Alexander Hock

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Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder

Supersymmetrie

Datum des Vortrags: 28.05.2014

Betreuer: Prof. Dr. J. Heitger

Westfalische Wilhelms-Universitat Munster, Deutschland

Inhaltsverzeichnis Alexander Hock

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Formalismus der Supersymmetrie 12.1 Erzueuger- und Vernichteroperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 SUSY-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Anwendung in der Quantenmechanik 43.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Poschl-Teller-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Zusammenfassung 7

5 Literaturverzeichnis 8

Supersymmetrie

1 Einleitung Alexander Hock

1 Einleitung

Die Supersymmetrie (SUSY) ist, wie der Name schon sagt, eine erweiterte Symmetrie,welchen Fermionen und Bosonen mit einander in Verbindung setzt. Das Standardmodellder Elementarteilchen ist aus Fermionen (Quarks und Leptonen) und Bosonen (Kraft-teilchen) aufgebaut. Mit dem Operator Q kann man in der Supersymmetrie von einemfermionischen zu einem bosonischen Zustand gelangen. Fur das Standardmodell bedeutetdas, dass jedes Elementarteilen einen supersymmetrischen Partner besitzt.

Abbildung 1.1: Standardmodell der Elementarteilchen mit den theoretischen supersym-metrischen Teilchen [2]

In Abb. 1.1 ist ein Uberblick uber das erweiterte Standardmodell mit den SUSY-Teilchen. Bislang konnten jedoch noch keine SUSY-Teilchen experimentell nachgewiesenwerden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass diese nicht existieren konnen.Vergleicht man das Verhalten der Wechselwirkungsenergien (schwache, starke und elek-tromagnetische Wechselwirkung) im Standardmodell und im SUSY-Modell, so kann auchhier ein Unterschied festgestellt werden. Im SUSY-Modell kann eine Vereinigung derWechselwirkungen fur sehr hohe Energien erreicht werden (Vgl. Abb. 1.2). Somit wareein Beweis der SUSY ein Schritt in eine vereinheitliche Theorie, welche alle Wechselwir-kungen mit einen in Verbindung setzen kann.Der Formalismus der SUSY wird jedoch jetzt schon in unterschiedlichen Bereichen ver-wendet wie z.B. der Quantenmechanik.

Supersymmetrie 1

2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock

Abbildung 1.2: Wechselwirkungen im Standardmodell und im SUSY-Modell bei hohenEnergien [3]

2 Formalismus der Supersymmetrie

2.1 Erzueuger- und Vernichteroperator

Die supersymmetrischen Leiteroperatoren Q± sind aus den bosonischen b± und denfermionischen f± Leiteroperatoren aufgebaut

Q± = b∓f±. (2.1)

Der Zustand wird ebenfalls aus diesen zusammengesetzt und es werden bosonischen undfermionischer Zustand definiert mit

|Boson〉 = |nB, nF = 0〉 und |Fermion〉 = |nB, nF = 1〉. (2.2)

Die Transformation von einem bosonischen zu einem fermionischen Zustand und umge-kehrt geschieht mit den supersymmetrischen Leiteroperatoren

Q+|Boson〉 ∼ |Fermion〉 , Q−|Fermion〉 ∼ |Boson〉. (2.3)

Bei einer solchen Transformation soll die Energie des Systems erhalten bleiben, alsokommutieren die supersymmetrischen Operatoren Q± mit dem supersymmetrischen Ha-miltonoperator HS und sind somit gleichzeitig diagonalisierbar. Die einfachste Losunghierfur ist

HS = {Q+, Q−} = Q+Q− +Q−Q+. (2.4)

Supersymmetrie 2

2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock

2.2 SUSY-Oszillator

Der SUSY-Oszillator ist aus dem bosonischen (harmonischer) Oszillator und dem fer-mionischen Oszillator aufgebaut. Der fermionische Oszillator unterscheidet nur zwischenzwei Zustande (spin up, spin down), wodurch die fermionischen Leiteroperatoren in Formeiner 2x2-Matrix geschrieben werden konnen

f+ =

(0 01 0

), f− =

(0 10 0

). (2.5)

