Praktikum-ProjektAtomphysik

Experimentelle Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums h

Universität Potsdam19. bis 23. Februar 2007

Betreuer: Dr. Harry Weigt

Rainer Hainich – 731743Franziska Köppe – 730183

Stefan Leon – 730760Michael Walz – 730155

22.07.2007

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InhaltsverzeichnisI. Das Plancksche Wirkungsquantum..............................................3II. Röntgenspektrum......................................................................................4

1. Grundlagen..............................................................................................42. Aufbau und Durchführung.............................................................53. Auswertung..............................................................................................7

III. Frank-Hertz-Versuch..............................................................................91. Grundlagen..............................................................................................92. Aufbau und Durchführung...........................................................103. Auswertung............................................................................................124. Bedeutung der Ergebnisse..........................................................13

IV.Lichtelektrischer Effekt.......................................................................141. Grundlagen............................................................................................142. Versuchsidee........................................................................................163. Versuchsdurchführung..................................................................164. Auswertung............................................................................................175. Fehlerbetrachtung.............................................................................17

V. Wasserstoffspektrum............................................................................181. Grundlagen............................................................................................182. Kalibrierung...........................................................................................203. Auswertung der Wasserstoffspektrallinien und

Bestimmung von h............................................................................22VI.Vergleich der Messergebnisse und abschließende

Bemerkungen ...........................................................................................24VII.Anhang.........................................................................................................25VIII.Quellen........................................................................................................76

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I. Das Plancksche Wirkungsquantum

Max Planck, geboren in Kiel, aufgewachsen in München, revolutionierte 1900 die klassische Physik.So genial dieser Moment aus der heutigen Sicht auch erscheint, war es für ihn kein großer Wurf. Auch in der Schulzeit, die er in München absolvierte, wurde er nicht als ein genialer Kopf gesehen, sondern eher als klug und sehr nüchtern betrachtet. In seinem Abitur hatte er nur Zweier auf dem Zeugnis, was ihm den Weg auf das Maximilianeum verwehrte. Seinen späteren Erfolg konnte er auf seine Genauigkeit und Ausdauer begründen. Zu der Zeit als Planck an der Berliner Universität war, beschäftigte sich die klassischen Physik besonders mit der Thermodynamik. Angeregt durch die Glühlampenindustrie, untersuchte man die Eigenschaften der von erhitzten Metallen ausgesandter Wärmestrahlung. Kurz zuvor hatte bereits Wien sein Strahlungsgesetz entwickelt. In diesem Gesetz erkannte er einen Grenzcharakter, denn es galt nur für bestimmte Wellenlängen und Energien. Planck versuchte das Gesetz weiter zu entwickeln damit es auch für weitere Bereiche der Strahlung gelten konnte. Durch Interpolation leitete er das nach ihm benannte Strahlungsgesetz her.Nachdem er es vor der deutschen physikalischen Gesellschaft vorgestellt hatte, im Oktober 1900, geriet er unter Druck sein neues Gesetz auch aus den bekannten Gleichungen herzuleiten. Er saß bis zum Dezember 1900 daran und schaffte es unter Vernachlässigung alt hergebrachten Konventionen. So hatte man bis dahin zum Beispiel angenommen das Energie kontinuierlich aufgenommen wird. Er nahm jedoch an, dass sie nur in diskreten Energieniveaus aufgenommen werden kann. Des weiteren füllte er den Hohlraum des Hohlraumstrahlers mit idealen linearen Oszillatoren, die die Energie aufnehmen. Er wurde ungeduldig und wollte endlich zu einem Ergebnis kommen. Somit war die Idee der Energiequanten geboren, da er von der quantenhaften Absorption und Emission der Energie ausging und sie dafür gequantelt werden. Aus einer von ihm aufgestellten Gleichung wurde es möglich eine neue Konstante zu bestimmen. Diese war das Plancksche Wirkungsquantum. Sie stieg in der Bedeutung zur Naturkonstante auf, weil sie sich auch in der relativistischen Rechnung konstant hielt.

3

II. Röntgenspektrum

1. Grundlagen

Bei Röntgenstrahlung handelt es sich um Elektromagnetische Strahlung deren Wellenlänge zwischen 5 pm und 10 nm liegt, und sich somit außerhalb des vom Menschen sichtbaren Bereichs befindet, der sich von 380 nm bis 780 nm erstreckt. Sie wurde 1885 von Wilhelm Conrad Röntgen entdeckt.

Erzeugt werden die Röntgenstrahlen in einem evakuierten Glaskolben den man allgemein als Röntgenröhre (Abbildung II-1) bezeichnet.

In dieser werden Elektronen, an der Kathode, durch Glühemission ausgelöst und durch eine Beschleunigungsspannung zur Anode hin beschleunigt. Die auf die abgeschrägte Anode treffenden Elektronen werden im Coulombfeld dieser abgelenkt und strahlen infolge dessen Röntgenstrahlung ab, die so genannte Bremsstrahlung (siehe Abbildung II-2). Nur selten verlieren die Elektronen bei diesen Stoßvorgängen genug Energie um, ein Röntgenphoton auszusenden, so dass nur jeweils ein kleiner Teil der kinetischen Energie in Form von Röntgenstrahlung abgegeben wird.

Das hierbei entstehende Röntgenlicht weißt ein kontinuierliches Spektrum auf, da einerseits die Zahl der Stoßvorgänge zufällig verteilt ist und die dabei übertragene Energie von Elektron zu Elektron variiert und andererseits die Elektronen von vornherein eine gewisse Geschwindigkeitsverteilung besitzen.

