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DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL
ECUACION DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relaciónentre una o más variables independientes y una función incógnita y sus
derivadas.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN
DE DERIVADAS QUE INVOLUCRAN
Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cualaparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto a una solavariable independiente.
Por ejemplo:
dy
dx+5 y=e x ,
d2 y
d x2−
dy
dx+6 y=0,
dx
dt +
dy
dt =2 x+ y
Las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leini!
dy /dx,d2 y /d x2 … o la notación "ri#a y' , y
' ' , y' ' ' . Realmente la notación
prima se usa para denotar solo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada
se denota y
(4 )
en lugar de
y ' ' ' '
. n general! la
n−ésima derivada de "y#
se escribe como dn y /d xn o yn .
Ecuación Diferencial en Deri$ada% &arciale%: es una ecuación diferencialen la cual aparecen derivadas parciales de una sola variable dependienterespecto de dos o más variables independientes.
Por ejemplo:
∂2u
∂ x2+
∂2u
∂ y2=0,
∂2u
∂ x2=
∂2u
∂t 2−2
∂u
∂ t
, y ∂ u
∂ y
=−∂ v
∂ x
ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
l orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden queaparece en la ecuación diferencial.
Por ejemplo:
Una $ puede contener más
de una variable dependiente!
Primer%egundo
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d2 y
d x2+5( dydx )
3
−4 y=e x
&RO'LE(A ):
&lasi'car cada una de las ecuaciones que se dan a continuación:
Ecuación Variale DVariale I *i"o Orden
(. y
' = x2+5 y
). y' ' −4 y ' −5 y=e3 x
*.∂U
∂ Z =4
∂2U
∂ x2 +
∂ U
∂ y
+.dr
d∅=√ r ∅
,.d
2 y
d x2−3 x=seny
-.∂2V
∂ x2=
∂V
∂ y
. (2 x+ y ) dx+( x−3 y ) dy=0
/.∂2V
∂ x2 +4
∂2V
∂ x ∂ y +4
∂2V
∂ y2 01
2. 9 ∂
2T
∂ x2=4
∂2T
∂ y2
(1. ydx+(2 x−3 ) dy=0
&RO'LE(A +:
&lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo y orden.
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Ecuación Variale DVariale I *i"o Orden
(. senx y' ' ' −cosx y ' =2
). (1− y2 )dx+ xdy=0
*. x d
3 y
d x3−2( dydx )
4
+ y=0
+. (1− x ) y' −4 x y ' +5 y=cosx
,.d
2 y
d x2+9 y=senx
-. y ∂ U
∂ y + x
∂U
∂ x =2U +6 x−4 y
.∂
4U
∂ x2∂ y
2=0
/. x ∂ Z
∂ x + y
∂ Z
∂ y=Z
GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
l grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual esta elevada laderivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
&RO'LE(A ,:
&lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo! orden y grado.
Ecuación Variale DVariale I *i"o Orden
(. (∂3V
∂ s3 )
2
+(∂2V
∂ t 2 )
3
=s−3t
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).d
2 x
d y2+senx ( dxdy )
3
=0
*.∂2V
∂ x2 +2
∂2V
∂ y2=V
+. x d
2 y
d x2+
dy
dx+ xy=0
,. x2 d
2 y
d x2− x (dydx )
2
+ y=cosx
-.∂
4Z
∂ x4−2( ∂
4Z
∂ x2∂ y
2 )2
+∂
4Z
∂ y4=0
&RO'LE(A -:&lasi'car cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo! orden y grado.
Ecuación Variale DVariale I *i"o Orden
(.∂
3 z
∂ x3+3
∂3 z
∂ x2∂ y
+3 ∂
3 z
∂ x∂ y2+
∂3 z
∂ y3=0
).
d2 y
d x2−2 x(
dy
dx )2
=0
*.∂
2U
∂r2 +
1
r
∂ U
∂ r +
1
2
∂2U
∂∅2 =0
+. x2 ( y ' ' )2+2 x ( y ' )3−12 y−2 x2=0
,. ( y ' ' ' )4−( y' )2= x e x
-. x3 ∂
3 z
∂ x3+6 xy
∂2 z
∂ x∂ y +7 y
∂ z
∂ y+ y=0
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ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial de n−énesimo orden se dice que es lineal si 4 es
lineal en y , y' , … , y
n
. sto signi'ca que una $5 de n−énesimo es lineal
cuando la ecuación es:
an ( x ) yn+an−1 ( x ) y
n−1+…a1 ( x ) y' +a0 ( x ) y−g ( x )=0
5 tambi6n!
an ( x ) d
n y
d xn+an−1 ( x )
dn−1
y
d xn−1 +…a1 ( x )
dy
dx+a0 ( x ) y=g ( x )
$os casos especiales importantes de este tipo de ecuación son las $
lineales de primer orden (n=1) y de segundo orden (n=2) :
a1 ( x ) y' +a0 ( x ) y=g ( x ) y a2 ( x )
d2 y
d x2+a1( x)
dy
dx +a0 ( x ) y=g ( x )
&or lo tanto "ara .ue %e cu#"la .ue e% una ecuación diferenciallineal dee %ati%facer %i#ult/nea#ente la% %i0uiente% condicione%:
a7 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado 8estoes! si están elevadas a la potencia uno7
b7 Los coe'cientes de la variable dependiente y sus derivadas dependesolo de la variable independiente.
Por ejemplo:
( y− x ) dx+4 xdy=0, y ' ' −2 y ' + y=0, y d3 y
d x3+ x
dy
dx−5 y=e x
Las ecuaciones son! respectivamente! $ de primero orden! segundo ordeny tercer orden. 9cabamos solo de mostrar que la primera ecuación es lineal
en la variable "y# cuando se escribe en la forma alternativa 4 x y' + y= x .
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal.4unciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas! tales
como seny y e y
! no se pueden representar en una ecuación lineal.
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Por ejemplo:
(1− y ) y ' +2 y=e y , d2 y
d x2+seny=0,
d4 y
d x4 + y2=0
&RO'LE(A 1:
&lasi'que cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación seg3n orden! grado y linealidad.
Ecuación Orden
Grado Linealidad
(. (1− x ) y' ' −4 x y ' +5 y=cosx
). x2 d
2 y
d x2+ x
dy
dx+ y=2 x2
*. y ´ ´ −2 x ( y ´ )2=0
+. x d
3 y
d x3−( dydx )
4
+ y=0
,. y' ' ' −2 y ' ' −5 y ' +6 y=0
-. t 5 y
(4)−t 3 y '' +6 y=0
.d
2u
d r2+
du
dr +u=cos (r+u)
/. x2 y
' ' +2 x y ' −12 y= x2 y2
2. y' ' + xy− y ' senx=cosx
(1. y ' = x2+5 y
((.d
2 y
d x2=√1+(
dy
dx )2
().d
2 R
d t 2 =
−k
R2
ermino no lineal:l e;ponente es diferente
ermino no lineal:4unción no lineal de y
ermino no lineal:&oe'ciente depende dey
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(*. (2 x+ y ) dx+( x−3 y ) dy=0
(+. x ( y ' )2+2 x y ' + xy y ' ' =0
(,. sen y'' ' −cos y ' =2
(-. x2 y ' ' + x y ' + y=sec (!nx)
(.d
2 y
d x2− y2= x2 e x
(/. y' ' −4 y ' +4 y=(12 x2−6 x)e2 x
(2. 6 x2 y
' ' +5 x y ' +( x2−1)=0
)1.d
2 y
d x2−3
dy
dx+2 y=senx2
)(. x2 d
2 y
d x2+ x
dy
dx+ xy=e x+ y
)). y' ' −2 x ( y ´ )2+ xy=0
)*.d
2 y
d x2+4 y=sen2 x
)+.d
4 y
d x4−(2 d
3 y
d x3 )
3
= xye x
),. y y' − x y ' ' = xysenx
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN DEVARIA'LES SE&ARA'LES
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
dy
dx=g ( x ) "( y )
%e dice que es %e"arale o que tiene $ariale% %e"arale%2
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&onsidere la ecuación diferencial de primer orden dy /dx=# ( x , y ) . &uando f
no depende de la variable y! es decir! # ( x , y )=g ( x) ! la ecuación diferencial
dy
dx=g ( x)
%e puede resolver por integración. %i g8;7 es una función continua! al integrar aambos lado de la ecuación se obtiene!
∫dy=∫g ( x ) dx
y=$ ( x )+c
$onde $ ( x ) es una antiderivada 8integral inde'nida7 de g( x) .
E3e#"lo ):
dy
dx= y2 x e3 x+4 y
%eparando variables obtenemos!
dy
dx=
( xe
3 x
) ( y
2e
4 y
)
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E3e#"lo +:
Resuelva! (e2 y− y )cosx dy
dx=e y sen 2 x ! y (0 )=0
%eparando variables!
( e2 y− y )e
y dy=
sen 2 x
cosx dx
%impli'cando e
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tgy dy
dx=2 senycosx
seny
cosyseny dy=2 cosxdx
∫ secydy=∫2cosxdx
ln|secy+tgy|=2 senx+c
La condición inicial y=0 cuando x=0 implica que % =0 . Por lo tanto
una solución del problema con valores iniciales es
ln|secy+tgy|=2 senx
&RO'LE(AS:
5btenga la solución general de cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales ordinarias de primero orden de variables separables:
1.dy
dx=
1+2 y2
ysenx
2.
dy
dx=
x2 y
2
1+ x
3. ds
dr=
!nr ( s+1 )s
4. d(
dt + ( = (t e t +2
,. (4 y+ y x2 ) dy−(2 x+ x y2 ) dx=0
6. (1+ x2+ y2+ x2 y2 ) dy= y2dx
7. y!nx dy
dx=( y+1 x )
2
8.)
