reaktionsdiffusionsgleichung - uni ulm aktuellesΒ Β· π =π·πβ2πβββ π1π...
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Reaktionsdiffusionsgleichung
π’ = π π’ + β β π·βπ’
π’ = π π’ β β β π±
KontinuitΓ€tsgleichung
π± = βπ·βπ’
Fourierβsches Gesetz, Erstes Fickβsches Gesetz
βVon nichts kommt nichtsβ
u: Dichte einer GrΓΆΓe
f: Reaktionsterm (z. B. chemische Reaktion, Mitose, β¦)
falls π(π’) β‘ 0: u ist eine lokal erhaltene GrΓΆΓe
(Masse, Impuls, Energie, Ladung, β¦)
J: Stromdichte von u
Divergenz von J negativ β Senke β ZufluΓ aus Umgebung
Divergenz von J positiv β Quelle β AbfluΓ in Umgebung
βFluΓ(-dichte) ist proportional zum
WΓ€rme-/Konzentrationsgradienten.β
D: Diffusionstensor(-/koeffizient)
Reaktion Diffusion
Reaktionsdiffusionsgleichungen
π’ = π’β²β² + π’ 1 β π’
Fisher-Kolmogorov-Gleichung (1D)
Anwendung: Populationsdynamik
http://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Purwins/RD/struktur-e.gif
π’ = π π’, π£ + π·π’β2π’
π£ = π π’, π£ + π·π£β2π£
Aktivator-Inhibitor-Systeme
π = π π + β β π·βπ
RD-System
https://homepages.warwick.ac.uk/
staff/D.Barkley/Research/
spiral_spectra/node1.html
Mit β2π’ = Ξπ’ = π» β π»π’ = ππ2π’
ππ₯π2 (Laplace-Operator)
π’ = π’ 1 β π’2 β π£ + π + π·π’β2π’
Z. B. Gierer-Meinhardt-Modell
π π£ = π£ β π’ + π·π£β2π£
Bewegung von Bakterien, Zellen etc.
Stylonychia
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stylonychia_Side_view.jpg
ZufΓ€llig, βRandom Walkβ: Diffusion Zielgerichtet: Taxis-Term
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Random_walk_25000_not_animated.svg
Taxis
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Chtxphenomen1.png
AuΓerdem
- Galvanotaxis
- Aerotaxis
- Anemotaxis
- Barotaxis
- Durotaxis
- Gravitaxis
- Hydrotaxis
- Magnetotaxis
- Phototaxis
- Rheotaxis
- Thermotaxis
etc.
(Chemo-)Taxis-Modell
π±chemo = π(π’1, π’2)βπ’2
π±diff = βπ·βπ’1
π± = π±diff + π±chemo π’1 = π π’1, π’2 + β β π·βπ’1 β β β π π’1, π’2 βπ’2
Reaktion Diffusion Chemotaxis
In KontinuitΓ€tsgleichung:
π’2 = π π’1, π’2 + β β π·βπ’2
Reaktion Diffusion
Ziel: π’1 (Zellen, Bakterien) soll sich entlang des Gradienten von π’2 bewegen
mit
und
ChemosensitvitΓ€t
Keller-Segel-Modell (Keller & Segel 1970)
(Problem: Blow-Ups/SingularitΓ€ten:
Partikeldichte kann beliebig groΓ werden)
π±chemo = π π’1, π’2 βπ’2
π π’1, π’2 =π1π’1
π2 + π’22
Lapidus & Schiller 1976
Woodward et al. 1995
(empirisch, βphΓ€nomenologischβ)
π π’1, π’2 = π1π’1
π = π·πβ2π β β β
π1π
π2 + π 2βπ + π3π π4
π 2
π9 + π 2β π
Diffusion Chemotaxis Proliferation, Nekrose
π = π·πβ2π + π5π
π2
π6 + π2β π7ππ
Diffusion Produktion Verbrauch/Aufnahme
π = π·π β2π β π8π
π 2
π9 + π 2
Diffusion Verbrauch
Budrene & Berg 1995
Death rate prop. to n
Birth rate ~ Logistic growth
Nahrungsaufnahme ~ Proliferation
Zelldichte
Chemo-
attraktor
Stimulans
Mathematical Biology II, S. 260ff
Vereinfachtes Modell
π = π·πβ2π β π1β β
π
π6 + π 2βπ + π2π
π3π2
π4 + π2β π
Proliferation, NekroseDiffusion Chemotaxis
π = π·πβ2π β π5π
π2
π4 + π2
VerbrauchDiffusion
π: Bakterienkonzentration (relativ, π0 β 0, 1 mβ2)
π: NΓ€hrstoffkonzentration (relativ, π0 β 0, 1 mβ2)