Folie 1

Physik der Musikinstrumente T. Lohse, M. zur NeddenSS 03 Vorbemerkung: Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium Menschliches Ohr Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale

Folie 2

Physikalische Grundlagen: Schwingungen / Wellen in festen / gasfrmigen elastischen Medien Hydrodynamik Lineare und nichtlineare Schwingungen Beispiele schwingender Systeme: Saiten Geige, Gittarre, Klavier,... Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten,... Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell,... Platten, Stbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel,... Schalen Becken, Glocke,... Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkrper, Orgelpfeife,... Luft-Wellenleiter Flte, Trompete, Horn,...

Folie 3

Bewegungsgleichung: komplexe Lsung: 0 :Eigenfrequenz A = |A|e i :komplexe Amplitude :Phase reelle (physikalische) Lsung: Anfangsbedingungen |A|, bzw. a, b 1. Schwingende Systeme 1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung

Folie 4

Beispiele: D m z I Q C L Helmholtz-Resonator: L S Schallgeschwindigkeit

Folie 5

Bewegungsgleichung: 1.2. Dmpfung : Dmpfungskonstante < 0 : Schwingfall (musikalischer Normalfall) > 0 : Kriechfall = 0 : aperiodischer Grenzfall

Folie 6

Beispiele: D m z I L R Q C Musikinstrumente: Kleine Dmpfung 0 quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust whrend T = 2 /

Folie 7

Energieverlust bei kleiner Dmpfung: const. Dmpfungszeit: #Schwingungen in D : Gte:

Folie 8

Impulsanregung Beispiel: T 37% = Q/ = 2 D T 14% = Q/2 = 4 D

Folie 9

1.3. Erzwungene Schwingungen Bewegungsgleichung: f(t): externe Anregung D m z F(t) Musikinstrument: f(t) periodisch Fourierzerlegung: f(t) harmonisch 1.3.1. bersicht

Folie 10

Lsung: x(t) = x h (t) + x s (t) x h (t): x s (t): Einschwingvorgang gedmpft Lsung der homogenen Gleichung ( f 0 ) festgelegt durch Anfangsbedingungen Asymptotische, stabile Schwingung fr spezielle Lsung der inhomogenen Gleichung unabhngig von Anfangsbedingungen festgelegt durch 0, , f 0,

Folie 11

1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t ) Komplexe... Amplitude:x 0 = | x 0 |e i Geschwindigkeit:v 0 = ix 0 Beschleunigung:a 0 = iv 0 = - 2 x 0

Folie 12

Definitionen: (mechanische) Impedanz: Admittanz (bzw. Mobilitt): Widerstand (dissipativer Teil): Reaktanz (reaktiver Teil):

Folie 13

Definitionen: Resonanzamplitude:Gleichgewichtsamplitude: Resonanzverstrkung: = Gte

Folie 14

Definitionen: Dmpfung in Dezibel (dB) Dmpfung Bemerkung: Analog fr andere Gren (v, a,...) und andere Bezugspunkte

Folie 15

0,25 0,70 0 3 dB 1/Q 4 1,43 Resonanzkurve und Phasenschub: Resonanz- dominiert Feder- dominiert Masse- dominiert

Folie 16

0,25 0,70 0 3 dB 1/Q 4 1,43 Resonanzkurve und Phasenschub: 0 Steigung Steigung |x 0 | const. 0 dB/Oktave 1/ 2 -12 dB/Oktave |v 0 | 6 dB/Oktave 1/ -6 dB/Oktave |a 0 | 2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave 1 Oktave Faktor 2 in [ , 2 ] 0 Steigung Steigung |x 0 | const. 0 dB/Oktave 1/ 2 -12 dB/Oktave |v 0 | 6 dB/Oktave 1/ -6 dB/Oktave |a 0 | 2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave 1 Oktave Faktor 2 in [ , 2 ]

Folie 17

|Z| R = Re Z X = Im Z Darstellungen von Impedanz und Admittanz G = Re Y B = Im Y |Y| Q = 4 Nyquist-Diagramm Q = 0 = 0 0

Folie 18

1.3.3. Der Einschwingvorgang von + 0 mit |- 0 | Form:Anfangsbedingungen (Anregung) Einschwingdauer:einige D Komponenten: Schwebung Q = 10 0,2 0,8 1,0 1,2 2,0 4,0 Pltzliche sin-Anregung ab t=0

Folie 19

1.3.4. Elektrisches quivalent mechanische Parallelschaltung elektrische Serienschaltung mechanische Serienschaltung elektrische Parallelschaltung vBvB vAvA v 1 = v B -v A v 2 = v 1 I1I1 I 2 = I 1 vCvC vAvA vBvB v 1 = v B -v A v 2 = v C -v B I1I1 I2I2 II I = I 1 +I 2 v = v C -v A = v 1 +v 2