2
t
2
dt =(t +1)d)
9. dy
dx=( 2 y+34 x+5 )
2
10. sec2 xdy+cscydx=0
11.e y
sen 2 xdx+cosx (e2 y− y )dy=0
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12.secydy= xcotgydx
13. sen3 xdx+2 y cos33 xdy=0 14.(e y+1)2 e− y dx+(e x+1 )3 e− x dy=0
15. y
x
dy
dx=(1+ x2 )
−12 (1+ y2 )
12
16.dU
ds =
U +1
√ s+√ sU sugerencia ,% .V v
2=U
17. y
3
x2
dy
dx=(1− x2 )
−12 ( 1+ y2)
1
2
18. dydx
= xy+3 x− y−3 xy−2 x+4 y−8
19.dy
dx=
xy+2 y− x−2 xy−3 y+ x−3
20.dy
dx=sex(cos2 y−cos2 y)
21. secy dy
dx+sen ( x− y )=sen( x+ y )
22. cotgy dydx
+sen ( x− y )=sen( x+ y )
23.tgy dy
dx +cos ( x− y )=cos ( x+ y)
24. x √ 1− y2 dx=dy
25. ( e x+e− x ) dydx
= y2
26. ( x+√ x ) dydx
=( y+√ y )
27.dy
dx=
arcotgx
sen (!nx)
28.t
3dt
dr =e−t
2
cos (√ r)
29.dx
dy=
y2√ x2−6 x+13
√ 9−25 y2
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30. ( 1+ x4 ) dy+ x (1+4 y2 )dx=0, y (1 )=0
31. ( e− y+1 ) senxdx=(1+cosx ) dy , y (0 )=0
32. x2 dy
dx= y− xy , y (−1 )=−1
33.dy
dx +2 y=1, y (0 )=
5
2
34.√ 1− y2dx−√ 1− x2 dy , y (0 )=√ 32
35.dy
dx=4 ( x2+1) , y ( * 4 )=1
36.dy
dx=
( y−1 ) ( x−2 )( y+3)
( x−1 ) ( y−2 )( x+3)
37. dr
d ∅=
sen∅+e2 r cos∅3e
r+er cos2∅
38. x3e
2 x2+2 y2
dx− y3e− x2−2 y2
dy=0
39. x
5dx
dy =√
9 x2−1
√ x2−1
40. ( y+1 ) dx+ x2− x+24− x
dy=0
ECUCIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN4O(OGENEAS
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La ecuación diferencial
+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0
s una ecuación diferencial ordinaria de primera orden =omog6nea si las
funciones ( x , y ) y ) ( x , y ) son =omog6neas con igual grado de
=omogeneidad.
Por lo tanto si una función # tiene la propiedad # ( t x ,ty)=t - # ( x , y) para
alg3n n3mero real de - . &or e3e#"lo # ( x , y )= x3+ y3 es una función
5o#o06nea de 0rado ,! ya que
Para toda x=tx mientras que para y=ty
# ( tx,ty )=(tx)3+(ty)3
4actor com3n t 3
# ( tx,ty )=t 3( x3+ y3)
>ientras que # ( x , y )= x3+ y3+1 es no =omog6nea. n conclusión si ambas
funciones y ) son ecuaciones =omog6neas del mismo grado! la
ecuación deberá estar
+ (tx,ty )=t - + ( x , y ) y ( (tx,ty )=t - ( ( x , y )
9demás! si y ) son funciones =omog6neas de grado - ! podemos
escribir
+ ( x , y )= x-
(1,u ) y ( ( x , y )= x-
( (1,u )dondeu= x
y
+ ( x , y )= y- (v , 1 ) y ( ( x , y )= y- ( ( v ,1 ) dondev= x
y
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Las siguientes propiedades plantean las sustituciones que se pueden usar pararesolver una ecuación diferencial =omog6nea. n concreto! cualquiera de las
sustituciones y=ux o x=vy donde u y v son las nuevas variables
dependientes! reducirán una ecuación =omog6nea a una ecuación diferencial
de primer orden separable.E3e#"lo ):
( x2+ y2)dx+( x2− xy ) dy=0
;aminamos el grado de la ecuación diferencial!
Para toda x=tx mientras que para y=ty
[ (tx
)
2
+(ty
)
2
]dx
+[ (tx
)
2
−(txty
) ]dy
=0
s una ecuación diferencial 5o#o06nea de 0rado +!
t 2 ( x2+ y2 ) dx+t 2 ( x2+ y2 )dx=0
Una ve? c=equeado el grado de la ecuación diferencial! se efect3a el siguiente
cambio! y=ux entonces dy=udx+ xdu despu6s de sustituir! la ecuación se
convierte
[ x2+(ux)2 ] dx+[ x2− x (ux)](udx+ xdu)=0
( x2+u2 x2 ) dx+ ( x2−u x2 )(udx+ xdu)=0
x2 (1+u2 )dx+ x3 (1−u ) du=0 . / de 0rimer ordense0ara!e
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−∫ du+∫ 21+u
du=−∫ dx x
−u+2 ln|1+u|=−ln| x|+c
%ustituyendo de nuevo u= y
x
− y x +2 ln|1+ y x|=−ln| x|+c
E3e#"lo +:
2 xy dy
dx=4 x
2
+3 y
2
;aminamos el grado de la ecuación diferencial!
Para toda x=tx mientras que para y=ty
2txty dy= [4 (tx )2+3 (ty )2 ]dx
t 2 (2 xy )dy=t 2 (4 x2+3 y2 ) dx
&oncluimos que es @omog6nea de 0rado +2
fectuamos el cambio! y=ux por lo que dy=udx+ xdu ! quedando que
2 xy dydx
=4 x2+3 y2
dy=[2( x y )+32 ( y x )]dx
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udx+ xdu=[2( xux )+ 32 (ux x )]dx
udx+ xdu=
(2
u
+3 u
2
)dx
9grupando e integrando queda!
∫ 2uu2+4
du=∫ dx x
ln|u2+4|=ln| x|+c
%ustituyendo de nuevo u= y x
ln|( y x )2
+4|=ln| x|+c
&RO'LE(AS:
5btenga la solución general para cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales. %iga cada uno de los pasos indicados en esta misma guAa para tal
efecto.
1. ( x− y )dx+ xd y=0
2. xdx+( y−2 x ) dy=0
3. ydx=2 ( x+ y ) dy
4. ( y2+ xy ) dx+ x2=0
5.dy
dx=
y− x y+ x
6.dy
dx=
x+3 y3 x+ y
%i
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7. 1 ydx+( x+√ xy ) dy=0
8. x dy
dx= y+√ x2− y2
9. x y2 dy
dx= y3− x3 , y (1 )=2
10.( x+ y e y/ x ) dx− x e y/ x dy=0, y (1 )=0
11.( x2+2 y2 ) dxdy
= xy , y (−1 )=1
12. dydx
=−20 x2
+20 xy−5 y2
−9 x2+5 xy− y2
13.dy
dx=
y+ x cos2( y
x )
x y (1 )=
*
4
14.( ycos x y + y sec2 x
y )dx+(2 ysen x
y+2 ytg
x
y− xcos
x
y− xsec2
x
y )dy=0
15.dy
dx=−24 x2+20 xy−6 y2
−15 x2+6 xy− y2
16.dy
dx=−5 x2+5 xy+ y2
−2 x2−2 xy− y2
17. ydx+ x (!nx−!ny−1 ) dy=0, y (1 )=e
18.dy
dx=
6 x2−5 xy−2 y2
6 x2−8 xy+ y2
19.dy
dx=
y
x +
y2
x2 , y (1 )=1
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20. y' =
y
x +sec2
y
x
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN E7AC*AS
Una e;presión diferencial
+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy
s una diferencial e8acta en una región R del plano xy si esta
corresponde a la diferencial de alguna función # ( x , y ) de'nida en R . Una
ecuación diferencial de primer orden de la forma
+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0
%e dice que es e;acta si la e;presión del lado i?quierdo es una diferenciale;acta.
Por ejemplo x2 y
3dx+ x3 y2 dy=0 es una ecuación e;acta ya que su lado
i?quierdo es una diferencial e;acta:
d ( 13 x3 y3)= x2 y3dx+ x3 y2 dy
%i =acemos las identi'caciones
x2 y
3dx+ x3 y2 dy=0
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+ ( x , y )= x2 y3 y ( ( x , y )= x3 y2
ntonces!
∂ + ( x , y)
∂ y =3 x2
y
2
y
∂ ( ( x , y )
∂ x =3 x2
y
2
Por lo tanto! sean + ( x , y ) y ( ( x , y ) continuas y que tienen primeras
derivadas parciales continuas en una región rectangular R de'nida por
a
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# ( x , y )=∫ + ( x , y ) dx
# ( x , y )= 2 ( x , y )+g( y )
,2 Donde la función aritraria g( y ) e% la con%tante de
inte0ración2 A5ora deri$ando re%"ecto a la $ariale y ;
a%u#iendo .ue9 ∂ # /∂ y= ( ( x , y ) :
∂ [ 2 ( x , y )+g ( y )]∂ y
= ( ( x , y)
Se otiene9
g' ( y )= ( ( x , y )−
∂ 2 ( x , y )∂ y
-2 &or
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E% e8acta
).
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(cosx senx− x y2 )dx+ y (1− x2 ) dy=0
Podemos reconocer que la ecuación es e;acta
∂ ( cosxsenx− x y 2 )∂ y =
∂ ( y (1− x2) )∂ x
−2 xy=−2 xy
9=ora!
∫coxsenx− x y2 dx
∫coxsenxdx− y2
∫ xdx
−cos2 x2
− y
2 x
2
2 +g( y )
$erivando parcialmente!
∂[−cos2 x
2 −
y2 x
2
2 +g( y )]
∂ y = y (1− x2 )
− y x2+g ' ( y )= y− y x2
g ( y )=∫ ydy
g ( y )= y2
2 +c
%ustituyendo!
−cos2 x2
− y
2 x
2
2 +
y2
2 =c1
−cos2 x− y2 ( x2−1 )=2c1
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−cos2 x− y2 ( x2−1)=c
La condición inicial y=2 cuando x=0
c=3
FAC*ORES IN*EGRAN*ES
Para una ecuación diferencial no e;acta + ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0 ! a veces es
posible encontrar un factor integrante B ( x , y ) de modo que! despu6s de
multiplicar! el lado i?quierdo de
3( x , y ) + ( x , y ) dx+ 3( x , y ) ( ( x , y ) dy=0
s una diferencial e;acta. n un intento por encontrar 3 ! se vuelve al criterio
de e;actitud.
%i ( + y− ( x)/ ( es una función de x e;clusivamente! entonces un factor de
integración será!
3 ( x )=e∫
+ y− ( x (
dx
%i ( ( x− + y)/ + es una función de y solamente! entonces un factor de
integración será!
3 ( y )=e∫
( x− + y +
dx
E3e#"lo ,:
xydx+ (2 x2+3 y2−20 ) dy=0
Ceri'cando!
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∂ ( x y 4 )∂ y
=∂ (2 x2 y3+3 y5−20 y3 )
∂ x
4 x y3=4 x y3
Se cu#"le9 la ED e% e8acta2
&on los pasos antes e;puestos se puede llegar a una familia de soluciones!
1
2 x
2 y
4+1
2 y
6−5 y 4=c 2
&RO'LE(AS:
n los problemas determine si la ecuación diferencial que se proporciona es
e;acta. n caso a'rmativo! resu6lvala.1. (2 x−1 ) dx+ (3 y+7 ) dy=0
2. (2 x+ y ) dx−( x−6 y ) dy=0
3. (5 x+4 y )dx+( 4 x−8 y3 )dy=0
4. (seny− ysenx ) dx+(cosx+ xcosy− y ) dy=0
5.( 2 x y2−3) dx+(2 x2 y+4 ) dy=¿ 1
6.(2 y−1 x +cos3 x ) dydx + y x2−4 x3+3 ysen3 x=0
7.( x2− y2) dx+( x2−2 xy )dy=0
8.
