seminar multimediadatenformate: wichtige transformationen1 wichtige transformationen referentin:...
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Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 1
Wichtige Transformationen
Referentin: Yvonne Schindler
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Wichtige Transformationen
• FFT – Fast Fourier Transformation• DCT – Diskrete Cosinus Transformation• Wavelets
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Transformationen
Transformationen sollen gegeben Daten soumwandeln, dass
1. eine Bearbeitung weniger aufwendig ist,2. eine eindeutige Wiederherstellung durch
Rücktransformation möglich ist
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Transformationen
Transformation und Rücktransformation sindaufwendig
Aber: Berechnungen im transformierten Raumsind meist wesentlich einfacher
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Transformationsbeispiel
Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner
X = Y / Z
Hoher AufwandDurch Division
Lösung
log(X) = log (Y) – log (Z)
Geringer AufwandDurch Subtraktion
Lösung
Transformation
Rücktransformation
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Transformation
Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber dochschon bei der Transformation zu Datenreduktion.
Bsp.: Die Zahl Pi 3,141595265359...wird vom Rechner auch nur gerundet
genutzt
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Fouriertransformation
1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier:,,Die analytische Theorie der Wärme``
Man kann Funktionen durch die Summevon Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen
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1-dim. Fouriertransformation
1
1
0
1
1
0
*1
nn x
xx
nf
ff
n Daten
C R
Fouriermatrix
Normierungsfaktor
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n-te Einheitswurzel
xn hat in C n Lösungen
78
68
58
48
38
28
18
08 ,,,,,,,
ni
n
e
ni
n
2
)2sin(*)2cos(
Bsp.: x8 hat 8 Lösungen
08
18
28
38
48
58
68
78
n n-te Einheitswurzel
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Fouriermatrix
Def.:
Sei n N und n n-te Einheitswurzel in C. Die
nxn-Matrix F mit Fk,l= nk*l für alle k, l
{0, ..., n-1}, heißt Fouriermatrix.
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1-dim. Fouriertransformation
1
1
0
)1(*)1()1(21
)1(242
121
1
1
0
*1
nnnn
nn
nn
on
nnnn
on
nnnn
on
on
on
on
on
n x
xx
nf
ff
n Daten
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Inverse Fouriermatrix
Für eine Rücktransformation braucht man eineinverse Fouriermatrix
lknlkF*1
,
für alle k,l {0, ..., n-1}
F ist unitär => F-1 = Ft transponiert konjugiert
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Beweis für inverse Fouriermatrix 1
1
0
)(
1
0
1
1
1*1*
n
i
lkin
iln
n
i
kin
kln
kln
tnn
n
n
nnFF
k=l =>1kl => c=(k-l)
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Beweis für inverse Fouriermatrix 2
1
0
1
0
1
1
n
i
icn
n
i
icn
n
n
011
111
0
n
cnn
n
ncn
n
i
icn
geometrische Reihe
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Beweis für inverse Fouriermatrix 3
100
010001
=> Ft = F-1
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2-dim. Fouriertransformation
nnTnn
TTnn BFFBFFBFF
Inverse:
tn
tnBFF
BIBIFBFFF tnnn
tn )(
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Fast Fouriertransformation
Idee:Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor-Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwertebenutzen
n muss dafür eine 2er-Potenz sein
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Anwendungsbeispiel
Fouriertransformation
Bearbeitung
InverseFouriertransformation
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Diskrete Cosinus Transformation
DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt
Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt
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DCT - Idee
Gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x)
Fouriertransformation anwenden:Dabei wird der imaginäre Anteil 0
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DCT – Herleitung 1
Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte2n
f(-n+1), f(-n+2), ... f(-1), f(0), f(1), ... ,f(n) n+1
n
ni
iknk if
nF
12)(2
1
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DCT – Herleitung 2
n
ni
iknk if
nF
12)(2
1
nni
nnknf
ififf
nF
n
i
ikn
ikn
k
22sin
22cos*)(
)()()0(
21
1
122
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DCT – Herleitung 3
knf
iffn
Fikn
n
i
ikn
k
cos*)(
))(()0(21 2
1
12
xn2
xn
2
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DCT – Herleitung 4
knfnikiff
nF
n
ik
cos*)(
cos)(2)0(21
1
1
Fertig!!!
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Wavelets
Funktionen können auch durch die Summe vonanderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestelltwerden.
Die Transformation geht schrittweise voran
Wavelets werden z.B. bei JPEG2000 benutztund beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern
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Basisfunktion
Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion genommen werden, für die gilt:
0)( dtth
Daher auch die Bezeichnung Waveletengl. Wave = Welle
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Haar-Wavelet
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Weitere Wavelet - Beispiele
Daubechies 6 Daubechies 8
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Grundprinzip
Berechnung des Mittelwertes und der Differenz -Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet
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Beispiel
13 13 5 5 9 13 17 21
13 5 11 19 0 0 -2 -2
9 15 4 -4 0 0 -2 -2
12 -3 4 -4 0 0 -2 -2
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Grundprinzip Grafik 1
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Grundprinzip Grafik 2
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Vergleich DCT - Wavelet Original
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Vergleich Kompression 1:25
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Vergleich Kompression 1:50
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Quellen & weiterführende Literatur
• E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets• Internet – Studien- und Diplomarbeiten
• Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation
• Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen
• Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets