spielzeit automatischer lagersysteme mit mehreren...
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TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Fakultät für Maschinenwesen
Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik
Spielzeit automatischer Lagersysteme mit mehreren
Übergabepunkten
Daniel Lantschner
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Maschinenwesen
der Technischen Universität München
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Michael Zäh
Prüfer der Dissertation:
1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner
2. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Georg Kartnig
Technische Universität Wien / Österreich
Die Dissertation wurde am 12.11.2014 bei der Technischen Universität München
eingereicht und durch die Fakultät für Maschinenwesen am 18.02.2015 angenommen.
Herausgegeben von:
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner
fml – Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik
Technische Universität München
Zugleich: Dissertation, München, TU München, 2015
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,
insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildun-
gen, der Wiedergabe auf fotomechanischem oder ähnlichem Wege und der Spei-
cherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben – auch bei nur auszugsweiser Ver-
wendung – vorbehalten.
Layout und Satz: Daniel Lantschner
Copyright © Daniel Lantschner 2015
ISBN: 978-3-941702-38-7
Printed in Germany 2015
Vorwort
Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik (fml) der Technischen Universi-
tät München. Für die Unterstützung in dieser Zeit möchte ich mich bei mehreren
Personen bedanken.
In erster Linie gilt mein Dank Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner, Leiter
des Lehrstuhls für Fördertechnik Materialfluss Logistik, für das entgegengebrachte
Vertrauen, seine Unterstützung und die gewährten Freiräume zur Bearbeitung dieses
Forschungsthemas. Zudem bedanke ich mich bei Herrn Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.
techn. Georg Kartnig für die Übernahme des Korreferats sowie bei Herrn Univ.-Prof.
Dr.-Ing. Michael Zäh für die Bereitschaft, den Vorsitz der Prüfungskommission zu
übernehmen.
Bei der Forschungsgemeinschaft Intralogistik, Fördertechnik und Logistiksysteme
(IFL) bedanke ich mich für die finanzielle Unterstützung des Forschungsprojektes
„Strategische Optimierung von Hochregallagersystemen“, welches den Grundstein
für meine Forschungstätigkeit in diesem Bereich legte.
Bedanken möchte ich mich auch bei allen Mitarbeitern des Lehrstuhls und mitwir-
kenden Studenten für die gute Zusammenarbeit und eine stets angenehme Arbeits-
atmosphäre. Ein ganz besonderer Dank gilt dabei Herrn Thomas Atz für die vielen
konstruktiven Diskussionen, wertvollen Impulse und Korrekturvorschläge, Herrn
Dr.-Ing. Michael Kleeberger für die Unterstützung in meiner Zeit am Lehrstuhl und
die Mitwirkung bei der Korrektur der Arbeit, sowie Herrn Sebastian Lotz für die
Beratung bei mathematischen Fragestellungen.
Schließlich danke ich noch herzlichst meiner Partnerin, Frau Maria Altinger, für die
bedingungslose Unterstützung und den Rückhalt, den sie mir gibt.
München, im März 2015 Daniel Lantschner
Kurzzusammenfassung
Automatische Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten sind seit
mittlerweile etwa 50 Jahren ein wichtiger Bestandteil von Logistiksystemen. Trotz
ständiger Weiterentwicklung ist der Übergabepunkt als Schnittstelle zwischen
Lagergasse und Lagervorzone im Regelfall nach wie vor in einem Eckpunkt der
Regale angeordnet. Diese Anordnung stellt hinsichtlich der mittleren Entfernung zu
den Lagerfächern der Regale eine ungünstige Lösung dar. Eine Verkürzung der
mittleren Entfernungen und folglich der mittleren Fahr- und Spielzeiten ist durch eine
in der vorliegenden Arbeit untersuchte Anordnung mehrerer Übergabepunkte in
einer Lagergasse möglich.
Um eine Untersuchung der Spielzeiten automatischer Lagersysteme mit mehreren
Übergabepunkten zu ermöglichen, erfolgt zunächst eine Beschreibung möglicher
Anordnungen der Übergabepunkte und der für den Betrieb erforderlichen Strategien.
Für die Auswahl eines Übergabepunktes werden dabei neue Strategien entwickelt.
In Abhängigkeit dieser Strategien kann eine Optimierung der Anordnung der Über-
gabepunkte in einer Lagergasse erfolgen, wofür ein Ansatz aufgezeigt wird.
Mittels numerischer Berechnung werden die Fahr- und Spielzeiten für exemplarische
Lagerkonfigurationen ermittelt. Auf diese Weise ist eine Untersuchung von Parame-
tern und schließlich der Spielzeiten unterschiedlicher Anordnungen mehrerer Über-
gabepunkte möglich. Anhand eines Vergleichs der Ergebnisse mit jenen für unter-
schiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes ist es möglich, das
Potenzial mehrerer Übergabepunkte hinsichtlich einer Verkürzung der Spielzeiten zu
ermitteln.
Den Schwerpunkt der Arbeit stellen mathematisch-analytische Berechnungsmodelle
für die Spielzeiten automatischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten dar.
Neu entwickelte Berechnungsmodelle ermöglichen eine Bestimmung der mittleren
Fahrzeit für ausgewählte Anordnungen der Übergabepunkte unter Berücksichtigung
der Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes. Auf diese Weise werden die
Voraussetzungen geschaffen, um mehrere Übergabepunkte in einer Lagergasse bei
der Planung automatischer Lagersysteme aufwandsarm berücksichtigen zu können.
Abstract
For about 50 years, automatic storage systems with rail-guided stacker cranes have
been an important part of logistics systems. Despite the constant evolution, the I/O
point as an interface between the storage aisle and pre-storage area is normally still
located in a corner position of the shelves. This arrangement represents an unfavor-
able solution in terms of the mean distance to the racks’ storage locations. A reduc-
tion of the mean distances and consequently the mean travel and cycle times is
possible through the arrangement of multiple I/O points in an aisle, which is being
investigated by the present thesis.
To allow for an investigation of the cycle times of automated storage systems with
multiple I/O points, initially potential arrangements of the I/O points and the required
operating policies are defined. In the process, new strategies for the selection of an
I/O point are developed. The arrangement of I/O points in a warehouse aisle can be
optimized on the basis of these strategies. An approach is presented for this pur-
pose.
Numerical calculations are used to arrive at travel and cycle times for exemplary
storage configurations. In this way, the examination of parameters and of the cycle
times for different arrangements of multiple I/O points is possible. Based on a com-
parison of the results with those for different arrangements of a single I/O point, it is
possible to determine the potential of multiple I/O points in terms of cycle time
reduction.
The main focus of the thesis lies on mathematical-analytical calculation models for
the cycle times of automated storage systems with multiple I/O points. Newly devel-
oped calculation models allow the determination of the mean travel times for select-
ed configurations of the I/O points, taking into account the strategy for the selection
of an I/O point. This establishes the conditions to allow for the easy consideration of
multiple I/O points in the planning process of automated storage systems.
I
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Ausgangssituation 1
1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise 3
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung 7
2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten 7
2.1.1 Lagerbetriebsstrategien 8
2.1.2 Zusammensetzung der Spielzeit 11
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten 13
2.2.1 Modellierung einer Lagergasse 13
2.2.2 Fahrzeit eines Regalbediengerätes 14
2.2.3 Regalwandparameter 16
2.2.4 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in Längenkoordinaten 18
2.2.5 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in skalierten und normierten Koordinaten 19
2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten 22
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 27
3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte 27
3.2 Anordnung der Übergabepunkte 33
3.2.1 Horizontale und vertikale Anordnungen 34
3.2.2 Weitere Anordnungen 36
3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte 37
3.3.1 Stationäre Übergabepunkte 37
3.3.2 Nicht stationäre Übergabepunkte 39
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 41
4.1 Voraussetzungen 41
4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes 42
4.2.1 Zufällige Auswahl eines Übergabepunktes 42
4.2.2 Auswahl des jeweils nächstgelegen Übergabepunktes 43
Inhaltsverzeichnis
II
4.2.3 Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 44
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte 45
4.3.1 Berechnung für die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes 46
4.3.2 Berechnung für die Auswahl des jeweils nächstgelegenen Übergabepunktes 48
4.3.3 Berechnung für die Auswahl unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 50
4.4 Vergleich der Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte 54
4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken 55
4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke 56
4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten 59
4.7.1 Belegungsstrategien 59
4.7.2 Bewegungsstrategien 61
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten 63
5.1 Bestimmung der Spielzeit 63
5.1.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen 64
5.1.2 Zykluszeiten für die Lastübergabe 65
5.1.3 Mittlere Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 65
5.1.4 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten 66
5.1.5 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten bei Zonierung 67
5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen 69
5.2.1 Kennwerte Regalbediengerät 69
5.2.2 Regalabmessungen 70
5.2.3 Betriebsstrategien 71
5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte 72
5.3.1 Einfluss der Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke 72
5.3.2 Einfluss der Anzahl der Übergabepunkte 74
5.3.3 Einfluss der Position der Übergabestrecken 75
5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung 76
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten 79
5.5.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe 79
5.5.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 80
Inhaltsverzeichnis
III
5.5.3 Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte 81
5.5.4 Ergebnisse der Spielzeitberechnung 84
5.5.5 Fazit 89
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 91
6.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen 92
6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile 93
6.2.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe 94
6.2.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 94
6.2.3 Berechnungsbeispiel 95
6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit 96
6.3.1 Berechnung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern 96
6.3.2 Berechnungsansatz für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 97
6.3.3 Ausblick für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 99
6.3.4 Validierung der Berechnungsmodelle 100
6.3.5 Berechnungsbeispiel 102
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes 102
6.4.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke 103
6.4.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte 111
6.4.3 Validierung der Berechnungsmodelle 121
6.4.4 Berechnungsbeispiel 122
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 125
6.5.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke 125
6.5.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte 136
6.5.3 Validierung der Berechnungsmodelle 138
6.5.4 Berechnungsbeispiel 139
7 Zusammenfassung und Ausblick 143
Literaturverzeichnis 147
Abbildungsverzeichnis 155
Tabellenverzeichnis 159
V
Verwendete Formelzeichen
Folgende Formelzeichen und Indizes finden in dieser Arbeit Anwendung. Die ange-
führten Formelzeichen können dabei mit den angegebenen Indizes versehen sein.
Formelzeichen
Formelzeichen Einheit Bedeutung
A [-] Relativer Flächenanteil
a [m/s²] Beschleunigung bzw. Verzögerung
b [-] „shape factor“
H [m] Höhe Regal
j [-] Relative Koordinate Verschiebung Übergabepunkte
L [m] Länge Regal
m [-] Anzahl
n [-] Anzahl
s [m] Wegstrecke
s [m] Mittlere Wegstrecke
T [s] Maximale Fahrzeit des Regalbediengerätes
t [s] Zeit
LAMt [s] Zykluszeit Lastaufnahmemittel
bt [s] Mittlere Bremsbeschleunigungszeit
t [-] Normierte Fahrzeit
r [-] Anzahl
v [m/s] Geschwindigkeit
w [-] Regalwandparameter
x [-] Horizontale Koordinate
y [-] Vertikale Koordinate
z [-] Zufallsvariable
Verwendete Formelzeichen
VI
Indizes
Index Bedeutung
A Auslagerung
DS Doppelspiel
E Einlagerung
ES Einzelspiel
i Allgemeiner Zählindex
j Allgemeiner Zählindex
k Allgemeiner Zählindex
l Allgemeiner Zählindex
LF Lagerfach
max Maximum
opt Optimum, optimal
p Allgemeiner Zählindex
ÜP Übergabepunkt
x Horizontale Richtung
y Vertikale Richtung
VII
Verwendete Abkürzungen
Abkürzung Bedeutung
AKL Automatisches Kleinteilelager
H Höhe
HRL Hochregallager
L Länge
LAM Lastaufnahmemittel
LE Ladeeinheit
P Punkt
RBG Regalbediengerät
ÜP Übergabepunkt
ÜPos Übergabeposition
ÜS Übergabestrecke
1
1 Einleitung
Erste automatische Lagersysteme wurden in den 1950er Jahren entwickelt. Seither
fand eine kontinuierliche Weiterentwicklung dieser Systeme statt. Von einem reinen
Warendepot entwickelten sich Lagersysteme zu einem Puffer zwischen Fertigung
und Markt und wurden schließlich in Produktionsprozesse integriert, ehe sie zuneh-
mend in immer leistungsfähigeren, automatisierten Distributionszentren Verbreitung
fanden [Hah-2008]. Aus heutigen Logistik- und vielfach auch Produktionssystemen
sind automatische Lagersysteme nicht mehr wegzudenken. Die Bestrebung die
Leistung immer weiter zu steigern und die Berechnung der Spielzeiten zur Leis-
tungsbestimmung sind bereits seit den Anfangszeiten der Entwicklung solcher
Systeme Gegenstand der Forschung.
1.1 Ausgangssituation
Die Anforderungen an automatische Lagersysteme haben sich in den letzten Jahr-
zehnten bedingt durch eine Weiterentwicklung der Einsatzbereiche deutlich gewan-
delt. Anstelle der Bevorratung von Waren steht im Produktions- und Distributionsbe-
reich immer häufiger eine Pufferfunktion im Vordergrund. So kommen automatische
Lagersysteme vielfach zur Pufferung von Waren zwischen verschiedenen Produkti-
onsschritten, für die dynamische Warenbereitstellung in der Kommissionierung oder
eine sequenzgenaue Produktionsversorgung zum Einsatz. Dabei werden neben der
geforderten Kapazität hohe Anforderungen an die Leistung in Form der Anzahl der
Arbeitsspiele je Zeiteinheit gestellt. Die Folge ist eine steigende Nachfrage nach
hochdynamischen Lagersystemen. Dieser Nachfrage wird mit einer stetigen Weiter-
entwicklung der Systeme begegnet. Durch den Einsatz von immer leistungsfähige-
ren Antrieben und Leichtbau konnten die dynamischen Eigenschaften von Regalbe-
diengeräten kontinuierlich verbessert werden. Optimierte Betriebsstrategien führen
zu kürzeren Fahrwegen und Wartezeiten. Ein weiterer Ansatz zur Steigerung der
Leistung ist die Parallelisierung von Abläufen. Diverse Konzepte beschreibt bei-
spielsweise Grafe [Gra-1994, S. 20ff].
In besonderer Weise ausgeprägt ist eine Parallelisierung der Abläufe bei sogenann-
ten Shuttle-Fahrzeugen für die Regalbedienung. Dabei erfolgt eine Trennung von
horizontaler und vertikaler Bewegung, wobei mehrere Shuttle-Fahrzeuge unabhän-
1 Einleitung
2
gig voneinander horizontal in unterschiedlichen Ebenen verfahren können und die
vertikalen Transporte mit einem oder mehreren Liften erfolgen. Shuttle-Systeme
kommen vorwiegend in Automatischen Kleinteilelagern (AKL) zum Einsatz und
haben nach Günthner das Potenzial, bei hochdynamischen Anwendungen und
geringen Kapazitätsanforderungen Regalbediengeräte langfristig zu verdrängen. Bei
hohen Kapazitätsanforderungen und geringer bis mittlerer geforderter Leistung
stellen Regalbediengeräte aktuell noch die wirtschaftlichere Lösung dar [Gün-2013].
In Hochregallagern (HRL) für Paletten spielen Shuttle-Systeme aktuell noch eine
untergeordnete Rolle, es ist aber auch in diesem Bereich von einer weiteren Verbrei-
tung auszugehen. Ungeachtet der zunehmenden Bedeutung von Shuttle-Systemen
ist die Nachfrage nach konventionellen Regalbediengeräten nach wie vor ungebro-
chen hoch. So stieg das Produktionsvolumen deutscher Hersteller von 2007 bis
2012 um 125 % an [VDMA-2013]. Regalbediengeräte für AKL verzeichneten in
Europa 2012 einen Anstieg des Auftragseingangs um 14 % gegenüber dem Vorjahr
[FEM-2012].
Damit Regalbediengeräte auch zukünftig eine wirtschaftliche Lösung darstellen, ist
eine weitere Steigerung der Leistung bei verbesserter Energieeffizienz erforderlich.
Aktuelle Entwicklungen zielen dabei vorrangig auf die Verbesserung der Energieeffi-
zienz mittels Leichtbau (siehe z. B. Furmans und Linsel [Fur-2011]) und angepasster
Betriebsstrategien ab (siehe z. B. Ertl, Habenicht und Günthner [Ert-2014a,
Ert-2014b]). Trotz stetiger Bestrebungen zur Steigerung der Leistung automatischer
Regalbediengeräte hat sich die Anordnung der Übergabepunkte für die Übergabe
von Ladeeinheiten zwischen Regalbediengerät und Fördertechnik der Lagervorzone
in mehr als 50 Jahren kaum verändert. Nach wie vor verfügt eine Lagergasse im
Regelfall über einen einzelnen Übergabepunkt, welcher an der Stirnseite der Regale
auf der untersten Ebene angeordnet ist. Eine solche Anordnung im Eckpunkt der
Regale ist bautechnisch bedingt und stellt hinsichtlich der mittleren Entfernungen
zwischen Übergabepunkt und den Lagerfächern einer Lagergasse keine gute Lö-
sung dar. Mittels alternativer Anordnung des Übergabepunktes kann eine Verkür-
zung der mittleren Entfernungen und somit der Fahr- und Spielzeiten erreicht wer-
den. Untersuchungen hierzu hat beispielsweise Gudehus durchgeführt [Gud-1972a].
Eine weitere Verkürzung der Fahrzeiten kann mit einer verteilten Anordnung mehre-
rer Übergabepunkte in einer Lagergasse erzielt werden. Diesen Fall hat
z. B. Knepper für ein Containerlager exemplarisch untersucht [Kne-1978, S. 126ff].
Obwohl solche Systeme seit geraumer Zeit bekannt sind, finden diese in der Pla-
1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise
3
nung selten Beachtung und folglich gibt es nur wenige bekannte Umsetzungen. Als
mögliche Ursachen werden das Fehlen von Erfahrungswerten und fundierten Unter-
suchungen zu Fahr- und Spielzeiten für unterschiedliche Anordnungen mehrerer
Übergabepunkte identifiziert. Mangels geeigneter Berechnungsmodelle wird zudem
ein objektiver Vergleich der Spielzeiten zwischen Lagersystemen mit mehreren
Übergabepunkten und konventionellen Lösungen erschwert. Es stellt sich daher
folgende zentrale Frage, welche in dieser Arbeit beantwortet werden soll:
„Wie wirken sich mehrere Übergabepunkte in einer Lagergasse eines automatischen
Lagersystems auf die Spielzeit aus und wie kann diese berechnet werden?“
1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise
Ziel dieser Arbeit ist es zum einen, die Spielzeit automatischer Lagersysteme mit
mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse zu untersuchen und zum anderen
geeignete Berechnungsmethoden für solche Systeme zu entwickeln. Auf diese
Weise sollen Aussagen hinsichtlich einer möglichen Reduktion der mittleren Spiel-
zeiten durch Anordnung mehrerer Übergabepunkte in einer Lagergasse ermöglicht
werden. Zugleich werden dadurch die Voraussetzungen für eine Berücksichtigung
von Systemen mit mehreren Übergabepunkten in der Planung automatischer Lager-
systeme geschaffen.
Die Untersuchung und Berechnung der Spielzeiten soll für Lagersysteme mit schie-
nengeführten, automatischen Regalbediengeräten ohne Möglichkeit zum Gassen-
wechsel erfolgen. Alternative Geräte zur Bedienung von Lagersystemen, wie bei-
spielsweise Shuttle-Fahrzeuge oder Schmalgangstapler, werden nicht berücksich-
tigt. Gegenstand der Untersuchung ist eine einzelne Lagergasse, bestehend aus
zwei parallelen Regalen, Übergabepunkt(en) und im Mittelgang verfahrendem Re-
galbediengerät. Die betrachtete Lagergasse stellt ein Teilsystem des Gesamtsys-
tems automatisches Lager dar. Mehrere Lagergassen sind mittels Fördertechnik in
der Lagervorzone miteinander verbunden. Da die Systemgrenze an den Übergabe-
punkten definiert wird, bleibt diese Verbindung unberücksichtigt und Fahr- und
Spielzeiten sind für eine einzelne, unabhängige Lagergasse zu berechnen.
Die Vorgehensweise orientiert sich an dem in Abbildung 1-1 dargestellten Aufbau
der Arbeit. Auf die aus der Ausgangssituation abgeleitete Problemstellung und die
Zielsetzung der Arbeit wird im ersten Kapitel eingegangen. Kapitel 2 beschreibt die
1 Einleitung
4
Grundlagen der Spielzeitberechnung, welche für das Verständnis der weiteren
Inhalte nötig sind. Zudem wird ein Überblick zum Stand der Forschung bei der
Berechnung für mehrere Übergabepunkte gegeben. Daraus folgt schließlich die
Ableitung der Forschungslücke, welche in dieser Arbeit geschlossen wird.
Abbildung 1-1: Aufbau der Arbeit
Kapitel 3 und Kapitel 4 schaffen die Voraussetzungen für eine Untersuchung auto-
matischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten, indem geeignete Anord-
nungen der Übergabepunkte und Betriebsstrategien ausgearbeitet werden. Basie-
rend auf einer Analyse des Einflusses von Position und Anzahl der Übergabepunkte
auf die Fahrzeiten erfolgt die Ableitung von Konzepten für die Anordnung der Über-
gabepunkte. In einem Exkurs wird zudem auf mögliche Konzepte zur Ver- und
Entsorgung der Übergabepunkte eingegangen. Für die Auswahl eines geeigneten
Übergabepunktes innerhalb eines Arbeitsspiels werden neue Strategien entwickelt.
In Abhängigkeit dieser Strategien erfolgt eine Optimierung der Anordnung der Über-
gabepunkte in einer Lagergasse. Schließlich werden vorhandene Lagerbetriebsstra-
tegien auf ihre Eignung in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten untersucht.
Aufbauend auf den Inhalten von Kapitel 2, Kapitel 3 und Kapitel 4 widmet sich
Kapitel 5 der Untersuchung von Fahr- und Spielzeiten automatischer Lagersysteme
mit mehreren Übergabepunkten. Dazu werden geeignete Modelle für eine numeri-
sche Berechnung sowie exemplarische Lagerkonfigurationen festgelegt. Zur Ein-
grenzung der zu untersuchenden Konfigurationen wird der Einfluss diverser Konfigu-
rationsparameter untersucht. Zusätzlich wird auch die Kombination mehrerer Über-
gabepunkte mit einer zonierten Lagerplatzzuordnung überprüft. Schließlich kann die
Kapitel 1 Ausgangssituation und Zielsetzung
Kapitel 2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
Kapitel 3Konzepte für Lagersysteme mit
mehreren ÜbergabepunktenKapitel 4
Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
Kapitel 5Untersuchung von Lagersystemen mit
mehreren Übergabepunkten
Kapitel 6Berechnungsmodelle für Lagersysteme
mit mehreren Übergabepunkten
Kapitel 7 Zusammenfassung und Ausblick
Problemstellung
Stand der Forschung, Forschungslücke
Fazit
Ausarbeitung Konzepte und Strategien
Untersuchung und Eingrenzung
Entwicklung Modelle und Validierung
1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise
5
Berechnung und Untersuchung der Spielzeiten diverser Anordnungen einzelner
sowie mehrerer Übergabepunkte erfolgen.
Kapitel 6 befasst sich mit neuen mathematisch-analytischen Modellen für die Be-
rechnung der Fahrzeiten ausgewählter Anordnungen mehrerer Übergabepunkte
unter Berücksichtigung von zwei unterschiedlichen Strategien bei der Auswahl eines
geeigneten Übergabepunktes. Die berechneten Fahrzeiten erlauben in Verbindung
mit vorhandenen Modellen zur Bestimmung der weiteren erforderlichen Komponen-
ten eine Berechnung der Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele, was anhand von
exemplarischen Berechnungsbeispielen vollzogen wird.
Kapitel 7 enthält schließlich eine Zusammenfassung der Forschungsergebnisse und
gibt einen Ausblick auf den weiteren Forschungsbedarf zu diesem Thema.
7
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
In diesem Kapitel wird zunächst die verwendete Definition der Spielzeit dargestellt
und auf Möglichkeiten zu deren Bestimmung eingegangen. Auf die Spielzeit wirken
sich unterschiedliche Lagerbetriebsstrategien aus, welche in einer Übersicht zu-
sammengefasst werden. Bei der Berechnung der Spielzeit ist eine Zerlegung in
unterschiedliche Komponenten möglich, wobei in dieser Arbeit der Fokus auf den
Fahrzeiten liegt. Zur Bestimmung der mittleren Fahrzeiten innerhalb eines Arbeits-
spiels wird eine Auswahl vorhandener Berechnungsmodelle vorgestellt. Ein Über-
blick über Berechnungsmodelle und -ansätze speziell für mehrere Übergabepunkte
schließt das Kapitel ab.
2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten
Die Spielzeit bezeichnet in dieser Arbeit jeweils eine mittlere Spielzeit, welche den
Mittelwert der Dauer eines Arbeitsspieles des Regalbediengerätes angibt. Die tat-
sächliche Dauer einzelner Arbeitsspiele und deren Streuung bleiben unberücksich-
tigt. Bei der Bestimmung wird von einer ständigen Auslastung des Regalbediengerä-
tes ausgegangen. Nach Lippolt kann die mittlere Spielzeit entweder auf Basis von
beobachten Arbeitsspielzeiten (ex post) oder auf Basis der Wahrscheinlichkeitstheo-
rie (ex ante) definiert werden [Lip-2003, S. 47]. In dieser Arbeit wird eine ex ante-
Betrachtung verwendet, um die mittlere Spielzeit voraussagen zu können. Dabei
werden Erwartungswerte bestimmt, welche den Wert der durchschnittlichen Dauer
der Spielzeit angeben. Zur Berechnung der Erwartungswerte gibt es eine Vielzahl
unterschiedlicher Berechnungsansätze und -modelle. Einen Literaturüberblick geben
Sarker und Babu [Sar-1995], Johnson und Brandeau [Joh-1996], Lippolt
[Lip-2003, S. 77ff], Roodbergen und Vis [Roo-2008], Wisser [Wis-2009, S. 57ff], Gu,
Goetschalckx und McGinnis [Gu-2010], Gagliardi, Renaud und Ruiz [Gag-2011]
sowie M. R. Vasili, Tang, und M. Vasili [Vas-2012]. Angeführt werden vorwiegend
mathematisch-analytische Verfahren basierend auf deterministischen und stochasti-
schen Methoden, der Warteschlangentheorie (siehe z. B. Hur und Nam [Hur-2006])
oder Heuristiken sowie Simulationsverfahren. Weitere Ansätze beruhen auf künstli-
cher Intelligenz, wie beispielsweise die auf künstlichen neuronalen Netzen basieren-
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
8
den Ersatzmodelle nach Kraul [Kra-2011, S. 141ff]. In der Praxis findet zudem die
sogenannte Methode repräsentativer Fächer weite Verbreitung. Danach werden die
Koordinaten repräsentativer Lagerfächer festgelegt, für welche die Spielzeit eines
einzelnen Arbeitsspiels in einer groben Näherung der mittleren Spielzeit entspricht.
Wichtige Vertreter dieser Methode sind die Richtlinien FEM 9.851 [FEM 9851] und
VDI 3561 [VDI 3561].
Neben den Entfernungen zwischen Übergabepunkt(en) und Lagerfächern sowie den
dynamischen Eigenschaften von Regalbediengerät und Lastaufnahmemittel ist die
mittlere Spielzeit für ein Arbeitsspiel auch von den gewählten Lagerbetriebsstrate-
gien abhängig, worauf im folgenden Abschnitt eingegangen wird.
2.1.1 Lagerbetriebsstrategien
Einen wesentlichen Einfluss auf die Spielzeit haben die zur Anwendung kommenden
Lagerbetriebsstrategien. Nach Gudehus lassen sich diese in Belegungsstrategien
und Bewegungsstrategien einteilen. Als wichtigste Belegungsstrategien, welche
festlegen, auf welchen Lagerplätzen bzw. in welcher Lagerzone welche Artikel
gelagert werden, nennt Gudehus: [Gud-2010, S. 598 f]
Schnellläuferkonzentration
Feste Lagerplatzordnung
Freie Lagerplatzordnung
Zonenweise feste Lagerordnung
Platzanpassung
Artikelreine oder chargenreine Platzbelegung
Artikelgemischte Platzbelegung
Minimieren von Anbruchlagerplätzen
Gleichverteilungsstrategie
Eine Schnellläuferkonzentration beschreibt eine Klassifizierung der Artikel nach ihrer
Zugriffshäufigkeit und eine Bildung von Zonen in einer Lagergasse. Artikel mit einer
hohen Zugriffshäufigkeit werden dabei in den Zonen nahe dem Übergabepunkt
gelagert, um die mittleren Fahrwege zu senken. Ursprünglich sieht die Strategie nur
eine Schnellläuferzone vor, häufig werden aber auch mehrere Zonen gebildet. Eine
klassische Form einer zonenbasierten Lagerplatzzuordnung mit drei Zonen stellt
dabei die sogenannte ABC-Zonierung dar. Den Effekt einer Schnellläuferkonzentra-
2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten RBG
9
tion haben beispielsweise Gudehus [Gud-1972b] oder Prettenthaler [Pre-1979]
untersucht, wobei von einer einzelnen statischen Schnellläuferzone ausgegangen
wird. Einen Ansatz zur dynamischen Zonierung stellt Glass [Gla-2008, S. 51ff] vor.
Auf die Zonenbildung bei einer vom Eckpunkt abweichenden Anordnung des Über-
gabepunktes an einer beliebigen Stelle am Rand der Regalfläche gehen Lippolt,
Blunck und Arnold ein [Lip-2001]. Neben einer zonenbasierten Zuordnung kann
auch eine umschlagbezogene Zuordnung auf Artikelebene erfolgen, wie Hausman,
Schwarz, und Graves [Hau-1976] beschreiben. Dabei werden einzelne Artikel ent-
sprechend ihrer Umschlagshäufigkeit Lagerplätzen mit unterschiedlichen Fahrzeiten
zum Übergabepunkt zugeordnet.
Bei einer festen Lagerplatzordnung, im Folgenden als Lagerplatzzuordnung be-
zeichnet, erfolgt eine Reservierung von Lagerplätzen für einzelne Artikel. Diese
Strategie kommt in automatischen Lagersystemen im Allgemeinen nicht zur Anwen-
dung und wird daher nicht weiter betrachtet. Stattdessen kommt in der Regel eine
freie bzw. chaotische Lagerplatzzuordnung zur Anwendung, bei der keine feste
Zuordnung zwischen Artikeln und Lagerplätzen erfolgt. Dadurch wird jeder freie
Lagerplatz mit gleicher Wahrscheinlichkeit für die Einlagerung eines Artikels ausge-
wählt. Diese Strategie ist in den meisten Berechnungsmodellen abgebildet, wobei
die tatsächliche Lagerbelegung häufig vernachlässigt und von einem gleichverteilten
Zugriff auf alle Lagerplätze ausgegangen wird.
Eine zonenweise feste Lagerordnung beschreibt die Zuordnung bestimmter Artikel
bzw. Artikelgruppen oder Ladeeinheiten zu Lagerplätzen unterschiedlicher Zonen.
Gründe hierfür können beispielsweise unterschiedlich beschaffene Lagerplätze sein.
Die sogenannte Platzanpassung beschreibt eine Zuordnung anhand ähnlicher Ab-
messungen der Ladeeinheiten und der Lagerplätze. Sind mehrere Stellplätze je
Lagerfach vorhanden, wie dies beispielsweise bei einem Kanallager der Fall ist, so
kann die Platzbelegung artikelrein oder chargenrein, oder aber auch artikelgemischt
erfolgen. Zur Minimierung von Anbruchlagerplätzen bei doppeltiefer bzw. mehrfach-
tiefer Lagerung können Ladeeinheiten aus teilgefüllten Lagerfächern bevorzugt
ausgelagert werden. Sind mehrere Ladeeinheiten eines Artikels in einem Lager
vorhanden, so kann mit einer Gleichverteilungsstrategie die Zugriffssicherheit erhöht
werden, indem die Ladeeinheiten auf unterschiedliche Gassen verteilt werden.
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
10
Bewegungsstrategien legen nach Gudehus hingegen fest, welche Ein-, Aus- und
Umlagerungen in welcher Reihenfolge durchgeführt werden. Gudehus nennt folgen-
de wichtige Bewegungsstrategien: [Gud-2010, S. 600f]
Einzelspielstrategie
Doppelspielstrategien
Fahrwegstrategien
Umlagerstrategien
Gangwechselstrategie
Zuförderstrategien
Abförderstrategien
Als Einzelspielstrategie wird die Ausführung von Arbeitsspielen zur reinen Ein- oder
Auslagerung einer Ladeeinheit beschrieben. Können Ein- und Auslageraufträge
paarweise kombiniert werden, so ist eine Reduktion der Leerfahrten möglich, indem
das Regalbediengerät nach einer Einlagerung nicht zum Übergabepunkt zurück-
kehrt, sondern zum Lagerfach weiterfährt, aus welchem eine Ladeeinheit ausgela-
gert werden soll. Durch die Wahl eines freien Lagerfaches für die Einlagerung in
dessen Nähe kann eine weitere Reduktion erreicht werden. Hierfür stellt beispiels-
weise Seemüller [See-2005, S. 127ff] einen Berechnungsansatz vor. Ein kombinier-
tes Arbeitsspiel mit einer Ein- sowie einer Auslagerung wird als Doppelspiel be-
zeichnet. Abbildung 2-1 stellt ein Regal und die Fahrten zu exemplarischen Lagerfä-
chern für ein Einzel- sowie ein Doppelspiel dar. Wie sich die Spielzeit für die abge-
bildeten Arbeitsspiele zusammensetzt, wird im nächsten Abschnitt erläutert.
Abbildung 2-1: Einzelspiel (links) und Doppelspiel (rechts)
Verfügt ein Regalbediengerät über ein Mehrfach-Lastaufnahmemittel, d. h. mit einer
Kapazität von mehr als einer Ladeeinheit, oder mehrere Lastaufnahmemittel, so sind
auch kombinierte Arbeitsspiele mit mehr als einer Ein- und Auslagerung möglich.
Dies führt zu einer Verbesserung der Ein- und Auslagerleistung, wie z. B. Gudehus
[Gud-1974] aufzeigt. Potrc et. al. berechnen die mittleren Spielzeiten bei der Ver-
ÜP ÜP
2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten RBG
11
wendung von Mehrfach-Lastaufnahmemitteln mittels Simulation [Pot-2004]. Fahr-
wegstrategien optimieren die Reihenfolge der verschiedenen Ein- und Auslagerun-
gen bei kombinierten Spielen mit mehr als einer Ein- und Auslagerung, um den
gesamten Fahrweg zu minimieren. Das Optimierungsproblem entspricht dabei dem
sogenannten „Traveling Salesman Problem“, siehe z. B. van den Berg und Gade-
mann [Ber-1999].
Bei doppeltiefer bzw. mehrfachtiefer Lagerung können Umlagerungen zum Erreichen
von Ladeeinheiten, welche durch andere Ladeeinheiten verdeckt werden, erforder-
lich sein. Hierbei kann eine Minimierung der Wege beispielsweise durch Wahl eines
Umlagerplatzes in naher Umgebung erfolgen. Alternativ ist auch eine Reorganisation
des Lagers in Form von Umlagerungen zur Minimierung der Anzahl verdeckter
Ladeeinheiten in Zeiten geringer Auslastung möglich.
Bedient ein Regalbediengerät mit der Möglichkeit zum Gassenwechsel mehrere
Lagergassen, so kann durch eine geeignete Gangwechselstrategie die Anzahl der
erforderlichen Wechselvorgänge reduziert werden. Wie es gelingt, eine große Anzahl
einzulagernder Ladeeinheiten mehreren Lagergassen für eine möglichst schnelle
Einlagerung zuzuweisen, beschreiben sogenannte Zuförderstrategien. Abförderstra-
tegien beschreiben hingegen eine Priorisierung dringend benötigter Ladeeinheiten
beim Abtransport aus einer Lagergasse.
Eine weitere, von Gudehus nicht angeführte Strategie ist die Ruhepositionsstrategie.
Die Ruheposition gibt die Stelle an, an welcher das Regalbediengerät im Anschluss
an ein abgeschlossenes Arbeitsspiel verweilt, sofern kein weiterer Auftrag vorliegt.
Untersuchungen zu unterschiedlichen Ruhepositionsstrategien haben z. B. Egbelu
und Wu [Egb-1993] durchgeführt. Ansätze zur Optimierung der Ruheposition für
unterschiedliche Lagerkonfigurationen stellen beispielsweise Peters, Smith und Hale
[Pet-1996] sowie Park [Par-1999] vor. In dieser Arbeit wird im Folgenden davon
ausgegangen, dass stets Aufträge vorliegen, weshalb die Ruhepositionsstrategie
keine weitere Beachtung findet.
2.1.2 Zusammensetzung der Spielzeit
Die Spielzeit für ein Arbeitsspiel setzt sich aus unterschiedlichen Zeitanteilen zu-
sammen. Gudehus unterscheidet dabei zwischen Fahr- und Verweilzeiten
[Gud-1972c]. Während die Fahrzeiten abhängig von den Koordinaten von Start- und
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
12
Zielpunkten sind, werden als Verweilzeiten wegunabhängige Zeitanteile bezeichnet,
welche sich bei jedem Arbeitsspiel wiederholen. Dazu gehören nach Lippolt
[Lip-2003, S. 55f]:
Spielzeit des Lastaufnahmemittels bei der Übergabe von Ladeeinheiten
Totzeiten
Mastausschwingzeiten
Nachdem diese Zeitanteile wegunabhängig und demzufolge unabhängig von der
Anzahl und Position der vorhandenen Übergabepunkte sind, wird der Fokus in
dieser Arbeit auf die wegabhängigen Fahrzeiten gelegt. Die Verweilzeiten sind im
Folgenden auf vereinfachte Weise berücksichtigt, indem diese in einer Zykluszeit
des Lastaufnahmemittels für unterschiedliche Vorgänge zusammengefasst werden.
Die Zykluszeit LAMt soll dazu neben der Spielzeit des Lastaufnahmemittels für die
Lastübergabevorgänge auch gemittelte Tot- und Mastausschwingzeiten beinhalten.
Für folgende Lastübergabevorgänge wird eine Zykluszeit definiert:
Übergabe von Ladeeinheiten am Übergabepunkt: ,LAM ÜP
t
Einlagerung einer Ladeeinheit: ,LAM Et
Auslagerung einer Ladeeinheit: ,LAM At
Mit dieser vereinfachten Betrachtung setzen sich die im vorangehenden Abschnitt
definierten Arbeitsspiele Einzel- und Doppelspiel aus den entsprechenden Fahr- und
Zykluszeiten zusammen, wie in Abbildung 2-2 dargestellt ist.
Abbildung 2-2: Zusammensetzung der Arbeitsspiele
Beim Einzelspiel gilt es, die Fahrzeiten vom Übergabepunkt zum Lagerfach ,f ÜP LF
t
sowie zurück zum Übergabepunkt ,f LF ÜP
t zu berücksichtigen. Beim Doppelspiel fällt
neben der Fahrzeit vom Übergabepunkt zum ersten Lagerfach , 1f ÜP LF
t und der
Fahrzeit vom zweiten Lagerfach zurück zum Übergabepunkt , 2f LF ÜP
t auch die Fahr-
zeit , 1 2f LF LFt für die Leerfahrt zwischen den beiden Lagerfächern an.
Ein
zels
pie
lD
op
pels
pie
l
tLAM,ÜP
tf,ÜP-LF
tLAM,E bzw. tLAM,A
tf,LF-ÜP
tLAM,ÜP tLAM,E tLAM,A tLAM,ÜP
tf,ÜP-LF1 tf,LF1-LF2 tf,LF2-ÜP
t
Verweilzeiten
Fahrzeiten
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
13
Zur Berechnung des Erwartungswertes der Spielzeit muss deren Verteilung nicht
bekannt sein. Aufgrund der Additivität des Erwartungswertes (vgl. z. B. Bosch
[Bos-2011, S. 118]) kann dieser durch Addition der Erwartungswerte der einzelnen
Zeitanteile, aus welchen sich die Spielzeit zusammensetzt, bestimmt werden. Die
Berechnung der einzelnen Erwartungswerte kann dabei unabhängig voneinander
erfolgen. Während für die Zykluszeiten des Lastaufnahmemittels bereits Mittelwerte
angesetzt werden, gilt es die Erwartungswerte für die mittleren Fahrzeiten mit geeig-
neten Berechnungsmodellen zu bestimmen.