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Abbildung II-1: Röntgenröhre (Quelle:http://www.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/p202_l05.htm)

Abbildung II-2: Ablenkung im Coulombfeld (Quelle:http://www.euronuclear.org/info/encyclopedia/bremsstrahlung.htm)

2. Aufbau und Durchführung

Die auf diese Weise erzeugte Röntgenstrahlung wird durch eine Blende gebündelt und auf einen Einkristall gelenkt. Der Kristall fungiert hierbei als Gitter mit mehreren hintereinander angeordnet Netzebenen. Die auf die Netzebene auftreffenden Röntgenstrahlen werden an dieser gebeugt und in ihr Spektrum zerlegt, dabei wirkt jedes Teilchen als ein einzelnes Streuzentrum und emittiert eine Sekundärwelle, die sich dann nach Huygens zu einer reflektierten Welle überlagern. Für die interferierenden Wellen gilt die Bragg-Bedingung

n⋅=2⋅d⋅sin (II-1)

wobei n die Ordnung des Maximums, d die Gitterkonstante und Θ der Winkel, unter dem die Röntgenstrahlung auf den Kristall trifft, ist.

Die Intensität lässt sich in Abhängigkeit vom Winkel mittels eines Detektors messen. Der Winkel wiederum lässt sich mittelst der Bragg-Bedingung in eine Wellenlänge umrechnen, sodass man die Intensität gegenüber der Wellenlänge auftragen kann. Diese Intensitätsverteilung zeigt dann den in Abbildung II-3 dargestellten Verlauf wobei sich eine charakteristische Kurve aufzeigt, die auf die schon oben angeführte Bremsstrahlung zurückzuführen ist. Außerhalb unseres Messbereiches liegt die so genannte charakteristische Strahlung. Kennzeichnend dafür sind diskrete Peaks. Verursacht werden diese Peaks durch Stoßanregung beim Auftreffen der Elektronen auf die Anode, dabei schlagen die auftreffenden freien Elektronen gebundene Elektronen aus dem Anodenmaterial heraus. Diese Lücken in den Schalen werden von Elektronen aus einer den höheren Schalen gefüllt, um aber in die Lücken der tieferen Schalen und somit Energie ärmeren Schalen springen zu können, müssen die Elektronen ihre überschüssige Energie abgeben. Dies tun sie, indem sie ein Photon emittieren. Die Energie der Photonen entspricht dann der Energiedifferenz zwischen den jeweiligen Schalen.Darüber hinaus ist die Bremsstrahlung durch einen speziellen Punkt gekennzeichnet an dem die Intensität bei einer minimalen Wellenlänge ein Minimum erreicht. Bei Erhöhung der Beschleunigungsspannung wandert dieser Punkt weiter nach links, also zu einer kleineren Wellenlänge hin, bei Verringerung der Beschleunigungsspannung hingegen nach rechts und somit zu einer größeren Wellenlänge. Dies lässt sich wie folgt erklären, die Elektronen können aufgrund der Beschleunigungsspannung UA eine maximal kinetische Energie Ekin,max von

E kin ,max=e⋅U A (II-2)

besitzen.

5

Abbildung II-3: Röntgenspektrum für 3 charakteristische Beschleunigungsspannungen

Intensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge (KBr-Kristall)

0

50100

150

200250

300

350400

450

4E-11 5E-11 6E-11 7E-11 8E-11 9E-11 1E-10 1E-10 1E-10 1E-10

Wellenlänge/m

Impu

lse 19kV

22kV25kV

Wobei e die Elementarladung von

(II-3)

ist. Für U A=13kV folgt somit

.

Bei einem einzigen Stoßvorgang kann somit auch nur maximal diese Energie auf die emittierten Photonen übertragen werden,

E kin , max=h⋅max=e⋅U A (II-4)

sodass man den Photonen eine maximale Frequenz νmax zuordnen kann, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Diese maximale Frequenz lässt sich mit

min=c

max(II-5)

in eine minimale Wellenlänge umrechnen, wobei c hier die Lichtgeschwindigkeit ist. Die minimale Wellenlänge lässt sich grafisch über eine Ausgleichsgrade bestimmen die durch den annähernd linearen ersten Abfall auf das Grundrauschniveau gelegt wurde. In der Abbildung (II-4) ist dies für drei Beschleunigungsspannungen exemplarisch dargestellt wobei die Intensität um das Grundrauschniveau verringert wurde.

Über die jeweilige Gradengleichung wurde der Schnittpunkt mit der „x-Achse“ ermittelt und somit die jeweilige minimale Wellenlänge. Über die minimale Wellenlänge lässt sich aus (II-4) und (II-5) das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmen.

