méthodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. … · 2004-09-24 · méthodes...
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Méthodes d’ondelettes pour lasegmentation d’images. Applicationsà l’imagerie médicale et au tatouage
d’images.Olivier Le Cadet
LMC-IMAG
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 1
Objectifs
Contrat avec la région Rhône-Alpes → ondelettesappliquées à l’imagerie médicale.
Thème de recherche : détection des contours devertèbres sur des radios ; approche frontière.
Problème de la définition d’une arête.
Problème de la classification des arêtes → régularitélipschitzienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 2
Objectifs
Contrat avec la région Rhône-Alpes → ondelettesappliquées à l’imagerie médicale.
Thème de recherche : détection des contours devertèbres sur des radios ; approche frontière.
Problème de la définition d’une arête.
Problème de la classification des arêtes → régularitélipschitzienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 2
Objectifs
Contrat avec la région Rhône-Alpes → ondelettesappliquées à l’imagerie médicale.
Thème de recherche : détection des contours devertèbres sur des radios ; approche frontière.
Problème de la définition d’une arête.
Problème de la classification des arêtes → régularitélipschitzienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 2
Objectifs
Contrat avec la région Rhône-Alpes → ondelettesappliquées à l’imagerie médicale.
Thème de recherche : détection des contours devertèbres sur des radios ; approche frontière.
Problème de la définition d’une arête.
Problème de la classification des arêtes → régularitélipschitzienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 2
La modélisation des arêtes
Définition 1 (intuitive) Un point (x0, y0) d’une imageappartient à une arete si en ce point le module dugradient de l’intensité lumineuse |~∇I| est localement
maximum dans la direction de ~∇I .
x++
gradienten x
FIG. 1 – le gradient de l’image en × est supérieur à celui
en les points marqués +Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 3
La modélisation des arêtes
Définition 2 (Canny) Un point (x0, y0) d’une image appartient à
une arete si en ce point le module du gradient de l’intensité
lumineuse lissée par un noyau θa, |~∇(I ? θa)|, est localement
maximum dans la direction de ~∇(I ? θa).
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
FIG. 2 – variation d’intensité de loi gaussienne ; y-a-t-il
une arête et si oui où ?Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 3
La modélisation des arêtes
Définition 3 (Mallat-Zhong, Mallat-Hwang) f image lissée par
un noyau de convolution θa d’échelle a variant continuement entre 0
et amax ; Posons ga = f ? θa. Alors s’il existe une chaîne
ininterrompue à travers les échelles reliant des max locaux dans la
direction ~∇ga du gradient de ga, le sommet (x0, y0) de cette chaîne
vers les échelles fines est alors un point de contour.
a=1
a=N(échelle la
plus grossière)
Point de contour
significatifcontour non
Point de
significatif
FIG. 3 – Chaînage à travers les échelles
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 3
Plan de l’exposé
I Détection de points de contour par ondelettes.
II Caractérisation des points de contour d’une imagepar leur régularité lipschitzienne.
III Application à l’imagerie médicale : reconstructionde la forme 3D d’une vertèbre en chirurgieinterventionnelle.
IV Tatouage d’images.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 4
Plan de l’exposé
I Détection de points de contour par ondelettes.
II Caractérisation des points de contour d’une imagepar leur régularité lipschitzienne.
III Application à l’imagerie médicale : reconstructionde la forme 3D d’une vertèbre en chirurgieinterventionnelle.
IV Tatouage d’images.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 4
Plan de l’exposé
I Détection de points de contour par ondelettes.
II Caractérisation des points de contour d’une imagepar leur régularité lipschitzienne.
III Application à l’imagerie médicale : reconstructionde la forme 3D d’une vertèbre en chirurgieinterventionnelle.
IV Tatouage d’images.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 4
Plan de l’exposé
I Détection de points de contour par ondelettes.
II Caractérisation des points de contour d’une imagepar leur régularité lipschitzienne.
III Application à l’imagerie médicale : reconstructionde la forme 3D d’une vertèbre en chirurgieinterventionnelle.
IV Tatouage d’images.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 4
Détection de points de contour parondelettes.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 5
I. Détection de points de contour par ondelettes.
Rappels sur la transformée en ondelettes continue.
Une transformée adaptée à la recherche de points decontour : la Transformée Multi-échelles de Canny(TMC).
Implémentation efficace.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 6
La transformée en ondelettes continue (TOC)
ψ ondelette : Cψ =∫ +∞
0|ψ(ξ)|2ξ
dξ < +∞
f(t)
~ a 1
~ a2
x
y
x x1 2
Wf(x, a) = < f, ψx,a >
=∫
Rf(t) 1√
aψ( t−x
a)dt
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 7
La transformée en ondelettes continue (TOC)
f(t)
~ a 1
~ a2
x
y
x x1 2
Wf(x, a) = < f, ψx,a >
=∫
Rf(t) 1√
aψ(
t− xa
)dt
x ∈ R est le paramètre de translation
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 7
La transformée en ondelettes continue (TOC)
f(t)
~ a 1
~ a2
x
y
x x1 2
Wf(x, a) = < f, ψx,a >
=∫
Rf(t) 1
r
aψ( t−x
a)dt
a ∈ R∗+ est le paramètre de dilatation
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 7
La transformée en ondelettes continue (TOC)
ψ ondelette : Cψ =∫ +∞
0|ψ(ξ)|2ξ
dξ < +∞
On sait inverser la TOC : si ψ réelle,
f(t) =1
Cψ
∫ +∞
0
∫ +∞
−∞Wf(x, a)
1√aψ(t− x
a)dx
da
a2
Wf(x, a) = < f, ψx,a >
=∫
Rf(t) 1√ψ( t−)dt
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 7
Généralisation en deux dimensions.