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
Im Folgenden wird die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeiten am Bei-
spiel ausgewählter vorhandener Modelle für einen einzelnen Übergabepunkt darge-
stellt. In diesem Zusammenhang wird auch auf die Beschreibung der verwendeten
Modellierung einer Lagergasse sowie die Definition des für spätere Berechnungen
relevanten Regalwandparameters eingegangen. Eine Klassifizierung der vorgestell-
ten Fahrzeitmodelle erfolgt anhand der bei der Modellierung der Regalfläche ver-
wendeten Koordinaten in Modelle mit Längenkoordinaten sowie in Modelle mit
skalierten und normierten Koordinaten zur Beschreibung der Regalfläche. Der Be-
rechnungsansatz unterscheidet sich dabei grundlegend.
2.2.1 Modellierung einer Lagergasse
Die Berechnung der Fahrzeiten soll für eine Lagergasse, bestehend aus zwei paralle-
len Regalen, Übergabepunkt(en) und einem im Regalgang verfahrenden Regalbe-
diengerät, erfolgen. Aufgrund der Symmetrie der beiden Regale ist für eine Berech-
nung der Fahrzeiten anhand der vom Regalbediengerät zurückgelegten Wege die
Modellierung eines einzelnen Regals ausreichend. Die realen Abmessungen der
Lagerfächer werden dabei vernachlässigt. Stattdessen wird das diskrete Regal mit
einzelnen Lagerfächern in ein kontinuierliches Modell mit infinitesimal kleinen Lager-
fächern überführt. Die Zulässigkeit dieser Vereinfachung hat z. B. Schaab unter-
sucht. Er kommt dabei zu dem Schluss, dass in einem automatischen Hochregalla-
ger die Anzahl der Lagerfächer eines Regals sehr groß ist und deren Abmessungen
klein im Verhältnis zur Regalfläche, weshalb eine Vernachlässigung der realen Lager-
fachabmessungen das Ergebnis praktisch nicht beeinflusst. [Sch-1969, S. 73] Eben-
so vernachlässigt werden die Abmessungen der Übergabeplätze, welche auf einen
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
14
Punkt reduziert werden. Folgende Abbildung stellt eine Lagergasse sowie das davon
abgeleitete, vereinfachte Modell dar:
Abbildung 2-3: Vereinfachte Abbildung einer Lagergasse
Im Folgenden wird stets die vereinfachte Abbildung verwendet. Das Modell wird
durch die Länge der Regalfläche in x-Richtung, die Höhe in y-Richtung sowie die
Koordinaten des Übergabepunktes bzw. der Übergabepunkte beschrieben. Für
Berechnungen, welche auf dem in Abschnitt 2.2.5 vorgestellten Fahrzeitmodell
aufbauen, findet zusätzlich eine Transformation der Koordinaten des dargestellten,
vereinfachten Modells in den Zeitbereich statt.
Die Modellierung des Regalbediengerätes erfolgt anhand einer Reduktion auf die
zweidimensionale Bewegung eines Punktes, welcher die Position des Lastaufnah-
memittels widerspiegelt. Für Bewegungen dieses Punktes werden die entsprechen-
den Fahrzeiten bestimmt. Dabei werden Bewegungen des Fahrwerks in x-Richtung
und des Hubwerks in y-Richtung berücksichtigt. Eine explizite Betrachtung der
Bewegungen des Lastaufnahmemittels findet nicht statt. Deren Berücksichtigung
erfolgt lediglich im Rahmen der Zykluszeit für unterschiedliche Lastübergabevor-
gänge. Im folgenden Abschnitt wird auf die Bestimmung der Fahrzeiten für die
betrachtete zweidimensionale Bewegung des Regalbediengerätes eingegangen.
2.2.2 Fahrzeit eines Regalbediengerätes
Die Fahrt eines Regalbediengerätes ist charakterisiert durch eine Überlagerung der
Bewegungen von Fahr- und Hubwerk. Die Fahrzeit ft des Regalbediengerätes bei
der Fahrt von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt ist dabei durch die längere der
beiden Fahrzeiten von Fahrwerk ( )xt und Hubwerk ( )yt gegeben:
max( , )f x yt t t (2-1)
ÜP(0,0)
H
L
x
y
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
15
Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) entspricht die Fahrzeit des Regalbe-
diengerätes zwischen zwei Punkten somit nicht wie bei der euklidischen Metrik der
kürzesten Entfernung zwischen den beiden Punkten, sondern dem Maximum aus
horizontaler und vertikaler Entfernung. Diese Metrik wird als Tschebyschew-Norm
oder Maximumsnorm bezeichnet.
Zur Bestimmung der Fahrzeit des Regalbediengerätes ist eine Berechnung der
Fahrzeiten für die beiden eindimensionalen Bewegungen von Fahr- und Hubwerk
erforderlich. Dabei ist eine Fallunterscheidung nötig. Je nachdem, ob die maximale
Fahrgeschwindigkeit maxv erreicht wird oder nicht, ist das resultierende Geschwin-
digkeitsprofil bei Annahme einer mittleren konstanten Beschleunigung und Verzöge-
rung trapez- oder dreiecksförmig, wie in Abbildung 2-4 dargestellt. Die Form realer
Geschwindigkeitsprofile weicht von dieser Darstellung ab (siehe z. B. Arnold und
Furmans [Arn-2006, S. 204]), zur Berechnung der mittleren Spielzeiten ist aber eine
Betrachtung gemittelter Beschleunigungs- und Verzögerungswerte ausreichend.
Abbildung 2-4: Trapez- und dreiecksförmiges Geschwindigkeitsprofil
Sind die Absolutwerte der mittleren Beschleunigung und Verzögerung gleich groß,
so kann aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen die Bedingung für den Grenz-
fall zwischen dreiecksförmigem und trapezförmigem Geschwindigkeitsverlauf herge-
leitet werden. Ist folgende Bedingung erfüllt, dann ist die Fahrstrecke s bei einem
Betrag von Beschleunigung und Verzögerung a ausreichend lang, um die maximale
Geschwindigkeit vor Beginn der Verzögerungsphase zu erreichen (trapezförmiges
Geschwindigkeitsprofil):
2
maxvs
a (2-2)
Mit dieser Bedingung als Grenze für die Fallunterscheidung kann die Fahrzeit von
Fahr- oder Hubwerk gemäß (2-3) berechnet werden.
v
maxv
t
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
16
2max
2max max
max
2 falls
falls
vss
a at
v vss
v a a
(2-3)
Somit ergibt sich folgende Fahrzeit ft des Regalbediengerätes:
22,max,max
2 2,max ,max ,max ,max
,max ,max
2 falls 2 falls
max ,
falls falls
y yxxyx
y yx x
f
x xx y y yx y
x x x y y y
s vvsss
a aa at
v vs s v vs s
v a a v a a
(2-4)
Dieser Ausdruck ist für die Berechnung der mittleren Fahrzeit nicht geeignet, da er
eine Fallunterscheidung in Abhängigkeit der jeweils längeren der beiden Fahrzeiten
von Fahr- und Hubwerk beinhaltet. Zur Lösung dieses Problems erfolgt eine Unter-
scheidung von Bereichen der Regalfläche, für welche ausgehend von einem festge-
legten Startpunkt bei der Fahrt zu einem Zielpunkt entweder die Fahrzeiten des
Hubwerks oder des Fahrwerks für die Fahrzeiten des Regalbediengerätes aus-
schlaggebend sind. Eine näherungsweise Bestimmung dieser Bereiche einer Regal-
fläche kann anhand des Regalwandparameters w erfolgen, welcher im folgenden
Abschnitt definiert wird.
2.2.3 Regalwandparameter
Der Regalwandparameter w ist eine Größe, welche das Verhältnis zwischen den
Geschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes und den Ab-
messungen der Regalfläche beschreibt. Nach ten Hompel [Hom-2011, S. 254f] ist
diese wie folgt definiert:
x
y
vHw
L v (2-5)
Gemäß dieser Definition verfährt das Regalbediengerät bei 1w ausgehend von
einem Eckpunkt der Regalfläche bei simultanem Verfahren von Fahr- und Hubwerk
mit jeweils maximaler Geschwindigkeit genau entlang der Diagonalen der Regalflä-
che. Abbildung 2-5 stellt die sogenannte Synchronfahrgerade für simultanes Verfah-
ren von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes für unterschiedliche Werte des
Regalwandparameters w dar.
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
17
Abbildung 2-5: Synchronfahrgerade für unterschiedliche Werte des Regalwandparameters
Bei w > 1 erreicht das Regalbediengerät bei einer Fahrt beginnend im linken unteren
Eckpunkt zuerst den gegenüberliegenden vertikalen Rand der Regalfläche, während
bei w < 1 der obere horizontale Rand der Fläche zuerst erreicht wird. Für die Be-
rechnung der Fahrzeiten des Regalbediengerätes ist die Größe von Bedeutung, da
anhand des Regalwandparameters eine Unterscheidung der Bereiche möglich ist,
für welche die Fahrzeiten des Hubwerks oder jene des Fahrwerks ausschlaggebend
sind. Im Folgenden werden Fahrten, für welche die Fahrzeit des Fahrwerks länger
als jene des Hubwerks ist, als fahrzeitkritisch bezeichnet und Fahrten, bei welchen
die Fahrzeit des Hubwerks länger ist, als hubzeitkritisch. Folgende Abbildung zeigt
fahrzeitkritische und hubzeitkritische Bereiche ausgehend von einem Übergabe-
punkt im Eckpunkt:
Abbildung 2-6: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche
Alle unterhalb der Synchronfahrgeraden liegenden Lagerfächer sind der Abbildung
entsprechend fahrzeitkritisch, während alle hubzeitkritischen Lagerfächer oberhalb
der Synchronfahrgeraden liegen. In der Abbildung ist zudem auch exemplarisch eine
sogenannte Isochrone dargestellt. Für alle auf einer Isochrone liegenden Lagerfächer
gilt, dass deren Anfahrzeit jeweils gleich lang ist.
Eine Schwäche der Definition des Regalwandparameters w ist die Tatsache, dass
Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk vernachlässigt werden.
Bei deutlich verschiedenen Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten von Fahr-
L
H
1w
2w
0,5w
1w
ÜP(0,0)
fahrzeitkritisch
hubzeitkritisch
Isochrone
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
18
und Hubwerk können sich daher Abweichungen hinsichtlich der tatsächlichen fahr-
und hubzeitkritischen Bereiche sowie der Isochronen ergeben.
2.2.4 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in Längenkoordinaten
Nachdem in Abschnitt 2.2.2 die Fahrzeit des Regalbediengerätes für eine Fahrt
zwischen zwei Punkten hergeleitet und in Abschnitt 2.2.3 der Regalwandparameter
w definiert wurde, kann darauf aufbauend die Berechnung des Erwartungswertes
der Fahrzeit des Regalbediengerätes erfolgen. Im Folgenden wird dazu eine Auswahl
an vorhandenen Modellen angeführt, die wichtige Entwicklungsschritte darstellen.
Zu den ersten Vertretern zählen die Berechnungsmodelle von Zschau
[Zsc-1964, S. 68ff] und Schaab [Sch-1969, S. 54ff] aus den 1960er Jahren. Beide
Modelle verwenden eine kontinuierlich modellierte Regalfläche mit infinitesimal
kleinen Regalfächern und berechnen Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele als
Funktion mittlerer Geschwindigkeiten mittels Integration. Dabei wird zur Bestim-
mung der Anfahrzeiten der Lagerfächer mittels Zweifachintegral über die gesamte
Regalfläche integriert. Zur Berechnung der Fahrzeiten zwischen zwei Lagerfächern
ist entsprechend eine zweifache Integration über die gesamte Regalfläche mittels
Vierfachintegral notwendig.
Gudehus stellt 1972 ein Berechnungsmodell vor, welches anstelle mittlerer Ge-
schwindigkeiten die Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk
berücksichtigt. Bei der Berechnung der mittleren Fahrzeiten mittels Integration
werden diese zunächst vernachlässigt und im Anschluss in Form eines Korrekturfak-
tors, der sogenannten mittleren Bremsbeschleunigungszeit bt , addiert. [Gud-1972c]
Die Berechnung der mittleren Spielzeiten erfolgt in Abhängigkeit eines Parameters,
welcher dem im vorangehenden Abschnitt definierten Regalwandparameter w
entspricht. Folgenden Erwartungswert der Spielzeit eines Einzelspieles für eine
Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt gibt Gudehus [Gud-1972c] an:
21
21
12 1 falls 1
3
12 1 falls 1
3
o b
x
ES
o b
y
Lt t w w
vE t
Ht t w w
v
(2-6)
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
19
mit
1 Verweilzeit bei einem Einzelspiel
1 falls 12 2
1 11 falls 1
2 2
o
yx
x y
b
yx
x y
t
vvw ww
a at
vvw
w a w a
Die Bremsbeschleunigungszeit bt wird für gemittelte Beschleunigungs- und Verzö-
gerungswerte von Fahr- und Hubwerk xa bzw. ya berechnet. Bei Doppelspielen ist
zusätzlich die Leerfahrt zwischen Ein- und Auslagerfach berücksichtigt, wodurch die
Bremsbeschleunigungszeit bt insgesamt dreimal angesetzt werden muss. Die
gesamte Verweilzeit bei einem Doppelspiel, wird mit 2ot bezeichnet. Den Erwar-
tungswert der Spielzeit für ein Doppelspiel gibt Gudehus wie folgt an:
2 32
2 1 32
1 13 1 10 5 5 falls 1
3 30
1 13 1 10 5 5 falls 1
3 30
o b
x
DS
o b
y
Lt t w w w w
vE t
Ht t w w w w
v
(2-7)
Ein weiteres Fahrzeitmodell, welches auf einer kontinuierlichen Modellierung der
Regalfläche und Beschreibung in Längenkoordinaten basiert, stammt von Hausman,
Graves und Schwarz [Hau-1976]. Das Modell wurde zur Untersuchung einer um-
schlagbezogenen oder zonenbasierten Lagerplatzzuordnung entwickelt. Darauf
aufbauend stellen Graves, Hausman und Schwarz [Gra-1977] ein erweitertes Modell
vor, welches auch die Leerfahrt zwischen Lagerfächern bei Doppelspielen berück-
sichtigt. Beide Modelle setzen einen Regalwandparameter w = 1 voraus.
2.2.5 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in skalierten und normierten Koordinaten
Im Gegensatz zu einer Beschreibung der Entfernungen mittels Längenkoordinaten
stellen Bozer und White [Boz-1984] ein Fahrzeitmodell vor, welches auf einer Trans-
formation der Regalabmessungen in den Zeitbereich baut. Die Beschreibung der
Regalfläche mit infinitesimal kleinen Lagerfächern (vgl. Abschnitt 2.2.1) erfolgt mit-
tels skalierter und normierter Koordinaten. Dabei wird ein sogenannter „shape
factor“ b eingeführt, welcher eng verwandt mit dem in Abschnitt 2.2.3 vorgestellten
Regalwandparameter w ist.
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
20
Nach Bozer und White [Boz-1984] ist b wie folgt definiert:
min , yx
ttb
T T (2-8)
mit
max ,
,
x y
x y
x y
T t t
L Ht t
v v
Aufgrund der Definition nimmt b im Gegensatz zum Regalwandparameter w einen
Wert 0 1b an. Es lässt sich aber folgender Zusammenhang zwischen b und w
herleiten:
falls 1
1falls 1
y
x
x
y
tw w
tb
tw
t w
(2-9)
Für Werte von 1w sind b und w folglich identisch, während b für Werte von 1w
den Kehrwert von w darstellt.
Zur Berechnung der Fahrzeiten werden die Koordinaten der Regalfläche auf die
Anfahrzeit der Punkte bei maximaler Geschwindigkeit von Fahr- und Hubwerk ohne
Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung skaliert und anschließend
auf die maximale Anfahrzeit normiert. Die Abmessungen der resultierenden Regal-
fläche sind dimensionslos und betragen 1 x b, da gemäß (2-8) die Größe b der
kürzeren der Fahrzeiten zu den entferntesten Punkten in x- sowie y-Richtung skaliert
mit der maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes entspricht. Auf diese Weise
entsteht eine Regalfläche mit der Eigenschaft, dass die Entfernung zwischen zwei
Punkten der Regalfläche direkt einer normierten Fahrzeit entspricht. Abbildung 2-7
zeigt die beschriebene Transformation der Regalfläche an einem Beispiel für 1w .
Dabei entsteht eine quadratische Fläche, da die maximalen Fahrzeiten in x- und in y-
Richtung von identischer Dauer sind.
2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten
21
Abbildung 2-7: Transformation der Regalfläche bei w = 1
Die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeiten nach Bozer und White für den
Fall einer chaotischen Lagerplatzzuordnung basiert nicht auf einer direkten Integrati-
on einzelner Fahrzeiten, wie es bei den im vorangehenden Abschnitt vorgestellten
Modellen der Fall ist, sondern auf einem statistischen Ansatz. Dabei wird für die
eindimensionalen Fahrzeiten in x- und in y-Richtung jeweils die Verteilungsfunktion
hergeleitet, d. h, die Wahrscheinlichkeit, mit welcher die Fahrzeit kleiner einer mit z
bezeichneten Zufallsvariable ist. Die Funktionen beschreiben dabei die Wahrschein-
lichkeit für Werte von z zwischen 0 und der maximalen normierten Fahrzeit, welche 1
beträgt. Durch Multiplikation der beiden Verteilungsfunktionen kann eine Vertei-
lungsfunktion für die gesamte Fahrzeit des Regalbediengerätes bei Überlagerung
der Bewegungen in x- und in y-Richtung bestimmt werden. Im nächsten Schritt wird
durch Ableitung der Verteilungsfunktion eine Dichtefunktion bestimmt. Zur Bestim-
mung des Erwartungswertes der Fahrzeiten erfolgt schließlich eine Integration des
Produktes aus Dichtefunktion und der Variablen z über den relevanten Bereich
von z. [Boz-1984] Das Ergebnis ist auf den Wert der maximalen Anfahrzeit der
Punkte der Regalfläche normiert und gibt die Fahrzeit in einer allgemeinen Form in
Abhängigkeit von b an. Dieser Ansatz ist somit für ein beliebiges Verhältnis der
Geschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes und der Re-
galflächenabmessungen geeignet.
Die Erwartungswerte der Fahrzeiten für Einzel- und Doppelspiele werden für den Fall
x yt t bzw. 1w angegeben. Für x yt t bzw. 1w wird bedingt durch die Defini-
tion von b eine Vertauschung der Achsen zur Anwendung der Modelle erforderlich.
Während dies bei einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt keinen Unter-
schied bewirkt, gilt es dies bei abweichenden Anordnungen des Übergabepunktes
zu beachten und ein entsprechendes Berechnungsmodell für die entstehende Kon-
figuration zu wählen. In Abbildung 2-8 wird dies am Beispiel eines auf halber Regal-
, 1yxtt
b MinT T
1L
H
1w
ÜP ÜP
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
22
höhe am Regalrand angeordneten Übergabepunktes verdeutlicht. In diesem Fall ist
der Übergabepunkt am unteren Rand der transformierten Regalfläche angeordnet
und bedarf eines anderen Modells zur Berechnung der Fahrzeiten.
Abbildung 2-8: Vertauschung der Achsen bei w ≥ 1
Das beschriebene Fahrzeitmodell nach Bozer und White setzt konstante Geschwin-
digkeiten von Fahr- und Hubwerk voraus. Eine Berücksichtigung von Beschleuni-
gung und Verzögerung kann nachträglich mittels eines Korrekturfaktors erfolgen, wie
beispielsweise der von Gudehus definierten mittleren Bremsbeschleunigungszeit
(siehe Abschnitt 2.2.4). Zudem gibt es auf dem Modell von Bozer und White aufbau-
ende Ansätze, welche ein Geschwindigkeitsprofil mit Beschleunigung und Verzöge-
rung bereits bei der Herleitung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatzes
berücksichtigen (siehe Hwang und Lee [Hwa-1990]) oder ein approximiertes Ge-
schwindigkeitsprofil verwenden (siehe Chang, Wen und Lin [Cha-1995]). Eine Be-
rücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung auf diese Weise hat einen
deutlich höheren Aufwand für die Berechnung zur Folge.
2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten
Dieser Abschnitt soll einen Überblick über vorhandene Berechnungsmodelle
und -ansätze bei mehr als einem Übergabepunkt geben. Dabei unterscheiden sich
gegenüber der Berechnung für einen im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt
jeweils nur die Anfahrzeiten der Lagerfächer, während die Fahrzeiten zwischen
einzelnen Lagerfächern und die Verweilzeiten unverändert bleiben (vgl. Ab-
schnitt 2.1.2). Basierend auf dem Überblick vorhandener Modelle wird die For-
schungslücke abgeleitet, welche die vorliegende Arbeit zu schließen sucht.
y
x
vLb
H v
1L
H y
x
vy
x v
ÜP
ÜP
1w
2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten
23
Während unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes Gegen-
stand mehrerer durchgeführter Untersuchungen sind und dafür Berechnungsformeln
entwickelt wurden (siehe z. B. Gudehus [Gud-1972a] oder Knepper [Kne-1980]), gibt
es vergleichsweise wenige Untersuchungen, in welchen mehr als ein Übergabepunkt
berücksichtigt wird. Am häufigsten wird dabei der Fall einer Trennung von Ein- und
Ausgang betrachtet, d. h. anstelle eines gemeinsamen Übergabepunktes für Ein-
und Auslagerung erfolgt eine räumlich getrennte Anordnung der Übergabepunkte für
die Ein- und Auslagerung. Folgende Abbildung zeigt zwei mögliche Anordnungen:
Abbildung 2-9: Getrennte Anordnung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung
Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten bei den dargestellten Anordnungen der
Übergabepunkte geben beispielsweise Gudehus [Gud-1972c], die Richtlinie
FEM 9.851 [FEM 9851] oder Bozer und White [Boz-1984] an. Bozer und White
beziehen dabei auch die Ruhepositionsstrategie in die Berechnung ein.
Eine Trennung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung wird im weiteren
Verlauf dieser Arbeit nicht mehr berücksichtigt, da dadurch keine Verkürzung der
Fahrwege erzielt werden kann. Aufgrund von erforderlichen Leerfahrten zwischen
den beiden Übergabepunkten ist ein Anstieg der mittleren Spielzeit gegenüber der
Anordnung eines gemeinsamen Übergabepunktes für Ein- und Auslagerung zu
erwarten. Im Folgenden bezeichnet ein Übergabepunkt daher stets einen kombinier-
ten Übergabepunkt für Ein- und Auslagerung.
Die numerische Berechnung der Fahrzeit für zwei kombinierte, in den gegenüberlie-
genden unteren Eckpunkten der Regalfläche angeordnete Übergabepunkte be-
schreiben Ashayeri et al. [Ash-2002]. Randhawa, McDowell und Wang [Ran-1991]
bestimmen für eine identische Anordnung der Übergabepunkte den Durchsatz unter
Berücksichtigung unterschiedlicher Reihenfolgestrategien mittels Simulation. Der
dabei verwendete Algorithmus ist auf Konfigurationen mit mehr als zwei Übergabe-
punkten übertragbar. Auch Linn und Wysk [Lin-1987] berücksichtigen eine Anord-
ÜPE
ÜPA
ÜPE ÜPA
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
24
nung der Übergabepunkte in den beiden gegenüberliegenden unteren Eckpunkten
der Regalfläche in ihren Simulationsstudien zur Analyse von Steuerungsstrategien.
Mehr als zwei Übergabepunkte in einer Lagergasse betrachten Kaylan und Medeiros
[Kay-1988] in Form von mehreren entlang der Gasse angeordneten Übergabepunk-
ten zur Anbindung an den Regalaußenseiten liegender Arbeitsstationen. Der Transfer
von Ladeeinheiten zwischen Übergabepunkten im Regal und den außenliegenden
Arbeitsstationen erfolgt dabei mittels einzelner Förderstrecken. In einer Simulations-
studie werden für eine beidseitige Anordnung von jeweils vier Übergabepunkten
unterschiedliche Lagerbelegungsstrategien untersucht.
Mak und Lau [Mak-2008] beschreiben die Anwendung evolutionärer Optimierungs-
algorithmen auf das Problem der Reihenfolgeplanung für die Komissionierung in
einem automatischen Lagersystem mit mehreren Übergabepunkten. Die Summe der
Bearbeitungszeiten aller Arbeitsspiele für vorgegebene Kommissionieraufträge stellt
dabei die Zielfunktion dar, welche für unterschiedliche Reihenfolgen simulativ be-
rechnet wird.
Knepper untersucht die Auswirkungen auf die Fahrzeit einer Verlängerung des Zu-
und Abfördersystems in den Regalbereich hinein. Dabei wird ein sich über die ge-
samte Regallänge erstreckender Horizontalförderer betrachtet, entlang welchem
diskrete Übergabepunkte angeordnet werden können. Knepper gibt die Ergebnisse
einer Fahrzeitberechnung für eine Anordnung der Förderstrecke auf Höhe der ersten
Regalfachzeile sowie auf halber Regalhöhe für eine unterschiedliche Anzahl an
Übergabepunkten entlang der Strecke an. Die Ergebnisse zeigen, dass die größte
Fahrzeitverkürzung gegenüber der Eckpunktanordnung des Übergabepunktes
bereits durch eine Verlegung des Übergabepunktes auf halbe Regallänge erzielt
werden kann. Ein zweiter Übergabepunkt hat noch eine weitere wesentliche Verkür-
zung zur Folge, während mehr als zwei Übergabepunkte in den betrachteten Fällen
als nahezu bedeutungslos für eine Fahrzeitverkürzung erachtet werden.
[Kne-1978, S. 126ff]
Lantschner, Atz und Günthner bestimmen die Fahr- und Spielzeiten für exemplari-
sche Anordnungen mehrerer Übergabepunkte mittels Simulation und vergleichen
dabei unterschiedliche Betriebsstrategien. Dabei kommen sie zum Ergebnis, dass
die mit einer bestimmten Anordnung mehrerer Übergabepunkte erzielbare Verkür-
zung der Spielzeit nicht verallgemeinert werden kann, sondern unter Berücksichti-
gung der Lagerkonfiguration fallspezifisch zu berechnen ist. [Lan-2013]
2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten
25
Die Richtlinie VDI 4480 beschreibt ein Verfahren zur Ermittlung des Durchsatzes von
automatischen Lagern, welches auch für Konfigurationen mit mehreren Übergabe-
punkten geeignet ist. Dabei wird für einen stark vereinfachten Fall ohne Berücksich-
tigung von Betriebsstrategien der Durchsatz für bestimmte, als sogenannte Operati-
onszyklen bezeichnete Arbeitsspiele berechnet. Grundlage hierfür bilden Referenz-
lagerplätze, welche für jeden Übergabepunkt bestimmt werden müssen. Ein- und
Auslagerung sind entkoppelt voneinander zu betrachten. [VDI 4480-1] Die Anwen-
dung dieses Verfahrens ist mit einem großen Aufwand für die Bestimmung der
Referenzlagerplätze und die Dauer der einzelnen Operationszyklen verbunden und
ermöglicht nur eine unzureichende Berücksichtigung diverser Betriebsstrategien,
bedingt durch die Trennung von Ein- und Auslagerung.
Arantes und Kompella [Ara-1993] stellen ein mathematisch-analytisches Berech-
nungsmodell für eine Anordnung von unendlich vielen, infinitesimal kleinen Überga-
bepunkten entlang dem unteren Rand der Regalfläche vor. Das Modell basiert auf
dem in Abschnitt 2.2.5 beschriebenen Ansatz von Bozer und White. Die Bestim-
mung der Spielzeiten für Einzelspiele erfolgt dabei anhand einer Zerlegung der
Arbeitsspiele in unterschiedliche Bewegungen, für welche dann unter Annahme
einer chaotischen Lagerplatzzuordnung und einer zufälligen Auswahl der Übergabe-
punkte die Erwartungswerte der Fahrzeiten berechnet werden. Beschleunigung und
Verzögerung von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes bleiben dabei unbe-
rücksichtigt.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass für automatische Lagersysteme
mit mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse mittels Simulation diverse
Untersuchungen mit unterschiedlichem Fokus durchgeführt wurden. Es gibt jedoch
keine allgemeinen Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten bei unterschiedlicher
Anordnung mehrerer Übergabepunkte unter Berücksichtigung angepasster Be-
triebsstrategien. Zu einem ähnlichen Schluss kommen auch Roodbergen und Vis,
welche einen Überblick über vorhandene Berechnungsmodelle geben und diese
analysieren. Dabei stellen sie fest, dass bei der Berechnung üblicherweise ein ein-
zelner Übergabepunkt berücksichtigt wird und auf dem Gebiet automatischer La-
gersysteme mit mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse noch Forschungs-
bedarf besteht. Neben anderen Forschungsthemen werden speziell für Lagersyste-
me mit mehreren Übergabepunkten Fahrzeitmodelle, Belegungsstrategien sowie
Bewegungsstrategien genannt. [Roo-2008] Auch M. R. Vasili, Tang, und M. Vasili
führen an, dass weitere Untersuchungen auf dem Gebiet der Lagerbetriebsstrate-
2 Grundlagen der Spielzeitberechnung
26
gien und Reihenfolgestrategien für vom Standardfall abweichende Konfigurationen,
beispielsweise mit mehreren Übergabepunkten, erforderlich sind [Vas-2012].
Neben Berechnungsmodellen und Strategien fehlt auch eine Beschreibung und
Untersuchung möglicher Anordnungen mehrerer Übergabepunkte in einer Lager-
gasse. Hiefür werden nur einzelne spezielle Fälle, beispielsweise von Knepper
[Kne-1978, S. 126ff], Kaylan und Medeiros [Kay-1988] oder Arantes und Kompella
[Ara-1993] beschrieben, nicht aber systematisch mögliche Anordnungen mehrerer
Übergabepunkte ausgearbeitet und hinsichtlich der Fahr- und Spielzeiten analysiert.
In dieser Arbeit soll schwerpunktmäßig das Fehlen allgemeiner Berechnungsmodelle
adressiert werden. Voraussetzung hierfür sind eine Beschreibung möglicher Anord-
nungen der Übergabepunkte, eine Entwicklung geeigneter Betriebsstrategien sowie
eine Untersuchung der Anordnungen zum Zweck einer Eingrenzung auf relevante
Konfigurationen, für welche schließlich allgemeine mathematisch-analytische Be-
rechnungsmodelle entwickelt werden. Die Untersuchung unterschiedlicher Anord-
nungen mehrerer Übergabepunkte liefert zudem Hinweise auf das jeweilige Potenzi-
al hinsichtlich einer Reduktion der Spielzeiten. Eine umfassende Untersuchung
hierzu ist bisher nicht vorhanden.
27
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
Zur Untersuchung der Spielzeit von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
ist zunächst eine Beschreibung möglicher Anordnungen der Übergabepunkte erfor-
derlich. Dazu erfolgt zunächst eine Analyse des Einflusses von Position und Anzahl
der Übergabepunkte auf die Fahrzeiten. Daraus abgeleitete Konzepte für die Anord-
nung von mehreren Übergabepunkten beschreiben, frei von jeglichen technischen
oder räumlichen Restriktionen, geometrische Anordnungen einer endlichen oder
unendlichen Anzahl an Übergabepunkten in einer Lagergasse. Schließlich werden
Varianten für die Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte aufgezeigt.
3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte
In diesem Abschnitt wird der Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte
auf die Fahrzeiten des Regalbediengerätes zwischen Übergabepunkten und den
verschiedenen Lagerfächern eines Regals untersucht, um daraus Erkenntnisse für
mögliche Anordnungen der Übergabepunkte ableiten zu können. Innerhalb eines
Arbeitsspieles können auch Leerfahrten zwischen verschiedenen Lagerfächern
erforderlich sein. Die Fahrzeiten für diese Fahrten sind unabhängig von der Anord-
nung der Übergabepunkte und bleiben daher an dieser Stelle unberücksichtigt.
Zunächst wird der Einfluss der Position eines einzelnen Übergabepunktes betrach-
tet. Hierzu wurden in der Vergangenheit bereits diverse Untersuchungen durchge-
führt, beispielsweise von Gudehus. Er quantifiziert dabei den möglichen Spielzeit-
gewinn bei Anordnung des Übergabepunktes auf halber Länge mit bis zu 13 % bei
Einzelspielen bzw. bis zu 8 % bei Doppelspielen gegenüber einer Anordnung im
Eckpunkt [Gud-1972a]. Knepper führt eine ähnliche Untersuchung durch und be-
trachtet dabei auch eine Anordnung des Übergabepunktes innerhalb der Regalflä-
che. An einem Beispiel zeigt er eine mögliche Verkürzung der mittleren Spielzeit um
bis zu annähernd 15 % auf. [Kne-1980] Eggert, Loschke und Schumann untersu-
chen die Auswirkung einer mittigen Zuführung von Paletten in einem Hochregallager
und kommen zum Schluss, dass dadurch eine deutliche Effizienzsteigerung möglich
ist [Egg-2010].
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
28
Die Anordnung des Übergabepunktes wirkt sich auf die Bereiche der Regalfläche
aus, für welche die Fahrzeiten des Fahrwerks bzw. des Hubwerks ausschlaggebend
sind (vgl. Abschnitt 2.2.3). Folgende Abbildung veranschaulicht fahr- und hubzeitkri-
tische Bereiche für unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes
an einem Beispiel mit Regalwandparameter w = 1:
Abbildung 3-1: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit einem Übergabepunkt
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Anordnung des Übergabepunktes neben
der Lage der Bereiche auch deren Größenverhältnis beeinflussen kann. Bei einer
Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt oder im Flächenschwerpunkt sind
fahr- und hubzeitkritische Bereiche jeweils gleich groß. Ist der Übergabepunkt am
horizontalen Rand der Fläche auf halber Länge des Regals angeordnet, macht
hingegen der hubzeitkritische Bereich 75 % der Fläche aus, während bei einer
Anordnung am vertikalen Rand auf halber Höhe der Anteil 25 % beträgt. Bei einem
Regalwandparameter 1w ändert sich die Steigung der Synchronfahrgeraden, was
zu einem anderen Verhältnis der Flächenanteile führt. Diese Betrachtung anhand des
Regalwandparameters stellt jedoch lediglich eine Näherung dar, da der Einfluss von
Beschleunigung und Verzögerung vernachlässigt wird (vgl. Abschnitt 2.2.3).
Bei einer vom Eckpunkt abweichenden Anordnung des Übergabepunktes wird im
Mittel eine kürzere Anfahrzeit der Punkte der Fläche erwartet. In Abhängigkeit der
gewählten Anordnung ergeben sich neben kürzeren Anfahrzeiten für bestimmte
Bereiche der Fläche auch Bereiche mit unveränderten oder längeren Anfahrzeiten.
Diese Bereiche können anhand der Synchronfahrgeraden identifiziert werden. Abbil-
dung 3-2 zeigt dies am Beispiel eines Vergleichs der dargestellten Anordnung des
Übergabepunktes mit einer Anordnung im linken unteren Eckpunkt. Die Fahrzeiten
bleiben zu all jenen Punkten unverändert, welche für beide Anordnungen oberhalb
hubzeitkritisch
fahrzeitkritisch
3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte
29
der Synchronfahrgeraden liegen. Zu allen Punkten unterhalb der Synchronfahrgera-
den, die näher am Eckpunkt liegen, werden die Fahrzeiten mit der dargestellten
Anordnung des Übergabepunktes länger, während für die restlichen Punkte die
Fahrzeiten verkürzt werden können.
Abbildung 3-2: Fahrzeiten bei mittiger Anordnung des Übergabepunktes im Vergleich zu einer Eckpunktanordnung
Die dargestellten Bereiche lassen jedoch noch keine Rückschlüsse auf die Fahrzei-
ten zu einzelnen Punkten zu. Abbildung 3-3 zeigt eine qualitative Darstellung der
Fahrzeiten zwischen Übergabepunkt und den Flächenschwerpunkten von Teilflä-
chen, welche Lagerfächer mit willkürlich festgelegten Abmessungen darstellen. Die
Berechnung erfolgte ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung
für die bereits gezeigten Anordnungen des Übergabepunktes und Regalwandpara-
meter w = 1.
Abbildung 3-3: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung eines Übergabepunktes
In der Abbildung sind die Isochronen (vgl. Abschnitt 2.2.3) für die unterschiedlichen
Anordnungen des Übergabepunktes erkennbar. Anhand der Farbskala können
Kürzere Fahrzeiten
Keine Veränderung
Längere Fahrzeiten
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
30
Bereiche mit identischen Anfahrzeiten abgelesen werden. Die kürzesten Anfahrzei-
ten sind grün dargestellt, die längsten rot. Bei einer Anordnung des Übergabepunk-
tes am Rand der Fläche auf halber Regallänge bzw. halber Regalhöhe sind die
Anfahrzeiten der Punkte im Mittel gleich lang, wie für eine halb so große Fläche mit
Übergabepunkt im Eckpunkt. Liegt der Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt, ist
die mittlere Anfahrzeit hingegen von gleicher Dauer wie für ein Viertel der Fläche bei
Eckpunktanordnung des Übergabepunktes.
Im nächsten Schritt erfolgt eine Betrachtung des Einflusses der Anzahl der Überga-
bepunkte am Beispiel von am Flächenrand angeordneten Übergabepunkten. Abbil-
dung 3-4 veranschaulicht fahr- und hubzeitkritische Bereiche für zwei bzw. fünf
äquidistant angeordnete Übergabepunkte und Regalwandparameter w = 1. Dabei
wird von einer Zuordnung der Punkte der Fläche zum Übergabepunkt mit der jeweils
kürzesten Entfernung ausgegangen. Die Grenzen dieser Zuordnung sind durch
vertikale Strichlinien angedeutet.
Abbildung 3-4: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit mehreren Übergabepunkten
Aus der Abbildung geht hervor, dass mit zunehmender Anzahl horizontal angeordne-
ter Übergabepunkte der Anteil der Fläche des hubzeitkritischen Bereiches zunimmt.
Für den Fall, dass die Übergabe an jedem beliebigen Punkt am horizontalen Flä-
chenrand möglich wäre, würde der Anteil 100 % betragen. Analog verhält sich der
Anteil der Fläche des fahrzeitkritischen Bereiches bei einer Anordnung der Überga-
bepunkte am vertikalen Flächenrand.
Anhand der Synchronfahrgeraden können ohne Berücksichtigung von Beschleuni-
gung und Verzögerung wiederum auch die Bereiche identifiziert werden, für welche
sich gegenüber einer Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt die Anfahrzei-
ten ändern. In Abbildung 3-5 sind die Bereiche für eine Anordnung von zwei Über-
gabepunkten dargestellt.
hubzeitkritisch
fahrzeitkritisch
3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte
31
Abbildung 3-5: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich zur Übergabe im Eck-punkt
Mit dieser Anordnung der Übergabepunkte ist eine Verkürzung der Fahrzeit zu
weniger als 50 % der Punkte der Fläche gegenüber einem im Eckpunkt angeordne-
ten Übergabepunkt möglich. Der Bereich längerer Fahrzeiten würde für eine zuneh-
mende Anzahl der Übergabepunkte immer kleiner werden und falls die Übergabe an
jedem beliebigen Punkt am unteren Flächenrand möglich wäre, schließlich ver-
schwinden. Hierbei könnte im betrachteten Beispiel mit Regalwandparameter w = 1
die Anfahrzeit für die Hälfte der Punkte der Fläche verkürzt werden. Diese Punkte
liegen in dem in Abbildung 3-1 für eine Anordnung des Übergabepunktes im Eck-
punkt identifizierten fahrzeitkritischen Bereich. Zu den weiteren Punkten, welche
bereits bei einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt hubzeitkritisch sind,
ändern sich die Fahrzeiten hingegen nicht. Für abweichende Werte des Regalwand-
parameters w verschieben sich die Anteile der Bereiche bedingt durch die geänderte
Steigung der Synchronfahrgeraden, wie in Abbildung 3-6 an einem Beispiel für
w = 0,5 sowie w = 2 gezeigt wird.
Abbildung 3-6: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich im Vergleich Übergabe im Eckpunkt bei abweichendem Regalwandparameter w
Während bei w = 0,5 der Anteil der Fläche, für welchen die Fahrzeiten gegenüber
der Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt kürzer werden, deutlich mehr als
die Hälfte beträgt, ist dieser bei w = 2 kleiner 25 %. Aus diesem Grund wäre bei
w = 2 eine Anordnung der Übergabepunkte am vertikalen Flächenrand vorzuziehen,
für welche die Anteile der Bereiche identisch sind, wie für die betrachtete Anordnung
bei w = 0,5.
Kürzere Fahrzeiten
Keine Veränderung
Längere Fahrzeiten
w=2
w=0,5
Kürzere Fahrzeiten
Keine Veränderung
Längere Fahrzeiten
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
32
Zur Analyse der Fahrzeiten werden diese analog zum vorangehenden Beispiel für
unterschiedliche Anordnungen eines Übergabepunktes exemplarisch berechnet.
Dabei wird für die einzelnen Lagerfächer stets die Fahrzeit zum Übergabepunkt mit
der geringsten Entfernung bestimmt. Folgende Abbildung zeigt eine qualitative
Darstellung der Fahrzeiten für unterschiedliche Anordnungen mehrerer Übergabe-
punkte im Vergleich zur Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes im Eckpunkt.
Abbildung 3-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung der Übergabepunkte
Aus der Abbildung ist beim Vergleich der Fahrzeiten mit zwei und fünf Übergabe-
punkten ersichtlich, dass bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte die Fahrzei-
ten nur mehr für einen kleinen Anteil der Lagerfächer weiter verkürzt werden können,
während die Fahrzeiten zu allen weiteren Lagerfächern unverändert bleiben. Dies
hängt mit dem in Abbildung 3-4 gezeigten abnehmenden Anteil fahrzeitkritischer
Lagerfächer zusammen. Ist die Übergabe an jedem beliebigen Punkt einer Strecke
am unteren Flächenrand möglich, so wird für 50 % der Lagerfächer eine Verkürzung
der Anfahrzeit gegenüber der dargestellten Anordnung eines einzelnen Übergabe-
punktes erwartet, was anhand der Darstellung nachvollziehbar ist.
Um die Anfahrzeit für mehr als 50 % der Lagerfächer bei einem Regalwandparame-
ter w = 1 verkürzen zu können, ist eine Anordnung der Übergabepunkte in der
Fläche oder an mehreren Rändern der Fläche notwendig. Werden beispielsweise
entlang einer horizontalen Strecke angeordnete Übergabepunkte auf halber Regal-
3.2 Anordnung der Übergabepunkte
33
höhe angeordnet, so ändern sich auch die vertikalen Entfernungen. Die mittlere
Anfahrzeit der Lagerfächer entspricht hierbei jener für eine halb so hohe Fläche mit
am Rand angeordneten Übergabepunkten.
3.2 Anordnung der Übergabepunkte
Basierend auf den Erkenntnissen aus der Analyse des Einflusses von Position und
Anzahl der Übergabepunkte auf die Fahrzeiten erfolgt an dieser Stelle die Beschrei-
bung möglicher Anordnungen der Übergabepunkte. Mehrere Übergabepunkte
können in einer Lagergasse am Rand der Regale oder auch innerhalb der Regalflä-
chen angeordnet werden. Dabei wird ein einzelnes Regal einer Lagergasse betrach-
tet (vgl. Abschnitt 2.2.1) und von einer symmetrischen Anordnung der Übergabe-
punkte zu beiden Seiten des Regalgangs ausgegangen.
Zunächst wird lediglich die Lage von Strecken festgelegt, entlang welcher eine
endliche oder unendliche Anzahl an Übergabepunkten angeordnet werden kann. Die
Konfiguration mit einer unendlichen Anzahl wird im Folgenden als kontinuierliche
Übergabestrecke bezeichnet. Auf eine Festlegung der Position diskreter Übergabe-
punkte entlang der Strecken wird verzichtetet, da deren Anordnung von der verwen-
deten Betriebsstrategie abhängig ist. Ein Ansatz zur Optimierung in Abhängigkeit der
Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes ist in Abschnitt 4.3 angeführt.
Im vorangehenden Abschnitt konnte gezeigt werden, dass abhängig vom Regal-
wandparameter w entweder eine horizontale oder eine vertikale Anordnung der
Übergabepunkte vorteilhaft sein kann. Aus diesem Grund werden unterschiedlich
positionierte Strecken beschrieben, welche sowohl horizontal als auch vertikal
angeordnet sein können. Hierbei werden Strecken am Flächenrand sowie innerhalb
der Fläche betrachtet. Während letztere kürzere Fahrzeiten erlauben, wird eine
Anordnung am Rand aufgrund der erwarteten einfacheren Umsetzung berücksich-
tigt. Neben Anordnungen von bis zu zwei horizontalen oder vertikalen Strecken je
Regalseite erfolgt auch eine Festlegung weiterer Anordnungen, welche aufgrund der
Symmetrie bezüglich der Diagonalen der Regalfläche unabhängig vom Regalwand-
parameter geeignet sind. Dies ist für diagonal angeordnete Strecken sowie be-
stimmte Kombinationen einer horizontalen und einer vertikalen Strecke gegeben.
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
34
3.2.1 Horizontale und vertikale Anordnungen
Für die Anordnung einer endlichen oder unendlichen Anzahl an Übergabepunkten
entlang von horizontalen oder vertikalen Strecken werden folgende Merkmale identi-
fiziert, welche mögliche Konzeptvarianten beschreiben:
1. Anzahl der Strecken
2. Länge der Strecke(n)
3. Vertikale bzw. horizontale Position der Strecke(n)
4. Anzahl und Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke
Die Anzahl der Strecken gibt an, wie viele parallele Strecken je Regalseite vorhanden
sind. Mehrere Strecken erlauben bei entsprechender Anordnung eine zunehmende
Verkürzung der mittleren Fahrwege, es ist jedoch auch von einem deutlich höheren
Aufwand für eine Umsetzung auszugehen, weshalb lediglich Varianten mit bis zu
zwei Strecken je Regalseite betrachtet werden. Die Länge der Strecke bzw. Stre-
cken soll zum Zweck einer symmetrischen Verteilung der Übergabepunkte der
Regallänge bzw. -höhe entsprechen, prinzipiell sind aber auch kürzere Strecken
beispielsweise bis zur Regalmitte möglich. Die vertikale Position horizontaler Stre-
cken bzw. horizontale Position vertikaler Strecken legt fest, in welchem Abstand
zum Rand der Regalfläche die Strecken angeordnet sind. Im Folgenden erfolgt
anhand dieser Merkmale eine Ableitung unterschiedlicher Anordnungen der Stre-
cken. Die Darstellungen am Beispiel horizontaler Strecken sind dabei auch auf
vertikal angeordnete Strecken übertragbar, indem diese um 90° gedreht bzw. an der
Diagonalen der quadratisch dargestellten Regalfläche gespiegelt werden.
Zunächst findet eine Betrachtung möglicher Anordnungen einer einzelnen Strecke
statt. In Abbildung 3-8 sind mögliche Positionen einer Strecke in einer Regalhälfte
angedeutet. Aufgrund der Symmetrie und der Richtungsunabhängigkeit der Fahrzei-
ten sind um die Mittellinie gespiegelte Anordnungen äquivalent.
Abbildung 3-8: Mögliche Anordnungen einer Strecke
3.2 Anordnung der Übergabepunkte
35
Die Anordnung der Strecke an einem Rand der Fläche (siehe Abbildung 3-9) stellt
hinsichtlich des mittleren Fahrwegs zwischen Übergabepunkten auf der Strecke und
über die gesamte Fläche gleichmäßig verteilten Lagerfächern den ungünstigsten Fall
dar.
Abbildung 3-9: Anordnungen einer Strecke am Regalrand
Zur Minimierung des mittleren Fahrwegs ist eine Anordnung auf halber Höhe der
Regalfläche erforderlich, wie in Abbildung 3-10 dargestellt.
Abbildung 3-10: Mittige Anordnung einer Strecke
Während die Länge der Strecken bei den bisher gezeigten Anordnungen jeweils der
Regallänge bzw. -höhe entspricht, zeigt Abbildung 3-11 Strecken, welche bis zur
Mitte des Regals reichen. Hinsichtlich einer Verkürzung der Spielzeit sind diese
Anordnungen nicht zweckmäßig, es ist jedoch von Vorteilen beispielsweise hinsicht-
lich des Realisierungsaufwands auszugehen.
Abbildung 3-11: Anordnungen einer Strecke bis zur Regalmitte
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
36
Mögliche Anordnungen von zwei Strecken auf einer Regalseite werden in
Abbildung 3-12 gezeigt. Dabei wird eine symmetrische Anordnung der beiden Stre-
cken bezüglich der Mittellinie vorausgesetzt.
Abbildung 3-12: Mögliche Anordnungen von zwei Strecken
Wie bereits für eine einzelne Strecke stellt auch für zwei Strecken die Anordnung am
Flächenrand den ungünstigsten Fall dar (siehe Abbildung 3-13).
Abbildung 3-13: Anordnung von zwei Strecken am Regalrand
Während bei einer Strecke eine mittige Anordnung das Optimum repräsentiert, ist
bei zwei Strecken die optimale Anordnung von der Strategie bei der Auswahl eines
Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2) abhängig. Ein Ansatz zur Optimierung der
Anordnung anhand einer Minimierung der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der
Strategie wird in Abschnitt 4.5 vorgestellt.
3.2.2 Weitere Anordnungen
Neben horizontalen und vertikalen Anordnungen der Strecken werden auch diago-
nale Anordnungen sowie Kombinationen einer horizontal und einer vertikal angeord-
neten Strecke beschrieben. In Abbildung 3-14 ist die diagonale Anordnung von einer
sowie von zwei Strecken dargestellt. Im zweiten Fall schneiden sich die beiden
Strecken, wodurch ein Punkt entsteht, welcher beiden Strecken zugeordnet werden
kann.
3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte
37
Abbildung 3-14: Anordnungen diagonaler Strecken
Abbildung 3-15 zeigt zwei mögliche kombinierte Anordnungen horizontaler und
vertikaler Strecken am Rand sowie jeweils mittig. Bei letzterer Anordnung ist wiede-
rum ein Schnittpunkt der Strecken vorhanden.
Abbildung 3-15: Kombinierte Anordnungen von Strecken
3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte
Ausgehend von einer symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte zu beiden
Seiten einer Gasse kann über eine Seite die Versorgung mit Ladeeinheiten erfolgen,
während die gegenüberliegende Seite der Entsorgung von Ladeeinheiten dient.
Übergabepunkte können entweder an festen Positionen entlang von Strecken ange-
ordnet oder entlang der Strecken verfahrbar sein. Demzufolge wird bei der Betrach-
tung von deren Versorgung zwischen stationären und nicht stationären Übergabe-
stationen unterschieden.
3.3.1 Stationäre Übergabepunkte
Stationäre Übergabepunkte können entweder auf einer Förderstrecke liegen, welche
eine direkte Abgabe oder Aufnahme von Ladeeinheiten an jeder beliebigen Stelle
ermöglicht, oder als mit Fördertechnik verbundene, diskrete Übergabestationen
ausgeführt sein. Im Fall diskreter Übergabestationen unterscheidet sich die Überga-
be von Ladeeinheiten in definierten Positionen nicht wesentlich von einer gewöhnli-
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
38
chen Ein- oder Auslagerung, während bei einer Übergabe zwischen Förderstrecke
und Lastaufnahmemittel höhere Anforderungen an die Lastübergabe gestellt wer-
den.
Erfolgt die Anbindung mehrerer stationärer Übergabepunkte an die Lagervorzone
über eine gemeinsame vertikale oder horizontale Förderstrecke, so ist ein Passieren
einzelner Übergabepunkte zur Versorgung flussabwärts gelegener Übergabepunkte
unumgänglich. Folgende Varianten, die dies erlauben, werden identifiziert:
1. Im belegten Zustand passierbare Übergabepunkte
2. Außerhalb der Übergabepunkte angeordnete Förderstrecken
3. Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten Übergabepunkt
Einzelne Übergabepunkte können so gestaltet werden, dass auch im belegten
Zustand ein Passieren von Ladeeinheiten möglich ist. Hierfür bieten sich beispiels-
weise Hebe- oder Umsetzvorrichtungen an. Alternativ dazu kann eine außerhalb der
Übergabepunkte angeordnete Förderstrecke mit Ausschleusstationen an den Über-
gabepunkten die Versorgung ermöglichen, wie in folgender Abbildung dargestellt ist:
Abbildung 3-16: Versorgung über Förderstrecke mit Ausschleusstationen (Draufsicht)
Für den Fall, dass die Übergabepunkte im belegten Zustand nicht passiert werden
können und eine Versorgung über eine außerhalb der Übergabepunkte angeordnete
Förderstrecke z. B. aus Platzgründen nicht realisiert werden kann, ist ein Weiter-
transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten Übergabepunkt vorstellbar. Auf
diese Weise kann eine bei erfolgter Übergabe einer Ladeeinheit an das Lastaufnah-
memittel entstandene Lücke geschlossen werden. Abbildung 3-17 zeigt diesen
Vorgang am Beispiel der Versorgung des dritten Übergabepunktes in der Draufsicht.
Fahrschiene RBG
ÜP Einlagerung
Lag
erv
orz
on
e
ÜP Auslagerung
ÜP2,E
ÜP1,A
RBG
ÜP2,A ÜP3,A
ÜP1,ELE
LE
LE
Förderstrecke mitAusschleusstationen
ÜP1,E ÜP2,E ÜP3,E
LE
3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte
39
Abbildung 3-17: Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten ÜP (Draufsicht)
Ist die maximale Zeit für die Versorgung eines oder mehrerer Übergabepunkte
länger als die minimale Dauer eines Arbeitsspiels des Regalbediengerätes, so kann
nicht für jedes mögliche Arbeitsspiel eine rechtzeitige Bereitstellung von Ladeeinhei-
ten erfolgen. Dadurch kommt es zu Wartezeiten des Regalbediengerätes oder
Einschränkungen bei der Auswahl eines möglichen Übergabepunktes, was sich
wiederum negativ auf die Spielzeit auswirkt. Auch im Fall einer kontinuierlichen
Übergabestrecke gilt es zu prüfen, ob jede Übergabeposition in der minimal zur
Verfügung stehenden Zeit erreicht werden kann. Ein möglicher Ansatz zur Verkür-
zung der Wiederbeschaffungszeit ist die Bereitstellung von Ladeeinheiten an verteil-
ten Stellen entlang der Förderstrecken oder in Puffern an den einzelnen Übergabe-
punkten.
3.3.2 Nicht stationäre Übergabepunkte
Nicht stationäre Übergabepunkte, welche entlang einer Strecke beweglich sind,
können beispielsweise mit schienengebundenen Fahrzeugen realisiert werden
(vgl. [Geb-2013]). Dabei nehmen die Fahrzeuge in der Lagervorzone einzulagernde
Ladeeinheiten auf und transportieren diese zum Ort der Übergabe oder transportie-
ren auszulagernde Ladeeinheiten vom Ort der Übergabe zur Lagervorzone. Bei
ausreichender Geschwindigkeit ist ein solches System in der Lage, eine Übergabe
an jeder beliebigen Position entlang einer Strecke zu ermöglichen, wie dies bei einer
kontinuierlichen Übergabestrecke der Fall ist. Ver- und Entsorgung können dabei
parallel über zwei Fahrzeuge zu beiden Seiten des Regalgangs erfolgen. Die Fahr-
schienen können dabei horizontal, vertikal oder auch diagonal verlaufen.
Abbildung 3-18 zeigt eine Prinzipdarstellung am Beispiel horizontaler Fahrschienen
mit einem Fahrzeug je Fahrschiene in der Draufsicht.
Fahrschiene RBG
ÜP EinlagerungL
ag
erv
orz
on
e
ÜP Auslagerung
ÜP2,E
ÜP1,A
RBG
ÜP2,A ÜP3,A
ÜP3,EÜP1,E LE
LE
LELE
3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
40
Abbildung 3-18: Nicht stationäre, entlang von Schienen verfahrbare Übergabepunkte
Die für die Bereitstellung und Entsorgung von Ladeeinheiten zur Verfügung stehende
Zeit ist von der minimalen Dauer eines Arbeitsspiels des Regalbediengerätes ab-
hängig. Kann die geforderte Leistung mit einem Fahrzeug je Seite nicht erreicht
werden, sind Leistungseinbußen durch Wartezeiten des Regalbediengerätes oder
durch eine nicht optimale Übergabeposition die Folge. Ein Ansatz zur Steigerung der
Leistung wäre der Einsatz von zwei Fahrzeugen je Fahrschiene und eine beidseitige
Anbindung an die Fördertechnik der Lagervorzone.
Fahrschiene RBG
Fahrschiene ÜP Einlagerung
La
ge
rvo
rzo
ne
Fahrschiene ÜP Auslagerung
ÜPLE
LE
ÜPAuslagerung
ÜPEinlagerung
RBG
41
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
Für den Betrieb einer Lagergasse mit mehreren Übergabepunkten sind neue oder
angepasste Betriebsstrategien erforderlich. Erst in Kombination mit geeigneten
Strategien kann das durch zusätzliche Übergabepunkte vorhandene Potenzial
hinsichtlich einer Reduktion der Spielzeit ausgeschöpft werden. Aus diesem Grund
werden nach der Definition der Rahmenbedingungen Strategien für eine optimierte
Auswahl eines Übergabepunktes innerhalb eines Arbeitsspiels vorgestellt und analy-
siert. In diesem Zusammenhang erfolgt auch eine Optimierung der Anordnung der
Übergabepunkte sowie mehrerer Übergabestrecken in Abhängigkeit der Strategie
für die Auswahl eines Übergabepunktes. Für kontinuierliche Übergabestrecken wird
zudem ein Ansatz zur Bestimmung der optimalen Übergabeposition vorgestellt.
Schließlich folgt eine Überprüfung vorhandener Lagerbetriebsstrategien hinsichtlich
einer Kompatibilität mit mehreren Übergabepunkten.
4.1 Voraussetzungen
Den im Folgenden vorgestellten Strategien und Optimierungsansätzen für Lagersys-
teme mit mehreren Übergabepunkten liegt eine Reihe idealisierter Annahmen und
Vereinfachungen zugrunde, welche an dieser Stelle definiert und erläutert werden:
Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten an jedem Übergabepunkt möglich
Ständige Verfügbarkeit sämtlicher vorhandener Übergabepunkte
Keine Leerfahrten zwischen Arbeitsspielen
Betrachtung einer einzelnen Regalseite
Infinitesimal kleine Lagerfächer
Gleiche Zugriffshäufigkeit auf alle Lagerfächer
Ständige Verfügbarkeit aller Informationen
Voraussetzung ist, dass an jedem der vorhandenen Übergabepunkte bzw. an jeder
Stelle einer kontinuierlichen Übergabestrecke sowohl die Aufnahme als auch die
Abgabe von Ladeeinheiten möglich sind. In der Praxis kann dies über eine Anord-
nung von Übergabestationen zu beiden Seiten des Regalgangs realisiert werden.
Blockierungen der Übergabestationen oder Engpässe in deren Versorgung bleiben
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
42
unberücksichtigt. Es wird davon ausgegangen, dass die vorhandenen Übergabe-
punkte ständig verfügbar sind und an jedem Übergabepunkt Ladeeinheiten für die
Einlagerung vorhanden sind. Zwischen einzelnen Arbeitsspielen fallen keine Leer-
fahrten an, um beispielsweise zu einem definierten Ausgangspunkt zurückzukehren.
Aufgrund der Symmetrie kann die Betrachtung einer einzelnen Regalseite einer
Lagergasse erfolgen. Die realen Abmessungen der einzelnen Lagerfächer werden
vernachlässigt und stattdessen infinitesimal kleine Lagerfächern betrachtet, auf
welche mit gleicher Häufigkeit zugegriffen wird. Somit besitzt jeder Punkt der Regal-
fläche die gleiche Zugriffshäufigkeit. Auf Steuerungsseite wird vorausgesetzt, dass
alle benötigten Informationen jeweils rechtzeitig verfügbar sind.
4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes
Im Gegensatz zu in der Praxis üblichen automatischen Lagersystemen mit einem
einzelnen Übergabepunkt je Lagergasse erlauben die in Kapitel 3 vorgestellten
Konzepte eine Übergabe von Ladeeinheiten an mehreren alternativen Orten. Die
Übergabe kann entweder an diskreten Übergabepunkten oder entlang einer kontinu-
ierlichen Übergabestrecke erfolgen. Für beide Varianten gilt es mit einer geeigneten
Strategie in Abhängigkeit der jeweiligen Start- und Zielposition des Regalbedienge-
rätes einen Ort für die Übergabe mit dem Ziel einer Minimierung der Fahrzeiten
auszuwählen.
4.2.1 Zufällige Auswahl eines Übergabepunktes
Die einfachste Strategie für die Auswahl eines Übergabepunktes ist die von Arantes
und Kompella [Ara-1993] vorgeschlagene Auswahl nach dem Zufallsprinzip. Dabei
wird für jedes Arbeitsspiel aus einer endlichen Anzahl diskreter Übergabepunkte mit
gleicher Wahrscheinlichkeit ein Übergabepunkt ausgewählt. Die Auswahl ist demzu-
folge unabhängig vom Startpunkt des Regalbediengerätes und des im Anschluss an
die Übergabe anzufahrenden nächsten Ziels. Somit findet keine optimierte Zuord-
nung statt. Wie für diese Strategie die Übergabepunkte am günstigsten angeordnet
werden können, geht aus der in Abschnitt 4.3.1 gezeigten Berechnung hervor.
4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes
43
4.2.2 Auswahl des jeweils nächstgelegen Übergabepunktes
Anstelle einer zufälligen Auswahl der Übergabepunkte, wie im vorangehenden
Abschnitt beschrieben, kann bei der Fahrt von einem beliebigen Lagerfach zu einem
Übergabepunkt jeweils systematisch der mit der kürzesten Fahrstrecke erreichbare
Übergabepunkt ausgewählt werden. Sind mehrere Übergabepunkte mit dem selben
Abstand vorhanden, kann die Auswahl eines der äquidistanten Übergabepunkte
nach dem Zufallsprinzip erfolgen. Bei aufeinanderfolgenden Einzelspielen oder
kombinierten Spielen stellt ein ausgewählter Übergabepunkt jeweils auch den Start-
punkt für die Fahrt zum nächsten Lagerfach dar. Der beschriebene Ablauf bei der
Auswahl eines Übergabepunktes gemäß der im Folgenden mit „Nächstgelegener
Übergabepunkt“ bezeichneten Strategie ist in Abbildung 4-1 dargestellt:
Abbildung 4-1: Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“
Die Auswahl des Übergabepunktes ist gemäß dieser Strategie nur von der Position
des Startpunktes des Regalbediengerätes und der vorhandenen Übergabepunkte
abhängig. Eine Berücksichtigung des im Anschluss an die Übergabe anzufahrenden
nächsten Ziels findet nicht statt. Dennoch hat die Fahrt zum nächsten Ziel einen
Bestimmung Übergabepunkt(e) mit kürzestem Abstand zum
(Ausgangs-)Lagerfach
Start
Anzahl >1?
Festlegung des Übergabepunktes als Ziel
für das RBG
nein
Zufällige Auswahl eines der äquidistanten Übergabepunkte
ja
Weiteres Arbeitsspiel?
nein
Ende
Festlegung des Übergabepunktes als Startposition für das folgende Arbeitsspiel
ja
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
44
Einfluss auf die optimale Anordnung diskreter Übergabepunkte (siehe Abschnitt 4.3)
oder mehrerer Übergabestrecken (siehe Abschnitt 4.5) sowie auf die Bestimmung
der optimalen Übergabeposition entlang einer kontinuierlichen Übergabestrecke
(siehe Abschnitt 4.6).
4.2.3 Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
Ist zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes neben dem Startpunkt des
Regalbediengerätes auch das im Anschluss an die Übergabe anzufahrenden nächs-
te Ziel bekannt, so wird gemäß der im Folgenden mit „Berücksichtigung nächstes
Ziel“ bezeichneten Strategie derjenige Übergabepunkt gewählt, für welchen die
Summe folgender Fahrzeiten am kleinsten ist:
1. Fahrzeit von einem beliebigen (Ausgangs-)Lagerfach zum Übergabepunkt
2. Fahrzeit vom Übergabepunkt zum nächsten (Ziel-)Lagerfach
Ist die Summe der Fahrzeiten für mehrere Übergabepunkte identisch, so wird ein
Übergabepunkt nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Abbildung 4-2 zeigt den Ablauf
bei der Auswahl eines Übergabepunktes gemäß dieser Strategie:
Abbildung 4-2: Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
Bestimmung Übergabepunkt(e) mit kürzester Fahrzeitensumme vom (Ausgangs-)Lagerfach zum Übergabepunkt und vom Übergabepunkt
zum nächsten (Ziel-)Lagerfach
Start
Anzahl >1?
Festlegung des Übergabepunktes als Zwischenziel für das RBG auf der
Fahrt zum nächsten (Ziel-)Lagerfach
nein
Zufällige Auswahl eines der Übergabepunkte mit
kürzester Fahrzeitensummeja
Ende
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
45
Durch die Berücksichtigung des nächsten Ziels des Regalbediengerätes kann mit
dieser Strategie eine Fahrwegoptimierung für aufeinanderfolgende Arbeitsspiele
erfolgen. Voraussetzung ist allerdings, dass das im Anschluss an die Übergabe
anzufahrende Lagerfach rechtzeitig bekannt ist. Ist dies nicht der Fall, so muss auf
die im vorangehenden Abschnitt beschriebene Strategie zurückgegriffen werden.
Die Bestimmung der optimalen Übergabeposition sowie die Berechnung der optima-
len Anordnung von Übergabepunkten und mehrerer Übergabestrecken für diese und
die weiteren vorgestellten Strategien wird in den folgenden Abschnitten gezeigt.
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
Die gewählte Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes hat einen Einfluss
auf die optimale Anordnung der Übergabepunkte. Aus diesem Grund wird für die
vorgestellten Strategien jeweils eine optimale Anordnung diskreter Übergabepunkte
entlang einer horizontalen oder vertikalen Strecke zur Minimierung der mittleren
Fahrwege bestimmt. Die Berechnung der optimalen Anordnung unterscheidet sich
zudem je nach Anzahl der Übergabepunkte. Exemplarisch wird die Berechnung für
zwei entlang einer Strecke am unteren Rand der Fläche angeordnete Übergabe-
punkte ausgeführt (siehe Abbildung 4-3). Die Ergebnisse sind auch auf weitere
Anordnungen von zwei Übergabepunkten entlang horizontaler oder vertikaler Stre-
cken übertragbar.
Abbildung 4-3: Exemplarische Regalfläche mit zwei Übergabepunkten
Nachdem die Fahrwege in vertikale Richtung zwischen den dargestellten Übergabe-
punkten und Lagerfächern der Regalfläche unabhängig von der horizontalen Positi-
on der Übergabepunkte sind, beeinflusst deren Anordnung lediglich die Fahrwege in
horizontale Richtung. Zur Minimierung der mittleren horizontalen Fahrwege ist folg-
lich bei gleicher Zugriffshäufigkeit auf alle Punkte der Fläche eine Betrachtung der
ÜP1 ÜP2
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
46
Strecke ausreichend, entlang welcher die Übergabepunkte angeordnet sind
(vgl. Abbildung 4-4).
Abbildung 4-4: Horizontale Strecke mit zwei Übergabepunkten
Die Länge der Strecke wird normiert, um relative Koordinaten als Ergebnis für die
optimale Position der Übergabepunkte zu erhalten. Die Ergebnisse müssen zur
Bestimmung der effektiven Koordinaten der Übergabepunkte folglich mit der jeweili-
gen Länge bzw. Höhe eines Regals multipliziert werden. Für eine symmetrische
Anordnung von zwei Übergabepunkten kann die Strecke in drei Teilstrecken unter-
gliedert werden, wobei die beiden Randstrecken aufgrund der Symmetrie jeweils die
Länge 1x haben. Die Teilstrecke in der Mitte ist demzufolge 11 2x lang.
Zum Zweck einer Minimierung sollen zunächst die mittleren horizontalen Fahrwege
zu den einzelnen Punkten entlang der Strecke berechnet werden. Bei der Berech-
nung ist eine Unterscheidung folgender Fahrwege erforderlich:
1. Mittlerer horizontaler Fahrweg von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt
2. Mittlerer horizontaler Fahrweg von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach
Nachdem sich bei aufeinanderfolgenden Arbeitsspielen beide Fahrwege abwech-
selnd wiederholen, soll die horizontale Position der Übergabepunkte bestimmt
werden, für welche die Summe der beiden Fahrwege minimal ist. Dazu ist eine
Berechnung der mittleren horizontalen Fahrwege in Abhängigkeit der Position der
Übergabepunkte für die vorgestellten Strategien bei deren Auswahl erforderlich.
Anhand der berechneten Funktion kann schließlich die optimale Position der Über-
gabepunkte an der Stelle des Minimums des gesamten mittleren Fahrwegs be-
stimmt werden.
4.3.1 Berechnung für die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes
Bei zufälliger Auswahl eines Übergabepunktes sind die mittleren Fahrwege unab-
hängig von der Bewegungsrichtung und somit für die Fahrten von einem Lagerfach
zu einem Übergabepunkt identisch wie in die umgekehrte Richtung. Im Mittel be-
trägt der Fahrweg zwischen einem Übergabepunkt und einem Punkt auf einer Teils-
(0,y)
x11-2x1
(1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)
x1
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
47
trecke zu einer Seite des Übergabepunktes, welcher die horizontale Koordinate
eines Lagerfaches repräsentiert, der halben Länge der entsprechenden Teilstrecke
(vgl. Abbildung 4-5).
Abbildung 4-5: Mittlere horizontale Fahrstrecken zwischen Übergabepunkt und Punkten auf den Teilstrecken
Zur Bestimmung des mittleren Fahrweges für den abgebildeten Übergabepunkt
müssen die mittleren Fahrwege für die beiden Teilstrecken noch mit der zugehörigen
Länge der Teilstrecke gewichtet werden. Durch die Normierung der gesamten Stre-
cke auf die Länge 1 entspricht die Länge der Teilstrecken dem Anteil der sich zu
einer Seite des Übergabepunktes befindlichen Lagerfächer. Für den Fall 1 0,1x
würden sich z. B. 10 % aller Lagerfächer links von Übergabepunkt ÜP1 befinden.
Aufgrund der Symmetrie sind die mittleren horizontalen Fahrwege zwischen Lager-
fächern und Übergabepunkten für beide Übergabepunkte (vgl. Abbildung 4-4) iden-
tisch und durch folgende gewichtete Summe gegeben:
21 11 1 1 1 1 1- -
1- 11- -
2 2 2LF ÜP ÜP LF
x xs x s x x x x x (4-1)
Die Koordinate 1x gibt die relative Position des ersten Übergabepunktes an und liegt
im Intervall 0, 0,5 . In diesem Intervall kann für die Gleichung (4-1) ein Minimum
bestimmt werden, welches die optimale Position des ersten Übergabepunktes
beschreibt:
1,
1
2optx (4-2)
Die minimalen horizontalen Fahrwege werden für die Strategie „Zufällige Auswahl
eines Übergabepunktes“ somit bei Anordnung der Übergabepunkte auf halber
Länge der Strecke erreicht. In Kombination mit dieser Strategie kann demzufolge
durch eine verteilte Anordnung mehrerer Übergabepunkte entlang einer Strecke
keine Reduktion der mittleren Fahrwege gegenüber einem einzelnen, mittig ange-
ordneten Übergabepunkt erzielt werden.
(0,y)
(1-x1)/2
(1,y)ÜP1 (x1,y)
x1/2
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
48
4.3.2 Berechnung für die Auswahl des jeweils nächstgelegenen Übergabepunktes
Bei Auswahl des Übergabepunktes gemäß der Strategie „Nächstgelegener Überga-
bepunkt“ ist eine Unterscheidung zwischen mittlerem horizontalen Fahrweg von
einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und mittlerem horizontalen Fahrweg in
die entgegengesetzte Richtung erforderlich. Dies ist dadurch bedingt, dass nur bei
der Fahrt zum Übergabepunkt eine optimierte Zuordnung des Übergabepunktes in
Abhängigkeit der Position des Ausgangslagerfaches erfolgt. Bei der Fahrt von einem
Lagerfach zu einem Übergabepunkt ergeben sich bei Betrachtung des in
Abbildung 4-4 dargestellten eindimensionalen Falles für die einzelnen Teilstrecken
folgende mittlere Fahrstrecken von einem Punkt auf der Teilstrecke zum nächstgele-
genen Übergabepunkt:
Abbildung 4-6: Mittlere horizontale Fahrstrecken von Punkten auf den Teilstrecken zum nächstgelegenen Übergabepunkt
Die mittlere Fahrstrecke für die äußeren beiden Teilstrecken ist dabei aufgrund der
symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte gleich lang. Auch die beiden Fahr-
strecken von einem Punkt der Teilstrecke in der Mitte zum nächstgelegenen der
beiden Übergabepunkte sind aus demselben Grund identisch. Für alle Punkte der
linken Streckenhälfte ist ÜP1 der nächstgelegene Übergabepunkt, für die Punkte der
rechten Hälfte entsprechend ÜP2. Gewichtet mit den entsprechenden Längen der
Teilstrecken ergibt sich folgender mittlerer horizontaler Fahrweg für eine Fahrt von
einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt:
21 11 1 1 1 1-
1- 2 12 1- 2 2 -
2 4 4LF ÜP
x xs x x x x x (4-3)
Bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach findet keine optimierte
Zuordnung zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern statt. Die mittleren Fahr-
wege für die verschiedenen Übergabepunkte müssen aber entsprechend der Häu-
figkeiten gewichtet werden, mit welcher die Auswahl der einzelnen Übergabepunkte
bei der Fahrt zum nächstgelegenen Übergabepunkt erfolgt. Diese entsprechen dem
Anteil einer Strecke, dessen Punkte zum betrachteten Übergabepunkt die kürzeste
horizontale Entfernung haben. Bei zwei Übergabepunkten ist aufgrund der Symmet-
(0,y)
(1-2x1)/4
(1,y)ÜP1 (x1,y)
x1/2 x1/2(1-2x1)/4
ÜP2 (x2,y)
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
49
rie keine Gewichtung erforderlich und das Ergebnis entspricht daher dem bereits für
die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes nach (4-1) berechneten mittleren
Fahrweg. Die Summe der mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zum nächstgele-
genen Übergabepunkt und von diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach
beträgt somit:
2
1 1 1 1
33 2
4LF ÜP ÜP LFs x s x x x (4-4)
Für folgende optimale Anordnung des ersten Übergabepunktes bei entsprechender
symmetrischer Anordnung des zweiten Übergabepunktes wird diese Summe mini-
mal:
1,
1
3optx (4-5)
Nach der beschriebenen Vorgehensweise wurden die Berechnungen für bis zu fünf
symmetrisch angeordnete, äquidistante Übergabepunkte durchgeführt und jeweils
die optimale Anordnung in Abhängigkeit des ersten Übergabepunktes bestimmt.
Eine symmetrische äquidistante Anordnung der Übergabepunkte stellt bei mehr als
zwei Übergabepunkten stets die Anordnung dar, für welche die kürzesten mittleren
Fahrstrecken erreicht werden können. Dabei wird der Abstand zwischen den einzel-
nen Übergabepunkten durch die Position des ersten Übergabepunktes festgelegt. In
Abhängigkeit der optimalen Position des ersten Übergabepunktes 1,optx kann somit
für n äquidistante Übergabepunkte die optimale Position der einzelnen Übergabe-
punkte ,i optx wie folgt ermittelt werden:
1,
, 1,
1 21
1
opt
i opt opt
xx x i
n (4-6)
Die Ergebnisse der Berechnungen sind in Tabelle 4-1 angeführt. Neben der Summe
der mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt
und von diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach in Abhängigkeit von
1x ist jeweils die optimale Position des ersten Übergabepunktes 1,optx und die dar-
aus nach (4-6) abgeleitete Position der weiteren Übergabepunkte angegeben.
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
50
Tabelle 4-1: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“
1 1LF ÜP ÜP LFs x s x
1,optx
,i optx
2 ÜP (n=2) 21 1
33x 2x
4
1
3
1i
3
3 ÜP (n=3) 3 21 1 1
3 1x x x
4 2 13 2
6
2 13 7 5 13i
6 6
4 ÜP (n=4) 3 21 1 1
32 5 4 47x x x
27 9 9 108 3 17 5
32
5 17 19 7 17i
32 16
5 ÜP (n=5) 3 21 1 1
5 3 5 13x x x
4 8 16 32 2 21 3
30
21 4 9 21i
10 30
Abbildung 4-7 stellt die Summe der mittleren Fahrwege aus Tabelle 4-1 in Abhän-
gigkeit der Position des ersten Übergabepunktes dar. Je nach Anzahl der Überga-
bepunkte ergibt sich eine unterschiedliche optimale Anordnung, wobei der erste
Übergabepunkt bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte immer näher am
vertikalen Regalrand liegt.
Abbildung 4-7: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1
4.3.3 Berechnung für die Auswahl unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
Der Ansatz zur Berechnung der optimalen Anordnung der Übergabepunkte für die
Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ beruht wiederum auf einer Summe von
mittleren Fahrstrecken, gewichtet mit der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit.
Anders als für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ können bei dieser
Strategie die mittleren horizontalen Fahrwege von einem Lagerfach zu einem Über-
gabepunkt LF ÜP
s und von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach ÜP LF
s nicht
unabhängig voneinander bestimmt werden. Die Fahrwege sind voneinander abhän-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
x1
2 ÜP
3 ÜP
4 ÜP
5 ÜP LF
ÜP
ÜP
LF
ss
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
51
gig, weshalb nur deren Summe berechnet werden kann. Im Mittel müssen aber
beide Fahrstrecken gleich groß sein, da die Auswahl des Übergabepunktes unab-
hängig von der Bewegungsrichtung zwischen Ausgangs- und Zielpunkten ist.
Für die Berechnung wird die betrachtete Strecke zunächst wiederum in Teilstrecken
unterteilt, wobei die Grenzen an den Übergabepunkten liegen bzw. durch die End-
punkte der Strecke gegeben sind. Am Beispiel von zwei Übergabepunkten ergeben
sich dabei drei Teilstrecken (siehe Abbildung 4-8).
Abbildung 4-8: Teilstrecken bei zwei Übergabepunkten
Da die horizontalen Koordinaten von Ausgangs- und Ziellagerfach auf jeder dieser
Teilstrecken liegen können, ergeben sich für das Beispiel mit zwei Übergabepunkten
und drei Teilstrecken insgesamt neun mögliche Kombinationen. Für jede dieser
Kombinationen werden mittlere horizontale Fahrstrecken bestimmt und mit den
entsprechenden Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet, welche jeweils dem Pro-
dukt aus dem Anteil der Lagerfächer im Bereich des Ausgangspunktes und dem
Anteil der Lagerfächer im Bereich des Zielpunktes entspricht. Der Anteil der Lager-
fächer im Bereich einer Teilstrecke deckt sich aufgrund der gewählten Skalierung
mit der Länge des Streckenabschnittes. Die mittlere horizontale Fahrstrecke zwi-
schen den Punkten zweier unterschiedlicher Streckenabschnitte entspricht dem
Abstand der Mittelpunkte der Abschnitte, wie folgende Abbildung für das Beispiel
einer Kombination der ersten beiden Teilstrecken zeigt:
Abbildung 4-9: Mittlere Fahrstrecke zwischen zwei Teilstrecken
Liegen Ausgangs- und Ziellagerfach auf der selben Teilstrecke, so entspricht für die
beiden äußeren Teilstrecken 1 und 3 (vgl. Abbildung 4-8) die mittlere horizontale
Fahrstrecke zweimal der mittleren Strecke zum Übergabepunkt an einem Ende der
Strecke, was genau der Länge der Teilstrecke entspricht. Die Bestimmung der
mittleren Fahrstrecke für die Teilstrecke 2 unterscheidet sich, da sich zu beiden
1 2 3
(0,y) (1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)
(0,y)
(1-x1)/2
(1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
52
Seiten der Strecke ein Übergabepunkt befindet. Mit der Strategie „Berücksichtigung
nächstes Ziel“ wird für jede Kombination aus Ausgangs- und Ziellagerfach jeweils
jener Übergabepunkt ausgewählt, für welchen die Summe von LF ÜP
s und ÜP LF
s
minimal ist. Die gesamte mittlere Fahrstrecke für diesen Fall kann anhand der Be-
trachtung einer Strecke der Länge 1 für einen entlang der Strecke angeordneten
Ausgangspunkt 1 0,1x sowie einen Zielpunkt 2 0,1x wie folgt berechnet
werden:
1 2
1 1
1 2 1 2 2 10 0
2max , 1 1 d d
3x xs x x x x x x (4-7)
Das für eine Strecke der Länge 1 berechnete Ergebnis ist mit der Länge der Teilstre-
cke zu multiplizieren, um die mittlere Fahrstrecke zu erhalten. Diese entspricht somit
2/3 der Streckenlänge.