Folie 20

Kraft elektrische Spannung Geschwindigkeitsverlufe Krftegleichgewichte Analysiere im Einzelfall: m vmvm xx D xDxD L ILIL IRIR R C QCQC + -

Folie 21

Beispiel 1: D m x F(t) v Feder = v Dmpfer = v Masse F = F Masse + F Dmpfer + F Feder ~

Folie 22

Beispiel 2: v = v Feder + v Masse, v Feder = v Dmpfer F = F Masse = F Dmpfer + F Feder x m D F(t) xmxm ~

Folie 23

Beispiel 3: v = v Masse + v Dmpfer, v Feder = v Masse F = F Dmpfer = F Masse + F Feder ~ m xmxm D F(t) x

Folie 24

1.4. Gekoppelte Schwingungen Zerlegung: stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden Eine Eigenfrequenz pro Mode eine Mode pro Freiheitsgrad

Folie 25

1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger DaDa aa mama xaxa DKDK DbDb bb mbmb xbxb LaLa RbRb CKCK RaRa CbCb CaCa LbLb IaIa IbIb Bewegungsgleichung :

Folie 26

Musikinstrumente: kleine Dmpfung Vereinfachte Diskussion fr a = b = 0 Ansatz: x a, x b e it Lsung: Zwei Eigenfrequenzen

Folie 27

Diskussion: keine Kopplung a,b K = 0, 1,2 = a,b Minimale Frequenzaufspaltung: bei a = b Kopplung 0 b / a 0: 1 b, 2 a b / a : 1 a, 2 b

Folie 28

1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen Einfaches Beispiel (Dmpfung vernachlssigt): D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it m1m1 1/D 2 1/D 1 m2m2 ~ F 0 e it Anwendungen: m 2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen Anwendungen: m 2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen Nach Einschwingen: Dmpfung vernachlssigt reell

Folie 29

D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it Resonanzen Antiresonanz (x 1 0 = 0, x 2 0 = max) Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezglich F 0 ) = 1 : = 1 + : = 2 : = 2 + : = A : = A :

Folie 30

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien 1, 2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden = 1 : = 1 + : = 2 : = 2 + : = A : = A : D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it entgegengesetzt |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 ein Minimum gleichgerichtet |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 eine Antiresonanz

Folie 31

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien 1, 2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden entgegengesetzt |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 ein Minimum gleichgerichtet |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 eine Antiresonanz Folgerung: P 2 = P 1 Der Treiberpunkt selbst durchluft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen. Beispiel: 2-D-System Treiberpunkt Transferpunkt

Folie 32

1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs P 1 : Erreger P 2 : Sensor Wichtiger Spezialfall: P 1 = P 2 Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung Impedanzkopf Messverfahren: Impedanzkopf Nahfeld Schallwellen (Mikrophon) mechanische Schreiber holographische Interferometrie

Folie 33

Charakteristische Frequenzgangs-Messgren: Nachgiebigkeit (Compliance)KapazittMobilitt, AdmittanzLeitwert Acceleranz1 / Induktivitt Steifigkeit1 / Kapazitt ImpedanzDynamische MasseInduktivitt

Folie 34

P 1 = P 2 : Prfix Treiber(punkt)- P 1 P 2 : Prfix Transfer- Beispiel: D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it Treiber-Mobilitt: Transfer-Mobilitt:

Folie 35

Asymptotisches Verhalten: min : kleinste Resonanzfrequenz min : grte Resonanzfrequenz < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilitt AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

Folie 36

Asymptotisches Verhalten: min : kleinste Resonanzfrequenz min : grte Resonanzfrequenz < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilitt AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

Folie 37

Beispiel: Transfer-Mobilitt einer leicht gedmpften Struktur mit 4 Schwingungsmoden 11 22 33 44 Antiresonanz 6 dB / Oktave -6 dB / Oktave bleibt gleichklappt um Schwingungsrichtung am Messpunkt relativ zum Treiberpunkt...

Folie 38

Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter: z. B. Impedanz: Z = |Z| e i = R + i X |Z|() und () Re Z() und Im Z() Nyquist-Diagramme Im Re RR Nachgiebigkeit x / F Re RR Mobilitt v / F Im Re RR Acceleranz a / F, z.B. fr einzelne Resonanz:

Folie 39

1.5. Nichtlineare Schwingungen Lineare Systeme:... Superpositionsprinzip Eigenfrequenzen unabhngig von Moden-Amplituden komplexe Schreibweisen geeignet x Lsung zu F x' Lsung zu F' x + x' Lsung zu F + F'

Folie 40

Realistische Systeme: Nichtlineare Beitrge a)Grenzen des Hookeschen Gesetzes b)Turbulenz c)Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit) d)Strmung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall) Konsequenzen: a) 0 = 0 ( x 0 ) b)Hysterese-Verhalten in ( x 0, 0 ) Diagramm c)Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)

Folie 41

1.5.1. Analytische Methoden Bewegungsgleichung:

Folie 42

a)Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F 0 cos(t) Strungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitten Ansatz: Fourierentwicklung Einsetzen Koeffizientenvergleich

Folie 43

b)Allgemeines Verfahren: wobei: Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!

