praktikum „numerische strömungsmechanik“ c.-d. munz, s. roller

66
1 Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

Upload: nadda

Post on 03-Feb-2016

70 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller. I- Klassifizierung Differenzialgleichungen II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse a-Problemdarstellung b-Differenzenquotienten c-Aufbau des LGS d-Lösungsverfahren - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

1

Praktikum

„Numerische Strömungsmechanik“

C.-D. Munz, S. Roller

Page 2: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

2

Überblick

I- Klassifizierung Differenzialgleichungen

II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse

a-Problemdarstellungb-Differenzenquotientenc-Aufbau des LGSd-Lösungsverfahren

2-Jacobi-Verfahren3-Gauß-Seidel-Verfahren4-SOR-Verfahren5-LSOR-Verfahren6-Abbruchkriterien

II-Numerische Lösung der parabolischen Differenzialgleichungnen1-Problemanalyse2-Explizit 1.Ordnung3- Implizit 1.Ordnung

4- Explizit 2.Ordnung5-Implizit 2.Ordnung6-Splitting7-DFL Bedingung

III-Numerische Lösung von hyperbolischen Differenzialgleichungen1-Problemanalyse2-Diskretisierung3- Charakteristiken Theorie4- Upwind-Verfahren5-Vollimplizites-Verfahren6-Crank-Nicolson-Verfahren7-Lax-Wendroff-Verfahren8- Runge-Kutta-Verfahren9-MUSCL-Verfahren10-CFL Bedingung

Page 3: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

3

Klassifizierung DGL

Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in 2 Dimensionen

)u,uu,y,f(x,yuc

yxub

xua (1) yx2

22

2

2

elliptisch : 04acb

hparabolisc : 04acb

chhyperbolis : 04acb

2

2

2

Page 4: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

4

Klassifizierung DGL

1. Elliptische Gleichung

yyxx2

2

2

2

uuyu

xu:Δu

Gleichung-Helmholtz : 0f 0, κGleichung-Poisson : 0f 0, κGleichung-Laplace : 0f κ

y)f(x,κuΔu (2)

hungDruckgleic leichung,Potentialg :nAnwendungeoblemeRandwertpr

Page 5: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

5

Klassifizierung DGL

2. Parabolische Gleichung

ung Wärmeleit:AnwendungoblemRandwertprAnfangs

uu:u

t)y,u(x,u 0ν ,νΔu tu (3)

yyxx

Page 6: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

6

Klassifizierung DGL

3. Hyperbolische Gleichungen

0Δuctu (4) 22

2

Anfangs- Randwertproblem

Anwendung: Wellengleichung

Page 7: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

7

:leichungTransportglinearen zur n umschreibengRaumrichtueiner in ichung Wellenglediesich lässt uq und ucpMit tx

0qcp 0pcq

xt

xt

Als einfachste hyperbolische Gleichung mit 2 Raumrichtungen ergibt sich somit:

0 )5(

yub

xua

tu

Klassifizierung DGL

Page 8: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

8

Numerische Lösung der elliptischen DGL

1.Problemanalyse

a- Problemdarstellung

1J0,...,j ,y jΔyy 1I0,...,i , x iΔx x:teGitterpunk

1JyyΔy ,

1IxxΔx :tenSchrittwei

JI, :teGitterpunkinneren der Anzahlorthogonal t,äquidistan :Gitter

y,y x,x :etRechengebi

sj

si

sese

eses

Page 9: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

9

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse

b- Differenzenquotienten

Zentrales FD-Verfahren 2. Ordnung

i, j+1

i-1, j i, j i+1, j

i, j-1

5 Punktestern

y

x

Pi,j=(xi,yj)

ui,j≈u(xi,yj)

Ersetzen der Ableitungen in Poisson-Gleichung durch Differenzen ergibt:

J , ... 1,j , I , ... 1,i )y,f(xκuΔy

u2uuΔx

u2uu (6) ji2

1ji,ji,1ji,2

j1,iji,j1,i

Page 10: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

10

c- Aufbau des Gleichungssystem

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse

Mit Sonderbehandlung des Randes ergibt sich:

444444

34343434

24242424

141414

43434343

3333333333

2323232323

13131313

42424242

3232323232

2222222222

12121212

414141

31313131

21212121

111111

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

cbadcba

dcbadca

ecbaedcba

edcbaedca

ecbaedcba

edcbaedca

ecbedcb

edcbedc

A

uuuuuuuuuuuuuuuu

u Schwach besetzte Matrix

J , ... 1,j , I , ... 1,i fueuducubua (6) ji,1ji,ji,j1,iji,ji,ji,j1,-iji,1ji,ji,

Page 11: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

11

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse

d- LösungsverfahrenGleichungssystem: (7) Au=f

A I·J × I·J-Matrix mit Bandstruktur

u=(u11,u21,…,uI1,u12,…,uIJ)

-Gaußalgorithmus:

Ungünstig, rechnet mit allen Nullen zu hoher Speicheraufwand und Rechenzeit

-Thomasalgorithmus:

Nicht anwendbar wegen den Nullen zwischen den Diagonalen

Page 12: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

12

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren

sinnvoller :

-Iterationsverfahren:

löst LGS bis zur vorgegebenen Genauigkeit

Page 13: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

13

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren

Aufspaltung von A: A = -Ai+Ae

Aus (8) erhält man damit die

Iterationsvorschrift

)fu(AAu Δ(p)Δe

1i

1)(pΔ

ΔΔeΔi fuAuA (8)

Iterationsverfahren (Splittingverfahren)

P ist der iterationsindex

(7) Au=f

Page 14: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

14

Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren

Jacobi Verfahren: Ai = -diag(A) .

Gauß-Seidel Verfahren: Ai = -diag(A) – L

L untere Dreiecksmatrix ohne DiagonaleU obere Dreiecksmatrix ohne Diagonale

Iterationsverfahren (Splittingverfahren)

Programmtechnische Umsetzung

Matrizen A, Ai, Ae werden nicht berechnet, Ausgangspunkt ist Gleichung (6)

)fu(AAu Δ(p)Δe

1i

1)(pΔ

Page 15: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

15

Numerische Lösung der elliptischen DGL

2.Jakobi-Verfahren

J , ... 1,j , I , ... 1,i f)u(uΔy

1)u(uΔx

1 du ji,(p)

1-ji,(p)

1ji,2(p)

j1,-i(p)

j1,i21)(p

ji,

J , ... 1,j , I , ... 1,i )y,f(xκuΔy

u2uuΔx

u2uu (6) jiji,2

1ji,ji,1ji,2

j1,iji,j1,i

κ2Δy

22Δx

2ji,1ji,1ji,2j1,ij1,i2ji,1dmit f)u(u

Δy1)u(u

Δx1u

d1

Nach uij aufgelöst:

Iterationsvorschrift:

Page 16: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

16

Numerische Lösung der elliptischen DGL

3.Gauß-Seidel-Verfahren

J , ... 1,j , I , ... 1,i f)u(uΔy

1)u(uΔx

1 du ji,1)(p1-ji,

(p)1ji,2

1)(pj1,-i

(p)j1,i2

1)(pji,

J , ... 1,j , I , ... 1,i )y,f(xκuΔy

u2uuΔx

u2uu (6) jiji,2

1ji,ji,1ji,2

j1,iji,j1,i

Iterationsvorschrift:

Schon bekannt

Page 17: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

17

Numerische Lösung der elliptischen DGL

4.SOR-Verfahren

J , ... 1,j , I , ... 1,i f)u(uΔy

1)u(uΔx

1du~ ji,1)(p1-ji,

(p)1ji,2

1)(pj1,-i

(p)j1,i2

1)(pji,

J , ... 1,j , I , ... 1,i )y,f(xκuΔy

u2uuΔx

u2uu (6) jiji,2

1ji,ji,1ji,2

j1,iji,j1,i

Iterationsvorschrift:

J , ... 1,j , I , ... 1,i u~ω u ω-1 u 1)(pji,

(p)ji,

1)(pji,

ΔyΔxβ ,

β1a ,

2

21J

πcos2β1I

πcosa122opt

axation Überrel1laxation Unterre1

sparameterRelaxation

Gauß-Seidel

Page 18: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

18

Numerische Lösung der elliptischen DGL

5.LSOR-Verfahren

J , ... 1,j , I , ... 1,i f)u(uΔy

1uΔx

1uκΔy2

Δx2u

Δx1

ji,(p)

