quasiteilchen: cooper-paare und majorana-fermionen · 3 majorana-fermionen in...
TRANSCRIPT
Quasiteilchen: Cooper-Paare und Majorana-Fermionen
Sommersemester 2015 Dr. T.J.K. Brenner
Programm heute/nächste Woche
1 Einleitung
1.1 Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen 1.2 Elektron-Löcher: Quasiteilchen in Halbleitern 1.3 Cooper-Elektronenpaare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern 1.4 Majorana-Fermionen: Halb-Elektron/Halb-Loch – Quasiteilchen 2 Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern
2.1 Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW 2.2 Quasiteilchen: Bosonisches Elektronenpaar an der Fermi-Oberfläche 2.3 QM: Energielücke 2.4 Supraleitung durch CP 2.5 Experimenteller Nachweis von CP 2.6 CP in Quantenbits 3 Majorana-Fermionen in Halbleiter/Supraleiter-Hybridstrukturen 3.1 Elektron-Loch-Superposition 3.2 Ettore Majorana – (Anti)Teilchen 3.3 Suche im Supraleiter 3.4 Experimenteller Nachweis von MFs 3.5 MFs für Quantenbits?
Programm heute/nächste Woche
Übung am Fr., 12.06.2015, 12:15-13:45 (2.080) • 4 (kürzere) Aufgaben zu Cooper-Paaren und Majorana-Fermionen • Aufgaben werden in der Übungsstunde gemeinsam gelöst und besprochen • Bitte Taschenrechner und Festkörperphysikbuch (z.B. Kittel, Ibach, Ashcroft/Mermin, etc.) mitbringen • Übung wird vorher per email verteilt
Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen
• Quasielektron im Festkörper (Coulomb-WW der Leitungselektronen): Freies Quasiteilchen (Fermion)
• Nahezu freies Leitungselektron im Festkörper (WW mit dem Kristallgitter): Freies Quasiteilchen (Fermion)
• Gebundenes Valenzelektron in (freien) Atomen oder Molekülen und im Festkörper: Gebundenes Teilchen (Fermion)
Masse: me = 9,109 382 91(40)* 10-31 kg
Elektrische Ladung: e = 1,602 176 565 (35) * 10-19C
Masse: me Elektrische Ladung: e
Effektive Masse: meff=meff(k), z.B. 0,066me (GaAs), 0,015me (InSb)
Quasimasse: m*, z.B. 1,25 meff in Alkali-Metallen, 0,015me (InSb)
• Freies Elektron im Vakuum oder in Gasen, Leitungselektronen in Metallen
(Elektronengas): Freies Teilchen (Fermion)
Elektrische Ladung: e
Elektrische Ladung: e
Elektron-Löcher in Halbleitern: Freies Quasiteilchen
„Gestörtes“ Gitter:
Anregung: Valenzelektron wird
Leitungselektron
Interpretation: „Loch“, „Defektelektron“
Positive Elektrische Ladung: e
„Loch“: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zum Atomkern • ohne WW zu anderen Elektron-Löchern
Elektron-Loch: Quasiteilchen mit Energie E, Impuls -ℏk und Spin s = -½ ℏ (Fermion):
Negative Effektive Masse: m*(k)
Cooper-Paare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern
Cooper-Paar: Freies Quasiteilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon-WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
Elektrische Ladung: 2e = 3,204 * 10-19C
Cooper-Paar: Elektronenpaar Quasiteilchen mit Energie E, Impuls ℏk=0 und Spin s=0 (,1) (Boson)
Elektrischer Widerstand verschwindet Konventionelle Supraleitung bei extrem tiefen Temperaturen, z.B. in Quecksilber bei 4.2 K - H.K. Onnes (1911)
Masse: M≈2me (M < 2me)
Die beiden Elektronen haben • entgegengesetzten Spin s= ±½ • entgegengesetzten Impuls ±kF
Äußeres elektrisches oder magnetisches Feld setzt das Cooper-Paar in widerstandsfreie Bewegung: Elektrischer „Super-Strom“!
1. Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW 2. Quasiteilchen: Bosonisches Elektronen-Paar an der Fermi-Oberfläche 3. QM: Energielücke 4. Supraleitung durch Cooper-Paare 5. Experimenteller Nachweis von Cooper-Paaren 6. CPs in Quantenbits
Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern
Elektron Gitter/Phonon WW
Coulomb-WW Gitter Elektronen: Nahezu freie Leitungselektronen ( Impuls ℏk≠0, Effektive Masse meff(k) )
Coulomb-WW Leitungselektron Gitterion Kraftstoß: F · Δt ̴ 1/v Phononen Phonon-Energie ℏωDebye : ̴ 10 meV
Langsame Leitungselektronen Sehr niedrige Temperaturen Erheblicher Kraftstoss
Elektronenpaar-Bildung: Elektron-Phonon WW
Gitterschwingung/Phonon Elektron: Zweites Elektron wird von den Ionen auf die „alte“ Position des ersten Elektrons gezogen
Elektron Gitterschwingung/Phonon: • Erstes Elektron zieht positive Ionen an • Ionen bewegen sich (rot blau) Gitterschwingung • Erstes Elektron verschwindet (wegen k≠0)
Phononen vermitteln eine retardierte anziehende Elektron-Elektron WW Stärker als Coulomb-Abstossung
Cooper-Paar: Elektronenpaar nahe an der Fermi-Oberfläche
Sehr niedrige Temperaturen (T ≈ 0 K):
• T=0 K: Pauli-Prinzip für Leitungselektronen: Elektronenzustände füllen die Fermi-Kugel Elektronen-Energie an der Fermi-Oberfläche: EF=ℏ
2kF2/2meff ( ̴ eV)
• Elektron-Phonon WW: ℏωD << EF Δk << kF Impulsänderungen der beiden Elektronen innerhalb der Kugelschale kF ≤ k ≤ kF + Δk
• Phonon-Energie E = ℏωD ( ̴10 meV) << EF ( ̴eV)
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit Impuls K=0
• Großes Rotationsvolumen viele Möglichkeiten
für Elektron-Phonon WW-Prozesse Elektron-Elektron-Anziehung Elektronenpaar-Bildung
• Einzelne Elektron-Phonon WW: Die Impulse k1 und –k2 enden im blauen Rotationsvolumen (Drehachse K)
Rotationsvolumen ist maximal bei konzentrischen Kugeln Gesamtimpuls K = 0 k1 + k2 = 0 k2 = -k1
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon WW ist optimal bei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls
Darstellung der beiden Elektronenimpulse: In getrennten Fermi-Kugeln: Der Gesamtimpuls K=k1+k2 erscheint:
Cooper-Paar: Wellenbild
Wellenbild: • Elektron 1: Welle mit Wellenvektor k • Elektron 2: Welle mit Wellenvektor –k Cooper-Paar: Stehende Welle
Gesamtimpuls K=k1+k2 = 0 k1 =: k und k2 = -k
Cooper-Paar: Regeneration
Auseinanderdriftende Elektronen Begrenzte Lebensdauer des Cooper-Paares ( Übung)
Cooper-Paare „regenerieren“: Laufend zerfallen und entstehen Cooper-Paare
Paarbildung: Elektron-Phonon-Stoss und “Austausch virtueller Phononen“
• Elektron 1 „schickt“ ein fiktives Phonon zu Elektron 2 Elektron 2 wird abgelenkt • Elektron 2 „schickt“ dasselbe Phonon zurück zu Elektron 1 Elektron 1 wird abgelenkt
Die beiden Elektronen haben vor der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls:
Die beiden Elektronen haben nach der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit ganzzahligem Spin
Die beiden halbzahligen Elektronenspins im Cooper-Paar sind • antiparallel:
oder • parallel:
Gesamtspin: S=0 Singulett-Cooper-Paar
Gesamtspin: S=1 Triplett-Cooper-Paar (selten!)
