Fresenius Z Anal Chem 316:227-230 Fresenius Zeitschrift fiir , ee

chemic (-~ Springer-Verlag 1983

Schnelle Anpassung von Lorentzlinien im hochaufliisenden NMR-Experiment*

W. Dietrich, B. Fr6hlich, U. Giinther und M. Wiecken

Lehrstuhl ffir Analytische Chemie, Ruhr-Universit~it Bochum, Postfach 102148, D-4630 Bochum 1, Bundesrepublik Deutschland

Fast Curve-Fitting of Lorentzian Line Shapes in High-Resolution NMR-Spectra

Summary. Signals in high-resolution NMR-spectra are main- ly mixtures of absorption- and dispersion-terms (phase errors) of Lorentzians, which are superimposed by a baseline and statistical noise. Quantitative treatment of NMR-signals demands exact knowledge of all the line parameters. Because direct calculation of these parameters is not possible, on many spectrometer computers iterative algorithms are implement- ed, which due to time efforts - are restricted to pure absorption signals. In this article a fast method for the fitting of Lorentzians - also in the presence of phase-errors - is presented. As an example of a possible application of this technique an automatic phase correction is shown.

Zusammenfassung. Die Signale in hochaufl6senden NMR- Spektren sind im wesentlichen Mischungen der Absorptions- und Disperionsteile (Phasenfehler) einer Lorentzkontur, die yon einem Basisniveau und yon statistischem Rauschen iiberlagert sind. Um quantitative Aussagen treffen zu k6n- hen, ist die genaue Kenntnis aller Konturparameter erforder- lich. Da die direkte Berechnung der Parameter nicht m6glich ist, werden im allgemeinen iterative Verfahren eingesetzt, die wegen des Rechenaufwandes an Spektrometerrechnern nur fiir reine Absorptionssignale implernentiert sind. In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem eine schnelle Lorentzkontur-Anpassung auch bei Signalen mit Phasenfeh- lern durchgeftihrt werden kann. Eine Anwendungsm6glich- keit dieses Verfahrens wird am Beispiel einer automatischen Phasenkorrektur demonstriert.

1. Einleitung

Bei der Registrierung von NMR-Spektren mit einem Impuls- Spektrometer wird die Information primfir als FID (Free- Induction-Decay) gespeichert. Aus diesem wird durch Fou- rier-Transformation das Frequenz-Spektrum erzeugt, das aus Absorptions- und Dispersionskomponenten der Signale zu- sammengesetzt ist. Durch eine rechnerische Phasenkorrektur lassen sich der Absorptions- und Dispersionsteil separieren. Die Signalkonturen in den Teilspektren werden durch die Gln. (1) und (2) beschrieben (siehe Abb. 1).

* Herrn Prof. Dr. G. Bergmann zum 60. Geburtstag gewidmet Offprint requests to : W. Dietrich

A . . . . . . . . A/2

2 B \ 2'B i~

" /# -A /2

U

A b s o r p t i o n D i spe rs ton

a{ ~, U

Abb. 1. Absorptions- und Dispersionsmodus eines Lorentz-fSrmigen NMR-Signals. %: Resonanzfrequenz, A: Maximalamplitude. B: halbe Halbwertsbreite

A B 2 Absorption: YA (v) = B2 + ( v - v 0 / 2 ' (1)

A B (v - vo) Dispersion: YD (V) = Bz + (V -- %)2 ' (2)

Im allgemeinen ist nur das Absorptionssignal yon Interes- se. Es hat die Maximalamplitude A bei der Frequenz ~0 und die Halbwertsbreite 2. B. Die F1/iche unter dem Absorptions- signal ist proportional zur Zahl der das Signal erzeugenden Kerne.

Voraussetzung fiir eine quantitative Interpretation you NMR-Spektren ist die Kenntnis der Einienparameter %, A und B. Zuverl/issige Werte hierftir k6nnen nm" erhalten werden, wenn nach einem mathematischen Verfahren die Parameter einer Lorentzfunktion so bestimmt werden, dab die Lage der Me6punkte optimal beschrieben wird. Das Gfitekriterium ftir die Anpassung ist die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen MeBpunkten und Funktions~\er- ten, die bei optimaler Parameteranpassung minimal ist (Me- thode der kleinsten Quadrate). Die direkte Berechnung der Parameter einer Lorentzfunktion ist nicht m6glich. Es mils- sen iterative L6sungsverfahren benutzt x~erden.