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Abbildung II-4: Bestimmung der minimalen Wellenlänge

Intensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge

y = 8,9249x - 495,69 (22kV)

y = 11,968x - 819,6 (19kV)

y = 8,861x - 426,8 (25kV)

-20

0

20

40

60

80

100

35 45 55 65 75

Wellenlänge/pm

Inte

nsitä

t

22kV

19kV

25kV

Linear (Ausgleichsgerade)

e=1,602177∗10−19C

E kin ,max=1,602177⋅10−19 ms⋅13 kV =2,0828⋅10−15 J

h=e⋅U A⋅min

c(II-6)

Für λmin=55,54 pm und U A=22kV ergibt sich mit der Lichtgeschwindigkeit von

(II-7)

das Plancksche Wirkungsquantum zu:

h=1,602⋅10−19C⋅22000V⋅5,554⋅10−11 m

2,9979⋅108 ms

=6,5294⋅10−34 J⋅s

Um den Fehler allerdings möglichst klein zu halten, wird das Plancksche Wirkungsquantum nicht für jeden Wert auf diese Weise bestimmt sondern über lineare Regression, dazu wird (II-4) mit (II-5) zu

f U A=e⋅min

c=h⋅ 1

U A (II-8)

umgestellt. Man erhält somit einen linearen Zusammenhang welcher einem ermöglicht, aus dem Anstieg der Ausgleichsgeraden und (II-8) das Plancksche Wirkungsquantum zu bestimmen. In Abbildung (II-5) ist dies für den Kalium-Bromid-Kristall exemplarisch dargestellt:

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Abbildung II-5:Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantum über lineare Regression

f(UA) in Abhängigkeit von 1/UA

KBr-Kristall

y = 6E-34x + 3E-39R2 = 0,98

2,50E-38

3,00E-38

3,50E-38

4,00E-38

4,50E-38

5,00E-38

0,000035 0,000045 0,000055 0,000065 0,000075

1/UA

f(UA) Reihe1

Linear (Reihe1)

c=2,9979⋅108 ms

3. Auswertung

Aufgrund des starken Hintergrundrauschens stellte sich das Ablesen der genauen minimalen Wellenlänge durchaus als Problem heraus. Daher wurde durchgehend der erste Abfall auf das Grundrauschniveau als minimale Grenzwellenlänge verwendet. Um die Genauigkeit zu maximieren wurde die Grenzwellenlänge an stark vergrößerten Graphen und mittels linearer Regression bestimmt. Die so ermittelten Werte sind in Tabelle II-1 zusammengefasst.

UA in kV λmin in 10-11 mLiF-Kristall – Erste Messung

λmin in 10-11 mLiF-Kristall – Zweite Messung

λmin in 10-11 mKBr-Kristall – Erste Messung

λmin in 10-11 mKBr-Kristall – Zweite Messung

13 9,035 9,335 9,0673 9,18116 7,697 7,524 7,562 7,7919 6,551 6,578 6,848 6,6722 5,601 5,871 5,554 5,7225 4,919 4,514 4,817 4,825

Tabelle II-1: minimale Grenzwellenlänge

Aus (II-8) und den Anstiegen der jeweiligen Ausgleichsgeraden ergibt sich das Plancksche Wirkungsquantum h zu:

Plancksche Wirkungsquantum h in 10-34 Js Kristall und Messung6,6248 LiF-Kristall – Erste Messung6,5314 LiF-Kristall – Zweite Messung6,6861 KBr-Kristall – Erste Messung6,2197 KBr-Kristall – Zweite Messung

Tabelle II-2: Plancksches Wirkungsquantum

Es zeigt sich, dass die ermittelten Werte bis auf eine Ausnahme sehr nahe beim Literaturwert von

(II-9)

liegen.

8

h=6,626076⋅10−34 Js

Messunsicherheit:

arithmetische Mittel: x=∑

ix i

n(II-10)

Standardabweichung: x= 1n−1⋅∑i=1

n

x i−x 2 (II-11)

Vertrauensabweichung: x=t⋅ x

n(II-12)

Fehlerfortpflanzungsgesetz: ∣u y x1, ... , xk ∣=∑i=1

k

∣∂ y∂ xi

ux i∣ (II-13)

Wobei n die Anzahl der Messungen und t der Studentfaktor ist.

h=6,5155⋅10−34 Js

h=0,205821⋅10−34 Js

h=0,3190227⋅10−34 Js

So ergibt sich das Plancksche Wirkungsquantum zu: h=6,5±0,3⋅10−34 Js

Der Mittelwert aus den vier bestimmten Werte für das Plancksche Wirkungsquantum weist vom Tabellenwert eine Abweichung von 1,67 % auf, was immer noch recht gut ist.

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III. Franck-Hertz-Versuch

1. Grundlagen

Bohr suchte nach einer Veränderung des Modells, weil sich mit dem Rutherfordschen Modell Linienspektren nicht erklären ließen. Der Schlüssel zur Lösung sollte eine Verbindung aus dem alten Modell mit dem Planckschen Wirkungsquantum sein. Dafür stellte er zunächst einmal drei Postulate auf, die die Grundlage für seine Idee bilden sollten. Durch die ersten beiden Annahmen wird die Stabilität des Atoms gesichert, indem nur diskrete Elektronenbahnen zugelassen werden, auf denen sich die Elektronen strahlungsfrei bewegen. Die dritte Annahme berücksichtigt die experimentell gesicherte Tatsache, das von einem Atom nur ganz bestimmte Wellenlängen absorbiert oder emittiert werden können.James Franck und Gustav Hertz, ein Neffe des Heinrich Hertz, hatten sich 1911 im Berliner Physikalischen Institut zusammengetan, um dort Lennards „Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gasmolekülen“ weiterzuführen. Sie entwickelten den nach ihnen benannten Versuch, der im Weiteren näher beschrieben und gedeutet werden soll.

2. Aufbau und Durchführung

In eine evakuierte Glasröhre, die mit Quecksilber verschmutzt wurde, wird eine Anordnung von drei Elektroden eingebracht. Zwischen diesen drei Elektroden, einer Glühkathode, einer Gitterelektrode und einer Auffangelektrode, werden zwei elektrische Felder angelegt. Das erste Feld, zwischen Glühkathode und Gitterelektrode, dient zum Beschleunigen der emittierten Elektronen. Zwischen der Gitterelektrode und der Auffangelektrode wird ein Gegenfeld angelegt. Die beschleunigten Elektronen können somit nur dann die Auffangelektrode erreichen, wenn ihre kinetische Energie groß genug ist, an der dann ein Strom gemessen werden kann. In die Glasröhre war Quecksilber eingebracht. Man stellt nun die Beschleunigungsspannung und die Heizspannung so ein, dass man auf dem angeschlossenen Oszilloskop eine Frank-Hertz-Kurve sehen kann.

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Abbildung III-1 schematische Frank-Hertz-Kurve des Quecksilbers

Dieser Kurvenverlauf ist durch die verschiedenen Stoßarten der beiden Stoßpartner zu erklären. Zunächst kann man bei einem Stoß zwischen Elektron und Gasatom davon ausgehen, dass der Stoß nahezu elastisch abläuft. Dies ist mit dem großen Massenunterschied zu erklären. Dieser Verlauf ist jedoch nur möglich, solange die kinetische Energie der Elektronen nicht ausreicht, um das Atom in einen angeregten Zustand zu versetzen. Haben die Elektronen durch die erhöhte Beschleunigungsspannung jedoch eine große kinetische Energie erreicht, kommt es zu einer Anregung der Atome. Die Stöße zwischen Elektronen und Atome sind unelastisch, da die Elektronen ihre Energie an die Atome übertragen. Sie haben daher nicht mehr genug kinetische Energie, um gegen das Gegenfeld die Auffangelektrode zu arbeiten. Somit sieht man im Kurvenverlauf einen Abfall der gemessenen Spannung. Dieser Verlauf wiederholt sich nahezu periodisch, zu bestimmten Spannungswerten der Beschleunigungsspannung. Bei Quecksilber ist die gemessene Spannungsdifferenz etwa 4,9 V. Quecksilber emittiert bei der Rückkehr in seinen Grundzustand Licht einer Wellenlänge von 253,6 nm.

(III-1)

3. Auswertung

Zunächst wurde die minimal benötigte Energie der Elektronen durch die Periodendauer auf dem Oszilloskop bestimmt und dann nochmals durch die Messwerte der punktweisen Messung. Aus der Messung konnte folgender Graph erzeugt werden:

Diagramm III-1: Versuch mit Quecksilber

Die daraus ermittelte Größe entspricht genau dem Wert der kinetischen Energie, die die Elektronen benötigen, um die Gasatome in den angeregten Zustand zu bringen. Somit erhalten wir für Quecksilber genähert die anerkannten Werte. Wir erhielten am Oszilloskop eine periodische Spannungsdifferenz von ungefähr ΔV = 4,83 V. Allgemein anerkannt sind 4,9 V als Tabellenwert. Nun konnten wir aus der Einstein'schen Formel und der bekannten Wellenlänge des abgestrahlten Lichts das Planck‘sche Wirkungsquantum bestimmen.

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h= e⋅Uf

=e⋅U⋅

c

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

S

i

g

n

a

l

s

p

a

n

n

u

n

g

/

V

o

l

t

6050403020100

Beschleunigungsspannung/Volt

Beschleunigungsspannung/Volt

Also setzten wir für Quecksilber ein: Als kinetische Energie folgtE kin=e⋅U=4,83eV =7,737⋅10−19 J und die beiden bekannten Größen der Wellenlänge

=253,6nm und der Lichtgeschwindigkeit c=2,9979⋅10−8 ms . Damit erhalten wir

h=6,545⋅10−34 Js.

4. Bedeutung der Ergebnisse

Der Verlauf der Frank-Hertz-Kurve der mit Quecksilber gefüllten Frank-Hertz-Röhre ist durch die alten klassischen Modelle nicht mehr zu erklären. Denn nach den klassischen Modellen würde man einen geraden Verlauf der Kurve erwarten.Als Franck und Hertz ihre Ergebnisse veröffentlichten, wurden sie sofort als Bestätigung der Lichtquantenhypothese angesehen und keiner bemerkte, dass sie ebenfalls Bohrs Atommodell bestätigten. Bereits 1915 vermutete Bohr selbst, dass die Versuche von Franck und Hertz „ möglicherweise mit der Annahme in Einklang zu bringen sind, dass diese Spannung nur dem Übergang zu irgendeinem anderen stationären Zustand des neutralen Atoms entspricht.“ (Zitat aus Dokumente der Naturwissenschaft, Bd. 9, Battenberg Verlag, München 1967). Franck und Hertz jedoch hielten an ihrer Annahme fest, sie hätten Ionisierungsprozesse nachgewiesen. Die strenge Trennung der Ionisierungs- und Emissionsprozesse gelang erst 1917. Franck und Hertz räumten erst im Jahr 1919 ein, dass „die Bohr'sche Atomtheorie sich auch hier ... glänzend bestätigt“ (Zitat aus einer Veröffentlichung von Franck & Hertz, Physikalische Zeitschrift XX, 1919). Demnach haben sie ihre Versuche nicht zur Bestätigung des neuen Atommodells gemacht.

