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Stochastik und StatistikVorlesung WT 3 Verteilungensmodelle
K.Gerald van den Boogaart
http://www.stat.boogaart.de
Stochastik und Statistik – p.1/123
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Ereignisanzahlen
Stochastik und Statistik – p.2/123
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Urnenmodell (ohne Zurücklegen)
???
Stochastik und Statistik – p.3/123
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Hypergeometrische Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.4/123
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Beispiele für UMoZ
???
Stochastik und Statistik – p.5/123
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Urnenmodell (mit Zurücklegen)
???
Stochastik und Statistik – p.6/123
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Beispiele für UMmZ
???
Stochastik und Statistik – p.7/123
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Binomialer Grenzwert
???
Stochastik und Statistik – p.8/123
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Binomialverteilung
???Bi(n, p) : P (X = i) =
n
ipi(1 − p)n−i
ΩX = 0, 1, . . . , n
Stochastik und Statistik – p.9/123
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Momente der Binomialverteilung
Für X ∼ Bi(n, p) gilt:
E[X] = np
var(X) = np(1 − p)
Stochastik und Statistik – p.10/123
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Schätzung bei der Binomialverteilung
Für Bi(N, p) gilt:Wenn N bekannt ist läßt sich p leicht durch:
p =X
N
schätzen (konsistent, erwartungstreu).Schätzfehler:
var(p) =N
np(1 − p)
Die Schätzung von n ist sehr schwierig.
Stochastik und Statistik – p.11/123
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Drei Wege zuBi(n, p)
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolgebei:
Urnenmodell mit Zurücklegen:
Bi
(
Versuche,Gute Kugeln
AlleKugeln
)
Großes Urnenmodell ohne Zurücklegen:
Bi
(
Versuche,Gute Kugeln
AlleKugeln
)
Unabhängige Versuche:Bi (Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit)
Stochastik und Statistik – p.12/123
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Kleine Chance, viele Versuche
???
Stochastik und Statistik – p.13/123
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Die Poissonverteilung
???
Po(λ) : P (X = i) = e−λλi
i!
ΩX = 0, 1, . . . ,∞
Stochastik und Statistik – p.14/123
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Der Poissonsche Grenzwertsatz
???
Stochastik und Statistik – p.15/123
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Momente der Poissonverteilung
Für X ∼ Po(λ) gilt:
E[X] = λ
var(X) = λ
Stochastik und Statistik – p.16/123
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Schätzung bei der Poissonverteilung
Den Parameter λ der Poissonverteilung kann man sehreinfach schätzen :
λ = X
(konsistent, erwartungstreu)Schätzfehler:
var(λ) =λ
n
Stochastik und Statistik – p.17/123
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Poissonscher Faltungssatz
Eine einfache Regel: Sind X1, . . . , Xn Poissonverteilt(z.B. Xi ∼ Po(λi))so ist es auch ihre Summe:
X1 + . . . + Xn ∼ Po(λ1 + . . . + λn)
Stochastik und Statistik – p.18/123
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Anwendungen
Die Poissonverteilung beschreibt:
die Anzahl der Erfolge bei vielen aussichtsarmenVersuchen:Po (pn)
die Anzahl der Misserfolge bei vielen aussichtsreichenVersuchen:Po ((1 − p)n)
die Anzahl von Anforderungen bei vielen potentiellenAkteurenPo (λ), λ = Durschnittliche Anforderungszahl
Stochastik und Statistik – p.19/123
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Asymptotic für Ereignisanzahlen
Binomial-Grenzwertsatz:Hyp(n,N,M) → Bi
(
n, NM
)
für große N , MN konstant.
Also: Beim Aussuchen aus großen Populationen ist diePopulationsgröße egal, wenn der Anteil bekannt ist.
Stochastik und Statistik – p.20/123
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Asymptotic für Ereignisanzahlen
Binomial-Grenzwertsatz:Hyp(n,N,M) → Bi
(
n, NM
)
für große N , MN konstant.
Also: Beim Aussuchen aus großen Populationen ist diePopulationsgröße egal, wenn der Anteil bekannt ist.
Poisson-Grenzwertsatz:Bi(
n, λn
)
→ Po(λ) für große n.Also: Bei großen Populationen ist die Populationsgrößeegal, solange die mittlere Ereignisanzahl bekannt ist.
Stochastik und Statistik – p.20/123
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Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Stochastik und Statistik – p.21/123
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Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Hypergeometrische: Treffer bei Auswahl ohneZurücklegen.
Stochastik und Statistik – p.21/123
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Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Hypergeometrische: Treffer bei Auswahl ohneZurücklegen.
Poisson: Erfolge bei vielen Versuchen
Stochastik und Statistik – p.21/123
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Versuchsanzahlen bis zum Erfolg
Stochastik und Statistik – p.22/123
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Würfeln bis zum Erfolg
???
Stochastik und Statistik – p.23/123
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Volle Geometrische Verteilung
??? Anzahl der nötigen Versuche
Geo(p) : P (X = i) = (1 − p)i−1p
ΩX = 1, . . . ,∞
E[X] =1
p???, var(X) =???
Stochastik und Statistik – p.24/123
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Reduzierte Geometrische Verteilung
??? Anzahl der nötigen Versuche
Geo′(p) : P (X = i) = (1 − p)ip
ΩX = 0, . . . ,∞
E[X] =1
p− 1???, var(X) =???
Stochastik und Statistik – p.25/123
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Würfeln bis zum k-ten Erfolg
???
Stochastik und Statistik – p.26/123
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Negativ Binomialverteilung
???
NBi(n, p) : P (X = i) =n + i
npn(1 − p)i
ΩX = n, n + 1, . . . ,∞
E[X] =n
p
p =n
X
(konsistent)
Stochastik und Statistik – p.27/123
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Verbindungen zwischen den Verteilungen
Sind X1, . . . , Xn ∼ Geo(p) so gilt:
X1 + . . . + Xn ∼ NBi(n, p)
Sind X1, . . . , Xn, Xi ∼ NBi(ni, p) so gilt:
X1 + . . . + Xn ∼ NBi(n1 + . . . + nn, p)
Stochastik und Statistik – p.28/123
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Versuchsanzahlen
Geo(p): Versuche bis Erfolg
Geo′(p): Fehlversuche bis Erfolg
NBi(n, p): Versuche bis n-Erfolge
Stochastik und Statistik – p.29/123
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Lebensdauerverteilungen
Stochastik und Statistik – p.30/123
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Risikorate
Stochastik und Statistik – p.31/123
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Konzeptionelle Risikoraten
Stochastik und Statistik – p.32/123
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Konstante Risikorate
Stochastik und Statistik – p.33/123
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Exponentialverteilung
Stochastik und Statistik – p.34/123
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Momente
Stochastik und Statistik – p.35/123
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Schätzung der Parameter
Stochastik und Statistik – p.36/123
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Exponential und Geometrisch
Stochastik und Statistik – p.37/123
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Grenzwertsatz der Exponentialverteilung
Stochastik und Statistik – p.38/123
![Page 42: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/42.jpg)
Einfache Risikoraten
Stochastik und Statistik – p.39/123
![Page 43: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/43.jpg)
Weibullverteilung
Stochastik und Statistik – p.40/123
![Page 44: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/44.jpg)
Weibull mit steigendem Risiko
Stochastik und Statistik – p.41/123
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Weibull mit fallendem Risiko
Stochastik und Statistik – p.42/123
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Multiples Warten
Stochastik und Statistik – p.43/123
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Gammaverteilung
Stochastik und Statistik – p.44/123
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Lebensdauer- und Wartezeitmodelle
Exponential: Konstantes Risiko
Weibull: Steigendes oder Fallendes Risiko
Gamma: Mehrfaches warten
Fehlt: die Badewanne
Stochastik und Statistik – p.45/123
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Konzept: Zensorierte Beobachtungen
Stochastik und Statistik – p.46/123
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Poissonprozess
Stochastik und Statistik – p.47/123
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Idee: Unabhängige Ereignisse
Stochastik und Statistik – p.48/123
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Wartezeitverteilung
Stochastik und Statistik – p.49/123
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Mehrfache Warteverteilung
Stochastik und Statistik – p.50/123
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Skalierung der Poissonverteilung
Stochastik und Statistik – p.51/123
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Störungen
Stochastik und Statistik – p.52/123
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Additive Überlagerung
???
Stochastik und Statistik – p.53/123
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Faltung
???
Stochastik und Statistik – p.54/123
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Faltungsformel
???
Stochastik und Statistik – p.55/123
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Die Normalverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.56/123
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Zentraler Grenzwertsatz
???
Stochastik und Statistik – p.57/123
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Messfehler
???
Stochastik und Statistik – p.58/123
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Große Zahlen: Binomial
Stochastik und Statistik – p.59/123
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Große Zahlen: Poisson
Stochastik und Statistik – p.60/123
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Momente
Für X ∼ N(µ, σ2)
E[X] = µ, var(X) = σ2, sd(X) = σ
Stochastik und Statistik – p.61/123
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Schätzung bei Normalverteilung
???
µ = X, var(µ) =1
nσ2
σ2 = ˆvar(X)
Stochastik und Statistik – p.62/123
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Transformationsformel
X1, . . . , Xn, Xi ∼ N(µi, σ2
i ) unabh.
α1X1 + . . . + αnXn ∼ N
(
n∑
i=1
αiµi,∑
i
α2
i σ2
i
)
Bei Abhängigkeit mit cov(Xi, Xj) 6= 0 gilt (falls die Variablengemeinsam normalverteilt sind):
α1X1 + . . . + αnXn ∼ N
n∑
i=1
αiµi,∑
i
∑
j
αiαjcov(Xi, Xj)
Stochastik und Statistik – p.63/123
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Anwendung der Normalverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.64/123
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Irrfahrt
Stochastik und Statistik – p.65/123
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Brownsche Bewegung
???
Stochastik und Statistik – p.66/123
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Skalierung der Varianz
Stochastik und Statistik – p.67/123
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Ausblick: Stochastische Differenzialgleichungen
Stochastik und Statistik – p.68/123
![Page 72: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/72.jpg)
Multiplikative Störung
Stochastik und Statistik – p.69/123
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Das Logarithmus Prinzip
Stochastik und Statistik – p.70/123
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Die Lognormalverteilung
Stochastik und Statistik – p.71/123
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Zusammenfassung Störungen
Normalverteilung: (additive Überlagerung)
Lognormalverteilung: (additive Überlagerung)
Brownsche Bewegung: (Irrfahrten)
Stochastik und Statistik – p.72/123
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Extremwertmodelle
Stochastik und Statistik – p.73/123
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Beispiel: Belastungsgrenze
Stochastik und Statistik – p.74/123
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Verteilung des Maximum
???
Stochastik und Statistik – p.75/123
![Page 79: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/79.jpg)
Extremwerttheorie
???
Stochastik und Statistik – p.76/123
![Page 80: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/80.jpg)
Extremwertverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.77/123
![Page 81: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/81.jpg)
Grenzwertsatz der Extremwerttheorie
???
Stochastik und Statistik – p.78/123
![Page 82: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/82.jpg)
Anziehungsbereiche
Stochastik und Statistik – p.79/123
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Die Verteilungstypen
???
Typ 0: Einpunktverteilung
Typ I: Gumbel-Verteilung
Typ II: Fréchet-Verteilung
Typ III: Reverse Weibull-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.80/123
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Type 0
Stochastik und Statistik – p.81/123
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Type I
Stochastik und Statistik – p.82/123
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Gumbel-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.83/123
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Type II
Stochastik und Statistik – p.84/123
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Fréchet-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.85/123
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Type III
Stochastik und Statistik – p.86/123
![Page 90: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/90.jpg)
Reverse-Weibullverteilung
Stochastik und Statistik – p.87/123
![Page 91: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/91.jpg)
Anziehungsbereiche
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.4
0.8
Type 0
Beschraenkt mit pos. Dichtex
ifels
e(x
< 1
, 1, 0
)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.4
0.8
Type I
Exponentiel abfallendxex
p(−
3 *
x)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
12
34
5
Type II
Abfallend wie 1/x^alphax
1/(0
.2 *
(x
+ 1
)^2)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
1.0
2.0
Type III
Beschraenkt mit 0 Dichtex
ifels
e(x
< 1
.5, (
x −
1.5
)^2,
0)
Stochastik und Statistik – p.88/123
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Schätzung mit dem Block Modell
Stochastik und Statistik – p.89/123
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Das Block-Modell
???
Stochastik und Statistik – p.90/123
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Skalierung der Fréchet-Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.91/123
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Das POT Modelle
Stochastik und Statistik – p.92/123
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Stichproben im POT-Modell
???
Stochastik und Statistik – p.93/123
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Generalisierte Paretoverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.94/123
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Anpassung
???
Stochastik und Statistik – p.95/123
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Minimal sind negative Maxima
Stochastik und Statistik – p.96/123
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Minimalwertstatistiken
Stochastik und Statistik – p.97/123
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Beispiel: Bruchspannungsverteilung
Stochastik und Statistik – p.98/123
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Anwendung der Weibullverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.99/123
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Skalierung der Fréchet-Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.100/123
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Das Problem der Extrapolation
Stochastik und Statistik – p.101/123
![Page 105: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/105.jpg)
Fraktale Modelle
Stochastik und Statistik – p.102/123
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Die Paretoverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.103/123
![Page 107: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/107.jpg)
Das Powerlaw
???
Stochastik und Statistik – p.104/123
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Übersicht
Stochastik und Statistik – p.105/123
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Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?Ereignis Anzahlen: Binomial, Hypergeometrisch,PoissonVersuchsanzahlen: Geometrisch, Negativ BinomialLebensdauern: Exponentiell, Gamma, WeibullStorungen: Normal, LognormalExtremalwerte: Weibull, Gumbel, Fréchet
Stochastik und Statistik – p.106/123
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Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?z.B. Binomial ⇔ n unabhängige Möglichkeitenz.B. Poisson ⇔ viele unabhängige Möglichkeitenz.B. Weibull ⇐ alternde Maschinez.B. Fréchet ⇐ überfließender Damm
Stochastik und Statistik – p.106/123
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Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?
Wie schätzt man die Parameter?Formeln, Schätzfehler, Vertrauensbereich,...
Stochastik und Statistik – p.106/123
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Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?
Wie schätzt man die Parameter?
Wie kann man mit den Modellen weiterrechnen?Rechengesetze, Zusammenhänge, Fehlerrechnung,...
Stochastik und Statistik – p.106/123
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Stochastik und Statistik – p.107/123
![Page 114: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/114.jpg)
Konfidenzintervalle
Stochastik und Statistik – p.108/123
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Konzept des Konfidenzintervalls
Stochastik und Statistik – p.109/123
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Anwendung für die Zuverlässigkeit
Stochastik und Statistik – p.110/123
![Page 117: Stochastik und Statistik - Boogaart · Stochastik und Statistik – p.19/123. Asymptotic für Ereignisanzahlen Binomial-Grenzwertsatz: Hyp(n,N,M) → Bi n, N M für große N, M N](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022060610/606138ff3f3ced456a00a049/html5/thumbnails/117.jpg)
Normalverteilungs CIs
Stochastik und Statistik – p.111/123
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Tschebyscheff CIs
Stochastik und Statistik – p.112/123
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Transformierte CIs
Stochastik und Statistik – p.113/123
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Fehlerrechnung
Stochastik und Statistik – p.114/123
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Beispiel: Gesamtbedarf
???
Stochastik und Statistik – p.115/123
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Lineare Fehlergesetze
???
Stochastik und Statistik – p.116/123
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Rechnen am Beispiel
???
Stochastik und Statistik – p.117/123
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Beispiel: Volumen
???
Stochastik und Statistik – p.118/123
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Linearisierung
???
Stochastik und Statistik – p.119/123
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Linearisierte Fehlergesetzte
???
Stochastik und Statistik – p.120/123
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Beispiel Volumen
???
Stochastik und Statistik – p.121/123
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Modellauswahl
Stochastik und Statistik – p.122/123
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Wie entsteht der Zufall?
Überlagerung kleiner Störungen
Anzahlen
Stochastik und Statistik – p.123/123