Aufgrund der gleichen Länge der beiden äußeren Teilstrecken und der Richtungsun-
abhängigkeit der Fahrten weisen mehrere Kombinationen eine identische mittlere
Fahrstrecke sowie Eintrittswahrscheinlichkeit auf, wodurch sich die Anzahl der zu
betrachtenden Fälle reduziert. Tabelle 4-2 enthält alle Kombinationen sowie die
zugehörigen, anhand der in Abbildung 4-8 dargestellten Streckenabschnitte be-
stimmten, Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken.
Tabelle 4-2: Kombinationen der Teilstrecken mit Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken
Kombination Eintrittswahrscheinlichkeit Mittlere Fahrstrecke
11 ≙ 33 jeweils 21x 1x
12 ≙ 21 ≙ 23 ≙ 32 jeweils 1 11 2x x 11
2
x
13 ≙ 31 jeweils 21x 11 x
22 2
11 2x 1
21 2
3x
Werden für jede Kombination die mittleren Fahrstrecken mit der entsprechenden
Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet und anschließend summiert, ergibt sich folgen-
de Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der Position des ersten Überga-
bepunktes 1x :
4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte
53
3 2
1 1 1 1 1
4 24 2
3 3LF ÜP ÜP LFs x s x x x x (4-8)
Das Minimum dieser Funktion ist für folgenden Wert von 1x gegeben:
1,
2 2
2optx (4-9)
Analog wurden die Berechnungen für bis zu fünf symmetrisch angeordnete, äqui-
distante Übergabepunkte durchgeführt. Tabelle 4-3 enthält die Ergebnisse in Form
der Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit von 1x sowie der optimalen
Position der Übergabepunkte zur Minimierung der Fahrwege.
Tabelle 4-3: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
1 1LF ÜP ÜP LFs x s x
1,optx
,i optx
2 ÜP (n=2) 3 21 1 1
4 2x 4x 2x
3 3 2 2
2
4 3 2
2 1 i2
3 ÜP (n=3) 3 21 1 1
2 1 5x x x
3 2 12 2 1
2
2 2 3 2 2i
2 2
4 ÜP (n=4) 3 21 1 1
28 4 2 10x x x
27 9 9 27 3 2 2
14
5 2 8 3 2i
14 7
5 ÜP (n=5) 3 21 1 1
7 1 1 17x x x
6 4 8 48 2 2 1
14
3 2 5 4 2i
14 14
Die Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der Position des ersten Überga-
bepunktes 1x kann wiederum grafisch dargestellt werden (Abbildung 4-10).
Abbildung 4-10: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
x1
2 ÜP
3 ÜP
4 ÜP
5 ÜP LF
ÜP
ÜP
LF
ss
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
54
Aus dem Diagramm geht hervor, dass sich bei zunehmender Anzahl der Übergabe-
punkte die Lage des Optimums erwartungsgemäß Richtung Regalrand verschiebt,
wie dies bereits mit der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ der Fall war.
Ein Vergleich der Strategien erfolgt im nächsten Abschnitt.
4.4 Vergleich der Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte
In Abschnitt 4.2 wurden diverse Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes
für Konzepte mit mehreren Übergabepunkten vorgestellt, für welche in Abschnitt 4.3
jeweils eine optimale Anordnung der Übergabepunkte zur Minimierung der mittleren
Fahrwege bestimmt werden konnte. Am Beispiel von bis zu fünf entlang einer Stre-
cke angeordneter Übergabepunkte erfolgt nun ein Vergleich der mittleren Fahrwege
entlang der Strecke für die verschiedenen Strategien bei jeweils optimaler Anord-
nung der Übergabepunkte. Dazu werden die mittleren Fahrwege anhand der in
Tabelle 4-1 für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ und in Tabelle 4-3
für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ angegebenen Formeln zur Weg-
berechnung und der jeweiligen optimalen Position der Übergabepunkte berechnet.
Die Ergebnisse sind in Tabelle 4-4 angeführt.
Tabelle 4-4: Mittlere Fahrwege für unterschiedliche Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte
Strategie
„Nächstgelegener Übergabepunkt“
Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
1,optLF ÜPs x
1,optÜP LF
s x
1, 1,opt optLF ÜP ÜP LFs x s x
2 ÜP 5
36
5
18
2 2
3
3 ÜP 4 13
4
14 13 19
108
5 2 2
12
4 ÜP 47 9 17
128
75 19 17
512
10 2
49
5 ÜP 13 2 21
60
201 16 21
900
107 4 2
588
Bei zufälliger Wahl eines Übergabepunktes werden die minimalen Fahrwege bei
Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes auf halber Länge der Strecke erreicht,
mehrere Übergabepunkte sind in Kombination mit dieser Strategie nicht sinnvoll
4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken
55
(vgl. Abschnitt 4.3.1). Für einen mittig angeordneten Übergabepunkt betragen die
mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und von diesem
Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach in Richtung der betrachteten Strecke
jeweils 1/ 4 der Länge der Strecke. Abbildung 4-11 zeigt die Summe der mittleren
Fahrwege für die betrachteten Strategien, wobei für die zufällige Auswahl eines
Übergabepunktes jeweils das Ergebnis für einen mittig angeordneten Übergabe-
punkt angegeben ist (vgl. Abschnitt 4.3.1).
Abbildung 4-11: Mittlere Fahrwege für die betrachteten Strategien
Aus der Grafik geht hervor, dass die mittleren Fahrwege für die Strategie „Nächstge-
legener Übergabepunkt“ sowie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ bei zunehmender
Anzahl der Übergabepunkte abnehmen. Dabei sind die mittleren Fahrwege für
letztere Strategie stets kürzer, wodurch von kürzeren Fahr- und somit Spielzeiten
ausgegangen werden kann. Aus diesem Grund ist die Strategie „Berücksichtigung
nächstes Ziel“ stets der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ vorzuziehen.
Lediglich falls das nächste Ziel zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes
noch nicht bekannt ist, kann auf die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“
zurückgegriffen werden. Die in Kombination mit mehreren Übergabepunkten unge-
eignete Strategie der zufälligen Auswahl eines Übergabepunktes wird im Folgenden
nicht weiter berücksichtigt.
4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken
Analog zur durchgeführten Optimierung der Anordnung von Übergabepunkten
entlang einer Strecke kann auch die Anordnung mehrerer paralleler Übergabestre-
cken in Abhängigkeit der verwendeten Strategie bei der Auswahl eines Übergabe-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
2 ÜP 3 ÜP 4 ÜP 5 ÜP
Strategie "Nächstgelegener ÜP"
Strategie "Berücksichtigung nächstes Ziel"
Strategie "Zufällige Auswahl eines ÜP"
LF
ÜP
ÜP
LF
ss
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
56
punktes optimiert werden. Abbildung 4-12 zeigt mögliche Anordnungen paralleler
vertikaler sowie horizontaler Übergabestrecken. Entlang dieser Strecken kann die
Übergabe entweder an jedem Punkt oder an diskreten Übergabepunkten erfolgen.
Die mittleren Fahrwege senkrecht zu den Strecken bleiben dadurch unbeeinflusst.
Für die Bestimmung der optimalen Anordnung zur Minimierung der Fahrwege wird
die Länge bzw. Höhe der Regalfläche normiert.
Abbildung 4-12: Konzepte mit zwei parallelen Übergabestrecken
Die Berechnung der optimalen Anordnung der Übergabestrecken für die abgebilde-
ten Konfigurationen entspricht der bereits für die Anordnung von zwei Übergabe-
punkten entlang einer Strecke durchgeführten Optimierung (siehe Abschnitt 4.3).
Tabelle 4-5 enthält die optimalen relativen Positionen der Übergabestrecken für die
beiden betrachteten Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes. Um die
effektive Position zu erhalten, müssen die Werte mit der Regallänge bei vertikalen
Übergabestrecken bzw. der Regalhöhe für den Fall horizontaler Übergabestrecken
multipliziert werden.
Tabelle 4-5: Optimale Positionen paralleler Übergabestrecken
Position 1. ÜS Position 2. ÜS
Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“
1
3
2
3
Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
2 2
2
2
2
4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke
Für eine kontinuierliche Übergabestrecke, welche eine Übergabe an jedem beliebi-
gen Punkt entlang der Strecke erlaubt, gilt es eine Übergabeposition in Abhängigkeit
der Strategie für die Auswahl eines Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2) zu be-
1
1
4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke
57
stimmen. Für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ kann die Übergabe-
position entlang einer Strecke in Abhängigkeit des Ausgangspunktes bei der Fahrt
zur Übergabestrecke bestimmt werden. Der nächstgelegene Übergabepunkt ist
dabei durch eine Projektion des Ausgangspunktes senkrecht auf die Übergabestre-
cke gegeben. Abbildung 4-13 zeigt die gemäß dieser Strategie gewählte Übergabe-
position auf einer horizontalen Übergabestrecke für einen exemplarischen Aus-
gangspunkt 1 1 1P ,x y bei der Fahrt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y . Die Übergabepo-
sition ist dabei unabhängig von der Position des Zielpunktes.
Abbildung 4-13: Übergabeposition bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
Kommt hingegen die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ zur Anwendung, ist
die Übergabeposition neben der Position des Ausgangspunktes auch von der Posi-
tion des Zielpunktes abhängig. Es gilt die Übergabeposition so zu wählen, dass die
Summe der Fahrzeiten von einem Lagerfach zum Übergabepunkt LF ÜP
t und von
diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach ÜP LF
t minimiert wird, wie in
Abbildung 4-14 exemplarisch für eine horizontale Übergabestrecke dargestellt ist.
Abbildung 4-14: Beispielhafte Übergabeposition bei Berücksichtigung des nächsten Ziels
Aufgrund der Abhängigkeit der beiden Fahrzeiten von den Bewegungen von Fahr-
sowie Hubwerk ergibt sich in Abhängigkeit von 1P und 2P ein bestimmter Strecken-
abschnitt, entlang welchem die Übergabe an einem beliebigen Punkt erfolgen kann,
ohne dass dadurch die Summe der Fahrzeiten beeinflusst wird.
P1(x1,y1)P2(x2,y2)
ÜPos
P1(x1,y1)P2(x2,y2)
tÜP-LF
tLF-ÜP
ÜPos
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
58
Bei Vernachlässigung von Beschleunigung und Verzögerung ist eine Bestimmung
der Bereiche möglicher Übergabepositionen entlang einer horizontalen Strecke, wie
in Abbildung 4-14 dargestellt, anhand einer Betrachtung der Synchronfahrgeraden
des Regalbediengerätes möglich. Dabei kann die Übergabeposition innerhalb der
beiden inneren Schnittpunkte der Synchronfahrgeraden mit der Übergabestrecke
gewählt werden, ohne die Summe der Fahrzeiten dadurch zu beeinflussen. Für den
Fall, dass es keinen Schnittpunkt entlang der Übergabestrecke gibt, dienen An-
fangspunkt oder Endpunkt der Übergabestrecke als Grenze. Abbildung 4-15 zeigt
für exemplarische Anordnungen von 1P und 2P die Bereiche möglicher Übergabepo-
sitionen.
Abbildung 4-15: Übergabepositionen für beispielhafte Anordnungen von P1 und P2
Bei Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung können sich die Über-
gabepositionen, für welche die kürzeste Summe der Fahrzeiten möglich ist, von den
anhand der Synchronfahrgeraden grafisch bestimmten Bereichen unterscheiden.
Ursachen hierfür sind:
a) Reale Trajektorien weichen von idealen Synchronfahrgeraden ab.
b) Vorhandensein einer einzigen optimalen Übergabeposition, welche eine die
Fahrzeit beeinflussende Beschleunigungsphase verkürzt.
Während die Trajektorien ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzöge-
rung Geraden entsprechen, ergibt sich bei deren Berücksichtigung ein abweichen-
der Verlauf, wodurch sich die Grenzen der identifizierten Bereiche verschieben
können. Kann die Übergabeposition so gewählt werden, dass die Beschleunigungs-
phase der für die Fahrzeit maßgeblichen Bewegungsrichtung bei der Fahrt zwischen
einem Punkt und der Übergabestrecke verkürzt werden kann, so führt dies zu einer
kürzeren Fahrzeit, wie in Abbildung 4-16 anhand eines Beispiels verdeutlicht wird.
P1
P2
ÜPos
P1P2
ÜPos
4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten
59
Abbildung 4-16: Beispielhafte Anordnung von Ausgangs- und Zielpunkt
Ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung könnte ein Bereich
möglicher Übergabepositionen zwischen P1 und dem dargestellten Schnittpunkt der
Synchronfahrgeraden mit der Übergabestrecke identifiziert werden. Bei Berücksich-
tigung ist die Übergabeposition hingegen in unmittelbarer Umgebung von P1 zu
wählen, wodurch Beschleunigungs- und Verzögerungsphase bei der Fahrt zur
Übergabeposition kürzer ausfallen. Dies führt zu einem längeren Anteil der Fahrt mit
maximaler Fahrgeschwindigkeit und somit zu einer kürzeren Fahrzeit.
4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten
Neben neu entwickelten Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes und
den daraus abgeleiteten Optimierungsansätzen erfolgt die Überprüfung einer Aus-
wahl vorhandener Lagerbetriebsstrategien (vgl. Abschnitt 2.1.1) hinsichtlich ihrer
Eignung in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten. In diesem Zusammenhang
wird ein neuer Ansatz zur Bildung der Zonen für eine ABC-Zonierung bei mehreren
Übergabepunkten aufgezeigt.
4.7.1 Belegungsstrategien
Belegungsstrategien legen fest, auf welchen Lagerplätzen bzw. in welcher Lagerzo-
ne welche Artikel gelagert werden. Eine feste oder freie Lagerplatzzuordnung wird
durch die Anzahl der Übergabepunkte nicht beeinträchtigt. Dies gilt auch für eine
zonenweise feste Lagerordnung, eine Platzanpassung sowie eine artikelreine oder
artikelgemischte Platzbelegung. Von der Anzahl der Übergabepunkte in den einzel-
nen Gassen unabhängig ist eine Gleichverteilungsstrategie auf Gassenebene. Eine
Schnellläuferkonzentration bzw. zonenbasierte Lagerplatzzuordnung oder eine
P1
P2
4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
60
umschlagbezogene Zuordnung auf Basis der Anfahrzeiten erfordern hingegen An-
passungen. Dabei gilt es, die Zonen in Abhängigkeit der Fahrzeiten zu mehreren
Übergabepunkten zu bestimmen. Ashayeri et al. stellen einen heuristischen Ansatz
zur Bestimmung der Zonen vor und wenden diesen am Beispiel von zwei Überga-
bepunkten in gegenüberliegenden Eckpunkten der Regalfläche an [Ash-2002]. Ein
neuer Ansatz zur Bildung der Zonen für eine beliebige Anordnung von zwei oder
mehreren Übergabepunkten wird am Beispiel einer ABC-Zonierung mit drei Zonen
beschrieben. Anstelle einer grafischen Bestimmung der Bereiche erfolgt deren
Festlegung anhand der berechneten Fahrzeiten zu einzelnen Lagerfächern. Für die
Bestimmung von Bereichen mit unterschiedlichen Zugriffszeiten, ausgehend von
mehreren Übergabepunkten, werden folgende Varianten identifiziert:
a) Klassifizierung der Lagerfächer entsprechend der mittleren Fahrzeit zu allen
vorhandenen Übergabepunkten („Gemeinsame Zonen“)
b) Klassifizierung der Lagerfächer entsprechend der Fahrzeit zu einem der vor-
handenen Übergabepunkte („Zonen je Übergabepunkt“)
Entsprechend der gewählten Klassifizierung unterscheiden sich die gebildeten
Zonen. Während bei einer Klassifizierung gemäß der mittleren Fahrzeit zu allen in
einer Lagergasse vorhandenen Übergabepunkten gemeinsame Zonen für alle Über-
gabepunkte entstehen, erfolgt bei einer Klassifizierung entsprechend der Fahrzeit zu
einem einzelnen Übergabepunkt eine Bildung von Zonen für jeden Übergabepunkt.
Folgende Abbildung zeigt exemplarisch für zwei Übergabepunkte, wie gemeinsame
Zonen (links) und Zonen für jeden der beiden Übergabepunkte aussehen könnten
(rechts):
Abbildung 4-17: Unterschiedlich gebildete ABC-Zonen
Wie aus der Abbildung hervorgeht, grenzen die B- und C-Zonen beider Übergabe-
punkte bei der Bildung von Zonen je Übergabepunkt direkt aneinander an. Während
dies bei den C-Zonen immer der Fall ist, ist es bei A- und B-Zonen von der Größe
der Zonen, der Anordnung der Übergabepunkte sowie vom Regalwandparameter w
ÜP1 ÜP2
A
B
C
A1 A2
B1 B2
C1 C2
ÜP1 ÜP2
4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten
61
abhängig. Da ein Lagerfach nicht gleichzeitig mehreren Zonen zugeordnet werden
kann, ist eine Definition von Grenzen zwischen den einzelnen Übergabepunkten
erforderlich, wie die Strichlinie in der Abbildung andeutet. Darüber, welcher der
beiden Ansätze zur Bildung der Zonen für mehrere Übergabepunkte besser geeignet
ist, kann an dieser Stelle keine Aussage getroffen werden. Eine Untersuchung an-
hand exemplarischer Lagerkonfigurationen wird in Abschnitt 5.4 durchgeführt.
4.7.2 Bewegungsstrategien
Bewegungsstrategien geben den Ablauf einzelner Arbeitsspiele vor. Eine Einzel-
oder Doppelspielstrategie kann dabei unabhängig von der Anzahl der Übergabe-
punkte zur Anwendung kommen. Auch eine mögliche Suche des Lagerfaches für die
Einlagerung in der Umgebung des Lagerfaches für die Auslagerung kann bei Dop-
pelspielen ohne Anpassungen erfolgen. Beeinflusst werden hingegen Strategien,
welche auch Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern einbeziehen.
Dies ist z. B. bei Fahrwegstrategien der Fall, welche eine Fahrwegoptimierung bei
kombinierten Arbeitsspielen mit mehr als einer Ein- und Auslagerung beschreiben.
Dabei werden im Allgemeinen auch Start- und Zielpunkt in die Optimierung mit
einbezogen, weshalb im Fall von mehreren Übergabepunkten unterschiedliche Start-
und Zielpunkte einfließen können und somit zusätzliche Freiheitsgrade verkörpern.
Nicht beeinflusst werden Umlagerstrategien, welche nur Fahrten zwischen verschie-
denen Lagerfächern, nicht aber zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten
bedingen. Gangwechselstrategien beschreiben lediglich das Verhalten des Re-
galbediengerätes beim Wechsel zwischen mehreren Lagergassen ohne Einbezie-
hung der Übergabepunkte. Auch auf Zu- und Abförderstrategien hat die Anzahl der
Übergabepunkte keinen Einfluss.
Eine in dieser Arbeit nicht berücksichtige Ruhepositionsstrategie bei nicht ständiger
Auslastung des Regalbediengerätes bedarf im Fall mehrerer Übergabepunkte einer
Anpassung. Einen Ansatz zur Bestimmung einer optimalen Ruheposition für mehrere
Übergabepunkte zeigen beispielsweise Peters, Smith und Hale [Pet-1996] auf.
63
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
Mithilfe geeigneter Modelle wird die Spielzeit der in Kapitel 3 vorgestellten Konzepte
zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte für unterschiedliche Lagerkonfigurationen
bestimmt und analysiert. Die Berechnung der Fahrzeiten erfolgt dabei numerisch. In
den folgenden Abschnitten werden zunächst die verwendeten Modelle vorgestellt,
bevor auf die Festlegung exemplarischer Lagerkonfigurationen für die späteren
Untersuchungen eingegangen wird. Gegenstand der Untersuchungen sind zunächst
diverse Parameter der Konzepte mit mehreren Übergabepunkten. Daraufhin wird die
Kompatibilität von mehreren Übergabepunkten mit einer ABC-Zonierung untersucht.
Schließlich folgt eine Berechnung und Analyse der Spielzeiten für unterschiedliche
Anordnungen der Übergabepunkte. Abweichend zu der in Abschnitt 2.2.1 beschrie-
benen Modellierung einer Lagergasse werden die Berechnungen in diesem Kapitel
unter Berücksichtigung der realen Lagerfachabmessungen durchgeführt.
5.1 Bestimmung der Spielzeit
Zum Zweck einer Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunk-
ten soll zunächst eine Vielzahl unterschiedlicher Konfigurationen betrachtet werden.
Hierfür ist ein möglichst flexibler Ansatz erforderlich. Dieser Anforderung wird mit
einer Zerlegung der zu berechnenden Spielzeit in Komponenten begegnet, für wel-
che einzeln und größtenteils unabhängig voneinander Mittelwerte bestimmbar sind.
Die folgende Abbildung zeigt vereinfacht die Komponenten eines Einzelspieles am
Beispiel einer Einlagerung sowie jene eines Doppelspieles:
Abbildung 5-1: Komponenten Einzel- und Doppelspiel
Ein
zels
pie
lD
op
pels
pie
l
Aufnahme LE am ÜP
Fahrt ÜP-LF
Ein-lagerung
Fahrt LF-ÜP
Aufnahme LE am ÜP
Ein-lagerung
Aus-lagerung
Abgabe LE am ÜP
Fahrt ÜP-LF1 Fahrt LF1-LF2 Fahrt LF2-ÜP
t
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
64
Wie aus der Abbildung hervorgeht, besitzen Einzel- und Doppelspiele gemeinsame
Komponenten, wodurch der Vorteil einer komponentenweisen Berechnung unter-
strichen wird. Auf die zur Bestimmung der einzelnen Komponenten gewählte Vorge-
hensweise wird in den folgenden Abschnitten eingegangen.
5.1.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen
Für die Berechnung einzelner Komponenten der Spielzeit werden zum Teil idealisier-
te Annahmen und Vereinfachungen getroffen. Diese und weitere Rahmenbedingun-
gen legen die folgenden Punkte fest:
Einfachtiefe Lagerung
Einfach-Lastaufnahmemittel
Betrachtung eines einzelnen Regals
Chaotische Lagerplatzzuordnung (ausgenommen ABC-Zonierung)
Konstante Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk
Bezugspunkt der Lagerfächer im Flächenschwerpunkt
Auswahl des Übergabepunktes gemäß der Strategie „Berücksichtigung
nächstes Ziel“
Gleichzeitige Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten an den Übergabe-
punkten möglich
Approximation einer kontinuierlichen Übergabestrecke durch 100 diskrete
Übergabepunkte
Da eine Untersuchung des Einflusses mehrerer Übergabepunkte im Fokus steht,
wird eine elementare Lagerkonfiguration mit einfachtiefer Lagerung und einem
Lastaufnahmemittel mit Kapazität Eins betrachtet. Der Zugriff auf die einzelnen
Lagerfächer des Regals soll mit gleicher Häufigkeit erfolgen. Eine Ausnahme bildet
lediglich der exemplarisch betrachtete Fall einer ABC-Zonierung, in welchem die
Lagerfächer der einzelnen Zonen unterschiedliche Zugriffshäufigkeiten aufweisen.
Für Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk werden konstante,
gemittelte Werte angesetzt. Dabei wird angenommen, dass der Betrag der Be-
schleunigungs- und Verzögerungswerte, im Folgenden als Bremsbeschleunigung
bezeichnet, jeweils gleich groß ist. Als Bezugspunkt der einzelnen Lagerfächer für
die Berechnung der Entfernungen soll der jeweilige Flächenschwerpunkt dienen. Die
Auswahl des Übergabepunktes erfolgt gemäß der in Abschnitt 4.2.3 vorgestellten
Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ unter Einbeziehung von Ausgangs- und
5.1 Bestimmung der Spielzeit
65
Zielpunkt des Regalbediengerätes. Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten bei
aufeinanderfolgenden Doppelspielen sollen gleichzeitig möglich sein. Eine kontinu-
ierliche Übergabestrecke wird zur Durchführung numerischer Berechnungen in 100
diskrete Segmente untergliedert, in dessen Mitte jeweils ein Übergabepunkt ange-
ordnet ist.
5.1.2 Zykluszeiten für die Lastübergabe
Die Dauer der Lastübergabevorgänge bei Ein- und Auslagerung oder am Übergabe-
punkt wird in Zykluszeiten für die verschiedenen Vorgänge zusammengefasst
(vgl. Abschnitt 2.1.2). Beim betrachteten Fall einer einfachtiefen Lagerung können
die Zykluszeiten direkt zu den Fahrzeiten für ein Arbeitsspiel addiert werden, da sich
diese innerhalb der einzelnen Arbeitsspiele (Einzel- oder Doppelspiele) in Häufigkeit
und Dauer nicht unterscheiden. Bei einer an dieser Stelle nicht berücksichtigten
doppeltiefen Lagerung können zusätzlich Umlagerungen zum Erreichen verdeckter
Lagerplätze notwendig sein. Einen Ansatz zur Bestimmung der Umlagerwahrschein-
lichkeit und der Umlagerspielzeit bei doppeltiefer Lagerung stellt Lippolt
[Lip-2003, S. 124ff] vor.
5.1.3 Mittlere Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern
Bei Doppelspielen ist eine Leerfahrt zwischen dem Lagerfach für die Einlagerung
und dem Lagerfach für die Auslagerung notwendig. Die Bestimmung des Erwar-
tungswertes der Fahrzeit für diesen Vorgang erfolgt mittels numerischer Berechnung
aller möglichen Kombinationen und anschließender Bildung des Mittelwerts, sie-
he (5-1). Dabei unterscheidet sich die Berechnung der Fahrzeit zwischen zwei La-
gerfächern je nach Form des Geschwindigkeitsprofils (vgl. Abschnitt 2.2.2).
1- 2 2 2
1 1 1 1
1( )
n m n m
LF LF ij kli j k l
E t tn m
(5-1)
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
66
2
2
2 22
2
2 falls
,
falls 1
max
2 falls
falls
ij kl
ij kl
ij kl
ij kl
ij kl
ij kl
ij kl
ij kl
LF LFx
LF LF
x x
LF LFx x
LF LF
x x x
LF LF y
LF LF
y y
LF LF y y
LF LF
y y y
x x vx x
a a
x x v vx x
v a a
n m y y vy y
a a
y y v vy y
v a a
1 1 1 1
n m n m
i j k l
mit
m := Anzahl Regalzeilen
n := Anzahl Regalspalten
LFx , LFy := horizontale bzw. vertikale Bezugskoordinate eines Lagerfaches
xv , yv := maximale Verfahrgeschwindigkeit in x- bzw. y-Richtung
xa , ya := mittlere Bremsbeschleunigung in x- bzw. y-Richtung
5.1.4 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten
Bei der Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeit zwischen Lagerfächern und
Übergabepunkten für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ist eine Be-
trachtung der gesamten Fahrzeit 1- - 2LF ÜP LF
t von einem ersten Lagerfach über einen
gemäß der Strategie ausgewählten Übergabepunkt zu einem zweiten Lagerfach
erforderlich, da der gewählte Übergabepunkt von beiden Lagerfächern abhängig ist.
Dieser wird aus den vorhandenen Übergabepunkten so ausgewählt, dass die ge-
samte Fahrzeit minimal wird. Die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeit
kann gemäß (5-2) erfolgen.
1- - 2 2 2 [1, ]
1 1 1 1
1( ) min
n m n m
ij p p klLF ÜP LF p ri j k l
E t t tn m
(5-2)
5.1 Bestimmung der Spielzeit
67
2
2x
x
2
2 2 [1, ]1 1 1 1
2 falls
,
falls
max
2 falls
falls 1
min
ij p
ij p
ij p
ij p
LF pij
LF pij
LF pij
LFij
LF ÜPx
LF ÜPx x
LF ÜPx
LF ÜPx x
ÜP y
ÜPy y
ÜP y
n m n my y
p ri j k l
x x vx x
a a
x x v vx x
v a a
y y vy y
a a
y y vy
v a
n m
2
2
2x
x
2
2 falls
,
falls
max
2 falls
p
kl p
kl p
kl p
kl p
LF pkl
LF pkl
LF
y
ÜPy
LF ÜPx
LF ÜPx x
LF ÜPx
LF ÜPx x
ÜP y
ÜPy y
vy
a
x x vx x
a a
x x v vx x
v a a
y y vy y
a a
y
2
falls pkl
LF pkl
ÜP y y
ÜPy y y
y v vy y
v a a
mit
m := Anzahl Regalzeilen
n := Anzahl Regalspalten
r := Anzahl Übergabepunkte
LFx , LFy := horizontale bzw. vertikale Bezugskoordinate eines Lagerfaches
xv , yv := maximale Verfahrgeschwindigkeit in x- bzw. y-Richtung
xa , ya := mittlere Bremsbeschleunigung in x- bzw. y-Richtung
5.1.5 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten bei Zonierung
Bei zonierter Lagerplatzzuordnung (vgl. Abschnitt 2.1.1) ist die bisherige Annahme
einer gleichen Zugriffshäufigkeit auf alle Lagerfächer nicht mehr gültig. Um auch für
diese Belegungsstrategie die mittleren Fahrzeiten berechnen zu können, wird ein
Ansatz zur Gewichtung der Fahrzeiten für die Fahrt von einem Lagerfach über einen
Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach anhand der Zugriffswahrscheinlichkei-
ten der einzelnen Zonen entwickelt. In einer Zone kann sich ein erstes Lagerfach als
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
68
Ausgangspunkt eines Arbeitsspiels befinden. Der Zielpunkt in Form eines zweiten
Lagerfaches kann entweder in derselben oder in einer anderen Zone liegen. Für alle
möglichen Kombinationen der Zonen werden die Eintrittswahrscheinlichkeiten und
mittleren Fahrzeiten für die Fahrt vom ersten Lagerfach zum Übergabepunkt und
vom Übergabepunkt zum zweiten Lagerfach berechnet. Für das Beispiel einer ABC-
Zonierung mit den Zonen A, B, und C und den entsprechenden Zugriffswahrschein-
lichkeiten AP , BP und CP ergeben sich folgende mögliche Kombinationen und Ein-
trittswahrscheinlichkeiten:
Tabelle 5-1: Mögliche Kombinationen der ABC-Zonen und Eintrittswahrscheinlichkeiten
Kombination Eintrittswahrscheinlichkeit
A-A A AP P
A-B ≙ B-A jeweils A BP P
A-C ≙ C-A jeweils A CP P
B-B B BP P
B-C ≙ C-B jeweils B CP P
C-C C CP P
Nun können für alle Lagerfächer als Start- und Zielpunkte die Fahrzeiten unter
Berücksichtigung der angewendeten Strategie bei der Auswahl eines Übergabe-
punktes berechnet und jeweils der entsprechenden Kombination aus Start- und
Zielzone zugeordnet werden. Für die einzelnen Kombinationen ist es nun möglich,
mittlere Fahrzeiten zu bestimmen. Mit der entsprechenden Eintrittswahrscheinlich-
keit gewichtet und summiert ergeben diese den Erwartungswert der Fahrzeit
1- - 2LF ÜP LFE t von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem weiteren
Lagerfach:
1- - 2 1- - 2, - 1- - 2, - 1- - 2, -
1- - 2, - 1- - 2, - 1- - 2, -
2 2
2
LF ÜP LF LF ÜP LF A A LF ÜP LF A B LF ÜP LF A C
LF ÜP LF B B LF ÜP LF B C L
A A B A C
B B C F Ü LF C CP C
P P P P PE t t t t
t t tP P P P (5-3)
Dieser Ansatz ist auch erweiterbar für den Fall, dass mehr als drei Zonen vorhanden
sind, beispielsweise wenn bei mehreren Übergabepunkten in der Umgebung eines
jeden Übergabepunktes eigene Zonen gebildet werden (vgl. Abschnitt 4.7.1).
5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen
69
5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen
Zur Berechnung der Spielzeit für unterschiedliche Anordnungen mehrerer Überga-
bepunkte werden exemplarische Lagerkonfigurationen für AKL definiert. Eine Lager-
konfiguration bezeichnet in diesem Zusammenhang den Aufbau und die Abmessun-
gen der Regale, die kinematischen Daten des Regalbediengerätes und Zykluszeiten
für die Lastübergabevorgänge sowie die für den Lagerbetrieb erforderlichen Be-
triebsstrategien.
5.2.1 Kennwerte Regalbediengerät
Für die Berechnung von Spielzeiten sind gemittelte Werte für Beschleunigung bzw.
Verzögerung und die maximale Fahrgeschwindigkeit von Fahr- und Hubwerk sowie
die Zykluszeiten für Lastübergabevorgänge von Belang. Die Kennwerte werden so
gewählt, dass diese den Stand aktuell am Markt verfügbarer Geräte für AKL wider-
spiegeln. Bei der Wahl der Werte wird zudem darauf geachtet, dass sich identische
Beschleunigungs- bzw. Verzögerungszeiten für Fahr- und Hubwerk ergeben.
Dadurch behält die Unterteilung der Regalfächer in fahr- und hubzeitkritische Fächer
anhand des Regalwandparameters w ihre Gültigkeit (vgl. Abschnitt 2.2.3). Tabel-
le 5-2 enthält die festgelegten maximalen Fahrgeschwindigkeiten und mittleren
Werte der Bremsbeschleunigung für Fahr- und Hubwerk:
Tabelle 5-2: Kinematische Daten Regalbediengerät
x-Richtung (Fahrwerk)
y-Richtung (Hubwerk)
Maximale Geschwindigkeit [m/s] 6,0 3,0
Mittlere Bremsbeschleunigung [m/s²] 4,0 2,0
Zur Berechnung der Spielzeit werden die Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge
bei Ein- oder Auslagerungen und für die Übergabe von Ladeeinheiten an den Über-
gabepunkten benötigt. Gemäß der getroffenen Annahmen können die Abgabe einer
auszulagernden Ladeeinheit und die Aufnahme einer einzulagernden Ladeeinheit am
Übergabepunkt gleichzeitig erfolgen. Für Ein- und Auslagerung werden identische
Zykluszeiten angesetzt. Die in Tabelle 5-3 angeführten Zykluszeiten des Lastauf-
nahmemittels beinhalten zudem auch auftretende Totzeiten sowie erforderliche
Mastausschwingzeiten (vgl. Abschnitt 2.1.2).
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
70
Tabelle 5-3: Zykluszeiten Regalbediengerät
Vorgang Zeit [s]
Einlagerung (einfachtief) 4,0
Auslagerung (einfachtief) 4,0
Abgabe und Aufnahme am Übergabepunkt
5,0
5.2.2 Regalabmessungen
Die Regalabmessungen werden so gewählt, dass in Kombination mit den festgeleg-
ten Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes eine große Bandbreite des
Regalwandparameters w (siehe Abschnitt 2.2.3) abgedeckt wird. Ausgehend von
den Regalabmessungen L x H = 20 x 10 m (w = 1), bezeichnet als Regal 1, werden
zwei weitere Regale mit vergleichbarer Regalfläche und einem Regalwandparameter
w = 0,5 respektive w = 2 definiert. Diese Werte entsprechen auch den Grenzen für
den angegebenen Gültigkeitsbereich der in der Praxis häufig Verwendung findenden
Richtlinie FEM 9.851 [FEM 9851]. Die resultierenden Abmessungen von Regal 2
betragen 28 x 7 m (w = 0,5), während Regal 3 14 x 14 m misst (w = 2). In
Abbildung 5-2 sind die Regalflächen maßstabsgetreu dargestellt:
Abbildung 5-2: Betrachtete Regalabmessungen
Neben den Regalabmessungen gilt es auch, die Abmessungen der einzelnen Regal-
fächer festzulegen. Für alle Untersuchungen sollen einfachtiefe Fächer mit einem
Abstand zwischen benachbarten Fächern von 0,5 m in horizontaler Richtung und
0,4 m in vertikaler Richtung betrachtet werden (vgl. Abbildung 5-3).
Regal 314 x 14 m
Regal 228 x 7 m
Regal 120 x 10 m
5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen
71
Abbildung 5-3: Regalfachabmessungen
Mit den festgelegten Abmessungen für Regale und Regalfächer ergibt sich gerundet
auf ganzzahlige Werte für Spalten und Zeilen die Anzahl der Stellplätze je Regal bei
einfachtiefer Lagerung. Eine Lagergasse bestehend aus zwei Regalen verfügt dem-
nach über die doppelte Kapazität.
Tabelle 5-4: Eigenschaften der Regale
Abmessungen Regal L x H [m]
Regalwand-parameter w
Anzahl Spalten
Anzahl Zeilen
Anzahl Stellplätze
Regal 1 20 x 10 1 40 25 1000
Regal 2 28 x 7 0,5 56 18 1008
Regal 3 14 x 14 2 28 35 980
5.2.3 Betriebsstrategien
Für die Berechnung der Spielzeiten wurden diverse Festlegungen getroffen, welche
auch die verwendete Lagerplatzvergabestrategie beinhalten (vgl. Abschnitt 5.1.1).
So kommt bei allen untersuchten Konfigurationen eine chaotische Lagerplatzzuord-
nung zur Anwendung, mit Ausnahme der Untersuchung ausgewählter Konfiguratio-
nen mit ABC-Zonierung. Hierfür werden folgende exemplarische Zonen mit den
zugehörigen Verteilungen von Anteil und Zugriffshäufigkeit festgelegt:
Tabelle 5-5: Eigenschaften der ABC-Zonen
Zone Anteil Zugriffshäufigkeit
A 20 % 80 %
B 30 % 15 %
C 50 % 5 %
Bei der Bildung der Zonen kommen die beiden in Abschnitt 4.7.1 vorgestellten
Varianten zur Anwendung. Aufgrund der betrachteten einfachtiefen Lagerung ist es
0,5 m
0,4
m
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
72
nicht erforderlich, weitere Strategien wie beispielsweise Umlagerstrategien oder
Strategien für eine optimierte Lagerfachbelegung zu definieren. Auf eine mögliche
wegoptimierte Auswahl des Lagerfaches für die Einlagerung in Abhängigkeit des
Lagerfaches für die Auslagerung bei Doppelspielen wird verzichtet. Diese Strategie
wirkt sich nur auf die Dauer der Fahrten zwischen verschiedenen Lagerfächern aus,
welche unabhängig von Position und Lage der Übergabepunkte ist und somit nicht
im Fokus der Betrachtung steht.
5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte
In diesem Abschnitt werden diverse Parameter, welche eine Anordnung mehrerer
Übergabepunkte charakterisieren, anhand der mittleren Fahrzeiten zwischen Lager-
fächern und Übergabepunkten untersucht. Dies soll neben der Veranschaulichung
des Einflusses auch eine Eingrenzung der Anzahl zu untersuchender Varianten mit
mehreren Übergabepunkten ermöglichen. Auf eine Bestimmung der gesamten
Spielzeit wird an dieser Stelle verzichtet, da sich alle weiteren Komponenten nicht
unterscheiden. Die Berechnung der Fahrzeiten erfolgt nach den in Abschnitt 5.1.4
und Abschnitt 5.1.5 vorgestellten Ansätzen für die im vorangehenden Abschnitt
festgelegten Lagerkonfigurationen, wobei stets nur ausgewählte exemplarische
Konfigurationen berücksichtigt werden.
5.3.1 Einfluss der Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke
An einem Beispiel mit zwei entlang einer horizontalen Strecke am unteren Rand
einer Regalfläche angeordneten Übergabepunkten wird der Einfluss der Position der
Übergabepunkte auf die Fahrzeit untersucht. Gegenstand der Betrachtung ist die
mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen gemäß der Strategie
„Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabepunkt zu einem weiteren
Lagerfach. Die Übergabepunkte werden dabei von den Endpunkten der Strecke
parallel nach innen bis zur Mitte verschoben, wie in Abbildung 5-4 verdeutlicht ist.