Fur den bosonischen Oszillator erhalt man die bekannten Losungen des harmonischenOszillators mit den Leiteroperatoren

b± =

√mω

2h

(Q∓ i

mωP

)(2.6)

mit dem Orts- und Impulsoperator, Q und P .Hieraus werden nun mit 2.1 die supersymmetrischen Operatoren gebildet, wobei derFaktor

√hω hinzugefugt wurde. Den supersymmetrischen Hamiltonoperator erhalt man

dann in Matrixdarstellung aus 2.1

HS = hω

(b+b− 0

0 b+b− + 1

)=hω

2{b−, b+}1− hω

2[b−, b+]σ3, (2.7)

wobei {a, b} = ab + ba der Antikommutator, [a, b] = ab − ba der Kommutator und σ3

die dritte Paulimatrix ist. Aus 2.7 erkennt man, dass jeder Zustand zweifach entartetist und nur der Grundzustand nicht. Wie schon erwahnt kann man bei gleicher Energiezwischen den Zustanden mit den supersymmetrischen Operatoren wechseln. In Abb.2.1ist das Ergebnis schematischen gut dargestellt.

Abbildung 2.1: SUSY-Oszillator [1]

2.3 Superpotential

Mit Hilfe des Superpotentials W erhalt man die nicht-lineare SUSY. Die Einheit desSuperpotentials ist [Energie]1/2, wodurch es nicht als eine Art potentielle Energie ange-

Supersymmetrie 3

2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock

sehen werden darf. Aus der linearen Abhangigkeit der Operatoren b± von Q wird nundurch das Superpotential eine nicht-lineare Abhangigkeit mit

B± =1√2

(W (Q)∓ i√

mP

). (2.8)

Den harmonischen Oszillator ergibt sich wieder aus W (Q) =√mωQ. Mit den Be-

ziehungen {B−, B+} = W 2 + P 2

2m und [B−, B+] = h√mdWdQ

erhalt man den SUSY-

Hamiltonoperator aus 2.4

HS =1

2

(P 2

m+W 2

)1− h

2√m

dW

dQσ3. (2.9)

Die Form des Superpotentials muss gewissen Eigenschaften erfullen, welchen in Abb.2.2zusehen sind.

Abbildung 2.2: Eigenschaften des Superpotentials bei exakter und gebrochener SUSY [1]

Es gibt drei unterschiedliche Falle fur das Superpotential. Bei exakter SUSY unter-scheidet man zwischen dem fermionischen und dem bosonischen Grundzustand. Bei ge-brochener SUSY gibt es keinen Grundzustand, alle weiteren Zustande sind jedoch weiterzweifach entartet.

Supersymmetrie 4

3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock

3 Anwendung in der Quantenmechanik

Als nachstes wollen wir den Formalismus der SUSY auf die Quantenmechanik anwen-den. Dazu werden wir nicht mehr zwischen bosonischem und fermionischem Zustandunterscheiden. Stattdessen gibt es zwei Hamiltonoperatoren H1 und H2 die mit einan-der korrespondieren, wie zuvor die Bosonen mit den Fermionen. Also erhalt man aus 2.9den SUSY-Hamiltonoperator

HS =

(H1 00 H2

)(3.1)

mit den jeweiligen Potentialen

V1 =1

2

(W 2 − h√

mW ′)

(3.2)

V2 =1

2

(W 2 +

h√mW ′). (3.3)

Es wird nur die exakte SUSY betrachtet bei der der Grundzustand von E0 = 0 dasPotential V1 besitzt. Der Zusammenhang des Grundzustands ψ0 und des Superpotentialslasst sich aus H1ψ0 = 0 bestimmen mit

W = − h√m

d

dxlnψ0. (3.4)

Abbildung 3.1: Quantenmechanische SUSY mit h = m = 1 [1]

Supersymmetrie 5

3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock

Abb. 3.1 zeigt noch einmal die Zusammenhange der SUSY ubertragen auf die Quanten-mechanik. Es stellt sich somit heraus, dass die vollstandige Kenntnis uber das PotentialV1 ebenfalls eine vollstandige Losung fur das Partnerpotential V2 liefert.