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
ContinueWf(~x, a, θ ) = < f, (ψoR−θ)~x,a >
=∫∫
R2 f(~t) 1aψ(R−θ ~t−~x
a)d~t
(Murenzi90)
θ ∈ [O, 2π[ est le paramètre d’ orientation. Rθ désigne la matrice2 × 2 de rotation.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 8
Généralisation en deux dimensions.
On sait inverser une telle transformée :
Si
Cψ =
∫∫
R2
|ψ(~ω)|2|~ω|2 d~ω < +∞
f(~t) =1
Cψ
∫ 2π
0
∫ +∞
0
∫∫
R2
Wf(~b, a, θ)1
aψ(R−θ~t−~b
a)dθ
da
a3d~b
→ Construire une transformée directionnelle adaptée àla recherche de points de contours.
→ Elle doit délivrer des infos sur le module et ladirection du gradient de l’image lissée.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 9
I. Détection de points de contour par ondelettes.
Rappels sur la transformée en ondelettes continue.
Une transformée adaptée à la recherche de points decontour : la Transformée Multi-échelles de Canny(TMC).
Implémentation efficace.
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Formulation mathématique de la TMC
Soit Θ un noyau de lissage.∫∫
R2
Θ = 1
0 ≤ Θ ≤ 1
Θ(x, y) isotrope ou
Θ(x, y) = Θ1(x)Θ2(y)
ex : la gaussienne
Θ(x, y) =1
2πσ2e−
x2+y2
2σ2
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Formulation mathématique de la TMC
Soit Θ un noyau de lissage.
On utilise deux ondelettes directionnelles(typiquement ~Ψ = (ψ1, ψ2) = (∂Θ
∂x, ∂Θ
∂y) )
→ deux transformées en ondelettes :
W pf(u, v, a) =
∫∫
R2
f(x, y)1
aψp(
x− u
a,y − v
a)dxdy = f?ψ1
a(u, v)
ψpa(x, y) =1
aψp(
x
a,y
a) et ψpa(x, y) = ψpa(−x,−y) pour p = 1, 2
W 1f détecte les singularités verticales, W 2f lessingularités horizontales.
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Propriétés mathématiques de la TMC
La TMC :~Wf(u, v, a) = (W 1f(u, v, a),W 2f(u, v, a))
= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 12
Propriétés mathématiques de la TMC
La TMC :~Wf(u, v, a) = (W 1f(u, v, a),W 2f(u, v, a))
= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >
est proportionnelle au gradient :
~Wf(u, v, a) = a~∇(f ? Θa)(u, v)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 12
Propriétés mathématiques de la TMC
La TMC :~Wf(u, v, a) = (W 1f(u, v, a),W 2f(u, v, a))
= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >
est proportionnelle au gradient :
~Wf(u, v, a) = a~∇(f ? Θa)(u, v)
ce qui suggère de le représenter par :
Mf(u, v, a) = | ~Wf(u, v, a)| prop. au module
du gradient
Af(u, v, a) = Arg(
~Wf(u, v, a))
orientation
du gradient
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 12
TMC et transformée en ondelettes directionnelle.
Proposition 1 Si Θ est isotrope,(W 1
θ f(u, v, a, θ)
W 2θ f(u, v, a, θ)
)
=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(W 1f(u, v, a)
W 2f(u, v, a)
)
Autrement dit, il suffit de multiplier la TMC par une matrice derotation pour obtenir une transformée directionnelle ~Wθ :
~Wθ = R−θ ~W
à Permet d’obtenir une formule de reconstruction pourla TMC.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 13
Inversion de la TMC
L’approche continue
On a vu que la TMC peut être interprétée comme unetransformée en ondelettes directionnelle...
En adaptant la formule d’inversion d’une transformée en
ondelettes directionnelle à la TMC :
Proposition 2
f(~x) =π
Cψ
∫
a>0
da
a3
∫∫
R2
d~b−→Wf(~b, a).~Ψ
a,~b
et on discrétise en fonction des échelles dont on disposeeffectivement
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Inversion de la TMC
L’approche continue
On a vu que la TMC peut être interprétée comme unetransformée en ondelettes directionnelle...
En adaptant la formule d’inversion d’une transformée en
ondelettes directionnelle à la TMC :
Proposition 2
f(~x) =π
Cψ
∫
a>0
da
a3
∫∫
R2
d~b−→Wf(~b, a).~Ψ
a,~b
et on discrétise en fonction des échelles dont on disposeeffectivement
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 14
Inversion de la TMC
L’approche continue
On a vu que la TMC peut être interprétée comme unetransformée en ondelettes directionnelle...
En adaptant la formule d’inversion d’une transformée en
ondelettes directionnelle à la TMC :
Proposition 2
f(~x) =π
Cψ
∫
a>0
da
a3
∫∫
R2
d~b−→Wf(~b, a).~Ψ
a,~b
et on discrétise en fonction des échelles dont on disposeeffectivement
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 14
Inversion de la TMC
L’approche continue
On a vu que la TMC peut être interprétée comme unetransformée en ondelettes directionnelle...