5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte
73
Abbildung 5-4: Anordnung der Übergabepunkte
Die Anordnung der Übergabepunkte ist stets symmetrisch, weshalb durch die
Festlegung von 1ÜP
x auch 2ÜP
x definiert ist. Folgendes Diagramm zeigt den Verlauf
der Fahrzeit über der Position der Übergabepunkte für die gewählten Regalabmes-
sungen 20 x 10 m:
Abbildung 5-5: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte
Wie aus der Abbildung hervorgeht, ist die gesamte Fahrzeit 1 2LF ÜP LF
t bei Anordnung
der Übergabepunkte an den Endpunkten der Strecke am längsten, nimmt dann
zunächst ab und nach Erreichen eines Minimums, bei Anordnung der Übergabe-
punkte im Abstand von etwa 6 m zu den Eckpunkten, wieder zu. Die Lage des
Minimums deckt sich dabei mit der für diese Strategie bestimmten optimalen An-
ordnung der Übergabepunkte (siehe Abschnitt 4.3.3). Demnach wird die minimale
Fahrzeit bei folgender Anordnung des ersten Übergabepunktes erreicht:
1,1
2 220 m 5,86 m
2optÜP
x x L
Bei Konfigurationen mit mehr als zwei Übergabepunkten kann von einem ähnlichen
Verlauf der Fahrzeit bei einer Variation der Position ausgegangen werden, wobei
sich das Minimum der Fahrzeit jeweils an den in Abschnitt 4.3.3 bestimmten Positi-
10 m
20 m
ÜP1(xÜP1,0) ÜP2(xÜP2,0)
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
0 2 4 6 8 10
t LF
1-Ü
P-L
F2
[s]
xÜP1 [m]
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
74
onen der Übergabepunkte einstellt. Für die folgenden Untersuchungen wird stets die
ermittelte optimale Anordnung der Übergabepunkte verwendet.
5.3.2 Einfluss der Anzahl der Übergabepunkte
Zur Untersuchung des Einflusses der Anzahl der Übergabepunkte entlang einer
Strecke werden, wie im vorangehenden Abschnitt, die mittleren Fahrzeiten für
exemplarische Konfigurationen mit einer unterschiedlichen Anzahl an Übergabe-
punkten berechnet. Zudem wird auch eine kontinuierliche Übergabestrecke betrach-
tet. Die Position der Strecken, entlang welcher die Übergabepunkte angeordnet
werden, ist in Abbildung 5-6 dargestellt. Neben einer Anordnung der Übergabepunk-
te am unteren Rand einer Regalfläche mit den Abmessungen 20 x 10 m erfolgt auch
die Berücksichtigung einer Anordnung auf halber Höhe des Regals.
Abbildung 5-6: Position der Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte
Folgendes Diagramm zeigt die Ergebnisse der Berechnungen der Fahrzeiten für bis
zu fünf optimal angeordnete Übergabepunkte sowie für eine Übergabestrecke:
Abbildung 5-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anzahl der Übergabepunkte
Die Ergebnisse für diese exemplarischen Konfigurationen verdeutlichen, dass mit
einer steigenden Anzahl der Übergabepunkte zwar eine Verkürzung der mittleren
Fahrzeit erzielt wird, diese aber sehr gering ausfällt und bei zunehmender Anzahl der
20 m
10 m
20 m
0
1
2
3
4
5
6
7
2 3 4 5 ÜS
t LF
1-Ü
P-L
F2
[s]
Anzahl Übergabepunkte
ÜP am unteren Rand
ÜP auf halber Höhe
5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte
75
Übergabepunkte immer weiter abnimmt. Mehr als zwei bis drei Übergabepunkte
bewirken daher keine weitere signifikante Reduktion der Fahrzeit. Dies deckt sich
auch mit den Ergebnissen der von Knepper für ein Containerlager durchgeführten
Untersuchung. Er kommt dabei zu dem Schluss, dass mehr als zwei Übergabepunk-
te für die Fahrzeitverkürzung nahezu bedeutungslos sind. [Kne-1978, S. 130] Auch
für andere Anordnungen der Übergabepunkte können ähnliche Ergebnisse erwartet
werden. Zu Abweichungen kann es lediglich in Kombination mit überproportional
langen oder hohen Regalen kommen. Dabei ist es möglich, dass sich eine Erhöhung
der Anzahl der Übergabepunkte in stärkerem oder geringerem Maße auswirkt. Um
auch dem Rechnung zu tragen, wird in allen weiteren Untersuchungen neben zwei
und drei Übergabepunkten jeweils auch eine kontinuierliche Übergabestrecke be-
trachtet, welche die kürzeste erzielbare Fahrzeit für eine vorgegebene Anordnung
einer Strecke bedingt.
5.3.3 Einfluss der Position der Übergabestrecken
Neben Anzahl und Anordnung der Übergabepunkte entlang einer Strecke hat auch
die Position der Strecke einen Einfluss auf die mittlere Fahrzeit. Am Beispiel einer
sowie von zwei horizontal angeordneten Übergabestrecken (vgl. Abbildung 5-8)
werden die Fahrzeiten für eine vertikale Verschiebung berechnet.
Abbildung 5-8: Betrachtete Anordnungen der Übergabestrecken
Die Anordnung von zwei Übergabestrecken erfolgt symmetrisch, wodurch nur die
vertikale Position 1ÜS
y einer Übergabestrecke angegeben wird. Abbildung 5-9 zeigt
die Ergebnisse der Berechnungen in Abhängigkeit der Position der Übergabestre-
cken.
20 m
10 m
20 m
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
76
Abbildung 5-9: Fahrzeiten in Abhängigkeit der Position der Übergabestrecken
Erwartungsgemäß wird mit einer Übergabestrecke das Minimum auf halbe Höhe des
Regals erreicht. Auf eine Betrachtung der oberen Hälfte kann aus Gründen der
Symmetrie verzichtet werden. Mit zwei symmetrisch angeordneten Übergabestre-
cken wird das Optimum bei Anordnung der ersten Übergabestrecke auf einer Höhe
von etwa 3 m erreicht. Dies bestätigt die in Abschnitt 4.5 gezeigte Optimierung der
Anordnung mehrerer Übergabestrecken, nach welcher die Position der ersten Über-
gabestrecke wie folgt berechnet werden kann:
1
2 22,93 m
2ÜSy H
5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung
In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob Konfigurationen mit mehreren Über-
gabepunkten auch bei Anwendung einer zonierten Lagerplatzzuordnung (vgl. Ab-
schnitt 2.1.1) basierend auf einer „ABC-Analyse“ eine Reduktion der Fahrzeiten
erlauben. Die Untersuchung erfolgt am Beispiel von zwei Übergabepunkten, welche
am unteren Rand der Regalfläche angeordnet werden. Die weiteren Konfigurations-
parameter sind dem Abschnitt 5.2 zu entnehmen.
Zunächst erfolgt ein Vergleich der beiden vorgeschlagenen Varianten zur Klassifizie-
rung der Lagerfächer bei der Bildung von Zonen für mehrere Übergabepunkte (vgl.
Abschnitt 4.7.1). Dazu werden ABC-Zonen mit den in Abschnitt 5.2.3 definierten
Parametern entsprechend der beiden Ansätze gebildet. Da sich die Zugriffshäufig-
keit auf die Lagerfächer der einzelnen Zonen unterscheidet, weicht die optimale
Anordnung der Übergabepunkte von der für gleiche Zugriffshäufigkeit auf alle Lager-
fächer bestimmten Anordnung ab. Aus diesem Grund wird eine empirische Bestim-
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
t LF
1-Ü
P-L
F2
[s]
xÜP1 [m]
1 ÜS
2 ÜS
5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung
77
mung der optimalen Anordnung nach der in Abschnitt 5.3.1 beschriebenen Vorge-
hensweise für eine Regalfläche mit ABC-Zonen durchgeführt. Abbildung 5-10 zeigt
die Ergebnisse für ein Regal mit den Abmessungen 20 x 10 m.
Abbildung 5-10: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte
Wie aus der Abbildung hervorgeht, weisen die Fahrzeiten für gemäß der beiden
Ansätze gebildete Zonen ähnliche Fahrzeiten mit einem vergleichbaren Verlauf auf.
Die minimale mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen gemäß
der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabepunkt zu
einem weiteren Lagerfach ist für diese und die weiteren betrachteten Regalabmes-
sungen in Abbildung 5-11 dargestellt.
Abbildung 5-11: Fahrzeiten in Abhängigkeit der gebildeten Zonen
Der Vergleich der beiden Ansätze zur Bildung der ABC-Zonen anhand der ausge-
wählten Konfiguration mit zwei Übergabepunkten zeigt je nach Regalabmessungen
ein unterschiedliches Bild. Während bei den betrachteten Regalabmessungen
20 x 10 m und 28 x 7 m mit gemeinsamen Zonen für die beiden Übergabepunkte
kürzere Fahrzeiten erreicht werden, erscheint beim Regal mit 14 x 14 m eine Bildung
von separaten A- und B-Zonen für die beiden Übergabepunkte vorteilhafter. Der
Unterschied zwischen den Ergebnissen ist jedoch stets vernachlässigbar gering
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10
t LF
1-Ü
P-L
F2
[s]
xÜP1 [m]
Zone je ÜP
Gemeinsame Zonen
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
20x10 m 28x7 m 14x14 m
t LF
1-Ü
P-L
F2
[s]
Regalabmessungen
Zonen je ÜP
Gemeinsame Zonen
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
78
(< 0,02 s). Dies kann damit begründet werden, dass die resultierenden ABC-Zonen
für die betrachteten Konfigurationen eine ähnliche Form aufweisen, da aufgrund
deren Größe auch separate A- und B-Zonen der beiden Übergabepunkte jeweils
direkt aneinander angrenzen und sich somit kaum von gemeinsamen Zonen unter-
scheiden.
Im nächsten Schritt werden die berechneten Fahrzeiten den Ergebnissen für den Fall
einer chaotischen Lagerplatzzuordnung bei ansonsten identischer Konfiguration
gegenübergestellt. Auf diese Weise kann gezeigt werden, in welchem Maß sich eine
zonenbasierte Lagerplatzzuordnung in Kombination mit mehreren Übergabepunkten
auswirkt. Zum Vergleich der erzielbaren relativen Verkürzung der Fahrzeiten wird
auch eine Berechnung für einen einzelnen, im Eckpunkt angeordneten Übergabe-
punkt bei chaotischer Lagerplatzzuordnung sowie bei ABC-Zonierung durchgeführt.
Für die Zonierung werden dabei dieselben Parameter verwendet, wie für den be-
trachteten Fall mit zwei Übergabepunkten. Dabei ergibt sich die in Abbildung 5-12
dargestellte herkömmliche Form der Zonen.
Abbildung 5-12: ABC-Zonen für einen einzelnen Übergabepunkt
Die Ergebnisse der Berechnungen sind in Tabelle 5-6 angeführt. Es wird stets die
Fahrzeit für eine Fahrt von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem
weiteren Lagerfach angegeben. Bei einem Übergabepunkt entspricht dies zweimal
der mittleren Fahrzeit zwischen Übergabepunkt und Lagerfächern. Neben den
Fahrzeiten für chaotische und zonenbasierte Lagerplatzzuordnung ist jeweils auch
die relative Differenz der beiden Fahrzeiten angegeben.
Tabelle 5-6: Vergleich der Fahrzeiten bei Zonierung mit einem bzw. zwei Übergabepunkten
1 ÜP 2 ÜP
Regal Chaotisch ABC Differenz Chaotisch ABC Differenz
20 x 10 m 7,40 s 5,30 s -28,4 % 6,32 s 4,20 s -33,6 %
28 x 7 m 8,04 s 5,37 s -33,2 % 5,72 s 4,15 s -27,4 %
14 x 14 m 8,01 s 5,34 s -33,4 % 7,58 s 4,38 s -42,2 %
C
ÜP1(0,0)
BA
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
79
Anhand der Ergebnisse für diese exemplarischen Konfigurationen kann gezeigt
werden, dass mehrere Übergabepunkte mit einer zonierten Lagerplatzzuordnung
kompatibel sind. Voraussetzung dafür ist eine angepasste Vorgehensweise bei der
Bildung der ABC-Zonen und eine von der chaotischen Lagerplatzzuordnung abwei-
chende optimale Anordnung der Übergabepunkte, welche empirisch bestimmt
wurde. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, so sind mit mehreren Übergabepunkten
bei Anwendung einer zonierten Lagerplatzzuordnung weitere Fahrzeitverkürzungen
möglich. Relativ betrachtet können diese je nach Lagerkonfiguration geringer oder
auch höher ausfallen, als bei einem einzelnen Übergabepunkt. Ausschlaggebend für
die relative Differenz sind bei einer gewählten Anordnung der Übergabepunkte und
festgelegten Eigenschaften des Regalbediengerätes die Regalabmessungen.
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
In diesem Abschnitt werden die Spielzeiten für unterschiedliche Anordnungen meh-
rerer Übergabepunkte berechnet und gegenübergestellt, sowie mit den Ergebnissen
für unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes verglichen. Die
in den bisherigen Untersuchungen betrachteten Fahrzeiten zwischen Lagerfächern
und Übergabepunkten stellen lediglich einen Teil der gesamten Spielzeit dar, welche
weitere Anteile beinhaltet, die unabhängig von Anzahl und Position der Übergabe-
punkte sind. Im Anschluss an die Berechnung dieser Anteile erfolgt die Festlegung
diverser Anordnungen der Übergabepunkte, für welche schließlich die Spielzeiten
berechnet und analysiert werden.
5.5.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe
Für die vorliegenden Lagerkonfigurationen mit einfachtiefer Lagerung ist die Anzahl
der Lastübergabevorgänge innerhalb der Arbeitsspiele eines Typs konstant. So ist
für Einzel- sowie Doppelspiele basierend auf den Kennwerten des Regalbediengerä-
tes (siehe Abschnitt 5.2.1) jeweils die Bildung einer Summe der innerhalb eines
Arbeitsspiels vorkommenden Zykluszeiten LAMt möglich, welche zu den Fahrzeiten
addiert werden kann (siehe Tabelle 5-7).
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
80
Tabelle 5-7: Zykluszeiten für Einzel- und Doppelspiele
Arbeitsspiel Aufnahme/Abgabe am ÜP Ein- oder Auslagerung Summe LAMt
Einzelspiel 1 5 s 1 4 s 9 s
Doppelspiel 1 5 s 2 4 s 13 s
Bei einem Einzelspiel wird nur eine Ein- oder Auslagerung ausgeführt, während bei
einem Doppelspiel jeweils eine Ein- sowie eine Auslagerung ausgeführt werden. Der
Bestimmung der Zeit für die Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten am Überga-
bepunkt bei Doppelspielen liegt die Annahme zugrunde, dass diese Vorgänge bei
aufeinanderfolgenden Doppelspielen gleichzeitig erfolgen können. Die Zykluszeit für
Aufnahme und Abgabe am Übergabepunkt wird demzufolge einem Arbeitsspiel nur
einfach angerechnet.
5.5.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern
Die bei Doppelspielen oder kombinierten Spielen mit mehreren Ein- und Auslage-
rungen anfallenden Fahrzeiten für Leerfahrten zwischen einzelnen Lagerfächern
können unabhängig von Anzahl und Position der Übergabepunkte berechnet wer-
den. Für alle möglichen Kombinationen von Ausgangs- und Ziellagerfach eines
Regals erfolgt die Berechnung numerisch gemäß dem in Abschnitt 5.1.3 vorgestell-
ten Ansatz. Mit den in Abschnitt 5.2 festgelegten kinematischen Eigenschaften des
Regalbediengerätes und Lagerfachabmessungen ergeben sich abhängig von den
betrachteten Regalabmessungen die in Tabelle 5-8 angeführten Erwartungswerte
der Fahrzeiten zwischen zwei Lagerfächern LF LFE t .
Tabelle 5-8: Mittlere Fahrzeiten zwischen Lagerfächern
Regalabmessungen LF LFE t
20 x 10 m 2,99 s
28 x 7 m 3,18 s
14 x 14 m 3,17 s
Wenngleich die Anzahl der Lagerfächer für die verschiedenen Regalabmessungen
nahezu identisch ist, unterscheiden sich die Berechnungsergebnisse für Regal 1
(20 x 10 m) deutlich von jenen für Regal 2 (28 x 7 m) und Regal 3 (14 x 14 m). Diese
Abweichung kann anhand des Regalwandparameters w begründet werden. Für
Regal 1 beträgt w = 1, was das optimale Verhältnis von Fahrgeschwindigkeiten und
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
81
Regalabmessungen darstellt, während für die weiteren Abmessungen das Verhältnis
um Faktor 2 abweicht und zu längeren mittleren Fahrzeiten führt.
5.5.3 Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte
Zum Vergleich der Spielzeiten von Konfigurationen mit einem sowie mehreren Über-
gabepunkten erfolgt eine Festlegung diverser Anordnungen der Übergabepunkte.
Als Referenz werden zunächst unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Über-
gabepunktes beschrieben. Die erste Referenzanordnung RA1 entspricht dabei dem
in praktischen Anwendungen gebräuchlichsten Fall eines Übergabepunktes in einem
Eckpunkt der Regalfläche:
Abbildung 5-13: Übergabepunkt im Eckpunkt
Ausgehend von dieser Anordnung werden auch eine horizontale sowie vertikale
Verschiebung des Übergabepunktes um die halbe Länge bzw. Höhe des Regals
berücksichtigt. Abbildung 5-14 zeigt diese beiden Anordnungen.
Abbildung 5-14: Horizontal bzw. vertikal verschobener Übergabepunkt
Eine weitere Ausprägung beschreibt die Anordnung eines einzelnen Übergabepunk-
tes im Flächenschwerpunkt (siehe Abbildung 5-15). Diese Anordnung stellt die
optimale Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes dar (vgl. Abschnitt 3.1).
Abbildung 5-15: Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt
RA1
RA2 RA3
RA4
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
82
Aus den in Abschnitt 3.2 vorgestellten Konzepten für die Anordnung mehrerer Über-
gabepunkte werden diverse Ausprägungen ausgewählt. Gemäß der Erkenntnisse
aus der Untersuchung von Konfigurationsparametern (siehe Abschnitt 5.3) erfolgt
jeweils eine Betrachtung von zwei und drei entlang von Strecken angeordneten
Übergabepunkten sowie von kontinuierlichen Übergabestrecken. Diskrete Überga-
bepunkte werden entlang der Strecken gemäß der in Abschnitt 4.3.3 gezeigten
Optimierung angeordnet. Für weitere Anordnungen mit diagonalen Strecken, ver-
kürzten Strecken oder Kombinationen horizontaler und vertikaler Strecken wurde
kein Optimierungsansatz hergeleitet. Eine Untersuchung kann daher ausschließlich
am Beispiel kontinuierlicher Übergabestrecken erfolgen. Diese stellen das zur Ab-
schätzung des Potenzials ausreichende Optimum hinsichtlich der möglichen Fahr-
zeitverkürzung dar. Neben der optimalen Anordnung der einzelnen Strecken werden
aufgrund ihrer praktischen Relevanz jeweils auch Anordnungen der Strecken am
Regalrand berücksichtigt.
Abbildung 5-16 zeigt die festgelegten Positionen einer sowie von zwei horizontalen
Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte. Die mit H2 bezeichnete Ausprägung
stellt die optimale Anordnung entlang einer einzelnen horizontalen Strecke dar. Zwei
Strecken können gemäß der in Abschnitt 4.5 gezeigten Optimierung bestmöglich
angeordnet werden (Ausprägung H4).
Abbildung 5-16: Lage horizontaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte
Analog zur Anordnung horizontaler Strecken erfolgt die Festlegung entsprechender
Anordnungen vertikaler Strecken. Abbildung 5-17 zeigt die unterschiedlichen Aus-
prägungen.
H1 H2
H3 H4
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
83
Abbildung 5-17: Lage vertikaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte
Neben horizontalen und vertikalen Strecken findet auch eine Berücksichtigung der in
Abschnitt 3.2.2 vorgestellten Anordnungen diagonaler Strecken statt. Wie eingangs
beschrieben, werden die beiden in Abbildung 5-18 gezeigten Ausprägungen ledig-
lich in der Konfiguration mit kontinuierlichen Übergabestrecken betrachtet.
Abbildung 5-18: Lage diagonaler Übergabestrecken
Auch die theoretisch mögliche Kombination einer horizontalen und einer vertikalen
Übergabestrecke soll berücksichtigt werden. Neben der Anordnung der beiden
Strecken am Regalrand wird auch das theoretische Optimum in Form einer mittigen
Positionierung der Strecken auf halber Höhe respektive halber Länge betrachtet.
Abbildung 5-19: Kombinierte vertikale und horizontale Übergabestrecken
Während alle bisherigen Anordnungen durch Strecken gekennzeichnet sind, welche
sich über die gesamte Länge, Breite oder Diagonale des Regals erstrecken, ist auch
eine Anordnung verkürzter Strecken möglich. Um untersuchen zu können, wie stark
sich die Halbierung der Länge einer kontinuierlichen Übergabestrecke auf die Spiel-
V1 V2
V3 V4
D1 D2
K1 K2
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
84
zeit auswirkt, werden folgende beiden Anordnungen festgelegt, welche auf den
gezeigten Anordnungen einer einzelnen horizontalen Strecke basieren:
Abbildung 5-20: Lage verkürzter Übergabestrecken
Die vorgestellten Anordnungen der Übergabepunkte bzw. kontinuierlicher Überga-
bestrecken stellen eine Auswahl dar, die unabhängig von einer möglichen Umsetz-
barkeit ein breites Spektrum theoretisch möglicher Anordnungen abdeckt.
5.5.4 Ergebnisse der Spielzeitberechnung
Zur Bestimmung der Spielzeiten ist neben den bereits berechneten, von Anzahl und
Position der Übergabepunkte unabhängigen Anteilen, noch die Berechnung der
mittleren Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern erforderlich. Die
Berechnung für die im vorangehenden Abschnitt definierten Anordnungen der Über-
gabepunkte erfolgt numerisch gemäß dem in Abschnitt 5.1.4 vorgestellten Ansatz.
Dabei werden jeweils alle möglichen Kombinationen von Ausgangs- und Ziellager-
fach berücksichtigt und ein Übergabepunkt gemäß der Strategie „Berücksichtigung
nächstes Ziel“ ausgewählt. Mit dem auf diese Weise berechneten Erwartungswert
der Fahrzeit von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem weiteren
Lagerfach 1 2LF ÜP LFE t kann die Spielzeit für ein Einzelspiel wie folgt durch Addition
mit der Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge (vgl. Abschnitt 5.5.1)
berechnet werden:
, 1 2ES LAM ES LF ÜP LF
E t t E t (5-4)
Zur Berechnung des Erwartungswertes der Spielzeit für ein Doppelspiel ist neben
einer abweichenden Summe der Zykluszeiten aufgrund eines weiteren Ein- oder
Auslagervorgangs noch der Erwartungswert der Fahrzeit für eine Leerfahrt zwischen
zwei Lagerfächern 1 2( )LF LFE t zu berücksichtigen:
, 1 21 2DS LAM DS LF LFLF ÜP LF
E t t E t E t (5-5)
H1V H2V
V1V V2V
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
85
Im Folgenden werden als Ergebnisse ausschließlich Spielzeiten für Doppelspiele
angegeben. Daraus kann die Spielzeit für Einzelspiele durch Subtraktion der Diffe-
renz der summierten Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge sowie der Fahrzeit
1 2LF LFE t für die Leerfahrt zwischen den beiden Lagerfächern bestimmt werden.
Die Gliederung der Ergebnisse erfolgt nach den Regalabmessungen, da die Spielzei-
ten unterschiedlicher Konfigurationen der Übergabepunkte somit direkt vergleichbar
sind. Neben der Spielzeit für ein Doppelspiel wird auch die relative Spielzeit bezogen
auf die Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes in einem Eckpunkt der Regal-
fläche, bezeichnet mit RA1, angegeben. Somit ist die Verbesserung gegenüber
dieser in der Praxis üblichen Anordnung direkt ablesbar. Die Ergebnisse der Berech-
nungen für Regal 1 und die festgelegten Anordnungen der Übergabepunkte sind in
Tabelle 5-9 angeführt.
Tabelle 5-9: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 1 (20 x 10 m)
Anordnung Übergabepunkte
Anzahl Übergabepunkte je Strecke
1 2 3 ∞ (ÜS)
RA1 23,39 s (100 %) - - -
RA2 22,52 s (96,3 %) - - -
RA3 22,52 s (96,3 %) - - -
RA4 21,05 s (90,0 %) - - -
H1 - 22,32 s (95,4 %) 22,25 s (95,1 %) 22,17 s (94,8 %)
H2 - 20,74 s (88,7 %) 20,64 s (88,2 %) 20,45 s (87,4 %)
H3 - 21,21 s (90,7 %) 21,11 s (90,2 %) 20,95 s (89,5 %)
H4 - 20,38 s (87,1 %) 20,25 s (86,6 %) 19,99 s (85,4 %)
V1 - 22,32 s (95,4 %) 22,25 s (95,1 %) 22,17 s (94,8 %)
V2 - 20,74 s (88,7 %) 20,64 s (88,2 %) 20,46 s (87,5 %)
V3 - 21,21 s (90,7 %) 21,10 s (90,2 %) 20,94 s (89,5 %)
V4 - 20,38 s (87,1 %) 20,26 s (86,6 %) 19,99 s (85,4 %)
D1 - - - 20,32 s (86,8 %)
D2 - - - 19,89 s (85,0 %)
K1 - - - 21,32 s (91,1 %)
K2 - - - 20,09 s (85,9 %)
H1V - - - 22,34 s (95,5 %)
H2V - - - 20,74 s (88,7 %)
Aus der Tabelle geht zunächst hervor, dass bei der betrachteten Lagerkonfiguration
bereits durch die Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes die Spielzeit
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
86
gegenüber einer Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt (RA1) deutlich
reduziert werden kann. Während bei einer Verschiebung in eine Richtung weniger
als 4 % eingespart werden können (RA2 und RA3), ist bei einer Verschiebung des
Übergabepunktes in den Flächenschwerpunkt (RA4) eine Reduktion um 10 % mög-
lich. Mit mehreren, an einem Rand der Regalfläche angeordneten Übergabepunkten
(H1, V1, H1V) ist eine solche Verbesserung nicht möglich. Nur wenn mehrere Über-
gabepunkte an zwei Rändern oder in der Fläche angeordnet werden, ist eine weitere
Reduktion der Spielzeit erreichbar. Bei einer diagonalen Anordnung von zwei Über-
gabestrecken (D2) kann die Spielzeit um bis zu 15 % reduziert werden, aber auch
mit weiteren Anordnungen von zwei Übergabestrecken sind vergleichbare Ergebnis-
se möglich. Werden die Ergebnisse für die Anordnung von Übergabepunkten ent-
lang des horizontalen oder vertikalen Regalrandes (H1 bzw. V1) einer horizontalen
bzw. vertikalen Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes (RA2 bzw. RA3)
gegenübergestellt, so ist erkennbar, dass mit zwei Übergabepunkten eine weitere
Reduktion der Spielzeit um lediglich 0,9 %, bezogen auf RA1, möglich ist. Eine
weitere Erkenntnis ist die Bestätigung des geringen Einflusses der Anzahl entlang
einer Strecke angeordneter Übergabepunkte (vgl. Abschnitt 5.3.2). Die auf RA1
bezogene Differenz zwischen zwei entlang einer Strecke angeordneten Übergabe-
punkten und einer kontinuierlichen Übergabestrecke bewegt sich für die verschie-
denen betrachteten Anordnungen zwischen 0,6 % und 1,7 %. Verglichen mit den
Ergebnissen für drei Übergabepunkte fällt der Unterschied noch geringer aus. Mit
einer kontinuierlichen Übergabestrecke ist folglich nur eine sehr geringere Verbesse-
rung gegenüber zwei oder drei diskreten, entlang einer Strecke angeordneten Über-
gabepunkten möglich.
Das betrachtete Regal 1 mit Regalwandparameter w = 1 weist bei konstanten Fahr-
geschwindigkeiten gleich lange maximale Fahrzeiten für Fahr- und Hubwerk auf.
Diese Eigenschaft bleibt auch bei Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzö-
gerung erhalten, sofern das Regalbediengerät, wie im betrachteten Beispiel, identi-
schen Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten für Fahr- und Hubwerk aufweist.
Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) nimmt das Regal daher eine quadra-
tische Form an. Auf diese Weise kann erklärt werden, weshalb mit horizontal am
Rand angeordneten Übergabepunkten identische Spielzeiten erreicht werden, als
bei entsprechender vertikaler Anordnung der Übergabepunkte (H1 ≙ V1, H2 ≙ V2
usw.).
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
87
Ein Vergleich verkürzter horizontaler Übergabestrecken (H1V und H2V), mit den
entsprechenden Anordnungen horizontaler Strecken über die gesamte Länge (H1
und H2) zeigt, dass die Differenz, relativ zu RA1 ermittelt, 0,7 % bzw. 1,3 % beträgt.
Die für verkürzte Strecken berechnete Spielzeit entspricht dabei jeweils in etwa dem
Ergebnis für eine Anordnung von zwei diskreten Übergabepunkten auf selber Höhe.
Aus diesem Grund erscheint eine verkürzte kontinuierliche Übergabestrecke nicht
zweckmäßig.
Die Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für die einzelnen Anordnungen der Über-
gabepunkte und eine bis auf die Regalabmessungen unveränderte Konfiguration
sind in Tabelle 5-10 angeführt.
Tabelle 5-10: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 2 (28 x 7 m)
Anordnung Übergabepunkte
Anzahl Übergabepunkte je Strecke
1 2 3 ∞ (ÜS)
RA1 24,22 s (100 %) - - -
RA2 22,25 s (91,9 %) - - -
RA3 23,87 s (98,6 %) - - -
RA4 21,56 s (89,0 %) - - -
H1 - 21,90 s (90,4 %) 21,77 s (89,9 %) 21,58 s (89,1 %)
H2 - 21,03 s (86,8 %) 20,86 s (86,2 %) 20,54 s (84,8 %)
H3 - 21,26 s (87,8 %) 21,10 s (87,1 %) 20,78 s (85,8 %)
H4 - 20,80 s (85,9 %) 20,63 s (85,2 %) 20,21 s (83,5 %)
V1 - 23,76 s (98,1 %) 23,74 s (98,0 %) 23,70 s (97,9 %)
V2 - 21,38 s (88,3 %) 21,32 s (88,1 %) 21,25 s (87,8 %)
V3 - 22,14 s (91,5 %) 22,09 s (91,2 %) 22,02 s (90,9 %)
V4 - 20,80 s (85,9 %) 20,72 s (85,6 %) 20,58 s (85,0 %)
D1 - - - 20,59 s (85,0 %)
D2 - - - 20,22 s (83,5 %)
K1 - - - 21,36 s (88,2 %)
K2 - - - 20,42 s (84,3 %)
H1V - - - 21,91 s (90,5 %)
H2V - - - 21,03 s (86,9 %)
Die Ergebnisse für das betrachtete Regal unterscheiden sich von jenen für Regal 1
insbesondere dadurch, dass durch das geänderte Seitenverhältnis des Regals
horizontale Anordnungen sich nun sehr stark von den entsprechenden vertikalen
Anordnungen unterscheiden (vgl. z. B. H1 und V1). In Kombination mit diesem
5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten
88
verhältnismäßig langen Regal mit Regalwandparameter w = 0,5 ist bei horizontaler
Anordnung der Übergabepunkte eine deutlichere Reduktion der Spielzeit als mit
Regal 1 möglich, jeweils relativ zur Spielzeit für die Anordnung RA1 betrachtet. Dies
gilt auch für die horizontale Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes (RA2),
durch welche die Spielzeit bereits um 8,1 % reduziert werden kann. Eine vertikale
Verschiebung des Übergabepunktes (RA3) sowie die vertikale Anordnung mehrerer
Übergabepunkte ist bei dieser Lagerkonfiguration nicht zielführend. Die erzielbare
Verkürzung beträgt hierfür teilweise weniger als 2 %. Die kürzeste Spielzeit wird bei
dieser Lagerkonfiguration für eine Anordnung von zwei horizontalen Übergabestre-
cken in der Fläche (H4) erreicht. Gegenüber RA1 kann die Spielzeit mit dieser An-
ordnung um 16,5 % reduziert werden.
Tabelle 5-11 enthält schließlich die Ergebnisse für das dritte betrachtete Regal.
Dabei handelt es sich um ein verhältnismäßig hohes Regal mit einem Regalwandpa-
rameter w = 2.
Tabelle 5-11: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 3 (14 x 14 m)
Anordnung Übergabepunkte
Anzahl Übergabepunkte je Strecke
1 2 3 ∞ (ÜS)
RA1 24,18 s (100 %) - - -
RA2 23,85 s (98,6 %) - - -
RA3 22,19 s (91,8 %) - - -
RA4 21,53 s (89,0 %) - - -
H1 - 23,75 s (98,2 %) 23,72 s (98,1 %) 23,69 s (98,0 %)
H2 - 21,36 s (88,3 %) 21,31 s (88,1 %) 21,22 s (87,8 %)
H3 - 22,13 s (91,5 %) 22,08 s (91,3 %) 22,01 s (91,0 %)
H4 - 20,78 s (85,9 %) 20,70 s (85,6 %) 20,57 s (85,1 %)
V1 - 21,83 s (90,3 %) 21,70 s (89,8 %) 21,50 s (88,9 %)
V2 - 21,00 s (86,8 %) 20,83 s (86,1 %) 20,50 s (84,8 %)
V3 - 21,22 s (87,8 %) 21,06 s (87,1 %) 20,73 s (85,7 %)
V4 - 20,78 s (85,9 %) 20,60 s (85,2 %) 20,18 s (83,5 %)
D1 - - - 20,55 s (85,0 %)
D2 - - - 20,19 s (83,5 %)
K1 - - - 21,30 s (88,1 %)
K2 - - - 20,37 s (84,2 %)
H1V - - - 23,77 s (98,3 %)
H2V - - - 21,37 s (88,4 %)
5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten
89
Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) entspricht Regal 3 aufgrund der
festgelegten Regalwandparameter, welche den jeweiligen Kehrwert darstellen,
Regal 2 mit vertauschten Achsen. Aus diesem Grund werden nun für vertikale An-
ordnungen der Übergabepunkte dieselben Ergebnisse berechnet, wie für die ent-
sprechenden horizontalen Anordnungen mit Regal 2. Der beschriebene Zusammen-
hang gilt auch bei horizontaler oder vertikaler Verschiebung eines einzelnen Überga-
bepunktes. Die geringen Abweichungen der Ergebnisse sind den durch Berücksich-
tigung realer Lagerfachabmessungen bedingten Abweichungen der tatsächlichen
Regalabmessungen geschuldet. Für diagonale Anordnungen der Übergabestrecken
(D1 und D2) sowie kombinierte Anordnungen einer horizontalen und einer vertikalen
Übergabestrecke (K1 und K2) werden aufgrund der Unabhängigkeit von einer Ver-
tauschung der Achsen mit den Ergebnissen für Regal 2 übereinstimmende Spielzei-
ten berechnet. Die minimale Spielzeit wird erwartungsgemäß mit einer Anordnung
von zwei vertikalen Übergabestrecken in der Fläche erzielt (V4).
5.5.5 Fazit
Die Ergebnisse der Spielzeitberechnung zeigen, dass mit mehreren Übergabepunk-
ten eine Reduktion der Spielzeiten möglich ist. Auch gegenüber optimierten Anord-
nungen eines einzelnen Übergabepunktes auf halber Länge bzw. Höhe des Regals
oder im Flächenschwerpunkt kann mit geeigneten Anordnungen mehrerer Überga-
bepunkte eine weitere Verbesserung erzielt werden.
Eine Erkenntnis ist zudem, dass sich das mit dem Regalwandparameter w beschrie-
bene Verhältnis von Regalabmessungen und Fahrgeschwindigkeiten des Regalbedi-
engerätes stark auf die Eignung einer Anordnung der Übergabepunkte für eine
bestimmte Lagerkonfiguration auswirken kann. Dieser Zusammenhang impliziert
auch eine Abhängigkeit vom Verhältnis der Beschleunigungs- bzw. Verzögerungs-
zeiten von Fahr- und Hubwerk, welches das tatsächliche Verhältnis fahr- und hub-
zeitkritischer Lagerfächer verschieben kann. Aufgrund dieser Abhängigkeit sind die
für bestimmte Werte des Regalwandparameters gewonnenen Erkenntnisse nicht
uneingeschränkt auf weitere Lagerkonfigurationen übertragbar.
Um eine fallspezifische Berechnung der Spielzeit für mehrere horizontal oder vertikal
angeordnete Übergabepunkte sowie für kontinuierliche Übergabestrecken zu er-
möglichen, werden im nächsten Kapitel neu entwickelte, einfach anwendbare Be-
rechnungsmodelle vorgestellt.
91
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
Im Folgenden werden mathematisch-analytische Berechnungsmodelle zur Bestim-
mung des Erwartungswertes der Spielzeit vorgestellt. Diese erlauben die Berech-
nung für ausgewählte Anordnungen mehrerer Übergabepunkte und beliebige Kom-
binationen von Regalabmessungen und Eigenschaften des Regalbediengerätes. Als
Voraussetzung werden zunächst für die Berechnung erforderliche Annahmen und
Festlegungen getroffen. Basierend auf der Zusammensetzung der Spielzeit aus
diversen Zeitanteilen (vgl. Abschnitt 2.1.2) ist eine Untergliederung der Berechnung
möglich. Es erfolgt eine gesonderte Betrachtung von Anzahl und Position der Über-
gabepunkte, d. h. vom Ort der Übergabe unabhängiger sowie davon abhängiger
Spielzeitanteile, siehe Abbildung 6-1.
Abbildung 6-1: Spielzeitanteile
Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge und Fahrzeiten zwischen verschiedenen
Lagerfächern sind von der Position der Übergabepunkte unabhängig und können
mit bereits vorhandenen Ansätzen bestimmt werden. Hierfür werden geeignete
Berechnungsmodelle ausgewählt. Zur Berechnung der vom Ort der Übergabe ab-
hängigen Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern werden neu
entwickelte Modelle vorgestellt, welche sich je nach verwendeter Betriebsstrategie
und Anordnung der Übergabepunkte unterscheiden. Dabei wird auf eine Berech-
nung für Konzepte mit mehr als drei Übergabepunkten verzichtet, da eine durchge-
führte Untersuchung zeigt, dass die mögliche Verkürzung der mittleren Fahrzeiten
bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte immer weiter abnimmt (vgl. Ab-
schnitt 5.3.2). Stattdessen wird der Grenzwert in Form einer Übergabestrecke mit
unendlich vielen Übergabepunkten betrachtet. Ebenso unberücksichtigt bleiben
diagonal angeordnete Übergabestrecken, Kombinationen von horizontal und vertikal
angeordneten sowie verkürzte Übergabestrecken.
Ein
zels
pie
lD
op
pels
pie
l
Aufnahme LE am ÜP
Fahrt ÜP-LF
Ein-lagerung
Fahrt LF-ÜP
Aufnahme LE am ÜP
Ein-lagerung
Aus-lagerung
Abgabe LE am ÜP
Fahrt ÜP-LF1 Fahrt LF1-LF2 Fahrt LF2-ÜP
t
Unabhängig vom Ort der Übergabe
Abhängig vom Ort der Übergabe
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
92
Die entwickelten mathematisch-analytischen Modelle basieren auf einer Berechnung
der Fahrzeiten bei konstanten Verfahrgeschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk.
Um die Beschleunigung berücksichtigen zu können, wird ein Korrekturfaktor, die
sogenannte Bremsbeschleunigungszeit, berechnet. Hierfür kann auf einen vorhan-
denen Ansatz zurückgegriffen werden, welcher jedoch für die neuen Konzepte mit
mehreren Übergabepunkten adaptiert werden muss.
Schwerpunkt der Berechnung sind die Fahrzeiten zwischen Lagerfächern und Über-
gabepunkten für Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten. Aus diesem
Grund wird, wie bereits in Kapitel 5, eine elementare Lagerkonfiguration mit einfach-
tiefer Lagerung, einem Lastaufnahmemittel mit Kapazität 1 und einfachen Betriebs-
strategien betrachtet. Die Berechnungsmodelle sind jedoch mit vorhandenen Ansät-
zen erweiterbar, um auch weitere Konfigurationen berücksichtigen zu können.
Modelle für die Berechnung bei doppeltiefer Lagerung stellen beispielsweise Lippolt
[Lip-2003, S. 119ff] oder Lerher et al. [Ler-2010] vor. Für Konfigurationen mit mehre-
ren Lastaufnahmemitteln zeigen z. B. Sarker et al. [Sar-1991] oder Meller und
Mungwattana [Mel-1997] Berechnungsansätze auf.
6.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen
Die Annahmen und Festlegungen für die folgenden Berechnungen decken sich
größtenteils mit den Rahmenbedingungen für die in Kapitel 5 durchgeführten Spiel-
zeitberechnungen (siehe Abschnitt 5.1.1). Aus diesem Grund wird an dieser Stelle
nur auf davon abweichende und ergänzende Bedingungen eingegangen. Die we-
sentlichen Unterschiede zu den durchgeführten Berechnungen sind:
Betrachtung von infinitesimal kleinen Lagerfächern
Transformation der Regalabmessungen in den Zeitbereich
Allgemeine Berechnung in Abhängigkeit von b
Zusätzliche Berücksichtigung der Strategie „Nächstgelegener Übergabe-
punkt“
Die Berechnung erfolgt für eine kontinuierlich modellierte Regalfläche mit infinitesi-
mal kleinen Lagerfächern (vgl. Abschnitt 2.2.1). Diese wird durch eine in Ab-
schnitt 2.2.5 beschriebene Skalierung und Normierung der Koordinaten in den
Zeitbereich transformiert. Auf diese Weise ist die Berechnung für einen allgemeinen
Fall in Abhängigkeit des Parameters b (vgl. Abschnitt 2.2.5) möglich. Beliebige
6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile
93
Kombinationen von Regalabmessungen und Geschwindigkeiten von Fahr- und
Hubwerk des Regalbediengerätes können somit berücksichtigt werden, ohne Ein-
schränkungen hinsichtlich der Werte des Regalwandparameters w.
Neben der für die bisherigen Untersuchungen angewandten Strategie bei der Aus-
wahl eines Übergabepunktes „Berücksichtigung nächstes Ziel“ erfolgt auch die
Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“. Dies liegt darin
begründet, dass erstgenannte Strategie nur anwendbar ist, wenn das nächste Ziel
zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes bereits bekannt ist. Ist diese
Voraussetzung nicht erfüllt, kann die zweite Strategie zur Anwendung kommen.
Zur Durchführung beispielhafter Berechnungen wird auf bereits für die Spielzeitbe-
rechnung in Kapitel 5 festgelegte Konfigurationsdaten zurückgegriffen, wobei nur die
Abmessungen eines Regals Berücksichtigung finden. Aus Abschnitt 5.2.1 und
Abschnitt 5.2.2 werden folgende Daten übernommen:
Regalabmessungen (L x H) = 20 x 10 m
vx = 6,0 m/s
vy = 3,0 m/s
ax = 4,0 m/s²
ay = 2,0 m/s²
Zykluszeit Ein- oder Auslagerung ,LAM E At = 4,0 s
Zykluszeit Aufnahme/Abgabe am ÜP ,LAM ÜP
t = 5,0 s
6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile
Die Zykluszeiten für Lastübergabevorgänge und die mittlere Fahrzeit zwischen zwei
Lagerfächern, beispielsweise bei der Leerfahrt innerhalb eines Doppelspieles, sind
unabhängig von Anzahl und Position der Übergabepunkte. Die Berechnung dieser
Anteile für den Fall mehrerer Übergabepunkte unterscheidet sich demzufolge nicht
von der Berechnung bei einem einzelnen Übergabepunkt. Somit kann auf bereits
vorhandene Berechnungsansätze zurückgegriffen werden.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
94
6.2.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe
Die Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge innerhalb von Einzel- und Doppel-
spielen können durch die Anzahl und Dauer der vorkommenden Lastübergabevor-
gänge berücksichtigt werden. Unter der Voraussetzung, dass bei Doppelspielen die
Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten am Übergabepunkt gleichzeitig in einem
Zyklus erfolgen kann, und dass die Dauer von Ein- und Auslagervorgängen identisch
ist, gilt für die Anzahl der zu berücksichtigenden Lastübergabevorgänge:
Tabelle 6-1: Anzahl der Lastübergabevorgänge bei Einzel- und Doppelspiel
Arbeitsspiel Aufnahme/Abgabe am ÜP Ein- oder Auslagerung
Einzelspiel 1 1
Doppelspiel 1 2
6.2.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern
Für den betrachteten Fall der chaotischen Lagerplatzzuordnung eignet sich ein
Modell nach Bozer und White [Boz-1984] zur Berechnung der mittleren Fahrzeit
LF LFE t zwischen zwei Lagerfächern ohne Berücksichtigung von Beschleunigung
und Verzögerung. Dabei wird zunächst der Erwartungswert : /LF LF LF LFE t E t T
für eine mit skalierten und normierten Koordinaten beschriebene Regalfläche be-
rechnet:
2 31 1 1
3 6 30LF LFE t b b (6-1)
mit
min ,
max ,
,
yx
x y
x y
x y
ttb
T T
T t t
L Ht t
v v
Der für die Berechnung notwendige Parameter b wird in Abschnitt 2.2.5 erläutert. xt
und yt stellen die maximalen Fahrzeiten in horizontale bzw. vertikale Bewegungs-
richtung dar. T entspricht der maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes. Das
Ergebnis aus (6-1) für die skalierte Regalfläche muss im Anschluss mit T multipliziert
werden, um die Fahrzeit für die realen Regalabmessungen zu erhalten.
6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile
95
Neben der betrachteten zufälligen Wahl eines Lagerfaches für die Einlagerung
könnte dieses auch in der Umgebung des Lagerfaches für die Auslagerung gesucht
werden, um auf diese Weise die Leerfahrt zu verkürzen. Die Berechnung der mittle-
ren Fahrzeit zwischen Lagerfach für die Einlagerung und Lagerfach für die Auslage-
rung kann in diesem Fall beispielsweise nach einem von Seemüller vorgestellten
Ansatz erfolgen (siehe [See-2005, S. 127ff]).
6.2.3 Berechnungsbeispiel
Die Summe der Zykluszeiten des Lastaufnahmemittels kann für Einzel- und Doppel-
spiele mit der jeweiligen Anzahl der in Abschnitt 6.2.1 angeführten Lastübergabe-
vorgänge und den in Abschnitt 6.1 angegebenen beispielhaften Zykluszeiten be-
stimmt werden. Für Einzelspiele beträgt die Summe der Zykluszeiten ,LAM ESt :
, ,,
9 sLAM ES LAM E ALAM ÜPt t t
Die Summe der Zykluszeiten für Doppelspiele ,LAM DSt beträgt hingegen:
, ,,
2 13 sLAM DS LAM E ALAM ÜPt t t
Eine exemplarische Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern
wird mit den in Abschnitt 6.1 angeführten Daten durchgeführt. Nach Bozer und
White [Boz-1984] berechnet sich der Erwartungswert der Fahrzeit zwischen zwei
Lagerfächern wie folgt (vgl. vorangehenden Abschnitt):
2 3
20 m 10 m3,33 s 1
m m6 3
s s
1 1 1 14
3 6 30 30
1,554 s
x y
LF LF
LF LF LF LF
t t T b
E t b b
E t E t T
Der berechnete Erwartungswert LF LFE t entspricht der mittleren Fahrzeit zwischen
zwei Lagerfächern des Regals bei konstanter Fahrgeschwindigkeit, ohne Berück-
sichtigung von Beschleunigung und Verzögerung.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
96
6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit
Die durch Beschleunigungs- und Verzögerungsvorgänge bedingte Verlängerung der
mit konstanten Fahrgeschwindigkeiten berechneten Fahrzeiten soll näherungsweise
bestimmt werden. Dabei wird stets davon ausgegangen, dass die maximale Fahrge-
schwindigkeit erreicht wird (trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil, vgl. Abschnitt
2.2.2). Die Zeitdifferenz zwischen rechteckigem Geschwindigkeitsprofil ohne Be-
rücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung und trapezförmigem Ge-
schwindigkeitsprofil bezeichnet Gudehus als Bremsbeschleunigungszeit. Diese ist
durch folgende Beziehung für eine maximale Geschwindigkeit maxv und eine mittlere
Bremsbeschleunigung a gegeben: [Gud-1972c]
maxb
vt
a (6-2)
Die Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk können verschieden sein
und müssen daher entsprechend des Anteils fahr- und hubzeitkritischer Fächer (vgl.
Abschnitt 3.1) gewichtet werden. Hierfür zeigt Gudehus [Gud-1972c] einen Ansatz
auf, welcher allerdings in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten nur bedingt
anwendbar ist. Eine Ausnahme bildet die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern.
6.3.1 Berechnung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern
Die Berechnung der mittleren Bremsbeschleunigungszeit ,b LF LFt für die Fahrt zwi-
schen zwei Lagerfächern unterscheidet sich bei mehreren Übergabepunkten nicht
von der Berechnung für einen Übergabepunkt. Daher ist es möglich, auf einen
vorhandenen Ansatz nach Gudehus zurückzugreifen. Danach können die Bremsbe-
schleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk basierend auf dem Regalwandparame-
ter w gewichtet werden, um auf diese Weise eine mittlere Bremsbeschleunigungs-
zeit zu erhalten: [Gud-1972c]
,
1 falls 12 2
1 11 falls 1
2 2
yx
x y
b LF LF
yx
x y
vvw ww
a at
vvw
w a w a
(6-3)
6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit
97
6.3.2 Berechnungsansatz für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“
Mehrere Übergabepunkte erfordern einen neuen Ansatz für die Gewichtung zur
Bestimmung einer mittleren Bremsbeschleunigungszeit. Im Folgenden wird in Form
eines Ausblickes ein Ansatz zur Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten von
Fahr- und Hubwerk entsprechend des Anteils fahr- und hubzeitkritischer Fächer
vorgestellt. Exemplarisch erfolgt die Betrachtung einer Konfiguration mit zwei Über-
gabepunkten.
Die Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ ist für die Fahrt
von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und die Fahrt in entgegengesetzte
Richtung unterschiedlich. Bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lager-
fach erfolgt keine optimierte Zuordnung, was bedeutet, dass von einem Übergabe-
punkt ausgehend jedes Lagerfach im Mittel gleich häufig angefahren wird. Aufgrund
der Symmetrie sind fahr- und hubzeitkritische Bereiche für beide Übergabepunkte
gleich groß, wie folgende Abbildung veranschaulicht:
Abbildung 6-2: Bereiche bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach
Für eine exemplarische Berechnung wird der Fall betrachtet, dass die von den
Übergabepunkten nach außen verlaufenden Synchronfahrgeraden den vertikalen
Rand der Regalfläche schneiden. Dies ist bei der gewählten Anordnung der Überga-
bepunkte für 2 / 3w gegeben. Die Steigung der Geraden entspricht dem Verhält-
nis der Geschwindigkeiten und kann mit den Regalabmessungen und dem Regal-
wandparameter w wie folgt beschrieben werden:
y
x
v H
v w L (6-4)
Anhand der Steigung kann die Berechnung fahr- und hubzeitkritischer Flächen und
anschließende Bestimmung der jeweiligen Anteile erfolgen. Die Summe der fahrzeit-
kritischen Flächen kann gemäß (6-5) bestimmt werden.
L
ÜP1(L/3, 0)
Hhubzeitkritisch
fahrzeitkritisch
L
ÜP2(2/3L, 0)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
98
5
18fahrzeitkritischA L H
w (6-5)
Mit dem Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche und dem Anteil der hubzeitkriti-
schen Restfläche werden die Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk
gewichtet:
,
5 5 21 falls
18 18 3
yx
b ÜP LF
x y
vvt w
w a w a (6-6)
Nach dieser Vorgehensweise kann auch eine Gewichtung für die weiteren Fälle mit
2 / 3w erfolgen, welche im Rahmen dieses Beispiels nicht betrachtet werden.
Stattdessen erfolgt die Bestimmung der Bremsbeschleunigungszeit für die Fahrt von
einem Lagerfach zum Übergabepunkt. Die Auswahl eines Übergabepunktes gemäß
der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ bewirkt eine optimierte Zuordnung
zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten. Ausgehend von Lagerfächern in der
linken Hälfte der Regalfläche wird ÜP1 ausgewählt, für alle Lagerfächer in der rech-
ten Hälfte ÜP2. Fahr- und hubzeitkritische Bereiche können folglich aus den in Ab-
bildung 6-2 für den Fall ohne optimierte Zuordnung gezeigten Darstellungen für die
beiden Übergabepunkte zusammengesetzt werden. Dabei ergibt sich folgendes
Bild, wobei die Strichlinie die Grenze zwischen den Darstellungen für die beiden
Übergabepunkte bildet:
Abbildung 6-3: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt
Anhand der in (6-4) angegebenen Steigung kann die Berechnung fahr- und hubzeit-
kritischer Flächen und anschließende Bestimmung der jeweiligen Anteile erfolgen.
Für den Fall, dass die von den Übergabepunkten nach außen verlaufenden Syn-
chronfahrgeraden die seitlichen Ränder der Regalfläche schneiden, was für 1/ 3w
gegeben ist, berechnet sich die Summe der fahrzeitkritischen Flächen unterhalb der
Geraden wie folgt:
H
L
ÜP1(L/3, 0) ÜP2(2/3L, 0)
hubzeitkritisch
fahrzeitkritisch
6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit
99
5
36fahrzeitkritischA L H
w (6-7)
Der Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche L x H beträgt somit 5 / (36 )w . Mit
diesem Anteil kann eine Gewichtung der Beschleunigungszeiten von Fahr- und
Hubwerk erfolgen:
,
5 5 11 falls
36 36 3
yx
b LF ÜP
x y
vvt w
w a w a (6-8)
Für 1/ 3w oder abweichende Anordnungen der Übergabepunkte können die
Bremsbeschleunigungszeiten auf analoge Weise gewichtet werden, worauf im
Rahmen dieses Beispiels nicht weiter eingegangen wird.
6.3.3 Ausblick für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
Kommt die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ bei der Auswahl eines Über-
gabepunktes zur Anwendung, so wird bei der Wahl eines Übergabepunktes jeweils
eine Kombination aus zwei Lagerfächern berücksichtigt. Ausgehend von einem
Lagerfach ergeben sich unabhängig vom nächsten Ziel, welches bei der Wahl des
Übergabepunktes berücksichtigt wird, folgende Bereiche:
Abbildung 6-4: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt
Neben fahr- und hubzeitkritischen Bereichen, die unabhängig vom gewählten Über-
gabepunkt und somit vom nächsten Ziel sind, gibt es dazwischen auch Bereiche, für
welche keine Zuordnung in Abhängigkeit des Ausgangspunktes möglich ist. Für
diese Bereiche ist eine Berücksichtigung des Übergabepunktes erforderlich, welcher
in Abhängigkeit des Ziels ausgewählt wird. Somit besteht eine Abhängigkeit von
Start- und Zielpunkt, welche ein mehrdimensionales Problem darstellt, das nicht
grafisch gelöst werden kann. Eine Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten
L
ÜP1(L/3, 0) ÜP2(2/3L, 0)
H hubzeitkritisch
fahrzeitkritisch
nicht definiert
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
100
anhand einer Betrachtung der Anteile fahr- und hubzeitkritischer Bereiche ist für
diese Strategie daher nicht möglich. An dieser Stelle besteht noch Forschungsbe-
darf. Ein möglicher Ansatz ist eine numerische Bestimmung der Gewichtung mit
anschließender Approximation mittels einer geeigneten Funktion für unterschiedliche
Anordnungen mehrerer Übergabepunkte. In den folgenden Berechnungsbeispielen
werden identische Beschleunigungs- bzw. Verzögerungszeiten für Fahr- und Hub-
werk angenommen, wodurch eine Gewichtung überflüssig wird.
6.3.4 Validierung der Berechnungsmodelle
Die Validierung der Berechnungsmodelle für die Bremsbeschleunigungszeit erfolgt
zweigeteilt. Zunächst soll überprüft werden, wie sich die Annahme eines trapezför-
migen Geschwindigkeitsprofils auswirkt. Im nächsten Schritt werden die Ansätze zur
Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk überprüft.
Die Überprüfung der Abweichungen bei Annahme eines trapezförmigen Geschwin-
digkeitsprofils erfolgt anhand einer numerischen Berechnung der Fahrzeiten ohne
sowie unter Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung. Aus der Diffe-
renz ergibt sich der effektive Unterschied, welcher auch auftretende dreiecksförmige
Geschwindigkeitsprofile berücksichtigt. Gegenstand der exemplarischen Betrach-
tung ist ein Regal mit einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt und Lager-
fächern der Größe L x H = 0,5 x 0,4 m. Mit den weiteren in Abschnitt 6.1 angeführten
Parametern können die numerische Berechnung sowie eine Bestimmung der
Bremsbeschleunigungszeit gemäß (6-2) durchgeführt werden. Die Ergebnisse sind in
Tabelle 6-2 enthalten:
Tabelle 6-2: Vergleich der Bremsbeschleunigungszeiten ohne Gewichtung
Numerische Berechnung Berechnungsansatz
Minimum 0,57 s -
Maximum 1,5 s -
Mittelwert 1,48 s 1,5 s
Während nach dem Berechnungsansatz ohne Berücksichtigung von dreieckigen
Fahrprofilen immer die maximale Bremsbeschleunigungszeit bestimmt wird, kann
diese für bestimmte Lagerfächer auch deutlich kürzer sein, wie der minimale Wert
der numerischen Berechnung zeigt. Im Mittel ist die Abweichung jedoch gering, da
im betrachteten Beispiel bei der Fahrt zu etwa 80 % der Lagerfächer die maximale
6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit
101
Fahrgeschwindigkeit des Fahrwerks bei fahrzeitkritischen Fächern bzw. des Hub-
werks bei hubzeitkritischen Fächern erreicht wird. Dieser Anteil wird sowohl von den
Regalabmessungen und den Eigenschaften des Regalbediengerätes als auch von
der Anordnung der Übergabepunkte beeinflusst. Beim Vorhandensein von mehr als
einem Übergabepunkt ist von größeren Abweichungen auszugehen, da die Fahrwe-
ge kürzer werden und somit der Anteil der Lagerfächer abnimmt, für welche die
maximale Geschwindigkeit erreicht werden kann.
Zur Überprüfung der Ansätze für die Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten
von Fahr- und Hubwerk anhand des Regalwandparameters w werden die in Ab-
schnitt 5.2.2 festgelegten Regalabmessungen mit unterschiedlichem Regalwandpa-
rameter berücksichtigt. Für die drei Regale wird die Gewichtung gemäß dem in
Abschnitt 6.3.1 beschriebenen Ansatz für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern
überprüft. Dazu erfolgt wiederum ein Vergleich mit einer numerischen Berechnung,
welche unter Berücksichtigung der tatsächlichen Lagerfachabmessungen jeweils für
alle möglichen Kombinationen der Lagerfächer durchgeführt wurde. Die Ergebnisse
sind in folgender Tabelle angeführt:
Tabelle 6-3: Vergleich der Gewichtung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern
Numerische Berechnung Berechnungsansatz
Regal fahrzeitkritisch hubzeitkritisch fahrzeitkritisch hubzeitkritisch
20 x 10 m (w = 1) 49,7 % 49,7 % 50 % 50 %
28 x 7 m (w = 0,5) 69,9 % 29,6 % 75 % 25 %
14 x 14 m (w = 2) 28,9 % 70,6 % 25 % 75 %
Zunächst fällt auf, dass bei numerischer Berechnung nicht alle Fächer klar zugeord-
net werden können, da es auch Kombinationen von Lagerfächern gibt, für welche
die Fahrzeiten von Fahr- und Hubwerk identisch sind. Während das Verhältnis fahr-
und hubzeitkritischer Lagerfächer bei einem Regalwandparameter w = 1 überein-
stimmt, kommt es für andere Werte von w zu deutlichen Abweichungen zwischen
dem numerisch berechneten Verhältnis und der Gewichtung nach dem Berech-
nungsansatz. Demzufolge sind auch beim davon abgeleiteten Ansatz für mehrere
Übergabepunkte abweichende Ergebnisse zu erwarten. Eine Validierung dieses
Ansatzes ist jedoch nicht möglich, da lediglich anhand einer beispielhaften Konfigu-
ration die Vorgehensweise, nicht aber eine vollständige Lösung aufgezeigt wurde.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
102
6.3.5 Berechnungsbeispiel
Exemplarisch erfolgt die Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit mit den in
Abschnitt 6.1 angeführten Kennwerten des Regalbediengerätes. Da die Bremsbe-
schleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk in diesem Beispiel identisch sind, kann
die mittlere Bremsbeschleunigungszeit nach (6-2) wie folgt berechnet werden:
, , ,
1,5 syxb LF LF b LF ÜP b ÜP LF
x y
vvt t t
a a
Aufgrund der bei identischen Bremsbeschleunigungszeiten nicht erforderlichen
Gewichtung ist die berechnete Bremsbeschleunigungszeit für die Fahrt zwischen
zwei Lagerfächern sowie die im Folgenden betrachteten Fahrten zwischen Lagerfä-
chern und Übergabepunkten zutreffend.
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
Zur Berechnung der Spielzeit bei Anwendung der Strategie „Nächstgelegener Über-
gabepunkt“ bei der Auswahl eines Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2.2) müssen
neben den vom Ort der Übergabe unabhängigen Spielzeitanteilen die davon abhän-
gigen Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern berechnet werden.
Hierfür werden neu entwickelte Berechnungsmodelle vorgestellt.
Die Wahl des Übergabepunktes ist bei der gewählten Strategie einzig von der Posi-
tion eines Startpunktes 1P abhängig. Davon ausgehend wird der geometrisch
nächstgelegene Übergabepunkt ausgewählt. In Abbildung 6-5 sind links beispielhaft
Fahrten von verschiedenen Startpunkten zum nächstgelegenen von zwei Übergabe-
punkten dargestellt. Die mittlere Fahrzeit von einem Lagerfach zum nächstgelegenen
Übergabepunkt wird mit LF ÜP
t bezeichnet.
Abbildung 6-5: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern
P1,1
P1,2
P1,3
…
P1,n-1
P1,n
P2,1
P2,2
P2,m-1
P2,m
…
ÜP1 ÜP2 ÜP1 ÜP2
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
103
Ein ausgewählter Übergabepunkt dient zudem in aufeinanderfolgenden Arbeitsspie-
len als Ausgangspunkt für die Fahrt zu einem Zielpunkt 2P , wie in Abbildung 6-5
rechts am Beispiel von ÜP1 für verschiedene Zielpunkte dargestellt ist. Die Fahrzeit
ÜP LFt beschreibt die mittlere Dauer der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem
beliebigen Punkt der Regalfläche. Deren Bestimmung kann unabhängig von der
Fahrzeit LF ÜP
t erfolgen. Je nach Anordnung der Übergabepunkte kann die Häufig-
keit, mit welcher einzelne Übergabepunkte angefahren werden, variieren. Die Häu-
figkeit entspricht dem Anteil der Fläche, für deren Punkte ein bestimmter Übergabe-
punkt den nächstgelegenen Übergabepunkt darstellt. Es gilt daher zunächst für die
einzelnen Übergabepunkte die mittleren Fahrzeiten zu berechnen und diese im
Anschluss entsprechend des jeweiligen Flächenanteils zu gewichten.
Neben dem vorgestellten Beispiel mit diskreten Übergabepunkten wird auch der Fall
einer kontinuierlichen Übergabestrecke betrachtet. Abbildung 6-6 links zeigt hierfür
exemplarisch Fahrten von verschiedenen Startpunkten zum nächstgelegenen Über-
gabepunkt entlang der Strecke, was bei der gewählten Anordnung der Strecke
jeweils einer Fahrt senkrecht nach unten entspricht. Die rechte Darstellung zeigt
hingegen die Fahrt von einer ausgewählten Übergabeposition zu verschiedenen
Zielpunkten.
Abbildung 6-6: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabestrecke und Lagerfächern
Die mittlere Fahrzeit für beide Fahrten kann wiederum unabhängig voneinander
berechnet werden. Hierfür wird nachfolgend ein neuer Ansatz vorgestellt, bevor im
Anschluss ein Modell für diskrete Übergabepunkte hergeleitet wird.
6.4.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke
Zur Bestimmung der mittleren Fahrzeit zwischen Lagerfächern und einer kontinuier-
lichen Übergabestrecke wird ein Berechnungsmodell, basierend auf dem Ansatz von
Bozer und White [Boz-1984] (vgl. Abschnitt 2.2.5), entwickelt. Dabei wird von kon-
stanten Fahrgeschwindigkeiten in horizontale und vertikale Richtung ausgegangen,
P1,1
P1,2
P1,3
P1,4
…
P1,n-1
P1,n
P2,1
P2,2
P2,m-1
P2,m
…
ÜPos
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
104
der Einfluss von Beschleunigung und Verzögerung wird mit dem in Abschnitt 6.3
vorgestellten Korrekturfaktor nachträglich berücksichtigt.
Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≤ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≥ 1
Die Herleitung des Modells erfolgt zunächst für einen Regalwandparameter 1w
und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke. Das für diesen Fall hergeleitete
Modell eignet sich auch für eine Berechnung des Erwartungswertes für eine Lager-
gasse mit Regalwandparameter 1w und eine vertikal angeordnete Übergabestre-
cke. In diesem Fall ist aufgrund der Definition von b bei der Transformation von
Längenkoordinaten in Zeitkoordinaten zur Anwendung der Modelle eine Vertau-
schung der horizontalen und der vertikalen Achse erforderlich (vgl. Abbildung 2-8 in
Abschnitt 2.2.5).
Die Abmessungen der Regalfläche werden mit skalierten und normierten Koordina-
ten angegeben, wie in Abschnitt 2.2.5 beschrieben. Länge und Höhe werden dem-
zufolge mit 1 respektive b bezeichnet. Das Modell soll eine Anordnung der Überga-
bestrecke in der unteren Hälfte der Regalfläche berücksichtigen. Aufgrund der
Symmetrie und der Richtungsunabhängigkeit der Fahrzeiten können mit dem Modell
auch Anordnungen der Übergabestrecke in der oberen Regalhälfte abgebildet
werden. Die vertikale Koordinate der Übergabestrecke wird mit 0 [0, / 2]y b be-
schrieben. Abbildung 6-7 zeigt die betrachtete Regalfläche mit einer möglichen
Position der Übergabestrecke und der Andeutung weiterer möglicher Anordnungen:
Abbildung 6-7: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke
Zur Berechnung der mittleren Spielzeit wird die Fahrt von einem Startpunkt 1 1 1P ,x y
zu einem Punkt 0,x y auf der Übergabestrecke (normierte Fahrzeit LF ÜP
t ) sowie
vom Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y (normierte Fahrzeit ÜP LF
t ) be-
b
1
P1(x1,y1)P2(x2,y2)
y0
x
LF ÜPt
ÜP LFt
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
105
trachtet. Die Punkte 1P und 2P liegen auf der Regalfläche und bezeichnen Bezugs-
punkte einzelner Lagerfächer. Somit sei 1 2, , 0,1x x x und 1 2, 0, .y y b 1G z
bezeichnet die Verteilungsfunktion und gibt damit die Wahrscheinlichkeit an, mit
welcher die Fahrzeit unterhalb einer durch 0z vorgegebenen Grenze liegt. Der
wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz für die normierte Fahrzeit LF ÜP
t lautet somit:
1 1 1 1 0
[0,1]
argmin | |LF ÜP
x
G z P z P x x x zt P y y z (6-9)
Mit
1 10,1
argminx
x x x ergibt sich:
1 1
[0,1]
argmin 0 1 x
P x x x z P z (6-10)
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1 0y y z kann anhand einer grafischen
Darstellung der Betragsfunktion (Abbildung 6-8) für ein festes 0y und ein variables
1y hergeleitet werden.
Abbildung 6-8: Skizze der Betragsfunktion
1 0P y y z entspricht hier dem Betrag der Urbildmenge des Intervalls 0, z , der
mit dem Faktor 1/b auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß skaliert wurde. Für Werte von
0z y ist die Urbildmenge die Vereinigung aus 0 0,y z y und 0 0,y y z . Der
Betrag der Urbildmenge beträgt also z + z. Dies spiegelt den Fakt wider, dass es
unterhalb sowie oberhalb der Übergabestrecke mit vertikaler Koordinate 0y jeweils
Lagerfächer mit identischem Abstand zur Übergabestrecke gibt. Für 0z y ist die
Urbildmenge 00, y z . Im Intervall 00, y ist die Steigung der Funktion somit
doppelt so groß wie für Werte von 0z y . Folgende Abbildung zeigt für zwei exemp-
larische Werte von z die jeweilige Urbildmenge:
1y
1 0y y
0y
0b y
0y 02y b
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
106
Abbildung 6-9: Urbildmenge für exemplarische Werte von z
In Abhängigkeit der identifizierten Wertebereiche von z beträgt die Wahrscheinlich-
keit für eine durch z nach oben beschränkte Fahrzeit in y-Richtung:
0
01 00 0
0
2 falls 0
falls
1 falls
zz y
b
y zP y y zy z b y
b
b y z
(6-11)
Mit (6-10) und (6-11) kann nun die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 1( )G z
berechnet werden:
0
01 1 00 0
0
2 falls 0
0 falls
1 falls
zz y
b
y zG z P z P y y zy z b y
b
b y z
(6-12)
Durch Ableiten der Verteilungsfunktion ergibt sich die Dichtefunktion:
0
1 10 0
2 falls 0
( ) ( ) 1 falls
0 sonst
z yb
g z G zy z b y
b
(6-13)
Der Erwartungswert der normierten Fahrzeit LF ÜP
t von einem Punkt 1 1 1P ( , )x y zu
einem Punkt 0( , )x y auf der Übergabestrecke kann nun wie folgt berechnet werden,
wobei nur über den relevanten Bereich 0[0, ]b y integriert werden muss, da die
Dichtefunktion überall sonst Null ist:
1y
1 0y y
0y
0b y
0y 02y b
1z
12z
2z
0 2y z
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
107
0 0 0
0
20
00 0
2( ) d d d
2
b y y
F Ü yP
b
L
y yz z bE z g z z z z y
b b bt (6-14)
Die absolute Koordinate der vertikalen Position der Übergabestrecke 0y wird zur
einfacheren Anwendung der Berechnungsformel durch eine relative Koordinate
0: /j y b ersetzt:
2
2LF ÜP
bE bj bjt (6-15)
Im nächsten Schritt wird ÜP LF
t für die Fahrt von einem Punkt 0( , )x y auf der Überga-
bestrecke zu einem Punkt 2 2 2P ( , )x y berechnet. In x-Richtung gilt nach Bozer und
White [Boz-1984] bei der Fahrt zwischen zwei Punkten:
2
1 2
2 falls 0 1
1 falls 1
z z zP x x z
z (6-16)
Die Verteilungsfunktion in y-Richtung 2 0P y y z entspricht 1 0P y y z und
somit ergibt sich analog zur vorherigen Rechnung:
0
02 00 0
0
2 falls 0
falls
1 falls
zz y
b
y zP y y zy z b y
b
b y z
(6-17)
Die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 2G z beträgt damit:
2 3
0
2 2 30 0
2 1 2 2 0 0 0
20
4 2 falls 0
2 2( ) falls
2 falls 1
1 falls 1
z zz y
b
y z z y z zG z P x x z P y y z y z b y
b
z z b y z
z
(6-18)
Daraus kann wiederum die Dichtefunktion berechnet werden:
2
0
20 0
2 2 0 0
0
8 6 falls 0
2 4 2 3( ) ( ) falls
2 2 falls 1
0 sonst
z zz y
b
y z y z zg z G z y z b y
b
z b y z
(6-19)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
108
Nun kann der Erwartungswert der normierten Fahrzeit ÜP LF
t berechnet werden:
0 0
0 0
1
0
2 2 32 31
20 0
0
2 2 2 3 2 3 40 0 0 0 0 0
d
2 4 2 38 6 d d 2 2 d
1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 12 3 6 3
ÜP L
y b y
y b y
FE z g z z
y z z y z zz zz z z z z
b b
b y by by b b y y yb
t
(6-20)
Durch Substitution der absoluten vertikalen Koordinate der Übergabestrecke 0y mit
einer relativen Koordinate 0: /j y b ergibt sich:
3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 41 1 1 1 1 1 1
3 2 3 12 3 6 3ÜP LFE b j b j b j b b b j b jt j b (6-21)
Somit können nun die mittleren Fahrzeiten von einem Startpunkt zum nächstgelege-
nen Übergabepunkt auf der Übergabestrecke sowie vom Übergabepunkt zu einem
Zielpunkt für den Fall 1w und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke oder
1w und eine vertikale Übergabestrecke berechnet werden. Die relative Position
der Übergabestrecke j ist für 0,1/ 2j definiert. Aufgrund der Symmetrie kann die
Berechnung bei 1/ 2j mit 1j j erfolgen.
Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≥ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≤ 1
Es folgt nun die Berechnung für den Fall 1w und eine horizontal angeordnete
Übergabestrecke bzw. 1w bei vertikaler Anordnung der Übergabestrecke. Dazu
wird zunächst analog zum bereits berechneten Fall die Verteilungsfunktion 1( )G z
berechnet:
1 1 0 1 1[0, ]
( ) argminy
Lb
F ÜPG z P z P x x z P y y y zt (6-22)
Mit folgender Verteilungsfunktion in x-Richtung
0
1 0 0 0 0
0
2 falls 0
falls 1
1 falls 1
z z x
P x x z x z x z x
x z
(6-23)
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
109
sowie der Funktion in y-Richtung
1 1
[0, ]
argmin 0 1 falls 0y b
P y y y z P z z (6-24)
ergibt sich die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 1( )G z :
0
1 0 0 0
0
2 falls 0
falls 1
1 falls 1
z z x
G z x z x z x
x z
(6-25)
Die Dichtefunktion beträgt also:
0
1 1 0 0
2 falls 0
1 falls 1
0 sonst
z x
g z G z x z x (6-26)
Somit kann der Erwartungswert von LF ÜP
t berechnet werden. Die absolute Koordi-
nate der horizontalen Position der Übergabestrecke 0x und die relative Koordinate j
sind in diesem Fall identisch:
0
012 20 00
1 1d
2 2LF
x
P
j
Ü
x
E t z g z z x x j j (6-27)
Die Berechnung von ÜP LF
t kann wiederum unabhängig von LF ÜP
t erfolgen. Die
Verteilungsfunktion in x-Richtung lautet:
0
2 0 0 0 0
0
2 falls 0
falls 1
1 falls 1
z z x
P x x z x z x z x
x z
(6-28)
Sowie in y-Richtung:
2
21 2
2 falls 0
1 falls
bz zz b
P y y z b
b z
(6-29)
Die Bestimmung der Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit und anschließende
Berechnung des Erwartungswertes machen eine Fallunterscheidung erforderlich, je
nachdem wie b zu 0x bzw. 01 x in Relation steht.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
110
1. Fall: 0 01x x b
2 3
02
2 2 30 0
0 022 2 0 1 2
2
02
4 2 falls 0
2 2 falls 1
2 falls 1
1 falls
bz zz x
b
bx z bz x z zx z x
G z P x x z P y y z b
bz zx z b
b
b z
(6-30)
0
3 2 4 3 20 0 0 0 0 0
2 20
3 2 4 3 2
2
4 12 12 4 2 4 6 4 1d
12
4 12 12 4 2 4 6 4 1
12
b
ÜP LF
x j
b bx bx b x x x xE t z G z z
b
b bj bj b j j j j
b
(6-31)
2. Fall: 0 01x b x
2 3
02
2 2 30 0
2 2 0 1 2 02
0 0
0
4 2 falls 0
2 2 falls
falls 1
1 falls 1
bz zz x
b
bx z bz x z zG z P x x z P y y z x z b
b
x z b z x
x z
(6-32)
0
0
2 3 421
0 0 0 02 0 20
2 2 3 4
2
1d
3 12 2 3 12 2
1
3 12 2 3 12 2
x
ÜP LF
x j
bx x x xbE t z G z z x
b b
bj b j j jj
b b
(6-33)
3. Fall: 0 01b x x
2 3
2
02 2 0 1 2
0 0 0
0
4 2 falls 0
2 falls
falls 1
1 falls 1
bz zz b
b
z b z xG z P x x z P y y z
x z x z x
x z
(6-34)
00
2 21
2 22 0 00
1 1d
6 2 6 2
x jx
ÜP LF
b bE t z G z z x x j j (6-35)
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
111
Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse
In Tabelle 6-4 werden die Berechnungsergebnisse für die Übergabe entlang einer
horizontalen oder vertikalen Übergabestrecke inklusive der erforderlichen Fallunter-
scheidungen zusammengefasst. Die Position der Übergabestrecke wird dabei
jeweils mit der relativen Koordinate j angegeben.
Tabelle 6-4: Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse für eine kontinuierliche Über-gabestrecke
w Anordnung ÜS LF ÜPE t
ÜP LF
E t
1 horizontal
2
2
bbj bj
3 3 2 2 2 3
2 2 3 3 3 4
1 1 1 1
3 2 3 12
1 1 1
3 6 3
b j b j b j b b
b j b j b j
1 vertikal
1 horizontal
2 1
2j j
3 2 4 3 2
2
4 12 12 4 2 4 6 4 1
12
b bj bj b j j j j
b
für 1j j b
2 2 3 4
2
1
3 12 2 3 12 2
bj b j j jj
b b für 1j b j
2
2 1
6 2
bj j für 1b j j
1 vertikal
6.4.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte
Abbildung 6-10 zeigt die betrachteten Konfigurationen mit zwei diskreten Überga-
bepunkten. Gemäß der in Abschnitt 4.3.2 vorgestellten Optimierung der Anordnung
werden die beiden Übergabepunkte für die Strategie „Nächstgelegener Übergabe-
punkt“ auf 1/3 respektive 2/3 der Länge bzw. Höhe angeordnet. Zudem wird eine
Verschiebung der Übergabepunkte bis zur halben Höhe bzw. Länge berücksichtigt,
was durch die weiteren Punkte angedeutet ist. Analog zum vorangehenden Ab-
schnitt wird die Koordinate der vertikalen Verschiebung horizontal angeordneter
Übergabepunkte mit 0y und die horizontale Verschiebung vertikal angeordneter
Übergabepunkte mit 0x bezeichnet.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
112
Abbildung 6-10: Betrachtete Konfigurationen mit möglichen Anordnungen von zwei Überga-bepunkten
Aufgrund der symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte bezüglich der Senk-
rechten x = 1/2 bzw. der Waagrechten y = b/2 sind die Erwartungswerte der Fahrzei-
ten für beide Übergabepunkte einer Konfiguration zwangsläufig identisch. Es genügt
daher, jeweils den Erwartungswert für einen der beiden Übergabepunkte zu berech-
nen. Die Koordinate des ausgewählten Übergabepunktes wird im Folgenden mit x
bei horizontaler bzw. y bei vertikaler Anordnung der Übergabepunkte bezeichnet.
Berechnung von LF ÜP
t
für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bei
w ≤ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≥ 1
Analog zur Vorgehensweise im vorangehenden Abschnitt wird zunächst der Erwar-
tungswert der normierten Fahrzeit LF ÜP
t von einem Startpunkt 1 1 1P ,x y zu einem
Übergabepunkt
0,x y für 1w und horizontal angeordnete Übergabepunkte
berechnet. Dieser Fall entspricht aufgrund der Definition von b (vgl. Abschnitt 2.2.5)
zwei vertikal angeordneten Übergabepunkten bei 1w .
Bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes wird jeweils der in der Hälfte
des Startpunktes liegende Übergabepunkt ausgewählt, weshalb die Betrachtung
einer Hälfte der Fläche ausreicht. Die Bestimmung der Verteilungsfunktion der
Fahrzeit in x-Richtung kann anhand der Darstellung in Abbildung 6-11 nachvollzo-
gen werden (vgl. Abschnitt 6.4.1).
b
1
x0
b/3
b/3
y0
1
1/3 1/3
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
113
Abbildung 6-11: Skizze der Betragsfunktion
In diesem Fall ist die Urbildmenge des Intervalls 10, *x x mit Faktor 2 auf ein
Wahrscheinlichkeitsmaß skaliert ausschlaggebend. Die Wahrscheinlichkeit für eine
durch z nach oben beschränkte Fahrzeit in x-Richtung beträgt in Abhängigkeit der
identifizierten Wertebereiche von z:
1
1 12 falls 0 4 falls 0
6 62
1 1 1 1 1 1 falls 2 falls
6 6 3 3 6 3
z z z z
P x x z
z z z z
(6-36)
Die Wahrscheinlichkeit für die y-Richtung ist dagegen identisch mit der im vorange-
henden Abschnitt für eine horizontal angeordnete Übergabestrecke bestimmten
Funktion (6-11), da die Fahrzeiten für die vertikale Richtung von der Anzahl horizon-
tal angeordneter Übergabepunkte unabhängig sind.
Zur Berechnung von 1( )
LF ÜPtG z P z durch Multiplikation der beiden Wahr-
scheinlichkeiten gilt es nun, je nach Lage von 0y und Wert von b verschiedene Fälle
zu unterscheiden. Tabelle 6-5 beschreibt die Relationen zwischen den Definitions-
grenzen von 1P x x z und jenen von 1 0P y y z unter Berücksichtigung
der Restriktion 0 / 2y b und damit 0 0y b y .
1x x
1
6
1
3
1
3
1
21x1
6
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
114
Tabelle 6-5: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tLF-ÜP
Fall
1 0 0
1
6
1
3y b y
2 0 0
1 1
6 3y b y
3 0 0
1
3y b y
4 0 0
1 1
6 3y b y
5 0 0
1 1
6 3y b y
6 0 0
1
6y b y
Es folgt nun die Berechnung des Erwartungswertes der normierten Fahrzeit LF ÜP
t
für die verschiedenen Fälle aus Tabelle 6-5. Dabei werden jeweils die Verteilungs-
funktion der gesamten Fahrzeit 1G z und der Erwartungswert LF ÜPE t angege-
ben.
1. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bbj j
0
00
01 1 1 0
00
0
24 falls 0
14 falls
6
1 1 12 falls
3 6 3
1 falls
3
1 falls
zz z y
b
y zz y z
b
y zG z P x x z P y y zz z
b
y zz b y
b
b y z
(6-37)
0
0
10
2 30 0 0
0
2 2 3
d
5 21
2 36 72 2 3
5 1 2
2 36 2 72 3
L
b y
y bj
F ÜPE z G z z
y y yby
b b b b
b j bj b jb
t
jb
(6-38)
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
115
2. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1/ 3 1j bb j
0
1 00
00
0
2 14 falls 0
6
1 2 12 falls
3 6
1 12 falls
3 3
1 falls
3
1 falls
zz z
b
zz z y
b
G z y zz y z
b
y zz b y
b
b y z
(6-39)
0
0
10
2 30 0 0
0
2 2 3
d
25
2 9 324 3 3
2 5
2 9 3 324 3
LF
b
y
P
bj
Ü
y
E z G z z
y y yby
b b b b
b j bj b jbj
b
t
(6-40)
3. Fall: 0 01/ 3 y b y bzw. 1/ 3 1bj b j
1
0
00 0
0
2 14 falls 0
6
1 2 1 12 falls
3 6 3
2 1 falls
3
falls
1 falls
zz z
b
zz z
b
G z zz y
b
y zy z b y
b
b y z
(6-41)
0
0
10
20
2
d
10
2 36
1
2 36
b y
LF ÜP
y bj
E z G z z
y by
b b
bbj bj
t
b
(6-42)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
116
4. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bj b j
0
00
01 0
0
24 falls 0
14 falls
6
1 12 falls
3 6
1 12 falls
3 3
11 falls
3
zz z y
b
y zz y z
b
y zG z z z b y
b
z b y z
z
(6-43)
0
1
310
2 3220 0 0 0
0 0
2 2 2 32 2 2
d
1 1
6 3 36 648 3 6 3 9
1 1
6 36 3 6 648 3 3 9
L
y
F Ü
bj
PE z G z z
y y y yb bby y
b b b b
b j bj bj b b jb j b j
b
t
(6-44)
5. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bj b j
0
01 0 0
0
2 14 falls 0
6
1 2 12 falls
3 6
12 falls
3
1 12 falls
3 3
11 falls
3
zz z
b
zz z y
b
y zG z z y z b y
b
z b y z
z
(6-45)
0
1
310
2220 0
0 0
2 22 2 2
d
1 1
6 3 324 3 3 9
1 1
6 3 3 324 3 9
y
F P
bj
L ÜE z G z z
y yb bby y
b b
b bj bj bb j b j
b
t
(6-46)
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
117
6. Fall: 0 0 1/ 6y b y bzw. 1 1/ 6jbj b
0
00 0
1 0
24 falls 0
4 falls
14 falls
6
1 1 12 falls
3 6 3
11 falls
3
zz z y
b
y zz y z b y
b
G z z b y z
z z
z
(6-47)
0
1
310
22
0 0
22 2 2
d
2 52 2
3 36
2 52 2
3 36
y bj
LF ÜPE z G z z
bby y
bb j
t
b j
(6-48)
Berechnung von ÜP LF
t
für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bei
w ≤ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≥ 1
Im Folgenden wird die Berechnung des Erwartungswertes der normierten Fahrzeit
ÜP LFt von einem Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y gezeigt. Aufgrund
der symmetrischen Anordnung ist es ausreichend, die Berechnung für einen der
beiden Übergabepunkte durchzuführen. Dabei ist die Verteilungsfunktion in
y-Richtung identisch mit jener, die für eine Übergabestrecke bestimmt wurde,
siehe (6-11). In x-Richtung kann die Herleitung wiederum anhand einer grafischen
Darstellung der Betragsfunktion erfolgen (vgl. Abschnitt 6.4.1):
Abbildung 6-12: Skizze der Betragsfunktion
2x x
1
3
2
3
1
3
2
3
12x
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
118
Die Verteilungsfunktion in x-Richtung lautet somit:
2
12 falls 0
3
1 1 2 falls
3 3 3
21 falls
3
z z
P x x z z z
z
(6-49)
Bei der Berechnung von 2 ÜP LF
tG z P z durch Multiplikation der beiden Ver-
teilungsfunktionen sind wiederum Fallunterscheidungen erforderlich. Unter Berück-
sichtigung der Restriktion 0 / 2y b und damit 0 0y b y werden folgende Fälle
identifiziert:
Tabelle 6-6: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tÜP-LF
Fall
1 0 0
1
3
2
3y b y
2 0 0
2
3 3
1y b y
3 0 0
1
3
2
3y b y
4 0 0
1
3y b y
Die Berechnung von ÜP LF
t erfolgt nun für die Fälle aus Tabelle 6-6. Es werden
jeweils die Ergebnisse für die Verteilungsfunktion 2G z und der Erwartungswert
ÜP LFE t angegeben.
1. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bbj j
0
00
02 2 2 0
00
0
22 falls 0
12 falls
3
1 1 2 falls
3 3 3
2 falls
3
1 falls
zz z y
b
y zz y z
b
y zG z P x x z P y y zz z
b
y zz b y
b
b y z
(6-50)
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
119
0
0
20
2 30 0 0
0
2 2 3
d
5 1
2 18 18 2 3
5 1
2 18 2 18 3
b y
ÜP LF
y bj
E t z G z z
y y yby
b b b b
b j bj b jbj
b
(6-51)
2. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bj b j
0
00
02 0
0
22 falls 0
12 falls
3
1 1 falls
3 3
1 2 falls
3 3
21 falls
3
zz z y
b
y zz y z
b
y zG z z z b y
b
z b y z
z
(6-52)
0
2
320
2 2 320 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 3
d
1 2
6 3 2 18 162 6 2 6 6 9
1 2
6 18 3 6 2 162 6 2 6 9
ÜP LF
y bj
E t z G z z
y by y y y yb b
b b b b
b j bj bj b j b b j b j
b
(6-53)
3. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bj b j
0
02 0 0
0
2 12 falls 0
3
1 2 1 falls
3 3
1 falls
3
1 2 falls
3 3
21 falls
3
zz z
b
zz z y
b
y zG z z y z b y
b
z b y z
z
(6-54)
0
2
320
2 220 0 0 0
2 2 2 2 2
d
1 2
6 3 2 81 6 2 3 9
1 2
6 3 3 2 81 6 2 9
ÜP LF
y bj
E t z G z z
y by y yb b
b b
b bj bj b j b b j
b
(6-55)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
120
4. Fall: 0 0 1/ 3y b y bzw. 1 1/ 3jbj b
0
00 0
2 0
22 falls 0
2 falls
12 falls
3
1 1 2 falls
3 3 3
21 falls
3
zz z y
b
y zz y z b y
b
G z z b y z
z z
z
(6-56)
0
2
320
22
0 0
22 2 2
d
5
3 18
5
3 18
ÜP LF
y bj
E t z G z z
bby y
bb j b j
(6-57)
Berechnung von LF ÜP
t
und ÜP LF
t
für zwei horizontal angeordnete Übergabe-
punkte bei w ≥ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≤ 1
Die Herleitung der Berechnung für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte
und 1w erfolgt für die aufgrund der Definition von b (vgl. Abschnitt 2.2.5) äquiva-
lente vertikale Anordnung bei 1w . Für zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte
(vgl. Abbildung 6-10 rechts) ergeben sich gegenüber der für eine horizontale Anord-
nung durchgeführten Berechnung abweichende Grenzen und Fallunterscheidungen.
An den Berechnungsschritten ändert sich jedoch nichts, weshalb lediglich die End-
ergebnisse angeführt werden. Tabelle 6-7 enthält die Ergebnisse für die normierte
Fahrzeit LF ÜP
t von einem Startpunkt 1 1 1P ( , )x y zu einem Übergabepunkt 0,x y .
Tabelle 6-7: Ergebnisse für tLF-ÜP bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten
Fall LF ÜPE t
16 3
b bj j
2 2 35 2 1
36 72 2 3 2
bj b j jj
b
16 3
b bj j
2 2 35 2 1
9 324 3 3 2
bj b j jj
b
13
bj j
22 1
36 2
bj j
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
121
In Tabelle 6-8 sind die Ergebnisse für die normierte Fahrzeit ÜP LF
t von einem Über-
gabepunkt *0( , )x y zu einem Zielpunkt
2 2 2P ( , )x y angeführt.
Tabelle 6-8: Ergebnisse für tÜP-LF bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten
Fall ÜP LFE t
2
13 3
b bj j
2 2 35 1
18 18 2 3 2
bj b j jj
b
2
13 3
b bj j
2 2 32 5 2 1
9 81 3 6 2
bj b j jj
b
2
13
jb
j 2
2 1
9 2
bj j
2
13 3
b bj j
2 2 22 1 1
9 3 2 6 81 3 2 6
b j j b j j
b b b
Die Berechnung der Erwartungswerte der Fahrzeiten für Konfigurationen mit drei
horizontal oder vertikal angeordneten Übergabepunkten kann auf ähnliche Weise
erfolgen. Ein wesentlicher Unterschied ist dabei jedoch, dass bedingt durch die
ermittelte optimale Anordnung der Übergabepunkte die zwischen den Übergabe-
punkten liegenden und die äußeren Teilflächen nicht gleich groß sind. Dadurch ist
eine gesonderte Bestimmung der Fahrzeiten für die unterschiedlich großen Teilflä-
chen erforderlich. Im Anschluss kann über eine Gewichtung gemäß des Anteils der
Teilflächen an der Gesamtfläche der Erwartungswert der Fahrzeiten bestimmt wer-
den. Auf eine Ausführung der Berechnung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich
die Berechnungsschritte bis auf die notwendige Gewichtung nicht von der für zwei
Übergabepunkte durchgeführten Berechnung unterscheiden.
6.4.3 Validierung der Berechnungsmodelle
Zum Zweck einer Validierung der Berechnungsmodelle erfolgt ein Abgleich mit den
Ergebnissen einer numerischen Berechnung. Mittels vollständiger Enumeration
werden die Fahrzeiten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung
für eine Fläche mit den Abmessungen L x H = 1 x b und die betrachteten Anordnun-
gen der Übergabepunkte berechnet. Dazu wird die Fläche diskretisiert, indem Länge
und Höhe jeweils in 50 Punkte unterteilt werden. Als Bezugspunkte dienen die
Flächenschwerpunkte der auf diese Weise entstehenden Teilflächen. Die Berech-
nung erfolgt für 1/ 10,1b und 0,1/2j mit Schrittweite 1/10. Somit ergeben
sich für jedes Berechnungsmodell 60 diverse Kombinationen von b und j, wofür die
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
122
Abweichung von analytischer zu numerischer Berechnung bestimmt wird. Der Be-
trag der jeweiligen maximalen Abweichung ist in Tabelle 6-9 angeführt.
Tabelle 6-9: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Nächst-gelegener Übergabepunkt“
Maximale Abweichung gegenüber
numerischer Berechnung
Modell tLF-ÜP tÜP-LF
ÜS mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet
0,00 % 0,02 %
ÜS mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet
0,00 % 0,02 %
2 ÜP mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet
0,01 % 0,01 %
2 ÜP mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet
0,01 % 0,01 %
Die ermittelte maximale Abweichung ist stets vernachlässigbar gering, weshalb von
einer nahezu exakten Übereinstimmung von analytischer und numerischer Berech-
nung für den betrachteten Fall ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und
Verzögerung ausgegangen werden kann. Welche Abweichungen bei nachträglicher
Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung mit einem Korrekturfaktor
zu erwarten sind, geht aus dem Berechnungsbeispiel im folgenden Abschnitt hervor.
6.4.4 Berechnungsbeispiel
Beispielhaft soll die Berechnung der mittleren Fahrzeiten zwischen Lagerfächern und
einer auf halber Regalhöhe angeordneten Übergabestrecke (siehe Abbildung 6-13)
mit den in Abschnitt 6.1 angeführten Daten erfolgen. Mit den vom Ort der Übergabe
unabhängigen Spielzeitkomponenten (siehe Abschnitt 6.2) ist schließlich eine Be-
stimmung der mittleren Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele möglich.
Abbildung 6-13: Exemplarische Anordnung einer Übergabestrecke
10 m
20 m
5 m
6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes
123
Mit den bereits in Abschnitt 6.2.3 bestimmten Werten b = 1 und T = 3,33 s kann für
die gewählte Anordnung der Übergabestrecke auf halber Regalhöhe, d. h. j = 1/2,
folgende mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach zum nächstgelegenen
Übergabepunkt berechnet werden, wobei Beschleunigung und Verzögerung zu-
nächst noch unberücksichtigt bleiben:
2 0,252
0,8325 sLF ÜP LF ÜP
LF ÜP
bE bj bj
E t E t T
t
Die mittlere Fahrzeit von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach beträgt hinge-
gen:
3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 41 1 1 1 1 1 10,40625
3 2 3 12 3 6 3
1,353 s
ÜP LF
LFL ÜPÜP F
E b j b j b j b b b j b j
Tt
b j
E t E
t
Zur Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung wird zu den berechne-
ten Fahrzeiten jeweils noch die in Abschnitt 6.3.5 berechnete mittlere Bremsbe-
schleunigungszeit
, ,
1,5 sb LF ÜP b ÜP LF
t t addiert. Mit der in Abschnitt 6.2.3 ange-
gebenen Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge bei einem Einzel-
spiel , 9 sLAM ESt kann folgender Erwartungswert der Spielzeit für ein Einzelspiel
berechnet werden:
,, ,
0,8325 s 1,5 s 1,353 s 1,5 s 9 s 14,19 s
LAM ESLF ÜP b LF ÜP ÜP LF b ÜP FE LS E tt tE t E t t
Bei Doppelspielen gilt es zusätzlich die Leerfahrt zwischen zwei Lagerfächern zu
berücksichtigen, welche in Abschnitt 6.2.3 berechnet wurde, sowie die zugehörige
mittlere Bremsbeschleunigungszeit. Mit der Summe der Zykluszeiten für die
Lastübergabevorgänge bei einem Doppelspiel , 13 sLAM DSt (vgl. Abschnitt 6.2.3)
beträgt der Erwartungswert der Spielzeit für ein Doppelspiel:
, ,, ,
0,8325 s 1,5 s 1,353 s 1,5 s 1,554 s 1,5 s 13 s 21,24 s
LF LF b LF LF LAM DSLF ÜP b LF ÜP ÜP LF b ÜP LFDS E t t E t t E t t tE t
Die Ergebnisse werden mit jenen einer numerischen Berechnung der Fahrzeiten für
eine diskrete Regalfläche mit Lagerfächern der Abmessungen L x H = 0,5 x 0,4 m
und eine mittels 100 Übergabepunkten angenäherte Übergabestrecke verglichen.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
124
Zur Bestimmung der mittleren Bremsbeschleunigungszeit wird die numerische
Berechnung sowohl ohne als auch unter Berücksichtigung von Beschleunigung und
Verzögerung durchgeführt und die Differenz gebildet. Für Fahr- und Bremsbe-
schleunigungszeiten sowie die gesamte Spielzeit unter Berücksichtigung der Zyk-
luszeiten des Lastaufnahmemittels ergeben sich dabei die in der folgenden Tabelle
angegebenen Zeiten und Abweichungen:
Tabelle 6-10: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung
Komponente Numerische Berechnung Analytische Berechnung Abweichung
LF ÜPE t 0,8323 s 0,8325 s 0,02 %
,b LF ÜPt 1,270 s 1,5 s 18,11 %
ÜP LFE t 1,358 s 1,353 s -0,37 %
,b ÜP LFt 1,429 s 1,5 s 4,97 %
LF LFE t 1,555 s 1,554 s -0,06 %
,b LF LFt 1,437 s 1,5 s 4 %
,LAM DSt 13 s -
Summe 20,88 s 21,24 s 1,72 %
Die mit den entwickelten Berechnungsmodellen bestimmten Fahrzeiten bei konstan-
ter Geschwindigkeit weisen eine sehr gute Übereinstimmung mit den für eine diskre-
te Regalfläche numerisch berechneten Ergebnissen auf. Der durch eine kontinuierli-
che Modellierung der Regalfläche bedingte Fehler ist somit vernachlässigbar. Große
Abweichungen treten hingegen bei der mit einem vorhandenen Ansatz bestimmten
Bremsbeschleunigungszeit auf. Die Abweichungen sind dabei insbesondere bei der
Fahrt von einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt sehr groß. Dies ist
auf die kurzen mittleren Fahrwege zurückzuführen, welche in Kombination mit dem
verwendeten Regalbediengerät häufig zu einem dreiecksförmigen Geschwindig-
keitsverlauf führen. Der in Abschnitt 6.3 beschriebene Ansatz sieht dessen Berück-
sichtigung jedoch nicht vor. Stattdessen wird in einer Näherung stets ein trapezför-
miger Geschwindigkeitsverlauf angesetzt. Der Fehler relativiert sich aber bei Be-
trachtung der gesamten Spielzeit, für welche die Abweichung < 2 % beträgt und
sich somit in einer tolerierbaren Größenordnung bewegt.
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
125
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
Die Berechnung der mittleren Fahrzeiten bei Auswahl des Übergabepunktes unter
Anwendung der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ erfolgt für eine Fahrt von
einem Startpunkt 1P über einen gemäß der in Abschnitt 4.2.3 beschriebenen Strate-
gie ausgewählten Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2P . Dabei werden mit der
maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes skalierte Fahrzeiten bestimmt. Jene von
einem Startpunkt zu einem Übergabepunkt ÜP* wird mit LF ÜP
t bezeichnet, die
anschließende Fahrzeit zum nächsten Zielpunkt mit ÜP LF
t , wie in Abbildung 6-14 für
eine exemplarische Anordnung von Start- und Zielpunkt dargestellt ist:
Abbildung 6-14: Betrachtete Fahrt von einem Startpunkt über einen Übergabepunkt zu einem Zielpunkt
Aufgrund der Abhängigkeit der Auswahl des Übergabepunktes von Start- sowie
Zielpunkt werden die beiden Fahrzeiten nicht getrennt voneinander berechnet,
sondern jeweils die gesamte Fahrzeit gest . Diese setzt sich aus den Fahrzeiten LF ÜP
t
und ÜP LF
t zusammen:
ges LF ÜP ÜP LF
t t t (6-58)
6.5.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke
Zur Berechnung der normierten Fahrzeit gest bei Übergabe entlang einer kontinuierli-
chen Übergabestrecke wird ein Berechnungsmodell entwickelt, welches auf dem
Ansatz von Bozer und White [Boz-1984] (vgl. Abschnitt 2.2.5) aufbaut. Der Einfluss
von Beschleunigung und Verzögerung wird wiederum nachträglich mithilfe des in
Abschnitt 6.3 vorgestellten Korrekturfaktors berücksichtigt.
P1
P2
ÜP*
LF ÜPt
ÜP LFt
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
126
Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≤ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≥ 1
Wie bereits für die betrachtete Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ (siehe
Abschnitt 6.4), erfolgt auch für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ die
Herleitung des Modells zunächst für einen Regalwandparameter 1w und eine
horizontal angeordnete Übergabestrecke. Dieses Modell kann auch zur Berechnung
des Erwartungswertes bei 1w und vertikaler Anordnung der Übergabestrecke
angewendet werden (vgl. Abbildung 2-8 in Abschnitt 2.2.5).
Die Regalfläche wird wiederum mit skalierten und normierten Koordinaten beschrie-
ben. Anordnungen der Übergabestrecke bis zur halben Regalhöhe werden berück-
sichtigt, 0y bezeichnet die Position der Übergabestrecke. In Abbildung 6-15 ist die
betrachtete Regalfläche mit beispielhaft angeordneter Übergabestrecke und Start-
punkt 1 1 1P ,x y sowie Zielpunkt 2 2 2P ,x y dargestellt:
Abbildung 6-15: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke
Sei 0 0, b/2y , 1 2, 0, 1x x , 1 2, 0, by y und G z die Wahrscheinlichkeit, dass
die Summe der normierten Fahrzeiten LF ÜP
t und ÜP LF
t kleiner oder gleich z ist, so
lautet der wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz:
1 2 1 0 2 0gesG z P t z P x x z P y y y y z (6-59)
Hierbei gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Fahrzeit in x-Richtung kleiner oder
gleich z ist, nach Bozer und White [Boz-1984] für 0,1z :
21 2| | 2P x x z z z (6-60)
b
1
P1(x1,y1)P2(x2,y2)
y0
x
LF ÜPt
ÜP LFt
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
127
In y-Richtung setzt sich die Fahrzeit aus der vertikalen Fahrzeit vom Startpunkt zur
Übergabestrecke und der vertikalen Fahrzeit von der Übergabestrecke zum Ziel-
punkt zusammen. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Summe dieser
beiden Fahrzeiten werden folgende Hilfsvariablen eingeführt:
1 1 0
2 2 0
:=
:=
y y y
y y y (6-61)
mit
1 2 0, 0, y y b y
Aufgrund einer identischen Verteilung der vertikalen Koordinaten von Start- und
Zielpunkt gilt:
1 0 1 2P y y z P y z P y z (6-62)
Die Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Fahrzeiten kann anhand einer grafischen
Darstellung der Betragsfunktion (siehe Abbildung 6-16) für ein festes 0y und ein
variables 1y hergeleitet werden (vgl. Abschnitt 6.4.1).
Abbildung 6-16: Grafische Darstellung der Betragsfunktion
Die aus der grafischen Darstellung abgeleitete Wahrscheinlichkeit für eine durch z
nach oben beschränkte Fahrzeit in y-Richtung für eine der beiden Fahrten beträgt in
Abhängigkeit der identifizierten Wertebereiche von z:
1y
0y
0b y
0y 02y b1y
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
128
0
010 0
0
2falls 0
falls
1 falls
zz y
b
yP y zy z b y
b
b z
z
y
(6-63)
Durch Ableiten ergibt sich die entsprechende Dichtefunktion:
1 2
0
0 0
2falls 0
1falls
0 sonst
y y
z yb
f z f zy z b y
b
(6-64)
Die Bestimmung einer gemeinsamen Dichtefunktion für beide Fahrzeiten in
y-Richtung erfolgt mittels Faltung. Dazu wird eine Hilfsvariable 1 2:u y y definiert.
1 2 1 2
2 2 2dy y y y
f u f u y f y y (6-65)
Es ist
1
2 0 0 2
20 2 0 0 2 0
2 2falls 0 falls
1 1falls falls
0 sonst 0 sonst
y
u y y u y y ub b
f u yy u y b y u y b y u y
b b
(6-66)
und
2
2 0
20 2 0
2falls 0
1falls
0 sonst
y
y yb
f yy y b y
b
(6-67)
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
129
Damit folgt:
1 2
0 2 0 2 02
0 2 0 0 2 02
2 20 2 0 2 02
0 2 2 02
2falls 0
1
falls
2falls
4falls 0
0 sonst
y y
u y b y u y y yb
u y b y u y y y b yb
f u y f yu y y u y y b y
b
u y y u y yb
(6-68)
Somit kann (6-65) durch Zerlegung in Teilintegrale für die in (6-68) angegebenen
Wertebereiche und zugehörigen Dichtefunktionen gelöst werden. Die Integralgren-
zen entsprechen den Bereichsgrenzen in (6-68), verhindern aber zusätzlich das
Auftreten negativer Integralwerte:
0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 0
0 0 0
max min , ,0 max min , ,0
2 22 2max , max ,0
min , min ,
2 22 2max , max ,0
0 0
2
1 2max d ,0 max d ,0
2 4max d ,0 max d ,0
max max min , ,0 ma
1
u y b y u y y
y y u y b y u y b
u b y u y
u y y u y
f u y yb b
y yb b
u y b y
b
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
x , ,0
2 max max min , ,0 max ,0 ,0
2 max min , max , ,0
4 max min , max ,0 ,0
u y b y
u y y u y b
u b y u y y
u y u y
(6-69)
Durch Gleichsetzen der Argumente der Minimums- sowie der Maximumsfunktionen
ergeben sich für die explizite Berechnung von 1 2y y
f u als Wertebereichsgrenzen für
u: 0, b, 02 2b y , 02y , 0b y und 0y . Gemäß der Voraussetzung 0 2y b gilt:
0 0 0 00 2 2 2y b y y b b y (6-70)
Da 0 0 02 / 3b y y y b oder 0 0 02 / 3b y y y b sein kann, ist eine
Fallunterscheidung erforderlich:
1. Fall: 0 0 0 0 0/ 3 0 2 2 2y b y y b y b b y
2. Fall: 0 0 0 0 0/ 3 0 2 2 2y b y b y y b b y
Für den 1. Fall ergibt sich durch Lösung der Minimums- und Maximumsfunktionen
und die dazu erforderliche Unterscheidung unterschiedlicher Wertebereiche von u
folgende Dichtefunktion:
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
130
1 2
02
00 02
00 02
002
002
4falls 0
4falls 2
2falls 2
4 3 2falls
2 2falls 2 2
y y
uu y
b
yy u y
b
u yf u y u b y
b
b u yb y u b
b
b y ub u b y
b
(6-71)
Hieraus lässt sich mittels Integration die gemeinsame Verteilungsfunktion für beide
Fahrzeiten in y-Richtung berechnen:
1 2
0 0 0
0 0
0
0
1 2 0
min , min 2 , min0 0
2 2 20 min min 2
min , min 2 2 ,0 0
2 2min min ,
2
02
20 0
0 02
0
,
,
2
,
,
d
4 24d d d
4 3 2 2 2d d
2falls 0
4 2falls 2
4
z
y y
y z y z b y
y y
b z b y z
z z
zb y
z
b z
P y y z f u u
y u yuu u u
b b b
b u y b y uu u
b b
zz y
b
y z yy z y
b
z y z
0 02
2 2 20 0 0
02
220 0
02
0
falls 22
4 8 8 4 4 3falls
2
2 4 2 2falls 2 2
2
1 falls 2 2
y z b yb
b by bz y y z zb y z b
b
b b y z y zb z b y
b
z b y
(6-72)
Analog wurde die Berechnung für den 2. Fall durchgeführt. Dabei stellte sich heraus,
dass die berechnete Verteilungsfunktion identisch mit dem für den 1. Fall berechne-
ten Ergebnis ist. Somit kann auf eine Fallunterscheidung für 0 / 3y b und
0 / 3y b verzichtet werden.
Bei der Multiplikation der Verteilungsfunktionen in x- und y-Richtung zur Bestim-
mung der Verteilungsfunktion für die gesamte Fahrzeit ist eine Fallunterscheidung
erforderlich, da 02 2 1b y oder 02 2 1b y sein kann. Es folgt zunächst die
Betrachtung des Falles 02 2 1b y . Die Verteilungsfunktion für die gesamte Fahr-
zeit G z kann gemäß (6-59) berechnet werden. Mit der Verteilungsfunktion in
x-Richtung nach (6-60) und in y-Richtung nach (6-72) ergibt sich:
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
131
2
02
20 0
0 02
20
0 022
20
02 2 20 0
20
2 2
0
2falls 0
4 2falls 2
4falls 2
22 falls 0 1
4 8 81 sonst 1falls
2 4 4 3
2 4 21falls 2
2 2
zz y
b
y z yy z y
b
z y zy z b y
bz z zG z
b by bzb y z b
b y y z z
b b y zb z
b y z
0
0
3
02
0 0
0 02
20
0 02
2 20 0
02
2
2
1 falls 2 2
4 2falls 0
2 2 2falls 2
2 4falls 2
2
2 4 2 4 3falls
2
2 2
b y
z b y
z zz y
b
y z z y zy z y
b
z z y zy z b y
b
z z z y b b y zb y z b
b
z z b
2
0 0
02
20
4 2 2falls 2 2
2
2 falls 2 2 1
b y z y zb z b y
b
z z b y z
(6-73)
Mittels Ableitung nach z kann die entsprechende Dichtefunktion g z gebildet
werden:
2
02
0 0
0 02
0
0 02
2 2 20
2
0
0 0
2 2 20
2
0
2
0
4 3 2falls 0
4 1 4 3falls 2
8 6 3 2falls 2
4 1 4 1 3 3 2
falls 2 4 3 4 2 1 4 3
2 1 4 1 3 2
2 4 3 8 1
z zz y
b
y y z z zy z y
b
z y z z zy z b y
b
b z y z z z
g z bb y z b
y z z b y z z z
b z y z z z
b
y z z b y
b
0
2
0
falls 2 22 4 3
2 2 falls 2 2 1
b z b yz z z
b
z b y z
(6-74)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
132
Der Erwartungswert der normierten Fahrzeit gest kann nun wie folgt berechnet wer-
den:
0 0
0
0
0
0
21 2 0 0
2 20 0
0
22
2 2 2
2
0 0
2 2 20
2
0
4 1 4 34 3 2d d d
8 6 3 2d
4 1 4 1 3 3 21d
2 4 3 4 2 1 4 3
2 1 4 1 3 21
2 4
y y
ges y
b y
y
b
b y
y y z z zz zE t z g z z z z z z
b b
z y z z zz z
b
b z y z z zz z
b y z z b y z z z
b z y z z zz
b y z
0
0
2 2 1
2 20
5 4 4 3 3 2 2 30 0 0 0 0 0 0 0
2
d 2 2 d3 8 1 2 4 3
3 12 7 1 2 4 6 7 2 12 7 2 36 28
6
b y
b b yz z z z
z b y z z z
b y b y b y y by y b y y
b
(6-75)
Die absolute Koordinate der vertikalen Position der Übergabestrecke 0y soll durch
eine relative Koordinate 0: /j y b ersetzt werden. Für den betrachteten Fall
02 2 1b y bzw. 1/ 2 2b j ergibt sich somit folgender Erwartungswert:
3 2 3 4 2 2 3 42 3 14 28 28 14 7 24 36 24 12
6ges
b j j j j b j j j jE t (6-76)
Im Spezialfall 0j bei Anordnung der Übergabestrecke am unteren Rand der
Regalfläche lautet der Erwartungswert:
3 2
0
1 7 1|
2 6 3ges jE t b b (6-77)
Es folgt nun die Berechnung des Erwartungswertes für den Fall 02 2 1b y bzw.
1/ (2 2 )b j . Die Verteilungsfunktion für die gesamte Fahrzeit G z kann wiede-
rum gemäß (6-59) berechnet werden:
2
02
20 0
0 02
22 0
0 02
20
02 2 20 0
20
2 2
0
2falls 0
4 2falls 2
4falls 22 falls 0 1
21 sonst
4 8 81falls
2 4 4 3
2 4 21falls 2
2 2
zz y
b
y z yy z y
b
z y zy z b yz z z
G z b
b by bzb y z b
b y y z z
b b y zb z
b y z
02b y
(6-78)
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
133
3
02
0 0
0 02
20
0 02
2 20 0
02
220 0
2
220 0
02
4 2falls 0
2 2 2falls 2
2 4falls 2
2
2 4 2 4 3falls
2
2 2 4 2 2falls 1
2
2 4 2 2falls 1 2 2
2
z zz y
b
y z z y zy z y
b
z z y zy z b y
b
z z z y b b y zb y z b
b
z z b b y z y zb z
b
b b y z y zz b y
b
Daraus berechnet sich folgende Dichtefunktion:
2
02
0 0
0 02
0
0 02
2 2 20
02
0 0
2 2 20
2
0
4 3 2falls 0
4 1 4 3falls 2
8 6 3 2falls 2
4 1 4 1 3 3 21falls
2 4 3 4 2 1 4 3
2 1 4 1 3 21
2 4 3
z zz y
b
y y z z zy z y
b
z y z z zy z b y
bg z b z y z z z
b y z bb y z z b y z z z
b z y z z z
b y z z
0
002
falls 18 1 2 4 3
2 2falls 1 2 2
b zb y z z z
b y zz b y
b
(6-79)
Es folgt die Berechnung des Erwartungswertes gesE t :
0 0 0
0
0
0
0
22 2 2 0 0
2 20 0
0
22
2 2 2
2
0 0
2 2 20
2
4 1 4 34 3 2d d d
8 6 3 2d
4 1 4 1 3 3 21d
2 4 3 4 2 1 4 3
2 1 4 1 3 21
2
b y y y
ges y
b y
y
b
b y
y y z z zz zE t z g z z z z z z
b b
z y z z zz z
b
b z y z z zz z
b y z z b y z z z
b z y z z zz
b
0
1
0 0
2 20
21
d4 3 8 1 2 4 3
2 2d
b
b y
zy z z b y z z z
b y zz z
b
(6-80)
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
134
5 2 3 4 5 4 3 20 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 3 2 3 40 0 0 0 0 0 0
1 2 10 40 80 40 32 10 1 2 40 2 21
60 20 1 12 6 2 10 1 8 24 8 2
b y y y y y b y b y y
b b y y y b y y y y
Durch Substitution der absoluten Koordinate der Übergabestrecke 0y mit der relati-
ven Koordinate 0: /j y b ergibt sich folgender Erwartungswert gesE t :
33 2 2
2 4 2 3 4 5 2 3 4 5
1 10 1 80 1 20 1 4 21
60 10 1 8 12 8 4 2 20 40 40 20 32ges
b j b j b j jE t
b b j j j j b j j j j j (6-81)
Im Spezialfall 0j lautet der Erwartungswert:
3 2
0 2
1 1 4 1 1 1|
30 6 3 3 6 60ges jE t b b b
b b (6-82)
Somit ist die Berechnung für den Fall einer Lagergasse mit Regalwandparameter
1w und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke bzw. 1w und eine verti-
kale Übergabestrecke abgeschlossen. Tabelle 6-11 fasst die Berechnungsergebnis-
se mitsamt der erforderlichen Fallunterscheidungen für den Spezialfall 0j einer
am Rand der Regalfläche angeordneten Übergabestrecke und den allgemeinen Fall
einer in die Regalfläche verschobenen Übergabestrecke zusammen:
Tabelle 6-11: Ergebnisse für w ≤ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≥ 1 und eine vertikale Übergabestrecke
j b gesE t
0j
1
2b 3 21 7 1
2 6 3b b
1
2b 3 2
2
1 1 4 1 1 1
30 6 3 3 6 60b b b
b b
1
02
j
1
2 2b
j
3 2 3 4
2 2 3 4
2 3 14 28 28 141
6 7 24 36 24 12
b j j j j
b j j j j
1
2 2b
j
33 2 2
4 2 3 4
2
5 2 3 4 5
1 10 1 80 1 20 1 4 2
110 1 8 12 8 4
602 20 40 40 20 32
b j b j b j j
b j j j jb
b j j j j j
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
135
Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≥ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≤ 1
Für den Fall einer Lagergasse mit Regalwandparameter 1w und eine horizontal
angeordnete Übergabestrecke bzw. für 1w und eine vertikal angeordnete Über-
gabestrecke kann die Berechnung analog durchgeführt werden. Auf die einzelnen
Berechnungsschritte wird daher nicht näher eingegangen, es werden stattdessen
nur die Ergebnisse angeführt. Für die Berechnung sind in diesem Fall zusätzliche
Fallunterscheidungen notwendig. So kann auf eine Fallunterscheidung für 1/ 3j
und 1/ 3j nicht verzichtet werden und für b sind weitere, sich aus den Integrati-
onsgrenzen ergebende, Fallunterscheidungen erforderlich. Die absolute Koordinate
der Position der Übergabestrecke und die relative Koordinate unterscheiden sich in
diesem Modell nicht, da beide Koordinaten im Intervall 0,1 liegen. Tabelle 6-12
enthält die erforderlichen Fallunterscheidungen mit den dazugehörigen Ergebnissen
für den Erwartungswert der Spielzeit. Neben den allgemeinen Ergebnissen ist wiede-
rum auch das Ergebnis für den Spezialfall 0j angeführt.
Tabelle 6-12: Ergebnisse für w ≥ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≤ 1 und eine vertikale Übergabestrecke
j b gesE t
0j 3
160
b
1
3j
b j 3
22 2 115
bj j
1 1
3 2j
1
3j 2j b j
2
22 4 5
2
32 22 2 1
3 3 3 3 15
b bj j
b
j j
b
j j j
1 1
3 2j 1j b j
1
3j 2 1j b j
3 3 42
52
2
2 72 2 1
6 60 3 15
b bj
jj
b b
j j j
1 1
3 2j 1 2j b j
2 2 3
2 2
4bj 2b 4j 4 1 1 4j +
3 3 3 3 3 3 15 3 15
bj j b b
b b b b
2 3 2 4 3 4
2
2 2 2
2 4 2 2 2 54
3 3 3 3 3 3
j j j j j jj
b b b b b b
1
3j 1b j
2 2 2 3
2 2
4bj 2b 4j 2 1 1 4j +
3 3 3 3 3 6 3 15 3 20
bj j b j b b
b b b b
3 2 3 2 4 3 4 5
2
2 2 2 2
4 2 4 2 2 2 8 54
3 3 3 3 3 3 15 3
j j j j j j j jj
b b b b b b b
1 1
3 2j 2b j
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
136
Auch für diese Ergebnisse gilt aufgrund der Symmetrie, dass für 1/ 2j zur Be-
rechnung des Erwartungswertes 1j j eingesetzt werden kann. Aufgrund der
Unabhängigkeit von Start- und Zielpunkt und deren gleichmäßigen Verteilung ist der
Erwartungswert LF ÜPE t für eine Fahrt vom Startpunkt zu einem Übergabepunkt
identisch mit dem Erwartungswert ÜP LFE t für eine Fahrt von einem Übergabe-
punkt zu einem Zielpunkt:
2LF ÜP Ü
g
P LF
esE t E
E tt (6-83)
6.5.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte
Bei der Berechnung der Spielzeit für zwei oder drei diskrete Übergabepunkte in
Kombination mit der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ stößt der für eine
Übergabestrecke verwendete wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz an seine
Grenzen. Aufgrund der Abhängigkeit der Auswahl eines Übergabepunktes von Start-
sowie Zielpunkt ergibt sich eine große Anzahl erforderlicher Fallunterscheidungen,
welche einen nicht mehr vertretbaren Lösungsaufwand zur Folge hat. Aus diesem
Grund wird ein Näherungsansatz gewählt. Folgende Anordnungen der Übergabe-
punkte werden dabei berücksichtigt:
Abbildung 6-17: Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte
b
11
b
2 1
2
2 1
2b
2 1
2b
2 1
2
j b
j b
j
j
2 2
2
2 2
2
2 2
2b
2 2
2b
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
137
Der Ansatz besteht darin, für eine skalierte und normierte Regalfläche mit den Ab-
messungen L x H = 1 x b mit 1/10,1b numerisch die Fahrzeiten ohne Berück-
sichtigung von Beschleunigung und Verzögerung zu berechnen und anschließend
durch eine Näherungsfunktion zu beschreiben. Dazu wird die Fläche zunächst in
100 x 100 Teilflächen unterteilt. Die Flächenschwerpunkte der Teilflächen stellen
mögliche Start- und Zielpunkte dar. Mittels vollständiger Enumeration wird für alle
möglichen Kombinationen von Start- und Zielpunkten bei Verwendung eines jeweils
gemäß der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabe-
punktes numerisch die mittlere Fahrzeit bestimmt. Der Parameter b sowie die Positi-
on der Übergabepunkte 0,1/2j werden dabei mit einer Schrittweite von 1/10
variiert. Exemplarisch sind die Ergebnisse der Berechnungen für den Fall eines
Regalwandparameters 1w und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte in
Tabelle 6-13 angeführt. Diese Ergebnisse sind bei 1w für zwei vertikal angeordne-
te Übergabepunkte gültig, da bedingt durch die Definition von b ein Regalwandpa-
rameter 1w eine Vertauschung der Achsen zur Anwendung der für 1w hergelei-
teten Modelle erforderlich macht (vgl. Abbildung 2-8 in Abschnitt 2.2.5).
Tabelle 6-13: Numerische Berechnungsergebnisse für w ≤ 1 und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bzw. w ≥ 1 und zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte
j b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,1 0,3998 0,3973 0,3953 0,3940 0,3931 0,3929
0,2 0,4272 0,4172 0,4096 0,4041 0,4009 0,3998
0,3 0,4718 0,4498 0,4328 0,4208 0,4136 0,4113
0,4 0,5318 0,4941 0,4647 0,4437 0,4313 0,4272
0,5 0,6021 0,5472 0,5038 0,4725 0,4536 0,4473
0,6 0,6799 0,6065 0,5482 0,5061 0,4805 0,4718
0,7 0,7637 0,6707 0,5967 0,5433 0,5110 0,5003
0,8 0,8523 0,7391 0,6487 0,5836 0,5447 0,5318
0,9 0,9441 0,8109 0,7037 0,6266 0,5809 0,5659
1,0 1,0380 0,8850 0,7614 0,6722 0,6195 0,6021
Aus den Berechnungsergebnissen für zwei und drei horizontal sowie vertikal ange-
ordnete Übergabepunkte werden im Anschluss Ergebnisfunktionen in Abhängigkeit
des Parameters b und der vertikalen bzw. horizontalen Verschiebung der Übergabe-
punkte j approximiert. Dazu wird eine Polynomapproximation fünften Grades nach
der Methode der kleinsten Quadrate verwendet. Tabelle 6-14 enthält die berechne-
ten Näherungsfunktionen sowie die erforderlichen Fallunterscheidungen.
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
138
Tabelle 6-14: Ergebnisse der Approximation
ÜP w Anordnung ÜP gesE t
2
1 horizontal
2
2 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
0,3947 0,007035 0,06919 0,06198 0,08497
1,297 0,2773 0,06652 3,67 0,7014 0,1441
1,08 2,011 2,628 0,04123 0,1994
1,259 0,5 0,9483 0,7036 0,07672
j b j jb
b j j b jb b j
j b j b jb b j
j b j b j b jb b
1 vertikal
1 horizontal
2 2
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
1,001 2,002 0,009984 1,866 0,1633 0,06242
1,066 1,074 0,1169 0,04045 2,662
2,405 0,3385 0,2751 0,0249 2,088
1,326 0,579 0,3608 0,1858 0,00007471
j b j jb b
j j b jb b j
j b j b jb b j
j b j b j b jb b
1 vertikal
3
1 horizontal
2
2 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
0,3617 0,01164 0,01217 0,05304 0,06253
1,203 0,2752 0,03521 3,315 0,6735
0,8436 0,6586 2,89 1,88 0,1716 0,8706
0,99 0,4147 1,536 0,2346 0,02375
j b j jb
b j j b jb b
j j b j b jb b j
j b j b j b jb b
1 vertikal
1 horizontal
2 2
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4
1,001 2,003 0,009136 1,886 0,1364 0,04272
0,9488 0,8014 0,006874 0,02557 2,388
1,588 0,02265 0,2958 0,01905 1,877
0,6332 0,6985 0,2057 0,1588 0,0005991
j b j jb b
j j b jb b j
j b j b jb b j
j b j b j b jb b5
1 vertikal
Mit diesen Näherungsfunktionen ist eine einfache Berechnung der mittleren Fahrzei-
ten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung für zwei oder drei
Übergabepunkte bei Anwendung der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“
möglich, wobei für eine bestimmte Anordnung der Übergabepunkte jeweils nur eine
Fallunterscheidung anhand des Regalwandparameters w erforderlich ist. Die Ergeb-
nisse, welche für 0,1/ 2j definiert sind, gelten aufgrund der Symmetrie auch für
1/ 2j , wobei für die Berechnung 1j j eingesetzt werden kann.
6.5.3 Validierung der Berechnungsmodelle
Die Validierung des Berechnungsmodells für eine Übergabestrecke erfolgt analog zu
der in Abschnitt 6.4.3 gezeigten Validierung der Berechnungsmodelle für die Strate-
gie „Nächstgelegener Übergabepunkt“. Dabei wird wiederum die maximale Abwei-
chung gegenüber einer numerischen Berechnung für 1/ 10,1b und 0,1/ 2j
mit Schrittweite 1/10 bestimmt. Zur Validierung des Näherungsansatzes für die
Berechnung bei diskreten Übergabepunkten wird hingegen die maximale Abwei-
chung der Ergebnisse der einzelnen Näherungsfunktionen gegenüber den numerisch
berechneten Ausgangswerten, auf welchen die Approximation basiert, ermittelt. Die
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
139
Validierungsergebnisse in Form des Betrags der jeweiligen maximalen Abweichung
sind in der folgenden Tabelle angeführt:
Tabelle 6-15: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Berück-sichtigung nächstes Ziel“
Modell Maximale Abweichung gegenüber
numerischer Berechnung
ÜS mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet
0,02 %
ÜS mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet
0,02 %
2 ÜP mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet
0,12 %
2 ÜP mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet
0,11 %
3 ÜP mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet
0,10 %
3 ÜP mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet
0,13 %
Während die Modelle für eine Übergabestrecke nahezu exakt mit der numerischen
Berechnung übereinstimmen, weisen die mit Näherungsfunktionen für diskrete
Übergabepunkte bestimmten Ergebnisse etwas größere Abweichungen auf. Gegen-
über dem bei der Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung mit einem
Korrekturfaktor zu erwartenden Fehler wird jedoch auch diese Abweichung als
vernachlässigbar gering erachtet.
6.5.4 Berechnungsbeispiel
Zur beispielhaften Berechnung der mittleren Fahrzeiten und anschließenden Be-
stimmung der mittleren Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele soll, wie bereits
bei der Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ in Ab-
schnitt 6.4.4, eine auf halber Regalhöhe angeordnete Übergabestrecke betrachtet
werden. Die Berechnung erfolgt dabei mit den in Abschnitt 6.1 angegebenen Daten.
Mit b = 1 und T = 3,33 s aus Abschnitt 6.2.3 ergibt sich für das vorliegende Beispiel
mit j = 1/2 folgende mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen
gemäß der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabe-
punkt zu einem weiteren Lagerfach:
6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten
140
3 2 3 4
2 2 3 4
2 3 14 28 28 1410,5625
6 7 24 36 24 12
1,873 s
g LF ÜP ÜP Les
ges
F
ges
b j j j jE t E E
b j jt
j
E t t T
tj
E
Im Mittel ist dabei die Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt von
gleicher Dauer, wie die Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach. Zur
Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung muss die in Abschnitt 6.3.5
berechnete Bremsbeschleunigungszeit für beide Fahrten addiert werden. Mit der in
Abschnitt 6.2.3 angegebenen Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgän-
ge , 9 sLAM ESt beträgt die mittlere Spielzeit für ein Einzelspiel somit:
,, ,
1,873 s 1,5 s 1,5 s 9 s 13,87 sges LAM ESb LF ÜP b ÜP LFES E t t t tE t
Im Vergleich zu dem in Abschnitt 6.4.4 angeführten Berechnungsbeispiel für die
Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ ist die Spielzeit unter Anwendung der
Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 0,32 s kürzer, was einem relativen Unter-
schied von 2,3 % entspricht. Mit der Summe der Zykluszeiten , 13 sLAM DSt und der
erforderlichen Leerfahrt zwischen zwei Lagerfächern (vgl. Abschnitt 6.2.3) sowie der
zugehörigen Bremsbeschleunigungszeit ergibt sich für ein Doppelspiel folgende
mittlere Spielzeit:
, ,, ,
1,873 s 1,5 s 1,5 s 1,554 s 1,5 s 13 s 20,93 s
ges LF LF b LF LF LAM DSb LF ÜP b ÜP LFDS E t t t E t tE tt
Bei einem Doppelspiel unterscheidet sich die absolute Differenz der Spielzeit nicht
von einem Einzelspiel, da sich die von der Strategie bei der Auswahl eines Überga-
bepunktes beeinflussten Fahrten zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten
nicht unterscheiden. Aufgrund der längeren Dauer eines Doppelspieles gegenüber
einem Einzelspiel beträgt der relative Unterschied zwischen den Spielzeiten für die
beiden betrachteten Strategien somit nur 1,5 %.
Die Berechnungsergebnisse werden, wie bereits für das Berechnungsbeispiel in
Abschnitt 6.4.4 gezeigt, den Ergebnissen einer numerischen Berechnung für eine
diskrete Regalfläche und eine durch 100 Übergabepunkte angenäherte Übergabe-
strecke gegenübergestellt. In Tabelle 6-16 sind die Ergebnisse sowie die jeweiligen
Abweichungen gegenüber der numerischen Berechnung für die einzelnen Kompo-
nenten der Spielzeit angeführt.
6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels
141
Tabelle 6-16: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung
Komponente Numerische Berechnung Analytische Berechnung Abweichung
gesE t 1,874 s 1,873 s -0,05 %
,b LF ÜPt 1,291 s 1,5 s 16,19 %
,b ÜP LFt 1,291 s 1,5 s 16,19 %
LF LFE t 1,555 s 1,554 s -0,06 %
,b LF LFt 1,437 s 1,5 s 4 %
,LAM DSt 13 s -
Summe 20,45 s 20,93 s 2,35 %
Während die Fahrzeiten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzöge-
rung wiederum sehr gut übereinstimmen, weichen die bestimmten Bremsbeschleu-
nigungszeiten deutlich ab. Die maximale Abweichung fällt gegenüber dem in Ab-
schnitt 6.4.4 angeführten Berechnungsbeispiel für die Strategie „Nächstgelegener
Übergabepunkt“ geringfügig kleiner aus, was durch die längeren mittleren Fahrwege
bei der Fahrt zu einem Übergabepunkt bedingt durch die Strategie „Berücksichti-
gung nächstes Ziel“ begründet werden kann. Die Abweichungen sind wieder auf die
vereinfachte Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung basierend auf
der Annahme, dass das Geschwindigkeitsprofil stets einen trapezförmigen Verlauf
aufweist, zurückzuführen. Bei Betrachtung der gesamten Spielzeit beträgt der Fehler
etwas über 2 %, was noch als tolerierbar erachtet wird. Durch eine exakte Abbil-
dung der Geschwindigkeitsprofile könnte die Spielzeit jedoch noch wesentlich
genauer berechnet werden.
143
7 Zusammenfassung und Ausblick
Die Einsatzfelder automatischer Lagersysteme im Produktions- und Distributionsbe-
reich haben sich in den letzten Jahrzehnten gewandelt. Hochdynamische Lagersys-
teme kommen beispielsweise zur Pufferung und dynamischen Bereitstellung von
Waren zum Einsatz. Vielfach fordern diese Anwendungen eine hohe Leistung in
Form der Anzahl der Arbeitsspiele je Zeiteinheit. Dies führte zur stetigen Weiterent-
wicklung von Regalbediengeräten und Betriebsstrategien. Dagegen hat sich die
Anordnung der Übergabepunkte für die Übergabe von Ladeeinheiten zwischen
Regalbediengerät und Fördertechnik der Lagervorzone in mehr als 50 Jahren kaum
verändert. Nach wie vor wird in der Regel ein einzelner Übergabepunkt in einem
Eckpunkt der Regale angeordnet. Hinsichtlich der mittleren Entfernungen zu den
Lagerfächern stellt diese Anordnung keine gute Lösung dar. Eine Verkürzung der
mittleren Entfernungen und folglich der mittleren Fahr- und Spielzeiten zur Steige-
rung der Leistung ist durch eine, in dieser Arbeit untersuchte, verteilte Anordnung
mehrerer Übergabepunkte in einer Lagergasse möglich.
Die Schwerpunkte der vorliegenden Arbeit bilden eine Untersuchung der Spielzeiten
automatischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten sowie deren Berech-
nung mit mathematisch-analytischen Methoden. Ein Überblick über vorhandene
Untersuchungen zu Fahr- und Spielzeiten von Systemen mit mehreren Übergabe-
punkten liefert die Erkenntnis, dass es weder umfassende Betrachtungen unter-
schiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte noch allgemeine Berechnungsmo-
delle für die Fahrzeiten gibt. Zudem fehlen angepasste Betriebsstrategien.
Um eine Untersuchung unterschiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte zu
ermöglichen, erfolgte zunächst eine Analyse des Einflusses von Anzahl und Position
der Übergabepunkte. Darauf aufbauend wurden auf konzeptioneller Ebene systema-
tisch unterschiedliche Anordnungen beschrieben sowie mögliche Varianten für die
Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte vorgestellt. Es zeigte sich, dass die
optimale Anordnung von der Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes
abhängig ist. In Abhängigkeit neu entwickelter Strategien für die Auswahl eines
Übergabepunktes kann eine Optimierung der Anordnung einzelner Übergabepunkte
entlang einer Strecke sowie mehrerer Übergabestrecken erfolgen, wofür ein Ansatz
aufgezeigt werden konnte. Ein Vergleich der Strategien verdeutlicht, dass die kür-
7 Zusammenfassung und Ausblick
144
zesten Fahrwege mit einer Strategie möglich sind, nach welcher bei der Auswahl
eines Übergabepunktes neben dem Ausgangspunkt des Regalbediengerätes auch
der nächste zu erreichende Zielpunkt mit einbezogen wird. Auf diese Weise ist eine
Fahrwegoptimierung möglich.
Eine Untersuchung unterschiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte hinsichtlich
der Spielzeit erfolgte anhand exemplarischer Lagerkonfigurationen, für welche
mittels numerischer Berechnung die Fahr- und Spielzeiten bestimmt wurden. Die
Ergebnisse zeigen, dass mit mehreren Übergabepunkten eine deutliche Reduktion
der Spielzeiten gegenüber der Anordnung eines einzelnen Übergabepunkt in einem
Eckpunkt des Regals möglich ist. Auch gegenüber vom Eckpunkt abweichenden
Anordnungen des Übergabepunktes beispielsweise auf halber Länge oder Höhe des
Regals oder im Flächenschwerpunkt kann mit geeigneten Anordnungen mehrerer
Übergabepunkte eine Reduktion der Spielzeiten erreicht werden. Ein Vergleich der
Spielzeiten vermittelt einen Überblick über das Potenzial unterschiedlicher Anord-
nungen mehrerer Übergabepunkte und liefert somit wichtige Indikationen für die
Planung. Eine weitere Erkenntnis ist, dass sich das Verhältnis von Regalabmessun-
gen und Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes stark auf die Eignung einer
Anordnung der Übergabepunkte für eine bestimmte Lagerkonfiguration auswirkt.
Um eine Berechnung der Spielzeit für mehrere Übergabepunkte und beliebige
Kombinationen aus Regalabmessungen und Eigenschaften des Regalbediengerätes
zu ermöglichen, wurden mathematisch-analytische Berechnungsmodelle entwickelt.
Aufbauend auf einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz erfolgte eine Herlei-
tung von Berechnungsmodellen für den Erwartungswert der Fahrzeiten unter Be-
rücksichtigung der Strategie bei der Auswahl der Übergabepunkte. Im Fall von
diskreten Übergabepunkten in Kombination mit der Strategie „Berücksichtigung
nächstes Ziel“ stößt der wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz an seine Grenzen.
Hierfür wurde auf eine numerische Approximation zurückgegriffen. Das Ergebnis
sind Modelle für eine in einer beliebigen Position angeordnete horizontale oder
vertikale Übergabestrecke sowie für unterschiedliche Anordnungen von bis zu drei
diskreten Übergabepunkten. Die entwickelten Modelle ermöglichen eine aufwands-
arme Bestimmung der mittleren Fahrzeiten und schaffen somit die Voraussetzungen
für eine Berücksichtigung von Systemen mit mehreren Übergabepunkten bei der
Planung automatischer Lagersysteme. Berechnungsbeispiele veranschaulichen die
Anwendung der Modelle unter Einbeziehung vorhandener Berechnungsmodelle zur
7 Zusammenfassung und Ausblick
145
Bestimmung der weiteren Komponenten der Spielzeit für Einzel- sowie Doppelspie-
le.
Die entwickelten Berechnungsmodelle wurden validiert und weisen bei konstanten
Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes eine nahezu exakte Übereinstim-
mung mit den Ergebnissen einer numerischen Berechnung auf. Eine Berücksichti-
gung von Beschleunigung und Verzögerung kann mittels eines Korrekturfaktors
erfolgen. An dieser Stelle besteht noch Forschungsbedarf hinsichtlich einer exakten
Abbildung der Geschwindigkeitsprofile sowie einer Berücksichtigung unterschiedli-
cher Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten von Fahr- und Hubwerk.
Weitere Untersuchungen sind auf dem Gebiet der Ver- und Entsorgung der Überga-
bepunkte erforderlich. Hierfür ist die zur Verfügung stehende Zeit unter Berücksich-
tigung von Materialfluss und Informationsfluss zu bestimmen und auf diese Weise
die geforderte Leistung des Fördersystems zu ermitteln. Der Fokus sollte dabei auf
der Entwicklung eines geeigneten Auslegungsverfahrens für die Planung liegen. Für
die Versorgung der Übergabestationen und deren Gestaltung gilt es technische
Lösungen zu entwickeln, welche eine wirtschaftliche Umsetzung ermöglichen.
In der vorliegenden Arbeit konnte vermittelt werden, wie sich mehrere Übergabe-
punkte auf die Spielzeiten automatischer Lagersysteme auswirken. In Form von
Berechnungsmodellen für die wichtigsten Anordnungen mehrerer Übergabepunkte
werden die Voraussetzungen zur Bestimmung der Leistung geschaffen. Die Ergeb-
nisse der vorliegenden Arbeit ermöglichen somit die Potenziale, die sich durch
mehrere Übergabepunkte ergeben, bei der Planung automatischer Lagersysteme zu
nutzen.
147
Literaturverzeichnis
[Ara-1993] Arantes, J. C.; Kompella, S.: Travel-time models for AS/RS with
multiple I/O stations; In: 2nd Industrial Engineering Research
Conference Proceedings, IIE, Norcross, GA (USA), 1993, S. 405-
409.
[Arn-2006] Arnold, D.; Furmans, K.: Materialfluss in Logistiksystemen; 5.,
erweiterte Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006.
[Ash-2002] Ashayeri, J.; Heuts, R. M.; Beekhof, M.; Wilhelm, M. R.: On the
determination of class-based storage assignments in an AS/RS
having two I/O locations; In: Meller, R. et al. (Hrsg.): Progress in
material handling research; Material Handling Institute, Charlotte,
NC (USA), 2002, S. 27-41.
[Ber-1999] van den Berg, J. P.; Gademann, A. J. R. M.: Optimal routing in an
automated storage/retrieval system with dedicated storage; In: IIE
Transactions 31, 1999, S. 407-415
[Bos-2011] Bosch, K.: Statistik für Nichtstatistiker: Zufall und Wahrscheinlich-
keit; Oldenbourg Verlag, München, 2011.
[Boz-1984] Bozer, Y. A.; White, J. A.: Travel-Time Models for Automated
Storage/Retrieval Systems; In: IIE Transactions 16, 1984, S. 329-
338.
[Cha-1995] Chang, D.-T.; Wen, U.-P.; Lin, J. T.: The impact of accelera-
tion/deceleration on travel-time models for automated stor-
age/retrieval systems; In: IIE Transactions 27, 1995, S. 108-111.
[Egb-1993] Egbelu, P. J.; Wu, C-T.: A comparison of dwell point rules in an
automated storage/retrieval system; In: International Journal of
Production Research 31, 1993, S. 2515-2530.
Literaturverzeichnis
148
[Egg-2010] Eggert, M.; Loschke, C.; Schumann, M.: Neuer Ansatz verspricht
Effizienzschub – Mittige Palettenzuführung in Hochregallagern; In:
f+h Fördern und Heben 7-8, 2010, S. 264-267.
[Ert-2014a] Ertl, R.; Habenicht, S.; Günthner, W. A.: Energieeffiziente Be-
triebsstrategien für Regalbediengeräte Teil 1/2; In: Hebezeuge
Fördermittel 54, 2014, S. 40-42.
[Ert-2014b] Ertl, R.; Habenicht, S.; Günthner, W. A.: Energieeffiziente Be-
triebsstrategien für Regalbediengeräte Teil 2/2; In: Hebezeuge
Fördermittel 54, 2014, S. 138-140.
[FEM 9851] Fédération Européenne de la Manutention: FEM 9.851 – Leis-
tungsnachweis für Regalbediengeräte – Spielzeiten; 2003.
[FEM-2012] Fédération Européenne de la Manutention: Intralogistic Systems –
Annual Factsheet 2012; URL: http://www.fem-
eur.com/data/File/FEM_factsheet_IS_2012.pdf, Aufruf am
27.05.2014.
[Fur-2011] Furmans, K.; Linsel, P.: Leichtbau bei Unstetigförderern durch
Einsatz moderner Werkstoffe; In: Tagungsband zum 7. Fachkollo-
quium der WGTL e. V., 2011, S. 14-25.
[Gag-2011] Gagliardi, J.-P.; Renaud, J.; Ruiz, A.: Models for automated
storage and retrieval systems: a literature review; In: International
Journal of Production Research 50, 2012, S. 7110-7125.
[Geb-2013] Gebhardt Fördertechnik GmbH: Teamwork unter Konkurrenten;
In: Materialfluss, März 2013, S. 22-23.
[Gla-2008] Glass, M.: Schnellläuferstrategien in Lagern und Dynamische
Zonierung; Dissertation, Technische Universität Dresden, 2008.
[Gra-1977] Graves, S. C.; Hausman, W. H.; Schwarz, L. B.: Storage-retrieval
interleaving in automatic warehousing systems; In: Management
Science 23, 1977, S. 935-945.
Literaturverzeichnis
149
[Gra-1994] Grafe, W.: Gestaltung und Betrieb von Lagersystemen mit hohen
Umschlagleistungen; Verlag Praxiswissen, Dortmund, 1994.
[Gu-2010] Gu, J.; Goetschalckx, M.; McGinnis, L. F.: Research on ware-
house design and performance evaluation: A comprehensive
review; In: European Journal of Operational Research 203, 2010,
S. 539-549
[Gud-1972a] Gudehus, T.: Wohin mit der Kopfstation? In: Materialfluß 4, 1972,
S. 66-68.
[Gud-1972b] Gudehus, T.: Analyse des Schnelläufereffektes in Hochregalla-
gern; In: Fördern und Heben 22, 1972, S. 65-67.
[Gud-1972c] Gudehus, T.:Grundlagen der Spielzeitberechnung für automati-
sche Hochregallager; In: Deutsche Hebe- und Fördertechnik
(Sonderheft) 18, 1972, S. 63-68.
[Gud-1974] Gudehus, T.: Möglichkeiten zur Verbesserung der Leistung von
Regalförderzeugen; In: Fördern und Heben 24, 1974, S. 414-422.
[Gud-2010] Gudehus, T.: Logistik: Grundlagen – Strategien – Anwendungen;
4. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2010.
[Gün-2013] Günthner, W. A.: Erweiterung des Marktes – Prof. Willibald A.
Günthner über die Zukunft der automatischen Kleinteilelager; In:
LOG.Kompass 9, 2013, S. 24.
[Hah-2008] Hahn-Woernle, C.: Die Entwicklung der Lagertechnik – Vom
Materiallager zum vollautomatischen System; In: FM Das Logistik-
Magazin 11, 2008, S. 12-15.
[Hau-1976] Hausman, W. H.; Schwarz, L. B.; Graves, S. C.: Optimal storage
assignment in automatic warehousing systems; In: Management
Science 22, 1976, S. 629-638.
Literaturverzeichnis
150
[Hom-2011] ten Hompel, M.; Heidenblut, V.: Taschenlexikon Logistik – Abkür-
zungen, Definitionen und Erläuterungen der wichtigsten Begriff
aus Materialfluss und Logistik; 3., bearbeitete und erweiterte
Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011.
[Hur-2006] Hur, S.; Nam, J.: Performance analysis of automatic stor-
age/retrieval systems by stochastic modelling; In: International
Journal of Production Research 44, 2006, S. 1613-1626.
[Hwa-1990] Hwang, H.; Lee, S. B.: Travel-time models considering the operat-
ing characteristics of the storage and retrieval machine; In: Inter-
national Journal of Production Research 28, 1990, S. 1779-1789.
[Joh-1996] Johnson, M. E.; Brandeau, M. L.: Stochastic Modeling for Auto-
mated Material Handling System Design and Control; In: Trans-
portation Science 30, 1996, S. 330-350.
[Kay-1988] Kaylan A.; Medeiros, D. J.: Analysis of storage policies for mini-
load AS/RS; In: Engineering Costs and Production Economics 13,
1988, S. 311-318.
[Kne-1978] Knepper, L.: Einsatz und Auslegung von Hochlagersystemen für
Container, dargestellt am Beispiel einer Seehafenumschlaganla-
ge; Dissertation, RWTH Aachen, 1978.
[Kne-1980] Knepper, L.: Leistungsverbesserung in Hochregallagern durch
optimale Anordnung der Ein- und Auslager-Bereitstellplätze; In:
f+h Fördern und Heben 30, 1980, S. 1096-1099.
[Kra-2011] Kraul, R.: Ersatzmodelle für die Leistungsbewertung von automa-
tischen Lagersystemen; Dissertation, Technische Universität
München, 2011.
[Lan-2013] Lantschner, D.; Atz, T.; Günthner, W. A.: Simulation based evalua-
tion of concepts and strategies for automated storage and re-
trieval systems with multiple I/O points; In: 25th European Model-
ing and Simulation Symposium (EMSS 2013), 2013, S. 544-550.
Literaturverzeichnis
151
[Ler-2010] Lerher, T.; Sraml, M.; Potrc, I.; Tollazzi, T.: Travel time models for
double-deep automated storage and retrieval systems; In: Inter-
national Journal of Production Research 48, 2010, S. 3151-3172.
[Lin-1987] Linn, R.; Wysk, R.A.: An analysis of control strategies for an
automated storage/retrieval system; In: INFOR – Information
Systems and Operational Research 25, 1987, S. 66-83.
[Lip-2001] Lippolt, C. R.; Blunck, S.; Arnold, D.: Schnellläuferzonen in Hoch-
regallagern; In: f+h Fördern und Heben 51, 2001, S. 38-40.
[Lip-2003] Lippolt, C. R.: Spielzeiten in Hochregallagern mit doppeltiefer
Lagerung; Dissertation, Universität Karlsruhe (TH), 2003.
[Mak-2008] Mak, K. L.; Lau, P. S. K.: Order Pickings in an AS/RS with Multiple
I/O Stations using an Artificial Immune System with Aging Anti-
bodies; In: Engineering Letters 16:1, 2008.
[Mel-1997] Meller, R. D.; Mungwattana, A.: Multi-shuttle automated stor-
age/retrieval systems; In: IIE Transactions 29, 1997, S. 925-938.
[Par-1999] Park, B. C.: Optimal dwell-point policies for automated stor-
age/retrieval systems with dedicated storage; In: IIE Transactions
31, 1999, S. 1011-1013.
[Pet-1996] Peters B. A.; Smith J. S.; Hale T. S.: Closed form models for
determining the optimal dwell point location in automated storage
and retrieval systems; In: International Journal of Production
Research 34, 1996, S. 1757-1772.
[Pot-2004] Potrc, I.; Lerher, T.; Kramberger, J.; Sraml, M.: Simulation model
of multi-shuttle automated storage and retrieval systems; In:
Journal of Materials Processing Technology 157–158, 2004,
S. 236-244.
[Pre-1979] Prettenthaler, S.: Auswirkungen von Schnelläuferzonen auf die
RFZ-Spielzeiten; In: f+h Fördern und Heben 29, 1979, S. 634-635.
Literaturverzeichnis
152
[Ran-1991] Randhawa, S. U.; McDowell, E. D.; Wang, W.-T.: Evaluation of
scheduling rules for single- and dual-dock automated Stor-
age/Retrieval System; In: Computers & Industrial Engineering 20,
1991, S. 401-410.
[Roo-2008] Roodbergen, K. J.; Vis, I. F. A.: A survey of literature on automat-
ed storage and retrieval systems; In: European Journal of Opera-
tional Research, 194, 2009, S. 343-362.
[Sar-1991] Sarker, B. R., Sabapathy, A; Lal A. M.; Han, M.-H.: Performance
evaluation of a double shuttle automated storage and retrieval
system; In: Production Planning & Control – The Management of
Operations 2, 1991, S. 207-213.
[Sar-1995] Sarker, B. R.; Babu, P. S.: Travel time models in automated
storage/retrieval systems: A critical review; In: International Jour-
nal of Production Economics 40, 1995, S. 173-184.
[Sch-1969] Schaab, W.: Automatisierte Hochregalanlagen – Bemessung und
Wirtschaftlichkeit; Dissertation, Technische Universität Berlin,
VDI-Verlag, Düsseldorf, 1969.
[See-2005] Seemüller, S.: Durchsatzberechnung automatischer Kleinteilelager
im Umfeld des elektronischen Handels; Dissertation, Technische
Universität München, Herbert Utz Verlag, München, 2005.
[Vas-2012] Vasili, M. R.; Tang, S. H.; Vasili, M.: Automated Storage and
Retrieval Systems: A Review on Travel Time Models and Control
Policies; In: Manzini, R. (Hrsg.): Warehousing in the Global Supply
Chain – Advanced Models, Tools and Applications for Storage
Systems, Springer Verlag, London, 2012, S. 159-209.
[VDI 3561] Verein Deutscher Ingenieure: VDI 3561 – Testspiele zum Leis-
tungsvergleich und zur Abnahme von Regalförderzeugen; VDI-
Verlag, Düsseldorf, 1973.
Literaturverzeichnis
153
[VDI 4480-1] Verein Deutscher Ingenieure: VDI 4480 Blatt 1 – Durchsatz von
automatischen Lagern mit gassengebundenen Regalbediensys-
temen; VDI-Verlag, Düsseldorf, 1998.
[VDMA-2013] Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbau (VDMA): Update
Lagertechnik – 22.10.2013; URL: http://foerd.vdma.org/article/-
/articleview/2429566, Aufruf am 27.05.2014.
[Wis-2009] Wisser, J.: Der Prozess Lagern und Kommissionieren im Rahmen
des Distribution Center Reference Model (DCRM), Dissertation,
Universität Karlsruhe (TH), 2009.
[Zsc-1964] Zschau, U.: Technisch-wirtschaftliche Studie über die Anwend-
barkeit von Stapelkranen im Lagerbetrieb; Dissertation, Techni-
sche Universität Berlin, 1964.
155
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1-1: Aufbau der Arbeit 4
Abbildung 2-1: Einzelspiel (links) und Doppelspiel (rechts) 10
Abbildung 2-2: Zusammensetzung der Arbeitsspiele 12
Abbildung 2-3: Vereinfachte Abbildung einer Lagergasse 14
Abbildung 2-4: Trapez- und dreiecksförmiges Geschwindigkeitsprofil 15
Abbildung 2-5: Synchronfahrgerade für unterschiedliche Werte des Regalwandparameters 17
Abbildung 2-6: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche 17
Abbildung 2-7: Transformation der Regalfläche bei w = 1 21
Abbildung 2-8: Vertauschung der Achsen bei w ≥ 1 22
Abbildung 2-9: Getrennte Anordnung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung 23
Abbildung 3-1: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit einem Übergabepunkt 28
Abbildung 3-2: Fahrzeiten bei mittiger Anordnung des Übergabepunktes im Vergleich zu einer Eckpunktanordnung 29
Abbildung 3-3: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung eines Übergabepunktes 29
Abbildung 3-4: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit mehreren Übergabepunkten 30
Abbildung 3-5: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich zur Übergabe im Eckpunkt 31
Abbildung 3-6: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich im Vergleich Übergabe im Eckpunkt bei abweichendem Regalwandparameter w 31
Abbildung 3-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung der Übergabepunkte 32
Abbildung 3-8: Mögliche Anordnungen einer Strecke 34
Abbildung 3-9: Anordnungen einer Strecke am Regalrand 35
Abbildung 3-10: Mittige Anordnung einer Strecke 35
Abbildung 3-11: Anordnungen einer Strecke bis zur Regalmitte 35
Abbildung 3-12: Mögliche Anordnungen von zwei Strecken 36
Abbildung 3-13: Anordnung von zwei Strecken am Regalrand 36
Abbildung 3-14: Anordnungen diagonaler Strecken 37
Abbildungsverzeichnis
156
Abbildung 3-15: Kombinierte Anordnungen von Strecken 37
Abbildung 3-16: Versorgung über Förderstrecke mit Ausschleusstationen (Draufsicht) 38
Abbildung 3-17: Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten ÜP (Draufsicht) 39
Abbildung 3-18: Nicht stationäre, entlang von Schienen verfahrbare Übergabepunkte 40
Abbildung 4-1: Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 43
Abbildung 4-2: Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 44
Abbildung 4-3: Exemplarische Regalfläche mit zwei Übergabepunkten 45
Abbildung 4-4: Horizontale Strecke mit zwei Übergabepunkten 46
Abbildung 4-5: Mittlere horizontale Fahrstrecken zwischen Übergabepunkt und Punkten auf den Teilstrecken 47
Abbildung 4-6: Mittlere horizontale Fahrstrecken von Punkten auf den Teilstrecken zum nächstgelegenen Übergabepunkt 48
Abbildung 4-7: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1 50
Abbildung 4-8: Teilstrecken bei zwei Übergabepunkten 51
Abbildung 4-9: Mittlere Fahrstrecke zwischen zwei Teilstrecken 51
Abbildung 4-10: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1 53
Abbildung 4-11: Mittlere Fahrwege für die betrachteten Strategien 55
Abbildung 4-12: Konzepte mit zwei parallelen Übergabestrecken 56
Abbildung 4-13: Übergabeposition bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes 57
Abbildung 4-14: Beispielhafte Übergabeposition bei Berücksichtigung des nächsten Ziels 57
Abbildung 4-15: Übergabepositionen für beispielhafte Anordnungen von P1 und P2 58
Abbildung 4-16: Beispielhafte Anordnung von Ausgangs- und Zielpunkt 59
Abbildung 4-17: Unterschiedlich gebildete ABC-Zonen 60
Abbildung 5-1: Komponenten Einzel- und Doppelspiel 63
Abbildung 5-2: Betrachtete Regalabmessungen 70
Abbildung 5-3: Regalfachabmessungen 71
Abbildung 5-4: Anordnung der Übergabepunkte 73
Abbildung 5-5: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte 73
Abbildung 5-6: Position der Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte 74
Abbildung 5-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anzahl der Übergabepunkte 74
Abbildungsverzeichnis
157
Abbildung 5-8: Betrachtete Anordnungen der Übergabestrecken 75
Abbildung 5-9: Fahrzeiten in Abhängigkeit der Position der Übergabestrecken 76
Abbildung 5-10: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte 77
Abbildung 5-11: Fahrzeiten in Abhängigkeit der gebildeten Zonen 77
Abbildung 5-12: ABC-Zonen für einen einzelnen Übergabepunkt 78
Abbildung 5-13: Übergabepunkt im Eckpunkt 81
Abbildung 5-14: Horizontal bzw. vertikal verschobener Übergabepunkt 81
Abbildung 5-15: Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt 81
Abbildung 5-16: Lage horizontaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte 82
Abbildung 5-17: Lage vertikaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte 83
Abbildung 5-18: Lage diagonaler Übergabestrecken 83
Abbildung 5-19: Kombinierte vertikale und horizontale Übergabestrecken 83
Abbildung 5-20: Lage verkürzter Übergabestrecken 84
Abbildung 6-1: Spielzeitanteile 91
Abbildung 6-2: Bereiche bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach 97
Abbildung 6-3: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt 98
Abbildung 6-4: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt 99
Abbildung 6-5: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern 102
Abbildung 6-6: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabestrecke und Lagerfächern 103
Abbildung 6-7: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke 104
Abbildung 6-8: Skizze der Betragsfunktion 105
Abbildung 6-9: Urbildmenge für exemplarische Werte von z 106
Abbildung 6-10: Betrachtete Konfigurationen mit möglichen Anordnungen von zwei Übergabepunkten 112
Abbildung 6-11: Skizze der Betragsfunktion 113
Abbildung 6-12: Skizze der Betragsfunktion 117
Abbildung 6-13: Exemplarische Anordnung einer Übergabestrecke 122
Abbildung 6-14: Betrachtete Fahrt von einem Startpunkt über einen Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 125
Abbildung 6-15: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke 126
Abbildungsverzeichnis
158
Abbildung 6-16: Grafische Darstellung der Betragsfunktion 127
Abbildung 6-17: Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte 136
159
Tabellenverzeichnis
Tabelle 4-1: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 50
Tabelle 4-2: Kombinationen der Teilstrecken mit Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken 52
Tabelle 4-3: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 53
Tabelle 4-4: Mittlere Fahrwege für unterschiedliche Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte 54
Tabelle 4-5: Optimale Positionen paralleler Übergabestrecken 56
Tabelle 5-1: Mögliche Kombinationen der ABC-Zonen und Eintrittswahrscheinlichkeiten 68
Tabelle 5-2: Kinematische Daten Regalbediengerät 69
Tabelle 5-3: Zykluszeiten Regalbediengerät 70
Tabelle 5-4: Eigenschaften der Regale 71
Tabelle 5-5: Eigenschaften der ABC-Zonen 71
Tabelle 5-6: Vergleich der Fahrzeiten bei Zonierung mit einem bzw. zwei Übergabepunkten 78
Tabelle 5-7: Zykluszeiten für Einzel- und Doppelspiele 80
Tabelle 5-8: Mittlere Fahrzeiten zwischen Lagerfächern 80
Tabelle 5-9: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 1 (20 x 10 m) 85
Tabelle 5-10: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 2 (28 x 7 m) 87
Tabelle 5-11: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 3 (14 x 14 m) 88
Tabelle 6-1: Anzahl der Lastübergabevorgänge bei Einzel- und Doppelspiel 94
Tabelle 6-2: Vergleich der Bremsbeschleunigungszeiten ohne Gewichtung 100
Tabelle 6-3: Vergleich der Gewichtung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern 101
Tabelle 6-4: Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse für eine kontinuierliche Übergabestrecke 111
Tabelle 6-5: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tLF-ÜP 114
Tabelle 6-6: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tÜP-LF 118
Tabelle 6-7: Ergebnisse für tLF-ÜP bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten 120
Tabellenverzeichnis
160
Tabelle 6-8: Ergebnisse für tÜP-LF bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten 121
Tabelle 6-9: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 122
Tabelle 6-10: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung 124
Tabelle 6-11: Ergebnisse für w ≤ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≥ 1 und eine vertikale Übergabestrecke 134
Tabelle 6-12: Ergebnisse für w ≥ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≤ 1 und eine vertikale Übergabestrecke 135
Tabelle 6-13: Numerische Berechnungsergebnisse für w ≤ 1 und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bzw. w ≥ 1 und zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte 137
Tabelle 6-14: Ergebnisse der Approximation 138
Tabelle 6-15: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 139
Tabelle 6-16: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung 141