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Quantenchromodynamik: Grundlagen
• SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
• Quark-Antiquark Zustände MESONEN
• 3-Quark Zustände BARYONEN
• Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz
• Gluonfeld
• Lagrangian der QCD
• Renormierung
• Asymtotische Freiheit und Confinement
• Fragmentation und Hadronisierung
• Faktorisierung
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QuantenChromoDynamik: kurze GeschichteEichtheorie, beschreibt die WW farbiger Quarks und Gluonen
Erster theoretischer Ansatz zur Beschreibung der starken WW:
1935 Yukawa (Nobelpreis 1949):
NN-Wechselwirkung, e.g. n+p→n+p
Austausch eines Klein-Gordon Teilchens (Spin=0, K-G. Gleichung (∂µ∂µ+m2)Φ=0 )
Für ein statisches Feld führt dies auf ein Yukawa Potential:
m - Masse des Austauschteilchens
R - Reichweite der WW R=1/m
Grenzfall m→0 : Coulombpotential mit unendlicher Reichweite
Gemessene Reichweite der starken WW (Protonradius ~ 1 fm):
Vorhersage: Existenz der Austauschteilchens „Meson“, m≈200 MeV
Entdeckung: 1947 π
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QuantenChromoDynamik: kurze Geschichte
1963: Gell-Mann, Zweig: Quarks u, d, s (Spin ½ , Ladung ±⅓)
Bausteine der (damals bekannten) Hadronen
Vorhersage und Entdeckung neuer Teilchen : z.B. Ω-Baryon (sss - Zustand)
1964: Greenberg: neue Quantenzahl „Farbe“
1969: Erste e-N Kollisionsexperimente, Auflösung der Nukleonstruktur
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QuantenChromoDynamik: Grundlagen
• SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
• Quark-Antiquark Zustände MESONEN
• 3-Quark Zustände BARYONEN
• Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz
• Gluonfeld
• Lagrangian der QCD
• Renormierung
• Asymtotische Freiheit und Confinement
• Fragmentation und Hadronisierung
• Faktorisierung
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QuantenChromoDynamik: Grundlagen
• SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
• Quark-Antiquark Zustände MESONEN
• 3-Quark Zustände BARYONEN
• Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz
• Gluonfeld
• Lagrangian der QCD
• Renormierung
• Asymtotische Freiheit und Confinement
• Fragmentation und Hadronisierung
• Faktorisierung
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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellBetrachte Flavour-SU(3) (Drei-Quark Modell)
Ladung: u (+2/3) d(-1/3) s(-1/3)
Isospin-Invarianz der starken WW in Kern- und Teilchenphysik:
Starke WW unterscheidet nicht zwischen u und d: Isospindublett!
“up” I3 (u)=+1/2 “down” I3 (d)=-1/2
s-Quark: I3=0, Stranegeness S=-1,
Baryonzahl B=1/3 (Quarks), B=-1/3 (Antiquarks)
Hyperladung Y=B+S
Quark –Zustandsvektoren:
ohne Zeit-,Orts-, Spin- Komponente
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SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
Isospin-Invarianz der starken WW:
u- d- Quarks vertauschbar bzw. ihre Wellenfunktion vermischbar: SU(2)
Annahme: starke WW invariant gegenüber u↔s, d↔s
Unitäre Transformationen bilden SU(3) Gruppe: speziell, unitär, in 3-D:
unitär: UU+ =U+U=1 ; speziell: det U=1
Größe Masse des s-Quark: SU(3) exakt erfüllt für E>>ms
SU(2) Transformationen: τ - Pauli Matrizen
SU(3) Transformationen: λj-Gell-Mann Matrizen
Koeffizienten αj –reel
Unitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0
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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellUnitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0!
8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0
Konstruiere die den Isospin-Operatoren entsprechende Matrizen
I3=1/2 λ3, I3u=1/2 u, I3d=-1/2 d, I3s=0
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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellUnitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0!
