synchroneerfassungvon photonendetektionen anentferntenorten · 2005. 6. 30. ·...

Synchrone Erfassung vonPhotonendetektionenan entfernten Orten

Diplomarbeit

von

Thomas Daniel Jennewein

im

Oktober 1997

zur Erlangung desGrades eines Magistersin Naturwissenschaften

Durchgeführt amInstitut für Experimentalphysik,

Gruppe Quantenoptik und Grundlagen der Physik,o. Univ. Prof. Dr. Anton Zeilinger,

Universität Innsbruck.

Diese Arbeit wurde durch den FWF im Rahmen desSchwerpunktes Quantenoptik Projekt S6502 unterstützt.

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 5

2 Das EPR Problem 62.1 Die Argumentation von Einstein, Podolsky und Rosen . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Die Spins zweier Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Der Spinverschränkte Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Das Bellsche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Die Bellschen Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Varianten der Bellschen Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 LHV kontra QM - naiv betrachtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 Ein simples klassisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Die quantenmechanische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Korrelationsmessung an verschränkten Photonen . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Unterschied QM - LHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Ein Bell-Experiment mit unabhängigen Beobachtern 173.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Experiment von Aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Raumzeit-Trennung der Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Aufbau des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Die Teilchenquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Photodetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6 Wie oft muß geschaltet werden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6.1 Zufallsgenerator und Polarisationsanalysator . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Datenregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.1 Effizienzen und Zählraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7.2 Zu registrierende Detektionsereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.3 Zufällige Koinzidenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.4 Anforderungen an die Registriereinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.8 Zusammenfassung - Forderungskatalog an die Komponenten . . . . . . . . . . 26

4 Avalanche Photodiode als Single Photon Detektor 274.1 Die Avalanche Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Funktionsprinzip der APD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Gängige APD-Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Die Photonen-Detektionseffizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.4 Nichtideale Eigenschaften der APD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Passives Quenching - einfach und sicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1 Idee und Schaltung des PQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Funktionsanalyse der PQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Verringerung der Totzeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Kabel-Quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Vorgang des Kabel-Quenchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

Inhaltsverzeichnis

4.4.2 Bedingung für das Kabel-Quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.3 Realisierung und Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.4 Aufbau einer Leitung mit hoher Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.5 Beobachtung von Kabel-Quenchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.6 Zusammenfassung: Kabel-Quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 APD mit speziellen Stromversorgungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5.1 Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5.2 Negativer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.3 Zusammenfassung - APD mit speziellen Stromversorgungen . . . . . . 51

5 Polarisationsanalysatoren 525.1 Realisation des Analysators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1 Akustooptische Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.2 Integrierte optische Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.3 Pockelszellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Technische Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.1 Daten des Modulators 4104 (New Focus) . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.2 Die Suche nach einem Pulstreiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3 Komplettlösung Pockelszelle + Treiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Datenregistrierung 566.1 Realisierungsmöglichkeiten der Registriereinheiten . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.1 Prädigitale Ideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.2 Elektronische Umsetzung der Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 Time Interval Analyzer GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.1 Funktionsweise der GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.2 Nichtideale Eigenschaften der GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.3 Bedienung und Verwendung der GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Zeit und Gleichzeitigkeit 667.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Historische Entwicklung der Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Messung der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3.1 Definition der Sekunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.2 Stabilität eines Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.3 Hochpräzise Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4 Die Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.4.1 Relativistische Korrekturen auf der Erdoberfläche . . . . . . . . . . . 757.4.2 Gleichzeitigkeit in der Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.5 Globale Zeitsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.5.1 Administration der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.5.2 TAI und UTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.6 Synchronisation im Bell-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.6.1 Stabilitätsanforderungen an die Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . 827.6.2 Synchronisationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.6.3 Zeittransfer via GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Inhaltsverzeichnis

8 Messungen zur synchronen Datenerfasssung 878.1 Zeitliche Auflösung der GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2 Messung der Ext-Clock-Funktion der GTI 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3 Zeitliche Auflösung korrelierter Detektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.4 Synchronisation via Glasfaserkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.5 Zeitstabilitätsmessung einiger Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.5.1 Messung am TCXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5.2 Messung am OCXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.5.3 Messung am Rubidiumoszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9 Zusammenfassung 97

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1 Einführung

Als ich im Oktober 1995 am Institut für Experimentalphysik mit meiner Diplomarbeit anfing,war mein eigentliches Betätigungsfeld nicht klar abgesteckt. Was bereits feststand war jedochdas Ziel, ein Bellexperiment an korrelierten Photonen aufzubauen, wobei die zwei Photonenin Glaserfaserleitungen über eine große Strecke in entgegengesetzten Richtungen transpor-tiert werden sollen, damit die Polarisationsanalyse und Detektion der beiden Photonen ineinem großen räumlichen Abstand zueinander von etwa 1 km geschieht. Der Schlüsselpunktdabei ist, daß die Polarisationsanalysatoren sehr schnell und unabhängig voneinander (d.h.zufällig) variiert werden, sodaß eine Information über die Stellung eines Polarisationsana-lysators beim jeweils anderen Analysator bereits völlig veraltet ist und keine Rückschlüsseüber die inzwischen neu eingenommene Stellung des anderen Polarisationsanalysators zuläßt.Dadurch erhofft man sich Hinweise auf die Anwendbarkeit oder Richtigkeit bestimmter Theo-rien.

Die Idee des Experiments ist recht einsichtig, und die Realisierung erscheint zunächstnicht sehr schwer. Jedoch stellt sich heraus, daß fast alle wichtigen technischen Elementedes Experiments bis an die Grenzen der heutigen Technologie reichen.

Zusammen, das sind Gregor Weihs, der dieses Projekt als seine Doktorarbeit ausführt,Ulrich Achleitner, welcher über die Zufälligkeit und Statistik von verschiedenen Prozessenseine Diplomarbeit geschrieben hat, und meiner selbst, haben wir nun fast zwei Jahre an dertechnischen Umsetzung dieses Experiments getüfftelt, und die Zeit entweder mit dem Suchennach Herstellern geeigneter Komponenten oder mit der Konzeption von Eigenentwicklungenzugebracht.

In dieser Diplomarbeit möchte ich einen Teil der Ausarbeitung unseres Experimentesbeschreiben. Zuerst sollen die Eigenschaften des verwendeten korrelierten Photonenpaaresund die Bellsche Ungleichung beschrieben werden, darauf folgend eine Beschreibung unseresExperiments und der zur Realisation notwendigen Komponenten. Anschließend werde icheinige technische Komponenten in Funktion und Einsatz beschreiben, wie die Photonende-tektoren, die schnell variierbaren Polarisationsanalysatoren, die Registrierelektronik, sowiedie zum Einsatz kommenden Zeitbasen in den Registiereinheiten und das dabei verwendeteSynchronisationsschema.

Allgemein möchte ich zu meiner Diplomarbeit sagen, daß ich nicht vorhatte, diese solange zu gestalten. Dabei hätte ich noch einige weitere Dinge beschreiben wollen, aber dannwäre noch viele Seiten dazugekommen. Jedenfalls hoffe ich, daß die jeweiligen Ausführungenauch von allgemeinen Nutzen sind.

Thomas Jennewein,Innsbruck, den 1. Februar 2001

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2 Das EPR Problem

In ihrer Veröffentlichung im Jahre 1935 [1] versuchen Einstein, Podolsky, und Rosen (EPR)anhand einiger Überlegungen zu zeigen, daß die Quantentheorie keine vollständige Theorieist, da diese schon bei einem relativ einfachen Beispiel scheinbar in Schwierigkeiten gebrachtwird.

2.1 Die Argumentation von Einstein, Podolsky und Rosen

EPR zeigen dies an einem System zweier Teilchen, die nach einer bestimmten Wechselwirkungvöllig unabhängig voneinander geworden sind. Es wird nun angenommen, die Ortskoordi-naten x1 und x2 der Teilchen hätten den Abstand L und die Impulse p1 und p2 seien inSumme Null, sodaß für dieses Zweiteilchensystem eine quantenmechanische Wellenfunktionder Form1

Ψ = δ(x1 − x2 − L)δ(p1 + p2) (2.1)

angeschrieben werden kann, wobei δ eine beliebig schmale und hohe, normierbare Funktionsei.

Hier zeigt sich aber laut Quantentheorie, daß die Messung an einem der Teilchen denKollaps der Gesamtwellenfunktion herbeiführt und damit die Eigenschaften des zweiten Teil-chens beeinflußt. Dabei muß jedoch keinerlei Wechselwirkung in den Formalismus mitein-bezogen werden, sondern nur die Gesamtwellenfunktion der zwei Teilchen in obiger Formangeschrieben werden (Verschränkung).

EPR führen nun eine Definition eines ‘Elementes der Realität’ ein: ”If, without in any waydisturbing a system, we can predict with certainty . . . the value of a physical quantity, thenthere exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity.“ D.h. wennder Wert einer physikalischen Größe mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden kann, dannexistiert zu dieser physikalischen Größe ein entsprechendes ‘Element physikalischer Realität’.

In dem Zweiteilchensystem das sich im Zustand Ψ befindet, kann also vorerst nichtsüber die jeweiligen Orts- und Impulskoordinaten der Teilchen ausgesagt werden. Wird aberz.B. x1 gemessen, so kann mit 100%-iger Sicherheit x2 vorhergesagt werden, ohne auch nurirgendwie das 2. Teilchen beeinflußt zu haben. Hier argumentieren EPR wie folgt: ”since atthe time of measurement the two systems no longer interact, no real change can take placein the second system in consequence of anything that may be done to the first system.“ Ausdiesem Grunde entspricht x2 nach obiger Definition einem ‘Element der Realität’.