Zur Anpassung yon Linienparametern xxurden auf vielen Gebietender SpektroskopieArbeiten geleistet [1 - 4]. Umfang- reiche Untersuchungen von Linienforlnen und Vergleiche verschiedener iterativer Verfahren zur Parameterberechnung wurden von Seshadri und Jones [5] bzw. Pitha und Jones [4] durchgeftihrt, die auch eine Sammlung yon Computerpro- grammen hierzu ver6ffentlicht haben [6]. Diese Rechenver- fahren sind in der Lage, auch Oberlagerungen yon mehreren

228

Linien anzupassen. Ihr Nachteil sind jedoch der groBe Speicherbedarf und - bedingt durch die Iteration - die lange Rechenzeit, die den Einsatz in Spektrometerrechnern bisher nicht sinnvoll erscheinen lassen. AuBerdem ist es zweckmfiBig, neben den in G1. (1) beschriebenen drei Parame- tern A, B und v0 noch Information fiber den Linienunter- grund G und den Dispersionsanteil des Signals (beschrieben durch den Phasenwinkel 4)) zu erhalten. Ein schnelles Verfah- ren, das auch die Berechnung des Linienuntergrundes und des Phasenwinkels erm6glicht, ist im folgenden beschrieben.

2. Problemstellung

Die Einhfillende eines FID kann durch eine abfallende Exponential-Funktion beschrieben werden

Y ( t ) = I " exp ( - t i T * ) (3)

mit der Anfangsamplitnde I und der Zeitkonstanten T*. Die Fouriertransformierte des FID einer einzelnen Resonanzfre- quenz ergibt als Realteil ein Absorptionssignal und als Imaginfirteil ein Dispersionssignal einer Lorentzkontur:

17 exp ( - t i T * ) exp ( - i 2 ~ vt) d t , (4) Y ( v )

I- T* 2 7c I(T*) 2 v Y(v) = 1 + ( 2 r c T ~ v ) 2 -- i l + (2~vT~) 2" (5)

Durch Definition der Halbwertsbreite 2. B = 1 / ~ T * und Verallgemeinerung auf beliebige Resonanzfrequenzen lfiBt sich G1. (5) neu formulieren

A B 2 A B ( v - Vo) Y ( v ) = B2 "q- (V - - !)o) 2 - - i B2 + (v - - FO) 2 ( 6 )

m i t A . B ' u = I/2. Da nach der Fouriertransformation Absorptions- und

Dispersionsanteile miteinander vermischt sind und auBerdem ein Linienuntergrund G vorhanden ist, verfindert sich der Realteil yon G1. (6) zu

A B 2 cosCP + A B ( v - v0)sin~ t- G. (7) Y(V) = B 2 -}- (v - !20)2

cos �9 und sin �9 geben dabei an, wie groB der Absorptions- bzw. Dispersionsanteil des Signals ist.

3. Bereehnung der Konturparameter

W/ihrend G1. (7) nur iterativ 16sbar ist, erhfilt man, wie schon Dietrich u. Gerhards [7] ffir den Fall einer Lorentzfunktion mit 3 Parametern zeigten, nach Multiplikation mit ihrem Nenner eine Funktion, die eine geschlossene L6sung zulfiBt:

Y ( v ) " (B 2 + (v -- Vo) 2) ~- A B 2 c o s ~ + A B ( v - %)" sin

+ G" (B 2 + (v -- v0) )

Die Zusammenfassung der Koeffizienten ffihrt zu:

a Y (v) + b v Y ( v ) + v 2 y ( v ) = c + dv + ev 2

mit a = B 2 + v 2 ,

b = - 2 % ,

c = A B 2" cosq~ + A B v o sin~b + (B 2 + Vo 2) G,

d = - A B " s i n ~ -- 2Gv o,

e ~ G .

Betrachtet man verrauschte Mel3werte Yl an den MeBstel- len vl, so differieren im allgemeinen die rechte und linke Seite der G1. (9) um den Betrag A~. F fir eine optimale Anpassung wird gefordert, daB

_ _ 2 T S-'A{ = Z ( a Y i + byivi q- ~Yi c - - dv i q- e v l ) - - min.(i5)

Diese Bedingung ist erffillt, wenn die partiellen Ableitun- gen von G1. (15) nach den Parametern a bis e null sind. In diesem Fall lassen sich die Ableitungen zu dem linearen Gleichungssystem (16] zusammenfassen:

S y ,S viy 2

Xviy 2 Xv2y 2

Z y i SviYi

ZViy i Sv2yi

ff, V.21Yl Sv3yi

~'Vi'Fi ~' F2yi • v 3 y i / I - - z~v3y2

ZVi ZV2 ~V3 / \ z~ V3 Yi

"~ V? • V 3 ZVi 4 / \ SVi'SYi

(16)

Durch die Multiplikation mit dem Nenner in G1. (7) erhfilt man zwar das geschlossene 16sbare Gleichungssystem (16), jedoch werden die Fehler der Mel3werte an verschiedenen Stellen der Lorentzkurve unterschiedlich stark gewichtet. Wie aus G1. (8) ersichtlich, werden die MeBwerte Y ( v ) mit einer quadratischen Funktion multipliziert, so dab MeBfehler an den Signalflanken stfirker gewichtet werden als solche in Nfihe der Linienmitte.

Um dies zu kompensieren, wird mit den aus G1. (16) ermittelten Parameicrn eine Gewichtsfunktion

P(V) ~--- 1 / (0 2 -~- (!2 -- 1)0)2) 2 (17)

berechnet. Verbesserte Resultate werden erhalten, indem G1. (16) mit den entsprechend G1. (17) gewichteten Summanden erneut gel6st wird. Dieser Vorgang kann mehrfach wiederholt werden, bis sich die Parameter nicht mehr wesentlich verfin- dern. In der Praxis zeigt sich, daB nach 2 bis 4 Schritten ein stabiler Parametersatz erhalten wird.

Durch Rficksubstitution der Gln. (10) bis (14) lassen sich die gewfinschten Parameter der Lorentzlinie berechnen:

(18)

(19)

(20)

Vo = - b/2

e =

G z e .

Mit

c~ = c - ae + dv o + 2 ev~ = A B 2 c o s 4 )

und

fi = - B ( d + 2 Gvo) = A B 2 sin (p

ergibt sich

(8) A = V ~ 2 -~- f12/B2 (23)

und

cos �9 = c~/AB2; sin 4~ = f i / A B 2.

(21)

(22)

(9) (24)

In G1. (23) wird nur die positive L6sung betrachtet. (10) Positive oder negative Signalamplituden lassen sich durch den

Phasenwinkel 4~ unterscheiden. Abbildung 2 zeigt ein Beispiel (1 I) der Anpassung ffir den Realteil eines nicht entkoppelten 13C- (12) Spektrums von Methylenchlorid. Wie man im Differenzspek-

trum erkennt, treten keine systematischen Abweichungen auf. (13) Bedingt durch den Ubergang yon G1. (7) zu G1. (8) treten (14) bei der Parameterberechnung systematische Fehler zweiter

i A o

229

1

i ~ . . - ) a - . . . . . . .

Abb. 3. Phasenfehler von Lorentzsignalen als Funktion des Abstandes v~ von der Trfigerfrequenz

wobei crder Quotient aus der Reststreuung im angepaBten Intervall und A ist.

L

c

Abb. 2. Lorentz-Konturanpassung der 13C-Signale des unentkoppelten Methylenchlorid. a: gemessenes Spektrum, Realteil, 1 K Datenpunkte; b: angepaBte Linien des Spektrums; c: Differenz der Spektren a und b

Ordnung auf, die durch die Gewichtsfunktion G1. (17) nicht erfaBt werden.

Wfihrend bei gutem S/R-Verhiiltnis diese Fehler vernach- 15.ssigbar sind, ist bei stS.rker verrauschten Signalen die Anwendung von Korrekturfunktionen fiir Breite und Ampli- tude erforderlich. Hierzu haben sich die folgenden empiri- schen Funktionen als geeignet erwiesen:

Bko r = Bcal/B o (a) exp ((--Bc,1/1.51) + (1 -- B o (a)) (25)

mit

B o(cr) = 0,543- 10 -3 + 0,211- 10 -2 cr + 0,16. 10 2cr2 (26)

und

Ako r = Ac,~/l + 0,719 �9 10 -3 (1 -- exp (-- Bo,1/1,474)) cr 2 (27)

4. Anwendung des Verfahrens zur automatischen Phasenkorrektur

In der Impuls-FT-Kernresonanzspektroskopie liegen nach der Fourier-Transformation zwei Spektren mit identischem Informationsgehalt vor (Real- und Imaginfirteil). Beide Spektren sind im allgemeinen Mischungen aus Absorptions- (u) und Dispersionskomponenten (v), die gegeneinander um 4~ = 90 ~ phasenverschoben sind.

Zur Interpretation yon NMR-Spektren werden meist reine Absorptionsspektren verwendet, die durch Korrektur des Phasenfehlers aus der Fourier-Transformierten des F ID erhalten werden. GrundsS.tzlich sind diese korrigierbaren Phasenfehler in zwei Klassen einzuteilen:

a) in frequenzunabh/ingige Fehler, die durch Dejustierung des Rf-Detektors verursacht werden, d.h. gleiche Phasen- fehler ffir jeden Datenpunkt unabhfingig yon der Frequenz (Fehler nullter Ordnung).

b) in frequenzabhS.ngige Phasenfehler, deren Entstehung auf mehreren Faktoren beruht (Fehler erster Ordnung). Der weitaus gr6Bte Phasenfehler wird durch die Einffigung einer Delayzeit zwischen Imputsende und Datenerfassungsbeginn verursacht. Diese MaBnahme erweist sich als notwendig, um das Obersprechen des leistungsstarken Rf-Impulses auf den Empffinger zu verhindern. Der resultierende Fehler ist linear abhfingig v o n d e r Frequenz.

