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Physik A – VL20 (23.11.2012)Physik A VL20 (23.11.2012)
Schwingungen und Wellen I - Einleitungg g g
S h i d W ll Ei l it• Schwingungen und Wellen - Einleitung
◦ Exkurs: Komplexe Zahlen
• Schwingungsgleichungen
• Die Energie von Schwingungen
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Schwingungen und Wellen
Ei l it
Di Si L b i b d f S h i i ih U lt
• Schwingungen treten in vielen verschiedenen physikalischen Situationen auf
Einleitung
• Die Sinne von Lebewesen reagieren besonders auf Schwingungen in ihrer Umwelt: ◦ das Gehör empfängt Schallwellen◦ das Auge empfängt Lichtwellen
• Bisher in der Vorlesung betrachtete Schwingungen:◦ Pendelschwingungen ( Foucault-Pendel)Pendelschwingungen ( Foucault Pendel) ◦ Schwingungen von Atomen in einem Festkörper
( Deformierbarkeit von Festkörpern)
• Schwingungen im weiteren Verlauf der Vorlesung:◦ Schwingungen von elektrischen Ladungen in g g g
einem Schwingkreis bzw. generell Themengebiet Elektrodynamik
◦ gesamter Bereich der Wellenoptik
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gesamter Bereich der Wellenoptik
Schwingungen und Wellen
S h i
• Ein schwingungsfähiges Objekt besitzt eine Ruhelage, um die es schwingen kann,wenn Energie zugeführt wird (z B durch Anstoßen)
Schwingungen
wenn Energie zugeführt wird (z.B. durch Anstoßen) → Oszillator
• Bewegung des Objektes wiederholt sich → periodische Bewegung
Schwingungen sind lokale periodische Bewegungen um eine Gleichgewichtslage
• einfachste Oszillatoren: Pendel• Arten von Pendeln: ◦ GravitationspendelArten von Pendeln: Gravitationspendel
◦ Kugelpendel◦ Federpendel ◦ Rotationspendel
• Bezeichnungen der Pendelbewegung:harmonische Schwingung periodische Schwingung gedämpfte Schwingung
p
3
harmonische Schwingung, periodische Schwingung, gedämpfte Schwingung,erzwungene Schwingung, Resonanz, aperiodischer Grenzfall
Schwingungen und Wellen
W ll• Schwingungen, die zusätzlich ihren Ort ändern, sind Wellen
Wellen
Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge
• Beispiele für Wellen
◦ Wasserwellen ◦ akustische Wellen
Beispiele für Wellen
◦ Lichtwellen (elektromagnetische Wellen)...
• Wellen können mit und ohne Träger übertragen werden:
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g gSchall- und Wasserwellen bzw. Licht
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h iDefinition von Schwingungen• ein allgemeiner periodischer Vorgang kann durch folgende Parameterbeschrieben werden:
x(t)x(t)
x0
◦ Die Schwingungsdauer T◦ Die Amplitude 0x
T
t
φ0
◦ Die Phase 0ϕ◦ Die Kreisfrequenz
Tπω 2
0 =T
• periodische Vorgänge sind aus Sinusschwingungen zusammengesetzt
◦ einfachster Fall: nur eine Sinusschwingung → harmonische Schwingung
)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx )()( 000 ϕ
Systeme, die harmonische Schwingungen aus-führen werden als „harmonische Oszillatoren“
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führen, werden als „harmonische Oszillatoren bezeichnet
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h i
◦ Zusammenhang zwischen Pendelbewegung und harmonischer Schwingung
• Beispiel: Federpendel – ohne Berücksichtigung der Gravitation
Definition von Schwingungen
◦ Zusammenhang zwischen Pendelbewegung und harmonischer Schwingung
Zeit t)i ()( +tt )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx
Systeme, die harmonische Schwingungen aus-führen werden als „harmonische Oszillatoren“
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führen, werden als „harmonische Oszillatoren bezeichnet
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h i
• Beispiel: Federpendel – ohne Berücksichtigung der Gravitation
Definition von Schwingungen
◦ Schwingung = Auslenkung um Ruhelage, Federkraft wirkt als Rückstellkraft
x = x0DxF −=
Kraft:
Dehnung
0
x
F < 0
Gl i h i h (R h l )x = 0
F < 0
Gleichgewicht (Ruhelage)
F = 0
Kompression
F > 0
7
F > 0x = -x0
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h i Diff ti l l i h
Di A l k d F d d R h l i Rü k llk f
• Beispiel: Federpendel – ohne Berücksichtigung der Gravitation
Definition von Schwingungen - Differentialgleichung
◦ Die Auslenkung der Feder aus der Ruhelage erzeugt eine Rückstellkraft
→ Federpendel⇒ periodische Bewegung
xDFx ⋅−=
◦ Federkraft erzeugt Beschleunigung
⇒ periodische Bewegung
amxDFx ⋅=⋅−= xmxDFx &&⋅=⋅−=
xDx ⋅−=⇒ && xm
x ⋅−=⇒
mitD
=0ω 02 =⋅+⇒ xx ω&&mitm0ω 00 =⋅+⇒ xx ω
Differentialgleichung der harmonischen Schwingung
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Differentialgleichung der harmonischen Schwingung(hier: des Federpendels)
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h i Diff ti l l i h
◦ Exkurs: Wie löst man eine Differentialgleichung ?
Definition von Schwingungen - Differentialgleichung
• Beispiel: Federpendel – ohne Berücksichtigung der Gravitation
1. Lösungsansatz: Durch „Raten“ - es wird eine Funktion x(t) gesucht, derenAbl b f K d d F k b
◦ Exkurs: Wie löst man eine Differentialgleichung ?→ Lösungsansatz → periodische Lösung: Sinus- oder Kosinusfunktion
zweite Ableitung bis auf eine Konstante wieder die Funktion ergibt
)cos()()sin()(ttxttx
==
& d )sin()()cos()(ttx
ttx==
&K = 1 K 1
2 Überprüfen durch Einsetzen in die Differentialgleichung
)sin()()cos()(ttx
ttx−=
=&&
oder)cos()()sin()(ttxttx
−=−=
&&
K = -1 K = -1
2. Überprüfen durch Einsetzen in die Differentialgleichung
)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx
)cos()( ϕωω +⋅⋅⋅=⇒ txtx&
„geratene“ Lösung der DGL:
⇒ ergibt die Differentialgleichung:
)cos()( 0000 ϕωω +⋅⋅⋅=⇒ txtx
)sin()( 00020 ϕωω +⋅⋅⋅−=⇒ txtx&&
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g ff g g
0)()( bzw. )()( 20
20 =⋅+⋅−= txtxtxtx ωω &&&&
Schwingungen und Wellen
D fi iti S h i
• Beispiel: Gewichtsmessung eines Astronauten im Raumschiff
◦ Problem: Schwerelosigkeit!
Definition von Schwingungen
◦ Problem: Schwerelosigkeit!→ Masse nicht einfach durch Wiegen bestimmbar
◦ Lösung: Messung in einem speziellem Messstuhl◦ Lösung: Messung in einem speziellem Messstuhl, der in Oszillationen versetzt wird⇒ Berechnung der Masse aus der
O ill ti fOszillationsfrequenz
◦ Beispielrechnung:Das Gerät hat eine Federkonstante D = 606 N/m, der Stuhl ein Gewicht von 12kg,Das Gerät hat eine Federkonstante D 606 N/m, der Stuhl ein Gewicht von 12kg,Die gemessene Oszillationsperiode ist 2,41 s. Wie schwer ist der Astronaut ?
D==
πω 2 2DTm⇒ kg289)s41,2()Nm 606( 2-1 ⋅mT
==ω0 24πm =⇒ kg2,89
4)()(
2 ==π
kg77,2 kg)0,122,89( =−=−= StuhlAstronaut mmm
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g,g),,(StuhlAstronaut
Schwingungen und Wellen
E k K l Z hl
• Frage: Was sind komplexe Zahlen ?
Exkurs: Komplexe Zahlen
kann durch reele Zahlen nicht gelöst werden!
↔ Problem: Die Gleichung 12 −=x
• Leonhard Euler (1707 – 1783) führte zur Lösung dieser Gleichung die imaginäre Zahl i ein:
g
Leonhard Euler (1707-1783)12 −=i
• Definition: eine komplexe Zahl ist die Linear-Kombination aus rellen und imaginären Zahlen
Realteil von z Imaginärteil von zyixz ⋅+=
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Schwingungen und Wellen
E k K l Z hl
• Frage: Wie kann man sich komplexe Zahlen vorstellen ?
Exkurs: Komplexe ZahlenCarl Friedrich Gauß (1777-1855)
◦ nach Carl-Friedrich Gauß (1831):
komplexe Zahlen x + iy können als Punkte in einem Koordinatensystem, dass durch die Koordinaten (x, iy) gebildet wird, angesehen werden
→ reelle Achse x, Einheit: 1i i ä A h i Ei h i i
Im z
→ imaginäre Achse iy, Einheit: i
ϕsin)Im( riz
z
ϕsin)Im( ⋅⋅= riz ⇒ Jede komplexe Zahl kann in der Form
)Im()Re( +=i
zzz
rφ
iϕcos)Re( ⋅= rz
)sin(cos ϕϕ ⋅+⋅=+=
iryix
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Re z1 dargestellt werden.
Schwingungen und Wellen
E k K l Z hlExkurs: Komplexe Zahlen
• Frage: Wie stehen komplexe Zahlen und andere Funktionen in Zusammenhang ?
◦ die Euler‘sche Gleichung verknüpft die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen
ϕϕ )exp(⋅ iei
ϕϕϕϕ
sincos)exp(⋅+=
⋅=i
ie
Leonhard Euler (1707-1783))sin(cos)Im()Re(
ϕϕ ⋅+⋅=+=
irzzzmit
◦ Die trigonometrische Funktionen werden durch Exponentialfunktionen ersetzt
ϕ⋅⋅= ierz⇒
⇒ mit komplexen Zahlen und der Euler‘schen Gleichung können viele
◦ Die trigonometrische Funktionen werden durch Exponentialfunktionen ersetzt⇒ Die Additionstheoreme für sin und cos entfallen → Lösungen werden vereinfacht
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⇒ mit komplexen Zahlen und der Euler schen Gleichung können vielemathematische Probleme vereinfacht gelöst werden
Schwingungen und Wellen
E k K l Z hlExkurs: Komplexe Zahlen
• Die komplexe Zahlenebene= 2πϕ
Im (z)
ϕ⋅ierz
,⋅= πϕungeradek
k iei =⋅ 2π
r
ϕ⋅= erz1−=⋅⋅ πkie
φ
Re (z)Re (z)
1)(2
)1(22 =−=
⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅ ππ
πϕkiki ee
k
iei −=
=⋅ 23
23π
πϕ
14
ie
Schwingungen und Wellen
E k K l Z hlExkurs: Komplexe Zahlen
• Rechenregeln für komplexe Zahlen - Beispiele
ii◦ Addition & Subtraktion
)()( 2211
212121
yixyixererzz ii
⋅+±⋅+=⋅±⋅=± ⋅⋅ ϕϕ
)()( 2121 yyixx ±⋅+±=
ii◦ Multiplikation)(
21
2121
21
21
ϕϕ
ϕϕ
+⋅
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅i
ii
err
ererzz
◦ Division21
2
1 21 ϕϕ ⋅−⋅ ⋅⋅⋅= ii ererzz
)(21
2
21 ϕϕ −⋅⋅⋅= ierr
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Schwingungen und Wellen
S h i l i h• reele Gleichung für Schwingungen
Schwingungsgleichungen
)sin()( ϕω +⋅⋅= txtx )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx
oder allgemein )sin()cos()( tBtAtx ⋅⋅+⋅⋅= ωω
• komplexe Darstellung von Schwingungen)(
0)( ϕω +⋅⋅⋅= tieztz
)()(
)(20
)(0
20
)(00
tzeztz
ezitzti
ti
⋅−=⋅⋅−=
⋅⋅⋅=+⋅⋅
+⋅⋅
ωω
ωϕω
ϕω
&&
&
⇒ komplexe Differentialgleichung für Schwingungen
)()( 000 tzeztz ωω
• Folgerung aus komplexer Darstellung:
0)()( 20 =⋅+ tztz ω&&
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Folgerung aus komplexer Darstellung: Beschreibung der Schwingung kann mit Sinus- oder Kosinusfunktion erfolgen
Schwingungen und Wellen
S h i l i h• Anfangsbedingungen:◦ Pendel wird nur ausgelenkt, ist aber in Ruhe: x0 = max
Schwingungsgleichungen
g 0
◦ Geschwindigkeit gleich Null: v0 = 0
• Funktion: sin(wt)+φ )()();( tvtxtx =&
0x )(tx&0)0( xx =
20πϕ = (bei Ansatz mit
cos-Funktion: φ = 0 )2 φ )
0)0( 0 == vx&
allgemeiner Ansatz:00 =v
tallgemeiner Ansatz:)sin()cos()( tBtAtx ⋅⋅+⋅⋅= ωω
1)0cos( ⎫=⋅ω
)(tx
)()(
0,0)0sin(1)0cos(
0 ==⇒⎭⎬⎫
=⋅=
BxAωω
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)cos()( 0 txtx ω⋅=⇒
Schwingungen und Wellen
Di E i S h i• beim Anstoßen erhält ein Federpendel Spannenergie (allgemein: potentielle Energie)• bei der Oszillation wird die potentielle in kinetische Energie umgewandelt,
Die Energie von Schwingungen
danach wieder in Spannenergie (potentielle Energie)
Energiebilanz: kinSpann WWW += 2
21 DxWSpann = 22
21
21 xmmvWkin &==
2 22
)(sin11 222 ϕω +⇒ tDxDxW
Einsetzen von und )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx )cos()( 0000 ϕωω +⋅= txtx&
)(sin22 000 ϕω +⋅==⇒ tDxDxWSpann
)(cos21
21
0022
020
2 ϕωω +⋅⋅==⇒ tmxxmWkin &mD
=20ω
22
)cos(21)(sin
21
0020
2000
220 ϕωωϕω +⋅++⋅=+=⇒ tmxtDxWWW kinSpann m
D=2
0ω22
))cos()((sin21
000022
0 ϕωϕω +++⋅= ttDx 1cossin 22 =+ αα
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202
1 Dx= ⇒ Die Gesamtenergie der ungedämpften Schwingung istproportional zum Amplitudenquadrat
Schwingungen und Wellen
Di E i S h i
→ sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie oszillieren:• Folgerungen aus der Energiebilanz
Die Energie von Schwingungen
sie durchlaufen Werte zwischen Null und einem Maximum
→ beide Energien hängen vom Wert der Maximalamplitude x0 ab:die Gesamtenergie wird durch die Anfangsauslenkung bestimmtg f g g
→ kinetische Energie hängt auch von der Schwingungsfrequenz ab
→ kinetische Energie erreicht ihr Maximum, wenn die potentielle Energie ihrMi i i h d k hMinimum erreicht und umgekehrt.
)()cos()( 000
πϕϕω
=+⋅⋅= txtx
kiS WWW +=)( 0 πϕ =
)(1 22 tDW
kinSpann WWW +=
)(cos2 0
220 tDxWSpann ω⋅=⇒
)(sin1 222 tmxW ωω⇒
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)(sin2 000 tmxWkin ωω ⋅⋅=⇒
Schwingungen und Wellen
M th ti h P d l F d d l
• punktförmige Masse schwingt an (masselosem) Faden
Mathematisches Pendel - Fadenpendel
Rückstellkraft durch Gewichtskraft: αsin⋅−= mgFRück
Trägheitskraft: xmmaF &&==Trägheitskraft: xmmaFTrägheit ==
Kräftegleichgewicht: TrägheitRück FF =
⇒ Differentialgleichung: 0sin =⋅+ αgx&&xilx
=αmit
0il&& 0i ⎟⎞
⎜⎛ x
&&0sin =⋅+⋅⇒ αα gl&& 0sin =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⇔
lgx&&
Dl h d d l
20
0=⋅+ xmDx&&Vergleich mit Federpendel:
Schwingungen und Wellen
M th ti h P d l F d d lMathematisches Pendel - Fadenpendel
• punktförmige Masse schwingt an (masselosem) Faden
◦ für kleine Winkel ⇒ kleine Schwingungsamplitude gilt: αα ≈sin (Kl i i k l◦ für kleine Winkel ⇒ kleine Schwingungsamplitude gilt: αα ≈sin (Kleinwinkel-Näherung)
00sinsin
=⋅+⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+
≈x
lgx
lxgx &&&&
ααoder 0sin =⋅+ αα
lg
&&
⇒ Differentialgleichung des mathematischen Pendels:
⎠⎝ ll l
2 2mitlg
=0ω 020 =⋅+⇒ xx ω&& oder 02
0 =⋅+ αωα&&
⇒ Schwingungsdauer:glT ⋅== π
ωπ 22
⇒ Pendel zur Bestimmung von Zeitsequenzen nutzbar: Sekundenpendel
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• Periodendauer ist proportional zur Wurzel der Fadenlänge
Schwingungen und Wellen
Ph ik li h P d l
• ein starrer Körper wird außerhalb seines Schwerpunkts - im Abstand d vom Schwerpunkt - aufgehängt
Physikalisches Pendel
im Abstand d vom Schwerpunkt aufgehängt
◦ hier: Betrachtung der jeweiligen Drehmomente
Rückstelldrehmoment: ϕsin⋅⋅⋅−= dgmTRück
Trägheitsdrehmoment: ϕ&&⋅= JTT ä h iTrägheitsdrehmoment: ϕ= JTTrägheit
Differentialgleichung: 0sin =⋅+ ϕϕJ
mgd&&
J
kleine Schwingungsamplitude:(Kleinwinkel-Näherung)
0=⋅+ ϕϕJ
mgd&&
(Kleinwinkel-Näherung)
Jmgd
=0ω 020 =+⇒ ϕωϕ&&
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J0 00⇒ ϕωϕ
Zusammenfassung
Harmonische Schwingungen
• Schwingungen sind lokale periodische Bewegungen um eine Gleichgewichtslage• periodische Vorgänge sind aus Sinusschwingungen zusammengesetzt• einfachster Fall: nur eine Sinusschwingung → harmonische Schwingung
d h h h
)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx
• Differentialgleichung der harmonischen Schwingung
020 =⋅+ xx ω&&Federpendel D
=0ω0
020 =⋅+ αωα&&
p
mathematisches Pendel (kleine Auslenkungen)
m0ω
lg
=0ω
020 =+ ϕωϕ&&
(kleine Auslenkungen)
physikalisches Pendel
l
Jmgd
=0ω
23