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Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 206 Regelmäßige Vielecke Lernumgebung

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Hans Walser

Mathematik für die Sekundarstufe 1

Modul 206 Regelmäßige Vielecke

Lernumgebung

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung ii

Modul 206 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Provisorische Ausgabe Sommer 2007 Ergänzungen. Formel-Editor revidiert Frühjahr 2009 Grafische Überarbeitung. Ergänzung Frühjahr 2011 Erweiterung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.walser-h-m.ch/hans

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung iii

Inhalt 1   Punktraster .................................................................................................................. 1  2   Knoten ........................................................................................................................ 2  3   Regelmäßiges Dreieck? .............................................................................................. 3  4   Quadrat falten ............................................................................................................. 3  5   Im Quadratraster ......................................................................................................... 3  6   Quadrat? ...................................................................................................................... 4  7   Anzahl Quadrate? ....................................................................................................... 5  8   Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6  9   Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6  10   Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) ............................................... 7  11   60°-Winkel? .............................................................................................................. 7  12   Der Goldene Schnitt ................................................................................................. 8  13   Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 8  14   Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9  15   Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9  16   Quadrat? .................................................................................................................. 10  17   Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks ........................................... 11  18   Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes ....................................................... 12  19   Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14  20   Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14  21   Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 15  22   Achtecksaufgabe ..................................................................................................... 16  23   Regelmäßiges Achteck ........................................................................................... 18  24   Gleichwinkliges Achteck ........................................................................................ 18  25   Nährungskonstruktion des Neuneckes .................................................................... 20  26   Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes .......................................... 22  27   Regelmäßiges Zwölfeck ......................................................................................... 25  28   Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke ................................................................... 27  29   Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen ............................................................... 28  30   Unterteilung des Zwölfeckes .................................................................................. 29  31   Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 30  32   Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 31  33   Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes .............................................................. 32  34   Wechselseitiges Abtragen ....................................................................................... 33  

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 1

1 Punktraster Gesucht sind regelmäßige Figuren auf der Basis dieses Punktrasters

Punktraster auf der Basis von Kreisen

Ergebnis Offene Aufgabe

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2 Knoten Aus zwei verschiedenfarbigen Papierstreifen gleicher Breite soll ein echter (Abb. a) und ein falscher (Abb. b) Samariterknoten hergestellt werden. Welche Figur entsteht aus einem Doppelknoten (Abb. c)?

a) b) c)

Knoten

Ergebnis a) Der echte Samariterknoten liefert ein Sechseck mit nur achsensymmetrischer Farben-besetzung. b) Der falsche Samariterknoten ergibt ein Sechseck mit alternierender Sektorfärbung. c) Es entsteht der Mantel einer Fünfkantpyramide mit gleichseitigen Dreiecken.

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 3

3 Regelmäßiges Dreieck? Ist das Dreieck regelmäßig?

Regelmäßiges Dreieck?

Ergebnis Nein. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Schenkel sind

17 ≈ 4.12 , die Basis ist

3 2 ≈ 4.24 . Der Basiswinkel ist

α ≈ 59.04°.

4 Quadrat falten Aus einem Papierstück mit nirgends geradem Rand soll allein durch Falten ein Quadrat hergestellt werden. Geht das?

Lösungshinweis Erste Kante. Rechter Winkel und zweite Kante. Rechter Winkel und dritte Kante. Dia-gonale. Rechter Winkel und vierte Kante.

5 Im Quadratraster Markieren Sie in einem quadratischen Karoraster vier Karoquadrate so, dass deren Mit-telpunkte ein Quadrat bilden. Welche Symmetrien hat die aus diesen vier Karoquadraten bestehende Figur?

Bearbeitung Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Symmetriearten. In den folgenden Beispielen haben wir dieselben Symmetrien wie bei einem Quadrat.

Symmetrien wie beim Quadrat

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 4

In den folgenden Beispielen haben wir aber nur noch eine vierstrahlige Drehsymmetrie.

Vierstrahlige Drehsymmetrie

6 Quadrat? Der Raster besteht aus regelmäßigen Dreiecken. Ist das Viereck ein Quadrat?

Ist das Viereck ein Quadrat?

Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, also ein Rhombus. Die beiden spitzen Winkel messen:

α = 2arctan 53 3

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ 87.796°

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7 Anzahl Quadrate? Wie viele Quadrate mit Gitterpunkten als Eckpunkten können im Gitter mit

6 × 6 Git-terpunkten (Figur) eingezeichnet werden?

Wie viele Quadrate gibt es in diesem Gitter?

Ergebnis 105

Bearbeitung

Seitenlänge Anzahl Anzahl total1 5 × 5 252 4 × 4 163 3× 3 94 2 × 2 45 1 12 4 × 4 16

2 2 2 × 2 45 3× 3× 2 18

10 2 × 2 × 2 817 2 213 2 2

Total 105

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 6

8 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.)

Ergebnis

αii=1

9∑ = 5π = 900°

9 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.)

Ergebnis

αii=1

9∑ = 5π = 900°

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10 Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) Wie groß ist die Summe der orientierten Richtungsänderung bei einer „Runde“ auf der eckigen Achterbahn?

Ergebnis

αii=1

9∑ = 0 , negative und positive Richtungsänderungen heben sich auf.

11 60°-Winkel?

Misst der eingezeichnete Winkel wirklich 60°?

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 8

Ergebnis

arctan 1sin 36°( )⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≈ 59.5536°. Leider etwas zu wenig.

12 Der Goldene Schnitt Luca Pacioli (1445-1517) fand, dass der goldene Schnitt von 10 durch

125 − 5 ausge-drückt werden kann. Stimmt das? (Verifikation exakt und mit dem Taschenrechner).

Ergebnis

125 − 5 = 5 5 −1( ) =10 5−12 =10ρ

13 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

Symmetrien?

Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat drei Symmetrieach-sen und eine dreistrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes.

Dieselben Symmetrien wie beim gleichseitigen Dreieck

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14 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

Symmetrien?

Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat sechs Symmetrieach-sen und eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines regelmäßigen Sechseckes,

Dieselben Symmetrien wie beim regelmäßigen Sechseck

15 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

Symmetrien?

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 10

Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat keine Symmetrieach-sen, aber eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also eine sechsteilige zyklische Symmetrie

Sechsteilige zyklische Symmetrie

16 Quadrat? Die drei Sechsecke sind regelmäßig. Ist das Umrissrechteck ein Quadrat?

Quadrat?

Bearbeitung Es kann kein Quadrat sein, da die regelmäßigen Sechsecke zu einem regulären Drei-ecksraster gehören, welcher zu einem Quadratraster inkompatibel ist.

a

s

b

Bezeichnungen

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Es ist:

a = 2 3s ≈ 3.46410161514s

b = 72 s = 3.5s

ba =

7 312 ≈ 1.01036297108

Die Abweichung vom Quadrat beträgt etwa 1%.

17 Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks Idee: Jo Niemeyer. Wir unterteilen den Radius des Umkreises im Goldenen Schnitt und verfahren weiter gemäß Figur.

Näherungskonstruktion des Siebeneckes

Wie genau ist diese Konstruktion?

Bearbeitung

Für eine exakte Konstruktion müsste der Radius im Verhältnis cos 2π7( ) ≈ 0.6235 unter-

teilt sein. Der Goldene Schnitt ist aber −1+ 52 ≈ 0.6180 , also etwas zu klein.

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18 Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes Nach einer Idee von Jo Niemeyer Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur.

Näherungskonstruktion des Siebeneckes

Wir schneiden den Umkreis mit der blauen Geraden und erhalten so einen Eckpunkt. Wie genau ist diese Konstruktion?

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Bearbeitung Bezeichnungen gemäß Figur.

A

B

C

D E

F

G

MP

Q

φ 2φα

Bezeichnungen

Die Gerade PQ hat die Steigung 720 und damit den Steigungswinkel φ = arctan 7

20( ) . Damit gilt für den Sektorwinkel α :

α = 90° − 2arctan 720( ) ≈ 51.4199°

Der exakte Wert wäre 360°7 ≈ 51.4286° .

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19 Regelmäßiges Achteck? Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?

Regelmäßiges Achteck?

Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, aber nicht gleichwinklig.

20 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spit-zen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?

Regelmäßiges Achteck?

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Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig, und daher nicht re-gelmäßig. Die Innenwinkel messen entweder

α = 2arctan 125( ) ≈134.76° oder

β = 90° + 2arctan 512( ) ≈135.24°.

21 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spit-zen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?

Regelmäßiges Achteck

Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichwinklig, aber nicht gleichseitig, und daher nicht re-gelmäßig. Die waagerechten und senkrechten Seiten messen

a = 3, die schrägen Seiten

b = 2 2 ≈ 2.828 .

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22 Achtecksaufgabe Aufgabe aus einem amerikanischen Mathematik-Test (vgl. [Gouvêa 2004]).

4.6 cm

4 cm4.

6 cm

Wie lang ist der Umfang des regelmäßigen Achteckes, gerundet auf cm?

Diese Aufgabe hat zu Diskussionen Anlass gegeben.

Ergebnis 36 cm

Lösungsweg

Die halbe Seitenlänge lässt sich mit Pythagoras berechnen:

s2 = 4.62 − 42 ≈ 2.272 .

Daraus ergibt sich für den Umfang:

u =16 ⋅ s2 =16 4.62 − 42 ≈ 36.345 , gerundet 36.

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Falsche Lösungswege Die Figur suggeriert, dass die Spitze des eingezeichneten gleichschenkligen Dreieckes der Mittelpunkt des Achteckes ist. Dies ist falsch, wie eine maßstäbliche Zeichnung zeigt.

4,0 cm4,6 cm

4,6 cm

Maßstäbliche Zeichnung

Literatur [Gouvêa 2004] Geouvêa, Fernando Q.: Octagon Feedback. Focus, The Newslet-

ter of the Mathematical Association of America, February 2004, Volume 24, Number 2. p. 18-19

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 18

23 Regelmäßiges Achteck a) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Umkreisradius r = 4.6 cm? b) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Inkreisradius

ρ = 4 cm?

Ergebnis a) u ≈ 28.1655 cm b) u ≈ 26.5097 cm

Lösungsweg

a)

u =16 ⋅ 4.6sin 2π16( ) b)

u =16 ⋅ 4 tan 2π16( )

24 Gleichwinkliges Achteck Welchen Umfang hat das Achteck gemäß Figur?

4 cm

4.6 cm 4.6 cm

M

Achteck

Die Spitze des gleichschenkligen Dreieckes ist das Zentrum des Achteckes, alle Innen-winkel des Achteckes sind gleich groß. Das Achteck hat einen Umkreis und vier Sym-metrieachsen, aber keinen Inkreis.

Ergebnis u ≈ 27.9500 cm

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Lösungsweg Bezeichnungen gemäß Skizze:

αβ

4 cm

4.6 cm 4.6 cm

Lösungsfigur

α = arccos 44.6( ) ≈ 29.5918°

β = 45°−α

u = 8 ⋅ 4.6 ⋅ sin α( ) + sin β( )( )

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25 Nährungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur.

Näherungskonstruktion des Neuneckes

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Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur.

A

B

C

D

E F

G

H

I

P Q

R M

S

T

Bezeichnungen

Wir schneiden den Umkreis mit der Gitterlinie PQ und erhalten D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun müssten die 120°-Winkel mit Scheitel M gedrittelt werden, dies geht aber nicht mit Zirkel und Lineal. Ab hier also Näherungskonstruktion. Wir Konstruieren den Punkt T gemäß Figur und zeichnen dann Kreise um D und G durch T. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungs-weise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI .

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 22

Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber:

Winkel GrößeAMB 40.0059°BMC 39.9970°CMD 39.9970°DME 40.0059°EMF 39.9982°FMG 40.0059°GMH 39.9970°HMI 39.9970°IMA 40.0059°

26 Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 10 ×10 -Raster gemäß Figur.

Näherungskonstruktion des Neuneckes

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 23

Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur.

A

B

C

D

E F

G

H

I

P Q

R S

M

Bezeichnungen

Zunächst zeichnen wir mit dem Halbkreis PMQ die beiden Punkte D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun zeichnen wir die beiden Kreise um D und G durch die res-pektiven Rasterpunkte R und S. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungsweise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI .

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 24

Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber:

Winkel GrößeAMB 39.9742°BMC 40.0129°CMD 40.0129°DME 39.9742°EMF 40.0516°FMG 39.9742°GMH 40.0129°HMI 40.0129°IMA 39.9742°

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 25

27 Regelmäßiges Zwölfeck a) Gesucht ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfeckes, ausgedrückt durch sei-

nen Umkreisradius r. Was ist am Resultat erstaunlich? Tipp zur Berechnung des Flä-cheninhaltes: Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt AΔ = 1

2 absin γ( ) .

b) Lässt sich das Resultat durch ein Puzzle illustrieren?

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 26

Ergebnis a)

A = 3r2. Erstaunlich ist der ganzzahlige Faktor 3. b) Es gibt natürlich verschiedene Lösungen. Hier ein Beispiel. Gibt es eine Lösung mit weniger als 9 Puzzle-Teilen?

1

1

2

2

3

34

4

5

5

667

7

8

8

9

9

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 27

28 Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke Sind die eingezeichneten Dreiecke regelmäßig?

Regelmäßige Dreiecke?

Ergebnis Ja. Beweis durch Winkelüberlegung.

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 28

29 Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen Schneiden sich die vier eingezeichneten Diagonalen des regelmäßigen Zwölfeckes alle im selben Punkt?

Gehen die Diagonalen durch denselben Punkt?

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 29

Ergebnis Ja

Lösungsweg Winkel- und Seitenüberlegungen in den eingezeichneten Dreiecken.

Überlegungsfigur

30 Unterteilung des Zwölfeckes Wie lässt sich ein regelmäßiges Zwölfeck in kongruente gleichseitige Dreiecke und Quadrate unterteilen?

Lösung

Unterteilung in gleichseitige Dreiecke und Quadrate

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 30

31 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 24 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen?

Bauteile

Ergebnis

Zerlegung des Zwölfeckes

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 31

32 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 48 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen?

Bauteile

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 32

Ergebnis

Zerlegung des Zwölfeckes

33 Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes Wie kann das regelmäßige 15-Eck konstruiert werden?

Bearbeitung Die Zahl 15 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5. Also probieren wir es mit dem regelmäßigen Dreieck und dem regelmäßigen Fünfeck. Wir zeichnen diese in denselben Umkreis mit der gemeinsamen Ecke A.

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 33

M

A

B

C72°48°

Dreieck und Fünfeck

Das regelmäßige Dreieck hat den Zentriwinkel BMA = 120° , das regelmäßige Fünf-eck den Zentriwinkel CMA = 72° . Daraus ergibt sich der Differenzwinkel BMC = 48° . Denkpause: Für das 15-Eck brauchen wir einen Zentriwinkel von 24°. Wir können also den Winkel BMC = 48° halbieren und sind über dem Berg. Eleganter geht es so: Wir spiegeln B an MC, den Spiegelpunkt nennen wir D. Dann ist DMA = 72° − 48° = 24° . Daher ist die Strecke AD die Seitenlänge des 15-Eckes.

M

A

B

C

D

24°

15-Eck

Durch fortlaufendes Halbieren des 24°-Winkels erhalten wir das 30-Eck, 60-Eck, 120-Eck und so weiter.

34 Wechselseitiges Abtragen Gegeben sind zwei Kreise

k0 und

k1 mit dem gemeinsamen Radius r. Beginnen Sie mit einem Startpunkt

P0 auf

k0 zeichnen Sie einen Zickzackzug

P0P1P2… von Strecken der Länge r, so dass die Punkte

P0,

P1,

P2 und so weiter abwechslungsweise auf den Kreisen

k0 und

k1 liegen. Feststellung? Lässt sich die Feststellung beweisen?

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Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 34

k1

k0

M1

M0

Wechselseitiges Abtragen

Ergebnis Es ist

P6 = P0 (Schließungsfigur). Das Sechseck

P0P1P2P3P4P5 ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig und daher nicht regelmäßig. Es ist aber punktsymmetrisch.

Lösungsweg Verbinden mit den Mittelpunkten hilft zum Nachdenken. Es entsteht ein „Würfel“.

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k1

k0

M1

M0

P0

P1

P2

P3

P4

P5

Figur zum Nachdenken