Cooper-Paar: Boson
Cooper-Paar: Bosonisches Quasiteilchen
Die abstossende Coulomb-WW wird durch die anziehende Elektron-Phonon WW überkompensiert
Bosonisches Quasiteilchen
Cooper-Paar: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
Leon Neil Cooper Sheldon Cooper
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung I
QM (2.Quantisierung): Besetzungszahldarstellung von Vielteilchensystemen:
• Es gibt einen Zustand ohne jedes Teilchen, das absolute Vakuum: |vac > • Es gibt für jede Teilchenart einen Erzeugungsoperator ap†, der das Teilchen
aus dem Nichts erzeugt und in den Zustand p versetzt: |p>= ap† |vac>
• Zweiteilchen-Zustände:
• gleiche Teilchen: |q>|p> = aq†ap
†|vac> • verschiedene Teilchen: |q>|p> = bq
† ap† |vac>
• Vernichtungsoperatoren ap= (ap†)† [ap† und ap sind zueinander adjungiert]
apap†|vac> =|vac> und aqap†|p> =|q> (Zustandsänderung)
• Teilchenzahloperator: ap
†ap
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung II
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen: Erzeugung mit Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren von Elektronen: c†
k,s bzw. ck,s
• Grundzustand des Leiters: Komplett gefülltes Valenzband, teilweise gefülltes Leitungsband: |Ф0> =
• Elementar angeregter Zustand durch Erzeugung eines Cooper-Paares: c†
L,k,s c†
L,-k,-s |Ф0> = |Фexc>
vaccc s','k
†
s','kV,s','k
†
s','kL,
Erzeugungsoperator eines Cooper-Paares: g† = c†k,sc
†-k.-s
Vernichtungsoperator: g = (g†)† = (c†k,sc
†-k.-s)
† = c-k,sck,s
Cooper-Paare als Bosonen im Supraleiter
• Grundzustand des Supraleiters (ohne Valenzelektronen): Teilweise mit Cooper-Paaren gefülltes Leitungsband: Bardeen/Cooper/Shrieffer (BCS-Theorie): |Ф0> = (|uk|
2+|vk|2=1)
• Elementar angeregter Zustand durch Hinzufügen eines einzelnen Elektrons im Leitungsband: c†
k,s |Ф0> = |Фexc>
vac)ccv (u k
†
,-sk-
†
s,kkk
Cooper-Paare als Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip: Cooper-Paare können alle zusammen einen quantenmechanischen Zustand einnehmen
Im BCS-Grundzustand sind die Cooper-Paare vollkommen delokalisiert und miteinander korreliert: • N ist die konstante Dichte aller Cooper-Paare • φ (x) ist die ortsabhängige Phase der Cooper-Paare
))(exp(0 xiN
Der gesamte Supraleiter wird durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben
Cooper-Paar: Energielücke Δ
QM: Schrödingergleichung für ein Cooper-Paar
),(),()),()(2
( 212121021
2
rrrrrrVm
• Ψ ist die Zweiteilchen-Wellenfunktion • V0 ist das attraktive Potential der Elektron-Phonon WW
Energie: ε= 2EF – Δ
mit Δ>0 und Δ ̴ ℏωD
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ
• SG: ),()(),(),()),()(2
( 2110212121021
2
rrHHrrrrrrVm
• Ansatz: Ebene Wellen ),,,())(exp()exp()exp(),( 21212211221121 rrkkrkrkirkirkirr
• Schwerpunkts- und Relativkoordinaten: 2/)();(;;2/)( 21212121 kkkkkKrrrrrR
• Zweiteilchen-Wellenfunktion mit E = ℏ2/2m(K2/4+k2) = K + Ek
)exp()exp(),,,,(),,,( 22121 rkiRKirRkkKrrkk
K=0 Wellenfunktion in Relativ-Koordinaten: mit Ek = ℏ2k2/2m
)exp(),( rkirk
kk
rkigrrr
)exp()(),( 21
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ
• Einsetzen in SG und einige Umformungen:
N(E‘)≈N(EF): Anzahl von Zweielektronenzuständen mit K=0 im Intervall dE‘ bei E‘ H1(E;E‘): Matrixelemente <k|H1| k‘ >= - V (innerhalb dE‘, mit V>0)
0)(),()()()(
)(2
2
1 DF
F
ENEEHEgEdEgE
• Mit 2F: 1)/1exp(
2
VNF
D
Supraleitung durch Cooper-Paare
Die Leitfähigkeit eines Normalleiters wird begrenzt durch Streuprozesse der Elektronen an Gitteratomen oder Störstellen des Gitters Ohmscher Widerstand