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IV. Lichtelektrischer Effekt

1. Grundlagen

Der lichtelektrische Effekt bietet eine Möglichkeit das Plancksche Wirkungsquantum h zu bestimmen. Erstmals beobachtet wurde der lichtelektrische Effekt (oder auch Photoeffekt) von Wilhelm Hallwachs, er stellte dabei fest, dass sich negativ geladene Metallplatten bei einfallendem Licht entladen und neutrale Metallplatten sich positiv aufladen. Auch stellte er fest, dass der Effekt so gut wie nicht mehr auftrat, sowie er eine Glasplatte – einen UV-Filter – zwischen Metallplatte und Lichtquelle brachte.Zunächst wurde vergeblich versucht, den Photoeffekt ausschließlich mit der Wellennatur des Lichtes zu erklären, indem man annahm, dass eine eintreffende elektromagnetische Welle (wie das Licht) die Resonanzfrequenz der Elektronenschwingungen trifft und so deren Schwingungen stark genug angeregt werden, damit die Elektronen aus der Metallstruktur heraus fliegen. Dem entsprechend müsste die Energie der angeregten ausgetretenen Elektronen proportional zur Intensität der eingestrahlten Welle (des Lichts) sein.Experimentell konnte dies aber nie beobachtet werden, viel mehr ist die Intensität des Lichts nur proportional zur Anzahl der ausgelösten Elektronen, nicht aber zu deren Energie. Hingegen kann man einen linearen Zusammenhang zwischen der Frequenz des eingestrahlten Lichts und der Energie der Elektronen feststellen, was mit der obigen Theorie nicht zufrieden stellend erklärt werden kann.Anders ist das mit der Theorie, Licht als Teilchenerscheinung, einen so genannten Photonenstrom, aufzufassen, die Albert Einstein erstmals äußerte. Demnach überträgt das Photon, das auf ein Elektron trifft, seine Energie und wird dabei absorbiert. Wenn diese Energie hinreichend groß ist, so kann sich das Elektron aus seiner Bindung lösen und aus der Metalloberfläche austreten. Hierbei ist am wahrscheinlichsten, dass ein ausgelöstes Elektron nur von genau einem Photon übertragen bekommt. Jedoch ist die Energie eines Photons nicht beliebig groß, sondern über die Beziehung

(IV-1)

quantisiert. Es können also nur diejenigen Photonen Elektronen auslösen, deren Energie h∙υ die Austrittsarbeit WA des Metalls übersteigt. Es gilt hierfür die Lenard-Einstein-Gleichung:

. (IV-2)

Wobei hier v die maximale Geschwindigkeit der heraus gelösten Elektronen ist.

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E=h⋅

m2⋅v2=h⋅−WA

In Abbildung IV-1 sieht man eine qualitative Darstellung der Abhängigkeit der kinetischen Energie der Elektronen von der Frequenz der eingestrahlten Photonen. Man sieht einen linearen Zusammenhang, bei dem der Schnittpunkt mit der Abszisse der Austrittsarbeit der Elektronen aus der Photokathode entspricht und der Schnittpunkt mit der Ordinate liegt bei einer so genannten Grenzfrequenz.Wenn die Energie des Photons gerade der Austrittsarbeit entspricht, kann immer noch ein Elektron heraus gelöst werden, es besitzt allerdings keine kinetische Energie mehr. Die zugehörige Frequenz des Lichts heißt Grenzfrequenz υGrenz und die zugehörige Wellenlänge ist die Grenzwellenlänge

. (IV-3)

Unterhalb der Grenzfrequenz bzw. oberhalb der Grenzwellenlänge können keine Elektronen ausgelöst werden.

Eine Anwendung des Photoeffekts ist die Photozelle, in der eine Metallplatte, die Photokathode mit Licht genügend hoher Frequenz bestrahlt werden kann, so das aus dieser Elektronen heraus gelöst werden können und mittels einer ringförmigen Anode zusätzlich durch ein elektrisches Feld beschleunigt und abtransportiert werden können. Es fließt dann der so genannte Photostrom. Über einen Arbeitswiderstand können so Lichtsignale in elektrische Signale (Spannungen) umgewandelt werden. Photokathode und Anode der Photozelle befinden sich zumeist in einem Vakuumgefäß oder in einer speziellen Gasfüllung, die der Verstärkung des Effektes durch zusätzliche Anregung des Gases durch den Elektronenstrom dient.

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Abbildung IV-1: Grenzfrequenz und Austrittsarbeit

Grenz⋅Grenz=c

2. Versuchsidee

Nach der Lenard-Einstein-Gleichung ist die maximale kinetische Energie der Elektronen gerade gleich der Energie der auftreffenden Photonen verringert um die spezifische Austrittsarbeit des Metalls. Falls es uns also gelingt, die kinetische Energie der austretenden Elektronen in irgendeiner Weise zu messen, so könnten wir für verschiedene diskrete Wellenlängen des eingestrahlten Lichts eine Darstellung von der kinetischen Energie der Elektronen Ekin in Abhängigkeit von der Wellenlänge υ erstellen, deren Anstieg dem Planckschen Wirkungsquantum entspricht und deren y-Schnittpunkt die Austrittsarbeit des Metalls der Photokathode liefert. Eine direkte Bestimmung der Geschwindigkeiten der Elektronen ist aber mit unseren Möglichkeiten leider nicht zu realisieren, allerdings auch gar nicht notwendig. Wir können nämlich die kinetische Energie der Elektronen über den Trick der so genannten Gegenfeldmethode indirekt bestimmen. Hierfür legen wir an die Photozelle eine entgegengesetzt gerichtet Spannung, d. h. + an die Kathode und – an die Anode, an, sodass die heraus gelösten Elektronen nun durch das elektrische Feld abgebremst werden. Diese Gegenspannung wird nun solange hoch geregelt, bis der Photostrom 0 wird, denn dann kommen keine Elektronen mehr an der Anode an, was bedeutet, das die kinetische Energie ebenfalls 0 ist, die kinetische Energie und die potentielle Energie des Feldes sind dann gleich groß und es gilt wegen Ekin = e∙U :

(IV-4)

Wir können nun h aus dem Anstieg eines U – ν – Diagramms bestimmen, wenn wir uns eines Tabellenwertes für die Elementarladung e bedienen.

