physik a vl6 (19.10.2012) - uni-muenster.de · dreh- und rotationsbewegungen v 1 v 2 v 3 v 4 r r s...
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Physik A – VL6 (19.10.2012)
Beschreibung von Bewegungen
- Kinematik in drei Raumrichtungen II
• Dreh- und Rotationsbewegungen
• Zusammenfassung: Kinematik
Dreh- und Rotationsbewegungen
Dreh- und Rotationsbewegungen
Parameter von Dreh- und Rotationsbewegungen
r Radius des vom Bezugspunkt
(z.B. Massepunkt) beschriebenen
Kreises um Mittelpunkt M
T Umlaufzeit [s]r
r
s
M
T
f Drehfrequenz
Hz
Tf ,
s
11
ω Kreisfrequenz fT
22
Die Kreisfrequenz ist eine Geschwindigkeit, die Winkelgeschwindigkeit.
Sie gibt die Änderung des Umlaufwinkels an: tdt
d
φ Umlaufwinkel (1 Umlauf = 2π)
Δs Weg rs
Dreh- und Rotationsbewegungen
v1
v2
v3
v4
r
r
s
M
T
Kreisfrequenz fT
22
tdt
d
Geschwindigkeit eines
Teilchens auf der Kreisbahn
Weg rs
dt
dsv r
dt
d
dt
dsv
rr
dt
d
dt
dsv
drds
die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit dem Radius zu
Betrachtung der Geschwindigkeitsvektoren
Parameter von Dreh- und Rotationsbewegungen
Dreh- und Rotationsbewegungen
v1
v3
Betrachtung der Geschwindigkeitsvektoren
v3,y
v1,x v3,x
v1,y= 0 rrdt
d
dt
dsv
• Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit
.22 constvvv yx
aber:
vi,x , vi,y ≠ const. !!!
Rotation ist trotz konstantem Betrag der Geschwindigkeit
eine beschleunigte Bewegung, da sich die Richtung der
Geschwindigkeit ständig ändert.
Δs
Dreh- und Rotationsbewegungen
tdt
d
Kreisfrequenz = Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor,
der senkrecht auf Radius und Geschwindigkeit stehtrvrv
,
Rechte-Hand-Regel für die
Winkelgeschwindigkeit
Rotations-
richtung: v
Winkelgeschwindigkeit
Radius r
v1
rr
M
v3
Δs
v1'
Ähnlichkeit
der Dreiecke
r
s
v
v
r
vsv Erweitern mit Δt
r
v
t
s
t
v
.)( ladialbeschRar
v
t
s
t
v
Δv
Dreh- und Rotationsbewegungen
Die Radialbeschleunigung (Zentral-, Zentripetalbeschleunigung)
r
v
t
s
t
vaR
r
vrv
dt
dv
r
v
dt
ds
dt
dvaR
22
r
v
dt
ds
dt
dvaR
Grenzwertbetrachtung (Übergang von Durchschnitts- zur Momentanbeschleunigung)
r
v
r
vv
r
v
dt
ds
dt
dvaR
2
dt
d drds rv
Dreh- und Rotationsbewegungen
Vektorielle Betrachtung
dt
vdaR
Die Richtung der Radialbeschleunigung
Radialbeschleunigung hat gleiche Richtung wie Geschwindigkeitsänderung
v1
rr
M
v3
Δs
v1'
Δv
Wenn Δt gegen Null geht , nähert sich
die Richtung von Δv immer weiter dem
Radius r an
Die Geschwindigkeitsänderung und damit
die Richtung der Radialbeschleunigung
sind zum Kreismittelpunkt hin orientiert.
Dreh- und Rotationsbewegungen
Die Ursachen der Radialbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)
Eine () Kraft in Richtung des Kreismittelpunktes wirkt auf den darum kreisenden Körper,
die Zentripetalkraft.
Erzeugung von Zentripetalkräften - Beispiele
Räder, Windmühle, Karussell:
Kräfte von Achslagern
Spannkraft der
Schnur bzw.
Haltekraft
Kurvenfahrt eines Autos:
Reibungskräfte zwischen Reifen und Straße (Glatteis!)
Auch bei Unfällen (Seitenaufprall): Kraft in Richtung Mittelpunkt des Krümmungskreises!
Gravitationskräfte
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Dreh- und Rotationsbewegungen
Beispiel 1:
Winkelgeschwindigkeit der Erde und deren Radialbeschleunigung am Äquator
Gegeben: - Erdradius r = 6,38106 m
- Umlaufzeit T = 24h
52 27,27 10
86400s
T s
Winkelgeschwindigkeit
1670km
v rh
Bahngeschwindigkeit
Radialbeschleunigung
034,02
2
s
m
r
vaR
Dreh- und Rotationsbewegungen
Beispiel 2:
Satellit auf geostationärer Bahn
Gegeben: - Bahnhöhe h = 3,600107 m
Bahnradius r = 4,237107 m
- Umlaufzeit T = 24h
52 27,27 10
86400s
T s
Winkelgeschwindigkeit
Gleiche Winkelgeschwindigkeit wie Erdrotation
Satellit erscheint fest über einem Punkt des Äquators verankert („geostationär“)
Bahngeschwindigkeit und Radialbeschleunigung sind abhängig vom (Bahn-)Radius
(In beiden Fällen direkte Proportionalität: v = r und aR = 2 r )
Bahngeschwindigkeit Radialbeschleunigung
)1670 :(Erde 11092h
km
h
kmrv )0,034 :(Erde 224,0
22
2
s
m
s
m
r
vaR
Dreh- und Rotationsbewegungen
Ungleichförmige Rotation – die Tangentialbeschleunigung
• Ändert sich bei einer Rotation die Drehzahl und damit die Winkelgeschwindigkeit ω,
so ist die Drehbewegung nicht mehr gleichförmig.
• Aus der zeitlichen Änderung der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich die
Winkelbeschleunigung bzw. Tangentialbeschleunigung
dt
d
bzw. dt
dra TTT
,
2
2
dt
d
dt
dT
va
ra
T
TT
||
,
Die Tangential- (oder Bahn-)Beschleunigung hat gleiche oder entgegengesetzte Richtung
wie Geschwindigkeit, d.h. sie ändert den Betrag von v Translation
Radialbeschleunigung steht senkrecht auf der Geschwindigkeit,
d.h. sie ändert nur die Richtung von v Drehbewegung oder Rotation
Analogie zur Winkelgeschwindigkeitdt
d
dt
d
Dreh- und Rotationsbewegungen
Zusammenhänge zwischen
Radius r
Geschwindigkeit v
Radial-Beschleunigung aR
Tangentialbeschleunigung aT
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung T
rvrv
,
rara TTTT
,
||
||
T
T va
rarvddt
vda RR
||||,
Weg s
raR
aT
vT
Dreh- und Rotationsbewegungen
Translations- vs. Rotationsbewegungen (skalare Form)
Translation Rotation Zusammenhang
Weg s s = r
Geschwindigkeit v = ds/dt = d /dt v = r
Beschleunigung a = dv/dt=d2s/dt2 = d /dt=d2 /dt2 a = r
Bei gleichförmiger Bewegung
Translation Rotation
s = s0 + vt = 0 + t
v = const. = const.
Bei gleichförmig beschleunigter Bewegung
Translation Rotation
s = s0 + vt + ½at2 = 0 + 0t + ½t2
v = v0 + at = 0 + t
a = const. = const.
• Mechanik
Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie.
Einteilung in drei Teilbereiche: - Statik (Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften)
- Kinematik (Beschreibung von Bewegungen)
- Dynamik (Beschreibung von Kräften und Untersuchung,
warum sich Körper in einer bestimmten Art
und Weise bewegen)
• Kinematik in einer Raumrichtung
Es wird immer ein Bezugssystem benötigt, da Weg und Geschwindigkeit vektorielle Größen sind.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür
benötigten Zeit.
Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Δt
gegen Null geht bzw. ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve in diesem Punkt.
Das Vorzeichen der Geschwindigkeit (Durchschnitts- und Momentan-) ergibt sich aus dem
Vorzeichen des Weges und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.
Kinematik - Zusammenfassung
Kinematik - Zusammenfassung
• Die beschleunigte Bewegung
Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
Durchschnittsbeschleunigung: Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung und Zeit
Momentanbeschleunigung: Grenzwert der Durchschnittsbeschleunigung für t → 0.(Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!)
• Der freie Fall
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit g = ~ 9,81 m/s2
Ursache der Fallbeschleunigung ist die Anziehungskraft der Erde
Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung zum Mittelpunkt der Erde
(Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes !)
• Der senkrechte Wurf
Überlagerung zweier Bewegungen: 1. gleichförmige Bewegung nach oben (mit v0)
2. gleichförmig beschleunigte Bewegung nach unten
(freier Fall)
Die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung !
Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!
Kinematik - Zusammenfassung
• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung
Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.
Berechnung von ungleichmässig beschleunigter Bewegung.
• Vektoren und Skalare, Vektoraddition, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Koordinatensysteme
• Der horizontale Wurf
Überlagerung zweier Bewegungen: 1. gleichförmige Bewegung nach oben (v0)
2. gleichmäßig beschleunigte Bewegung
nach unten (→ freier Fall)
• Der schräge Wurf
Überlagerung zweier Bewegungen: 1. Gleichförmige Bewegung (Wurf) mit Komponenten in
horizontaler (x) und vertikaler (y)-Richtung
2. vertikal: gleichmässig beschleunigte Fallbewegung
Die resultierende Bewegungen sind ebenfalls gleichmäßig beschleunigte Bewegungen!
Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!
Kinematik - Zusammenfassung
• Dreh- und Rotationsbewegungen
Die Rotation ist trotz konstantem Betrag der Geschwindigkeit eine beschleunigte Bewegung,
da sich die Richtung der Geschwindigkeit stetig ändert.
Die Kreisfrequenz ist eine Geschwindigkeit, die Winkelgeschwindigkeit.
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, der senkrecht auf Radius und Geschwindigkeit
steht.
Ursache der Kreisbewegung ist die Radialbeschleunigung (Zentripetal-, Zentralbeschl.).
Die Geschwindigkeitsänderung und damit die Richtung der Radialbeschleunigung sind
zum Kreismittelpunkt hin orientiert.
Ursachen der Radialbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)
Kräfte von Achslagern, Haltekräfte, Spannkräfte, Reibungskräfte, Gravitation
Ungleichförmige Rotation – die Tangentialbeschleunigung
Tangential- (oder Bahn-)Beschleunigung hat gleiche oder entgegengesetzte Richtung
wie Geschwindigkeit, d.h. sie ändert den Betrag von v Translation
Analog zu Geschwindigkeit ↔ Winkelgeschwindigkeit: Beschleunigung ↔ Winkelbeschleunigung
Kinematik - Zusammenfassung
Die wichtigsten Zusammenhänge der Kinematik