1ji,1)(p1ji,2

1)(pj1,i2

1)(pji,22

1)(pj1,-i2

~~~

J , ... 1,j , I , ... 1,i )y,f(xκuΔy

u2uuΔx

u2uu (6) jiji,2

1ji,ji,1ji,2

j1,iji,j1,i

Iterationsvorschrift:

J , ... 1,j , I , ... 1,i u~ω u ω-1 u 1)(pji,

(p)ji,

1)(pji,

In x-Richtung wird ein tridiagonales Gleichungssystem gelöst

ΔyΔxβ ,

β1a ,

2

21J

πcos2β1I

πcosa122opt

axation Überrel1laxation Unterre1

sparameterRelaxation

Page 19: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

19

Numerische Lösung der elliptischen DGL

6.Abbruchkriterien

ε||uu||

und/oderε||fAu||

terienAbbruchkri

Δ(p)Δ

1)(pΔ

ΔΔ1)(p

Δ

Residuum fAu:R Δ1)(p

Δ

Mittel hesquadratisc |||| Maximum ||||

Δ

Δ

Die Verfahren können durch erfüllen der Abbruchkriterien beendet werden:

Genauigkeit des Ergebnis

Genauigkeit der Iteration

Page 20: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

20

7.Verfahren der konjugierten Gradienten(CG)

Numerische Lösung der elliptischen DGL

Die Idee der Gradientenverfahren besteht darin,für das Gleichungssystem aus (7) ein Fehlerfunktional zu definieren,um dieses anschließend zu minimieren.

Das Fehlerfunktional:

F(u)=0.5(uTAu) – fTu

hat genau ein globales Minimum in u= u*

Dabei steht u* für die exakte Lösung des Problems aus (7), womit gilt: Au*=f

a- Grundidee

Page 21: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

21

b- Mathematische Behandlung

n

n

2

1

R

u

uu

uu,TfAuTu21(u)F

gilt fAumit * Au)(u21Au)(u

21Au)(uuf T*T*T*T

** AuT)*(u21)uA(uT)*u(u

21

AuT)*(u21AuT)*(u

21AuTu

21(u)F

*AuT)*(u21*AuT)*(u

21

**T**T*

*T*

uu0)uA(u)u(u für minimal FcstAu)(u

0)uA(u)u(uwegen

(1)

(2)

(1)+(2)

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

Page 22: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

22

Zur Bestimmung des Minimums von F setzen wir

)pαF(umin)pαF(u)F(udass bestimmen, so α wollen und

pαuuk

kk

kk

k1kk

kk

k1k

k

ungsvektor Suchrichtp,rung von u eine Näheu,Rα kkk

abhängig αnoch von nur )pαF(u minimum dasist p undu festem Bei kk

kkkk

Durch Differenzieren erhalten wir

f)2(Au)(u21αf).(Au)(pα.Ap)(p

21

)pα(uf)pαA(u)pα(u21)pαF(u

kTkk

kTk2k

kTk

kk

kTkk

kTkk

kkk

k

kTk

kTk

kkTk

kkTkk

kk

α Ap)(pf)(Au)(pα0f)(Au)(pα.Ap)(p)pα(uF

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

Page 23: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

23

TTTTTT rf)(AufAu:F giltu fAuu21F(u)Mit

Man beginnt nun mit der Suche der Lösung mit einembeliebigen Startvektor und sucht in Richtung des steilsten Abstiegs:

Wir wählen nun als SuchrichtungDiese Wahl scheint geeignet zu sein, da F(u) in negativer Gradientenrichtung am stärksten abfällt.

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

c- Suchrichtungsvektor

kTkk r))F(u(p

kTk

kTk

kTk

kTk

k Ar)(rr)(r

Ap)(pf)(Au)(pαistDamit

Steilster Abstieg

Page 24: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

24

fuAr Residuum dem undrAr

rrα teSchrittweider mit

rαuu

kk

kTk

kk

k

kkk1k

Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:

Diese einfache Suchrichtung konvergiert allerdings nur relativschlecht. Eine deutliche Verbesserung kann durch die

Verwendung von konjugierten Gradienten erzielt werden.

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

Steilster Abstieg

Page 25: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

25

Für das Verfahren der konjugierten Gradienten müssen lediglichdie Suchrichtungen so angepasst werden, dass sie A -orthogonalaufeinander stehen. Diese neuen Suchrichtungen werden dann stattdem einfachen negativen Gradienten in obigen Verfahren verwendet.

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

CG Verfahren

.sindorthogonalrundrdamit undApundp dass

r)(rr)(rβ wahldiesichert Dabei

pβrp

tmodifizierRisiduen der Verwendungder unter wirdichtungKorrekturr Die

k1kk1k

kTk

1kT1k

k

kk

1k1k

Page 26: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

26

Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:

kTk

1kT1k

k

kk

kkk

k1k

kk

1k1k

kTk

kTk

k

kk

k1k

r)(rr)(rβ

pAαrf)pα(uArResidiumdemund

pβrpngSuchrichtuder

pA)(pr)(rαteSchrittweidermit

pαuu

Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

Page 27: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

27

Numerische Lösung der parabolischen DGL

2

2

2

2

yu

xuΔu

Rν , y)f(x,f , t)y,u(x,umit

i, j+1

i-1, j i, j i+1, j

i, j-1y

x

1J0,...,j y,jyy 1I0,...,i x,ix xteGitterpunk

)0(t NtΔt :tweiteZeitschrit

1JyyΔy ,

1IxxΔx :tenSchrittwei

N :hritteder Zeitsc AnzahlJI, :teGitterpunkinneren der Anzahl

]t,[t]y,[y]x,[x :etRechengebiorthogonal t,äquidistan:Gitter

sj

si

12

sese

21eses

Approximation im Raum: zentrale Differenzen

1.Problemanalyse

0, fuut

instationäres Problem

Page 28: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

28

Numerische Lösung der parabolischen DGL

2. Explizites Verfahren 1. Ordnung in der Zeit

ji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji f

yuuu

xuuu

tuu

,21,,1,

2,1,,1,

1, 22

Vorwärts Zentraler Differenzenquotient

tn+1

t n xi-1 xi xi+1

Differenzenstern

Kein LGS

Page 29: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

29

Programmtechnische Umsetzung

Die Schrittweite wird über die DFL-Bedingung festgelegt, in dem ein Sicherheitsfaktor eingeführt wird:

)Δy,x(min ν

DFLΔt

41DFL :ngtenbedinguSchrittwei

1-N , ... 0,n , J , ... 1,j , I , ... 1,i

Δtf)u2u(uΔyνΔt)u2u(u

ΔxνΔtuu

22max

max

ji,n

1-ji,n

ji,n

1ji,2n

j1,-in

ji,n

j1,i2n

ji,1n

ji,

Auflösen nach 1

,njiu

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Explizit

Page 30: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

30

Numerische Lösung der parabolischen DGL

3.Implizites Verfahren 1. Ordnung (Euler-Verfahren)

ji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji f

yuuu

xuuu

tuu

,2

11,

1,

11,

2

1,1

1,

1,1,

1, 22

Rückwärts Zentraler Differenzenquotient

tn+1

t n

xi-1 xi xi+1

Differenzenstern

Page 31: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

31

fν1u

ΔΔν1f

t ν1κ mit Gleichung eelliptisch

fν1u

ΔΔν1u

t ν1u Δ

fuνΔt

u-u

tisierungZeitdiskre nur

n

n1n1n

1nn1n

~,

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Implizit

lineares Gleichungssystem

Page 32: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

32

Numerische Lösung der parabolischen DGL

4.Explizites Verfahren 2. Ordnung (Du Fort-Frankel)

1,...,J1,...,I,jfür i

i,jf2Δy

n1i,jun

i,ju2n1i,ju

ν2Δx

n1,jiun

i,ju2n1,jiu

νΔt

1ni,ju1n

i,ju

tn+1

tn-1

tn

auflösbarexplizit rungStabilisie implizite

)u(u21u 1n-

ji,1n

ji,n

ji,

t

xxi-1 xi xi-+1

Page 33: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

33

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Du Fort-Frankel

1-N , ... 0,n , J , ... 1,j , I , ... 1,i

)u(u21u mit

ft 2)uu2(uΔy

tν 2)uu2(uΔx

t2νuu

1-nji,

1nji,ji,

ji,n

1-ji,n

ji,n

1ji,2n

j1,-in

ji,n

j1,i21-nji,

1nji,

Anlaufschritt nötig

Page 34: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

34

tn+1

tn

tn+1/2

t

x

5.Implizites Verfahren 2. Ordnung (Crank-Nicolson)

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Crank-Nicolson

J1,...,jI,1,...,ifür

fΔy

uu2uν

Δxuu2u

νΔt

uuji,2

21n1ji,

21n

ji,2

1n1ji,

2

21nj1,i

21n

ji,2

1nj1,i

nji,

1nji,

ZeitderinnDifferenzeZentrale

)u(u21u 1n

ji,n

ji,2

1nji,

xi-1 xi xi+1

Page 35: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

