statistik-tutorat ss 2009 christina dienstags, 14-16 uhr sr b 12.05.2009
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Statistik-Tutorat SS 2009
Christina
Dienstags, 14-16 UhrSR B
12.05.2009
Multiple Korrelation
Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang mehrere Variablen untereinander. Sie ist die Vorraussetzung für die ………………………...
Inhalt:• Partialkorrelation• Semipartialkorrelation• Multiple Korrelation• Inkrementelle Validität• Beispiele für multiple Korrelationen
Multiple Korrelation - 2
Wdh.: Aufgeklärte Varianz
Multiple Korrelation - 3
Varianz von X Varianz von Y
Gemeinsame Varianz
Venn – Diagramm:Die „gemeinsame“ oder „aufgeklärte“ Varianz entspricht r².
22222 1 yyy srsrs
nicht-erklärbare Varianz
Aufgeklärte Varianz
r² 1-r²
Aufgaben
1) Erarbeitet die Unterschiede der Partial- und der Semipartialkorrelation
2) Was ist inkrementelle Validität?3) Besitzt z i.V.?
4) Wie kann man den Suppressoreffekt belegen?
x y z
x 1 .7 .3
y 1 .3
z 1
Multiple Korrelation - 5
y
x
z 2.zxyr
y.z
x.z
Partialkorrelation rxy.z
)1()1( 221
22
21212.1
xxyx
xxyxyxxyx
rr
rrrr
Multiple Korrelation - 6
Definition:Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang von zwei Variablen, … )1()1( 22.
xzyz
xzyzxyzxy
rr
rrrr
y.z
x.z
2.zxyr
Partialkorrelation rxy.z
… aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde.
Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde
Multiple Korrelation - 7
Definition:- Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit y, nachdem z nur aus y herauspartialisiert wurde.
)1( 2).(
yz
xzyzxyzyx
r
rrrr
Semipartialkorrelation rx(y.z)
xy.z
2).( zyxr
Multiple Korrelation - 8
y
x
z
xy.z
2).( zyxr
Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt.
Semipartialkorrelation rx(y.z)
Multiple Korrelation - 9
Zusammenfassung
Partialkorrelation rxy.zHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus beiden Variablen
Semipartialkorrelation rx(y.z)Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus nur einer Variable
y.zx.z
x y.z
Multiple Korrelation - 10
Definition:Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den
Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium.
(Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium und dem tatsächlichem Kriteriumswert.)
Für zwei Prädiktoren gilt:
221
212122
21
21. 1
2
xx
yxyxxxyxyxxxy r
rrrrrR
Multiple Korrelation Ry.xz
Multiple Korrelation - 11
ryx = rxy
(Einfache Korrelation)
Ry.xz (multiple Korrelation)
y
x
z2xyr
y
x
z2.xzyR
Multiple Korrelation Ry.xz
Multiple Korrelation - 12
R vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit KriteriumR² Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz
= Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression
Multiple Korrelation Ry.xz
Multiple Korrelation - 13
2).(
22. xzyyxxzy rrR
y
x
y
x
zz
y
x
z
= + y
Multiple Korrelation Ry.xz
Multiple Korrelation - 14
yy
x x
z z
… …
y
x
y
x
zz
y
x
z
= + y
Multiple Korrelation: Mehrere Prädiktoren
Multiple Korrelation - 15
Inkrementelle Validität
Definition:Eine Variable besitzt
inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht.
(=die Vorhersage verbessert)
y
x
z
Beleg:- Vergleich der Korrelationen
r
R²y.x1x2 (Berechnung der Multiplen Korrelation) und r²yx1 (Tabelle)
Inkrementelle Validität
Wenn gilt:
R²y.x1x2 > r²yx1
Multiple Korrelation - 17
Spezialfälle für multiple Korrelationen
• Nullkorrelation• Ein Prädiktor korreliert• Inkrementelle Validität• Keine inkrementelle Validität• Suppressor-Effekt
Multiple Korrelation - 18
x1 y
x2
Beispiel: Nullkorrelation
Y X1 X2
Y 1.0 .00 .00
X1 1.0 .00
X2 1.0
R = 0 R² = 0Kein geeigneter PrädiktorKeine inkrementelle Validität
Multiple Korrelation - 19
Beispiel: Ein Prädiktor
Y X1 X2
Y 1.0 .60 .00
X1 1.0 .00
X2 1.0
X1 korreliert mit y;X2 korreliert nicht mit y;Besitzt X2 inkrementelle Validität?
Die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch X1 alleine X2 besitzt keine inkrementelle Validität.
x2x1
y
Multiple Korrelation - 20Multiple Korrelation - 20
Beispiel: Supressor-Effekt
yx1
x2
Beim Suppressor-Effekt gilt:Ein Prädiktor korreliert nicht mit
KriteriumBeide Prädiktoren korrelieren
miteinander Vergleich der MK mit der einfachen
rYX1s. inkrementelle Validität
21,
221. XyXXy rR
Multiple Korrelation - 21Multiple Korrelation - 21
yx1
x2
Suppressor-Effekt
Erklärung:
=> x2 unterdrückt nicht relevante Varianz x
=> durch die Aufnahme von x2 wird Varianz von x1 an x2
gebunden, so dass das Verhältnis
zwischen gemeinsamer Varianz von y und x1
zur ursprünglichen Varianz von x1 ansteigt
Multiple Korrelation: Zusammenfassung
PartialkorrelationHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus allen Prädiktoren.
SemipartialkorrelationHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus einem Prädiktor
Multiple KorrelationVarianzaufklärung mit mehreren PrädiktorenInkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte VarianzSuppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne dass er mit dem Kriterium korreliert.
Multiple Korrelation - 22
Gegeben seien die Korrelationen der in einem Fragebogen erhobenen Variablen x, y und z, wie unten dargestellt. Um welche Determinations-Koeffizienten handelt es sich jeweils bei den grau markierten Flächen?
1. 2.
3. 4.
Skizziere die Korrelationen zwischen den Variablen in Venn-Diagrammen (Kreisdiagrammen) !1)
X Y Z
X 1 0,83 0,67
Y 0,83 1 ,23
Z 0,67 ,23 1
x y z
x 1 -0,61 -0,30
y -0,61 1 0
z -0,30 0 1
2)
Ordne die Tabellen den Venn-Diagrammen zu:
a)
b)
c)
x y z
x 1 0 0
y 0 1 0
z 0 0 1
x y z
x 1 0,8 0
y 0,8 1 0
z 0 0 1
x y z
x 1 0,27 0
y 0,27 1 0
z 0 0 1
1.
2.
3.