8/19/2019 Momentane Änderungsrate

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Ableitung ganzrationaler Funktionen:Potenzfunktionen allgemein: (x^n)´ = nx^(n-1) Bsp.: f(x) = 5x²+x-! " f´(x) = 1#x+

$etten%egel: (u&')´ = u´('(x)) '´(x)

P%oukt%egel: (u')´ = u´' + '´u

*uotienten%egel: (u')´ = ((u´') - ('´u))'²

Mittlere und momentane Änderungsrate:

,omentane ne%ungs%ate: 

angentensteigung in einem /estimmten Punkt /estimmen " 1. 0/leitung

Rechenweg: man /e%e23net f4% as x es Punktes en -6e%t e% 1. 0/leitung

Bsp.: f(x) = x²-7x+ " f´(x) = 7x-78 gesu23t ist ne%ungs%ate /ei x = !:

  f´(!) = 9  Antwort: ie momentane ne%ungs%ate /ei x = ! /et%gt 9 ;

,ittle%e ne%ungs%ate:

angentensteigung in einem

8/19/2019 Momentane Änderungsrate

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Steckbriefaufgabengege/en sin me3%e%e ;igens23aften zu eine% (ganz%ationalen) >unktion z.B.:

– E%a e% >unktion (notenig) " z.B.! : f(x) = ax^!+/x^+2x+

– Punkt P(x) " f(x) =

– Fullstelle /ei x " f(x) = #

–

;xt%empunkt /ei x " fG(x) = #– 6enepunkt /ei x " fGG(x) = #

Hie entsp%e23enen (no23 allgemeinen)Elei23ungen eingesetztI /ilen einJKsungsglei23ungssstem(JEA) as man (mit em L) lKsen kann " man e%3lt ie Ma%ia/len a et2.

Tangente NormaleEe%aeI ie en E%ap3en e% >unktion aneinem 'o%gege/enen Punkt /e%43%t

Ee%aeI ie en E%ap3en e% >unktion%e23tinklig s23neiet

Punkt P(x# f(x# )) un >unktion f(x) sin'o%gege/en

Punkt P(x# f(x# )) un >unktion f(x) sin'o%gege/en

>unktion a/leitenI x# in 0/leitung einsetzenAteigung e% angente  m = fN(x#)

>unktion a/leitenI x# in negati'en $e3%e%te% 0/leitung m = -1fG(x#)

Punkt P un Ateigung m1 inEe%aenglei23ung t(x) = mx+/ einsetzenun na23 / auflKsen

Punkt P un Ateigung m1 in Ee%aenglei23ungn(x) = mx+/ einsetzen un na23 / auflKsen

/1 un m1 einsetzen

t(x) = m1x+/1

/1 un m1 einsetzen

n(x) = m1x+/1angentenglei23ung mit P:

 t(x) = fN(x#)(x-x#)+f(x#)

Fo%malenglei23ung mit P:

n(x) = -1fG(x#)(x-x#)+f(x#)

Extremwertaufgaben mit NebenbedingungenBes23%ei/ung e% Oaupt/eingung (soll ext%emal e%en) in einem e%m(z.B >l23e 0=x)0ufstellung e% Fe/en/eingung(z.B Caun =x+=5#m)Bestimmung e% Cielfunktion Fe/en/eingung na23 auflKsen un in >unktion einsetzen

>unktion a/leiten un # setzten (Beingung f4% ;xt%ema)I na23 x umfo%menCeite 0/leitung zu% Q/e%p%4fung e%stellen un x einsetzen lokales ,aximumRlokales ,inimumR

ane%e Ma%ia/el u%23 ;insetzen in Fe/en/eingung /estimmenBe%e23nung e% ext%emalen E%KSe

(;%ge/nis im Aa23zusammen3ang eutenI z.B. E%KSte >l23e ist ein *ua%at.)Randwerte beacten!

S"mmetrie023sensmmet%ie (zu% -023se): f(x) = f(-x) oe% f(-x)= f(x)Punktsmmet%ie (zum %sp%ung): f(x) = -f(-x) oe% f(-x)=-f(x)

/ei ganz%ationalen >unktionen: enn alle ;xponenten ge%ae sin = 023sensmmet%ieIenn alle ;xponenten unge%ae sin = Punktsmmet%ie

/ei ge/%o23en%ationalen >unktionen:

enn ie o/e%e un ie unte%e >unktion glei23smmet%is23 sin = 023sensmmet%ieenn ie /eien >unktionen unte%s23ieli23e Ammet%ien 3a/en = Punktsmmet%ie