Supraleiter: Ladungsträger sind • Cooper-Paare (2e) • Elektronen (e)
Streuprozesse • können kurzfristig ein Cooper-Paar zerstören, das sich sofort „regeneriert“ Ohmscher Widerstand: 0 • der Elektronen erzeugen den Restwiderstand
Hg: Steiler Widerstandsabfall bei 4.2 K um etwa 4 Größenordnungen
Heike Kamerlingh Onnes (Leiden),1911:
Strom der Cooper-Paare:
Cooper-Paare: Experimenteller Nachweis
Cooper-Paare in supraleitenden Quantenpunkten:
Quantenpunkt enthält einzelne Elektronen
Quantenpunkt enthält Cooper-Paare
Messung von Coulomb-Oszillationen in einem supraleitenden Quantenpunkt bei verschiedenen Temperaturen:
Mit abnehmender Temperatur erfolgt ein Übergang der Oszillationsperiode von einer e- zu einer 2e-Abhängigkeit
Tunnelnde Cooper-Paare: Josephson-Effekt
))(exp( 111 xiN
))(exp( 222 xiN
)()()( 12 txx htTrennschichtTrennschic Phasendifferenz
an der dünnen Trennschicht:
Josephson (1962): Cooper-Paare tunneln durch die Trennschicht • Ständig wechselnder Suprastrom: IJ(t) = Ic sinΔφ(t) „Josephson-Strom“ • mit (magnetisches Flussquantum) Cooper-Paar-Ladung
Ut 0
2
e
h
20
Der Josephson-Strom ist ein Wechselstrom: IJ = Icsin ωJt mit ωJ = fJ /2π = 2eU/ℏ
Definition des Volt: fJ(1V)=483597,9GHz „Josephson-Konstante“ Die Frequenz des Josephson-Stroms ist materialunabhängig
Josephson-Kontakt:
Tunnelnde Cooper-Paare realisieren SQUIDs zur hochpräzisen Messung von Magnetfeldern
SQUID: QM: Der magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring ist quantisiert: Φ = n * Φ0
Φ0 = 2,07*10-15Vs = h/2e
Änderung des externen magnetischen Flusses Φ induzieren im supraleitenden Ring mit 2 Josephson-Kontakten einen ständig wechselnden Josephson-Strom bzw. eine Schwingung der entsprechenden Induktionsspannung. Aus der Periode der Induktionsspannung lassen sich kleinste Flussänderungen ablesen.
Anwendungen: • Medizin: Magnetoenzephalogie (MEG), Magnetokardiographie (MKG) • Geologie und Archäologie: Messung des Erdfeldes
Quantenbits und Quantencomputer versprechen effiziente Lösungen für Probleme wie
• Datenbank-Suche • Fourier-Transformation • Datenverschlüsselung
Warum Qubits?
2005- Gordon Moore: "It can't continue forever. The nature of
exponentials is that you push them out and eventually disaster happens. [...]
In terms of size [of transistors] you can see that we're approaching the size of atoms which is a fundamental barrier”
Cooper-Paare realisieren Quantenbits
• Supraleitender Ring erlaubt Cooper-Paar-Strom in 2 Richtungen Es entstehen genau 2 Drehimpulse der Cooper-Paare: ↑ und ↓ und damit ein klassisches TLS (two-level-system): 0 und 1
• Josephson-Tunnel-Kontakte erzeugen mit quantenmechanischen Superpositionen der
beiden Zustände ↓ und ↑ ein QM- TLS (two-level-system) von Energiezuständen:
•|0> und |1>
Ein QM-TLS kann auch in beiden Zuständen gleichzeitig existieren:
Superpositions-Zustände: z.B.: (|0>+|1>) , (|1> -|0>), (|1>+|1>, ... a*|0> + b*|1> |a|2+|b|2=1
Quasiteilchen Cooper-Paar?
• Elektronenpaar begrenzter Lebensdauer im Festkörper
bei extrem niedrigen Temperaturen: 0 K bis ~ 10 K
• entstehen durch WW der Leitungselektronen mit den Gitterschwingungen: Elektron-Phonon WW
• Ladung: 2e Masse: 2mel Impuls: 0 Spin: 0 (1) BOSON
• „regenerieren“ nach Zusammenstössen mit dem Gitter und Gitterfehlern und ermöglichen so Supraleitung
• tunneln durch Josephson-Kontakte und ermöglichen so SQUIDs und Qubits
Teilchenbild: Wellenbild: