝑠
Beispiel: Programmable Gain Amplifier (PGA) in SC-Technik
Zweistufiger Verstärker für niederfrequente Sensorsignale
mit programmierbarer Gesamtverstärkung A0 = 1 .. 40
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 212
Q: J. Tan, IMMS
107
Layout des PGA (0,35-µm CMOS)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 213
Maßstab
100 µm
5×8 C-Matrix
(Cunit = 2,7 pF)
Zum Vergleich:
10 MΩ Poly-Si-
Widerstand
(Mäander mit
W = 1 µm)
OpAmp
Q: J. Tan, IMMS
Switched-Capacitor-Schaltungen – Funktionsprinzip
Welche Ladungsmenge ΔQ fließt nach dem Schließen
des Schalters in die vorgeladene Kapazität C ?
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 214
𝑡 < 0: 𝑄 = 𝐶𝑢𝐶,0 𝑡 ≥ 0: 𝑄 = 𝐶𝑈01 ⇒ 𝜟𝑸 = 𝑪(𝑼𝟎𝟏 − 𝒖𝑪,𝟎)
uC,0 C
t = 0
U01
Q
ΔQ
108
Switched-Capacitor-Schaltungen – Funktionsprinzip
Widerstand: Strom i und
Ladungstransport ΔQ
über einem Zeitintervall T
Kapazität: Landungstransport
ΔQ und mittlerer Strom 𝑖 über
einem Schaltzyklus 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 215
𝑖 = 1
𝑅 (𝑈01 − 𝑈02)
Δ𝑄 = 𝑖 𝑑𝑡
𝑇
=𝑇
𝑅(𝑈01 − 𝑈02)
C
U01
ΔQ1
U02
ΔQ2
Φ1 Φ2
R
U01
i, ΔQ
U02
𝜙1: Δ𝑄1 = 𝐶(𝑈01 − 𝑈02) 𝜙2: Δ𝑄2 = 𝐶(𝑈01 − 𝑈02)
𝑖 =Δ𝑄
𝑇=
𝐶
𝑇 (𝑈01 − 𝑈02)
0.5 1 1.5 2 2.5
1
Φ2
T
Φ1
T1 T2
Identisches Verhalten für 𝟏
𝑹 =
𝑪
𝑻
Strukturentwurf von SC-Schaltungen aus RC-Schaltungen
Wähle T gemäß Abtasttheorem (Nyquist) und ersetze Widerstände
in RC-Schaltungen durch periodisch geschaltete Kondensatoren:
Hohe effektive Widerstandswerte mit technisch und
ökonomisch sinnvollen Kapazitätswerten erzielbar!
Beispiel: Invertierender Integrator für 𝑓max = 500 Hz, 𝑇𝑖 = 100 ms
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 216
R i, ΔQ ΔQ1 ΔQ2
Φ1 Φ2
𝐶 =𝑇
𝑅
𝐶int = 10 pF, 𝑪 = 𝟎. 𝟏 𝐩𝐅 @ 𝑓𝑠 =1
𝑇= 1 kHz 𝑹 = 𝟏𝟎 𝐆𝛀
109
Strukturentwurf von SC-Schaltungen aus RC-Schaltungen
Bestimme die zu den abgebildeten RC-Schaltungen
äquivalenten SC-Schaltungen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 217
Spannungsteiler Invertierender Integrator
+ U01(t) u2
i1
i2
R
Cint
–
R1
U01
u2 R2
Strukturentwurf von SC-Schaltungen aus RC-Schaltungen
SC-Äquivalent des resistiven Spannungsteilers
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 218
𝐶1 =𝑇
𝑅1 𝐶2 =
𝑇
𝑅2
u2
Φ1 Φ2
Φ1 U01 C1 C2
S1 S2
S3
R1 R2
1 2 3
110
SC-Äquivalent des invertierenden RC-Integrators
Strukturentwurf von SC-Schaltungen aus RC-Schaltungen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 219
𝐶1 =𝑇
𝑅1
+ U01(t) u2
i2
C2
– Φ1 Φ2
C1
R1
S1 S2 1 2
3 4
Analyse von SC-Schaltungen – Notation
𝜙𝑖,𝑘 := Zustand des Schalters 𝑆𝑖 in der
k-ten Phase (0 = offen, 1 = geschlossen)
𝑥𝑖,𝑘[𝑛] := Wert der Größe 𝑥𝑖 am Ende
der k-ten Phase des n-ten Schaltzyklus
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 220
𝜙𝑖,𝑘 = 1, 𝑖 = 𝑘0, 𝑖 ≠ 𝑘
𝑥𝑖,𝑘 𝑛 = 𝑥𝑖 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏𝑘
Zyklus 𝒏 Zyklus 𝒏 + 𝟏 Zyklus 𝒏 − 𝟏
Zeit t 𝜏1
𝜏2
𝜏𝑁−1
𝜏𝑁 = 𝑇
𝑥𝑖,𝑁[𝑛 − 1] 𝑥𝑖,1[𝑛] 𝑥𝑖,2[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁−1[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁[𝑛]
𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇
𝜙𝑖,1 𝜙𝑖,2 𝜙𝑖,3..𝑛−1 𝜙𝑖,𝑛
111
Manuelle Analyse von SC-Schaltungen
1. Zeichne das Ersatzschaltbild für jede Schaltphase unter
Berücksichtigung der jeweiligen Schalterzustände
2. Benenne die unabhängigen Variablen in jeder Phase
– Knotenpotentiale 𝑣𝑗,𝑘
– Ladungen 𝑄𝑖,𝑘
wobei j = Knotenindex, k = Phasenindex und i = Index der Kapazität 𝐶𝑖
3. Formuliere die Netzwerkgleichungen in den Variablen 𝑣𝑗,𝑘 und 𝑄𝑖,𝑘
– Elementebeziehungen der unabhängigen Spannungsquellen,
Kapazitäten und spannungsgesteuerten Spannungsquellen (OpAmps)
– Ladungserhaltung bei allen Übergängen zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Schaltphasen
4. Löse die Gleichungen nach den zu bestimmenden Größen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 221
Analyse des SC-Spannungsteilers (1)
1. Ersatzschaltbilder für die zwei Schaltphasen Φ1 und Φ2
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 222
u2
Φ1 Φ2
Φ1 U01 C1 C2
S1 S2
S3 Q1 Q2
1 2 3
u2,1 U01 C1 C2
1,2
u2,2 U01 C1 C2
2,3 1
Φ1 Φ2
112
Analyse des SC-Spannungsteilers (2)
2. Benennung der unabhängigen Variablen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 223
Φ1
Φ2
u2,1 U01 C1 C2
Q1,1 Q2,1
v(1,2),1
u2,2 U01 C1 C2
Q1,2 Q2,2
v(2,3),2 v(1),2
Phasenindex
Knotenindex
Analyse des SC-Spannungsteilers (3)
3. Netzwerkgleichungen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 224
Φ1
Φ2
u2,1 U01 C1 C2
Q1,1 Q2,1
v(1,2),1
u2,2 U01 C1 C2
Q1,2 Q2,2
v(2,3),2 v(1),2
𝑣 1,2 ,1 = 𝑈01
𝑄1,1 = 𝐶1𝑣 1,2 ,1
𝑄2,1 = 0
𝑣 1 ,2 = 𝑈01
𝑄1,2 = 𝐶1𝑣(2,3),2
𝑄2,2 = 𝐶2𝑣 2,3 ,2
Ladungserhaltung am Knoten (2,3):
𝑄1,2 + 𝑄2,2 = 𝑄1,1 + 𝑄2,1
7 Unbekannte, 7 Gleichungen
113
Analyse des SC-Spannungsteilers (4)
4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannung u2
am Ende des Schaltzyklus
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 225
Φ2 u2,2 = v(2,3),2 U01 C1 C2
Q1,2 Q2,2
v(2,3),2 v(1),2
4 ⇒ 𝐶1 + 𝐶2 𝑣 2,3 ,2 = 𝐶1𝑈01
⇒ 𝑣 2,3 ,2 =𝐶1
𝐶1 + 𝐶2𝑈01 =
𝑇𝑅1
𝑇𝑅1
+ 𝑇𝑅2
𝑈01 =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2𝑈01
𝑣 1,2 ,1 = 𝑈01 1
𝑄1,1 = 𝐶1𝑣 1,2 ,1 2
𝑄2,1 = 0 3
𝑄1,2 + 𝑄2,2 = 𝑄1,1 + 𝑄2,1 4
𝑣 1 ,2 = 𝑈01 5
𝑄1,2 = 𝐶1𝑣 2,3 ,2 6
𝑄2,2 = 𝐶2𝑣 2,3 ,2 7
Analyse des SC-Spannungsteilers (5)
Die Gesamtlösung im Zeitbereich ergibt sich aus der zeitlichen
Verschachtelung der Lösungen der einzelnen Schaltphasen
𝑢2 𝑡 =
𝑢2,1 = 0 für 𝑡 ∈ [𝑛𝑇, 𝑛𝑇 + 𝜏1)
𝑢2,2 =𝐶1𝑈01
𝐶1 + 𝐶2 für 𝑡 ∈ [𝑛𝑇 + 𝜏1, 𝑛𝑇 + 𝜏2)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 226
0.5 1 1.5 2 2.5
1
T
𝜏1
𝜏2 = 𝑇
𝑛 − 1 𝑛 𝑛 + 1
𝑢2,2
𝑢2,1 𝑡
𝑢2(𝑡)
114
Analyse des invertierenden SC-Integrators (1)
1. Ersatzschaltbilder für die zwei Schaltphasen Φ1 und Φ2 im Zyklus n
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 227
Φ1 Φ2
+ 𝑈01(𝑡) u2
i2
C2
– Φ1 Φ2
C1
S1 S2 1 2
3 4
+
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)
u2,1[n]
C2
–
C1
1,2 3 4
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)
+ u2,2[n]
C2
–
C1
1 2,3 4
Analyse des invertierenden SC-Integrators (2)
2. Benennung der unabhängigen Variablen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 228
Φ1
Φ2
+ 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1) u2,1[n]
C2
–
C1
Q1,1[n]
v(1,2),1[n]
v(3),1[n] v(4),1[n]
Q2,1[n]
C2
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2) +
u2,2[n]
–
C1
v(1),2[n]
Q1,2[n]
v(2,3),2[n] v(4),2[n] Q2,2[n]
115
Analyse des invertierenden SC-Integrators (3)
3. Netzwerkgleichungen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 229
Φ1
Φ2
𝑣 1,2 ,1 𝑛 = 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)
𝑣 3 ,1 𝑛 = 0
𝑄1,1[𝑛] = 𝐶1𝑣 1,2 ,1[𝑛]
𝑄2,1 𝑛 = 𝐶2 𝑣 4 ,1 𝑛 − 𝑣 3 ,1 𝑛
𝑄2,1 𝑛 = 𝑄2,2[𝑛 − 1]
𝑄1,2 𝑛 + 𝑄2,2 𝑛 = 𝑄1,1 𝑛 + 𝑄2,1[𝑛]
𝑣 1 ,2 𝑛 = 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)
𝑣 2,3 ,2 𝑛 = 0
𝑄1,2 𝑛 = 𝐶1𝑣 2,3 ,2 𝑛
𝑄2,2 𝑛 = 𝐶2 𝑣 4 ,2 𝑛 − 𝑣 2,3 ,2 𝑛
+
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)
u2,1[n]
C2
–
C1
Q1,1[n]
v(1,2),1[n]
v(3),1[n] v(4),1[n]
Q2,1[n]
C2
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)
+ u2,2[n]
–
C1
v(1),2[n]
Q1,2[n]
v(2,3),2[n] v(4),2[n] Q2,2[n]
Analyse des invertierenden SC-Integrators (4)
4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannungen 𝑢2,𝑘[𝑛]
𝑢2,1 𝑛 = 𝑣 4 ,1 𝑛 =1
𝐶2𝑄2,2 𝑛 − 1
𝑢2,2 𝑛 = 𝑣 4 ,2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01( 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏1) +
1
𝐶2𝑄2,2 𝑛 − 1
Mit 𝑄2,2 𝑛 − 1 = 𝐶2(𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 2,3 ,2[𝑛 − 1]) = 𝐶2𝑣 4 ,2 𝑛 − 1
und 𝑈01 𝑛 ≔ 𝑈01( 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏1):
𝑢2,1 𝑛 = 𝑢2,2[𝑛 − 1]
𝑢2,2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑢2,2[𝑛 − 1]
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 230
Zeitdiskreter Integrator (= Summierer)
116
Analyse des invertierenden SC-Integrators (5)
Auswertung der Rekursionsvorschrift
𝑢2,2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑢2,2 𝑛 − 1
für 𝐶2 = 2𝐶1, 𝑈01 𝑛 = 1 V und Anfangsbedingung 𝑣(4),2 0 = 0.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 231
0 2 4 6 8 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
𝑢2,2[𝑛]
𝑈01[𝑛]
𝑛
Analyse des invertierenden SC-Integrators (6)
Zuordnung der Lösungen aus den einzelnen Schaltphasen zu den
tatsächlichen Zeitintervallen und Darstellung der Gesamtlösung im
Zeitbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 232
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
𝑢2,2[𝑛]
𝑢2,1[𝑛]
𝑈01[𝑛]
𝑈01(𝑡)
𝑢2(𝑡) 𝑇
𝑡/𝑇
𝑛
𝑥𝑖,𝑘[1] 𝑥𝑖,𝑘[2] 𝑥𝑖,𝑘[3]
Zyklus 1 Zyklus 2 Zyklus 3
117
Manuelle Analyse von SC-Schaltungen –
Zusammenfassung
Ersatzschaltbilder für alle Schaltphasen zeichnen
Elementebeziehungen für alle Schaltphasen aufstellen
Übergangsbedingungen zwischen den Schaltphasen
(Ladungserhaltung) formulieren
Gleichungen lösen
è Mühsame und fehlerträchtige Vorgehensweise zur Aufstellung der
Gleichungen, nicht gut geeignet für die Automatisierung
Besser: allgemeingültige Gleichungsformulierung ohne
phasenspezifische Ersatzschaltbilder …
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 233
Analyse von SC-Schaltungen mit der MNA
Rückblick: Modifizierte Knotenanalyse für elektrische Netzwerke
(Zweigstromvektor 𝛗 = 𝐢) und Grenzfall 𝐸2 = 𝐸 ⇒ 𝛗2 = 𝐢 (siehe Ü6)
𝐀𝐢𝐡(𝐢, 𝐀𝑇𝐯)
= 0
Wir interessieren uns nicht für Momentanwerte der Ströme 𝐢, sondern für den Ladungstransfer 𝚫𝐐𝑘 in der Schaltphase 𝜙𝑘:
𝚫𝐐𝑘 𝑛 = 𝐢 𝑡 𝑑𝑡
𝑛𝑇+𝜏𝑘
𝑛𝑇+𝜏𝑘−1
Schreibe die MNA für die Analyse von SC-Schaltungen in
integraler Form unter Verwendung von 𝚫𝐐𝑘 = ∫ 𝐢𝑑𝑡 bzw. 𝐢 = 𝚫𝐐 𝑘:
𝐀 ⋅ 𝚫𝐐𝑘 𝑛
𝐡(𝚫𝐐𝑘 𝑛 , 𝐀𝑇𝐯𝑘 𝑛 )= 0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 234
118
MNA für SC-Schaltungen: Elementebeziehungen (1)
Elementebeziehung der unabhängigen Spannungsquelle
Elementebeziehung der linearen Kapazität
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 235
𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 = 𝑈0((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘)
C u[n]
ΔQk[n]
v(p),k[n]
v(q),k[n]
Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶(𝑣 𝑝 − 𝑣 𝑞 )𝑑𝑡
𝑛𝑇+𝜏𝑘
𝑛𝑇+𝜏𝑘−1
= 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 − 𝑣𝐶0
mit 𝑣𝐶0 = 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛 , 𝑘 = 2 …𝑁
𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1 , 𝑘 = 1
ΔQk[n]
v(p),k[n]
v(q),k[n]
𝑈0 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘
MNA für SC-Schaltungen: Elementebeziehungen (2)
Elementebeziehung des idealen Schalters
Elementebeziehung des idealen Operationsverstärkers
(spannungsgesteuerte Spannungsquelle)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 236
𝜙𝑖,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙𝑖,𝑘 Δ𝑄𝑘 𝑛 = 0
mit 𝜙𝑖,𝑘 = 1, 𝑖 = 𝑘0, 𝑖 ≠ 𝑘
u[n]
ΔQk[n]
v(p),k[n]
v(q),k[n]
Φi
+
ΔQk[n] –
v(p),k[n]
v(q),k[n]
v(r),k[n] A
𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 −1
𝐴𝑣 𝑟 ,𝑘 𝑛 = 0
𝐴→∞
𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 = 0
119
MNA für SC-Schaltungen: Elementebeziehungen (3)
Elementebeziehung der linearen Kapazität: alternative Notation
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 237
C u[n]
ΔQk[n]
v(p),k[n]
v(q),k[n]
Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 − 𝑣𝐶0
mit 𝑣𝐶0 = 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛 , 𝑘 = 2 …𝑁
𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1 , 𝑘 = 1
Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛
− 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛
Analyse von SC-Schaltungen mit der MNA
1. Benenne die unabhängigen Variablen unter Verwendung des
Zyklenindex n und eines allgemeinen Phasenindex k
– Knotenpotentiale 𝑣𝑗,𝑘[𝑛]
– Ladungstransfers Δ𝑄𝑖,𝑘[𝑛] durch alle Zweige
wobei j = Knotenindex, i = Zweigindex
2. Formuliere die MNAk in den Variablen 𝑣𝑗,𝑘[𝑛] und Δ𝑄𝑖,𝑘[𝑛]
– Knotengleichungen 𝐀 ⋅ Δ𝐐𝑘 𝑛 = 0
– Elementebeziehungen der unabhängigen Spannungsquellen,
Kapazitäten, Schalter und OpAmps
3. Evaluiere die MNAk für jeden Phasenindex 𝑘 = 1 …𝑁 und fasse die
Ergebnisse zu einem Gleichungssystem zusammen
4. Löse die Gleichungen nach den zu bestimmenden Größen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 238
120
Analyse des invertierenden SC-Integrators (7)
1. Variablen benennen: Knotenpotentiale und Ladungstransfers
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 239
+
u2,k[n]
ΔQOP,k[n]
C2
– Φ1 Φ2
C1
S1 S2
ΔQC2,k[n]
ΔQS2,k[n] ΔQS1,k[n]
ΔQU01,k[n] ΔQC1,k[n]
𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘)
V(1),k[n]
V(2),k[n]
V(3),k[n]
V(4),k[n]
Analyse des invertierenden SC-Integrators (8)
2. Netzwerkgleichungen aufstellen (zeitvariante MNAk)
1 Δ𝑄𝑈01,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 = 0
2 − Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 = 0
3 − Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 = 0
4 − Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,𝑘 𝑛 = 0
𝑈01: 𝑣 1 ,𝑘 𝑛 = 𝑈01 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏𝑘
𝑆1: 𝜙1,𝑘 𝑣 1 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 2 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙1,𝑘 Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 = 0
𝐶1: Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑛 − 𝐶1[𝑣 2 ,𝑘 𝑛 − 𝜙1,𝑘𝑣 2 ,𝑁 𝑛 − 1
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 2 ,𝑘−1[𝑛]] = 0
𝑆2: 𝜙2,𝑘 𝑣 2 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙2,𝑘 Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 = 0
𝐶2: Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 4 ,𝑘 𝑛
−𝜙1,𝑘 𝑣 3 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 4 ,𝑘−1 𝑛 − 1
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 3 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 4 ,𝑘−1 𝑛 ] = 0
OP: 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 = 0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 240
Zeitvariante
Gleichungen
121
Analyse des invertierenden SC-Integrators (9)
3. MNAk für alle Phasen 𝑘 = 1 …2 auswerten und zu zeitinvariantem
Gleichungssystem zusammenfassen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 241
Δ𝑄𝑈01,1 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,1 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝑆1,1 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,1 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,1 𝑛 = 0
𝑣 1 ,1[𝑛] = 𝑈01 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1
𝑣 1 ,1 𝑛 − 𝑣 2 ,1 𝑛 = 0
Δ𝑄𝐶1,1 𝑛 − 𝐶1 𝑣 2 ,1 𝑛 − 𝑣 2 ,2 𝑛 − 1 = 0
Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 = 0
Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,1 𝑛 − 𝑣 4 ,1 𝑛
− 𝑣 3 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 ] = 0
𝑣 3 ,1 𝑛 = 0
Δ𝑄𝑈01,2 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,2 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,2 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝑆2,2 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 = 0
−Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,2 𝑛 = 0
𝑣 1 ,2[𝑛] = 𝑈01 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2
Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 = 0
Δ𝑄𝐶1,2 𝑛 − 𝐶1 𝑣 2 ,2 𝑛 − 𝑣 2 ,1 𝑛 = 0
𝑣 2 ,2 𝑛 − 𝑣 3 ,2 𝑛 = 0
Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,2 𝑛 − 𝑣 4 ,2 𝑛
− 𝑣 3 ,1 𝑛 − 𝑣 4 ,1 𝑛 ] = 0
𝑣 3 ,2 𝑛 = 0
𝑘 = 1 𝑘 = 2
Analyse des invertierenden SC-Integrators (10)
4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannung u2
am Ende des n-ten Schaltzyklus
𝑢2,2 𝑛 = 𝑣(4),2 𝑛
= −𝐶1
𝐶2𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1) + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 3 ,2[𝑛 − 1]
Mit 𝑣 3 ,𝑘 = 0 und 𝑈01 𝑛 ≔ 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1):
𝑣(4),2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 242
122
Z-Transformation
Gegeben sei die Zahlenfolge 𝑥[𝑛] = 0, 𝑛 < 0 𝑥𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≥ 0
Die (einseitige) Z-Transformation des zeitdiskreten, kausalen
Signals 𝑥[𝑛] ist definiert durch die Laurent-Reihe
𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
mit 𝑧 = 𝐴𝑒𝑗Ω; 𝐴, Ω ∈ ℝ bzw. 𝑧 = 𝜎 + 𝑗𝜔; 𝜎, 𝜔 ∈ ℝ
Die Z-Transformation zeitdiskreter Signale ist das Analogon zur
Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 243
Verschiebungssatz der Z-Transformation
Es gilt der (Rechts-)Verschiebungssatz der Z-Transformation
𝑍 𝑥 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑥 𝑚 𝑧−𝑚−𝑘
∞
𝑚=−𝑘
= 𝑧−𝑘𝑋(𝑧)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 244
1 2 3 4 5 6 7 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6 7 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
…
…
𝑛
𝑛
𝑥 𝑛 𝑋(𝑧)
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 1 𝑌 𝑧 = 𝑧−1𝑋(𝑧)
𝑥 𝑛
𝑦 𝑛
123
Übertragungsfunktion 𝐻(𝑧)
Analyse des invertierenden SC-Integrators (11)
z-Transformation der Rekursionsvorschrift
𝑣(4),2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1
𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑧 + 𝑧−1𝑉 4 ,2 𝑧
⇒ 𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1
𝐶2 1 − 𝑧−1 𝑈01 (𝑧)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 245
Frequenzgang eines zeitdiskreten LTI-Systems
Es sei 𝐻 𝑧 die Übertragungsfunktion eines zeitdiskreten
LTI-Systems und 𝐻(Ω) die auf dem Einheitskreis ausgewertete
Übertragungsfunktion.
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧
𝐻 Ω ≔ 𝐻 𝑧 𝑧=𝑗Ω
Die Anregung des Systems mit einer komplexen Exponentialfolge
𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗Ω𝑛
ergibt eine Exponentialfolge 𝑦 𝑛 gleicher Frequenz Ω mit vom
Frequenzgang 𝐻 Ω bestimmter Amplitude und Phasenlage.
𝑦 𝑛 = 𝐻 Ω 𝑒𝑗Ω𝑛
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 246
124
Analyse des invertierenden SC-Integrators (12)
Frequenzgang des SC-Integrators
𝐻 𝑧 = −𝐶1
𝐶2 1 − 𝑧−1
⇒ 𝐻 Ω = −𝐶1
𝐶2(1 − 𝑒−𝑗Ω)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 247
2 0 2
0
1
2
Ω
H Ω
Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich
Z-transformierte Elementebeziehung der linearen Kapazität
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 248
C u[n]
ΔQk[n]
v(p),k[n]
v(q),k[n]
C U(z)
ΔQk(z)
V(p),k(z)
V(q),k(z)
Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛
− 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛
Δ𝑄𝑘 (𝑧) = 𝐶 𝑉 𝑝 ,𝑘(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑘(𝑧)
− 𝜙1,𝑘𝒛−𝟏 𝑉 𝑝 ,𝑁(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑁(𝑧)
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 𝑝 ,𝑘−1(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑘−1(𝑧)
125
Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich – Annahmen (1)
Jeder Schaltzyklus ist unterteilt in
N Phasen gleicher Länge 𝜏 = 𝑇/𝑁:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 249
Zyklus 𝒏 Zyklus 𝒏 + 𝟏 Zyklus 𝒏 − 𝟏
Zeit t 𝜏1 = 𝑇/𝑁
𝜏2 = 2𝑇/𝑁
𝜏𝑁−1 = 𝑁 − 1 𝑇/𝑁
𝜏𝑁 = 𝑇
𝑥𝑖,𝑁[𝑛 − 1] 𝑥𝑖,1[𝑛] 𝑥𝑖,2[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁−1[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁[𝑛]
𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇
𝜙𝑖,1 𝜙𝑖,2 𝜙𝑖,3..𝑛−1 𝜙𝑖,𝑛
𝜏𝑘 = 𝑘𝜏 = 𝑘𝑇
𝑁
𝑥𝑖,𝑘 𝑛 = 𝑥𝑖 𝑛 − 1 𝑇 + 𝑘𝜏
Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich – Annahmen (2)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 250
Alle unabhängigen Eingangsspannungen 𝑈0𝑖(𝑡) werden zu Beginn
jeder Phase abgetastet und bis zum Ende der Phase gehalten
(engl. sample and hold, S&H):
𝑈 0𝑖 𝑡 = 𝑈0𝑖 𝑛𝑇 + 𝑘𝜏 für 𝑡 ∈ [ 𝑛𝑇 + 𝑘𝜏, 𝑛𝑇 + 𝑘 + 1 𝜏 )
Nach einem Schaltvorgang erfolgt ein instantaner Ladungsausgleich
(vernachlässigbare Einschwingzeit)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
𝑈 0𝑖 𝑡
𝑈0𝑖 𝑡
𝜏 = 𝑇/𝑁
126
Transformation von Eingangsfolgen in den z-Bereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 251
𝑈0𝑖,𝑘 𝑛 ≔ 𝑈0𝑖 𝑛 − 1 𝑇 +𝑘 − 1
𝑁𝑇
𝑈0𝑖,𝑘 𝑧 = 𝑧+𝑘−1𝑁 𝑈0𝑖,1 𝑧 ≔ 𝑧
𝑘−1𝑁 𝑈0𝑖 𝑧
Zyklus 𝒏 Zyklus 𝒏 + 𝟏 Zyklus 𝒏 − 𝟏
Zeit t
𝑈0𝑖(𝑧) 𝑧1𝑁𝑈0𝑖(𝑧)
𝑈0𝑖,𝑁[𝑛]
𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇
𝜙𝑖,1 𝜙𝑖,2 𝜙𝑖,3..𝑛−1 𝜙𝑖,𝑛
𝑧2𝑁𝑈0𝑖(𝑧) 𝑧
𝑁−1𝑁 𝑈0𝑖(𝑧)
𝑈0𝑖,3[𝑛] 𝑈0𝑖,2[𝑛] 𝑈0𝑖,1[𝑛]
𝑡 = 𝑛 − 1 𝑇 +𝑘
𝑁𝑇
Analyse des invertierenden SC-Integrators im z-Bereich (1)
1. Variablen benennen: 𝑉 𝑗 ,𝑘(𝑧) und Δ𝑄𝑖,𝑘(𝑧)
2. Netzwerkgleichungen aufstellen
1 Δ𝑄𝑈01,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 = 0
2 − Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 = 0
3 − Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 = 0
4 − Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑂𝑃,𝑘 𝑧 = 0
𝑈01: 𝑉 1 ,𝑘 𝑧 = 𝑧𝑘−1
𝑁 𝑈01 𝑧
𝑆1: 𝜙1,𝑘 𝑉 1 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 2 ,𝑘 𝑧 + 1 − 𝜙1,𝑘 Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 = 0
𝐶1: Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑧 − 𝐶1[𝑉 2 ,𝑘 𝑧 − 𝜙1,𝑘𝑧−1𝑉 2 ,𝑁 𝑧
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 2 ,𝑘−1(𝑧)] = 0
𝑆2: 𝜙2,𝑘 𝑉 2 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 + 1 − 𝜙2,𝑘 Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 = 0
𝐶2: Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 − 𝐶2[ 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑘 𝑧
−𝜙1,𝑘𝑧−1 𝑉 3 ,𝑁 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑁 𝑧
− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 3 ,𝑘−1 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑘−1 𝑧 ] = 0
OP: 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 = 0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 252
127
Analyse des invertierenden SC-Integrators im z-Bereich (2)
3. MNAk für alle Phasen 𝑘 = 1 …2 auswerten und zusammenfassen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 253
Δ𝑄𝑈01,1 𝑧 + Δ𝑄𝑆1,1 𝑧 = 0
−Δ𝑄𝑆1,1(𝑧) + Δ𝑄𝐶1,1(𝑧) + Δ𝑄𝑆2,1(𝑧) = 0
−Δ𝑄𝑆2,1(𝑧) + Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) = 0
−Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) + Δ𝑄𝑂𝑃,1(𝑧) = 0
𝑉 1 ,1 𝑧 = 𝑈01(𝑧)
𝑉 1 ,1(𝑧) − 𝑉 2 ,1(𝑧) = 0
Δ𝑄𝐶1,1(𝑧) − 𝐶1 𝑉 2 ,1(𝑧) − 𝑧−1𝑉 2 ,2(𝑧) = 0
Δ𝑄𝑆2,1 (𝑧) = 0
Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) − 𝐶2[ 𝑉 3 ,1(𝑧) − 𝑉 4 ,1(𝑧)
−𝑧−1 𝑉 3 ,2(𝑧) − 𝑉 4 ,2(𝑧) ] = 0
𝑉 3 ,1(𝑧) = 0
Δ𝑄𝑈01,2(𝑧) + Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) = 0
−Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) + Δ𝑄𝐶1,2(𝑧) + Δ𝑄𝑆2,2(𝑧) = 0
−Δ𝑄𝑆2,2(𝑧) + Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) = 0
−Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) + Δ𝑄𝑂𝑃,2(𝑧) = 0
𝑉 1 ,2 𝑧 = 𝑧1
2𝑈01 𝑧
Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) = 0
Δ𝑄𝐶1,2(𝑧) − 𝐶1 𝑉 2 ,2(𝑧) − 𝑉 2 ,1(𝑧) = 0
𝑉 2 ,2(𝑧) − 𝑉 3 ,2(𝑧) = 0
Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) − 𝐶2[ 𝑉 3 ,2(𝑧) − 𝑉 4 ,2(𝑧)
− 𝑉 3 ,1(𝑧) − 𝑉 4 ,1(𝑧) ] = 0
𝑉 3 ,2(𝑧) = 0
𝑘 = 1 𝑘 = 2
Analyse des invertierenden SC-Integrators im z-Bereich (3)
4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannungen 𝑉 4 ,𝑘(𝑧)
𝑉 4 ,1 𝑧 = −𝐶1
𝐶2 𝑧 − 1𝑈01 𝑧 = −
𝐶1𝑧−1
𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧
𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1𝑧
𝐶2 𝑧 − 1𝑈01 𝑧 = −
𝐶1
𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧
𝑣 4 ,1 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 − 1 + 𝑣 4 ,1 𝑛 − 1
𝑣 4 ,2 𝑛 = −𝐶1
𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 254
128
Analyse des invertierenden SC-Integrators im z-Bereich (4)
Überlagerung der Phasenlösungen zur Gesamtlösung im
Frequenzbereich
𝑋𝑖 𝑧 = 𝑧−𝑘+1𝑁 𝑋𝑖,𝑘(𝑧)
𝑁
𝑘=1
𝑉 4 ,1 𝑧 = −𝐶1𝑧
−1
𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧
𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1
𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧
⇒ 𝑉4 𝑧 = 𝑉 4 ,1 𝑧 + 𝑧−12𝑉 4 ,2 𝑧 = −
𝐶1 𝑧−12 + 𝑧−1
𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01(𝑧)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 255
Switched-Capacitor-Schaltungen – Zusammenfassung
SC-Schaltungen ermöglichen die Verarbeitung niederfrequenter
Analogsignale in integrierter Schaltungstechnik mit hoher Präzision
(Kapazitätsverhältnisse) und Kosteneffizienz (Chipfläche).
SC-Schaltungen sind zeitvariante Systeme. Sie lassen sich mit Hilfe
der MNA und der Z-Transformation systematisch im Zeitbereich und
im Frequenzbereich analysieren.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 256
129
Modellierung und Simulation
von Delta-Sigma ADCs
Eric Schäfer <[email protected]>
Wintersemester 2011/12
Motivation: Analoge vs. Digitale Elektronik
Warum analoge Signale?
– Mensch, Natur und Umwelt (inter-) agieren und mit analogen Größen
– Schnittstelle zu elektronischen Schaltungen (Sensoren, Aktoren)
müssen analog sein
Warum digitale Signalverarbeitung?
– Digitale Signale sind weniger rauschanfällig
– Digitale Signal können beliebig genau verarbeitet werden
– Entwurfsprozess für digitale Systeme ist stärker automatisiert
– Chipfläche skaliert mit Technologiegeneration
Koppelglied zwischen analoger und digitaler Domäne: A/D-Wandler
– Inhärentes Mixed-Signal-System heterogenes System
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 258
130
Ziel der nächsten Veranstaltungen
Anwenden des bisher gelernten Methoden unter Nutzung der
kennengelernten Entwurfswerkzeuge zum Verständnis von Delta-
Sigma Analog/Digital-Wandlern (Modellbasierter Entwurf)
Delta-Sigma ADC
– Analog/Digital-Wandler
– Extern: Hohe Auflösung (24 Bit) bei moderaten Abtastraten (100 kHz)
– Intern: ADC mit geringer Auflösung (1 Bit) und hoher Abtastrate (1 GHz)
– Delta-Sigma-Modulation:
„Gegenseitige Umwandlung von Auflösung (Dynamik) und Bandbreite“
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 259
Modellierung und Simulation von Delta-Sigma ADCs
Inhaltsverzeichnis
Grundlegende Funktion von A/D-Wandler
Wandlerprinzipien
Quantisierer und Quantisierungsfehler
Frequenzbereichsbetrachtung (DFT)
Nichtideale Quantisierung (DNL/INL)
Überabtastung (Oversampling)
Rauschformungsschleife (Noise shaping)
Delta-Sigma-Modulator
Dezimationsfilter
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 265
131
Analog/Digital-Wandler: Architekturebene
N-Bit-A/D-Wandler
Funktion: @start↑ dout := round((2n – 1)*vin/vmax) after tconv;
Nur Funktionsbeschreibung, keine Konkretisierung des
Wandlerprinzips, keine Beschreibung inneren Zeitverhaltens!
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 266
A/D
(tconv)
dout<0..n-1>
vin
start
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
7
vin
dout
n = 3
Analog/Digital-Wandler
Wandelt ein werte- und zeitkontinuierliches (analoges) Signals in
ein werte- und zeitdiskretes (digitales) Signal [siehe Folien 41−46]
Funktionen in Stufen:
– 1. Stufe: Abtastung (S/H…Sample and Hold)
– 2. Stufe: Quantisierung (Quantizer)
– 3. Stufe: Kodierung (Coder)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 267
S/H dout[n]
vin(t)
clk
Coder Quantizer
A/D
132
Analog/Digital-Wandler: Architekturebene
Sample (and Hold)
Funktion:
– @clk↑: vin[n] := k ∙ vin(t);
– zeitkontinuierlich zeitdiskret
Beispiel:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 268
S/H vin(t)
clk
vin[n]
vin[n]
vin(t)
t
Analog/Digital-Wandler: Architekturebene
Quantizer
Funktion:
– vout[n] := round(vin[n]);
– wertekontinuierlich wertediskret
Beispiel: 3-Bit-Quantizer
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 269
Quantizer vin[n] vout[n]
vin[n] vout[n]
t
133
Analog/Digital-Wandler: Architekturebene
Coder
Funktion:
– dout[n] := coder_table(vout[n]);
– Dezimalzahl Binärzahl
Beispiel: 2er-Komplement (siehe Übung)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 270
Coder dout[n] vout[n]
vin(t)
dout[n]
t
Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien
Stufenweise Umsetzer (Zählverfahren)
– Single-Slope-Umsetzer (Sägezahn-/Einrampenverfahren)
– Dual- und Quadslope-Umsetzer (Mehrrampenverfahren)
– Ladungsbilanz-Umsetzer
Rückgekoppelter Umsetzer (Serielles Verfahren)
– Nachlauf-Umsetzer
– Sukzessive Approximation
– Delta-Sigma-Verfahren
Flash-Umsetzer (Paralleles Verfahren)
– Echter Parallelumsetzer
– Pipeline-Umsetzer
Hybrid-Umsetzer
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 271
Q: http://de.wikipedia.org/wiki/Analog-Digital-Umsetzer
134
Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien (1)
Parallel-Wandler
Auch: Flash-ADC
Wandlung innerhalb von
einem Taktzyklus
Hoher Materialaufwand
(Flächenbedarf) und hohe
Leistungsaufnahme
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 272
Q: Burns & Bond, 1997
Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien (2)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 273
Q: Burns & Bond, 1997
Zähler-ADC
Wandlungszeit nicht konstant
(abhängig vom Wert der
Eingangsspannung)
135
Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien (3)
Successive Approximation
Register (SAR-ADC)
Auch: Wägeverfahren
Wandlung innerhalb von
n Taktzyklen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 274
Q: Burns & Bond, 1997
Q: www.allaboutcircuits.com
n = 5
Analog/Digital-Wandler: Algorithmische Ebene (SAR-ADC)
N-Bit-SAR-ADC
Implementierung des Wandlerprinzips, aber ohne genaue
Beschreibung der inneren Struktur und des Zeitverhaltens!
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 275
SAR-ADC
(tconv)
dout<0..n-1>
vin
start
wait for start
d := ´0 ... 0‘
for i = n-1 downto 0
d(i) := ´1´
if analog(d) > vin then
d(i) := ´0´
end if
end for
dout := d after tconv
136
A/D-Wandler: Register-Transfer-Ebene (SAR-ADC)
N-Bit-SAR-ADC
Implementierung des Wandlerprinzips mit
taktzyklengenauem Zeitverhalten!
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 276
@start, clk: d := ´0 ... 0‘, i = n
@clk: while i != 0
i := i-1
d(i) := ´1´
if analog(d) > vin then
d(i) := ´0´
end if
end while
@clk: dout := d
Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm
Comparator
Integrator Decimation filter
Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4)
Delta-Sigma-ADC
Kontinuierliche (gleitend)
A/D-Wandlung
DSM-Signal entspr. PWM-
Signal mit quantisierter Pulsweite
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 277
Dezimationsfilter zur
Summation/Integration
des DSM-Signals Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter
137
A/D-Wandler: Delta-Sigma ADC
Funktionsprinzip ist im Zeitbereich schwierig zu verstehen
Erklärung im Frequenzbereich ist wesentlich intuitiver
Voraussetzung:
– Signal- und systemtheoretisches Verständnis der Funktion von A/D-
Wandlern
– Mathematische Modellierung von Wandlungseffekten
– Grenzen der mathematischen Modelle und Gültigkeitsbereiche
– Nummerische Simulationen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 278
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Abtastung im Zeitbereich mit Abtastrate t0
bewirkt eine Periodisierung im Frequenz-
bereich mit einem Abstand von fp = 1/t0
Bei Einhaltung des Nyquist-Theorems
fp ≥ 2fB werden im Nutzfrequenzband
(-fB, fB) keine ungewollten Störanteile (Alias)
erzeugt. vin(t) kann in diesem Fall mit einem
Interpolationsfilterverlustfrei rekonstruiert werden.
Beispiel: Dreieckförmiges Spektrum:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 279
S/H vin(t)
clk
vin[n]
fB … Maximale Frequenz des Eingangssignals, PSD … Spektrale Leistungsdichte (Power Spectral Density)
PSD{vin(t)}
A0
f fB − fB
PSD{vin[n]}
A0
f fB − fB fp − fp
138
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Signaltheoretische Beschreibung der Abtastung im Zeitbereich
– Eingangssignal 𝑥 𝑡 mit dem Zusammenhang: ℱ 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝑓)
– Abtastung von 𝑥 𝑡 im Abstand 𝑡0 = 1/𝑓p:
𝑥s 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑚𝑡0
∞
𝑚=−∞
= 𝑡0 𝑥(𝑚𝑡0)𝑥[𝑚]
𝛿(𝑡 − 𝑚𝑡0)
∞
𝑚=−∞
– Spektrum des abgetasteten Signals:
𝑋s 𝑓 = 𝑋 𝑓 ∗ 𝛿 𝑓 − 𝜇𝑓p
∞
𝜇=−∞
= 𝑋(𝜑)
∞
𝜑= −∞
𝛿 𝑓 − 𝜇𝑓p − 𝜑 d𝜑
∞
𝜇=−∞
= 𝑋(𝜑) 𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑
∞
𝜇=−∞
=
∞
𝜑= −∞
𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑
∞
𝜇=−∞
∞
𝜑=−∞
= 𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑
∞
𝜑= −∞
∞
𝜇=−∞
= 𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)
∞
𝜇=−∞
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 280
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Quantisierer:
– Alle Angaben normiert auf 1 LSB
– Quantisierungsfehler wird als additives
Störsignal interpretiert
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 282
Quantizer vin[n] vout[n]
vin[n] vout[n] +
e[n]
vout[n] = vin[n] + e[n]
vout[n]
vin[n]
N = 3
LSB…Least Significant Bit
139
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Quantizer:
– Kennlinie normiert auf 1 LSB
– Quantisierungsfehler wird als additives
Störsignal interpretiert
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 283
Quantizer vin[n] vout[n]
vin[n] vout[n] +
e[n]
vout[n] = vin[n] + e[n]
vout[n]
vin[n]
N = 3
e[n]
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Beispiel: 3-Bit Quantizer
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 284
vout[n]
t
e[n]
t
140
e[n]
vin[n]
Full-Scale Range
(FSR)
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Eigenschaften des Quantisierungsfehler:
– Abhängig vom Eingangssignal vin[n]
– Unter der Annahme, dass:
1. der Quantizer nicht übersteuert wird (FSR),
2. die Anzahl an Quantisierungsstufen sehr hoch ist,
3. deren (Zuordnung-)breite in vin[n] sehr klein ist,
4. die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
von vin[n] flach ist,
lässt sich e[n] als unkorrelierter, weißer
Rauschenprozess E mit einer gleichverteilter
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion approximieren.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 285
e[n] = vout[n] - vin[n] = f(vin[n])
A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal
Eigenschaften des Quantisierungsfehler:
– Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von E:
– Leistungsdichtespektrum (PSD) des Fehlersignals:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 286
1
0 0.5 -0.5
pE(e)
e
1 / (12∙fs)
0 0.5 ∙fs -0.5 ∙fs
PSD{E}
f
… …
Var{𝐸} = 𝑒2𝑝E 𝑒 d𝑒∞
−∞
entspricht
Rauschleistung
Var{𝐸} = PSD 𝐸 d𝑓𝑓s/2
−𝑓s/2
=1
12
=1
12
141
A/D-Wandler: Signal-zu-Rauschabstand (SNR)
Wikipedia: „[…] Maß für die technische Qualität eines Nutzsignals
[…], das von einem Rauschsignal überlagert ist.“
Kapazität eines Informationskanals ist abhängig vom SNR
– S … Signalleistung des informationstragengen Signals
– N … Rauschleistung des im
Kanal erzeugten Rauschens
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 287
SNR [dB] Audio-/Videoqualität
0 Grenze der Sprachverständlichkeit
40 Gute Hörwiedergabe
40-44 „erkennbares“ Fernsehbild
44-48 „gutes Fernsehbild“
48-54 „sehr gutes“ Fernsehbild
60 Wahrnehmbarkeitsgrenze bei
elektroakustischen Anlagen
98 CD-qualität
SNR
[dB]
Verbindungsqualität
bei DSL
6 Synchronisierungsprobleme
7-10 Ausreichen aber instabil
11-20 Gut und ohne Sync-Probleme
20-28 Sehr gut
> 28 Exzellent
S: VL Hochfrequenztechnik 2, Prof. Hein, TU Ilmenau S: http://www.dslreports.com/faq/16220
A/D-Wandler: SQNR / ENOB
Signal-to-Quantization-Noise Ratio (SQNR)
– Formeln gelten nur unter den in Folie 231 genannten Bedingungen!
Effective Number of Bits (ENOB)
– SQNR kann per Messung oder Simulation bestimmt werden (gilt immer!)
– Ausnutzung der Beziehung zw. χ und N zur Bestimmung der effektiven
Anzahl an Bits (ENOB), die man benötigt um SNR sicherzustellen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 288
N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24
𝝌 [dB] 7.78 13.8 25.84 49.92 74.00 86.04 98.08 146.24
χ = 1/2 ∙ (2N – 1)2 / (1/12) = 3 ∙ 22N – 1 χ = 6.02 dB ∙ N + 1.76 dB
Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ+ mit
142
A/D-Wandler: Bestimmung von SQNR/ENOB…
…durch Simulation von vin[n] und vout[n] und anschließender
diskrete Fourier-Transformation (DFT)
Idee: Signal- und Rauschleistung werden durch Integration im
Frequenzbereich bestimmt
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 289
vin[n] vout[n] +
e[n]
vout[n] = vin[n] + e[n]
𝑃s = PSD 𝑣𝑖𝑛 𝑛 d𝑓𝑓s/2
−𝑓s/2
𝑃e = PSD 𝑒 𝑛 d𝑓𝑓s/2
−𝑓s/2
𝜒 = 𝑃s 𝑃e
PSD 𝑣𝑖𝑛[𝑛] = 𝐷𝐹𝑇{𝑣𝑖𝑛 𝑛 } 2
𝑒 𝑛 = 𝑣𝑜𝑢𝑡 𝑛 − 𝑣𝑖𝑛[𝑛] PSD{𝑒 𝑛 } = PSD{𝑣𝑜𝑢𝑡 𝑛 } − PSD{𝑣𝑖𝑛 𝑛 }
A/D-Wandler: Diskrete Fourier-Transformation
Transformiert ein bandbegrenztes, zeitdiskretes, periodisches Signal
in den Frequenzbereich (diskret und periodisch).
Bedingungen:
– Nyquist-Theorem muss erfüllt sein
– Abtastung mit ganzzahliger Anzahl aller Signalperioden
Eigenschaften:
M … Anzahl der Stützstellen,
fp … Periode im Frequenzbereich, f0 … Stützstellenabstand im Frequenzbereich
tp … Periode im Zeitbereich, t0 … Stützstellenabstand im Zeitbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 290
𝐷[𝜇] =1
𝑀 𝑑[𝑛]e−j2𝜋
𝜇𝑛𝑀
𝑀−1
𝑛=0
𝑑[𝑛] = 𝐷[𝜇]ej2𝜋𝜇𝑛𝑀
𝑀−1
𝜇=0
DFT: IDFT:
𝑀 = 𝑓p𝑡p =1
𝑡0𝑓0=
𝑓p
𝑓0=
𝑡p
𝑡0
𝐷[𝜇] = 𝑉𝑖𝑛(𝜇𝑓0) 𝑑 𝑛 = 𝑣𝑖𝑛 𝑛𝑡0 = 𝑣𝑖𝑛[𝑛]
𝑓p = 𝑀𝑓0 ≥ 2𝑓B
143
A/D-Wandler: DFT –Parameterwahl für korrekte Analyse
Stützstellenabstand im Zeitbereich t0 = 1/fp
– Nyquist-Theorem muss erfüllt werden: fp ≥ 2fB
Anzahl von Stützstellen M
– Erfassung einer kompletten Periode: M = tp/t0
Auswahl der Fensterung (Rechteck, Hann, …)
– Reckeckfenster wenn oben genannten Anforderungen
erfüllt werden können
– Falls keine komplette Periode abgedeckt werden kann, so kann mit einer
nicht-rechteckförmige Fensterung ein Kompromiss zwischen Auflösung
und Genauigkeit gefunden werden. Szenarien:
Periodendauer des Signals ist unbekannt
Periodendauer des Signal ist so groß, dass eine DFT zu rechenintensiv wäre
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 291
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode
Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t)
– Periode des Signals: tp = 1/f0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 292
x(t)
t / tp
144
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll
– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f0, 2f0 und 3f0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 293
|X(f)|
f / f0
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Periodizität nicht mehr vorhanden
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 294
x(t)
t / tp
w(t)
t / tp
xW(t)
145
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Faltung von X(f) mit Fourier-transformierter der Fensterfunktion: XW(f)
– Keine Verfälschung an den ursprünglichen Frequenzstützstellen von X(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 295
X(f)
f / f0
f / f0
XW(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
2. Schritt: Abtastung des gefensterten Signals mit M = 7 und t0 = tp/M
– Periodisierung des gefensterten Signals im Frequenzbereich mit fp = 1/t0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 296
xWS(t)
t / tp
xW(t)
XW(f) f / f0
X(f)
XWS(f)
146
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1
3. Schritt: Periodisierung des abgetasteten Signal mit tp: xWSP(t)
– Abtastung im Frequenzbereich mit f0 = 1/tp: XWSP(f)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 297
xWSP(t)
t / tp
x(t)
XWSP(f)
f / f0
X(f)
XWS(f) Exakte Berechnung
des Spektrums!
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2
Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode
Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t)
– Periode des Signals: 2tp = 2/f0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 298
x(t)
t / tp
147
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2
Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll
– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f0, 2f0, 2.5f0 und 3f0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 299
|X(f)|
f / f0
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Periodizität nicht mehr vorhanden
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 300
x(t)
t / tp
w(t)
t / tp
xW(t)
148
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Faltung von X(f) mit Fourier-transformierter der Fensterfunktion: XW(f)
– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 301
X(f)
f / f0
f / f0
XW(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1
2. Schritt: Abtastung des gefensterten Signals mit M = 7 und t0 = tp/M
– Periodisierung des gefensterten Signals im Frequenzbereich mit fp = 1/t0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 302
xWS(t)
t / tp
xW(t)
XW(f) f / f0
X(f)
XWS(f)
149
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1
3. Schritt: Periodisierung des abgetasteten Signal mit tp: xWSP(t)
– Abtastung im Frequenzbereich mit f0 = 1/tp: XWSP(f)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 303
xWSP(t)
t / tp
P{xW(t)}
XWSP(f)
f / f0
X(f)
XWS(f)
Spektrum sehr ungenau!
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/2
Was kann getan werden um das Spektrum korrekt zu berechnen?
Verringerung der Breite der Fensterfunktion im Frequenzbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 304
X(f)
f / f0
X(f)
f / f0
150
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/2
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Periodizität nicht mehr vorhanden
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 305
x(t)
t / tp
w(t)
t / tp
xW(t)
1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals
– Faltung von X(f) mit Fourier-transformierter der Fensterfunktion: XW(f)
– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/2
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 306
X(f)
f / f0
f / f0
XW(f)
151
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/2
2. Schritt: Abtastung des gefensterten Signals mit M = 7 und t0 = tp/M
– Periodisierung des gefensterten Signals im Frequenzbereich mit fp = 1/t0
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 307
xWS(t)
t / tp
xW(t)
XW(f) f / f0
X(f)
XWS(f)
Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/2
3. Schritt: Periodisierung des abgetasteten Signal mit tp: xWSP(t)
– Abtastung im Frequenzbereich mit f0 = 1/tp: XWSP(f)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 308
xWSP(t)
t / tp
P{xW(t)}
XWSP(f)
f / f0
X(f)
XWS(f) Exakte Berechnung
des Spektrums!
152
A/D-Wandler: Muss das Signal gefenstert werden?
Diese Frage stellt sich nicht, da bei Anwendung der DFT bereits
inhärent gefenstert wird (mindestens Rechteckfenster).
Leck-Effekt (Spectral Leakage)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 309
S: Richard Schreier, Gabor C. Themes, Understanding Delta-Sigma Data Converters, IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005
A/D-Wandler: Fensterfunktionen im Zeitbereich
Multiplikation mit Fensterfunktion w(t) vor der (DFT-) Abtastung
Kann zur Behandlung der Unstetigkeitsstellen genutzt werden
Beispiel: Hann-Fenster
(oft auch Hanning genannt)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 310
w(t)
t / tp
Rechteck
𝑤 𝑡 =1
21 − cos
2𝜋 ⋅ 𝑡
𝑡p
153
Zeitbereich:
Frequenzbereich:
A/D-Wandler: Hann- vs. Rechteckfenster
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 311
w(t)
t / tp
Rechteck
W(f) ∙ ej𝜋𝑡p𝑓
f / f0
Rechteck
A/D-Wandler: Fensterfunktion im Frequenzbereich
Multiplikation in Zeitbereich entspricht Faltung im Frequenzbereich
Nicht-rechteckförmiger Fensterung (Hamming, Hann, …):
– Vorteil: Verringerung der Verschmierung (Leck-Effekts/Spectral leakage)
– Nachteil: Verringerung der Auflösung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 312
20∙log10(|W(f)|)
f / f0
154
A/D-Wandler: DFT zur Analyse des Quantisierungsfehlers
Quantisierungsfehler ist bei sinusförmiger Anregung…
– inhärent periodisch (Zeitbereich) mit Grundfrequenz des Sinus, aber
– nicht bandbegrenzt, da viele Oberwellen erzeugt werden.
Quantisierungsfehler ist bei zeitdiskreter sinusförmiger Anregung…
– periodisch (Frequenzbereich) mit der Abtastfrequenz, und daher
– bandbegrenzt.
Aliasing-Effekte: Quantisierungsfehler wird zurückgespiegelt
– Tatsächlich im Signal enthaltener Effekt, kein Artefakt der Analyse (DFT)
– Falls Abtastfrequenz ein vielfaches der Anregungsfrequenz (Sinus) ist,
fallen alle Signalkomponenten in entsprechende Bins (kein Leakage)
Ausgangsignal des Quantisierers: zeitdiskret, bandbegrenzt,
periodisch è DFT ist zur Analyse des Quantisierungsfehler geeignet
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 314
A/D-Wandler
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 315
Warum kann Neff < N sein?
155
A/D-Wandler: Mid-Tread- vs. Mid-Riser-Quantizer
Mid-Tread-Quantizer:
– Unsymmetrisch
– Flach im Nulldurchgang
Auswahl abhängig von Anwendung (Delta-Sigma ADC Mid-Riser)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 316
Mid-Riser-Quantizer:
– Symmetrisch
– Flanke im Nulldurchgang
dout[n]
vin[n]
N = 3 dout[n]
vin[n]
N = 3
A/D-Wandler: INL und DNL
Integrale Nichtlinearität (INL)
INL und DNL beeinflussen direkt das SQNR/ENOB des Quantisierers
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 317
Differentielle Nichtlinearität (DNL)
INL = maxn |vout[n]-voutideal[n]| DNL = maxn |vout[n]-voutideal[n]|
INL
vout[n]
vin[n]
N = 4 Missing
Codes
DNL
vout[n]
vin[n]
N = 4
156
A/D-Wandler: Verstärkungs- und Offsetfehler
Verstärkungs- / FSR-Fehler:
– Abweichung des Anstiegs
– in LSB oder %FSR angegeben
Verstärkungs- und Offsetfehler beeinflussen indirekt SQNR/ENOB
– Einschränkung des FSR, wenn keine Kalibrierung (Referenzmessung)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 318
Offsetfehler:
– „Vertikaler“ Offset
– in LSB angeben
vout[n]
vin[n]
N = 4
vout[n]
vin[n]
N = 4
A/D-Wandler
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 319
Warum kann Neff > N sein?
157
A/D-Wandler: Warum kann Neff > N sein?
Wie kann die effektive Anzahl der Bits (SQNR) größer sein als die
tatsächliche Anzahl an Bit (Quantisierungsstufen)?
Quantisierungsrauschleistung im Nutzfrequenzbereich verringern
– Überabtastung (Oversampling)
– Spektrale Formung (Noise shaping) [in Kombination mit Überabtastung]
Bisher: Nyquist-Raten-ADC
– Abtastfrequenz entspricht etwa der doppelten Signalfrequenz: fs ≳ 2fB
– Gesamtes Quantisierungsrauschen liegt im Nutzfrequenzbereich
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 320
1 / (12∙fs)
0 0.5 ∙fs -0.5 ∙fs
PSD{E}
f
… … Rauschleistung
Var{E} = 1 / 12
Überabtastung
– Verringerung der Quantisierungsrauschleistung um Faktor R
– R … Überabtastrate/-faktor (Over-Sampling Ratio, OSR)
R-fache Überabtastung des Eingangssignals: fs = R ∙ 2fB
A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 321
… …
1 / (12∙2fB)
0 fB -fB
PSD{E}
f
… … 1 / (12∙R∙2fB)
-R∙fB R∙fB
Abbildungen: R = 2
Var{E} = 1 / 12
158
Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass
Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass
A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 322
Abbildungen: R = 2
1
0 fB -fB
H(f)
f -R∙fB R∙fB
0 fB -fB
|H(f)|2∙PSD{E}
f
1 / (12∙R∙2fB)
-R∙fB R∙fB
… …
Dezimation um den Faktor R:
– Entnahme jedes R-ten Werts aus einer Folge von Werten
– Verringerung der Abtastrate Verringerung des spektralen Abstands
A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 323
Abbildungen: R = 2
0 fB -fB
PSD{Edec}
f
1 / (12∙R∙2fB) … …
Var{E} = 1 / (12∙R)
159
A/D-Wandler: SQNR / ENOB bei Überabtastung
Signal-to-Quantization-Noise Ratio (SQNR)
Effective Number of Bits (ENOB)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 324
R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24
1 𝝌 [dB] 7.78 13.80 25.84 49.92 74.00 86.04 98.08 146.24
2 𝝌 [dB] 10.79 16.80 28.85 52.93 77.01 89.05 101.09 149.25
4 𝝌 [dB] 13.80 19.90 31.86 55.94 80.02 92.06 104.10 152.26
χ = 3 ∙ 22N – 1 ∙ R = 3 ∙ 2(2N – 1)∙r χ = 6.02 dB ∙ N + 3.01 dB ∙ r + 1.76 dB
Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ+ mit
R 1 2 4 8 16 32 64 128 256
Neff − N [dB] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling)
Blockdiagramm des Überabtastungs-A/D-Wandler
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 325
vin(t)
clk
S/H Quantizer
Deci-
mation
Filter
Coder
dout[n]
Filter Deci-
mator Bitbreite: N
Taktrate: R∙2fB
Bitbreite: Neff
Taktrate: 2fB
⋅ … Aufrundungsoperator
analog digital
160
A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich
Übertragungsglieder für zeitdiskrete Signal werden im Zeitbereich
mit Differenzengleichung beschrieben vout[n] = f (vin[n], e[n])
Beschreibung im Frequenzbereich über Fourier- oder Laplace-
Transformation Periodische Übertragungsfunktion/Eigenschaften
z-Transformation: „Laplace-Transformation für zeitdiskrete Systeme“
– Ausnutzung der Periodizität, Normierung/Betrachtung einer Periode
– Gleichungsinterpretation ist einfacher als bei Fourier/Laplace
– Standardform zur Beschreibung von zeitdiskreten Systemen
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 326
𝑋 𝑧 = 𝒵{𝑥 𝑛 } = 𝑧−𝑛𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich
Beispiel: Getakteter/zeitdiskreter, verzögernder Integrator
Beschreibung mit Laplace-Transformation:
– Differenzengleichung:
– Laplace-Transformation:
– Übertragungsfunktion:
– Polstellen:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 327
𝑦[𝑛] = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥[𝑛 − 1]
𝐻 𝑠 =e−𝑠𝑡0
1 − e−𝑠𝑡0
𝑠𝑧,𝑘 = 𝑘 ∙j2𝜋
𝑡0, 𝑘 ϵ ℤ
+ 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)
𝑌 𝑠 = 𝑌 𝑠 e−𝑠𝑡0 + 𝑋 𝑠 e−𝑠𝑡0
𝒔−𝐣𝟐𝝅𝒕𝟎𝒇
161
A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich
Beispiel: Integrator mit Laplace-Transformation
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 328
𝑡0𝑓
𝐻(𝑓)
𝐻(𝑠)
𝐻 𝑓 =e−j2𝜋𝑡0𝑓
1 − e−j2𝜋𝑡0𝑓 𝐻 𝑠 =
e−𝑠𝑡0
1 − e−𝑠𝑡0
𝐻 𝑓 = 𝐻 𝑠 𝑠=j2𝜋𝑓
A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich
Beispiel: Getakteter/zeitdiskreter, verzögernder Integrator
Beschreibung mit z-Transformation:
– Differenzengleichung:
– z-Transformation:
– Übertragungsfunktion:
– Polstelle:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 329
𝑦[𝑛] = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥[𝑛 − 1]
𝐻 𝑧 =𝑧−1
1 − z−1
𝑧𝑧 = 1
+ 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧)
𝑌 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑧−1 + 𝑋 𝑧 𝑧−1
𝒛−𝟏
162
A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich
Beispiel: Integrator mit z-Transformation
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 330
𝑡0𝑓
𝐻(𝑓)
𝐻(𝑧)
𝐻 𝑓 =e−j2𝜋𝑡0𝑓
1 − e−j2𝜋𝑡0𝑓 𝐻 𝑧 =
𝑧−1
1 − z−1
𝐻 𝑓 = 𝐻 𝑧 𝑧=𝑒j2𝜋𝑡0𝑓
A/D-Wandler: Signal- und Rauschübertragungsfunktion
Einführung von Übertragungsfkt:
Signalübertragungsfunktion (STF):
Rauschübertragungsfunktion (NTF):
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 331
vin[n] vout[n] +
e[n]
vout[n] = vin[n] + e[n]
𝐻in 𝑧 =𝑉out 𝑧
𝑉in 𝑧 𝐸 𝑧 =0
𝐻e 𝑧 =𝑉out 𝑧
𝐸 𝑧 𝑉in 𝑧 =0
Beispiel: Quantisierer
– z-Transformation:
– STF, NTF:
𝑣out 𝑛 = 𝑣in 𝑛 + 𝑒[𝑛]
𝑉out 𝑧 = 𝑉in(𝑧) + 𝐸(𝑧)
𝐻in 𝑧 = 1, 𝐻e 𝑧 = 1
𝑉out 𝑧 = 𝐻in 𝑧 𝑉in 𝑧 + 𝐻e 𝑧 𝐸 𝑧
163
A/D-Wandler: Ziel der Spektrale Rauschformung
Änderung der spektralen Verteilung (Färbung) des Quantisierungs-
rauschens ohne Beeinflussung des eigentlichen Signals
Rauschübertragungsfunktion soll zugunsten des SQNR/ENOB
verändert werden
– Verringerung der spektralen Rauschleistungsdichte im
Nutzfrequenzbereich
– Idealerweise soll 𝐻e 𝑧 = 0 gelten
Signalübertragungsfunktion soll unverändert bleiben
– Idealerweise soll 𝐻in 𝑧 = 1 gelten
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 332
A/D-Wandler: STF und NTF des freilaufenden Quantisierers
𝐸(𝑧) wird intern erzeugt und kann nicht direkt verwendet werden.
Die Rauschübertragungsfunktion eines freilaufenden Quantisierer ist
daher inhärent immer auf 𝐻e 𝑧 = 1 festgelegt.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 333
vin[n] vout[n] +
e[n]
vout[n] = vin[n] + e[n] ? Wie könnte 𝐻e 𝑧 bzw. das
Quantisierungsrauschen
beeinflusst werden?
164
Rückblick: Analoge Nachlauf-Phasenregelschleife (APLL)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 334
PD F(s) VCO
Phasendifferenz-
detektor
Schleifenfilter Spannungs-
gesteuerter
Oszillator
Referenzfrequenz
und -phase
ωref
θref
Ausgangs-
frequenz
und -phase
Modulationsspannung vm
ωout
θout
A/D-Wandler: Rauschformungsschleife*
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 335
AD F(z) Quantizer
„Amplituden-
differenzdetektor“
Schleifenfilter Quantisierer
zeitdiskrete
Eingangssignal
(Referenzsignal)
Quantisiertes
Ausgangs-
signal 𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)
* Noise-Shaping Loop
165
A/D-Wandler: Rauschformungsschleife
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 336
+
Differenz
–
𝐹 𝑧 =𝑁(𝑧)
𝐷(𝑧)
Schleifenfilter
𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)
Vm(s)
vin[n] +
Quantisierer
𝐸(𝑧)
𝑉1(𝑧) 𝑉2(𝑧)
A/D-Wandler: STF und NTF der Rauschformungsschleife
Signalübertragungsfunktion:
Rauschübertragungsfunktion:
Bedingungen zur Wahl von 𝑁 𝑧 und 𝐷 𝑧 :
– 𝑁 𝑧 = 𝑛0 + 𝑛1𝑧−1 + 𝑛2𝑧−2 + 𝑛3𝑧
−3 + ⋯ + 𝑛𝑖𝑧−𝑖
– 𝐷 𝑧 = 𝑑0 + 𝑑1𝑧−1 + 𝑑2𝑧
−2 + 𝑑3𝑧−3 + ⋯+ 𝑑𝑘𝑧−𝑘
– 𝐻e 𝑧 = 0 für 𝑧 = 1
– 𝐻in 𝑧 = 1 für 𝑧 = ej𝑥 und 𝑥 ∈ ℝ
– Filterordnungen 𝑖 und 𝑘 sollen möglichst klein sein
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 337
𝐻in 𝑧 =𝑁(𝑧)
𝐷 𝑧 + 𝑁 𝑧
𝐻e 𝑧 =𝐷(𝑧)
𝐷 𝑧 + 𝑁 𝑧
166
A/D-Wandler: STF und NTF der Rauschformungsschleife
Schleifenfilter 1.Ordnung: Integrator (siehe weiter oben)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 338
𝐹 𝑧 =𝑁(𝑧)
𝐷(𝑧)=
𝑧−1
1 − 𝑧−1
Signalübertragungsfunktion
Rauschübertragungsfunktion
𝐻in 𝑧 = 𝑧−1 𝐻e 𝑧 = 1 − 𝑧−1
𝐻e 𝑓 𝐻in 𝑓
𝑡0𝑓 𝑡0𝑓
A/D-Wandler: Rauschformungsschleife 1. Ordnung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 339
+
Differenzglied
–
𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)
Vm(s)
vin[n] +
Quantisierer
𝐸(𝑧)
𝑉2(𝑧)
Integrator
+ 𝒛−𝟏 𝑉1(𝑧)
167
A/D-Wandler: Rauschleistungsdichte am Ausgang
Rauschleistung im gesamten Band hat sich verdoppelt
Rauschleistungsdichte im Bereich um 𝑓 = 0 ist jedoch verringert
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 340
𝐻e 𝑓 2
𝑡0𝑓
𝐻e 𝑓 2
0.5
−0.5
d𝑓 = 2
𝐻e 𝑓 2
0.5
−0.5
d𝑓 = 1
Rauschformung:
Einfacher Quantisierer:
A/D-Wandler: Delta-Sigma-A/D-Wandler (DS-ADC)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 341
vin(t)
clk
S/H
Delta-
Sigma
Modu-
lator
Deci-
mation
Filter
Coder
dout[n]
+
Differenzglied
–
+
Quantisierer
e[n] Integrator
+ 𝒛−𝟏 Σ Δ
168
A/D-Wandler: SQNR und ENOB des Delta-Sigma-ADCs
Delta-Sigma-Modulator 1. Ordnung mit R-facher Überabtastung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 342
Rauschübertragungsfunktion:
A/D-Wandler: Approximation der Rauschübertragungsfunktion
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 343
𝐻e 𝑓 2
𝑡0𝑓 𝑡0𝑓
𝐻e 𝑓
𝐻e 𝑓 = 2 − 2 cos 2𝜋𝑡0𝑓 = 2 sin 𝜋𝑡0𝑓2 = 2 sin (𝜋𝑡0𝑓)
𝐻e 𝑓 ≈ 2𝜋𝑡0𝑓 für 𝑡0𝑓 ≪ 1
169
A/D-Wandler: SQNR des DS-Modulators 1.Ordnung
Signal-to-Quantization-Noise Ratio (SQNR)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 344
R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24
1 𝝌 [dB] 2.6 8.6 20.7 44.8 68.8 80.9 92.9 141.1
2 𝝌 [dB] 11.6 17.7 29.7 53.8 77.9 89.9 101.9 150.1
4 𝝌 [dB] 20.7 26.7 38.7 62.8 86.9 98.9 111.0 159.1
8 𝝌 [dB] 29.7 35.7 47.8 71.8 95.9 108.0 120.0 168.2
16 𝝌 [dB] 38.7 44.8 56.8 80.9 105.0 117.0 129.0 177.2
32 𝝌 [dB] 47.8 53.8 65.8 89.9 114.0 126.0 138.1 186.2
64 𝝌 [dB] 56.8 62.8 74.9 98.9 123.0 135.1 147.1 195.3
128 𝝌 [dB] 65.8 71.8 83.9 108.0 132.0 144.1 156.1 204.3
256 𝝌 [dB] 74.9 80.9 92.9 117.0 141.1 153.1 165.2 213.3
𝜒 =9
2𝜋2 22𝑁𝑅3 =9
2𝜋2 22𝑁+3𝑟 χ = 6.02 dB ∙ N + 9.03 dB ∙ r − 3.41 dB
A/D-Wandler: ENOB des DS-Modulators 1.Ordnung
Effective Number of Bits (ENOB)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 345
Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ+ mit
R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24
1 Neff [bit] 0.14 1.14 3.14 7.14 11.14 13.14 15.14 23.14
2 Neff [bit] 1.64 2.64 4.64 8.64 12.64 14.64 16.64 24.64
4 Neff [bit] 3.14 4.14 6.14 10.14 14.14 16.14 18.14 26.14
8 Neff [bit] 4.64 5.64 7.64 11.64 15.64 17.64 19.64 27.64
16 Neff [bit] 6.14 7.14 9.14 13.14 17.14 19.14 21.14 29.14
32 Neff [bit] 7.64 8.64 10.64 14.64 18.64 20.64 22.64 30.64
64 Neff [bit] 9.14 10.14 12.14 16.14 20.14 22.14 24.14 32.14
128 Neff [bit] 10.64 11.64 13.64 17.64 21.64 23.64 25.64 33.64
256 Neff [bit] 12.14 13.14 15.14 19.14 23.14 25.14 27.14 35.14
170
A/D-Wandler: Berücksichtigung von Realisierungsaspekten
Folgendes Beispiel: Realisierung des Rückkoppelzweiges
Ausgang des Quantisierers ist ein digitaler Port
– Repräsentation der Ausgangswerte durch Bitvektor
Unmittelbare Rückführung des Ausgangsignals auf den Eingang
möglich ist nicht möglich, daher: D/A-Wandler im Rückkoppelzweig
– D/A-Wandler weisen ebenfalls Signalverzerrungen auf (INL/DNL)
Neue Fragestellung: Welchen Einfluss haben die nichtidealen
Eigenschaften des D/A-Wandlers auf das Gesamtsystem?
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 346
A/D-Wandler: DS-Modulator mit D/A-Wandler in Rückführung
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 347
+
Differenzglied
–
𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)
Vm(s)
vin[n] +
Quantisierer
𝐸1(𝑧)
𝑉2(𝑧)
Integrator
+ 𝒛−𝟏 𝑉1(𝑧)
Vm(s)
vin[n] +
D/A-Wandler
𝐸2(𝑧) 𝐻e2 𝑧 =𝑉out(𝑧)
𝐸2(𝑧)= −𝑧−1
171
A/D-Wandler: Delta-Sigma-Modulator mit 1-Bit Quantisierer
Verwendung eines 1-Bit Mid-Riser-Quantizer (Komparator)
Komparatoren sind einfach zu realisieren
Komparatoren sind sehr schnell (hohe Taktraten möglich)
1-Bit D/A-Wandler kann mit zwei Schaltern realisiert werden
– Vermeidung von stark variierenden Bauteilen (z.B.: R-2R-Netzwerke)
– Es gibt inhärent keine integralen und differentiellen Nichtlinearitäten
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 348
χ = 6.02 dB ∙ N + 9.03 dB ∙ r − 3.41 dB
vin[n]
vout[n]
A/D-Wandler: Dezimationsfilter
Blockdiagramm des Delta-Sigma-A/D-Wandlers
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 349
vin(t)
clk
S/H
Delta-
Sigma
Modu-
lator
Deci-
mation
Filter
Coder
dout[n]
Filter Deci-
mator Bitbreite: N
Taktrate: R∙2fB
Bitbreite: Neff
Taktrate: 2fB
⋅ … Aufrundungsoperator
analog digital
172
A/D-Wandler: Dezimator / Dezimation
Entnahme jedes R-ten Wertes am Ausgang des Anti-Aliasing-Filters
– Entspricht einer erneuten Abtastung eines zeitdiskreten Signals
– Verringerung der Taktrate am Ausgang: 𝑓p,out = 𝑓p,in/𝑅
– Periodisierung des Spektrums mit 𝑓p,out
Beispiel anhand eines sinusförmigen Signals (R = 4):
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 350
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑡p
𝑋(𝑓)
𝑓
𝑓0
𝑓p,out 𝑓p,in
A/D-Wandler: Dezimationsfilter
Funktion des Filters:
– Unterdrückung des Quantisierungsrauschens (und des Signals)
außerhalb der Signalbandes
– Entspricht Anti-Aliasing-Filter beim Abtasten
Realisierung als zeitdiskretes System ( Theorie digitaler Filter)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 351
173
A/D-Wandler: Dezimationsfilter
Anforderungen an das Dezimationsfilter
– Sehr schnell (bei hoher Überabtastrate)
– Steile Filterflanken (bei hoher Überabtastrate)
Realisierungsaspekte
– Multiplizierer: Sehr aufwändig oder sehr langsam
– Hohe Anzahl von Stufen: Hoher Strom- und Flächenkonsum
Generische FIR/IIR Filter nicht optimal für Dezimationsfilter
Filterung/Dezimation häufig mehrstufig realisiert
– Sinc-/CIC-Filter („Hauptfilter“)
– Halbbandfilter (optional)
– CIC-Kompensationsfilter (optional)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 352
Kaskadierte Struktur bestehend aus Integratoren und Kammfiltern
Beispiel: CIC-Filter 1. Ordnung (1 Integrator + 1 Kammfilter)
Vorteil:
– Ausnutzung der Periodizität
– Keine Multiplikationen nötig, daher sehr effizient zu implementieren
Nachteil:
– Starke Amplitudenverzerrung des Nutzfrequenzbandes
A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 354
Integrator
Kammfilter
Dezimator
174
A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 355
Übertragungsfunktion des CIC-Filters 1. Ordnung (M = 2, R = 4)
Übertragungsfunktion von Dezimationsfiltern zeigen nur die
Filteranteile. Aliasingeffekte durch die Dezimation (Faltung)
werden nicht berücksichtigt!
Signalband
Abtastfrequenz am Eingang: 𝑅𝑓s
Abtastfrequenz am Ausgang: 𝑓s
A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)
Kammfilter: Unterdrückung von Aliasing im Signalband
– Nullstellen bei 𝑘 ∙ 𝑓s/𝑀, 𝑘 ∈ ℤ
Übertragungsfunktion für M = 2, R = 4:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 356
175
A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)
Nicht verzögernder Integrator: Unterdrückung der Signalanteile
außerhalb des Signalbandes
– Polstelle bei 𝑘 ∙ 𝑅𝑓s, 𝑘 ∈ ℤ
Übertragungsfunktion:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 357
A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)
Kaskadierung von CIC-Filtern 1.Ordnung zur stärkeren
Unterdrückung der Rauschanteile außerhalb des Signalbandes
Effizientere Implementierungsvariante:
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 358
176
Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm
Comparator
Integrator Decimation filter
Rückblick: Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4)
Delta-Sigma-ADC
Kontinuierliche (gleitend)
A/D-Wandlung
DSM-Signal entspr. PWM-
Signal mit quantisierter Pulsweite
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 361
Dezimationsfilter zur
Summation/Integration
des DSM-Signals Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter
Verhaltensregeln (nach S. W. Golomb, 1970)
Glaube nicht, dass dein Modell der Realität entspricht!
– Ein Modell ist immer eine Abstraktion der Realität unter Vernachlässigung meist vieler Details. Prüfe ständig, ob diese Abstraktion einen signifikanten Einfluss auf das zu beobachtende Verhalten haben kann.
Extrapoliere nie über den Gültigkeitsbereich deines Modells hinaus!
– GIGO-Prinzip („garbage in, garbage out“)
Verbiege nicht die Realität, damit sie zu deinem Modell passt!
– Das bringt nichts. So können wir keine technischen Systeme bauen.
Verwende kein Modell, das wissenschaftlich nicht (mehr) anerkannt ist!
– Die Erkenntnisse aus deinen Simulationen wird dir niemand glauben.
Verliebe dich nicht in dein Modell!
– Wirf es weg, wenn es sich als unbrauchbar erweist. Halte nicht daran fest, nur weil du es selbst entwickelt hast.
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 362
177
Weiterführende Literatur (1)
Peter J. Ashenden, Gregory D. Peterson,
Darrell A. Teegarden
The System Designer‘s Guide to VHDL-AMS
Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco,
2003
Roland E. Best
Phase-Locked Loops: Design, Simulation, and
Applications, 6th ed.
McGraw-Hill Professional, New York, 2007
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 363
Weiterführende Literatur (2)
Ronny Frevert, Joachim Haase, Roland Jancke,
Uwe Knöchel, Peter Schwarz, Ralf Kakerow,
Mohsen Darianian
Modeling and Simulation for RF System Design,
Springer, Berlin, 2005
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 364
Steven R. Norsworthy, Richard Schreier,
Gabor C. Themes
Delta-Sigma Data Converters – Theory, Design,
and Simulation
IEEE Press, Piscataway, NJ, 1997
178
Weiterführende Literatur (3)
Richard Schreier, Gabor C. Themes
Understanding Delta-Sigma Data Converters
IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 365
Kishore Singhal, Jiri Vlach
Computer Methods for Circuit Analysis and
Design, 2nd ed.
Van Nostrand Reinhold, New York, 1994
Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13
MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 366
Kontakt
Dr. Eckhard Hennig
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