(1+!nx+ y x )dx=(
1−!nx )dy
9. ( x− y3+ y2 senx )dx=(3 x y 2+2 ycosx ) dy
10.( x3+ y3 )dx+3 x y2 dy=0
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11.( y!ny−e− xy ) dx+( 1 y + x!ny)dy=0
12.( 3 x2 y+e y) dx+( x3+ x e y−2 y ) dy=0
13. x dy
dx=2 x e x− y+6 x2
14.(1− 3 y + x ) dydx + y=3
x−1
15.( x2 y3− 11+9 x2 )dx
dy + x3 y2=0
16.( e y+2 x ycos"x ) y ' + x y2 sen"x+ y2 cos"x=0
17. (5 y−2 x ) y ' −2 y=0
18. ( tanx−senxseny ) dx+cosxcosydy=0
19. (3 xcos3 x+sen3 x−3 ) dx+(2 y+5 ) dy=0
20.( 1−2 x2−2 y ) dydx
=4 x3+4 xy
21.( 2 ysenxcosx− y+2 y2 e x y2
)dx=( x−sen2 x−4 xy e x y2
)dy
22.( 4 t 3 y−15 t 2− y ) dt +(t 4+3 y2−t ) dy=0
23.
(1t + 1t 2−
yt
2+ y2 )dt +(
y e y+ t t
2+ y2 )dy=0
24. ( x+ y )2dx+ (2 xy+ x2−1 ) dy=0, y (1 )=1
25.( e x+ y ) dx+ (2+ x+ ye y )dy=0, y (0 )=1
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38.( y2+ x y 3 )dx+ (5 y2− xy+ y3 seny ) dy=0
39. xdx+( x2 y+4 y )dy=0, y (4 )=0
40. ( x2+ y2−5 )dx=( y+ xy ) dy , y (0 )=1
ECUACIONES LINEALES
%e dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma
a1 ( x ) dy
dx+a0 ( x ) y=g( x )
s una ecuación lineal en la variable dependiente y .
&uando g ( x )=0 ! se dice que la ecuación lineal es =omog6neaE de lo
contrario! es no =omog6nea.
FOR(A ES*ANDAR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE &RI(ERORDEN
9l dividir ambos lados de la ecuación antes planteada entre el coe'ciente
principal a1 ( x ) ! se obtiene una forma 3til! la forma estándar! de una ecuación
lineal de orden uno:
dy
dx+ ( x ) y=) ( x)
%e busca una solución de la ecuación en un intervalo 4 para el cual ambas
funciones coe'cientes y ) son continuas.
&ASOS &ARA LA O'*ENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE ECUACION
DIFERENCIAL ORDINARIA DE &RI(ER ORDEN LINEAL DE LA FOR(A
y ' + ( x ) y=)( x )
&omo primer paso se busca el factor integrante! el cual depende solo de x !
es decir! resolvemos
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3 ( x )=e∫ ( x ) dx
Luego sustituyendo en la ecuación planteada! el cual es una de las formasequivalentes más fáciles para la obtención de una solución general de una $de primer orden! nos queda
y e∫ ( x ) dx
=∫)( x)e∫ ( x ) dx dx
Resolviendo la integral a la derec=a y despejando a y
y=e−∫ ( x ) dx∫)( x)e∫ ( x ) dx dx+e−∫ ( x ) dx %
s importante aclarar que!
y= yc+ y 0
$onde!
yc=e−∫ ( x ) dx % y y 0=e
−∫ ( x ) dx∫)( x)e∫ ( x ) dx dx
E3e#"lo ):
x dy
dx
−4 y= x6 e x
%i dividimos entre x ! se obtiene la forma estándar
y' −
4
x y= x5 e x
9plicando!
y e∫ ( x ) dx
=∫)( x)e∫ ( x ) dx dx
%ustituyendo nos queda!
)( x ( x)
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y e∫−4
xdx
=∫ x5 e x e∫−4
xdx
dx
Resolviendo
3( x)=e∫−4 x dx=e−4 !nx=e ln x
−4
¿ x−4
ntonces!
x5
e x (¿ x−4)dx
y x−4=∫ ¿
y x−4=∫ x e x dx
y x−4= x e x−e x+c
$espejando la solución vendrá dada por!
y= x5 e x− x4 e x+ x4 c
E3e#"lo +:
dy
dx+ y= x , y (0 )=4
$e la ecuación se identi'ca ( x )=1 y ) ( x )= x
%ustituyendo! nos queda
y e∫dx=∫ xe∫dx dx
Por lo tanto!
y e x=∫ x e x dx
y e x= x e x−e x+c
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$espejando!
y= x−1+e− x c
Pero de la condición inicial se sabe que y=4 cuando x=0
c=5
Por consecuencia! la solución es
y= x−1+5e− x
E3e#"lo ,:
dy
dx + y=) ( x ) , y (0 )=0donde) ( x )={1,05 x 510, x>1.
La solución para la siguiente función discontinua será.
Primero se resuelve la $ para y ( x) en el intervalo 05 x 51 y luego en el
intervalo 1
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Luego de evaluar y (0 )=0 ! se debe tener que c1=−1 . Por lo tanto la
solución en el intervalo 05 x 51 ! será
y=1−e− x
9=ora para x>1 ! de la ecuación
dy
dx+ y=0
%e llega a y=c2 e− x
. Por consiguiente! se puede escribir
y={1−e
− x
, 0 5 x 51c2 e
− x, x>1
%i se recurre a la de'nición de continuidad en un punto es posible determinar a
c2 para que la función anterior sea continua en x=1 . l requerimiento de
que x 71
+¿ y ( x)= y (1)lim¿
¿ implica que c2 e− x=1−e− x o c2=e−1 . La función
queda
y={1−e− x
, 0 5 x 51
(e−1 ) e− x , x>1
s continua en (0, 6) .
&RO'LE(AS:
1.dy
dx + y=e−3 x
2. y' +3 x2 y=10 x2
3. y' +2 xy= x3
4. x2 y
' + xy= x+1
5. y' =2 y+ x2+5
6. x dy
dx+4 y= x3− x
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7. x2 y
' + x ( x+2 ) y=e x 8. x dydx
− y= x2 senx
9. cosx dy
dx + ysenx=1 10.cos
2 xsenxdy +( y cos3 x−1) dx=0
11. (1+ x ) y ' − xy= x+ x2
12. (1−cosx ) dy+(2 ysenx−tanx ) dx=0
13. ydx+( xy+2 x− y e y )dy=0 14.( x2+ x ) dy=( x6+3 xy+3 y ) dx
15. x dydx
+(3 x+1 ) y=e3 x
16. y' + ytanx= xsen2 x
17.dy
dx +
x
1− x2 y= x3
18.dy=( x5−9 x2 y ) dx
19.dy
dx + y=
1−e−2 x
e x+e− x
20. ydx+( x+2 x y2−2 y )dy
21. x y' + (1+ x ) y=e− x sen 2 x
22.dy
dx + ycotx=2cos2 x
23. x y' +2 y=e x+ !nx
24.dy
dx + y=e−t +costsent
25. ydx=( y e y−2 x ) dy
26. dr
d+rsec=cos
27 .( x+2)2 dy
dx=5−8 y−4 xy
28.d
dt +2 t= +4 t −2
29. ( x2−1 ) dydx
+2 y=( x+1 )2
30.dx=(3e y−2 x) dy
31. y' = (10− y ) cos"x
32. ydx−4 ( x+ y6 ) dy=0
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33.dy
dx−( 2 x−2 x2−2 x+1 ) y=1 34. y
' −( 2 x−2 x2−2 x+1 ) y= ( x+1)
( x2−16 )
35. x y' + y=e x , y (−1 )=4 36. y dx
dy
− x=2 y2, y (1 )=5
37. 8 di
dt + Ri= ,i (0 )=i0 8 . R , e i0 constantes
38.dT
dt =k (T −T m ) ,T (0 )=T 0 k ,T m y T 0 constantes
39. ( x+1 ) dydx
+ y=!nx , y (1 )=10 40. y' + tanxy=cos2 x , y (0 )=−1
41. dy
dx+2 y=) ( x ), y (0 )=0,donde) ( x )={1, 05 x5 30, x>3
42. dy
dx+ y=) ( x ) , y (0 )=1,donde) ( x )={1,05 x 51−1, x>1
43. dy
dx
+2 xy=) ( x ) , y (0 )=2, donde) ( x )=
{
x , 0 5 x
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ECUACION DE 'ERNOULLI
Una ecuación diferencial de la forma:
dyd x
+ ( x ) y=)( x) yn $onde n es cualquier n3mero real! se llama Ecuación
de 'ernoulli. Para solucionar esta ecuación diferencial vamos a reducirla auna ecuación lineal de orden unoE simplemente reali?ando la siguientesustitución:
u= y1−n
$espejando a y nos queda!
y=u1
1−n
Por regla de la cadena! obtenemos
dy
dx=( 11−n )u
( 11−n )−1 dudx
%ustituyendo y simpli'cando en la ecuación inicial! nos queda
u' + ( x ) u=)( x )
s obvio que la ecuación no es más que una ecuación diferencial lineal de
primer orden. Resuelva y devuelva el cambio. $e ser posible despeje y .
E3e#"lo ):
x dy
dx+ y= x2 y2
5rgani?ando en la forma estándar!
dy
dx+
1
x y= x y 2
yn
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fectuando el cambio!
u= y1−2
u= y−1
$espejando a y , obtenemos
y=u−1
$erivando por regla de la cadena!
dy
dx=−u−2
du
dx
%ustituyendo!
−u−2 du
dx+
1
x u
−1= x(u−1)2
$ividiendo entre −u−2
! se concluye
du
dx−
1
x u=− x
9 continuación tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden.Resolvemos de la forma =abitual.
ue∫ ( x ) dx
=∫)( x )e∫ ( x ) dx dx
ue∫−1
xdx
=∫− x e∫−1
xdx
dx
l factor integrante será!
¿e∫−1
xdx
=e−!nx= x−1
Resolviendo!
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u x−1=∫− x . x−1 dx
u x−1=−∫dx
$espu6s de la integración y a su ve? despejando u ,
u=− x
x−1+
c
x−1
u=− x2+ xc
&omo u= y−1
! la solución vendrá dada
y−1=− x2+ xc
$espejando a y ! la solución
y= 1
− x2
+ xc
&RO'LE(AS:
&ada $ es una ecuación de Fernoulli. Resuelva!
1. x dy
dx+ y=
1
y2
2.dy
dx
− y=e x y2
3.dy
dx= y ( x y3−1)
4. x dy
dx−(1+ x ) y= x y2
5.t 2 dy
dt
+ y2=ty
6.3 (1+t 2 ) dydt =2ty ( y3−1)
7. y' = (4 x+ y )2
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8. x2 dy
dx+2 xy=5 y3 9. x y ' +6 y=3 x y
4
3
10. x2 dy
dx−2 xy=3 y4 , y (1 )=
1
2
11. y1
2 dy
dx+ y
3
2=1, y (0 )=4
12.2 y' =
y
x −
x
y2 , y (1 )=1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDENSU&ERIOR
eniendo la siguiente $ de orden n =omog6nea con coe'cientes
constantes!
a0 yn+a1 y
n−1+a2 yn−2+…+an−1 y
' +an y=0
%uponga soluciones de la forma y=e :x
! G un n3mero cualquiera y busque las
n derivadas de y=e :x
: y' = : e :x ! y
' ' = :2 e :x ! y' ' ' = :3e :x …
%ustituyendo las derivadas obtenidas en la ecuación diferencial!
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a0 :ne
:x+a1 :n−1
e :x+a2 :
n−2e
:x+…+an−1 :e :x+ane
:x=0
4actor com3n e :x
(a0 :n+a1 :n−1+a2 :n−2+…+an−1 :+an ) e :x=0
&omo e :x
; 0 entonces deberá buscar las raAces del polinomio
(a0 :n+a1 :
n−1+a2 :n−2+…+an−1 :+an )=0
l cual se denomina "olino#io caracter%tico.
Ca%o ):
%i las race% del polinomio caracterAstico son reale% ; di%tinta% :1 , :2 , :3 …!
:n−1 ! :n
ntonces las n soluciones linealmente independientes son!
y1=e
:1 x , y2=e
: 2 x …
La solución general de la ecuación diferencial =omog6nea es:
y=% 1 e :1 x+% 2e
:2 x+…+% n−1 e : n−1 x+% n e
:n x
$onde % 1 ,% 2 …,% n−1 ,% n %on con%tante% aritraria%
Ca%o +:
Si la% race% del polinomio caracterAstico son reales y algunas %e re"iten!
digamos :1
con multiplicidad dek
. ntonces para esa raA? repetida lassoluciones serán
y=% 1e
:1 x+% 2 x e
:1 x++% 3 x
2e
:1 x …+% n−1 xn+1
e :1 x+% n x
ne
: 1 x
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m1=−1
2 ,m2=3
Por lo tanto la solución para raAces reales distinta vendrá dada por!
y=% 1 e−12 x+% 2e
3 x
E3e#"lo +:
y'' +4 y ' +7 y=0
Iuedando la ecuación!
m2+4 m+7=0
Por medio de la ecuación cuadrática tenemos!
m1=−2+√ 3 i ,m2=−2−√ 3 i
La solución respecto al caso *!
y=e−2 x (% 1 cos√ 3 x+% 2 sen√ 3 x )
E3e#"lo ,:
d3 y
d x3+3
d2 y
d x2−4 y=0
$ebe ser evidente de la inspección!
m3+3 m2−4=0
Iue una raA? sea m1=1 y! por consecuencia! m2=m3=−2 . 9sA que la
solución general del caso ( y caso ) para la ecuación diferencial!
y=% 1 e x+% 2 e
−2 x+% 3 xe−2 x
E3e#"lo -:
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y'' +16 y=0 , y (0 )=2, y ' (0 )=−2
enemos que la ecuación!
m2+16=0
Posee raAces complejas!
m1=4 i ,m2=−4 i
s obvia la solución
y=% 1 cos 4 x+% 2 sen 4 x
valuando para la condición inicial de y=2 para x=0 ! obtenemos
2=% 1
Para el estudio de la segunda condición! la solución debe ser derivada
y=% 1 cos 4 x+% 2 sen 4 x
y' =−4% 1 sen4 x+4% 2cos4 x
9sA pues! evaluamos la condición de y' =−2 cuando x=0
−2=4 % 2
% 2=−12
La solución será!
y=2cos4 x−1
2sen 4 x
&RO'LE(AS:
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1.3 y' ' − y ' =0
2.2 y' ' +5 y ' =0
3. y' ' −16 y=0
4. y' ' +8 y=0
5. y' ' +9 y=0
6.3 y' ' + y=0
7. y
' '
−3 y'
+2 y=0
8. y' ' − y ' −6 y=0
9. d
2 y
d x2+8
dy
dx +16 y=0
10.d
2 y
d x2−10
dy
dx+25 y=0
11. y' ' 3 y
' −5=0
12. y' ' +4 y ' − y=0
13.12 y' ' −5 y' −2=0
14.8 y' ' +2 y ' − y=0
15. y' ' −4 y ' +5 y=0
16.d
6 y
d x6− y=0
17.2 y' ' −3 y ' +4 y=0
18.3 y' ' +2 y ' + y=0
19.2 y ' ' +2 y ' + y=0
20. y' ' ' −4 y ' ' −5 y ' =0
21.4 y' '' +4 y ' ' + y ' =0
22. y' ' ' − y=0
23. y
' ' '
−6 y=0
24. y' ' ' +5 y ' ' =0
25. y' ' ' −5 y '' +3 y ' +9 y=0
26. y' ' ' +3 y ' ' −4 y ' −12=0
27. y' ' ' + y ' ' −2 y ' =0
28. y' ' ' − y '' −4 y ' =0
29. y' ' ' +3 y ' ' +3 y ' +1 y=0
30. y' ' ' −6 y '' +12 y ' −8 y=0
31.d
4 y
d x4 +
d3 y
d x3+
d2 y
d x2=0
32.d
4 y
d x4−2
d2 y
d x2+ y=0
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33.16 d
4 y
d x4+24
d2 y
d x2+9 y=0
34.d
4 y
d x4−7
d2 y
d x2−18 y=0
35.d
5 y
d x5−16
dy
dx=0
36.d
5 y
d x5−2
d4 y
d x4+17
d3 y
d x3=0
37.d
5 y
d x5+5
d4 y
d x4−2
d3 y
d x3−10
d2 y
d x2+
dy
dx+5 y=0
38.2 d
5 y
d x5−7
d4 y
d x4+12
d3 y
d x3+8
d2 y
d x2=0
39. y' ' +16 y=0, y (0 )=2, y ' (0 )=−2
40. y'' − y=0, y (0 )= y ' (0 )=1
41. y'' +6 y ' +5 y=0, y (0 )=0, y ' (0 )=3
42. y'' −8 y ' +17 y=0, y (0 )=4, y ' (0 )=−1
43.2 y'' −2 y ' + y=0, y ( 0 )=−1, y ' (0 )=0
44. y'' −2 y ' + y=0, y (0 )=5, y ' (0 )=10
45. y'' + y ' +2 y=0, y (0 )= y ' (0 )=0
46.4 y'' −4 y ' −3 y=0, y (0 )=1, y ' (0 )=5
47. y'' −3 y' +2 y=0, y (1 )=0, y ' (1 )=1
48. y'' + y=0, y ( * 3 )=0, y' ( * 3 )=2
49. y'' ' +12 y ' ' +36 y ' =0, y (0 )=0, y ' (0 )=1, y ' ' (0 )=−7
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50. y' ' ' +2 y ' ' −5 y ' −6 y=0, y (0 )= y ' (0 )=0, y ' ' (0 )=1
51. y' ' ' −8 y=0, y (0 )=0, y ' (0 )=−1, y ' ' (0 )=0
52. d4 y
d x4=0, y (0 )=2, y ' (0 )=3, y ' ' (0 )=4, y ' '' (0 )=5
53.d
4 y
d x4−3
d3 y
d x3+3
d2 y
d x2−
dy
dx=0, y (0 )= y ' (0 )=0, y' ' ( 0 )= y ' '' (0 )=1
54.d
4 y
d x4− y=0, y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0, y ' '' (0 )=1
55.d
4 y
d x4−4 y=0, y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0, y ' ' ' (0 )=1
COEFICIEN*ES INDE*ER(INADOS9 (E*ODO DE SU&ER&OSICION
Para resolver una ecuación diferencial no =omog6nea
a0 yn+a1 y
n−1+a2 yn−2+…+an−1 y
' +an y=g( x )
%e deben efectuar dos pasos:
(. $eterminar la función complementaria yc . La función complementaria
es la solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada a laecuación antes e;puesta! es decir
a0 yn+a1 y
n−1+a2 yn−2+…+an−1 y
' +an y=0
). @allar la solución particular y 0 . n la presente sección se van a
presentar m6todos para la obtención de soluciones particulares.
*. Luego la solución general vendrá dada por y= yc+ y 0
(6todo de coe=ciente% indeter#inado%
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La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución
particular y 0 de una $ lineal no 5o#o06nea se llama m6todo de los
coe'cientes indeterminados. La idea fundamental que sustenta este m6todo es
una conjetura acerca de la forma de y 0 ! en realidad una suposición
informada! motivada por las clases de funciones que constituyen la función de
entrada g( x) . l m6todo general se limita a $ lineales donde
• Los coe'cientes ai , i=0,1, …,n son constantes y
• g( x) es una k constante! una función polinomial! una función
e;ponencial eax
! una función seno o coseno sen xocos x ! o sumas
'nitas y productos de estas funciones.
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas de
g( x) :
g ( x )=10, g ( x )= x2−5 x , g ( x )=15 x−6+8 e− x
g ( x )=sen3 x−5 xcos2 x , g ( x )= x e x senx+(3 x2−1)e−4 x
l conjunto de funciones que consiste en constantes! polinomios!
e;ponenciales eax
! senos y cosenos tienen notable propiedad de que las
derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos deconstantes! polinomios! e;ponenciales! senos y cosenos. $ebido a que la
combinación lineal de derivadas y 0 debe ser id6ntica a g( x) ! parece
ra?onable suponer que y 0 tiene la misma forma que g( x) .
n los ejemplos siguientes se ilustra el m6todo.
E3e#"lo ):
y'' +4 y ' −2 y=2 x2−3 x+6
&a%o ):
-
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%e resuelve primero la ecuación =omog6nea relacionada y' ' +4 y ' −2 y=0 . $e
la formula cuadrática se encuentra que las raAces de la ecuación au;iliar
m2+4m−2=0
m1=−2−√ 6 , m2=−2+√ 6
Por consiguiente la función complementaria es
yc=% 1e−(2+√ 6 )+% 2 e
(−2+√ 6)
&a%o +:
$ebido a que la función g( x) es un polinomio cuadrático! supóngase una
solución particular que tambi6n es de la forma de un polinomio cuadrático:
y 0= = x2+>x+%
%e busca determinar coe'cientes especA'cos = , > y % para los cuales y 0
es una solución de la ecuación problema. %ustituyendo y 0 y las derivadas
y ' 0=2 =x+> y y ' ' 0=2 =
%ustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene!
y'' +4 y ' −2 y=2 x2−3 x+6
2 =+4 (2 =x+> )−2 ( = x2+>x+% )=2 x2−3 x+6
$istribuyendo!
2 =+8 =x+4 >−2 = x2
−2 >x−2 % =2 x2
−3 x+6
9grupando t6rminos se construye un sistema de ecuaciones!
-
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{ x2 (−2 = )=2
x (8 =−2 > )=−3T . 4 (2 =+4 >−2 % )=6
Resolviendo el sistema tenemos que! ==−1, >=−52 y % =−9 . Por lo tanto una
solución particular es!
y 0=− x2−
5
2 x−9
&a%o ,:
La solución general de la ecuación que se proporciona es
y= yc+ y 0
y=% 1 e−(2+√ 6)+% 2 e
(−2+√ 6)− x2−5
2 x−9
FOR(ACION DE y 0 &OR SU&ER&OSICION
E3e#"lo +:
y'' −2 y ' −3 y=4 x−5+6 x e2 x
Paso (:
La solución =omog6nea relacionada y' ' −2 y ' −3 y=0 resulta ser
yc=% 1e− x+% 2e
3 x
.
Paso ):
9 continuación! la presencia de 4 x−5 en g( x) indica que la solución
particular incluye un polinomio lineal. 9demás! debido a que la derivada de
producto x e2 x
produce 2 x e2 x
y e2 x
! se supone tambi6n que la solución
-
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particular incluye a x e2 x
y e2 x
. n otras palabras! g es la suma de dos
clases básicas de funciones:
g ( x )=g1 ( x )+g2 ( x )= 0o!inomio+ex0onencia!es.
n consecuencia! el principio de superposición para ecuaciones no=omog6neas indica que se busca una solución particular
y 0= y 0 1+ y 0 2
$onde y 01= =x+> y y 0 2=%x e2 x+ e2 x . %ustituyendo
y 0= =x+>+%x e2 x+ e2 x
$erivando y agrupando t6rminos semejantes en la ecuación! se obtiene
y'' −2 y ' −3 y=4 x−5+6 x e2 x
−3 =x−2 =−3 >−3 %x e2 x+(2% −3 )e2 x=4 x−5+6 x e2 x
$e esta identidad se obtienen las cuatro ecuaciones
{ x e
2 x (−3% )=6e2 x (2% −3 )=0 x (−3 = )=4
T . 4 (−2 =−3 > )=−5
9l resolver! se encuentra que ==−4
3 ,>=
23
9 ,% =−2 y =
−43 . n
consecuencia
y 0=−4
3 x+
23
9 −2 x e2 x−
4
3 e
2 x
&a%o ,:
-
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La solución general de la ecuación es
y=% 1 e− x+% 2 e
3 x−4
3 x+
23
9 −2 x e2 x−
4
3 e
2 x
E3e#"lo ,:
n el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición "obvia# para
la formación de y 0 no es una suposición correcta.
y'' −5 y ' +4 y=8 e x
%i se procede como se =i?o en los ejemplos anteriores! se puede suponer de
modo ra?onable una solución particular de la forma y 0= = e x
. Pero la
sustitución de esta e;presión en la ecuación diferencial produce la e;presión
contradictoria 0=8 e x
de modo que claramente se =i?o una conjetura
equivocada para y 0 .
La di'cultad aquA es evidente al e;aminar la función complementaria
y 0=% 1 e x+% 2 e
4 x
5bserve que la suposición = e x ya está presente en yc . sto signi'ca que
e x
es una solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada! y un
m3ltiplo constante = e x
cuando se sustituye en la ecuación diferencial
necesariamente produce cero!
% 1 e x+% 2 e
4 x? = e
x
Fajo las circunstancias descritas! se puede constituir la siguiente regla general.
Regla de la multiplicación. Si alguna y 0 1 contiene términos que duplican
los términos de yc , entonces esa
y 01 se debe multiplicar por xn
, donde
n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación.
-
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&on base en la regla! se puede encontrar una solución particular de la forma!
y 0= =x e x
9l sustituir y ' 0= =x e x+ = e x y y ' ' 0= =x e
x+2 = e x en la ecuación diferencial y
simpli'cando! se obtiene
y'' −5 y ' +4 y=−3 = e x=8 e x
$e la ultima igualdad se ve que el valor de = a=ora se determina como
==−8
3 . Por consiguiente! una solución particular de la que se proporciona es
y 0=−8
3 x e
x
Solucione% &articulare% de &ruea
g( x) For#a de y 0
1.(cua!@uier constante) =
2.5 x+7 =x+>
3.3 x2−2 =x2+>x+%
4. x3− x+1 =x3+> x2+%x+ /
5. sen 4 x =cos 4 x+>sen 4 x
6.cos4 x =cos 4 x+>sen 4 x
7. e5 x
=e5 x
8.(9 x−2)e5 x ( =x+>)e5 x
9. x2e5 x ( =x2+>x+% )e5 x
10. e3 x
sen 4 x = e3 x
cos 4 x+> e3 x sen 4 x
11.5 x2sen 4 x ( =x2+>x+% ) cos4 x+( x2+ 2x+$ ) sen 4 x
-
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12. x e3 x
cos 4 x ( =x+> ) e3 x cos 4 x+ (%x+ ) e3 x sen 4 x
&RO'LE(AS:
1. y ' ' +3 y ' +2 y=6
2. 4 y' ' +9 y=15
3. y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3
4. y ' ' + y ' −6 y=2 x
5.1
4 y
' ' + y ' + y= x2−2 x
6. y' ' −8 y ' +20 y=100 x2−26 x e x
7. y' '
+3 y=−48 x2
e3 x
8. 4 y' ' −4 y ' −3 y=cos2 x
9. y' ' − y ' =−3
10. y' ' +2 y ' =2 x+5−e−2 x
11. y '' − y ' + 14
y=3+e x
2
12. y' ' −16 y=2 e4 x
13. y' ' +4 y=3 sen 2 x
14. y' ' −4 y=( x2−3 ) sen 2 x
15. y' ' + y=2 xsenx
16. y' ' −5 y ' =2 x3−4 x2− x+6
17. y' ' −2 y ' +5 y=e x cos2 x
18. y' ' −2 y ' +2 y=e2 x(cosx−3 senx)
19. y' ' +2 y ' + y=senx+3cos2 x
20. y' ' +2 y ' −24=16−( x+2)e4 x
21. y' ' ' −6 y ' ' =3−cosx
22. y' ' ' −2 y' ' −4 y ' +8 y=6 x e2 x
23. y' ' ' −3 y '' +3 y ' − y= x−4 e x
24. y' ' ' − y '' −4 y ' +4 y=5−e x+e2 x
25. y(4)+2 y ' ' + y=( x−1)2
26. y(4)− y '' =4 x+2 x e− x
-
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27. y' ' +4 y=−2, y ( * 8 )=12 , y
' ( * 8 )=2
28.2 y' ' +3 y ' −2 y=14 x2−4 x−11, y (0 )=0, y ' (0 )=0
29.5 y' ' + y ' =−6 x , y (0 )=0, y ' (0 )=−10
30. y' ' +4 y ' +4 y=(3+ x ) e−2 x , y (0 )=2, y ' (0 )=5
31. y' ' +4 y ' +5 y=35 e−4 x , y (0 )=−3, y (0 )=1
32. y' ' − y=cos"x , y (0 )=2, y ' (0 )=12
33.d
2 x
d t 2 +A 2 x= 2 0 senAt , x (0 )=0, x
' (0 )=0
34.d
2 x
d t 2 +A 2 x= 2 0 cosBt , x (0 )=0, x
' (0 )=0
35. y' ' ' −2 y ' ' + y ' =2−24 e x+40 e5 x , y (0 )=
1
2 , y ' (0 )=
5
2, y
' ' (0 )=−9
2
36. y' ' ' +8 y=2 x−5+8 e−2 x , y (0 )=−5, y ' (0 )=3, y ' ' (0 )=−4
37. y' ' −9 y ' +14 y=3 x2−5 sen2 x+7 x e6 x
38. y' ' −5 y ' + y=e x
39. y' ' + y=4 x+10 senx,y ( * )=0, y ' ( * )=2
40. y'' −6 y ' +9 y=6 x2+2−12e3 x
41. y'' ' + y ' ' =e x cosx
42. y(4 )+ y ' ' ' =1− x2 e− x
-
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43. y'' +4 y=g ( x ) , y (0 )=1, y ' ( 0 )=2, dondeg ( x )={senx , 0 5 x 5
*
2
0, x> *
2
44. y'' −2 y ' +10 y=g ( x ) , y (0 )=0, y ' (0 )=0,dondeg ( x )={20,05 x5 * 0, x>*
VARIACION DE &ARA(E*ROS
9sA para resolver!
a2 y'' +a1 y
' +a0 y=g( x )
Primero se encuentra la función complementaria y 0 ! de la misma forma que
en las secciones anteriores!
yc=% 1 y1+% 2 y2
%e procede a calcular el >ron%?iano!
C ( y1 ( x ) , y2 ( x ))
9l dividir entre a2 ! se escribe en la ecuación en la forma estándar
y'' + y ' +)y=# ( x)
Para determinar a # ( x) . %e encuentra u1 y u2 al integrar
u ' 1=
C 1
C
y u ' 2=
C 2
C
$onde C 1 y C 2 se obtiene!
C =| y1 y2 y ' 1 y ' 2|, C 1=| 0 y2
# ( x ) y ' 2|,C 2=| y1 0 y ' 1 # ( x )|
-
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Una solución particular es y 0=u1 y 1+u2 y2
9sA la solución general de la ecuación es
y= yc+ y 0
E3e#"lo ):
y' ' −4 y ' +4 y=( x+1)e2 x
$e la ecuación au;iliar m2−4 m+4=0 se obtiene!
yc=% 1e2 x+% 2 x e
2 x
&on las identi'caciones y1=e2 x
y y2= x e2 x
! a continuación se calcula el
JronsKiano:
C (e2 x
, x e
2 x
)=| e
2 x x e
2 x
2 e2 x 2 x e2 x+e2 x|=e
4 x
&omo en la ecuación a resolver! el coe'ciente de y ' ' es (! se identi'ca
# ( x )=( x+1)e2 x .
C 1=| 0 x e2 x
( x+1)e2 x 2 x e2 x+e2 x|=−( x+1 ) x e4 x ,C 2=| e2 x
0
2 e2 x ( x+1)e2 x|=( x+1 ) x e4 x
Por lo tanto!
u ' 1=−( x+1 ) xe4 x
e4 x
yu ' 2=
( x+1 ) xe4 x
e4 x
-
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u1=∫−( x+1 ) x dx y u2=∫ ( x+1 ) x dx
u1=−1
3 x
3−1
2 x
2, u2=
1
2 x
2+ x
Por consiguiente!
y 0=(−13 x3−1
2 x
2)e2 x+( 12 x2+ x) x e2 x
9grupando!
y 0=1
6 x
3e2 x+
1
2 x
2e2 x
La solución general vendrá dada!
y=% 1 e2 x+% 2 x e
2 x+1
6 x
3e
2 x+1
2 x
2e
2 x
E3e#"lo +:
4 y' ' +36 y=csc 3 x
Primero se organi?a la ecuación de la forma estándar!
y'' +9 y=
1
4 csc3 x
$ebido a que las raAces de la ecuación au;iliar m2
+9=0 son m1=3 i y
m2=−3i ! la función complementaria es
yc=% 1 cos3 x+% 2 sen 3 x
ntonces!
-
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y1=cos3 x , y2=sen3 x
# ( x )=14 csc 3 x
Para el JronsKiano!
C (cos3 x , sen 3 x )=| cos3 x sen3 x−3 sen 3 x 3cos3 x|=3
C 1=| 0 sen3 x14
csc3 x 3cos3 x|=−14 , C 2=| cos3 x 0−3 sen3 x 14
csc3 x|=14 cos3 xsen3 x9l integrar!
u ' 1=−112
y u ' 2= cos3 x
12 sen 3 x
%e obtiene u1=−112
x y u2= 1
36 ln|sen 3 x| . Por consiguiente! una solución
particular es
y 0=−1
12 xcos3 x+ 1
36 (sen 3 x ) ln|sen 3 x|
La solución general de la ecuación es
y=% 1 cos 3 x+% 2 sen3 x− 1
12 xcos 3 x+
1
36( sen 3 x ) ln|sen 3 x|
&RO'LE(AS:
1. y' ' + y=secx 2. y' ' + y=senx
-
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58/82
3. y' ' + y=tanx
4. y' ' + y=sec tan
5. y ' ' + y=cos2
x
6. y' ' + y=sec2 x
7. y' ' − y=cos"x
8. y' ' − y=sen"x
9. y ' ' −4 y= e2 x
x
10. y' ' −9 y=
9 x
e3 x
11. y'' +3 y ' +2 y=
1
1
+e
x
12. y' ' −2 y ' + y=
e x
1+ x2
13. y' ' +3 y ' +2 y=sene x
14. y' ' −2 y ' + y=e t arctan t
15. y' ' +2 y ' + y=e−t !nt
16.2 y' ' +2 y ' + y=4√ x
17.3 y' ' −6 y ' +6 y=e x secx
18.4 y ' ' −4 y' + y=e x/ 2√ 1− x2
Resuelva cada ecuación mediante variación de parámetros! sujeta a las
condiciones iniciales y (0 )=1, y' (0 )=0 .
19.4 y' ' − y= x e x/ 2
20.2 y' ' + y ' − y= x+1
21. y' ' +2 y ' −8 y=2e−2 x−e− x
22. y' ' −4 y ' +4 y=(12 x2−6 x)e2 x
-
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Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por medio de variación deparámetros.
23. y' ' ' + y ' =tanx
24. y' ' ' +4 y ' =sec 2 x
9nalice como pueden combinarse los m6todos de coe'cientes indeterminadosy variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Ponga enpráctica sus ideas.
25.3 y' ' −6 y ' +30 y=15 senx+e x tan3 x
26. y' ' −2 y ' + y=4 x2−3+ x−1 e x
DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE
n cálculo elemental se aprendió que la diferenciación e integración sontransformadas; esto signi'ca! en t6rminos apro;imados! que estas operaciones
transforman una función en otra. Por ejemplo! la función # ( x )= x2
se
transforma! a su ve?! en una función lineal y una familia de funcionespolinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración:
d
dx x
2=2 x ambi6n ∫ x2dx=
x3
3 +% . 9demás estas dos transformadas
poseen la propiedad de linealidad de que la transformada de una combinaciónlineal de funciones es una combinación lineal de transformadas. n estasección se e;amina un tipo especial de transformada integral llamadatran%for#ada de La"lace. 9demás de poseer la propiedad de linealidad! latransformada de Laplace tiene muc=as otras propiedades interesantes que la=acen muy 3til para resolver problemas de valores lineales.
DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE
%ea # una función de'nida para t 90 . ntonces se dice que la integral
L { # (t )}=∫0
6
e−st
# ( t ) dt
-
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s la transformada de Laplace de # ! siempre que converja la integral.
&uando la integral converge! el resultado es una función de s .n los
ejemplos siguientes se usa una letra min3scula para denotar la función que se
transforma y la letra may3scula correspondiente para denotar su transformada.
E3e#"lo ):
L {e−3 t }
$e la de'nición se tiene!
¿∫0
6
e−st
e−3 t
dt =∫0
6
e−( s+3 )t dt
¿−e−(s+3) t
(s+3) |6¿0
¿ 1
s+3 , s>−3
l resultado se deduce del =ec=o de que
limt 7 6 e
−( s+3 )t
=0
Para s+3>0 ! o bien! s>−3
E3e#"lo +:
L {sen2 t }
$e la de'nición!
¿∫0
6
e−st
sen2 t dt
¿−e−st sen 2 t
s −
2 e−st
cos2 t
s2
− 4
s2∫
0
6
e−st
sen 2 t dt
-
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¿−se−st sen 2 t
(s2+4) −
2 e−st
cos2t
(s2+4 ) |6¿0
limt 7 6
e−st
cos2 t =0,s>0
valuando el resultado es!
¿ 2
s2+4
, s>0
&ARA UN CO('INACION LINEAL DE FUNCIONES
∫0
6
e−st [-# ( t )+ < g( t )]dt =- ∫
0
6
e−st
# ( t )dt + c .
&omo resultado de la propiedad dada!
L {1+5 t }
¿ L {1 } L {5 t }
$e la de'nición antes e;puesta se concluye!
¿1
s +
5
s2
*RANSFOR(ADA DE UNA FUNCION CON*INÚA &OR &AR*ES
valuar L { # (t )
-
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62/82
# ( t )={0, 05 t 0
&RO'LE(AS:
Use la de'nición L { # (t )}=∫0
6
e−st
# ( t ) dt para encontrar la transformada de
Laplace!
1. # ( t )={2, 05 t
-
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63/82
5. # ( t )={sent ,0 5 t
-
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64/82
20. # ( t )=t e4 t
21. # ( t )=4 t −10
22. # ( t )=7 t +3
23. # ( t )=t 2+6 t −3
24. # ( t )=−4 t 2+16 t +9
25. # ( t )=(t +1)3
26. # ( t )=(2t −1 )3
27. # ( t )=1+e4 t
28. # ( t )=t 2−e−9t +5
29. # ( t )=(1+e2t )2
30. # ( t )=(et
−e−t
)2
31. # ( t )=4 t 2−5 sen3 t
32. # ( t )=cos5 t +sen2 t
33. # ( t )=sen" kt
34. # ( t )=cosh kt
35. # ( t )=e t sen"t
36. # ( t )=e−t cos"t
37. # ( t )=sen 2 t cos 2t
38. # ( t )=cos2 t
39. # ( t )=sen(4 t +5)
40. # ( t )=10cos (t −* 6 )
*RANSFOR(ADA INVERSA
%i 2 (s) representa la transforma de Laplace de una función # (t ) ! se dice
entonces que # (t ) es la transformada de la Laplace inversa de 2 (s) y se
escribe # (t )= 8−1 {# (s)} .
E3e#"lo ):
L {e−3 t }= 1
s+3 su transformada inversa ese−3t = 8−1 { 1s+3 }
E3e#"lo +: Di$i%ión de t6r#ino a t6r#ino ; linealidad
-
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65/82
valu6 la transformada inversa!
{−2 s+6s2+4 }
Primero se reescribe la función provista de s como dos e;presiones por
medio de la división t6rmino a t6rmino! y luego se usa la ecuación
8−1{−2 ss2+4 +
6
s2+4 }=−2 8
−1 { ss2+4 }+6
2 8
−1 { 2s2+4 }¿−2cos2 t +3 sen 2 t .
E3e#"lo ,:
Fraccione% "arciale% en la tran%for#a in$er%a2
(s−1 ) (s−2 ) s+4s
2+6 s+9¿
8−1 {¿ }
;isten constantes reales! = ,> y % ! de tal forma que
(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9
¿ ¿=
=
s−1+
>
s−2+
%
s+4
(s−1 ) (s−2 ) s+4(s−1 ) (s−2 ) s+4
s2+6 s+9
¿ ¿= = ( s−2 ) ( s+4 )+> (s−1 ) (s+4 )+% ( s−1 )(s−2)
¿ ¿
Puesto que los denominadores son id6nticos! los numeradores son id6nticos:
s2+6 s+9= = (s−2 ) (s+4 )+> ( s−1 ) ( s+4 )+% (s−1 )(s−2)
-
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66/82
%i se establece s=1,s=2 y s=−4 ! se obtiene! respectivamente!
==−165
, >=25
6 y % =
1
30
Por lo tanto! la descomposición en fracciones parciales es
(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9
¿ ¿=
−16 /5(s−1)
+ 25/6(s−2)
+ 1/30(s+4 )
H! por consiguiente!
(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9
¿
8−1 {¿ }=
−165
8−1{ 1D−1 }+256 8−1{ 1s−2 }+ 130 8−1{ 1s+4 }
¿−16
5 e
t +25
6 e
2t + 1
30 e
−4 t
&RO'LE(AS:
1.
{ 1
s3
}2.{ 1s4 }
3.{ 1s3−48
s5 }
4. {(2s− 1s3 )2
}
5.{ (s+1 )3
s4 }
6.
{ (s+2 )
2
s3 }
7.{ 1s2−1
s+
1
s−2}
8.{4s + 6s5− 1
s+8 }
9. { 14 s+1 }
10.{ 15 s−2 }
-
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11.{ 5s2+49 }
12.
{ 10 s
s2
+16 }13.{ 4 s4 s2+1 }
14.{ 14 s2+1 }
15.
{2 s−6
s2+9 }
16.{ s+1s2+2}
17.{ 1s2+3 s }
18.{ s+1
s2−4 s }
19.{ ss2+2 s−3}
20.{ 1s2+s−20 }
21.{ 0.9 s(s−0.1 )(s+0.2) }
22.{ s−3(s−√ 3 ) ( s+√ 3 ) }
23.{ s(s−2 ) (s−6 )(s−3)}
24.
{ s
2+1
s ( s−1 ) ( s+1 )(s−2)}25.{ 1s3+5 s }
26.{ s(s+2 )(s2+4) }
27.
{ 2 s−4(s2+s )(s2+1)}
28.{ 1s4−9 }
29.{ s+5s6−1 }
30.{ 1(s2+1 )(s2+4 )}
31.{ 6 s+3s4+5 s2+4 }
32.{ s+7s (s2+s+1) }
33.{ s2+9 s
s4−s2−12 }
-
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34.{ s2+7 s+5
s5+3 s4+4 s3+4 s2 }
35.
{ s
2+5 s+1
(s3−8 )(s4−22 s2−75)}esim0ortante acotar ( s3−8) (s4−22 s2−75 )=s7−22 s5−8 s4−75 s3+176 s2+600
Creci#iento ; Decreci#iento "olacional
(. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al
n3mero de personas presentes en el tiempo t . %i en cinco aMos se
duplica una población inicial 0 . N&uánto tarda en triplicarseO Nn
cuadruplicarseO). %uponga que se sabe que la población de la comunidad del problema (
es (1 111 despu6s de tres aMos. N&uál fue la población inicial 0
ON&ual será la población en (1 aMosON&on que rapide? crece la población
en t =10 O
*. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población
presente en el tiempo t . La población inicial de ,11 se incrementa
-
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(, en die? aMos. N&uál será la población en *1 aMosO NIue tan rápido
está creciendo la población en t =30 O
+. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al
n3mero de bacterias presentes en el tiempo t . $espu6s de tres =oras
se observo que están presentes +11 bacterias. $espu6s de die? =oras=ay )111 bacterias N&uál fue el n3mero inicial de bacteriasO
,. l isotopo radiactivo del plomo! PbQ)12! decae a una rapide?
proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida
media de *!* =oras. %i al inicio está presente un gramo de ese isotopo!N&uánto tiempo tarda en decaer 21 del plomoO
-. Un cientA'co prepara una muestra de sustancia radiactiva. Un aModespu6s la muestra contiene * g de la sustanciaE ) aMos despu6s =aysolo ( g. $etermine la cantidad de sustancia radiactiva que =abAainicialmente.
. 9l inicio =abAa (11 miligramos de una sustancia radiactiva. $espu6s de -=oras la masa =abAa disminuido en *. %i la rapide? de decaimiento es
proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t !
determine la cantidad restante despu6s de )+ =oras./. $etermine la vida media de la sustancia que se describe en el problema
.2.
a7 &onsidere que el problema de valor inicial!d=
dt =k=,= (0 )= =0
&omo el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. $emuestre
que! en general! la vida media T de la sustancia es T =−(ln 2)/k .
b7 $emuestre que la solución del problema de valor del inciso 8a7 sepuede escribir como
= (t )= =02−t /T
c7 %i la sustancia radiactiva tiene la vida media que se indica en el
inciso 8a7.N&uánto tarda una cantidad inicial =0 de la sustancia en
decaer a1
8 =0 O
(1.&uando un =a? vertical de lu? pasa por un medio transparente! la
rapide? a la que decrece su intensidad 4 es proporcional a 4 ( t ) !
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donde t representa el espesor del medio 8en pies7. n agua de mar
clara! la intensidad tres pies por debajo de la super'cie es de ), de la
intensidad inicial 4 0 del =a? incidente. N&uál es la intensidad del =a?
(, pies debajo de la super'cieO((.l estroncio 218%rQ217 es un isotopo radiactivo producido en e;plosiones
de bombas de =idrogeno. l tratado de proscripción de pruebasnucleares sobre la super'cie de la ierra de (2-* se baso en evidenciasde contaminación! con %rQ21! de la lec=e y de los =uesos =umanos. Lavida media del %rQ21 es de )2 aMos. %uponga que ninguna nueva fuentede %rQ21 =a contaminado la atmosfera desde (2-*. $etermine quefracción del nivel de %rQ21 en (2-* permaneció en la atmosfera en )11*.$etermine la fec=a apro;imada en que el nivel de %rQ21 será solo ( delnivel de (2-*.
().l bitartrato de =idrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y
aliviar el dolor. La droga se elimina del cuerpo mediante un proceso dedecaimiento natural con una vida media de *!/ =. La dosis usual es de(1 mg cada - =oras. $escriba y resuelva el problema con valor inicialque modela la cantidad de bitartrato de =idrocodonio en un pacientedespu6s de una dosis. %uponga que la cantidad del medicamento antes
de la dosis es )0 y que el medicamento es absorbido
inmediatamente.9=ora suponga que un paciente toma bitartrato de =idrocodonio solo undAa. %uponiendo que inicialmente no =ay ninguna cantidad delmedicamento en el sistema del paciente! represente de manera gra'ca
la cantidad a lo largo de ) dAas. Dote que el paciente toma + dosis elprimer dAa y ninguna el segundo.
Le; de enfria#iento
(*.%e toma un termómetro de una =abitación donde la temperatura es de14 y se lleva al e;terior! donde la temperatura del aire es de (14.$espu6s de medio minuto el termómetro marca ,14. N&uál es la lectura
del termómetro en t =1min O N&uánto tarda el termómetro en alcan?ar
(,4O
(+.%e lleva un termómetro de una =abitación al e;terior! donde latemperatura del aire es de ,4. $espu6s de un minuto el termómetromarca ,,4 y despu6s de , minutos la lectura es de *14. N&ual es latemperatura inicial de la =abitaciónO
(,.Un termómetro en el que se lee 14 se coloca en un lugar donde latemperatura es de (14. &inco minutos más tarde el termómetro marca+14. NIu6 tiempo debe transcurrir para que el termómetro marquemedio grado más que la temperatura del medioO
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(-.Una pequeMa barra metálica! cuya temperatura inicial fue de )1&! sesumerge en un gran recipiente de agua =irviente. N&uánto tarda la barraen alcan?ar 21& si se sabe que su temperatura aumenta ) en unsegundoO N&uánto le toma a la barra llegar a 2/&O
(.$os recipientes grandes 9 y F del mismo tamaMo se llenan con
diferentes lAquidos. Los lAquidos de los recipientes 9 y F se mantienen a1& y (11&! respectivamente. Una barra metálica! cuya temperaturainicial es de (11&! se sumerge en el recipiente 9. $espu6s de un minutola temperatura de la barra es de 21&. ranscurridos dos minutos seretira la barra y se trans'ere de inmediato al otro recipiente. $espu6s depermanecer un minuto en el recipiente F la temperatura de la barraaumenta (1. N&uánto tiempo! desde el inicio del proceso! tarda la barraen llegar a 22!2&O
(/.Un termómetro que marca 14 se coloca en un =orno precalentado auna temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del=orno! un observador registra que despu6s de medio minuto el
termómetro marca ((14 y luego de un minuto la lectura es de (+,4.N&ual es la temperatura del =ornoO
(2.n una =abitación la temperatura que marca un termómetro clAnico esde )1&. Para detectar si un paciente tiene 'ebre 8de'nida comotemperatura corporal de */& o más7 se coloca un termómetro en laa;ila del paciente. %i al cabo de un minuto el termómetro marca )& enuna persona sana 8con temperatura de *-&7! N&uánto tiempo se debedejar en una persona con 'ebre para detectarla con un error no mayorque 1!)&O
)1.Un ganadero salió una tarde a ca?ar un lobo solitario que estabadie?mando su rebaMo. l cuerpo del ganadero fue encontrado sin vidapor un campesino! en un cerro cerca del ranc=o junto al animal ca?ado!a las -:11 = del dAa siguiente. Un medico forense llego a las :11 y tomola temperatura del cadáver! a esa =ora anoto )*&E una =ora más tarde!al darse cuenta de que en la noc=e! y aun a esas =oras! la temperaturaambiente era apro;imadamente de ,&! el m6dico volvió a medir latemperatura corporal del cadáver y observó que era de (/!,&. N9 que=ora murió el ganadero apro;imadamenteO
)(.Un material cerámico se saca en cierto momento de un =orno cuyatemperatura es de ,1&! para llevarlo a una segunda etapa de unproceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de
cuando muc=o )11&. %uponga que la temperatura de una sala deenfriamiento donde se colocara este material! es de ,& y que! despu6sde (, min! la temperatura del material es de -11&. Nn cuánto tiempoel material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de suprocesoO
)).9 las (*:11 =oras un termómetro que indica (14 se retira de uncongelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de --4. 9 las(*:1,! el termómetro indica ),4. >ás tarde! el termómetro se coloca
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nuevamente en el congelador. 9 las (*:*1 el termómetro da una lecturade *)4. N&uándo se regreso el termómetro al congeladorO N&ual era lalectura del termómetro en ese momentoO
)*.Luis invito a Flanca a tomar caf6 en la maMana. l sirvió dos ta?as decaf6. Flanca le agrego crema su'ciente como para bajar la temperatura
de su caf6 (4. $espu6s de , min! Luis agrego su'ciente crema a su caf6como para disminuir su temperatura en (4. Por 'n! tanto Luis comoFlanca empe?aron a tomar su caf6. NIui6n tenAa el caf6 más frioO
)+.La ra?ón con la que un cuerpo se enfrAa tambi6n depende de su área
super'cial e;puesta D . %i D es una constante! entonces una
modi'cación de la ecuación es
dT
dt =kD(T −T m)
$onde k
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b7 N&ómo se modi'carAa el comportamiento real si la ta?a fuera deespuma de poliestirenoO
c7 N%i la cuc=ara fuera de metal como se modi'carAa el comportamientorealO
).9 las nueve de la maMana un pastel a 14 es sacado del =orno y llevado
a una =abitación donde la temperatura es de (,4. &inco minutosdespu6s la temperatura del pastel es de +,4. 9 las 2:(1 am se regresa ainterior del =orno! donde la temperatura es 'ja e igual a 14. N&uál es latemperatura del pastel a las 2:)1 amO
Drenado de tan.ue%
)/.Un cilindro recto circular de (1 pies de radio y )1 pies de altura! estálleno con agua. iene un pequeMo ori'cio en el fondo de una pulgada dediámetro N&uándo se vaciará todo el tanqueO
)2.Un tanque tiene la forma de un cubo de () pies de arista. $ebido a unpequeMo ori'cio situado en el fondo del tanque! de ) pulgadascuadradas de área! presenta un escape. %i el tanque está inicialmentelleno =asta las tres cuartas partes de su capacidad! determine:a7 N&uándo estará a la mitad de su capacidadOb7 N&uándo estará vacAoO
*1.Un tanque en forma de cono circular recto! de altura " radio r !
v6rtice por debajo de la base! está totalmente lleno con agua.$etermine el tiempo de vaciado total si
"=12 0ies ,r=5 0ies , a=1 0u!g2 y el factor de fricciónScontracción es
c=0,6 .
*(.Una ta?a =emisf6rica de radio R está llena de agua. %i =ay un pequeMo
ori'cio de radio r en el fondo de la super'cie conve;a! determine el
tiempo de vaciado.*).Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al =acer girar la curva
y= x4 /3 alrededor del eje y. %iendo las ((:) de la maMana se retira un
tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del aguaen el tanque es () pies. Una =ora más tarde la profundidad del agua =a
descendido a la mitad. $eterminea7 N9 qu6 =ora estará vacAo el tanqueOb7 N9 qu6 =ora quedara en el tanque ), del volumen de lAquido inicialO
**.l tanque que se muestra en la 'gura está totalmente lleno de lAquido.%e inicia el proceso de vaciado! por una perforación circular de área
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1cm2
ubicada en la base inferior del depósito. %i se =a establecido el
coe'ciente de descarga c=0,447 y la gravedad es g=10 m
seg2 .
$etermine:
a7 iempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenidoequivalente al (/!, de su capacidad
b7 iempo de vaciado total del tanque
*+.l tanque que se muestra en la 'gura se encuentra lleno en un (11. l
lAquido escapa por un ori'cio de 5 cm2
de área! situado en el fondo del
tanque. $etermine:
a7 iempo de vaciado totalb7 iempo para que el volumen de lAquido en el tanque descienda
5 mts .