Folie 44

& noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mhsal) Folge: Nherung: -Terme in g klein (inklusive ) a, const. whrend Periode

Folie 45

Beispiel:Schwach gedmpfter, freier, linearer Oszillator D =2m m x Also: Korrekt fr ! (vgl. 1.2.)

Folie 46

1.5.2. Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel fr Chaos und seltsame Attraktoren) Physikalischer Ansatz: D D + m x 2 (nicht-lineare Dmpfung) d.h. oft: Analytisches Verfahren Frequenz hngt von Amplitude ab Hysterese bei groen Amplituden

Folie 47

( f (t) = f 0 cos(t), 0 ) Strungsrechnung: Ansatz: Koeffizientenvergleich der cos(t)-Terme: Freier Oszillator ( f 0 = 0 ):

Folie 48

1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator Physikalischer Ansatz: 2 ( 1 x 2 ) (nicht-lineare Dmpfung) d.h. Konstanter uerer Energiefluss (Luftstrmung, Bogenstrich,...) Musikinstrument Modulation des Energieflusses Nichtlineare Rckkopplung selbstangeregte stabile Schwingung x 0 ist stets Lsung, aber nicht stabil geeignete Grenzzyklen Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen

Folie 49

Van-der-Pol-Oszillator

Folie 50

1.5.4. Moden-Stabilisierung selbsterregende Multi-Moden-Systeme... mit annhernd linearem Moden-Verhalten... und mit einigermaen harmonischen Frequenzverhltnissen (Anharmonizitten strende niederfrequente Schwebungen) Musikinstrumente sind... 1 2 Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal: Moden-Einrastung (mode-locking) Notwendige Voraussetzung hierfr: Starke nichtlineare Modenkopplung

Folie 51

... treibt die m -Mode... treibt die n -Mode Beispiel: Der Term... Nichtlineare Kopplungsterme: Moden: n, m Amplituden: a n, a m n m m n n, m I fast harmonisch: 1

Folie 52

Wann ist ein Musikinstrument gut ? ( mglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Wann ist ein Musikinstrument gut ? ( mglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Inharmonizitten der natrlichen Frequenzen mglichst klein Fundamentalmode ( n = 1 ) mglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt Amplituden der gekoppelten Moden ( a n, a m ) mglichst gro Nichtlinearitt der Kopplungsfunktion mglichst gro ( Kopplungskoeffizienten c m-1,n, c m,n-1 mglichst gro ) Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden mglichst klein ( Kopplungsamplituden mglichst gro )

Folie 53

2. Saiten und Stbe 2.1. Transversale Saitenschwingungen 2.1.1. Wellengleichung x y(x,t) unendliche homogene Saite Massendichte: Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment Kleine Auslenkung ( lineare Nherung ): xx + dx ds dy T T (x) (x+dx) dF y Wellengleichung

Folie 54

Allgemeine Lsung (nach dAlembert) c f1f1 c f2f2 y(x,t) = f 1 ( c t x ) + f 2 ( c t x ) = Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen Fouriertransformation Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen ( Re(y) = physikalischer Teil ) wobei: Dispersionsrelation ( hier linear, k )

Folie 55

Spezialfall: Stehende Wellen Phasen: Reelle Schreibweise:

Folie 56

Energie der stehenden Welle: Energie des Saitenstcks der Lnge :

Folie 57

2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!) Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand Bemerkung: Z 0 ist reell ( verlustfreie Saite ) Charakteristische Admittanz x y T horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition: Eingangsimpedanz Geschwindigkeit des Eingangs- Aufhngepunktes: Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)

Folie 58

x y T horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite nur rechtslaufende Welle

Folie 59

x y T horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition: Abschlussimpedanz Z ab physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhngung (z.B. Elastizitt & innere Reibung des Stegs der Geige, Energietransfer auf Klangkrper der Geige etc.)

Folie 60

Reflexion am Abschlusspunkt: Einlaufend:a e i ( t kx ) reflektiert:Ra e i ( t + kx ) y(x,t) = a e i t ( e i kx + Re i kx ) Reflexionskoeffizient: fixiertes Ende: y(0,t) = 0 u = 0 Z ab = R = 1 offenes Ende: f = 0 Z ab = 0 R = +1

Folie 61

Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite Z ab R Saite: Z 0 L x = 0 fixiertes Ende: R = 1 Z in = i Z 0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen:Z in = 0 k L = ( n ) n = 2L / ( n ) Antiresonanzen:Z in = k L = n n = 2L / n offenes Ende: R = +1 Z in = i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0 Z in = Z 0 = Z ab fixiertes Ende: R = 1 Z in = i Z 0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen:Z in = 0 k L = ( n ) n = 2L / ( n ) Antiresonanzen:Z in = k L = n n = 2L / n offenes Ende: R = +1 Z in = i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0 Z in = Z 0 = Z ab