Andererseits, wenn statt der Messung von x1 eine Messung bezüglich p1 an Teilchen 1vorgenommen wird, so kann wiederum p2 mit 100%-iger Sicherheit vorhergesagt werden,ohne das 2. Teilchen zu beeinflussen. Deshalb ist in gleicher Schlußweise wie vorhin, auchp2 ein ‘Element der Realität’ zuzuordnen.

Jedoch verbietet es die Quantenmechanik, den Teilchenkoordinaten x2 und p2 gleichzeitigpräzise Werte zu geben, da deren Operatoren nicht kommutieren (einer Unschärfe unterlie-gen). Laut Quantenmechanik darf jeweils nur einer dieser Koordinaten scharf definiert sein.Aus diesem Grunde sind EPR ”forced to conclude, that the quantum mechanical description

1Hier ist die Gesamtwellenfunktion aus [2, p 148] dargestellt. In der Originalfassung ihrer Argumentation [1]wählen Einstein, Podolsky und Rosen eine andere Formulierung dieser Wellenfunktion.

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2 Das EPR Problem

of physical reality given by wave functions is not complete.“, wobei offengelassen wird, obeine ‘complete description’ der Natur existiert oder nicht.

Wird hingegen definiert, daß zwei oder mehrere physikalische Größen nur dann zugleichals Element der Realität gelten, wenn diese zugleich meßbar sind, so ist der Schluß, daßdie Quantenmechanik unvollständig ist, nicht mehr gegeben. Laut EPR, steht jedoch dieKonsequenz aus obiger Definition, daß die ‘Realität’ von x2 oder p2 erst von der Art derMessung an Teilchen 1 bestimmt wird, mit keinem intuitiven Realitätsbegriff im Einklang.

2.1.1 Die Spins zweier Teilchen

Das EPR Argument läßt sich auch mit den Spins eines Zweiteilchensystems ausdrücken, waserstmals von D. Bohm in [3, p 614] beschrieben wird. Der Zweiteilchenzustand der Form

Ψ− =1√2[ |u+〉1 ⊗ |u−〉2 − |u−〉1 ⊗ |u+〉2 ], (2.2)

sei die quantenmechanische Beschreibung zweier Spin-12 Teilchen. Dabei seien |u±〉1 und|u±〉2 die Eigenfunktionen der zwei Teilchen bezüglich σz, der Spinmessung in z-Richtung.Ψ− kann nicht vorgeben wie die Einzelspins der zwei Teilchen bei einer Messung sein werden,jedoch kann nach der Messung an dem 1. Teilchen bezüglich σz, mit absoluter Sicherheitdas Ergebnis einer σz-Messung am 2. Teilchen vorhergesagt werden. Damit entspricht die z-Komponente des Spins des 2. Teilchens, analog der Argumentation von EPR, einem ‘Elementder Realität’.

Durch die Substitutionen |u+〉1,2 = 1/√2(|v+〉1,2+ |v−〉1,2) und |u−〉1,2 = 1/

√2(|v+〉1,2−

|v−〉1,2), wobei |v±〉1 und |v±〉2 die Eigenfunktionen der beiden Teilchen bei einer Spinmes-sung σx in x-Richtung seien, erhält man als Gesamtwellenfunktion:

Ψ− =1√2[ |v+〉1 ⊗ |v−〉2 − |v−〉1 ⊗ |v+〉2 ]. (2.3)

Diese Form zeigt, daß bei der Messung bezüglich σx am ersten Teilchen der Spin des zweitenTeilchens in x-Richtung vorhersagbar wird und dieser wiederum einem ‘Element der Realität’entspricht. (Auf Seite 13 werden die Transformationseigenschaften von Ψ− noch erläutert.)

Die gleiche Überlegung funktioniert auch für die dritte Spinkomponente σy, sodaß nachder EPR-Definition der Realität, alle drei Spinkomponten der Teilchen ”real“ sein müßten.Hingegen besagt die Quantentheorie, daß immer nur eine der Spinkomponenten einen schar-fen Wert haben darf.

2.1.2 Der Spinverschränkte Zustand

Wellenfunktionen der in Gleichung 2.2 dargestellten Form werden als spinverschränkte Zuständebezeichnet, und haben allgemeiner angeschrieben die Form:

Ψ− =1√2[ |�n+〉1 ⊗ |�n−〉2 − |�n−〉1 ⊗ |�n+〉2 ]. (2.4)

Für |�n+〉1 gilt, daß bei einer Spinmessung bezüglich der Richtung �n mit einem Analysator,z.B. vom Stern-Gerlach Typ, der Spin + erhalten wird ( σ�n|�n±〉 = ±|�n±〉 ).

Dieser verschränkte Zustand hat vier wichtige Eigenschaften [4, p 13]:

1. Der Zustand ist nicht faktorisierbar.

2. Der Erwartungswert des Spins eines Teilchens ist Null.

3. Der Zustand ist rotationsinvariant.

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2 Das EPR Problem

4. Die Spins der beiden Teilchen sind in jeder Analyserichtung antikorreliert, d.h. dieSpinmessung an Teilchen 1 und Teilchen 2 in Richtung �n ergeben genau entgegenge-setzte Ergebnisse.

Für die Beweise und Bedeutung dieser Aussagen sei auf [4, 5] verwiesen. Eine Konsequenzdieser Eigenschaften ist, daß wenn σ�n der Spinoperator in Richtung �n sei, so hat der Operatorfür eine Korrelationsmessung die Form σ1�n1 ⊗ σ2�n2 und der Erwartungswert der Korrelati-onsmessung ergibt sich zu:

EQM (�n1, �n2) = 〈Ψ−σ1�n1 ⊗ σ2�n2Ψ−〉 = −�n1 · �n2, (2.5)

welcher nur mehr vom Differenzwinkel zwischen �n1 und �n2 abhängt, und deshalb perfekteAntikorrelation für parallele �n1 und �n2 zeigt.

Ganz allgemein können Zustände obiger Form nicht nur mit Spins realisiert werden,sondern mit allen Zweiniveausystemen, wie z.B. der Polarisation von Photonen (horizontal– vertikal).

J.S. Bell hat, wie gleich folgen wird, für diesen Zustand Ψ− gezeigt, daß eine ganze Klassevon Theorien mit lokalen, verborgenen Variablen nicht geeignet sind, das quantenmechani-sche Verhalten von EQM (�n1, �n2) dieses Systems komplett wiederzugeben.

2.2 Das Bellsche Theorem

Die lokalen verborgenen Variablen, (von jetzt an als LHV bezeichnet, für Local HiddenVariables) wurden erfunden, um das quantenmechanische Verhalten deterministisch zu be-schreiben. Dabei werden die LHV als tieferliegende Größen betrachtet welche uns in keinerWeise zugänglich sind, also weder meßbar noch beeinflußbar sind. Die Quantenmechnik istim Rahmen der LHV-Theorien wie eine Mittelung über viele Zustände solcher verborgenenSystemvariablen zu betrachten, in Analogie zu den Prinzipien der Thermodynamik.2

Für die in Abschnitt 2.1.2 beschriebene Zustandsfunktion hat J.S. Bell mit einfachenArgumenten gezeigt [6], daß es prinzipiell nicht möglich ist, mittels LHV Theorien die Re-sultate der Quantenmechanik komplett nachzubilden. Stets bleibt eine Diskrepanz zwischenden Ergebnissen der Quantenmechanik bzw. den LHV Theorien aufrecht, welche in denBellschen Ungleichungen zur Geltung kommt.

2.2.1 Die Bellschen Ungleichungen

Die theoretischen Hintergründe zur Herleitung der Bellschen Ungleichungen lassen sich in[6, 8] gut verfolgen.

Ich möchte hier nur die Herleitung einer Art der Bellschen Ungleichung kurz darstellen.Für detailierte Ausführungen sowie die Ableitung anderer, vor allem praktikablerer Versionendieser Ungleichungen, sei auf die oben genannte Literatur verwiesen.

Wir gehen von einem Zweiteilchensystem aus, welches sich in dem vorhin beschriebenenverschränkten Spinzustand befindet, und betrachten den quantenmechanischen Erwartungs-wert bezüglich einer Korrelationsmessung am Ensemble:

EQM (�a,�b) = 〈σ1�a⊗ σ2�b〉 = −�a ·�b = − cosφ, (2.6)

wobei �a und �b Einheitsvektoren sind und die Ausrichtung der beiden Spinanalysatoren de-finieren (oben als �n1 und �n2 bezeichnet), σ1,2 die Spinoperatoren bezüglich den Spins derbeiden Teilchen, und φ der Differenzwinkel zwischen �a und �b ist. Für den Fall parallelausgerichteter Analysatoren (�a = �b) erhalten wir

EQM (�a,�a) = −1, (2.7)2Auf Seite 12ff wird ein einfaches LHV Modell erstellt und mit den Aussagen der QM verglichen.

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2 Das EPR Problem

was unabhängig von dem Absolutwert von �a ist. (Die Spins der zwei Teilchen sind perfektantikorreliert.)

Nun versuchen wir dieses Verhalten mit lokalen, verborgenen Variablen nachzubilden.Dazu nehmen wir an, das Meßergebnis A der Spinmessung σ1�a an Teilchen 1 (A = 1 fürSpin=‘+’ und A = −1 für Spin=‘–’) sei abhängig von der Stellung des Analysators �a sowie λ,einer beiden Teilchen gleichermaßen auferlegten, verborgenem Paramtersatz (beliebiger Satzvon Variablen oder Funktionen). Dasselbe gelte für das Meßergebnis B des zweiten Teilchens.Wichtig ist, daß die Meßergebnisse A und B nur von ihrem jeweiligen Parameter �a bzw. �bund λ abhängen. Anders gesagt soll die Messung an Teilchen 1 (A(�a, λ)) keinerlei Einfluß aufdie Messung an Teilchen 2 (B(�b, λ)) haben und umgekehrt. Die zwei Meßergebnisse habenalso die Form:

A(�a, λ) = ±1, B(�b, λ) = ±1, (2.8)was zugleich die Lokalität der Messergebnisse darstellt.

Wenn nun ρ(λ) die Wahrscheinlichkeitsdichte von λ sei, so gilt für den Erwartungswertdes Produktes von A(�a, λ) und B(�b, λ)

E(�a,�b) =∫dλρ(λ)A(�a, λ)B(�b, λ). (2.9)

Da ρ(λ) normiert ist ∫dλρ(λ) = 1 (2.10)

und aufgrund der Eigenschaften 2.8 kann das Produkt von A undB im Integral von Gleichung2.9 nicht kleiner als −1 werden, und wird nur −1 für �a = �b, sodaß gilt

A(�a, λ) = −B(�a, λ), (2.11)

womit der Erwartungswert 2.9 umgeschrieben werden kann zu

E(�a,�b) = −∫dλρ(λ)A(�a, λ)A(�b, λ). (2.12)

Nun führen wir einen weiteren Erwartungswert ein, welcher von �a und einem drittenParameter �c abhängt, und betrachten die Differenz

E(�a,�b)− E(�a,�c) =∫dλρ(λ)[A(�a, λ)A(�b, λ)−A(�a, λ)A(�c, λ)]

=∫dλρ(λ)A(�a, λ)A(�b, λ)[1 −A(�b, λ)A(�c, λ)], (2.13)

wobei in der zweiten Zeile A(�a, λ)2 = 1 angenommen wurde. Da A(�a, λ) = ±1 ist, schreibenwir obigen Ausdruck um:

|E(�a,�b)− E(�a,�c)| ≤∫dλρ(λ)[1 −A(�b, λ)A(�c, λ)], (2.14)

und mithilfe von Gleichungen 2.10 und 2.12 erhalten wir die Ungleichung:

|E(�a,�b)− E(�a,�c)| ≤ 1 + E(�b,�c). (2.15)

Diese Ungleichung ist die Erste einer ganzen Gruppe von Bellschen Ungleichungen, undbeschreibt einen Zusammenhang, dem alle auf LHV Modellen (klassische Konzepte) basie-renden Erwartungswerte unterliegen.

Der quantenmechanische Erwartungswert aus Gleichung 2.7 kann aber diese Unglei-chung 2.15 verletzen. Wir lassen dazu �a mit �c einen Winkel von 2π/3 und �b jeweils mit�a und �c einen Winkel von π/3 einschließen, und erhalten:

EQM (�a,�b) = EQM (�b,�c) =12, EQM(�a,�c) = −

12, (2.16)

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2 Das EPR Problem

woraus sich ergibt, daß

|EQM (�a,�b)− EQM (�a,�c)| = 1, 1 + EQM(�b,�c) =12, (2.17)

womit die Ungleichung 2.15 deutlich verletzt wird, da 1 ≤ 12 einen Wiederspruch darstellt.Somit konnte gezeigt werden, daß keine Theorie basierend auf lokalen, verborgenen Va-

riablen (LHV), welche die in Ausdruck 2.7 geforderte perfekte Antikorrelation der Teilchenmodelliert, und mit der Lokalitätsbedingung von Gleichung 2.8 kompatibel ist, alle möglichenErwartungswerte der Quantenmechanik korrekt nachzubilden vermag.

2.2.2 Varianten der Bellschen Ungleichungen

Die oben dargestellte Bellsche Ungleichung 2.15 ist in dieser Form nicht experimentell über-prüfbar, da ideale Spin-Analysatoren und Detektoren angenommen wurden. Bei nicht-idealen (=realen) Bedingungen müssen andere Formulierungen der Bellschen Ungleichunggefunden werden.

Insbesondere müssen die in einem Experiment zum Tragen kommenden Nichtidealitäten,wie z.B. die Detektoren und die Polarisatoreffizienzen, oder auch etwa die “Reinheit“ desAnfangszustandes, beachtet werden, siehe [8]. Damit kann abgeschätzt werden, ob bei einemExperiment tatsächlich eine Verletzung einer Bellschen Ungleichung erzielt werden kann.

Abbildung 2.1: Experimentelle Konfiguration zur Überprüfung der CHSH und CH Unglei-chung. Eine Quelle erzeugt ein polarisationsverschränktes Photonenpaar,und entsendet die Photonen in entgegengesetzte Richtungen zu Meßappara-ten, bestehend aus einem Analysator auf der Stellung a bzw. b und einemDetektor. Die Parameter a und b sind die Winkel zwischen der Analysa-torachse und einer Bezugsrichtung. (Graph entnommen aus [8].)

Ein Bell-Experiment mit der Spinverschränkung zweier Teilchen3 könnte typischerwei-se der Darstellung in Abbildung 2.1 entsprechen. Dabei werden in einer geeigneten QuellePhotonenpaare erzeugt, die sich in einem polarisationsverschränkten Zustand befinden. Diebeiden Photonen breiten sich in verschiedenen Richtungen aus und werden von absorptivenPolarisatoren analysiert, welche auf die Winkel a bzw. b gestellt sind. Schließlich werdenjene Photonen, die passieren konnten von Photonendetektoren registriert. Die aus dem Ex-periment gewonnen Koinzidenz- und Einzelzählraten der Detektoren können letztlich in eineder Bell-Ungleichungen eingesetzt werden, um den Vergleich zwischen der Quantenmechanikund den LHV Theorien durchzuführen.

Die CHSH-Ungleichung

In der Herleitung von Clauser, Horne, Shimony und Holt (CHSH) und gleichfalls von Bellwurden eine generalisierte Lokalitätsbedingung angenommen, und gewisse Anforderungen

3Es können auch Zustände eines Zweiteilchensystems betrachtet werden, wo etwa Impuls- oder Energie-Zeitverschränkung vorliegt.

10

eps/epr.eps

2 Das EPR Problem

an die Detektoren gesetzt, sowie das Setup in Abbildung 2.1 angenommen. Daraus erhältman folgende Ungleichung [8]:

|E(a, b) − E(a′, b) + E(a, b′) + E(a′, b′)| ≤ 2, (2.18)

wobei a und b die Winkel der Polarisatoren sind. In diese Ungleichung kann auch derquantenmechanische Erwartungswert der Form EQM (a, b) = k �a ·�b eingesetzt werden, wobeik die Unperfektheit der Analysatoren, Detektoren und der Zustandspräperation beinhaltet.

Insbesondere kann E(a, b) durch eine experimentell sehr gut zugängliche Form ausge-drückt werden: (beschrieben in [4, p 35, p 223])

E(�a,�b) =C(a, b) + C(a⊥, b⊥)− C(a, b⊥)− C(a⊥, b)C(a, b) + C(a⊥, b⊥) + C(a, b⊥) + C(a⊥, b)

, (2.19)

wobei C(·, ·) die gemessenen Koinzidenzraten der Detektoren hinter den beiden Polarisatorensind, a und b die Stellungen der beiden Polarisationsanalysatoren und a⊥, b⊥ die jeweils 90◦

darauf stehenden Positionen sind.Der große Vorteil dieser Definition von E(a, b) liegt darin, daß die Ineffizienzen der De-

tektoren und der Polarisationsanalysatoren sich herauskürzen.Ein möglicher Parametersatz zur experimentellen Verletzung der Ungleichung 2.18 könnte

aus folgenden Werten bestehen:

Parameter: Wert: Wert⊥:a −22.5◦ +67.5◦b −45◦ +45◦a′ +22.5◦ +112.5◦

b′ −0◦ +90◦

Beispielsweise ist in [9] mit obigem Formalismus und bei Verwendung dieser Parame-ter eine Verletzung der CHSH-Ungleichung für polarisationsverschränkte Photonen gezeigtworden.

Die CH Ungleichung

Ebenfalls unter der Annahme des experimentellen Schemas von Abbildung 2.1 wird vonClauser und Horne [8, 10] eine weitere Ungleichung hergeleitet, welche folgende Form hat:

− 1 ≤ p12(a, b) − p12(a, b′) + p12(a′, b) + p12(a′, b′)− p1(a′)− p2(b) ≤ 0 (2.20)

wobei p12(·, ·) die Wahrscheinlichkeiten von koinzidenten Detektionen und p1(·) und p2(·)die Wahrscheinlichkeiten für Einzeldetektionen hinter den jeweiligen Polarisatoren sind. Hierkönnen in die pij und die pi auch die systematisch bedingten Ineffizienzen einbezogen werden,um deren Einfluß abzuschätzen [10].

Die Terme in der CH-Ungleichung können auch in Form von Koinzidenzraten der Detek-toren ausgedrückt werden [4, p 32]:

− C0 ≤ C(a, b)− C(a, b′) + C(a′, b) + C(a′, b′)− C(a′,∞)− C(∞, b) ≤ 0 (2.21)

wobei C0 die Koinzidenzrate ohne die Polarisatoren ist, C(∞, ·) die Koinzidenzraten miteinem der Polarisatoren, der herausgenommene Polarisator wird mit ∞ notiert, und C(·, ·)die Koinzidenzrate hinter beiden Polarisatoren ist.

Durch Symmetrieüberlegungen und der Verwendung von Zählraten kann aus Gleichung 2.20auch die sehr einfache Ungleichung erhalten werden:

3C(φ)− C(3φ)r1 + r2

≤ 1, (2.22)

11

2 Das EPR Problem

wobei C(φ) die Koinzidenzzählrate und r1 und r2 die Einzelzählraten der beiden Detektorenhinter den Analysatoren darstellen, und φ = |a− b| der Differenzwinkel zwischen den beidenAnalysatorstellungen ist.