3. Versuchsdurchführung

Mithilfe eines Prismas zerlegen wir das Licht einer Quecksilberdampflampe in seine Spektralfarben, deren Wellenlängen uns sehr wohl bekannt sind. Die einzelnen Spektrallinien können wir über einen drehbar gelagerten Spiegel auf eine Photozelle umlenken und durch eine Spaltblende zwischen Spiegel und Photozelle stellen wir sicher, das auch wirklich nur das Licht genau einer Spektrallinie an der Photozelle ankommt. Die Photozelle ist dabei wie oben beschrieben, mit einer kontinuierlich regelbaren Spannungsquelle, einem Voltmeter und einem Piko- Amperemeter verschaltet. Nun können wir für die verschiedenen Wellenlängen jeweils eine Messreihe Photostrom in

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Abbildung IV-2: Versuchsaufbau

e⋅U=h⋅−W A

Abhängigkeit von der Gegenspannung anfertigen und in einem Diagramm auswerten und daraus die Grenzspannung genauer ermitteln, als dies mit einer einzigen Messung möglich wäre.

4. Auswertung

Wir haben für vier Spektrallinien der Hg-Dampflampe (gelb: 519 THz, grün: 549 THz, blau: 688 THz und violett: 741 THz) Messreihen aufgenommen, wobei wir die Bremsspannung bei gelb und grün in 0,05 V Schritten erhöht haben, bei blau und violett in 0,1 V Schritten. Dabei haben wir aufgrund einiger Schwankungen des Stromstärkewertes durch das Piko- Amperemeter immer versucht, möglichst den mittleren Wert zu ermitteln.Da die Geschwindigkeiten der aus der Kathode ausgelösten Elektronen einer nicht-linearen von der Beschaffenheit der Photozelle abhängigen Verteilung folgen, gibt es auch keinen linearen Zusammenhang zwischen Bremsspannung und Photostrom. Der Hersteller der Photozelle gibt hier als Linearisierung die Darstellung von I über U an. Allerdings haben wir auch festgestellt, das sich die Werte auch sehr gut durch ein Polynom 3.ten Grades approximieren lassen und sich, mit ein wenig Vertrauen in den Kurvenzug von Excel, sogar noch ein besserer Wert für die Planckkonstante ergibt. Aus den U-I-Diagrammen für die einzelnen Farben haben wir dann jeweils die Bremsspannungen ermittelt und diese in einem U-υ-Diagramm weiterverwendet.Aus den Anstiegen A der U- υ-Diagramme ermittelten wir:

he=A

h=3,8⋅10−15Vs⋅eTab

h=6,36⋅10−34 Js

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Lichtelektrischer Effekt

y = 0,0038x - 1,3796R2 = 0,9989

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

500 550 600 650 700 750 800

v/THz

U/V U/V

Linear (U/V)

Als Wert für die Elementarladung haben wir hier verwendet.

5. Fehlerbetrachtung

Als Literaturwert verwendeten wir:

Damit hat unser durch Linearisierung mit der Wurzel bestimmter Wert eine Abweichung von 10,5% und der h - Wert aus den von Excel direkt polynomisch errechneten Gegenspannungswerten eine Abweichung von 4,0%. Da aber niemand eine genaue Gesetzmäßigkeit für die Abhängigkeit des Photostroms in dieser Photozelle angeben kann, sondern lediglich eine empirisch Beobachtung, dass ein U-√I- Diagramm brauchbare Werte liefert, sind die so errechneten Gegenspannungswerte mit einiger Vorsicht zu genießen. Hinzu kommt, dass die Werte für die Photostromstärke, aus denen wir ja die Gegenspannungen berechneten, zum Teil nur als Schätzwerte genannt werden sollten, da der Zeiger des Piko- Amperemeters zum Teil sehr große Schwankungen von ±10 pA vollführte. Betrachtet man also die daraus resultierenden Großen Unsicherheiten für die Gegenspannung und führt man sich nochmals zu Gemüte, dass sich unser Wert für das Plancksche Wirkungsquantum als Anstieg einer durch lediglich 4 Punkte approximierten Gerade errechnet, macht eine explizite Fehlerrechnung wohl weniger Sinn als eine großzügige Fehlerabschätzung.Nehmen wir also als Unsicherheit für die jeweiligen Gegenspannungen uU = ±0,05 V an, dann sind im schlechtesten Fall die unteren beiden Werte zu niedrig und die oberen zu hoch oder umgekehrt. Damit käme man auf eine Abweichung für h von ±6⋅10−35 Js . Wenn wir nun den Fehler noch großzügiger wählen, indem wir die Differenz unserer beiden errechneten Werte auf das Fehlerintervall aufschlagen und als waren Wert den Mittelwert unserer beiden Werte annehmen erhalten wir h=6,1±0,8⋅10−34 Js .

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eTab=1,602177⋅10−19C

h=6,626076⋅10−34 Js

V. Wasserstoffspektrum

1. Grundlagen

Eine Methode der Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantum h ist die, dass man die Spektrallinien des Wasserstoffes ausnutzt. Dabei wird von dem Bohrschem Atommodell ausgegangen (Abbildung V-1).