Folie 62

2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite a) fixierte / offene Enden fix - fix offen - offenoffen - fix fix - offen harmonisch nicht ganz harmonisch klingt eine Oktave tiefer

Folie 63

x y T Z ab : horizontale Halterung ( x = L ) u(t) f(t) Z0Z0 Fixierung bei x = 0 b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende

Folie 64

i) Massenartiger Abschluss Also: x y u(t) Z 0 = c m Saitenmasse: M = L 0 L

Folie 65

ii) Federartiger Abschluss Also: x y u(t) Z0Z0 0 L D/2

Folie 66

k0k0 k1k1 k2k2 k1k1 k2k2 k3k3 massenartig: harmonisch angehobene Frequenz federartig: harmonisch abgesenkte Frequenz

Folie 67

2.1.3. Dmpfung a)Luftdmpfung: b)Interne Dmpfung c)Energietransfer zur Halterung (Brcke, Resonator) =Frequenz =Saitendichte r=Saitenradius =Frequenz =Saitendichte r=Saitenradius E( , T,...) = komplexer Elestizittsmodul G = Re( Y ) Y = Admittanz der Sttzstruktur der Saite

Folie 68

Anfangsauslenkung freie Saitenschwingung 2.1.4. Anregung a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren): Fourier- Analyse Fourier- Synthese Modenamplituden Frequenzspektrum Zeitentwicklung der Modenamplituden

Folie 69

Beispiel: Gezupfte Saite = 1/3 n = 1/10 n L h L

Folie 70

Beispiel: Gezupfte Saite L h L = 1/3 lg(n) = 1/10 lg(n) 6 dB / Oktave E n ( dB )

Folie 71

Bewegung der gezupften Saite:

Folie 72

b) Hammer-Anregung: = 1/3 n = 1/10 n Idealfall: L V L

Folie 73

b) Hammer-Anregung: Idealfall: = 1/3 lg(n) = 1/10 lg(n) 0 dB / Oktave E n ( dB ) L V L

Folie 74

Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers: v(t) c T M T T x xHxH y Bremszeit: t / = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Weitere Komplikationen: Hammer-Nachgiebigkeit Hammermae Reflexionen an Einspannung, Rckwirkung auf Hammer

Folie 75

Modenspektrum stets flacher ( reicher, voller ) als beim Zupfen M Hammer M Saite M Hammer = 0,4/ M Saite 6 dB/Oktave Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von, nicht nur von n = 0,73 M Saite / M Hammer Beim Anschlag Beim Anschlag Anregung beendet Anregung beendet

Folie 76

c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgefhrt Periode Teil 2: Saite lst sich und schnellt zurck Ruheposition der Saite Mittlere Auslenkung Zeit Auslenkung beim Bogen Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude Spektrum hnlich zum Zupfen ( 6 dB/Oktave ) Mehrfachsprnge mglich

Folie 77

2.2. Saiten und dnner Stbe: Longitudinalschwingungen Rckstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskrfte Elastizittsmodul (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant) dx S dw F(t) Hookesches Gesetz: E = Youngsches Modul Wellengleichung: Dichte = / S Lsungen, Randbedingungen,... analog zu transversalen Saitenschwingungen

Folie 78

Querschnitt S u v Dichte 2.3. Biegewellen von Balken und Stben x z Neutrale Faser gedehnt gestaucht Neutrale Faser:z ( x, t ) Ruhelage: z 0 ( x, t ) Auslenkung:y ( x, t ) = z ( x, t ) z 0 ( x, t ) v NF Rcktreibende Kraft pro Lnge: E = Young-Modul Wellengleichung:

Folie 79

Lsung der Wellengleichung: Einsetzen: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

Folie 80

zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.: frei: untersttzt / eingehngt: eingeklemmt:

Folie 81

Eigenmoden und Eigenfrequenzen: n in Einheiten von beidseitig frei beidseitig untersttzt bzw. eingehngt L Frequenzverhltnisse nicht exakt harmonisch Knotenpositionen nicht quidistant Klanghhe sehr stark abhngig von Randbedingungen einseitig eigeklemmt

Folie 82

2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rckstellkraft = Spannungskraft + elastische Rckstellkraft eingeklemmte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 eingehngte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

Folie 83

2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rckstellkraft = Spannungskraft + elastische Rckstellkraft eingeklemmte / eingehngte Enden B = 0 B = 0,005 B = 0,01

Folie 84

Beeinflussung der Dispersionsrelation: k ideale Saite steife Saite massen-belastete Saite (z.B. Ummantelung) Grenz- Frequenz

Folie 85

2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stben Young-Modul E Torsionsmodul G homogenes, isotropes Material: ( = Poisson-Zahl ) Dispersionsrelation linear: Saiten: c T typisch 3... 8 mal so gro wie c starke innere Dmpfung Abhngigkeit von c T von Querschnittsform:

Folie 86

3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: 1-D-System2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrmmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt Knotenlinie

Folie 87

3.1. Membranen Massendichte: Spannung: T ds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flchenelements = (konstante) Oberflchenspannung der Membran Kleine Auslenkung ( lineare Nherung ): 2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung) x y z Einspannung Rechteckmembran Kreismembran

Folie 88

T ds F Statische Auslenkung: Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite Membran = 0 fr Angriffspunkt

Folie 89

Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: x y z LxLx LyLy m = 1 n = 1m = 2 n = 1 m = 1 n = 2m = 2 n = 2 m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 Quadratische Membran L x = L y Entartung mn = nm Modenberlagerung mglich

Folie 90

Schwingungsmoden von Kreismembranen: m = 0 n = 1m = 1 n = 1 m = 2 n = 1m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2 2R x y z mn = n-te Nullstelle der Besselfunktion J m

Folie 91

Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

Folie 92

3.2. Dnne isotrope Platten x y z frei / einfach untersttzt / eingespannt h Massendichte: a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung Unendliches Medium (rel. zu )Dnne (rel. zu ) Balken / Platten

Folie 93

Massendichte: b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stben) Unendliches Medium oder unedlich groe, flache Platten (rel. zu ) x y z frei / einfach untersttzt / eingespannt h

Folie 94

x y z h Massendichte: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

Folie 95

Beispiel: Die dnne Kreisplatte z h R Hyperbolische Besselfunktionen: I m (k r) = i m J m (k r) eingespannt einfach untersttzt frei

Folie 96

z h R Asymptotisches Spektrum: Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufgen eines Kotenrings ist ungefhr identisch mit der durch Zufgen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz) Empirischer Ansatz fr Kreisplatten, -schalen, -glocken:

Folie 97

Beispiel: Die dnne Rechteckplatte z h LxLx LyLy Einfache Untersttzung: Knotenlinien (m,n) wie Membran Andere Randbedingungen: Gekrmmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden fr |m n| = 2,4,6,... Freie Platte: ( i.a. schwieriges Problem ) (x,y) Kopplung

Folie 98

Messung an freier Aluminiumplatte L x / L y L x = const. (x,y) Kopplung bei L x L y : Ringmode Diagonal- Mode (X-Mode) Modenaustausch

Folie 99

Fundamentalmoden quadratischer Platten: frei ( = 0,3 )einfach untersttzteingespannt ( 1, 1 )( 1, 1 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )

Folie 100

Moden quadratischer Platten: frei ( = 0,3 ) eingespannt

Folie 101

Modenspektren quadratischer Platten: eingespannt einfach untersttzt frei ( = 0,3 )

Folie 102

3.3. Dnne Holzplatten Fichtenholz (orthotrop, 9 elastische Parameter) Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlnge Jahresringe senkrecht zur Platte Lnge / Breite 3 / 1 Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlnge Jahresringe senkrecht zur Platte Lnge / Breite 3 / 1 Qualitative Eigenschaften hnlich,... aber E E x, E y 2 xy yx

Folie 103

Beispiel: Freie Viola-Deckel (2,0) (0,2) X-Mode(2,0) + (0,2) Ring-Mode RckenFrontRckenFront Rcken Front Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode

Folie 104

3.4. Schalen Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant: Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkrper Kugelschalensegmente (Becken,...) Zylinderschalen (Zylinderglocken,...) Kirchenglocken Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwlbung:H Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwlbung:H Modenklassifizierung (Love, Rayleigh): Dehnungsmoden: Lngennderungen in erster Ordnung Linienmasse h Federkonstante h Biegungsmoden: Keine Lngennderungen in erster Ordnung Schalenmasse h Federkonstante h 3 (h) = const. (h) h 2 Empirische Modenparametrisierung:

Folie 105

Beispiel: Flache sphrische Schale Niedrigste Mode: k a = (abhngig von Einspannung) Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = 0 Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H gewlbter Geigendeckel bentigt keine innere Verstrebung flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung

Folie 106

4. Schall in Luft 4.1. Schallwellen Elastischer Scherungswiderstand Reibungswiderstand Eleastischer Kompressionswiderstand Schallwellen = longitudinale Druckwellen Wellengleichung: Schallgeschwindigkeit c: Kompressionsmodul K: Dichte : Gesamtluftdruck: p L Akustischer Druck:

Folie 107

4.1.1. Schallgeschwindigkeit Isothermer Fall ( T = const. ): Luft ist ideales Gas p L V = N k T Luft zweiatomig 1. Hauptsatz Fr Musikinstrumente nur in Extremfllen interessant Adiabatischer Fall ( Q = 0 ):

Folie 108

Wellengleichung: c 2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhngig vom Luftdruck m L und somit c abhngig von Luftfeuchtigkeit Taylorentwicklung um 0C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:

Folie 109

4.1.2. Strmungsfeld Wellengleichung: Strmungsgeschwindigkeitsdichte-Feld Bewegungsgleichung: Lsung (Superposition ebener Wellen): Folge: (spezifische akustische) Impedanz p Potential Spannung u Geschwindigkeit Strom Ohmsches Gesetz

Folie 110

4.1.3. Kugelwellen Wellengleichung: Sphrisch symmetrische Quelle Bewegungsgleichung: Lsung (Kugelwelle): auslaufendeinlaufend Akustische Impedanz:

Folie 111

4.1.4. Druckpegel, Lautstrke, Intensitt Druckpegel: Druckpegel (dB) Frequenz (Hz) Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstrke (in Phon) Hrschwelle: 0 Phon Schmerzgrenze: 120 Phon

Folie 112

Intensitt an einer Flche: dA Komplexe Schreibweise: Intensittspegel: Ebene Wellen: L I L P

Folie 113

Ebene Welle: Kugelwelle:

Folie 114

4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung Randstrukturen Gesetze der geometrischen Optik z 1 = c 1 1 z 2 = c 2 2 Ebene Wellen gegen ebene Grenzflche ' Reflexionsgesetz: = ' Brechungsgesetz: ReflexionskoeffizientTransmissionskoeffizient Amplitude: Intensitt:

Folie 115

Randstrukturen Beugung an Rndern FrequenzWellenlnge 20 Hz17 m 1 kHz34 cm 15 kHz2,3 cm

Folie 116

4.1.6. Dmpfung Ursachen: Viskositt thermische Verluste Molekularer Energieaustausch z.B. Wnde von Musikinstrumenten Beispiel: Dmpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%) ( 10 kHz ) 0,1 dB / m relevant fr groe Konzertsle

Folie 117

4.1.7. Hohlraummoden Starre Wand Impedanz: z W An der Wand: Randbedingung:Spezialfall der festen Wand:

Folie 118

Beispiel: Quaderfrmiges Auditorium mit festen Wnden a c b a : b : c = 1 : 1 : 1 a : b : c = 1 : 2 : 3 Design von Konzertslen: Gleichmige Modendichte bei niedrigen Frequenzen Schlechtes Design Besseres Design

Folie 119

4.2. Schallausstrahlung Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem Multipol-Quellen:Konfiguration von Punktquellen, Abstnde klein gegen Wellenlnge berlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen Ebene Quellen: Quellflche in unendlicher Schallwand Unabgeschirmte Quellflche Unendlich groe Platten

Folie 120

4.2.1. Kugelstrahler Gutes Modellsystem fr pulsierende Hohlkrper jeder Form! a Definition: Quellstrke Abgestrahlte Kugelwelle: Intensitt:

Folie 121

k ak a 0 P / Flche v(a) = const a Gesamtstrahlungsleistung Punktquelle Sttigung Musikinstrumente ( mglichst groe Abstrahlflche gnstig ) Musikinstrumente ( mglichst groe Abstrahlflche gnstig )

Folie 122

a Mechanische Last an schwingender Oberflche: X = Im ( Z m ): Reaktivitt der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivitt der mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung

Folie 123

4.2.2. Multipol-Quellen a Monopol Abgestrahlte Kugelwelle: Amplitude unabhngig von Quellgre a,,Punktquelle Quellstrke

Folie 124

Multipolkonfigurationen: +Q Q Q zz xx Monopol: +QDipol: +Q Q zz Quadrupol: zz +Q Q Q zz zz Punktquelle: zunehmend komplexere Winkelverteilung zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen

Folie 125

4.2.3. berlagerte Punktquellen Strahlung zweier Punktquellen bei : + Q+ Q + Q+ Q Q Q Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfche mit : Komplexes Interferenzmuster P unabhngig von r

Folie 126

Monopol Monopol 2Q Dipol Qd Inkohrente berlagerung Kohrente berlagerung Strahlung zweier Punktquellen

Folie 127

+ + + + + + p+p+ p+p+ d + + + pp pp Strahlung von 2N Punktquellen bei :

Folie 128

+ + + + + + p+p+ p+p+ d

Folie 129

d < / 2 vllig ineffizient! Lokale Strmungen zwischen +Q und Q d < / 2 vllig ineffizient! Lokale Strmungen zwischen +Q und Q + + + pp pp d

Folie 130

4.2.4. Linienquellen ( schwingende Saite) a)Fundamentalmode: Nherung starrer dnner Zylinder mit L 2a L I, P a 4 3 sehr ineffizient !

Folie 131

b)Hhere Moden: +Q Q Q Q d Transversalwelle auf Saite Schallwelle zustzlich Auslschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen) Noch viel ineffizienter !

