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Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Prozessidentifikation
Systeme 2. Ordnung / Systeme 2. Ordnung / SemesterabschlußSemesterabschluß
10. Juli 2002
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Parameterschätzung
Identifikationsaufgabe
SystemNicht bekannt
Störeinflüsse
um(t) ym(t)
u(t) y(t)
Modell e(t)
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ergebnis Rekursive Parameterschätzung
^Bk+1 = ^Bk + Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1 {yk+1
T - xk+1T ^Bk}
Damit kann ^Bk+1 kann damit aus ^Bk Pk xk+1 und yk+1 ermittelt werden.^Bk+1 = f(^Bk, Pk,xk+1, yk+1)
Ergebnis beinhaltet:Pk = (Xk
TXk)-1 für Auswertung von k-Messwertpaarenxk+1
T zusätzliche Zeile des X-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (x-Werte und Operationen)
yk+1 zusätzliche Zeile des Y-Vektors unter Berücksichtigungeines weiteren Messwertes (y-Wert)
^Bk Schätzvektor unter Auswertung von k-Messwertpaaren
Pk+1 = Pk - Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1xk+1
T Pk
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Anwendung der rekursivenRegressionsformel
^B1 = (X1TX1)-1X1
TY1 = P1X1TY1
^B2 = ^B1 + P1x2(x2TP1x2+1)-1 {y2
T – x2T ^B1}
P2 = P1 – P1x2(x2TP1x2+1)-1x2
T P1
^B3 = ^B2 + P2x3(x3TP2x3+1)-1 {y3
T – x3T ^B2}
P3 = P2 – P2x3(x3TP2x3+1)-1x3
T P2
Start für k=1
1. Iteration
2. Iteration
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel für rekursive Rekursion
Gegeben: Datensatz: (1,1) (1,0) (2,0) Gesucht: Math. Modell / Funktion mit Abstand der
Punkte zur Kurve nach minimalem Fehlerquadratoptimiert.
Lösung: Parameterschätzung nach Regressionsformel unter Berücksichtigung aller Messwerte (One-Shot)Parameterschätzung nach rekursiver Regressionsformel mit Start k=1.
Modellansatz y(k) = ax(k)
Lösung Tafel
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Systeme 2. Ordnung
Zusammenhang Pol- Nullstellenverteilung / Bodediagramm
Fallunterscheidungen• D > 1• D = 1• 0 < D < 1• D = 0
Untersuchung für Fall 0 < D < 1:• Betragsbildung für G(j )• Phasenbestimmung • Wert für = 0 • Wert für = 0(1-D2)
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Quelle: ISS, Meyr, Aachen
Bodediagramm System 2. Ordnung
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
NYQUIST-Kriterium
Beurteilung der Stabilität des Regelkreise im Frequenzgang oder Orts-Kurve des offenen Regelkreis G0.Vorteile:• Messkurve liegt oft vor• Anwendung auch für totzeitbehaftete Regelkreise
Die Stabilität des Regelkreises:• Eigenschaft des Kreises selber• Keine Eigenschaft der Eingangs- oder Störgrößen
Bild 7.9 Walter, S.152
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übertragungsfunktion G0
Stabilitätsgrenze
0
0
( ) ( ) ( )( )
1 ( ) ( ) 1 ( )SR
WSR
G s G s G sG s
G s G s G s
Charakteristisches Polynom ist 1+GoP(s) = 1+Go(s) = 0 -> Go(s) = -1
Stabilitätsgrenze ist dann gegeben wenn Go(s) = -1 wirdPräziser: Re{Go(s)} = -1 und Im{Go(s)} = 0
Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Stabilitätsgrenze
Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0
Diese graphische Darstellung stellt die Ortskurve von Go(j) dar.Aus der Lage der Ortskurve zum Punkt (–1, j0) kann die Systemstabilitätdes geschlossenen Regelkreises beurteilt werden.
Regel (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn der kritische Punkt (-1, j0) beimDurchlaufen der Ortskurve mit steigendem links liegt.
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Stabilitätsgrenze
Weitere Aussagen & Größen:• Amplitudenreserve AR
• Phasenreserve R
• Phasendurchtrittsfrequenz D
Interpretation der Größen:• Amplitudenreserve
Faktor um den man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreis vergrößern kann, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird.
• Phasenreservepositiv für stabile SystemeEntspricht der Phase mit dem ein Totzeit-glied die Phase bis zur Stabilitätsgrenze weiterdrehen kann.
0
1( 2)RA G j
0180 ( 1)R
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Interpretation
Für stabile Systeme gilt:0
1( 2)RA G j
AR > 1 und |Go(j)| < 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt links hiervon.Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises vergrößern, bis die Stabilitätsgrenzeerreicht wird.
Für instabilie Systeme gilt:AR < 1 und |Go(j)| > 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt rechts hiervon.Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises verkleinern (absenken) muß, um wiederdie Stabilitätsgrenze zu erreichen.
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vereinfachtes Nyquist-Kriterium im Bodediagramm
Zusammenhang Ortskurve und BodediagrammDer Punkt (–1, j0) bedeutet betragsmäßig 1 und Phase von –180°
Betrag 1 bedeutet A = 0 dB
Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Fälle Stabilitätsgrenze / Instabil und Stabil
Wendt S. 233 Bild 7.3-1
Wendt S. 233 Bild 7.3-2
Wendt S.234 Bild 7.3-3