En adaptant la formule d’inversion d’une transformée en
ondelettes directionnelle à la TMC :
Proposition 2
f(~x) =π
Cψ
∫
a>0
da
a3
∫∫
R2
d~b−→Wf(~b, a).~Ψ
a,~b
et on discrétise en fonction des échelles dont on disposeeffectivement
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 14
I. Détection de points de contour par ondelettes.
Rappels sur la transformée en ondelettes continue.
Une transformée adaptée à la recherche de points decontour : la Transformée Multi-échelles de Canny(TMC).
Implémentation efficace.
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Idées classiques pour une programmation efficace
Calculer f ? ∂Θa
∂x(u, v), Θa noyau de lissage à la
résolution a.
Vision par ordinateur → Cascade de gaussienne Θ(Crowley, Fayolle) : tire profit du fait que
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1
nΘ(
x√n,y√n
) ; a =√n
Théorie des ondelettes : algorithme à trous (Mallat).filtres issus d’une AMR : Θ, et les filtres dedérivation Dx et Dy ; a = 2n.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 16
Idées classiques pour une programmation efficace
Calculer f ? ∂Θa
∂x(u, v), Θa noyau de lissage à la
résolution a.
Vision par ordinateur → Cascade de gaussienne Θ(Crowley, Fayolle) : tire profit du fait que
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1
nΘ(
x√n,y√n
) ; a =√n
Théorie des ondelettes : algorithme à trous (Mallat).filtres issus d’une AMR : Θ, et les filtres dedérivation Dx et Dy ; a = 2n.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 16
Idées classiques pour une programmation efficace
Calculer f ? ∂Θa
∂x(u, v), Θa noyau de lissage à la
résolution a.
Vision par ordinateur → Cascade de gaussienne Θ(Crowley, Fayolle) : tire profit du fait que
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1
nΘ(
x√n,y√n
) ; a =√n
Théorie des ondelettes : algorithme à trous (Mallat).filtres issus d’une AMR : Θ, et les filtres dedérivation Dx et Dy ; a = 2n.
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Choix d’implémentation
tirer partie des deux approches → banc de filtrage sansdécimation.
filtres : Θ = 1
16
0
B
B
@
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1
C
C
A
, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .
Convolutions en cascade par Θ et dérivation
W 1f(., .,
√n
2) =
√n
2(f ? (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.
Or (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√
1πne−
i2+j2
n (Unser 92) →(W 1f(., .,
√n2),W 2f(., .,
√n2))
approxime une TMC utilisant
un gradient de gaussienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 17
Choix d’implémentation
tirer partie des deux approches → banc de filtrage sansdécimation.
filtres : Θ = 1
16
0
B
B
@
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1
C
C
A
, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .
Convolutions en cascade par Θ et dérivation
W 1f(., .,
√n
2) =
√n
2(f ? (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.
Or (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√
1πne−
i2+j2
n (Unser 92) →(W 1f(., .,
√n2),W 2f(., .,
√n2))
approxime une TMC utilisant
un gradient de gaussienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 17
Choix d’implémentation
tirer partie des deux approches → banc de filtrage sansdécimation.
filtres : Θ = 1
16
0
B
B
@
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1
C
C
A
, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .
Convolutions en cascade par Θ et dérivation
W 1f(., .,
√n
2) =
√n
2(f ? (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.
Or (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√
1πne−
i2+j2
n (Unser 92) →(W 1f(., .,
√n2),W 2f(., .,
√n2))
approxime une TMC utilisant
un gradient de gaussienne.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 17
Choix d’implémentation
tirer partie des deux approches → banc de filtrage sansdécimation.
filtres : Θ = 1
16
0
B
B
@
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1
C
C
A
, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .
Convolutions en cascade par Θ et dérivation
W 1f(., .,
√n
2) =
√n
2(f ? (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.
Or (
n−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√
1πne−
i2+j2
n (Unser 92) →(W 1f(., .,
√n2),W 2f(., .,
√n2))
approxime une TMC utilisant
un gradient de gaussienne.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 17
Programmation efficace du détecteur.
Θ −→ gaussienne ou B-spline
HHHHHHj?
�������
��
��
�+
@@
@R
XXXXXXXXXXXXXz
...
?
PPPPPPPPPPq ?
Imagef
f ? Θ f ? Dx f ? Dy
f ? (Θ ~ Θ) f ? (Θ ~ Dx) f ? (Θ ~ Dy)
f ? (
N convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ) f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dx) f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ~Dy)
Fig. 1 – L’algorithme cascade B-spline vu comme un banc de filtrage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 18
Inversion de la TMC : une autre approche
On va chercher des filtres de reconstructioncorrespondant à Θ, Dx, et Dy.On démontre queProposition 2 Il existe des filtres de reconstruction Θ, Dx et Dy vérifiant
f = (f ?Θ) ? Θ + (f ? Dx) ? Dx + (f ? Dy) ? Dy
Par exemple,
Θ =
0
B
B
@
0 0 0
0 1 0
0 0 0
1
C
C
A
Dx = 1
16
0
B
B
@
− 1
2
1
20
−3 3 0
− 1
2
1
20
1
C
C
A
Dy = DxT
= 1
16
0
B
B
@
− 1
2−3 − 1
2
1
23 1
2
0 0 0
1
C
C
A
conviennent.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 19
Idée de la démonstration
On cherche Θ, Dx, Dy vérifiantδ = Θ~ Θ +Dx ~ Dx +Dy ~ Dy (1).
fonction de transfert d’un filtre h[n] de l2(Z) :h(ω) =
∑+∞p=−∞ h[p]e−2iπωp
En prenant les fonctions de transfert de (1) et en
imposant par symétrie Dx = DyT
:
cos2 πω1 cos2 πω2ˆθ(ω1, ω2)+
sin2 πω1ˆ
Dx(ω1, ω2) + sin2 πω2ˆ
Dx(ω2, ω1) = 1
Choix simples de θ(θ = δ, θ = θ) ⇒ Dx.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 20
Transformée en ondelettes et détection d’arêtes
La TMC aux échelles fines (a petit) ...
A gauche : modules Mf(., ., 1) (les plus forts en vert).A droite : maxima locaux de Mf(., ., 1) (sans seuillage ; les plusforts en bleu, les plus faibles en rouge).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 21
Transformée en ondelettes et détection d’arêtes
La TMC aux échelles fines (a petit) ...
A gauche : modules Mf(., ., 3) (les plus forts en vert).A droite : maxima locaux de Mf(., ., 3) (sans seuillage ; les plusforts en bleu, les plus faibles en rouge).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 21
Transformée en ondelettes et détection d’arêtes
et aux échelles grossières.
A gauche : modules Mf(., ., 5) (les plus forts en vert).A droite : maxima locaux de Mf(., ., 5) (sans seuillage ; les plusforts en bleu, les plus faibles en rouge).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 21
Transformée en ondelettes et détection d’arêtes
Trouver un moyen de caractériser les contours, lesdifférencier les uns des autres ! → régularitélipschitzienne
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 21
II. Caractérisation des points de contour d’une image
Définition de la régularité lipschitzienne d’un pointde contour d’une image.
Lien entre les ondelettes et la régularitélipschitzienne.
Calcul de la régularité lipschitzienne d’un point decontour à partir des coefficients de la TMC.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 22
Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle
Définir α d’autant plus grand que f est régulière.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 23
Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle
Définir α d’autant plus grand que f est régulière.
Soit n = E(α) ; f Lipschitz-α en x0 si :
∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn
(h)| ≤ A|h|α
Ordre de dérivabilité de f
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 23
Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle
Définir α d’autant plus grand que f est régulière.
Soit n = E(α) ; f Lipschitz-α en x0 si :
∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A|h|α
Polynôme de Taylor de f
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 23
Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle
Définir α d’autant plus grand que f est régulière.
Soit n = E(α) ; f Lipschitz-α en x0 si :
∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A |h|α
f(x) uniformément Lipschitz-α sur ]a, b[ si f
Lipschitz-α en x0 ∀x0 ∈]a, b[ avec A indépendant dex0.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 23
Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle
Définir α d’autant plus grand que f est régulière.
Soit n = E(α) ; f Lipschitz-α en x0 si :
∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A |h|α
f(x) uniformément Lipschitz-α sur ]a, b[ si f
Lipschitz-α en x0 ∀x0 ∈]a, b[ avec A indépendant dex0.
f distribution tempérée : f uniformément Lipschitz-α sur]a, b[ si sa primitive est Lipschitz-(α + 1) sur ]a, b[.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 23
2D : Régularité lipschitzienne d’un point (x0, y0)
Soit 0 ≤ α < 1
f(x,y) Lipschitz-α en (x0, y0) si ∃A t.q. ∀~h = (h1, h2),
|f(x0 + h1, y0 + h2) − f(x0, y0)| ≤ A|~h|α.
+
Contour
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 24
2D : Régularité lipschitzienne d’un point de contour
Soit 0 ≤ α < 1f(x,y) Lipschitz-α en (x0, y0) si ∃A t.q. ∀h ∈ R,|f(x0 + h cos θ, y0 + h sin θ) − f(x0, y0)| ≤ A|h|α.
+
Contour
(x ,y )0 0(x ,y )0 0grad f
θ
Sur une courbe de discontinuité, le calcul de la régularitépeut se ramener au cas monodimensionnel, en observantle contour dans la direction de régularité minimale...
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 25
II. Caractérisation des points de contour d’une image
Définition de la régularité lipschitzienne.
Lien entre les ondelettes et la régularitélipschitzienne.
Calcul de la régularité lipschitzienne d’un point decontour à partir des coefficients de la TMC.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 26
Lien entre les ondelettes et la régularité lipschitzienne
ψ → Cn, à sup. compact, n moments nuls, α ≤ n.
Si f Lipschitz-α en x0, alors ∀x tq |x− x0| < C.a,|Wf(x, a)| ≤ Aaα+ 1
2 , et inversement, si α nonentier. (Holschneider, Tchamitchian, Jaffard)
α estimé asymptotiquement en calculant la pente delog |Wf(x, a)| = logA+ (α + 1
2) log a
0 1
1
0
échellea
Positionx
Chaine de maxima d’ondelettes
x
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 27
Les lignes de maxima
module max : un point (x0, a0) du planespace-échelle où x 7→ |Wf(x, a0)| est localementmaximum en x = x0.