Bei diesem Bild stehen die n für die einzelnen Orbitale und die Serien klassifizieren die einzelnen Sprünge. Da unser Detektor nur die sichtbaren Linien aufnimmt interessiert uns nur die Balmer-Serie. Nach dem Atommodell von Bohr muss Energie aufgenommen werden, wenn ein Elektron auf ein höheres Orbital springt, und Energie abgegeben werden, wenn das Elektron wieder auf ein niedrigeres Orbital springt. Da nach dem Atommodell nur spezifische Bahnen eingenommen werden können können auch nur spezifische Energieportionen bei den einzelnen Sprüngen abgegeben oder aufgenommen werden. Bei der Wasserstoffdampflampe die, die zu untersuchenden Spektrallinien erzeugt, liefern die Elektronen aus der Spannungsquelle durch Stöße mit dem Elektron aus dem Wasserstoffatom, die nötige Energie damit das Elektron beim Wasserstoff auf ein höheres

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Abbildung V-1 Übergänge beim Bohrschem Atommodell (Wasserstoff)

Orbital gebracht wird. Wenn das Elektron dann aber wieder auf ein niedrigeres Orbital herunter gehen will, muss es Energie in Form eines Photons abgeben. Dabei gilt das die Energie die für einen Sprung aufgenommen wurde gleich der Energie die für den Sprung zurück wieder abgegeben wurde. Da die Energie für jeden Sprung spezifisch ist, ist auch die Wellenlänge bzw. Frequenz die das freigeworden Photon hat festgelegt, da es gilt:

E=h f =hc (V-1)

Da das Gitterspektrometer nur das Licht im sichtbarem Bereich misst sind auch nur die Sprünge interessant die für sichtbares Licht sorgen. Beim Wasserstoff sind das jene Sprünge, die vom 3. - 6. Orbital auf das 2. Orbital gehen. Für diese Serie von Sprüngen wurde von Balmer eine Berechnungsformel entwickelt. Diese Formel beruht auf der Energiedifferenz der Elektronen auf den einzelnen Bahnen und lautet:

1=RH

1m²

− 1n²

RH=me e4

80²h³c

(V-2)

Elektronenruhemasse me=9,10939⋅10−19 kg

Elementarladung e=1,60218⋅10−19 As

elektrische Feldkonstante 0=8,85418⋅10−12 AsVm

Vakuumlichtgeschwindigkeit c=2,99792⋅108 ms

Plancksches Wirkungsquantum h

In dieser Formel stehen m für das Orbital auf welches das Elektron herunter springt und n für das Orbital von dem das Elektron kommt. Das RH bezeichnet dabei die Rydberg-Konstante für Wasserstoff. Da für uns wie bereits erwähnt nur die Sprünge auf das 2. Orbital entscheidend sind ist m = 2. Die Verknüpfung zwischen dem n und dem λ entsteht dadurch, dass man die sich ergebenden 4 Wellenlängen, die typisch für das Wasserstoffatom sind, nimmt und sie zuerst ordnet. Da bei einem Sprung vom 6. Orbital aufs 2. mehr Energie frei wird als bei einem Sprung vom 3. Orbital auf das 2. muss laut Formel 1 die kleinste Wellenlänge für den größten Sprung stehen und die größte Wellenlänge für den kleinsten Sprung. Also:

kleinste Wellenlänge ---> n = 6zweite Wellenlänge ---> n = 5dritte Wellenlänge ---> n = 4größte Wellenlänge ---> n = 3

Wenn man nun das experimentell bestimmte R einsetzt kann man nach dem h umstellen und mit den bekannten Naturkonstanten das Plancksche Wirkungsquantum h ausrechnen.

19

2. Auswertung der Wasserstoffspektrallinien und Bestimmung von h

Bei Übergängen zwischen den einzelnen Orbitalen liegen die Wellenlängen des emittierten Photonen in folgenden Bereichen des sichtbaren Lichtes:

Wellenlängenbereich der Spektrallinien Orbital von dem der Sprung ausging (=n)rot 3blau 4indigo 5violett 6ultraviolett 7

Da ultraviolett nicht zum sichtbarem Licht gehört, entfallen die Sprünge vom 7. Orbital da diese nicht vom Spektrometer aufgenommen werden. Mithilfe des Spektrometer kann daraufhin eine Grafik angefertigt werden, welche das Spektrum darstellt.

Aus dieser Grafik kann nun anhand der Ausschläge im roten Licht eine Wellenlänge von 660,35 nm, im blauen Licht eine Wellenlänge von 484,74 nm und im indigofarbenem Licht eine Wellenlänge von 433,70 nm abgelesen werden. Mit diesen Werten können nun RH

berechnet werden:

20

Abbildung V-4: Spektrum des Wasserstoffs

200 300 400 500 600 700 800 9000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Inte

nsitä

t

Wellenlänge λ (nm)

B

1=RH

1m²

− 1n²

RH=1

m2⋅n2

n2−m2

m=2 wegen Balmerserie

RH=4n2

n2−4

Wellenlänge λ (nm) Wert für n Rydberg-Konstante RH 109 m−1

660,35 3 0,01090331 484,74 4 0,01100246 433,70 5 0,01097972

Aus diesen Werten ergibt sich eine mittlere Rydberg-Konstante von: RH=1,096183∗10−9 m−1

Mit den oben genannten Naturkonstanten kann nun das Plancksche Wirkungsquantum h ausgerechnet werden und man kommt auf einen Wert von:

RH=me e4

80 ²h³c

h= 3 me e4

80 ²RH ch=6,63±0,02⋅10−34 Js

Dieser Wert liegt sehr genau an dem Literaturwert von h=6,626075⋅10−34 Js . Die Abweichung beträgt nur 1%.

21

VI. Vergleich der Messergebnisse und abschließende Bemerkungen

Mit den verschiedenen Versuchen haben wir folgende Ergebnisse für h erhalten:

Photoelektrischer Effekt: h = (6,1 ± 0,8) ∙ 10-34 JsFranck-Hertz-Versuch: h = (6,5 ± 0,3)∙ 10-34 JsWasserstoffspektrum: h = (6,63 ± 0,02) ∙ 10-34 JsRöntgenspektrum: h = (6,5 ± 0,3) ∙ 10-34 Js

Zum Vergleich hier noch einmal unser Literaturwert:

Unsere ermittelten Werte haben alle akzeptable Abweichungen vom Literaturwert.Den besten Wert erhielten wir dabei jedoch bei dem Versuch zum Wasserstoffspektrum, da hier bei sorgfältiger Kalibrierung des Programms die Linien des Wasserstoffspektrums sehr genau und diskret bestimmt werden können. Die einzige Fehlerquelle ist dann das Restlicht von außen, welches man allerdings recht gut abschirmen kann. Die größten Fehlerquellen gibt es demzufolge bei der Aufnahme der U-I-Kennlinien beim Photoelektrischen Effekt, die von der Beschaffenheit der Photozelle abhängig sind, durch eine Erfahrungsformel linearisiert worden sind und noch dazu durch die größeren Schwankungen des Messgeräts nicht allzu genau sein können.Alle vier Versuche zeigen schön, in welcher Weise die Energie quantisiert ist und eignen sich gut zur Bestimmung von h, durch die elektronische Datenverarbeitung sind aber gerade die Bestimmung von h über das Wasserstoffspektrum und die kurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung sehr genau und komfortabel durchführbar.

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h lit.=6,626076∗10−34 J∗s

VII. Anhang

zu V. Wasserstoffspektrum: Kalibrierung des Gitterspektrometers

Da das von uns verwendete Spektrometer nicht kalibriert war, muss es vorher mithilfe einer Quecksilber-Neon-Lampe kalibriert werden. Zuerst wird eine Messung durchgeführt, bei der ein Abhängig zwischen den Pixeln des Detektors und der dortigen Intensität gezeichnet wird. Mit den Pixeln ist hierbei gemeint, dass das Gitter im Gitterspektrometer das Licht der unterschiedlichen Wellenlänge unterschiedlich stark streut, und der CCD-Detektor daraufhin bei unterschiedlichen Winkeln ein Messung der Intensität vornimmt. Mithilfe dieses Graphen kann eine Kalibrierung vorgenommen werden.

Daraufhin wird ein Zuordnung zwischen den Pixeln der Ausschläge und den tabellarisierten Werten für die Wellenlängen des Quecksilber-Spektrums getroffen.Pixel für den Ausschlag Zuzuordnende Wellenlänge λ (nm)580,4 404,66689,8 4351085,5 546,071199 576,961207 579,07

23

Abbildung V-2: Spektrum der Quecksilber-Neon-Lampe

0 500 1000 1500 20000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Inte

nsitä

t

Pixel

Wenn nun diese zusammenhängenden Werte in einer Grafik dargestellt werden, kann man mithilfe einer Ausgleichsgerade ein Zusammenhang zwischen den Pixeln und der tatsächlichen Wellenlänge in Form einer linearen Gleichung getroffen werden.

Aus der Geraden konnte nun folgende Formel zu Umrechnung von Pixeln zu Wellenlänge gefunden werden:

=243,51736nm0,27819nm⋅pixel

Diese Formel kann nun als Kalibrierungsfunktion bei den Wasserstofflampen verwendet werden.

24

Abbildung V-3: Kalibrierungsfunktion des Gitterspektrometers

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300400

450

500

550

600

650

700

Wel

lenl

änge

λ (n

m)

Pixel

VIII. Quellen

Literaturquellen:

Atomphysik kurz und bündig, Scholz, VEB Fachbuchverlag Leipzig

Physik der Atome und Moleküle, Bethge/Gruber,VCH-Verlag

Radioaktivität, Werner Stolz,B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig 1996

Atomphysik, Graewe, Aulis Verlag

Vorstellungen vom Atom, Kirchhoff,Aulis Verlag

Atomare Stoßprozesse, Neunert, B.G. Teubner Verlag

Wilhelm Walcher: Praktikum der PhysikB.G. Teubner Stuttgart 1994

D. Geschke: Physikalisches PraktikumB.G. Teubner, Stuttgart Leipzig 1998

Experimentallphysik 4, Demtröder,Springer, Berlin Heidelberg 2005

Atomphysik kurz und bündig, Scholz,VEB Fachbuchverlag Leipzig

Physik der Atome und Moleküle, Bethge/Gruber,VCH-Verlag

Atomphysik, Graewe, Aulis Verlag

Vorstellungen vom Atom, Kirchhoff, Aulis Verlag

Atomare Stoßprozesse, Neunert, Teubner Verlag

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Quelle der im Text verwendeten Naturkonstanten:

Radioaktivität, Werner Stolz,B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig 1996

Internetquellen:

http://www.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/p202_l05.htm

http://www.euronuclear.org/info/encyclopedia/bremsstrahlung.htm

http://de.wikipedia.org/wiki/Planksches_Wirkungsquantum

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