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Hans Walser
Mathematik für die Sekundarstufe 1
Modul 206 Regelmäßige Vielecke
Lernumgebung
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung ii
Modul 206 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Provisorische Ausgabe Sommer 2007 Ergänzungen. Formel-Editor revidiert Frühjahr 2009 Grafische Überarbeitung. Ergänzung Frühjahr 2011 Erweiterung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.walser-h-m.ch/hans
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung iii
Inhalt 1 Punktraster .................................................................................................................. 1 2 Knoten ........................................................................................................................ 2 3 Regelmäßiges Dreieck? .............................................................................................. 3 4 Quadrat falten ............................................................................................................. 3 5 Im Quadratraster ......................................................................................................... 3 6 Quadrat? ...................................................................................................................... 4 7 Anzahl Quadrate? ....................................................................................................... 5 8 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 9 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 10 Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) ............................................... 7 11 60°-Winkel? .............................................................................................................. 7 12 Der Goldene Schnitt ................................................................................................. 8 13 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 8 14 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 15 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 16 Quadrat? .................................................................................................................. 10 17 Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks ........................................... 11 18 Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes ....................................................... 12 19 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14 20 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14 21 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 15 22 Achtecksaufgabe ..................................................................................................... 16 23 Regelmäßiges Achteck ........................................................................................... 18 24 Gleichwinkliges Achteck ........................................................................................ 18 25 Nährungskonstruktion des Neuneckes .................................................................... 20 26 Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes .......................................... 22 27 Regelmäßiges Zwölfeck ......................................................................................... 25 28 Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke ................................................................... 27 29 Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen ............................................................... 28 30 Unterteilung des Zwölfeckes .................................................................................. 29 31 Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 30 32 Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 31 33 Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes .............................................................. 32 34 Wechselseitiges Abtragen ....................................................................................... 33
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 1
1 Punktraster Gesucht sind regelmäßige Figuren auf der Basis dieses Punktrasters
Punktraster auf der Basis von Kreisen
Ergebnis Offene Aufgabe
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2 Knoten Aus zwei verschiedenfarbigen Papierstreifen gleicher Breite soll ein echter (Abb. a) und ein falscher (Abb. b) Samariterknoten hergestellt werden. Welche Figur entsteht aus einem Doppelknoten (Abb. c)?
a) b) c)
Knoten
Ergebnis a) Der echte Samariterknoten liefert ein Sechseck mit nur achsensymmetrischer Farben-besetzung. b) Der falsche Samariterknoten ergibt ein Sechseck mit alternierender Sektorfärbung. c) Es entsteht der Mantel einer Fünfkantpyramide mit gleichseitigen Dreiecken.
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3 Regelmäßiges Dreieck? Ist das Dreieck regelmäßig?
Regelmäßiges Dreieck?
Ergebnis Nein. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Schenkel sind
�
17 ≈ 4.12 , die Basis ist
�
3 2 ≈ 4.24 . Der Basiswinkel ist
�
α ≈ 59.04°.
4 Quadrat falten Aus einem Papierstück mit nirgends geradem Rand soll allein durch Falten ein Quadrat hergestellt werden. Geht das?
Lösungshinweis Erste Kante. Rechter Winkel und zweite Kante. Rechter Winkel und dritte Kante. Dia-gonale. Rechter Winkel und vierte Kante.
5 Im Quadratraster Markieren Sie in einem quadratischen Karoraster vier Karoquadrate so, dass deren Mit-telpunkte ein Quadrat bilden. Welche Symmetrien hat die aus diesen vier Karoquadraten bestehende Figur?
Bearbeitung Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Symmetriearten. In den folgenden Beispielen haben wir dieselben Symmetrien wie bei einem Quadrat.
Symmetrien wie beim Quadrat
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In den folgenden Beispielen haben wir aber nur noch eine vierstrahlige Drehsymmetrie.
Vierstrahlige Drehsymmetrie
6 Quadrat? Der Raster besteht aus regelmäßigen Dreiecken. Ist das Viereck ein Quadrat?
Ist das Viereck ein Quadrat?
Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, also ein Rhombus. Die beiden spitzen Winkel messen:
�
α = 2arctan 53 3
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ≈ 87.796°
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7 Anzahl Quadrate? Wie viele Quadrate mit Gitterpunkten als Eckpunkten können im Gitter mit
�
6 × 6 Git-terpunkten (Figur) eingezeichnet werden?
Wie viele Quadrate gibt es in diesem Gitter?
Ergebnis 105
Bearbeitung
�
Seitenlänge Anzahl Anzahl total1 5 × 5 252 4 × 4 163 3× 3 94 2 × 2 45 1 12 4 × 4 16
2 2 2 × 2 45 3× 3× 2 18
10 2 × 2 × 2 817 2 213 2 2
Total 105
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8 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.)
Ergebnis
αii=1
9∑ = 5π = 900°
9 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.)
Ergebnis
αii=1
9∑ = 5π = 900°
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10 Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) Wie groß ist die Summe der orientierten Richtungsänderung bei einer „Runde“ auf der eckigen Achterbahn?
Ergebnis
�
αii=1
9∑ = 0 , negative und positive Richtungsänderungen heben sich auf.
11 60°-Winkel?
Misst der eingezeichnete Winkel wirklich 60°?
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Ergebnis
�
arctan 1sin 36°( )⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ≈ 59.5536°. Leider etwas zu wenig.
12 Der Goldene Schnitt Luca Pacioli (1445-1517) fand, dass der goldene Schnitt von 10 durch
�
125 − 5 ausge-drückt werden kann. Stimmt das? (Verifikation exakt und mit dem Taschenrechner).
Ergebnis
�
125 − 5 = 5 5 −1( ) =10 5−12 =10ρ
13 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?
Symmetrien?
Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat drei Symmetrieach-sen und eine dreistrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes.
Dieselben Symmetrien wie beim gleichseitigen Dreieck
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14 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?
Symmetrien?
Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat sechs Symmetrieach-sen und eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines regelmäßigen Sechseckes,
Dieselben Symmetrien wie beim regelmäßigen Sechseck
15 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?
Symmetrien?
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Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat keine Symmetrieach-sen, aber eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also eine sechsteilige zyklische Symmetrie
Sechsteilige zyklische Symmetrie
16 Quadrat? Die drei Sechsecke sind regelmäßig. Ist das Umrissrechteck ein Quadrat?
Quadrat?
Bearbeitung Es kann kein Quadrat sein, da die regelmäßigen Sechsecke zu einem regulären Drei-ecksraster gehören, welcher zu einem Quadratraster inkompatibel ist.
a
s
b
Bezeichnungen
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Es ist:
a = 2 3s ≈ 3.46410161514s
b = 72 s = 3.5s
ba =
7 312 ≈ 1.01036297108
Die Abweichung vom Quadrat beträgt etwa 1%.
17 Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks Idee: Jo Niemeyer. Wir unterteilen den Radius des Umkreises im Goldenen Schnitt und verfahren weiter gemäß Figur.
Näherungskonstruktion des Siebeneckes
Wie genau ist diese Konstruktion?
Bearbeitung
Für eine exakte Konstruktion müsste der Radius im Verhältnis cos 2π7( ) ≈ 0.6235 unter-
teilt sein. Der Goldene Schnitt ist aber −1+ 52 ≈ 0.6180 , also etwas zu klein.
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 12
18 Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes Nach einer Idee von Jo Niemeyer Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur.
Näherungskonstruktion des Siebeneckes
Wir schneiden den Umkreis mit der blauen Geraden und erhalten so einen Eckpunkt. Wie genau ist diese Konstruktion?
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Bearbeitung Bezeichnungen gemäß Figur.
A
B
C
D E
F
G
MP
Q
φ 2φα
Bezeichnungen
Die Gerade PQ hat die Steigung 720 und damit den Steigungswinkel φ = arctan 7
20( ) . Damit gilt für den Sektorwinkel α :
α = 90° − 2arctan 720( ) ≈ 51.4199°
Der exakte Wert wäre 360°7 ≈ 51.4286° .
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19 Regelmäßiges Achteck? Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?
Regelmäßiges Achteck?
Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, aber nicht gleichwinklig.
20 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spit-zen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?
Regelmäßiges Achteck?
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Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig, und daher nicht re-gelmäßig. Die Innenwinkel messen entweder
�
α = 2arctan 125( ) ≈134.76° oder
�
β = 90° + 2arctan 512( ) ≈135.24°.
21 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spit-zen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig?
Regelmäßiges Achteck
Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichwinklig, aber nicht gleichseitig, und daher nicht re-gelmäßig. Die waagerechten und senkrechten Seiten messen
�
a = 3, die schrägen Seiten
�
b = 2 2 ≈ 2.828 .
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22 Achtecksaufgabe Aufgabe aus einem amerikanischen Mathematik-Test (vgl. [Gouvêa 2004]).
4.6 cm
4 cm4.
6 cm
Wie lang ist der Umfang des regelmäßigen Achteckes, gerundet auf cm?
Diese Aufgabe hat zu Diskussionen Anlass gegeben.
Ergebnis 36 cm
Lösungsweg
Die halbe Seitenlänge lässt sich mit Pythagoras berechnen:
�
s2 = 4.62 − 42 ≈ 2.272 .
Daraus ergibt sich für den Umfang:
�
u =16 ⋅ s2 =16 4.62 − 42 ≈ 36.345 , gerundet 36.
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Falsche Lösungswege Die Figur suggeriert, dass die Spitze des eingezeichneten gleichschenkligen Dreieckes der Mittelpunkt des Achteckes ist. Dies ist falsch, wie eine maßstäbliche Zeichnung zeigt.
4,0 cm4,6 cm
4,6 cm
Maßstäbliche Zeichnung
Literatur [Gouvêa 2004] Geouvêa, Fernando Q.: Octagon Feedback. Focus, The Newslet-
ter of the Mathematical Association of America, February 2004, Volume 24, Number 2. p. 18-19
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23 Regelmäßiges Achteck a) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Umkreisradius r = 4.6 cm? b) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Inkreisradius
�
ρ = 4 cm?
Ergebnis a) u ≈ 28.1655 cm b) u ≈ 26.5097 cm
Lösungsweg
a)
�
u =16 ⋅ 4.6sin 2π16( ) b)
�
u =16 ⋅ 4 tan 2π16( )
24 Gleichwinkliges Achteck Welchen Umfang hat das Achteck gemäß Figur?
4 cm
4.6 cm 4.6 cm
M
Achteck
Die Spitze des gleichschenkligen Dreieckes ist das Zentrum des Achteckes, alle Innen-winkel des Achteckes sind gleich groß. Das Achteck hat einen Umkreis und vier Sym-metrieachsen, aber keinen Inkreis.
Ergebnis u ≈ 27.9500 cm
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Lösungsweg Bezeichnungen gemäß Skizze:
αβ
4 cm
4.6 cm 4.6 cm
Lösungsfigur
�
α = arccos 44.6( ) ≈ 29.5918°
β = 45°−α
u = 8 ⋅ 4.6 ⋅ sin α( ) + sin β( )( )
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25 Nährungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur.
Näherungskonstruktion des Neuneckes
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Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur.
A
B
C
D
E F
G
H
I
P Q
R M
S
T
Bezeichnungen
Wir schneiden den Umkreis mit der Gitterlinie PQ und erhalten D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun müssten die 120°-Winkel mit Scheitel M gedrittelt werden, dies geht aber nicht mit Zirkel und Lineal. Ab hier also Näherungskonstruktion. Wir Konstruieren den Punkt T gemäß Figur und zeichnen dann Kreise um D und G durch T. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungs-weise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI .
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Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber:
Winkel GrößeAMB 40.0059°BMC 39.9970°CMD 39.9970°DME 40.0059°EMF 39.9982°FMG 40.0059°GMH 39.9970°HMI 39.9970°IMA 40.0059°
26 Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 10 ×10 -Raster gemäß Figur.
Näherungskonstruktion des Neuneckes
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 23
Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur.
A
B
C
D
E F
G
H
I
P Q
R S
M
Bezeichnungen
Zunächst zeichnen wir mit dem Halbkreis PMQ die beiden Punkte D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun zeichnen wir die beiden Kreise um D und G durch die res-pektiven Rasterpunkte R und S. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungsweise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI .
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Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber:
Winkel GrößeAMB 39.9742°BMC 40.0129°CMD 40.0129°DME 39.9742°EMF 40.0516°FMG 39.9742°GMH 40.0129°HMI 40.0129°IMA 39.9742°
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27 Regelmäßiges Zwölfeck a) Gesucht ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfeckes, ausgedrückt durch sei-
nen Umkreisradius r. Was ist am Resultat erstaunlich? Tipp zur Berechnung des Flä-cheninhaltes: Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt AΔ = 1
2 absin γ( ) .
b) Lässt sich das Resultat durch ein Puzzle illustrieren?
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 26
Ergebnis a)
�
A = 3r2. Erstaunlich ist der ganzzahlige Faktor 3. b) Es gibt natürlich verschiedene Lösungen. Hier ein Beispiel. Gibt es eine Lösung mit weniger als 9 Puzzle-Teilen?
1
1
2
2
3
34
4
5
5
667
7
8
8
9
9
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28 Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke Sind die eingezeichneten Dreiecke regelmäßig?
Regelmäßige Dreiecke?
Ergebnis Ja. Beweis durch Winkelüberlegung.
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29 Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen Schneiden sich die vier eingezeichneten Diagonalen des regelmäßigen Zwölfeckes alle im selben Punkt?
Gehen die Diagonalen durch denselben Punkt?
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Ergebnis Ja
Lösungsweg Winkel- und Seitenüberlegungen in den eingezeichneten Dreiecken.
Überlegungsfigur
30 Unterteilung des Zwölfeckes Wie lässt sich ein regelmäßiges Zwölfeck in kongruente gleichseitige Dreiecke und Quadrate unterteilen?
Lösung
Unterteilung in gleichseitige Dreiecke und Quadrate
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31 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 24 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen?
Bauteile
Ergebnis
Zerlegung des Zwölfeckes
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32 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 48 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen?
Bauteile
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Ergebnis
Zerlegung des Zwölfeckes
33 Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes Wie kann das regelmäßige 15-Eck konstruiert werden?
Bearbeitung Die Zahl 15 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5. Also probieren wir es mit dem regelmäßigen Dreieck und dem regelmäßigen Fünfeck. Wir zeichnen diese in denselben Umkreis mit der gemeinsamen Ecke A.
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M
A
B
C72°48°
Dreieck und Fünfeck
Das regelmäßige Dreieck hat den Zentriwinkel BMA = 120° , das regelmäßige Fünf-eck den Zentriwinkel CMA = 72° . Daraus ergibt sich der Differenzwinkel BMC = 48° . Denkpause: Für das 15-Eck brauchen wir einen Zentriwinkel von 24°. Wir können also den Winkel BMC = 48° halbieren und sind über dem Berg. Eleganter geht es so: Wir spiegeln B an MC, den Spiegelpunkt nennen wir D. Dann ist DMA = 72° − 48° = 24° . Daher ist die Strecke AD die Seitenlänge des 15-Eckes.
M
A
B
C
D
24°
15-Eck
Durch fortlaufendes Halbieren des 24°-Winkels erhalten wir das 30-Eck, 60-Eck, 120-Eck und so weiter.
34 Wechselseitiges Abtragen Gegeben sind zwei Kreise
�
k0 und
�
k1 mit dem gemeinsamen Radius r. Beginnen Sie mit einem Startpunkt
�
P0 auf
�
k0 zeichnen Sie einen Zickzackzug
�
P0P1P2… von Strecken der Länge r, so dass die Punkte
�
P0,
�
P1,
�
P2 und so weiter abwechslungsweise auf den Kreisen
�
k0 und
�
k1 liegen. Feststellung? Lässt sich die Feststellung beweisen?
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 34
k1
k0
M1
M0
Wechselseitiges Abtragen
Ergebnis Es ist
�
P6 = P0 (Schließungsfigur). Das Sechseck
�
P0P1P2P3P4P5 ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig und daher nicht regelmäßig. Es ist aber punktsymmetrisch.
Lösungsweg Verbinden mit den Mittelpunkten hilft zum Nachdenken. Es entsteht ein „Würfel“.
Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 35
k1
k0
M1
M0
P0
P1
P2
P3
P4
P5
Figur zum Nachdenken