35

Numerische Lösung der parabolischen DGL

fν2uΔ~u

Δt ν2f

~ ,

Δt ν2mit κ Gleichung eelliptisch

fν2uΔ~u

Δt ν2u

Δt ν2uΔ~

der Zeitin n Differenze zentrale)u(u21:u

fuΔ~νΔt

u-u

ungskretisiernur Zeitdi

nn

nn1n1n

1nn2/1n

2/1nn1n

Page 36: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

36

6.Splitting-Verfahren

(Dimensionensplitting, Zwischenschrittmethode, Fractional Step)

Zerlegung:

f u (11)

0 uν - u (10)0uν - u (9)

t

yyt

xxt

fνu -νu - u fuν - u yyxxtt

Numerische Lösung der parabolischen DGL

Page 37: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

37

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting

In jedem Zeitschritt wird (9), (10), (11) nacheinander 1. Ordnung gelöst

J1,...,jI,1,...,ifür fΔt

uu (11)

J1,...,jI,1,...,ifür 0Δy

u2uuν

Δtuu

(10)

J1,...,jI,1,...,ifür 0Δx

u2uuν

Δtuu

(9)

ji,

**ji,

1nji,

2

**1ji,

**ji,

**1ji,

*ji,

**ji,

2

*j1,i

*ji,

*j1,i

nji,

*ji,

a- Splitting-Methode implizit 1. Ordnung

Page 38: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

38

Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting

(9), (10), (11) werden jeder für sich 2. Ordnung genau gelöst (mit Crank-Nicolson-Verfahren):

Damit das Gesamtverfahren auch 2. Ordnung in der Zeit ist, muß die Reihenfolge der Schritte in jedem Zeitschritt vertauscht werden:

J1,...,jI,1,...,ifür fΔt

uu (11)

J1,...,jI,1,...,ifür 0Δy

u2uu2ν

Δyu2uu

Δtuu

(10)

J1,...,jI,1,...,ifür 0Δx

u2uu2ν

Δxu2uu

Δtuu

(9)

ji,

**ji,

1nji,

2

*1ji,

*ji,

*1ji,

2

**1ji,

**ji,

**1ji,

*ji,

**ji,

2

nj1,i

nji,

nj1,i

2

*j1,i

*ji,

*j1,i

nji,

*ji,

... ;Δt

(9) (10), (11), ;Δt

(11) (10), (9), ;Δt

(9) (10), (11), ;Δt

(11) (10), (9),

b- Splitting-Methode implizit 2. Ordnung

Page 39: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

39

Numerische Lösung der parabolischen DGL

Die DFL Zahl steht für die dimensionslose Diffusionszahl, die in parabolischen Gleichungen auftritt:

7.Die DFL Bedingung

.DFLtx aussich ergibt ungnsausbreitInformatio numerische Die

.beschreibtDiffusion durch ungnsausbreitInformatio die die ,definieren x

alsx Raumgitterein über gkeit"geschwindiDiffusions" einehier sich lässt Es

xtDFL

max

2

Page 40: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

40

2max

max

xDFLt

:ttweite Zeitschridiefür x festem beidamit und

xDFL

tx

:n wird vorgegebeDGl diedurch ist wie groß so mindestensdigkeit gsgeschwinAusbreitun numerische die dass

Bedingung, diesich ergibt ist stabilVerfahren dasDamit

Numerische Lösung der parabolischen DGL / DFL-Bedingung

Page 41: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

41

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

f buauu yxt

u)y,f(x,f t),y,b(x,b t),y,a(x,a , t)y,u(x,u :mit

1J0,...,j y,jyy 1I0,...,i x,ix xteGitterpunk

)0(t NtΔt :tweiteZeitschrit

1JyyΔy ,

1IxxΔx :tenSchrittwei

N :hritteder Zeitsc AnzahlJI, :teGitterpunkinneren der Anzahl

]t,[t]y,[y]x,[x :etRechengebiorthogonal t,äquidistan:Gitter

sj

si

12

sese

21eses

1.Problemanalyse

Page 42: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

42

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse

Umformulierung als Erhaltungsgleichung

ubua u)y,f(x, u)y,(x,f

u)y,(x,f (bu)(au)u

yx

yxt

i+1, j

i, j+1

i-1, j i, j

i, j-1

y

x

i+1/2, ji-1/2, ji,j-1/2

i,j+1/2

x(au)(au) j,ij,i 2

12

1

Erhaltungseigenschaft: was aus einer Zelle ausströmt, strömt in die Nachbarzelle ein

Differenz dessen, was links ein und rechts ausströmtFluß über den linken bzw. rechten Rand

Page 43: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

43

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse

Splitting-Methode