3.1 Harmonischer Oszillator

Das Superpotential des harmonischen Oszillator war

W =√mωx, (3.5)

woraus sich die Potentiale ergeben

V1 =mω2

2x2 − hω

2(3.6)

V2 =mω2

2x2 +

hω

2. (3.7)

Bei dem harmonischen Oszillator ist das Partnerpotential ebenfalls ein harmonischerOszillator, welcher um hω nach oben verschoben ist. Alle Energien und Eigenzustandesind somit identisch und ebenfalls um eine Energiestufe verschoben.

3.2 Kastenpotential

Das Kastenpotential hat die Form

V1 =

{0, fur 0 ≤ x ≤ L∞, sonst

(3.8)

Die Losungen des Kastenpotential sind bekannterweise

ψ(1)n =

√2

Lsin

(n+ 1)πx

Lmit n = 0, 1, ... (3.9)

Aus dem Grundzustand erhalt man das Superpotential

W = − hπ√mL

cotπx

L. (3.10)

Mit Hilfe dieser Kenntnis lasst sich das Partnerpotential mit 3.3 bestimmen

V2 =h2π2

2mL2

(2

sin2 πxL

− 1

)(3.11)

und somit vollstandig aus den Zustanden von V1 losen mit

ψ(2)n =

1√En+1

B−ψ(1)n+1. (3.12)

Supersymmetrie 6

3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock

Das Ergebnisse dieser Rechnungen sind in Abb.3.2 dargestellt.

Abbildung 3.2: Kastenpotential und Partnerpotential fur den Fall L = π [1]

3.3 Poschl-Teller-Potential

Zuletzt noch ein Beispiel etwas anderer Art. Das Superpotential sei mit

W = A tanhαx (3.13)

gewahlt. Fur den Spezialfall, dass A = hα√m

ist erhalt man die Potentiale

V1 =h2α2

2m

(− 2

cosh2 αx

)(3.14)

V2 =h2α2

2m= const. (3.15)

Da das Potential V1 einen gebundenen Zustand mehr besitzen muss und V2 ein freies Teil-chen dargestellt, hat V1 nur einen gebunden Zustand. Dieser lasst sich durch Umstellenvon 3.4 berechnen

ψ0 =

√α

2

1

coshαx. (3.16)

Zusatzlich gilt, dass das Betragsquadrat der Reflexions- und Transmissionskoeffizientenbei der SUSY bei beiden Potential gleich ist, also |R1|2 = |R2|2. In diesem Fall bedeutetes, dass V1 ein reflexionsloses Potential ist. Das liegt daran, dass das Partnerpotential V2

ein freies Teilchen darstellt und somit hierbei keine Reflexionen besitzt. Alle gestreutenEigenzustande von V1 passieren das Potential ohne Reflexion, obwohl dieses Potentialnicht konstant ist.

Supersymmetrie 7

4 Zusammenfassung Alexander Hock

4 Zusammenfassung

Mit der SUSY wurde eine neue Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen erstellt,welche jedoch noch nicht bewiesen ist. Zur Zeit ist man noch auf der Suche nach SUSY-Teilchen. Jedoch der Formalismus der SUSY kann in anderen Bereichen der PhysikAnwendung finden, wie z.B. der Quantenmechanik. Es konnen neue Potentiale gelostwerden vgl. Partnerpotential vom Kastenpotential. Obwohl die SUSY ein rein theoreti-sche Uberlegung ist, verdient sie doch große Zuwendung.

Supersymmetrie 8

5 Literaturverzeichnis Alexander Hock

5 Literaturverzeichnis

[1] (Vgl.) Kalka, Soff: Supersymmetrie, , Teubner, Stuttgart 1997

[2] ”www.wof-cluster.desy.de”, 27.05.14, 17:30

[3] P. Kettmann, Einfuhrung in die Supersymmetrie, Seminarausarbeitung, 26. Marz2011

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