ligne de maxima(Mallat-Hwang) : courbe continuea(x) dans le plan espace-échelle reliant des modulesmax.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 28
Lignes de maxima → régularité Lipschitzienne
• hyp ψ = (−1)nθ(n), α < n ; f Lipschitz-α en x0 etsans singularité oscillante en x0.• ∀a < a0, |Wf(x, a)| possède un maximum local(x0, a) dans le cône d’influence de x0.• On peut donc trouver une séquence de maximaconvergeant vers (x0, 0) à travers leséchelles.(Mallat)
Mais ils n’appartiennent pas forcément à la mêmeligne de max...Si ψ = (−1)nθ(n) où θ gaussienne ⇒ les modulesmax de Wf(x, a) appartiennent à une courbecontinue. (Poggio, Yuille)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 29
La fonction |x− 0.25|13 + |x− 0.7|23
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5
1
1.5representation temporelle
(a) Le Dirac200 400 600 800 1000
50
100
150
200
250
(b) les coefficients d’ondelettes
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
5
−lo
g2(s
cale
)
(c) chaînage
Chaînage des maxima1 2
3
4
0 1 2 3 4 5−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4chaîne 2 et 3:
(d) évaluation de la singularité en 0.7 (trait continu) et 0.25 (trait pointillé)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 30
II. Caractérisation des points de contour d’une image
Définition de la régularité lipschitzienne.
Lien entre les ondelettes et la régularitélipschitzienne.
Calcul de la régularité lipschitzienne d’un point decontour à partir des coefficients de la TMC.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 31
A l’aide de la TMC, on a calculé les modules et les orientations
Mf(., .,√
n2) et Af(., .,
√n2).
On ne garde que les coefficients de Mf qui sont des max
locaux.
on chaîne à travers les échelles.a=1
a=N(échelle la
plus grossière)
Point de contour
significatifcontour non
Point de
significatif
FIG. 4 – Chaînage à travers les échellesMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 32
Le chaînage des modules max.
Soit Mf(x0, y0, adep) un max local qu’on veut associer à unmax de l’échelle adep+1.
On considère les 9 modules Mf(x0(±1), y0(±1), adep+1)
a+1
aMax à
chainer
(Xa,Ya, a+1)
(Xa,Ya,a)
on chaîne avec celui dont l’orientation du gradAf(x1, y1, adep+1) est la plus proche de Af(x0, y0, adep).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 33
Le chaînage des modules max.
Soit Mf(x0, y0, adep) un max local qu’on veut associer à unmax de l’échelle adep+1.
On considère les 9 modules Mf(x0(±1), y0(±1), adep+1)
a+1
aMax à
chainer
(Xa,Ya, a+1)
(Xa,Ya,a)
on chaîne avec celui dont l’orientation du gradAf(x1, y1, adep+1) est la plus proche de Af(x0, y0, adep).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 33
Le chaînage des modules max.
Soit Mf(x0, y0, adep) un max local qu’on veut associer à unmax de l’échelle adep+1.
On considère les 9 modules Mf(x0(±1), y0(±1), adep+1)
a+1
aMax à
chainer
(Xa,Ya, a+1)
(Xa,Ya,a)
on chaîne avec celui dont l’orientation du gradAf(x1, y1, adep+1) est la plus proche de Af(x0, y0, adep).
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 33
RésultatsLe long de chaque chaîne qui traverse les échelles, on évalue la régularité lipschitzienne du point de
contour qu’elle caractérise (en calculant la pente de logMf(xc, yc, a) = g(log a))
Trois régions bruitées : carte des modules, des régularités, sélectionsur les régularités pour débruiter
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 34
Résultats
Mandrill : régularités, échelle fine, échelle grossière
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 34
Résultats
FIG. 5 – interface java de l’algorithme de détection et de
caractérisation de contours
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 34
Application à l’imagerie médicaleCollaboration avec Anne Bilgot et Laurent Desbat
(TIMC : Techniques de l’Imagerie, de laModélisation, et de la Cognition)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 35
Reconstruction de la forme 3D d’une vertèbre
Médecine → signaux, images qui traduisent l’état dupatient.
Exemple : placement d’une vis dans le pédiculed’une vertèbre
a) b) c)
Besoin d’info 3D pour guider le geste chirurgical →scanner, mais il est invasif et encombrant.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 36
Reconstruction de la forme 3D d’une vertèbre
Médecine → signaux, images qui traduisent l’état dupatient.
Exemple : placement d’une vis dans le pédiculed’une vertèbre
a) b) c)
Besoin d’info 3D pour guider le geste chirurgical →scanner, mais il est invasif et encombrant.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 36
Reconstruction de la forme 3D d’une vertèbre
Médecine → signaux, images qui traduisent l’état dupatient.