8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0
λ1 - λ7 ermöglichen die Shiebeoperatoren für u→s, s→d zu konstruieren
λ8 hängt mit Strangeness-Operator zusammen: S = λ8/√3 - I/3
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SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
Vertauschungsregeln:
Strukturkonstanten: total antisymmetrisch
f123 = 1; f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 = ½ ; f458 =f678=√3/2
Baryonzahl-Operator: B=1/3 I (I-Einheitsmatrix)
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SU(3) Symmetrie und Quarkmodell
Anti-Quark –Zustandsvektoren:
additiven Quantenzahlen: Q, S, B = -Q, -S, -B ;
Q=I3+(B+S)/2 → I3 = -I3 ;
Strangeness-Operator: S=-S,
λ−Matrizen: λj=-λ∗j j=1,..8
Baryonenzahl-Operator B= -B
Beispiel: I+u=-d
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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellTriplets der 3 Quarks und Antiquarks
⅓
-⅔
-½ ½I3
Y
d u
s
-⅓
⅔
-½ ½I3
Y
u d
s
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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellQuark–Antiquark Zustände: Mesonen
Produkt 3-dim. Vektorräume {3}⊗{3}
Mögliche Basis: 9 Kombinationen ud, us…
I3 - Operator im Produktraum (Y,B,S,Q –Operatoren analog):
wirkt auf Quarks wirkt auf anti-Quarks
qq -Quantenzahlen : Summe der Quantenzahlen der q und q
B=0; Y=B+S; Q=I3+Y/2 ;
qq -Zustand gegeben durch Y und I3
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Mesonen
I3
Y
Parallelen Quark-Antiquark Spins: Vektormesonen JP=1-
Antiparallelen Quark-Antiquark Spins: pseudoskalare Mesonen JP=0- :
Zustände uu,dd,ss bilden Linearkombinationen
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Produkt-Vektorraum : 2 Teilraume, die durch SU(3) Transformationen nur in sich abgebildet werden: {3}⊗{3} ={8}⊕{1}
Innerhalb des Oktetts kan man aus einem Zustand ausgehend einen anderen Zustand erhalten durch Anwendung der Schiebeoperatoren:
Beispiel:
Kombination
bei beliebigen SU(3) –Transformation geht in sich selbst über: Singulett
Mesonen
Vektormeson-Oktett: ρ±, ρ0, K*+,K*0,K*-,
Oktett-Singulett Mischungen: ω und φ (fast rein ss),
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Baryonen
9 2-Quarkzustände qiqj: 6 symmetrische und 3 antisymmetrische Kombinationen:
3-Quarks: Dekuplett+ 2 Oktetts+1 Singulett
Dekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel
Beispiel: Δ++ = uuu, Δ+=1/√3 (uud+udu+duu)
Oktetts: symmetrisch bzg. Vertauschung 2 Quarks inkl. Spins.
Keine definierte Symmetrie wenn Flavour oder Spins getrennt betrachtet werden:
p = 1/√18 (2 u↑d↓u↑+2u↑u↑d↓+2d↓u↑u↑-
u↑u↓d↑ -u↓d↑u↑ -u↑d↑u↓-d↑u↓u↑ -d↑u↑u↓-u↓u↑d↑)
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BaryonenDekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel
Beispiel: Δ++ = uuu, Δ−=ddd, Ω−=sss
Ω− (s=3/2), kein leichteres Hadron mit gleichen Quark- und Spin- Struktur:
Ω−= s↑s↑s↑
Problem: Teilchen in Grundzustand, besteht aus identischen Fermionen
Relative Bahndrehimpuls = 0
Ortswellenfunktion – symmetrisch
Gesammtwellenfunktion Ψ = Ψort· Ψspin· ΨFlavour symmetrisch!
3 identische Quarks befinden sich in im gleichen Quantenzustand
Pauli-Prinzip: Fermi-Dirak Statistik fordert totale Antisymmetrie der Wellenfunktion
Widerspruch zum Pauli-Prinzip!
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Farbe: theoretische Notwendigkeit
Lösung: zusätzlicher Freiheitsgrad für jeden Quark
Neue Quantenzahl „Farbe (color)“, Nc=3, Farbindizes a=1,2,3 (rot, grun, blau)
Farbwellenfunktion:
total antisymmetrisches Tensor
Drei Quarks im Ω-Baryon sind nicht mehr identisch!
Die Wellenfunktion
antisymmetrisch
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Farbe: theoretische Notwendigkeit
Quarks: verschiedene Flavours und verschiedene Farben
Die Gruppe der Farb-Transformationen : SU(3)C
Beobachtbare Zustände: Farb-Singuletts
Quarks qa werden transformiert in 3x3 Unitärmatrix-Darstellung
Antiquarks qa in einer komplex-konjugierten Darstellung
Farb- Grundzustände (Farb-Singuletts) sind
Mesonen qaqa
Baryonen εabc qa qb qc, a,b,…- Farbindex
Color
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Farbe: theoretische Notwendigkeit
Beispiel: Δ++ (uuu):
summiere ueber i,j,k
Mesonen, Baryonen sind Farbneutral, d.h. Farbe ist NICHT beobachtbar
Mesonen: Quark-Antiquark Zustände
Farbe der Antiquarks: z.B. rot - antirot
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Farbe: theoretische Notwendigkeit
Farben – Ladungen der starken Wechselwirkung.