u)y,(x,f u (14)

0 (bu)u (13)0 (au)u (12)

t

yt

xt

Verfahren in Erhaltungsform

J1,...,j I,1,...,i fΔtuu (14)

J1,...,j I,1,...,i )h(huu (13)

J1,...,j I,1,...,i )g(guu (12)

**ji,

**ji,

1nji,

*ji,

*ji,Δy

Δt*ji,

**ji,

nj,i

nj,iΔx

Δtnji,

*ji,

21

21

21

21

g, h numerische Flüsse

Page 44: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

44

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problrmanalyse

0 (au)u(15) xt

Im Weiteren werden Verfahren angegeben, die Gleichungen der Form

lösen, d.h . Verfahren für eine Raumdimension.Treten weitere Dimensionen auf,

so werden sie gemäß des angegebenen Splitting-Vefahrens nacheinander gelöst.

Page 45: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

45

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

2. Diskretisierung

)u (u b h)u (u a g

1ji,ji,ji,21

ji,

j1,iji,j,i21

j,i

21

21

21

21

Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich für ai+½,,j=ai-½,,j:

ji,y

1ji,ji,1ji,ji,1ji,ji,ji,21

1ji,ji,ji,21

ji,hi,

ji,xj1,ij,ij1,ij,ij1,iji,j,i2

1j1,iji,j,i2

1j,ij,i

buΔy2

ububΔy

)u (u b-)u (u b

Δyhh

auΔx2

uauaΔx

)u (u a-)u (u a

Δxgg

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum

Im Raum

Page 46: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

46

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Diskretisierung

Die Ableitungen im Raum werden zu einem gemeinsamen Zeitpunkt gebildet. Für die DGl fehlt nun noch die Ableitung nach der Zeit zu diesem Zeitpunkt. Sie

ermöglicht dann das Fortschreiten in der Zeit. Entscheidend ist dabei der Zeitpunkt, zu dem die DGl angeschrieben wird.

Gebräuchlich für die Diskretisierung der Ableitungen in der Zeit sind:• Zentrale Differenz mit Mittelung (2. Ordnung)• Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz (1. Ordnung)• Differenz mit Extrapolation (2. Ordnung)• Runge Kutta Verfahren höherer Ordnung

xb)max(a,

CFLt :sfaktor Sicherheit demmit alsosich ergibt es

genügen Bedingung-CFLder ttweite Zeitschridie mussVerfahren expliziten dieFür

max

In der Zeit

Page 47: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

47

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

3.Charakteristiken Theorie0 (au)u xt Die Exakte Lösung von erhält man,Indem man die Kurven(C)

berechnet, auf denen u =const gilt (totale Ableitung=0).

t)a(x,dtdx:C

t

x

C

a konstant C ist eine Gerade

u konstant auf C u(x,t)=u(x-at,0)

0dtdxuu0dt

dxxu

tu

dtdu/Rt)(x,C xt

durch Identifikation ( 15 und 16 )

(16)

Page 48: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

48

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

4.Upwind-Verfahren

analog h

0a falls u

0a falls )u (u

0a falls u

a g

21

21

21

21

21

21

ji,

j,ij1,i

j,ij1,iji,21

j,iji,

j,ij,i

Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich:

ji,x

j,ij,iji,j,ij1,ij,i

j,ij,ij1,ij,iji,j,i

j,ij,i au 0a,a falls

Δxua-ua

0a,a falls Δx

ua-ua

Δx

gg

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

Linksseitige Differenz für a>0, rechtsseitige Differenz für a<0 (1. Ordnung)

VerfahrenInstabilesΔx2

u-uaΔt

uu nnnji,

1nji, j1,ij1,i

Idee: Upwind

Page 49: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

49

0a falls Δx

u-uaΔt

uu

0a falls Δx

u-uaΔt

uu

nnn

ji,1n

ji,

nnnji,

1nji,

ji,j1,i

j1,iji,

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Upwind

Differenzenbildung in die Richtung, aus der die Information kommt.

Information wird entlang der Charakteristik (PQ) transportiert.

Vorwärtsdifferenz (explizit 1. Ordnung) in der Zeit.Upwind (1.Ordnung) im Raum.

Page 50: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

50

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

5.Vollimplizites Verfahren

0x2gg 1n

j1/2,i1n

j1/2,i

Δtuu n

ji,1n

ji,

Lineares Gleichungssystem

Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum.Rückwärtsdifferenz (implizit 1.Ordnung) in der Zeit.

Page 51: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

51

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

0gu 1/2n

ji,x1/2n

ji,t

2uu

un

ji,1n

ji,1/2nji,

6.Crank-Nicolson Verfahren

Durch Mittelung

Implizit 2.Ordnung in Raum und Zeit

Zentrale Differenzen um n+1/2

ergibt

Wie berechnet man die numerischen Flüsse im Zeitpunkt (n+1/2) ?

0Δxgg 1/2n

j1/2,i1/2n

j1/2,i

Δtuu n

ji,1n

ji,

Page 52: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

52

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

7.Lax-Wendroff-Verfahren (x-Richtung)

)g(guu 21

21

21

21

nj,i

nj,iΔx

Δtnji,

1nji,

21

21

21

21

21

21

nj,i

nj,i

nj,i uag mit

Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit

Δxuun

j,i2Δtn

j1,in

ji,21n

j,ix2Δtn

j,in

j,it2Δtn

j,in

j,i

nji,

nj1,i

21

212

12

121

21

21 a)u(u(au)uuuu

Taylorentwicklung

Prädiktor : berechne Hilfswert un+1/2

Page 53: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

53

)k2k2k(kuu xg-g

k :Schritt 4.

Δtkuu xg-g

k :Schritt 3.

kuu xg-g

k :Schritt 2.

kuu xg-g

k :Schritt 1.

12346Δtn

ji,1n

ji,

***j,i

***j,i

4

3**ji,

***ji,

**j,i

**j,i

3

22Δt*

ji,**ji,

*j,i

*j,i

2

12Δtn

ji,*

ji,

nj,i

nj,i

1

21

21

21

21

21

21

21

21

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

8.Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (klassische Variante)

Page 54: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

54

Dämpfungsterme

)1.0(0

)uu46uu4(uεD :Ordnung 4.

)1.0(0

)u2u(uεD :Ordnung 2.

nj2,-i

nj1,i

nji,

nj1,i

nj2,iee

nj1,i

nji,

nj1,iee

e

e

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Runge-kutta

Page 55: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

55

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

9.MUSCL Verfahren (x-Richtung)

a- Problemdarstellung

Flussformulierung: gi+1/2,j ist eine Approximation an das, was während des

gesamten Zeitintervalls t über den Rand i+1/2,j der Zelle i,j rein oder raus fließt.

Problem: man kennt nur uij, d.h. was zum Zeitpunkt tn insgesamt in der

Zelle i,j ist, aber nicht, wie es verteilt ist oder wie es sich innerhalb des Zeitschritts ändert.

Idee: innerhalb einer Zelle wird eine lineare Verteilung angenommen, so daß man den Fluß am Rand genauer bestimmen kann.

=> Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit

Page 56: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

56

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

b- Stückweise lineare Rekonstruktion

xi-1 xi xi+1 xi+2 x

uMonotonic Upwind Scheme for Conservation Laws

Statt anzunehmen, dass u konstant ist zwischen xi-1/2 und xi+1/2, nehmen wir

jetzt an, dass u in diesem Bereich linear verteilt ist, d.h. wir bestimmen eine Gerade und werten sie an den Rändern aus, um die Flüsse zu berechnen.

Page 57: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

57

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

c- MUSCL Schema

Bestimmung der Geraden: wir benötigen einen Punkt und eine Steigung.Der Punkt ist xij mit dem Funktionswert uij.

Steigung: 2 Möglichkeiten, linksseitige oder rechtsseitige Differenz:

xuu

R,xuu

L j,ij,1iij

j,1ij,iij

Wir müssen eine der beiden oder eine Linearkombination davon auswählen. Dies geschieht mit einem sogenannten Limiter, der bestimmte Bedingungen

erfüllen muß.

Page 58: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

58

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