Exemple : placement d’une vis dans le pédiculed’une vertèbre
a) b) c)
Besoin d’info 3D pour guider le geste chirurgical →scanner, mais il est invasif et encombrant.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 36
Utilisation de 2 radios et d’un modèle de vertèbre
FIG. 6 – à gauche : faisceau de rétroprojection à droite : fluoro-
scopie virtuelle
Segmenter automatiquement deux vues de lavertèbre (face et profil)
Déformer un modèle moyen de vertèbre jusqu’à ce que sesprojections sur ces deux vues correspondent à la segmentation.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 37
Le modèle statistique de vertèbre (Fleute-Lavallée)
Il est déterminé par une Analyse en ComposantesPrincipales et consiste en :
• Une forme moyenne de vertèbre
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 38
Le modèle statistique de vertèbre (Fleute-Lavallée)
Il est déterminé par une Analyse en ComposantesPrincipales et consiste en :
• Des modes de deformation autorisés
Mode 1
Mode 2
Mode 4
Mode 5
-2SD +2SD -2SD -2SD+2SD +2SD
Mean Shape Mean ShapeMean Shape
Mode 3
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 38
Algorithme de reconstruction 3D d’une vertèbre
Segmentation des deux radios
FIG. 7 – Détection des contours sur une vertèbre sèche (en haut) et sur une vertèbre plongée dans
un environnement (cas réel, en bas)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 39
Algorithme de reconstruction 3D d’une vertèbre
Segmentation des deux radios
FIG. 8 – Détection des contours sur une vertèbre sèche (en haut) et sur une vertèbre plongée dans
un environnement (cas réel, en bas)
; Sélection interactive des arêtes significativesMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 39
Algorithme de reconstruction 3D d’une vertèbre
Recalage du modèle moyen de vertèbre sur les contourssegmentés
FIG. 9 – Recalage du modèle dans les faisceaux de rétro-
projectionMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 39
Tests de validation
A partir d’un échantillon de vertèbre, on simule desradiographies d’une vertèbre isolée, et d’une vertèbreplongée dans un environnement.
FIG. 10 – Segmentation de radios d’une vertèbre, isolée ou plongée dans un environnement
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 40
Résultats
FIG. 11 – Vues 3D (à gauche, de face, à droite, de profil) de la vertèbre reconstruite (en haut :
vertèbre sèche ; en bas : vertèbre plongée dans un environnement. La forme de la vertèbre reconstruite
est en vert, celle de la vertèbre de référence, en jauneMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 41
Résultats
FIG. 12 – Résultats : en blanc, la vertèbre reconstruite, en sombre, la vertèbre de référence.
Reconstruction à l’issue d’une segmentation manuelle, sur une vertèbre isolée, et pour une vertèbre
“réelle”.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 41
En combinant avec des contours actifs...
Comparaison : reconstruction à partir de tous les contours, de ceux de la TMC, et ceux des C.A.
Utiliser les contours actifs pour fermer le contourextérieur.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 42
Application au tatouage d’imagesCollaboration avec Anne-Sophie Piquemal (Univ.
Valencia)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 43
But du watermarking
Multiplication des échanges de données, via internetpar ex → protéger ces données.
Watermarking : protection par insertion discrèted’une marque dans l’image.
Le marquage doit être imperceptible, fiable, etrobuste.
; cacher la marque dans les contours
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 44
But du watermarking
Multiplication des échanges de données, via internetpar ex → protéger ces données.
Watermarking : protection par insertion discrèted’une marque dans l’image.
Le marquage doit être imperceptible, fiable, etrobuste.
; cacher la marque dans les contours
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 44
But du watermarking
Multiplication des échanges de données, via internetpar ex → protéger ces données.
Watermarking : protection par insertion discrèted’une marque dans l’image.
Le marquage doit être imperceptible, fiable, etrobuste.
; cacher la marque dans les contours
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 44
But du watermarking
Multiplication des échanges de données, via internetpar ex → protéger ces données.
Watermarking : protection par insertion discrèted’une marque dans l’image.
Le marquage doit être imperceptible, fiable, etrobuste.
; cacher la marque dans les contours
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 44
Le tatouage d’images
Principe du watermarking
ImageOriginale
Image Marquée
ImageAttaquée
Attaque de
l’image (compression,
rotation, ...)
M
Extraction de la marque
d’ajout de la marque
Procédure
Marque
M’
Marque
Clefs secrètes
Connaissance de l’algorithme d’extraction
FIG. 13 – Principe d’un algorithme de watermarking : la
marque incluse dans l’image originale, M , et la marque
extraite après attaque de l’image marquée, M ′, doivent
être aussi semblables que possible.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 45
Algorithme de marquage proposé
?
Etape 1
Image
des aretes
Cf
Image
originale
f
Fig. 1 – Algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 46
Algorithme de marquage proposé
?
Etape 1
-
Etape 2
-
Etape 2
Image
des aretes
Cf
Image
originale
f
Transfo
Ond.
WT Cf
Transfo
Ond.
WT f
Fig. 1 – Algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 46
Algorithme de marquage proposé
?
Etape 1
-Etape 2
-
-Etape 2
6Etape 3
positions
clefs secretes
R1, sImage
des aretes
Cf
Image
originale
f
Transfo
Ond.
WT Cf
Transfo
Ond.
WT f
Transfo
Ond. marquee
WT Cf∗
Marque
m
Fig. 1 – Algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 46
Algorithme de marquage proposé
?
Etape 1
-Etape 2
-
-Etape 2
6Etape 3
�����Etape 4
AAAUEtape 4
positions
clefs secretes
R2%
R1, sImage
des aretes
Cf
Image
originale
f
Transfo
Ond.
WT Cf
Transfo
Ond.
WT f
Transfo
Ond. marquee
WT Cf∗
Marque
m
Transfo
Ond.
WT g
Fig. 1 – Algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 46
Algorithme de marquage proposé
?
Etape 1
-Etape 2
-
-Etape 2
�����Etape 4
AAAUEtape 4
-Etape 5
6Etape 3
positions
clefs secretes
R2%
R1, sImage
des aretes
Cf
Transfo
Ond.
WT Cf
Transfo
Ond. marquee
WT Cf∗
Image
originale
f
Transfo
Ond.
WT f
Marque
m
Transfo
Ond.