Anders als in QED, gibt es 3 verschiedene Farbladungen, bzw. Antiladungen
u Quark
e-Ladung +(2/3)eFarbe: r, g, b
u Antiquark
e-Ladung -(2/3)eFarbe: r, g, b
Starke Kraft wirkt auf Farbladung
Unterscheidet nicht zwischen Quark-Sorten: Flavour-blind
Elektromagnetische, schwache Wechselwirkung sind Farb-blind
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Farbe: experimentelle Evidenz
Die Daten erfordern einen Faktor Nc=3 vor der Summe:
Jede Quarksorte muss dreifach gezählt werden
Messung:
Rechnung:
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Farbe: experimentelle Evidenz
Zerfall des π0
Hierfür ist eine Quark-Antiquark Schleife zu berechnen.
Resultat:
Vorhersage:
Zerfallskonstante (aus π± Lebensdauer)
Messung: 7.86±0.54 eV
NB: die ursprungliche Rechnung der Rate erfolgte mit der Annahme, Proton und Neutron seien fundamentale Teilchen, es ergab:
π0
q
q
γ
γ
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Gluon Felder
Lagrangian der QCD
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Eichtheorie der QCD
Bei Vernachlässigung der Massenunterschiede zwischen den Quarks:Starke WW invariant gegenüber einer globalen Flavour-SU(3) Transformation(Vertauschung von Quarks)
Experimentelle Beobachtung: Erhaltung von Strangenes, Charm und Beauty
Lokale (Ortsabhängige) Flavour-SU(3) Transformationen nicht zulässig!(es wäre die Existenz der Felder erfordert, die Quarksorten ändern)
Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW,
basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen
Annahme der QCD: SU(3)C Transformationen können durchgeführt werden
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Gluon Felder
Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW,
basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen
Existenz von Feldern, die an die Farbladungen koppeln und Farbe ändern
Feldquanten (Eichbosonen) ⇒ Gluonen
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Gluon Felder
Betrachte eine Quarksorte q.
Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum:
Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt
Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor
Lösungen der Dirac-Gleichung mit positiver/negativer Energie;
1,2 - Helizitaetszustaende
Farb-Spinor:
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Gluon Felder
Betrachte eine Quarksorte q.
Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum:
Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt
Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor
Forderung: Dirac-Gleichung invariant gegenüber SU(3)C Transformation
Das Quark muss in den drei Farbzuständen exakt die gleiche Masse haben:
mr=mg=mb=m
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Gluon Felder
Lokale SU(3) Transformation wird dargestellt in der Form:
Kopplungskonstante der starken WW
Summierungskonvention:
SU(3) Gruppe hat 8=3·3-1 Generatoren
Lokale Transformation wirkt nur auf den Farbanteil der Wellenfunktion und ist durch 8 unabhängige Transformations-”Winkel” gekennzeichnet:
β1(x), β2(x),… β8(x)
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Gluon FelderInvarianz der Dirac Gleichung ist gegeben durch Einführung der 8 Vektorfelder und der kovarianten Ableitung:
Parallel zu SU(3) Transformation der Dirac Spinoren muss eine Eichtransformation der Felder durchgeführt werden.
z.B. für eine Infinitesimale Transformation (βj - klein):
Ohne Beweis: Dirac Gleichung invariant unter SU(3)C + Eichtransformation
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Lagrangedichte der QCD
8 Felder Gjµ hängen eng mit den Feldern der 8 Gluonen zusammen.
Feldtensor:
Lagrangedichte der QCD :
Für eine Quarksorte!
Für 6 Quarks wird der erste Term über 6 summiert
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Eichgruppen der QED, EW und QCD
In der Eichtransformation SU(3)c tritt ein Term auf, was in der QED nicht gibt
U(1) kommutativ
Zusatzterme:
- Konsequenz der nicht-Vertauschbarkeit der SU(2) oder SU(3) Transformationen
- Sind proportional zur Kopplung g bzw. gS
Teilchen, die an W-Bosonen oder Gluonen koppeln,koppeln mit exakt der gleichen Kopplungsstärke g bzw. gS
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Eichgruppen der QED, EW und QCDTransformationen:
SU(2)L: gleiches g für
SU(3)C: gleiches gS für alle Quarksorten: u,d,s,c,b,t
und alle Farben R,G,B
Elektromagnetismus: verschiedene Kopplungen: z. B:
q=-e (Elektron), q=2/3 e (Quark), q=+79 (Au-Kern)
Symmetriegruppe der Phasentransformationen ist eine Abelsche U(1) Gruppe:
Die Kopplung der Teilchen an die Eichbosonen ist nicht festgelegt
Nicht-abelsche Eichtheorien:
Eichfelder koppeln an alle Teilchen mit gleichen Kopplungskonstanten
(falls sie koppeln)
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Eichgruppen der QED, EW und QCD
Lagrangedichte der QCD :
QED: Strukturkonstanten fjkl = 0 (da U(1))
Terme ~ G3, G4 im kinetischen Term der Lagrangians: 3-, 4-Gluonkopplung:
Gluonen können an sich selbst koppeln, Photonen nicht!