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*,.%e tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical =acia
abajo cuyas dimensiones son 2mts de diámetro y altura 3 mts . l
tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el lAquido escapa por unori'cio de )1 cm) de área situado al fondo del tanque. $etermine:a7 &uánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo untercio de su capacidad inicialb7 &alcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
*-.Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con
2 mts de radio menor! 4 mts de radio mayor y 8 mts de altura! está
lleno en un 21 de su capacidad. %i su contenido se escapa por un
ori'cio de 10 cm2
de área! ubicado al fondo del tanque! y sabiendo que
el coe'ciente de descarga se =a establecido en 1!,. $etermine eltiempo que tardará en vaciarse totalmente.
*.l dAa (, de julio de )11-! a las ):), pm! se pone a vaciar un tanquecilAndrico con eje =ori?ontal! el cual está inicialmente lleno en un (11.
La longitud del tanque es de 10mts ! el radio 4 mts . %i el agua Tuye
por un ori'cio de área ) cm)! situado en el fondo del tanque y se =aestablecido el coe'ciente de descarga en 1!-! determine qu6 dAa y a qu6=ora el taque se vacAa totalmente.
*/.Un tanque en forma semiesf6rica de 8 mts de radio está totalmentelleno de agua. %e retira un tapón que está en el fondo! justo a las +:)pm. Una =ora despu6s la profundidad del agua en el tanque =adescendido un metro. $etermine:a7 N9 qu6 =ora el tanque estará vacAoOb7 N9 qu6 =ora quedará en el tanque *(!), del volumen inicial.
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*2.l tanque que se muestra en la 4ig. ( está lleno de agua en un (11:&omien?a a vaciarse por un ori'cio situado en su base inferior de "9#cm) de área. %i transcurrida ( =ora - minutos +1 segundos el nivel libre
de lAquido =a descendido 5 mts y el coe'ciente de descarga se =a
establecido en 1!/. $etermine:a7 rea del ori'cio de salidab7 iempo de vaciado total
+1.&alcular el tiempo que tarda en vaciarse completamente un tanque de
forma cilAndrica de altura 2mts y radio 1 mt a trav6s de ) ori'cios de
2,5 cm de radio que se encuentran uno en la parte inferior y otro a un
cuarto de su altura. %uponga c=0,8 y g=9,8 m/ seg2
.
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(e!cla%
(. Un depósito contiene )11 litros de lAquido en el que se disuelven *1gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se
bombea =acia el depósito a una rapide? de 4 8 /min E la solución bien
me?clada se bombea =acia afuera a la misma rapide?. &alcule la
cantidad = (t ) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el
tiempo t .
). Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura aldepósito.
*. Un depósito grande se llena al má;imo con ,11 galones de agua pura.%e bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón
a ra?ón de 5ga!/min E la solución bien me?clada se bombea a la misma
rapide?. &alcule el n3mero = (t ) de libras de sal en el depósito en
tiempo t .
+. n el problema anterior! N&uál es la concentración c(t ) de sal en el
depósito en el tiempo t O Nn t =5min O N&uál es la concentración de
la sal en el depósito despu6s de un tiempo largo! es decir! cuando
t 7 6 O Nn qu6 momento la concentración de la sal en el depósito es
igual a la mitad de este valor limiteO,. Un tanque con capacidad de ,11 galones contiene inicialmente )11galones de agua con (11 lb de sal en solución. %e inyecta al tanque
agua que cuya concentración de sal es de 1! / ga! ! a ra?ón de
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3ga!/min . La me?cla debidamente agitada y =omogenei?ada sale del
tanque a ra?ón de 2ga!/min .
a7 ncuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanquepara cualquier tiempo.
b7 $etermine la concentración de sal en el instante justo en que lasolución alcan?a el volumen total del tanque.
-. Un tanque contiene +,1 litros de lAquido en el que se disuelven *1 gr de
sal. Una salmuera que contiene 3gr /!ts se bombea al tanque con una
intensidad de 6 !ts/min ! la solución adecuadamente me?clada se
bombea =acia fuera con una intensidad de 8 !ts/min . ncuentre el
n3mero de gramos de sal y la concentración de sal! que =ay en eltanque en un instante cualquiera.
. Un gran depósito está lleno de ,11 galones de agua pura. Una salmueraque contiene 2! / ga! se bombea al tanque a ra?ón de 5ga!/min . La
salmuera! adecuadamente me?clada! se bombea =acia fuera con lamisma rapide?.a7 @alle el n3mero de libras de sal y la concentración de sal en el
tanque en un instante t cualquiera.
b7 $etermine la cantidad de sal y la concentración al cabo de =ora ymedia de iniciado el proceso de me?cladoc7 N&uánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el
tanque sea de -*)!() librasO/. fectuar el ejercicio anterior suponiendo que la solución se e;trae a
ra?ón de 10ga!/min . N&uánto tiempo demorara el tanque en vaciarseO
2. Un tanque cuyo volumen es de +111 lts está inicialmente lleno =asta lamitad de su capacidad! con una solución en la que =ay disueltos (11 Kg
de sal. %e bombea agua pura al tanque a ra?ón de )!ts /min y la
me?cla! que se mantiene =omog6nea mediante agitación! se e;trae a
ra?ón de 3 !ts/min . %i se sabe que al cabo de * =oras y )1 min =ay /11
lt más de solución en el tanque! determine:a7 l caudal de entrada Ib7 &antidad de sal en el tanque al cabo de + =orasc7 &antidad de sal y concentración de sal al momento justo de comen?ara desbordarse
(1.&onsid6rese un estanque con un volumen de / mil millones de piesc3bicos y una concentración inicial de contaminantes de 1!), . @ay uningreso diario de ,11 millones de pies c3bicos de agua con una
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concentración de contaminantes de 1!1, y un derrame diario de igualcantidad de agua bien me?clada en el estanque N&uánto tiempo pasarápara que la concentración de contaminantes en el estanque sea de1!(1O
((.Un tanque de +11 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de
salmuera! con una concentración de sal de 5kg /ga! . %e inyecta
salmuera al tanque con concentración de 1 kg/ ga! y a ra?ón de
5 ga! /mi n . La salmuera! debidamente agitada y =omogenei?ada en el
tanque! Tuye a ra?ón de )ga! /min . %i se sabe que al cabo de dos
=oras y media el tanque alcan?a su má;ima capacidad! determine:a7 l caudal de salida Ib7 La cantidad de sal cuando alcan?a su má;ima capacidad.
().%e bombea cerve?a con un contenido de - de alco=ol por galón! a un
tanque que inicialmente contiene +11 gal de cerve?a con * por galónde alco=ol. La cerve?a se bombea =acia el interior con una rapide? de
3 ga! /min en tanto que el lAquido me?clado se e;trae con una rapide?
de 4 ga! /min .
a7 5btenga el n3mero de galones de alco=ol que =ay en el tanque en uninstante cualquierab7 N&uál es el porcentaje de alco=ol en el tanque luego de -1 minOc7 N&uánto demorará el tanque en vaciarseO
Circuito% en Serie
(*.%e aplica una fuer?a electromotri? de 30vo!ts a un circuito en serie
8R en el que la inductancia es de 0,1"enry y la resistencia es de
50o"ms . &alcule la corriente i (t ) si i (0 )=0. $etermine la corriente
cuando t 7 6 .
(+.Resuelva bajo la suposición de que (t )= 0 senFt y que i (0 )=i0 .
(,.Resuelva bajo la suposición de que (t )= 0 sec5 Ft y que i (0 )=i0
(-.%e aplica una fuer?a electromotri? a un circuito en serie en el que la
resistencia es de 200o"ms y la capacitancia es de 10−4
#arads.
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ncuentre la carga @( t ) en el capacitor si @ (0 )=0 . ncuentre la
corriente i (t ).
(.Una fuer?a electromotri? de 200vo!ts se aplica a un circuito R% en
serie en el que la resistencia es de 1000o"ms y la capacitancia es de
5 x10−6
#arads. $etermine la carga @( t ) en el capacitor si i (0 )=0,4.
$etermine la carga y la corriente en t =0,005 s . $etermine la carga
cuando t 7 6 .
(/.Una fuer?a electromotri?.
(t )=
{120,05t 20
%e aplica a un circuito 8R en serie en el que la inductancia es de
20 "enries y la resistencia es de 2 o"ms . $etermine la corriente
i(t ) si i (0 )=0.
An/lo0o de Circuito en Serie
(2.ncuentre la carga en el capacitador de un circuito en serie 8R% en
t =0,01 s cuando
8=0,05 " , R=2 G,% =0,01 # , (t )=0V , @ (0 )=5 % ei (0 )=0 = . $etermine la
primera ve? en que la carga del capacitador es igual a cero.
)1.&alcule del capacitador en un circuito 8R% en serie cuando
8=1
4 " , R=20 G, % =
1
300 # , ( t )=0 V , @ (0 )=4 % e i (0 )=0 = . N9lguna ve? la
carga en el capacitador es igual a ceroOn los siguientes problemas encuentre la carga en el capacitor y la corriente
en el circuito 8R% . $etermine la carga má;ima en el capacitor.
)(. 8=5
3" , R=10G,% =
1
30 # , (t )=300 V , @ (0 )=0 % ,i (0 )=0 = .
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)). 8=1 " ,R=100 G,% =0,0004 # , (t )=30 V ,@ ( 0 )=0 % , i (0 )=2 =
)*.ncuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito 8R%
en serie cuando 8=1 " ,R=2 G,% =0,25 # y (t )=50 costV .
)+.>uestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito 8R% en serie esta dada por 0/Z ! donde Z es la impedancia del
circuito.),.Use el problema anterior para mostrar que la corriente de estado estable
en un circuito 8R% en serie cuando 8=1
2" , R=20 G,% =0,001 # y
(t )=100 sen 60 t V , esta dada por i 0 (t )=4,160 sen(60t −0,588) .
)-.ncuentre la corriente de estado estable en un circuito 8R%
cuando
8=1
2" , R=10 G,% =0,001 # y ( t )=100 sen 60 t +200cos40 t V .
).ncuentre la carga en el capacitador de un circuito 8R% en serie
cuando 8=1
2" , R=10G,% =0,01 # , (t )=150V , @ (0 )=1% ei (0 )=0 = . N&uál
es la carga en el capacitador despu6s de un largo tiempoO
)/.&alcule la carga en el capacitador y la corriente en un circuito 8%
cuando 8=0,1 " ,% =0,1 # , (t )=100 senBtV ,@ (0 )=0 % e i (0 )=0 = .
)2.&alcule la carga del capacitador y la corriente en un circuito 8%
cuando (t )= 0 cos Bt V ,@ (0 )=@0 % ei (0 )=i0 = .
INS*I*U*O UNIVERSI*ARIO &OLI*@CNICOSAN*IAGO (ARIBO
E7*ENSIN (ARACA DE&AR*A(EN*O DE (A*E(A*ICAS
-
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82/82
GUIA DE ES*UDIO
&ARA LA RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS
&rof2 o%6 L2 Arana
&rof2 enn; Ro#ero