Die Freedman Ungleichung

Freedman [8] zeigte, daß für experimentelle Anwendungen eine sehr einfache Ungleichunghergeleitet werden kann, nämlich

|C(π/8) − C(3π/8)|C0

≤ 14, (2.23)

wobei C(ϕ) die Koinzidenzraten der Detektoren mit und C0 die Koinzidenzrate der Detekto-ren ohne die Analysatoren darstellen, und ϕ = a−b der Differenzwinkel zwischen den beidenAnalysatoren ist.

2.3 LHV kontra QM - naiv betrachtet

Ich möchte versuchen, am Beispiel des spinverschränkten Zustandes der Form

Ψ− =1√2[ |H〉1|V 〉2 − |V 〉1|H〉2 ] (2.24)

welcher schon in Abschnitt 2.1.2 dargestellt wurde, die Unterschiede der Erwartungswerteaufzeigen, die von einem (sehr einfachen) LHV Modell und der Quantentheorie vorhergesagtwerden. Zur Verdeutlichung der Problematik werde ich weiters noch konkrete Meßergebnissepräsentieren, die wir an verschränkten Photonenpaaren aufgenommen haben.

2.3.1 Ein simples klassisches Modell

Nun versuchen wir, das Verhalten von Ψ− bei Polarisationsmessungen und Detektion derbeiden Photonen mit rein klassischen Argumenten nachzubilden. Dazu sei angenommen,eine Lichtquelle generiere kontinuierlich Photonenpaare, wobei die zwei Photonen, die inverschiedene Richtungen ausgesendet werden, jeweils nur horizontal (H) oder vertikal (V)polarisiert sind. Aber die zwei Photonen eines Paares immer entgegengesetzt polarisert sind,d.h. wenn ein Photon H-polarisiert ist, so ist dessen Pendant V-polarisiert. Es gibt also zweiMöglichkeiten, wie die Polarisationen der beiden Photonen sein können.

Wenn nun die zwei Photonen, wie in dem in Abbildung 2.1 dargestellten Schema, durchzwei Polarisatoren laufen und anschließend detektiert werden, so ergeben sich die in Tabel-le 2.1 angeführten Detektionswahrscheinlichkeiten.

Die gesamte Detektionswahrscheinlichkeit für einen Detektor ist die Summe von P ′ undP ′′, und wenn die beiden Polarisationskombinationen (H1V2 oder V1H2) gleich häufig sind,so ist die Zählrate der einzelnen Detektoren konstant, wie man leicht überprüfen kann. DieLichtstrahlen sind dann, für sich betrachtet, unpolarisiert.

Zur Betrachtung koinzidenter Detektionen erhält man die Koinzidenzwahrscheinlichkei-ten aus dem Produkt der jeweiligen Detektionswahrscheinlichkeiten, wie ebenfalls in Tabel-le 2.1 dargestellt.

Unter der Annahme, daß wieder die zwei Kombinationsmöglichkeiten der Photonenpo-larisation gleichverteilt sind, d.h. der Fall, daß das Photon 1 in H steht und Photon 2 in Vkomme gleichhäufig wie der umgekehrte Fall vor, so erhält die Koinzidenzwahrscheinlichkeitdie Form:

P12 =12P ′12 +

12P ′′12

=12sin2 a cos2 b+

12cos2 a sin2 b. (2.25)

12

2 Das EPR Problem

Tabelle 2.1: Detektions- und Koinzidenzwahrscheinlichkeiten der Detektoren in Abhängig-keit der Polarisatorstellungen für das klassische Modell der Photonenpolarisati-on. a und b sind die Stellungen der Polarisationsfilter bezüglich V. P1 und P2sind die jeweiligen Detektions wahrscheinlichkeiten, P12 = P1 ·P2 die Koinziden-zwahrscheinlichkeiten und mit ′ und ′′ werden die zwei möglichen Photonenpo-larisationen gekennzeichnet.

Photonenpolarisation: Detektionswahrsch. Detektionswahrsch. Koinzidenz-Detektor 1: Detektor 2: wahrscheinlichkeit:

H1 V2 P ′1 = sin2 a P ′2 = cos

2 b P ′12 = sin2 a cos2 b

V1 H2 P ′′1 = cos2 a P ′′2 = sin

2 b P ′′12 = cos2 a sin2 b

Dies verdeutlicht die Eigenschaften dieses Systems von Photonenpaaren, wobei die Pho-tonen horizontal oder vertikal und zusammengehörige Photonen immer 90◦ zueinander po-larisiert sind. Wenn nun der Polarisator 1 in einer der ausgezeichneten Positionen H oder Vsteht und das Photon 1 detektiert wird, so kann mit Sicherheit das Photon 2 für die Stellungdes Polaristators 2 in der jeweils anderen ausgezeichneten Position V oder H detektierenwerden. Sobald a aber von den ausgezeichneten Richtungen abweicht, wird die Informationüber das Photon 2 immer geringer, und bei a = 45◦, 135◦, . . . ist die Koinzidenzrate nichtmehr von b abhängig.

In Abbildung 2.2(a) ist ein berechneter Verlauf der Koinzidenzrate für diese Photonen-paare dargestellt, in Abhängigkeit der zwei Polarisatorstellungen a und b. Die Amplitudeund der Offset der berechneten Kurve wurden so gewählt, daß diese mit der darunter ab-gebildeten gemessenen Kurve (s. später) leichter verglichen werden kann. Zu erkennen istbeim Verlauf dieser Kurve (a), daß für die ausgezeichneten Stellungen des Polfilters 1 beia = 0◦ oder a = 90◦, die Koinzidenzrate das volle sin2-Verhalten in b hat, während bei derStellung des Polfilters 1 auf a = 45◦ jede Variation der Koinzidenzrate mit b verschwundenist.

Eine Betrachtung dieser Photonenpaare bezüglich zirkularer Polarisation würde zeigen,daß die Koinzidenzrate keinerlei Abhängigkeit von den Parametern a und b hat.

Wo ist die lokale verborgene Variable?

In dem oben beschriebenen Modell ist die lokale verborgene Variable gar nicht so verbor-gen, sondern eigentlich sehr anschaulich und experimentell leicht zugänglich, nämlich: derPolarisationszustand der jeweiligen Photonen.

Dieses LHV Modell ist nur sehr unzulänglich, aber es vermag die Unterschiede der klassi-schen und quantenmechanischen Prinzipien darzustellen. Tatsächlich wird ein LHV Modelldie Ergebnisse der Quantenmechanik genauer nachzubilden versuchen, z.B. das Bell-Modell,welches in [2, p 158] beschrieben ist.

2.3.2 Die quantenmechanische Beschreibung

Befinden sich nun aber die Photonenpaare im Zustand Ψ−, so ergibt sich für die Koinzidenz-messung nach dem Schema aus Abbildung 2.1 ein völlig neues Verhalten. Die Koinzidenzrateder zwei Detektoren ist dann unter Berücksichtigung der Meßvorschriften der Quantenme-chanik nur noch eine Funktion der Differenz von a und b und nicht mehr abhängig von denAbsolutwerten, wie auch schon die Form des Erwartungswertes EQM in Gleichung 2.6 ange-deutet hat. In [5, Apdx A, B] werden beispielsweise die Korrelationseigenschaften von Ψ−,sowie dessen Rotationseigenschaften beschrieben.

13

2 Das EPR Problem

0,0 22,5 45,0 67,5 90,00

45

90

135

180

225

a [G

rad]

b [Grad]

0,0 22,5 45,0 67,5 90,00

45

90

135

180

225

b)

a)

a [G

rad]

b [Grad]

= [cos2(Φ1)sin2(Φ

2-70) + sin2(Φ

1)cos2(Φ

2-70)]*3600 + 400

0,0

22,5

45,0

67,5

90,0

045

90135

180225

1000

2000

3000

4000

Koinzidenz [cps]

b [Grad]

a [Grad]

0,0

22,5

45,0

67,5

90,0

045

90135

180225

1000

2000

3000

4000

Koinzidenz [cps]

b [Grad]

a [Grad]

Abbildung 2.2: Vergleich der Koinzidenzraten in Ahängigkeit der zwei Polarisatorstellungenim Meßschema von Abbildung 2.1. (a) berechnetes Verhalten des klassischenModells (Paramter bei der Berechnung (a) wurden an die Messung (b) ange-passt), (b) Messung an Photonenpaaren im spinverschränkten Zustand Ψ−.Deutlich ist zu erkennen, daß das klassische Modell (a) nur für wenige ausge-prägte Stellungen der Polarisatoren die Quantenkorrelation in (b) nachbildenkann.

14

eps/both4.eps

2 Das EPR Problem

Was geschieht nun mit dem Zustand Ψ− beim Übergang der Polarisationsbasis in eineum ein beliebieges α verdrehte Basis? Wir definieren die Transformation

|H〉 = 1√2(cosα|H ′〉+ sinα|V ′〉) |V 〉 = 1√

2(sinα|H ′〉 − cosα|V ′〉) , (2.26)

setzen dies in Ψ− = 1√2[ |H〉1|V 〉2 − |V 〉1|H〉2 ] ein und erhalten:

Ψ− =1√8

[(cosα|H ′〉1 + sinα|V ′〉1)(sinα|H ′〉2 − cosα|V ′〉2)

−(sinα|H ′〉1 − cosα|V ′〉1)(cosα|H ′〉2 + sinα|V ′〉2)]

=1√8

[sinα cosα|H ′〉1|H ′〉2 − cos2 α|H ′〉1|V ′〉2

+sin2 α|V ′〉1|H ′〉2 − sinα cosα|V ′〉1|V ′〉2−(sinα cosα|H ′〉1|H ′〉2 + sin2 α|H ′〉1|V ′〉2− cos2 α|V ′〉1|H ′〉2 − cosα sinα|V ′〉1|V ′〉2)

]=

1√8

[2|H ′〉1|V ′〉2(sin2 α+ cos2 α)− 2|V ′〉1|H ′〉2(sin2 α+ cos2 α)

]

=1√2[ |H ′〉1|V ′〉2 − |V ′〉1|H ′〉2 ], (2.27)

wieder einen verschränkten Zustand.Beim Übergang auf eine zirkulare Polarisationsbasis, mit der Transformation

|H〉 = 1√2(|L〉+ |R〉) |V 〉 = 1√

2(|L〉 − |R〉) (2.28)

ergibt sich das Ψ− zu

Ψ− =1√8

[(|L〉1 + |R〉1)(|L〉2 − |R〉2)− (|L〉1 − |R〉1)(|L〉2 + |R〉2)

]

=1√8

[|L〉1|L〉2 − |L〉1|R〉2 + |R〉1|L〉2 − |R〉1|R〉2

−|L〉1|L〉2 + |L〉1|R〉2 − |R〉1|L〉2 − |R〉1|R〉2]

=1√8[ 2|L〉1|R〉2 − 2|R〉1|L〉2 ]

=1√2[ |L〉1|R〉2 − |R〉1|L〉2 ], (2.29)

wobei die Verschränkung auch hier beibehalten wurde, diesmal bezüglich zirkularer Polari-sation.

Dies impliziert, daß die Basis der Polarisation für zwei spinverschränkte Photonen apriori unbestimmt ist. Erst bei der Messung an einem der Photonen entscheidet sich, aufwelche Basis der Zustand projiziert wird. Wenn nun das Photon 1 den auf a gestelltenPolarisator passieren sollte, so ist der Polarisationszustand des Photon 2 aufgrund der Ver-schränkung von Ψ− immer orthogonal zu a, wie man auch bei der Transformation der Basislaut Gleichung 2.27 sehen kann. Die Koinzidenzrate ist damit nur von der Differenz derbeiden Polarisatorstellungen abhängig, und die Wahrscheinlichkeit, zwei zusammengehörigePhotonen zu detektieren, hat die Form

P12 = sin2(Φ), (2.30)

wobei Φ = a− b der Differenzwinkel zwischen den Positionen a und b der zwei Polarisatorenist.

15

2 Das EPR Problem

2.3.3 Korrelationsmessung an verschränkten Photonen

Mit einer Type-II Down-Conversion Quelle (in [9] beschrieben) wurden spinverschränktePhotonenpaare im Zustand Ψ− erzeugt, und in einem Meßaufbau, entsprechend dem inAbbildung 2.1 dargestelltem Schema, die Koinzidenzraten für verschiedene Stellungen derbeiden Polarisatoren gemessen. Diese Messungen wurden im Rahmen eines Laborpraktikums

”Quantenoptik“, vom 5. 2. - 9. 2. 1996, am Institut für Experimentalphysik, durchgeführt.Die so erhaltenen Koinzidenzraten sind in Abbildung 2.2(b) dargestellt.

Die hier eingesetzte Photonenquelle und die damit erzeugten verschränkten Photonen-paare sind die Basis für das Bell-Experiment, welches im folgenden Kapitel beschrieben wird.

2.3.4 Unterschied QM - LHV

In Abb. 2.2 sind in (a) die berechnete Koinzidenzrate für das klassische Modell (wobei Maxi-mum und Minimum der Kurve (b) angepaßt wurden) und in (b) die gemessene Koinzidenz-rate für den spinverschränkten Zustand Ψ− dargestellt.

Der Unterschied zwischen der QM und dem LHV-Modell liegt nun darin, daß die Koin-zidenzrate bei der quantenmechanischen Beschreibung, Kurve (b), von den Absolutwertender Polfilterstellungen a und b nicht abhängt und immer das sin2-Verhalten mit dem Dif-ferenzwinkel a − b aufweist (s. Gleichung 2.30), während jedoch beim klassischen Modell,Kurve (a), diese Korrelationen nur für bestimmte Werte von a oder b erreicht werden kann.

Man sieht also, daß das oben beschriebene klassische LHV-Modell die an Ψ− gemessenenKorrelation (Kurve (b)), beziehungsweise die Korrelationen nach Gleichung 2.30, nur fürwenige, ausgeprägte Polarisatorstellungen nachbilden kann, und nicht das komplette ”Quan-tenverhalten“ von Ψ−. Auch andere LHV-Modelle (siehe z.B. [2, p158], [7, p 1 - 13], [5,Apdx D]) können nicht das Verhalten der Quantenmechanik in der Koinzidenzrate in Kurve(b) und Gleichung 2.30 vollständig nachbilden. Das Bellsche Theorem zeigt sogar, daß keinsolches LHV Modell existiert.

16

3 Ein Bell-Experiment mit unabhängigenBeobachtern

3.1 Allgemeines

Zu den im vorhergehenden Kapitel erläuterten Bellschen Ungleichungen sind schon viel-fach und auf verschiedene Arten Experimente durchgeführt worden, welche fast immer1

zur Bestätigung der Quantenmechanik führten. Jedoch haben die bisherigen Versuche so-genannte ‘Loopholes’ (Schlupflöcher), die keine eindeutige Entscheidung darüber zulassen,ob zur Beschreibung der Natur die LHV-Theorien oder die Quantentheorie geeignet sind.Hauptsächlich sind zwei Arten von Mängeln verantwortlich für dieses Problem:

Loophole 1: Aufgrund der systematisch bedingten schlechten Quantenausbeute der experi-mentellen Apparaturen, wird nur ein sehr kleiner Prozentsatz der tatsächlich vorhan-denen Teilchen registriert. Die Auswertung des Experiments basiert demnach nurauf einer stichprobenartigen Untersuchung aller Teilchen aus dem auf das Verhaltenaller Teilchen geschlossen wird. Es wird nun angenommen, daß die Stichprobe dasVerhalten des gesamten Ensembles wiedergibt (fair-sampling-Annahme).

Loophole 2: Durch statische, oder nur langsam bzw. periodisch veränderte Parameter inden Meßvorrichtungen sind prinzipiell alle Arten von subluminalem (v ≤ c) Informa-tionsaustausch zwischen der Teilchenquelle und den Meßapparaturen möglich, undkönnen deshalb in LHV-Theorien miteinbezogen werden.

Diese ‘Loopholes’ erlauben immer noch die Konstruktion von LHV Konzepten, welche die ineinem Experiment gemessenen Korrelationen der Teilchen nachbilden können, und auch zueiner Verletzung der Bellschen Ungleichung führen.

Was muß grundsätzlich getan werden, um bei einem Experiment die Loopholes ausschlie-ßen zu können:

zu 1:Um diesen Mangel zu beheben, bedarf es sehr effizienter Detektoren und einer möglichst ver-lustfreien Meßvorrichtung, sodaß nicht über andere Wege die präparierten Teilchen verlorengehen können. Auf die Umgehung dieses Loopholes wird hier nicht weiter eingegangen.

zu 2:Diesem ‘Loophole’ kann begegnet werden, indem die Analysatoren bei den Beobachtern sehrschnell und zufällig variiert werden, sodaß zum Zeitpunkt der Entstehung eines Teilchen-paares in der Quelle keinerlei Information über die Stellungen der jeweiligen Analysatorenbekannt sein kann. Ebenso soll im Moment der Detektion eines Teilchens bei einem der Be-obachter, nichts über die Stellung des Analysators beim anderen Beobachter bekannt sein.Diese Situation wird in dem in Abbildung 3.1 gezeigten Raum-Zeit-Diagramm dargestellt.Mit einem solchen Schema sollte es möglich sein, jede Theorie, basierend auf einer Informa-tionsausbreitung mit v < c, auszuschließen.

1Einige der frühen Experimente haben zu keiner Verletzung der Bellschen Ungleichung geführt, jedochkonnte dies später auf experimentelle Mängel zurückgeführt werden [8, p 1910].

17

3 Ein Bell-Experiment mit unabhängigen Beobachtern

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Abbildung 3.1: Raumzeit-Diagramm für die Teilchenquelle und die zwei Beobachter. Derzum Beobachter A hinführende Lichtkegel beinhaltet alle klassische Informa-tion die dem Photon bei der Detektion-A zur Verfügung steht. Der für dieDetektion-A klassisch ‘unsichtbare’ Bereich ist schraffiert unterlegt. Photon1 sind bei Detektion-A also nur jene Analysatorstellungen-B bekannt, welchemindestens älter als τkrit.

Unser Ziel ist es nun, ein Experiment zu realisieren, in dem das Loophole 2 ausgeschlos-sen werden kann. Dies soll dadurch erreicht werden, daß bei der Messung an korreliertenPhotonenpaaren eine raumzeitliche Trennung der Beobachter (= Polarisationsanalysatoren+ Detektoren) eingehalten wird.

Ich möchte in diesem Kapitel das Konzept unseres Bell-Experiments kurz darstellen, unddie zur experimentellen Realisation notwendige Technologie erläutern. Für eine detailierteBeschreibung des Experiments sei verwiesen auf [11].

3.1.1 Experiment von Aspect

Ein Experiment zum Loophole 2 wurde bereits von A. Aspect [12] bei einer Korrelations-messung an polarisationsverschränkten Photonenpaaren durchgeführt. Dabei wurden mittelsakustooptischer Modulatoren (siehe Abschnitt 5.1.1, Seite 52) die zwei Photonen jeweils zwi-schen zwei verschieden stehenden Polarisatoren sehr schnell hin- und hergeschaltet. Durchdas schnelle, periodische variieren der Polarisationsanalyse sollten die ‘LHV-Konzepte’ darangehindert werden, den Teilchen (Photonen) im Moment ihrer Generierung geeignete Param-terwerte aufzuprägen, die das Ergebnis der Korrelationsmessung vorherbestimmen könnten.