8 Gluonen (Farb-Oktett) treten in folgenden Farbkombinationen auf:
Einige Kombinationen lassen die Farbe unverändert, bilden aber kein Singulett!
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Es kann noch eins geben:
Farb-Singulett, wie Photon
Welche Auswirkungen hätte so ein Gluon auf die Kräfte und Materie?
Noch etwas zu Gluon-Feldern…
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1: 9-te Gluon = „Photon“
Vereinheitlichung der Starken und EM Kraft!
Problem: Starke der EM Kopplung (Photon) ~Ladung
g koppelt an alle Baryonen mit gleicher Stärke.
Masse ~ Baryonenzahl in der Nuklearen Materie
Solche Kraft würde einen Beitrag zu Gravitation machen
2: 9-te Gluon – Austauschteilchen Farb-Singulett,
Problem: soll beobachtbar sein
Grösseres Problem: es kann zwischen 2 Farb-Singuletts
ausgetauscht werden
Was wuerde das bewirken?
Noch etwas zu Gluon-Feldern…
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2: 9-te Gluon – Austauschteilchen Farb-Singulett, kann zwischen 2 Farb-Singuletts ausgetauscht werden
mg=0, Gluonen tragen eine Kraft unendlicher Reichweite (wie γ in QED)
Ein Farb-Singulett (p) kann nur ein Singulett abstrahlen / absorbieren
Kein einzel-Gluon- Austausch zwischen p und n!
Singulett-Gluon: kann zwischen Singuletts ausgetauscht werden:
Unendliche Reichweite der Starken WW !
Noch etwas zu Gluon-Feldern…
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Asymtotische Freiheit: Kopplungsstärke
Feldstärketensor Fjµν : Term gsfjklGk
µGlν
Kinematischer Term in Lagrangedichte ~G3 , G4 : 3, 4-Gluonkopplung!
QED [U(1)]: fjkl=0 , Stärke der EM WW: αs=e2/4π, α<< 1:
Störungsrechnung möglich
QCD [SU(3)]: Starke Kopplung αs=gs2/4π, αs<< 1 nicht gewährleistet,
Störungsrechnung nicht immer möglich
Beobachtung: starke Kopplung abhängig von Impulsübetrag :
αs=αs(Q2), αs→0 (Q2→ ∞)
„Asymptotische Freiheit“ : Eigenschaft der nicht-abelschen Theorien
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QED: schwache Abhängigkeit α=α(Q2), wachsend α(Q2→∞)
Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl:
Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment,
- Ausrichtung der “Minus”-Polen zur q+
- Polarisation des Mediums:
- Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung):
Vakuumpolarisation in QED und QCD
Zweite Ladung q‘ :
Coulomb-Kraft zwischen q und q‘
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QED: schwache Abhängigkeit α=α(Q2), wachsend α(Q2→∞)
Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl:
Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment,
- Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung):
Vakuumpolarisation in QED und QCD
Zweite Ladung q‘ :
Coulomb-Kraft zwischen q und q‘
Öl “unsichtbar” :
q, q’ – effektive Ladungen
qeff<q , ε >1
Gedankenexperiment: q,q‘ – Atomkerne, möglich zusammenzubringen
(r << Dipolgröße) : keine Abschiemung, qeff(r) →q, q’eff(r)→q’, r→0
Dielektrisches Medium: Ladung wächst, wenn Abstände <<Moleküldimension
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QED: schwache Abhängigkeit α=α(Q2), wachsend α(Q2→∞)
Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl:
Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment,
- Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung):
Vakuumpolarisation in QED und QCD
Zweite Ladung q‘ :
Coulomb-Kraft zwischen q und q‘
Öl “unsichtbar” :
q, q’ – effektive Ladungen
qeff<q , ε >1
QED: Vakuumfluktuationen :
e+e− Paare schirmen die Testladung ab
(wie Dipole des Mediums) γ∗ γ∗e+
e−
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QCD: Abhängigkeit gs=gs(Q2) durch 2 gegenläufige Effekte
• Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung
• Gluonemission: „Ausshmierung“ der Ladung
Vakuumpolarisation in QED und QCD
R
RR
RRR
R
R
RR
R
R R
RR
R-Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert
R
Sonde
R Eine „rot“-empfindliche Sonde nähert sich einem R-Quark
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QCD: Abhängigkeit gs=gs(Q2) durch 2 gegenläufige Effekte
• Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung der Ladung
• Gluonemission: „Ausshmierung“ der Ladung
Vakuumpolarisation in QED und QCD
R
RR
RRR
R
R
RR
R
R R
RR
R-Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert
R
Sonde
G
RG
Emission eines GR – Gluon:
Farbübergang R → G
R-Sonde registriert keine R – Ladung
bei r < Reichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner!
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QCD: Abhängigkeit gs=gs(Q2) durch 2 gegenläufige Effekte
• Erzeugung virtueller qq Paare: Abschirmung
effektive Farbladung (r-groß) < Farbladung ( r –sehr klein)
• Gluonemission: „Ausshmierung“ der Ladung
bei r < Reichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner!
effektive Farbladung (r-groß) > Farbladung ( r –sehr klein)
Für NFlavour< 16 Ausschmierungseffekt überwiegt:
Asymptotische Freiheit: αs(Q2) → 0, Q2→∞
NB: QED (Abelsche Theorie): nicht asymptotisch frei,
die Feldquanten tragen keine Ladung, Ausschmierung tritt nicht ein
Vakuumpolarisation in QED und QCD
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Renormierung. „Laufende“ KopplungQED: Streuung in LO: NLO:
q q qq-k
k
Vakuumpolarisation (virtuelles e+e− Paar) Integration über k
Integral divergiert, wenn k2 > k2max= λ , λ − willkürlich!
Renormierungstheorie:
Bedeutung der Cuts (Abschneiden) im Schleifenintegral:
• „nackte“ Ladung e ersetzt durch renormierte Ladung eR~ln (λ2/me2)
• Effektive Ladung : Kopplungskonstante:
Abhängigkeit sehr schwach: α (MZ) = 1.06 · α (me)
Messung: Ablenkung im Magnetfeld
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Renormierung. „Laufende“ Kopplung
QCD: q q – Streuung: Elementarladung →gs/√2
qq-Schleifen:
gg-Schleifen:
Űber alle Ordnungen Summiert:
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Renormierung. „Laufende“ Kopplung
Űber alle Ordnungen Summiert:
Definiere:
Anwendbar für Q2 >> Λ2
Bedeutung: für NF ≤ 16 Starke Kopplung wird kleiner mit wachsendem Q2
Skalenparameter Λ nicht berechenbar ! Messungen in eN, e+e−: Λ~0.3 GeV
Messungen am LEP: NFamilien=3 → NF = 6
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Confinementr ~1/√Q2 : kleine Abstände r << RProton bedeuten Grosse Q2- Werte
Folge: αs(Q2) <<1, 1-Gluonaustausch dominant
Annahme der QCD: Gluon Masse = 0, Quark-Quark Potential ~ 1/r (Coulomb)
ABER …. noch mal Vergleich mit QED
Coulombkraft 1/r2Gluon-Selbstkopplung
Feldlinien verlaufen vom q zum q :
„String“ (~1 fm)
Kraft unabhängig vom Abstand!
Potential: V(r) = - 4παs/3r + σ ·r
„String tension“σ ≈ 0.9 GeV/fm
e+e− →qq : wenn r (q q) > 1 fm:
Erzeugung eines neuen qq - energetisch günstiger, Trennung des “String”
„Confinement“ : Hadronisierung und Fragmentation
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Zusammenfassung: Grundlagen der QCDQCD: Eichtheorie mit einer Selbstkopplung der Eichbosonen
• Ladung: Farbe, Die Gruppe der Farb-Transformationen SU(3)F
• In 3 Farbzuständen hat ein Quark die gleiche Masse
• Farbe ist nicht beobachtbar, beobachtbare Zustände sind Farb-Singuletts
• Starke Kraft wirkt auf Farbladung, ist “Flavour-Blind”
• Konsequenzen der NICHT-Vertauschbarkeit
der SU(3) - Transformation (nichtabelsche Gruppe):
Farbträger koppeln mit gleicher Kopplungsstärke gs
Feldstärketensor in QCD: 3-Gluon, 4-Gluon Kopplung
“weisses Gluon“ existiert nicht (endliche Reichweite starker WW !)
Feynman-Graphen: Farbladung an jedem Vertex erhalten
Asymptotische Freiheit und Confinement
Grosser negativer Beitrag der Anti-Abschirmung