Mathematische Theorie für skalare ErhaltungsgleichungenErweitert auf Systeme

TVD-Eigenschaft (Total Variation Diminishing)

Hinreichende Bedingung (A. Harten)

iall iall

0i

01i

ni

n1i uuuu

2uu

sx,uusx0

i1i

i

1ii

i

Limiter: TVD-Eigenschaft

Page 59: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

59

1. Minmod-Funktion

2. Sweby‘s Steigungsberechnung (gewichteter Minmod)

j,ij,ii R,Lmodmins

sonst0

0ab,bafürb0ab,bafüra

b,amodmin

b,kamodmin,kb,amodminmax)a(signb,ask 2k1mit

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

Limiter: Beispiele

Page 60: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

60

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

Rekonstruktion im Raum

Steigung sin

ni

ni

ni s

2Δxuu Randwerte zu tn

Rekonstruktion in der Zeit

1/2nn tt ni

ni1/2i

ni

ni

ni

ni

1/2ni uua

x2Δtuufuf

x2Δtuu

Um die 2. Ordnung auch in der Zeit zu bekommen, geht man prinzipiell genauso vor, man extrapoliert vom Zeitpunkt tnden Zeitpunkt tn+1:

Damit kann man von Zellmittelpunkt an den Rand extrapolieren

tni

21n

i u2Δtuu

In der Zeit kann man aber keine Steigung berechnen, da man nur die Werte zu einem Zeitpunkt hat. Man behilft sich, indem man die Zeitableitung durch Raumableitungen ersetzt:

Page 61: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

61

Randbehandlung

Jetzt muß von der Zelle auf den Rand umgedacht werden. Der Fluß am Rand, gi+1/2,j ist jetzt:

xi-1 xi xi+1 xi+2 x

u

uij

ui+1,j

2/1nj,iu

2/1nj,1)(iu

u , ugg 1/2n1i

1/2ni

1/2n1/2i

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

Page 62: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

62

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

Upwind-Verfahren mit MUSCL

analog h

a falls ua falls )u (ua falls u

a u , ugg g

21

21

21

21

2121

ji,

j,i1/2n

j,)(i

j,i1/2n

j,)(i1/2nj,i2

1j,i

1/2nj,i

j,i1/2n

j,1i1/2nj,i

1/2nj1/2,ij,i

0

0

0

1

1

Page 63: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

63

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

d- MUSCL Prozedur (gesamt)

u , ugg 1/2n1i

1/2ni

1/2n1/2i

Steigung sinn

ini

ni s

2Δxuu Randwerte zu tn

1/2nn tt ni

ni

ni

1/2ni ufuf

x2Δtuu

FV-Schema: 1/2n1/2i

1/2n1/2i

ni

1ni gg

ΔxΔtuu

mit

Page 64: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

64

10.CFL Bedingung

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL

Die Neumannsche Stabilitätsanalyse zeigt ,dass die expliziten Verfahren bedingt stabil sind.

1xta

CFL Bedingung

CFL steht hier für Courant-Friedrichs-Lewy. Die CFL Zahl beschreibt die dimensionslose Konvektionsgeschwindigkeit, die in hyperbolischen Gleichungen auftritt.

mit a als Transportgeschwindigkeit der eindimensionalen linearen Transportgleichung. Die Geschwindigkeit, mit der das Verfahren Information verteilt ist

tx

Page 65: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

65

Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / CFL

Damit das gewählte Verfahren mit der vorgenommenen Diskretisierung stabil ist, muss die Informationsausbreitung des Verfahrens mindestens so groß sein, wie die der DGl, also bei einer Weitergabe von Information in einem Zeitschritt um ein Raumgitter:

xa

CFLt

:ttweite Zeitschridiefür somit sich ergibt x festesfür

1CFLCFL : bzw. , 1xta

:bzw. , atx

max

max

Page 66: Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

66

Numerische Lösung auf einem Gitter der Schrittweite x:

Fehler auf einem Gitter der Schrittweite x bzw. 2 x :

Konvergenzordnung q des Verfahrens:

qex ΔxCuu num

qΔxqx2

qΔx

2eΔx)2(Ce

ΔxCe

)2ln(

)eeln(

eelogq 2

ee Δx

x2

Δx

x2

2q

Δx

x2

Numerische Untersuchung der Verfahrensordnung