Weitere Phasenfehler werden durch Impulsimperfektio- nen (Abweichungen vom idealen Rechteckverhalten) und durch die Nichtlinearit/it der Frequenzfilter erhalten.

Die Korrektur der Phasenfehler erfolgt im allgemeinen fiber den Spektrometerrechner im ,,trial and error"-Ver- fahren, wobei fiber zwei Analog/Digital-Wandler Werte ffir die Korrekturfaktoren nullter und erster Ordnung (PA bzw. PB) eingegeben werden. Ein geeignetes Rechenverfahren ermittelt unter Verwendung der beiden Parameter PA und PB das reine Absorptions- bzw. Dispersionsspektrum fiber die Gin. (28) bis (30) aus dem phasenverschobenen Spektrum:

Realteil :

1/' n (Vk) : V a (l~k) COS (P - - H a (Vk) sin 4~ (28)

230

J 2O0

I lO0

# I

~,-a ppm

0 .I I

80 50 10 [ I I I I I [ I

~--a ppm

0 S TMS C6' b I

Abb. 4. 50,3-MHz-13C-NMR-Spektrum von 5-Cholesten-3-on (C27H440). a: Nach konventioneller Phasenkorrektur mit ,,PK", a': gespreizter Ausschnitt aus a; b: automatisch korrigiertes Spektrum a nach Anpassung yon 21 Signalen; b': gespreizter Ausschnitt aus b

Imaginfirteil :

Un (Vk) = U= (Vk) COS ~b + Va (Vk) sin �9 (29)

Winkel :

@ = P . + P ~ - (vk - %) (30)

(mit %, b/n" neue Funktionswerte bei der Frequenz Vk; V=, Ua :

alte Funktionswerte bei der Frequenz vk; ~b : Phasenwinkel an der Stelle vk; %: Offsetfrequenz).

Mit dem oben beschriebenen Verfahren zur Anpassung von Lorentzprofilen in NMR-Spek t ren ist es m6glich, die Phasenwinkel @ ffir nichtfiberlappende NMR-Signale durch Anpassung der Linien zu erhalten [siehe G1. (24)] und durch Verwendung dieser Informat ion eine automatische Phasen- korrektur durchzuffihren.

Es werden die durch Anpassung ermittelten Phasenwinkel yon im Spektrum isoliert stehenden Linien einer linearen Regression unterworfen. Die so ermittelten Parameter ent- sprechen den Phasenfehlern nullter (Achsenabschnit t PA) und erster (Steigung PB) Ordnung unter der Voraussetzung, dab der Phasenfehler eine lineare Funkt ion der Resonanzfrequenz ( = Linienort) ist. Dies ist im allgemeinen sehr gut erffillt (siehe Abb. 3).

Abbi ldung 3 verdeutlicht anhand von synthetischen Li- nien den Zusammenhang zwischen Linienort und Phasenfeh- ler und die Bedeutung der Gr613en PA und PB zur Ermitt lung der korrekten Phase.

Zur automatischen Phasenkorrektur werden die ermittel- ten Gr6Ben PA und PD der Phasenkorrektur rout ine / iberge-

ben, so dab mit einem Kommando (z. B. , ,PK", Aspect 2000) eine Phasenkorrektur ohne manuelle Bedienung der Phasen- kn6pfe am Spektrometer erfolgen kann.

Abbi ldung 4a zeigt das konventionell phasenkorrigierte N M R-Spe k t rum (mit Routine , ,PK") des 5-Cholesten-3-on. Deutliche Verbesserungen gegeniiber dieser Routine ergeben sich nach der automatischen Korrek tur mit dem oben beschriebenen Verfahren unter Berficksichtigung von 21 13C- NMR-Signalen.

Voraussetzung ffir die erfolgreiche Anwendung dieses Verfahrens ist, dab die zur linearen Regression herangezoge- nen Phasenfehler von Signalen stammen, die im Spektrum m6glichst weit voneinander entfernt sind. Aul3erdem sollten die Signale frei von /Jberlagerungen dutch benachbarte Signale sein.

L i t e r a t u r

1. Jones RN, Seshadri KS, Hopkins JW (1982) Can J Chem 40:334 2. Mukoyama T, Nucl Inst Methods 126:153 3. Korb J-P, Maruani J (1981) J Magn Reson 46:514 4. Pitha J, Jones RN (1966) Can J Chem 44:3031 5. Seshadri KS, Jones RN (1963) Spectrochim Acta 19:1013 6. Pitha J, Jones RN (1968) Optimization methods for fitting curves to

infrared band envelopes. National Research Council of Canada, Ottawa

7. Dietrich W, Gerhards R (1981) J Magn Reson 44:229

Eingegangen am 11. April 1983