Wie jedoch von A. Zeilinger [13] bemerkt wurde, kann durch eine periodische Variationder Polarisationsanalysatoren das Loophole 2 nicht ausgeschlossen werden, da im wesentli-chen alle periodische Signale vorhersagbar sind. Nur durch ein absolut zufälliges Schaltender Polarisationsanalysatoren wäre es möglich, dieses Loophole zu umgehen. Dies ist dieMotivation für unser Bell-Experiments mit unabhängigen (raumzeitlich getrennten) Beob-achtern.

3.2 Raumzeit-Trennung der Beobachter

Wie bereits erwähnt, soll eine raumzeitliche Trennung der Beobachter (=Meßapparaturen,bestehend aus Polarisationsanalysator und Detektor) bewirken, daß zwischen den zwei Be-obachtern kein Informationsaustausch mit einer Geschwindigkeit v ≤ c stattfinden kann,

18

eps/raumzt1.eps


welcher die Korrelation des Photonenpaares bei der Polarisationsanalyse und Detektion bein-flussen kann.

Im Raumzeitdiagramm aus Abbildung 3.1 ist diese Trennung der Beobachter verdeut-licht. Informationssignale können sich laut Relativitätstheorie nur innerhalb eines sogenann-ten Lichtkegels ausbreiten. Wenn die zwei Beobachter nun die Strecke l voneinander entferntsind, so ergibt sich die ‘Höhe’(=Zeit) eines Lichtkegels für die Übermittelung von Informati-onssignalen von einem Beobachter zum anderen, welche ich als kritische Zeit τkrit bezeichne,zu

τkrit =Strecke zw. den BeobachternVakuumlichtgeschwindigkeit

=l

c0. (3.1)

τkrit ist also die minimale Zeit, die eine Information für die Zurücklegung der Strecke voneinem Beobachter zum anderen Beobachter benötigt. Informationssignale, welche diesersogenannten ‘Einsteinschen Kausalität’ unterliegen, werden im Folgenden als klassische In-formationssignale, oder klassische Information, bezeichnet.

Damit kann die raumzeitliche Trennung der Beobachter in unserem Bell-Experiment wiefolgt beschrieben werden:

Von einem Beobachter des Bell-Experiments aus gesehen ist zum Zeitpunkt sei-ner Teilchendetektion über die Analysatorstellungen des anderen Beobachters nurklassische Information bekannt, die älter als τkrit ist, bzw. über die Analysator-stellungen des anderen Beobachters keine Information vorhanden, die jünger alsτkrit ist.

Daraus ergibt sich die Forderung an die Schaltgeschwindigkeit der Analysatoren (siehe Ab-schnitt 3.6).

Wären den Beobachtern die auf klassischem Wege (v ≤ c) übermittelten Analysatorstel-lungen des jeweils anderen Beobachters bekannt, so kann ein LHV-Konzept das Verhalten derPhotonen bei der Koinzidenzmessung nachbilden. Zwar unter der Annahme irgendwelcherunbekannter Informationskanäle, jedoch im Rahmen der Einsteinschen Kausalität.

Eine sichere Möglichkeit diese klassische Informationsausbreitung zu umgehen, ist dieAusnützung ihrer intrinsischen Eigenschaft, nicht schneller als Licht zu sein. Durch eingeeignetes Experiment sollte es gelingen, diese Informationsausbreitung auszuschließen.

3.3 Aufbau des Experiments

Die obige Überlegungen führen auf das Konzept unseres Bell-Experiments, daß in Abbil-dung 3.2 schematisch dargestellt ist. Geplant ist eine Korrelationsmessung an polarisati-onsverschränkten Photonenpaaren, welche im vorhergehenden Kapitel (z.B. Seite 13) bereitsbehandelt wurde. Es soll nun durch den Einsatz von single-mode Glasfasern eine räumlicheTrennung der zwei Beobachter bis in den km-Bereich erfolgen, und mittels Zufallsgeneratorund optischen Modulatoren sehr schnell und zufällig variierende Polarisationsanalysatorenfür die Beobachter realisiert werden. Dadurch wird die Raumzeittrennung der beiden Beob-achter erzielt.

Die Detektionsereignisse der zwei Beobachter sollen auf einer absoluten Zeitskala in Formsogenannter Timetags ‘auf Papier’ gebracht werden, damit zu einem späteren Zeitpunkt dieListen der beiden Beobachter nach koinzidenten Detektionsereignissen untersucht werdenkönnen.

3.4 Die Teilchenquelle

Als Teilchenquelle dient der Type–II Down-Conversion Prozeß in einem BBO-Kristall [9, 14],welcher Photonenpaare in einem polarisationsverschränkten Zustand emittiert. Im vorherge-

19


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Zusätzlich wird in Abschnitt 8.3 auf Seite 89 die Messung der Zeitauflösung von APDs beider Detektion korrelierter Photonen präsentiert.

3.6 Wie oft muß geschaltet werden?

Ausgehend von der Idee zur raumzeitlichen Trennung der zwei Beobachter stellt sich an dieZufallsgeneratoren und Polarisationsanalysatoren folgende Bedingung:

Forderung: Die Stellung des Polarisationsanalysators darf nicht bis zur kritischen Zeit τkrit indie Zukunft vorhersagbar sein. Dies bedeutet, daß die Stellung eines Polarisatorsnach Ablauf der kritischen Zeit τkrit völlig unkorreliert geworden sein muß.

Nach den in der Diplomarbeit von Ulrich Achleitner [15] betrachteten Simulationen vonzufälligen Sequenzen ist für eine binäre Sequenz, welche die Zufälligkeit in den Zeitinterval-len zwischen den Umschaltereignissen hat, die Autokorrelation nach der doppelten mittlerenSchaltzeit praktisch abgeklungen. Jedoch weist eine andere Literaturquelle auf eine erforder-liche Zeit von 10 mittleren Schaltzeiten hin [11]. Daraus ergibt sich für die Zufallsgeneratorenfolgende Forderung an ihr mittleres Schaltintervall:

T̄Schalt =l

10c0[s], (3.2)

wobei c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit und l der räumliche Abstand zwischen unserenzwei Beobachtern ist. Beispielsweise ist für l = 500 m ein T̄Schalt = 0.16 µs notwendig, diesentspricht einer mittleren Schalthäufigkeit von 6.25 MHz.

Bei einer zufälligen binären Sequenz unterliegen die Zeitintervalle zwischen zwei Um-schaltvorgängen einer Exponentialverteilung, welche prinzipiell beliebig kurze Zeitintervallebeinhaltet, d.h. ein unendliches Frequenzspektrum hat. Um die Zufälligkeit des Signalesbeizubehalten sollte das kleinstmögliche Intervall sicherlich 1/10 - 1/100 des mittleren Schal-tintervalles sein. Für obiges Beispiel mit l = 500 m sind dann 16 ns – 1.6 ns als minimalesSchaltintervall des Zufallsgenerators erforderlich.

Es ist aus diesen Abschätzungen zu erkennen, daß selbst für den beträchtlichen Beobach-terabstand von l = 500 m große mittlere Schalthäufigkeiten (∼ 6.25 MHz) und sehr kurzeminimale Schaltzeiten (1.6 ns – 16 ns) erforderlich sind, um Korrelationen des Signales fürZeiten ≥ τkrit zu unterdrücken.

In der Diplomarbeit von Ulrich Achleitner wurde gezeigt, daß beim regelmäßigen Abta-sten einer zufälligen binären Sequenz die Zufälligkeit erhalten bleibt, natürlich nur für Zeitendie größer als die Abtastperiode sind. Somit ist es ausreichend, wenn der Polarisationsana-lysator mit einem periodisch abgetasteten binären Zufallssignal, welches von der binärenSequenz des Zufallsgenerators abgeleitet wurde, angesteuert wird.

Wenn also ein Polarisationsanalysator eine Schaltzeit tu (rise-time, fall-time) von einenZustand in einen anderen hat, so muß demnach der Polarisationsanalysator mindestens in-nerhalb einer Zeit von τkrit − tu umgeschaltet werden, damit keine Korrelationen für Zeiten≥ τkrit auftreten. Im obigen Beispiel mit l = 500 m ist τkrit = 1.6 µs, und die nötigeAbtasthäufigkeit liegt für tu = 100 ns bei etwas unter 1 MHz.

3.6.1 Zufallsgenerator und Polarisationsanalysator

Der Zufallsgenerator sollte ein möglichst idealer, physikalischer Zufallsgenerator sein, ein

”Quantenzufallsgenerator“, bei dem die Ausgangsgröße ein Quantenprozeß wie etwa derKernzerfall oder die Aufspaltung eines Lichtstrahls an einem Beamsplitter ist. Die Anfor-derungen bezüglich der Schalthäufigkeit und des minimalen Schaltintervalles (=Bandbreite)der erzeugten binären Zufallssequenz sind oben bereits erläutert worden.

21


Konkret haben wir einen Zufallsgenerator realisiert, welcher mit zwei Photo-Multiplier-Tubes arbeitet, die auf dieselbe Lichtquelle ausgerichtet sind. Aus deren Detektionspulsenwird mithilfe einer sehr schnellen ECL-Logik eine binäre Sequenz gebildet. Dabei liegt dieZufälligkeit des Signales in den Umschaltpunkten zwischen den zwei Zuständen des Signales(High, Low). Das minimale Schaltintervall dieser so generierten Zufallssequenz liegt beiwenigen Nanosekunden.

Ausführliche Untersuchungen bezüglich der Charakterisierung von Zufallsreihen und Zu-fallsgeneratoren sind in der Diplomarbeit von Ulrich Achleitner [15] behandelt worden.

Für die schaltbaren Polarisationsanalysatoren ergeben sich etwas andere Anforderungenan die Schalthäufigkeit und die Umschaltgeschwindigkeit, wie ebenfalls oben erläutert wurde.

In Kapitel 5 werden die Anforderungen und Funktionsweise der Polarisationsanalysatorennäher spezifiziert und mögliche Realisationen eines schnell schaltbaren Polarisationsanalysa-tors beschrieben.

3.7 Datenregistrierung

Unser Bell-Experiment zielt nun darauf ab, zwei unabhängige Beobachter zu realisieren, wel-che jeweils für sich an einem der korrelierten Photonen verschiedene Polarisationsmessungendurchführen, und alle wesentlichen experimentellen Daten wie Detektionsereignisse und Stel-lung des Polarisationsanalysators in Abhängigkeit der Zeit aufzeichnen. Später sollen diesevon den beiden Beobachtern lokal abgespeicherten Daten auf Korrelationen untersucht wer-den.

Um die Korrelation der aufgezeichneten Detektionen durchführen zu können, müssen alsodie Registriereinheiten eine geeignete zeitliche Auflösung und eine geeignete Synchronisationaufweisen. Daraus ergibt sich ein minimal erzielbares Koinzidenzfenster, mit dem wir denVergleich der erhaltenen Daten durchführen können.

Um die Anforderungen an die Registriereinheiten in Bezug auf die Anzahl der zu er-fassenden Detektionsereignisse sowie die zeitliche Auflösung definieren zu können, müssenzunächst die im Experiment auftretenden Zählraten berachtet werden.

3.7.1 Effizienzen und Zählraten

Mittels einer groben Abschätzung der beteiligten Einzeleffizienzen, soll die Effizienz für dieTeilchendetektionen in unserem Experiment bestimmt werden.

Einzeleffizienzen der Komponenten

Es folgt eine Aufzählung der Effizienzen der physikalischen Komponenten in jedem der beidenLichtwege. Die angeführten Einzeleffizienzen sind Erfahrungswerte oder Herstellerangaben.

Einkoppeleffizienz: Das Einkoppeln der Down-Conversion Photonen in die Glasfaser ge-schieht mittels eines Mikroskopobjektives. Die erreichbare Effizienz liegt bei:2

ηEinKo = 0.30

Signaldämpfung in der Glasfaser: Die eingesetzte Singlemodefaser hat bei λ = 702 nm eineDämpfung von etwa 6 dB/km. Eine Faserstrecke von 500 m bedeutet demnach einSignaleffizienz von:3

ηFaser = 0.502Wird in der Diplomarbeit von Gregor Weihs [16] angegeben. Die Einkoppeleffizienz wird auch in derPraktikumsaufgabe ‘Glasfaseroptik’ (Forgeschrittenenpraktikum E für Physiker, Universität Innsbruck)berechnet und gemessen.

3Laut Herstellerangaben, Laser Components, Faser Type SMC-0780B.

22


Auskoppeldämpfung: Beim Auskoppeln des Lichtes aus der Glasfaser, wiederum mit einemMikroskopobjektiv, wird praktisch das gesamte Licht aufgesammelt:4

ηAusKo = 1

Dämpfung des Analysators: Der schaltbare Polarisationsanalysator, bestehend aus einemoptischen Modulator und einem Polarisationsprisma, führt eine Polarisationsmessungdurch, wodurch prinzipiell bereits 50% aller Photonen verloren gehen, und erreichtdamit eine Durchgangseffizienz von:5

ηPolAn = 0.95 ∗ 0.5 = 0.475

Detektor Effizienz: Die bei diesem Experiment eingesetzten Silizium-Avalanche-Photodiodenerreichen eine Quanteneffizienz von etwa:6

ηDet = 0.40

Somit ergibt sich die Gesamteffizienz für einen Lichtpfad als das Produkt aller obenangeführten Einzeleffizienzen zu:

ηGesamt = 0.30 ∗ 0.50 ∗ 1 ∗ 0.475 ∗ 0.40 = 0.0285 (3.3)

Die Effizienz, Paare von Photonen zu detektieren, ist dann folglich das Produkt derEffizienzen der beiden Lichtpfade, also das Quadrat von ηGesamt,

ηKoinz = η2Gesamt = (0.0285)2 � 0.00081 = 0.081% . (3.4)

D.h. wir können nur etwa 0.081% der erzeugten Photonenpaare messen.

Die zu erwartenden Zählraten

Mit den oben abgeschätzten Effizienzen kann nun auf die im Experiment zu erwartendenZählraten geschlossen werden. Die Down-Conversion-Quelle, die hier zum Einsatz kommensoll, kann etwa N0 = 105 Photonenpaare pro Sekunde abgeben.7 Daraus ergeben sich ingrober Abschätzung folgende Zählraten in den jeweiligen Detektoren (in cps = counts persecond angegeben):

Einzelzählraten: N1,2 = ηGesamt ∗N0 = 0.0285 ∗ 105 = 2, 850 cps (3.5)Koinzidenzzählrate: N12 = ηKoinz ∗N0 = 0.00081 ∗ 105 = 81 cps (3.6)

Zusammen mit der Dunkelzählrate der Photonendetektoren von etwa 1,000 cps sind nachobiger Abschätzung Einzelzählraten der Detektoren von ungefähr 4,000 cps zu erwarten, undeine Koinzidenzzählrate von maximal 80 cps, bei Stellung der Analysatoren auf perfekte Kor-relation (Polarisationsverschränkung der Photonen). Da jeder Beobachter zwei Detektorenbeinhaltet, stehen uns somit Koinzidenzen mit maximal 160 cps zur Verfügung.

4Wie für die Einkoppeleffizienz.5Nach der Spezifikation für Modulator Modell 4104, Fa. New Focus (3% Verlust), und Prisma, Melles Griot.6Laut Diplomarbeit von Günther Denifl [17]. Siehe auch Kapitel 4 über die APDs.7Dieser Wert wurde bei den bereits auf Seite 16 erwähnten Messungen an einer solchen Photonenquelle grobabgeschätzt.

23


3.7.2 Zu registrierende Detektionsereignisse

Wieviele dieser Detektionsereignisse müssen nun von einer Registriereinheit aufgezeichnetwerden?

Für eine signifikante Verletzung einer Bell-Ungleichung sind nun einige Tausend solcherkorrelierter Detektionen notwendig. Es ist also notwendig, daß die Registriereinheiten füretwa 10 – 100 Sekunden messen, um also 40,000 – 400,000 Detektionsereignisse pro Detektorzu registrieren, also 80,000 – 800,000 für beide Detektoren. Aus diesen Daten stehen dannmaximal insgesamt etwa 1600 – 16,000 korrelierter Ereignisse zur Verfügung (zwei Detektorenin jedem Beobachter), was für eine Verletzung einer Bell-Ungleichung mit bereits einem odermehreren solcher Datensätze ausreichen sollte.

Die Registriereinheiten sollten demnach für eine Zeit von 10 – 100 Sekunden mindestens100,000 – 1,000,000 Einzelereignisse beider Detektoren aufzeichnen können (wobei diese An-zahl größer gewählt wurde als obige Abschätzungen erfordern, da generell ein Sicherheitsraumbeizubehalten ist).

3.7.3 Zufällige Koinzidenzen

Zusätzlich zu den ‘echten’ korrelierten Detektionen gibt es immer auch zufällige Koinzi-denzen, welche rein statistisch auftreten. Diese haben für unsere Korrelationsmessung denschwerwiegenden Effekt, daß sie einen Untergrund zu den echten Korrelationen bilden, derdie Größe der Verletzung einer Bellschen Ungleichung verringert oder gar verhindert. Ge-naugenommen verschlechtert dieses Hintergrundsignal den Kontrast bzw. die Visibility desKorrelationssignales, wobei die Visibility weiter unten noch definiert wird.

Die zufälligen Koinzidenzen sollen nun mit einer Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätztwerden. Treten Detektionsereignisse völlig zufällig auf, so ist die Wahrscheinlichkeit eine An-zahl von k Detektionen pro Zeitintervall T zu zählen, durch die Poissonverteilung bestimmt:

P Tk =(n̄T )ke−n̄T

k!k = 0, 1, 2 . . . . (3.7)

Dabei entspricht P Tk der Wahrscheinlichkeit, im Zeitintervall T k Photonen zu zählen. n̄Tist das 1. Moment der Verteilung und entspricht der mittleren gezählten Photonenzahl fürdieses Zeitintervall und hat die Varianz

√n̄T . Weiters gilt aufgrund der Unabhängigkeit

der Detektionsereignisse, daß die mittlere Photonenzahl n̄t linear mit diesem Zeitintervall tskaliert:

n̄t = n̄Tt

T. (3.8)

Von einer Koinzidenz im experimentellen Sinne spricht man nun, wenn nach der Detektioneines Photons bei einem der Detektoren, innerhalb der Zeit eines Koinzidenzfensters derLänge t, bei dem anderen Detektor ebenfalls ein oder mehrere Photonen detektiert werden.Damit können wir die Rate der zufälligen Koinzidenzen in Abhängigkeit der Einzelzählratender Detektoren und der Größe des Koinzidenzfenster anschreiben, wobei die dem erstenDetektor zugeordnete Rate mit (a) bezeichnet wird, und die dem zweiten Detektor mit (b):

KRT = n̄T (a)(P t1(b) + P

t2(b) + . . .+ P

t∞(b)

). (3.9)

KRT entspricht der Zahl der beobachteten Koinzidenzen im Zeitinterval T , n̄T (a) ist diemittlere Anzahl der Photonen pro T für Detektor (a), t ist die Länge des Koinzidenzfenstersund die P tk(b) sind die jeweiligen poissonschen Wahrscheinlichkeiten, daß im Koinzidenzfen-ster der Länge t k Photonen im Detektor (b) gezählt werden.

Wenn t� T , sodaß n̄t(b)� 1 ist, so wird, wie aus der Poissonverteilung in Gleichung 3.7zu erkennen ist, von den poissonschen Wahrscheinlichkeiten der Term P t1(b) dominieren, und

24


in erster Näherung die Form P t1(b) ≈ n̄t(b) haben. Damit wird dann Gleichung 3.9 zu:

KRT ≈ n̄T (a)n̄t(b)

≈ tTn̄T (a)n̄T (b), (3.10)

wobei noch die Beziehung 3.8 eingesetzt wurde. Für diese Gleichung wurde angenommen,daß die Detektoren im Zeitintervall t eines Koinzidenzfensters im Mittel viel weniger als 1Photon detektieren.