WT g
Image
marquee
g
Fig. 1 – Algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 46
Résultats de marquage
Image marquée g Différence originale-marquée
R1 = 500, R2 = 0.08 : PSNR = 30.03 dB
R1 = 500, R2 = 0.2 : PSNR = 22.07 dB
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 47
Les attaques
Lenna dans tous ses états : quelques exemples d’images attaquéesproduites par CheckMark sur l’image de Lenna (rotation,déformation, changement de la taille de l’image, compression,filtrage ...)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 48
L’extraction de la marque
On connaît :
la constante de marquage R1 ;
le taux d’inclusion R2 ;
la profondeur s, donnant l’échelle où est cachée lamarque ;
les positions des points de contour marqués ;
on dispose de l’image originale.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 49
Tests d’extraction
Image attaquee Profondeur 2 Profondeur 3 PSNR (dB)
Image marquée 100% 100% 27.77
medfilt2_J100.jpg 68.8% 93.8% 23.47
gaussian1_J100.jpg 95.3% 95.3% 25.02
hardthresh1_J100.jpg 75% 95.3% 24.14
jpegcompression1_J50.jpg 98.4% 100% 24.56
jpegcompression1_J15.jpg 67.2% 92.2% 23.22
templateremove1_J100.jpg 81.3% 100% 24.78
trimmedmean1_J100.jpg 76.6% 95.3% 23.34
waveletcompression1_W150.jpg 93.8% 98.4% 25.83
wiener1_J100.jpg 81.3% 100% 24.79
rotationscale9_W150.jpg 43.75% 42.19 13.07
FIG. 14 – Extraction d’une marque alétoire 8 × 8 dans
Lenna 128 × 128, avec R1 = 500, R2 = 0.08.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 50
Un bilan sur l’algo de marquage
Résiste très bien aux algo de compression
Résiste à différents filtrages (Wiener, gaussien, ...)
Mais problème face aux attaques géométriques
→ En perspective : utiliser la régularité lipschitzienne
→ Stocker le kème point de la marque dans les pointsde contour de régularité αk ≤ α < αk+1.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 51
Conclusion et perspectives
Etude et mise en œuvre de la TransforméeMulti-échelles de Canny, interprétée comme unetransformée en ondelettes 2D directionnelle.
Etude de plusieurs méthodes d’inversion, continuesou discrètes, de la TMC.
Définition d’un algorithme efficace de détection etde caractérisation des arêtes dans une image.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 52
Conclusion et perspectives
Etude et mise en œuvre de la TransforméeMulti-échelles de Canny, interprétée comme unetransformée en ondelettes 2D directionnelle.
Etude de plusieurs méthodes d’inversion, continuesou discrètes, de la TMC.
Définition d’un algorithme efficace de détection etde caractérisation des arêtes dans une image.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 52
Conclusion et perspectives
Etude et mise en œuvre de la TransforméeMulti-échelles de Canny, interprétée comme unetransformée en ondelettes 2D directionnelle.
Etude de plusieurs méthodes d’inversion, continuesou discrètes, de la TMC.
Définition d’un algorithme efficace de détection etde caractérisation des arêtes dans une image.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 52
Conclusion et perspectives
Application à la reconstruction de formes 3D devertèbres → marche bien, les limitations viennent dumodèle statistique.
→ Perspectives : application au problème de ladétection de tumeurs dans des images IRM, aurecalage d’images 2D,...
Définition et test d’un algorithme de marquaged’images.
→ Perspectives : adapter l’algorithme de marquagepour qu’il résiste aux attaques géométriques(utilisation de la régularité lipschitzienne)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 53
Conclusion et perspectives
Application à la reconstruction de formes 3D devertèbres → marche bien, les limitations viennent dumodèle statistique.
→ Perspectives : application au problème de ladétection de tumeurs dans des images IRM, aurecalage d’images 2D,...
Définition et test d’un algorithme de marquaged’images.
→ Perspectives : adapter l’algorithme de marquagepour qu’il résiste aux attaques géométriques(utilisation de la régularité lipschitzienne)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 53
Conclusion et perspectives
Application à la reconstruction de formes 3D devertèbres → marche bien, les limitations viennent dumodèle statistique.
→ Perspectives : application au problème de ladétection de tumeurs dans des images IRM, aurecalage d’images 2D,...
Définition et test d’un algorithme de marquaged’images.
→ Perspectives : adapter l’algorithme de marquagepour qu’il résiste aux attaques géométriques(utilisation de la régularité lipschitzienne)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 53
Conclusion et perspectives
Application à la reconstruction de formes 3D devertèbres → marche bien, les limitations viennent dumodèle statistique.
→ Perspectives : application au problème de ladétection de tumeurs dans des images IRM, aurecalage d’images 2D,...
Définition et test d’un algorithme de marquaged’images.
→ Perspectives : adapter l’algorithme de marquagepour qu’il résiste aux attaques géométriques(utilisation de la régularité lipschitzienne)
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 53
Fin
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 54
Programmation efficace du détecteur
Θ −→ gaussienne ou B-spline
HHHHHHj?
�������
��
���+
@@
@R
XXXXXXXXXXXXXz
...
?
PPPPPPPPPPq ?
6
PPPPPPPPPi �
?Θ ?Dx?Dy
Imagef
f ? Θ f ? Dx f ? Dy
f ? (Θ ~ Θ) f ? (Θ ~ Dx) f ? (Θ ~ Dy)
f ? (
N convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ) f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dx) f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dy)
Fig. 1 – L’algorithme cascade B-spline vu comme un banc de filtrage : re-construction
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 55
Deuxième algorithme de marquage.