Folie 132

4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand,,Unendliche Schallwand (Abschirmung vom Rckraum) Starrer,,Kolben oder elastische Membran Abstrahlung zum Auditorium Effekt der Schallwand: Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen Frequenzen

Folie 133

Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rckwrtigen Luftraums Kesselpauke (Timpani) Cello Konzertgitarre Piano Systeme ohne Schallwand: Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermglicht ausgeglichenes Klangspektrum Wenig Abstrahlung sehr langes Nachklingen Glocke Becken

Folie 134

Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral Raumwinkel der Abstrahlung Elementare Kugelwellen Volumenfluss (Quellstrke) Relevanter Spezialfall: Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgre dS

Folie 135

Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung) Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende Hauptabstrahlungskegel 1.Nebenkeule bei 18 dB Insignifikant ! 1.Nebenkeule bei 18 dB Insignifikant !

Folie 136

Starre Kreisquelle in Schallwand Pulsierende Kugel X = Im ( Z m ): Reaktivitt der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivitt der mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung Akustischer Widerstand der Luft

Folie 137

Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m = 0 n = 1 Fundamentalmode Qualitativ wie starre Kreisplatte Effizienter Strahler Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J 0 ( k r' ) m = 0 n = 2 m = 0 Moden: Verbleibende Netto-Monopolkomponente Schwache Strahler m = 1 n = 1 m = 2 n = 1m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 m > 0 Moden: Keine Monopolkomponente Vllig ineffiziente Strahler

Folie 138

4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen Umschlossener Rckraum Unendliche Schallwand Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungendertes Verhalten Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2 4 Strahlungswiderstand Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) Intensitt ( 6 dB ) Kompensation:Bassreflexwand, Fussboden,... offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen Starre Platte:

Folie 139

4.2.7. Strahlung von (unendlich) groen Platten Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte Platte ( Dicke h, Dichte P ) Luft ( Dichte ) Schallgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit: Abstrahlungsbedingung: P () bzw.k k P () bzw.c v P ()

Folie 140

Strahlungsmuster der berschallbiegewelle ( v P c ) (Analogon: Machscher Kegel) Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:

Folie 141

Orgel 4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flten, Hrner) Franzs. Horn Flgelhorn Querflte Oboe Klarinette Blockflte Saxophon

Folie 142

4.3.1. Unendliche Zylinderrohre Perfekt steife Wand: analog zur Kreismembran k r = k mn quantisiert k z unbeschrnkt (keine z-Randbedingung) 2a z r Ruhende oder gleichmig strmende Luft

Folie 143

Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q 00 = 0, J 0 (0) = 1 Ebene Welle: Volumenfluss: Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0 Definition: (Wellen-)ImpedanzCharakteristische Impedanz

Folie 144

Kritische Frequenz: > c :k mn, z reell ungedmpfte Ausbreitung < c :k mn, z imaginr gedmpfte Ausbreitung ( keine Wellenleitung ) k mn = 0 q 00 = 0 ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !

Folie 145

J0J0 J1J1 J2J2 J3J3 J4J4 01,843,05 3,83 4,20 ( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 ) ( 0, 0 )( 1, 0 )( 2, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 )( 2, 0 ) ( 0, 1 ) ( 3, 0 ) +( 1, 1 )( 2, 0 )+( 1, 1 )( 2, 0 ) etc. Single-Mode- Leitung Ebene Welle Single-Mode-Leitung: 5,32 5,33

Folie 146

Querschnitt Flussmuster im Lngsschnitt Ebene Fundamental- Mode > c < c

Folie 147

4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren a)Reibungsverluste b)Thermische Verluste Verluste in dnnen Randschichten an der Wand: a VV Viskositt a TT Thermische Leitfhigkeit Zusammenhang:

Folie 148

Konsequenz: Z 0 reell Z 0 komplex...... und: k reell k komplex: v / c / f [ m -1 Hz -1 ] Einfluss auf Z 0 wichtig fr r V 10 Phasengeschwindigkeit sinkt fr r V 10 -1 fr r V 10

Folie 149

1101001000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm 1101001000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm Grenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 C ): Kritischer Bereich

Folie 150

4.3.3. Endliche Zylinderrohre L Reflexionskoeffizient: ZLZL R Saite: Z 0 L ( Abschnitt 2.1.2. ) Eingangsimpedanz:

Folie 151

L Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes Rohr: Z L = 0 Ideal offener Eingang: p 00 U U

Folie 152

Realistische offene Rohre: endlicher Auendruck, Z L 0 L Schallwand a)Abschluss durch Schallwand (vgl. 4.2.5.) R L, X L [ Z 0 = c/S ] Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

Folie 153

Realistische offene Rohre: endlicher Auendruck, Z L 0 L b)Offener Abschluss Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Auenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

Folie 154

4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre Typische Situation: r V > 10 Charakteristische Impedanz Z 0 (ungendert) Kleine Dmpfung : Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes Rohr: Z L = 0