Etape 1
?
-
-
αk < α < αk + ε
Etape 2
Etape 3
6
��
��
��3
Etape 4
6
-@
@@R
Etape 5
Imagedes aretes
Cf
PositionsPts a marquer
(xk, yk)
Imageoriginale
f
Module Ond.ech. a
Maf
Marquem
taille M2
Modulemarque
Maf
Imagemarquee
g
Fig. 1 – Deuxieme algorithme de marquage
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 56
Test de l’algo de marquage
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
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20 40 60 80 100 120
20
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120
FIG. 15 – Résultats pour Lenna avec deux valeurs de R2, 7 et 300 : si R2 est trop important, la
marque se voit dans l’image reconstruiteMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 57
Procédure d’extraction : ce qu’on connaît
On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginale
Le taux d’inclusion de la marque
L’echelle a indiquant dans quels coef d’ondelettesest cachée la marque.
Les régularités αk, k = 1 · · ·M ×M des points oùont été cachés les éléments de la marque.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 58
Procédure d’extraction : ce qu’on connaît
On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginaleLe taux d’inclusion de la marque
L’echelle a indiquant dans quels coef d’ondelettesest cachée la marque.
Les régularités αk, k = 1 · · ·M ×M des points oùont été cachés les éléments de la marque.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 58
Procédure d’extraction : ce qu’on connaît
On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginaleLe taux d’inclusion de la marque
L’echelle a indiquant dans quels coef d’ondelettesest cachée la marque.
Les régularités αk, k = 1 · · ·M ×M des points oùont été cachés les éléments de la marque.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 58
Procédure d’extraction : ce qu’on connaît
On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginaleLe taux d’inclusion de la marque
L’echelle a indiquant dans quels coef d’ondelettesest cachée la marque.
Les régularités αk, k = 1 · · ·M ×M des points oùont été cachés les éléments de la marque.
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 58
Procédure d’extraction.
Relancer l’algo de détection et de caractérisation sur l’image
attaquée g → Regularites des points de contour de g.
Calculer les coeff de la TMC de l’image g jusqu’à l’échelle a
→Mg(., ., a).
Tester si le kème élément de la marque est un 0 ou un 1 : en
regardant dans Mg(., ., a) aux positions des points de
régularités comprises entre αk et αk + ε.
L’extraction a réussi si au moins 90% des coefficients sont
bons.
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Procédure d’extraction.
Relancer l’algo de détection et de caractérisation sur l’image
attaquée g → Regularites des points de contour de g.
Calculer les coeff de la TMC de l’image g jusqu’à l’échelle a
→Mg(., ., a).
Tester si le kème élément de la marque est un 0 ou un 1 : en
regardant dans Mg(., ., a) aux positions des points de
régularités comprises entre αk et αk + ε.
L’extraction a réussi si au moins 90% des coefficients sont
bons.
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Procédure d’extraction.
Relancer l’algo de détection et de caractérisation sur l’image
attaquée g → Regularites des points de contour de g.
Calculer les coeff de la TMC de l’image g jusqu’à l’échelle a
→Mg(., ., a).
Tester si le kème élément de la marque est un 0 ou un 1 : en
regardant dans Mg(., ., a) aux positions des points de
régularités comprises entre αk et αk + ε.
L’extraction a réussi si au moins 90% des coefficients sont
bons.
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Procédure d’extraction.
Relancer l’algo de détection et de caractérisation sur l’image
attaquée g → Regularites des points de contour de g.
Calculer les coeff de la TMC de l’image g jusqu’à l’échelle a
→Mg(., ., a).
Tester si le kème élément de la marque est un 0 ou un 1 : en
regardant dans Mg(., ., a) aux positions des points de
régularités comprises entre αk et αk + ε.
L’extraction a réussi si au moins 90% des coefficients sont
bons.
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Programmation efficace de la transformée
Θ −→ gaussienne ou B-spline
HHHHHHj?
�������
��
��
�+
@@
@R
XXXXXXXXXXXXXz
...
?
PPPPPPPPPq ?
Imagef
f ? Θ f ? Dx f ? Dy
f ? (Θ ~ Θ ↑2)f ? (Θ ~ Dx ↑2)= D1f(., ., 2)
f ? (Θ ~ Dy ↑2)= D2f(., ., 2)
f ? (
N convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ ↑2 · · · ~ Θ ↑2N−1)f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ ↑2 · · · ~ Θ ↑2N−2 ~Dx ↑2N−1)= D1f(., ., 2N)
f ? (
N−1 convolutions︷ ︸︸ ︷
Θ ~ Θ ↑2 · · ·~ Θ ↑2N−2 ~Dy ↑2N−1)= D2f(., ., 2N)
Fig. 1 – Schema de la transformee dyadique
1
Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 60
exemple : le Dirac
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1representation temporelle
(a) Le Dirac200 400 600 800 1000
50
100
150
200
250
(b) les coefficients d’ondelettes
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
5
−lo
g2(s
cale
)
(c) chaînage
Chaînage des maxima
1
2 3
3 3.5 4 4.5 5−10
−9.8
−9.6
−9.4
−9.2
−9
−8.8chaîne 1:
(d) évaluation de la singularité en 0.5
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