Folie 155

L = 1 m a = 5 cm L = 1 m a = 1 cm (Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddmpfung! Auswaschung durch Strahlungsdmpfung! (Anti-)Resonanzen nicht ganz harmonisch (gestreckt)

Folie 156

4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre Richtungs-Index

Folie 157

4.3.6. Schallwellen in Hrnern Franzs. Horn Vereinfachung: gerade, unendlich lang Wellengleichung fr Frequenz : Randbedingung fr ideal steifes Horn: Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten Hornflche = Koordinatenflche konfokale quadratische Oberflchen (11 Varianten)

Folie 158

Beispiele: Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre Single-Mode ebene Wellen Konische Hrner Single-Mode Kugelwellen Hyperbolische Hrner Single-Mode Welle oblat spheroidal zylindrisch konisch eben sphrisch Single-Mode Welle oblat spheroidal zylindrisch konisch eben sphrisch Glatter Zylinder- bergang

Folie 159

Analytische Nherung: Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Wellenfront: p const. Lokaler Konus: x 0, Sphrische Nherung: x 0, nur schwach x-abhngig S annhernd sphrisch Webster-Gleichung: Fr kleine : Sphrische Nherung Ebene Nherung

Folie 160

Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Konstante Intensitt I p 2 S Ansatz: F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion RTRT RLRL Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:

Folie 161

4.3.7. Salmon-Hrner Wellenfront x S a(x) x 0 (x) ( konstanter Abschneidefrequenz ) Lsung: m = Hornkonstante Wellenleitung k 2 > m 2 Wichtige Spezialflle: T = 1:Exponentialhorn T = 1:Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) Konisches Horn mit Apex in x 0 ( F = 0 kein Frequenzabschnitt ) Hrner = kontinuierliche Impedanzwandler effiziente Abstrahlung oberhalb C

Folie 162

4.3.8. Endliche konische Hrner L = 1 m a = 5 cm Z in / Z 0 L = 1 m a 1 = 0,5 cm a 2 = 5 cm Z in / Z 1 L S S2S2 S1S1 L

Folie 163

Abhngigkeit der Resonanzfrequenzen vom ffnungsverhltnis ( Vereinfachte Darstellung fr Z L = 0 ) a 1 / a 2 11 22 33 44 11 22 33 44 Beidseitig offene Hrner ( Flten, Orgel-Rohrpfeifen ) Einseitig geschlossene Hrner ( Rohrblatt- / Lippen- getriebene Blasinstrumente )

Folie 164

4.3.9. Besselhrner = 0: Zylinderrohr = 1: konisches Horn mit Apex bei x = 0 > : stark divergente Mndung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )

Folie 165

Besselhrner: Analytische Lsung fr > 0 (ebene-Wellen-Nherung): Bessel-Funktion Neumann-Funktion Ideal offenes unendliches Besselhorn:

Folie 166

Besselhornfunktion bei offener Mndung: Ebene-Welle-Nherung Kugelwellen-Nherung Totalreflexion bei F(x) k 2 F Horn strahlt nicht ab ! Freie Abstrahlung fr k 2 > F max Tunneleffekt Teilabstrahlung fr k 2 < F max

Folie 167

4.3.10. Netzwerkanalyse Allgemeiner Wellenleiter ( passiver ) elektrischer Vierpol x1x1 x2x2 S1S1 S2S2 Impedanzmatrix:

Folie 168

Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Reziprozitts-Theorem: Fr beliebige (passive) Hrner gilt Beobachtung: Z 12 = Z 21 gilt auch allgemein

Folie 169

Transportmatrix: Behandlung zusammengesetzter Hrner: Z (1), A (1) Z (2), A (2) U1U1 U2U2 U3U3 p1p1 p2p2 p3p3 Verkettungsregel: Bemerkung:

Folie 170

Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang f max von Z in (Trompetenmae) Harmonisches Spektrum bei L 1 L 2

Folie 171

Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz Z L ZLZL p2p2 p1p1 U2U2 U1U1 ZLZL Horn Eingangsimpedanz:

Folie 172

Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Quasistatischer Grenzfall: Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant = akustische Impedanz eines Hohlraums = akustische Nachgiebigkeit elektrische Kapazitt

Folie 173

Beispiel: Ideal offenes konisches Horn Quasistatischer Grenzfall: S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Spezialfall offenes Zylinderrohr: S 1 = S 2 = S Allgemein: = akustische Impedanz eines ideal offenen Horns = akustische Trgheit elektrische Induktivitt

Folie 174

Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1 Helmholtz-Resonator getrieben durch ueres Schallfeld p ext L S V Z cav Z pipe Z rad p ext U U ~ Z cav Z pipe Z rad p ext U U p ext Wechselspannungsquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt p ext Wechselspannungsquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt

Folie 175

Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2 Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand U 0 Wechselstromquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt U 0 Wechselstromquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt L S V Z cav Z pipe Z rad U U U0U0 Z cav Z pipe Z rad U0U0 U0U0 U U