Abschätzung der zufälligen Koinzidenzen:

Welche Raten an zufälligen Koinzidenzen ergeben sich nun für verschiedene Koinzidenzfen-ster?

In untenstehender Tabelle sind einige Werte für die Koinzidenzzählrate dargestellt. An-genommenen wurde eine Einzelzählrate der Detektoren von 4,000 cps. Weites ist die durchdie zufälligen Koinzidenzen verringerte Visibility des Korrelationssignales dargestellt. DieVisibility ist definiert ist als V = Imax−IminImax+Imin , wobei Imax das Maximum der Koinzidenzzählra-te ist, und Imin das Minimum der Koinzidenzzählrate. In unserem Beispiel ist Imax die Rateder echten Koinzidenzen, und Imin die Rate der zufälligen Koinzidenzen.

Einzelzählraten = 4 kcpsKoinzidenzfenster Zufällige Koinz. Maximale Visibility, Maximale Visibility,

t [ns] KRT [cps] 100 cps echte Koinz. 50 cps echte Koinz.1 0.016 99.97% 99.94%5 0.08 99.84% 99.68%10 0.16 99.68% 99.36%50 0.8 98.41% 96.85%100 1.6 96.85% 93.80%

Anhand dieser Abschätzungen ist ersichtlich, daß in unserem Experiment ein Koinzi-denzfenster t < 10 ns erreicht werden sollte, um den Einfluß zufälliger Koinzidenzen ver-nachlässigbar zu halten, da schon genügend andere experimentelle Einflüsse den Kontrastder Korrelationen verschlechtern werden.

3.7.4 Anforderungen an die Registriereinheiten

Zeitliche Auflösung und Synchronisation

Aufgrund obiger Abschätzungen und Überlegungen zur Größe des Koinzidenzfensters ist essinnvoll, eine Auflösung der Registriereinheiten von 1 ns erzielen. Ein kleineres Koinzidenz-fenster als 1 ns anzustreben würde, wie obige Abschätzungen der Koinzidenzraten zeigen,nicht viel mehr bringen. Außerdem ist die Korrelationsauflösung der Einzelphotonendetek-toren (APDs) nicht viel besser als 1 ns.

Klarerweise wird die minimal erzielbare Breite des Koinzidenzfensters gleichermaßen vonder Synchronisation der beiden Registriereinheiten bestimmt, welche also für die Dauer einesMeßdurchganges auf 1 ns gegeben sein muß.

Totzeit

Die als Einzelphotonendetektoren zum Einsatz kommenden APDs haben eine Totzeit vonetwa 1 µs. An die Registriereinheiten ergibt sich daraus die Forderung, eine Totzeit von< 1 µs zu haben, damit keine Detektionsereignisse verlorengehen.

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Auf mögliche Realisationen der Registrierelektronik, sowie die in diesem Experimenteingesetzten Meßgeräte wird in Kapitel 6 eingegangen. In Kapitel 8 wird das Auflösungs-vermögen der Registriereinheit in mehreren Messungen ermittelt.

Kapitel 7 befaßt sich mit der Messung der Zeit, der Charakterisierung von Oszillatorenmittels der Frequenz- und Zeitstabilität, und der Definition von Gleichzeitigkeit. Anschlie-ßend wird die Synchronisation beider Registriereinheiten behandelt (Abschnitt 7.6), und ver-schiedene Oszillatoren und Methoden der Synchronisierung gegenübergestellt. In Kapitel 8wird für ein konkretes Synchronisationsschema die Genauigkeit gemessen. Weiters werdenVergleichsmessungen zwischen verschiedenen Oszillatoren (Quarz, Rubidium) dargestellt.

3.8 Zusammenfassung - Forderungskatalog an die Komponenten

Zusammenfassend kann aus den oben angeführten Überlegungen ein Forderungskatalog fürdie Spezifikationen der jeweils im Experiment eingesetzten Komponenten erstellt werden.Angenommen wurde dabei ein räumlicher Abstand von l = 500 m zwischen den zwei Beob-achtern.

Forderungskatalog an die Komponentenim Bell-Experiment mit unabhängigen Beobachtern:

Komponente: Spezifikation:

Detektoren Zeitauflösung = 1 ns, Totzeit ≤ 5 µs, Zählrate > 10, 000 cps

Zufalls- Generierung einer zufälligen, binären Sequenz,generator Korrelationszeit � τkrit = 1.6 µs →

mittleres Schaltintervall ∼ 0.16 µs (6.25 MHz)kleinstes Schaltintervall < 16 ns

Analysatoren Schaltbare Polarisationsanalysatoren,maximale Umschaltzeit = 100 ns, minimale Schaltrate ∼ 1 MHz(unterste Grenzwerte)

Registrierung Registrierung der Detektionspulse (Zeitstempel)mit 1 ns Auflösung auf einer absoluten Zeitskala,sowie zusätzlich Aufzeichnung der Polarisatorposition.Totzeit der Elektronik ≤ 5 µs.Speicher für min. 1,000,000 Zeitstempelpro kontinuierlichem Meßdurchgang (10 – 100 s).Zeitbasen synchronisiert auf 1 ns pro Meßdurchgang.

Diese Spezifikationen scheinen auf den ersten Blick nicht sehr besonders, stellen aberfür sich schon sehr hohe Ansprüche, und erfordern teilweise technisch aufwendige Lösungen.Einzig die Spezifikation der Detektoren ist relativ leicht zu erfüllen. In den folgenden Kapitelnsollen technische Lösungen für einige der obigen Komponenten behandelt werden.

26

4 Avalanche Photodiode als Single PhotonDetektor

In diesem Kapitel möchte ich eine zunächst eine Übersicht über die Silizium AvalanchePhotodioden (APD) und deren Funktionsprinzip darstellen, und anschließend eine ausführli-che Funktionsanalyse der einfachsten elektronischen Konfiguration, der sogenannten passive-quenching Schaltung, geben.

Weiters werde ich noch einige Möglichkeiten beschreiben, die Totzeit der Photodiodemittels besonderer Beschaltungen verringern und meine eigenen, bislang neuen Ideen undVersuche diesbezüglich präsentieren.

4.1 Die Avalanche Photodiode

Seit einigen Jahren werden zur Einzelphotonendetektion neben der gängigen Photo MultiplierTubes (PMT) auch APDs eingesetzt. Die APD’s weisen folgende Eigenschaften auf, die fürderen Einsatz bei der Messung von Photonen und Photonenkorrelationen sprechen:

• Sehr kleine und mechanisch stabile Bauform.

• Kurze Erholzeit nach Überbelastung.

• Sehr geringe Afterpulsingeffekte.

• Großer Wellenlängenbereich, Si: 400 - 900 nm, Ge: - 1600 nm.

• Große Detektionseffizienz, bis zu 70 %.

• Relativ niedrige Betriebsspannung (10 - 600 Volt) gegenüber PMT.

• Hohe Zeitauflösung von 20 - 400 ps, je nach APD-Type.

• Mit simpler Elektronik sind bei der Einzelphotondetektion mit APDs schon gute Er-gebnisse erzielbar (passive quenching).

Die APDs für Einzelphotonendetektion werden oft auch als Geiger-Mode Avalanche Pho-todioden oder getriggerte Dioden bezeichnet. Generell gibt es drei verschiedene Strukturenvon APDs, die später noch kurz beschrieben werden.

4.1.1 Funktionsprinzip der APD

Im Grunde ist eine Avalanche Photodiode eine pn-Photodiode, welche im Reverse-Betriebbetrieben wird. Eine wichtige Kenngröße jeder APD ist ihre Durchbruchspannung, jeneSperrspannung der Diode, bei der ein sehr großer und ungesteuerter Strom durch die Diodezu fließen beginnt. Um die APD als Einzelphotonendetektor einzusetzen, wird diese miteiner Reversespannung knapp unterhalb oder oberhalb der Durchbruchspannung betrieben.

Durch eine Photonenabsorption wird im Sperrbereich ein Ladungsträgerpaar freigesetzt,welches aufgrund der dort vorherrschenden großen Feldstärke von > 105 V/m eine Lawineoder ein dauerhaften Strom von Ladungsträgern auslöst, je nachdem, ob die Diodenspannung

27

4 Avalanche Photodiode als Single Photon Detektor

kleiner oder größer als die Durchbruchspannung ist. Dieser sprunghafte Anstieg des Stromesdurch die APD auf einen makroskopischen Wert (Anstiegszeit des Stromes im ns-Bereichoder sub-ns-Bereich) kann der Detektion eines Photons zugeordnet werden.

In Abbildung 4.1 wird der Bereich der U-I Kennlinie einer APD schematisch dargestellt,der für die Einzelphotonendetektion interessant ist.

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Abbildung 4.1: Schematische Darstellung der U-I Kennlinie einer APD. Im Bereich V < VBfindet lineare Verstärkung statt. Für V > VB ist die Diode vorerst gesperrt(I = 0 A), und kann bei Detektion eines Photons durchbrechen, d.h. dieDiode wird leitend. Die Spannung springt dann auf VB über, und der Stromwird von den Widerständen im Diodenkreis bestimmt. Wird dann der Stromunterhalb von IQ � 50 µA gebracht, so kann die APD wieder von selbst inden sperrenden Zustand übergehen, und die Spannung auf V > VB ansteigen.

APD im Sub-Geiger-Mode

Ist die Spannung an der Diode stets knapp unterhalb der Durchbruchspannung, so arbeitetdiese in einem linearen Bereich und erreicht eine Ladungsträgermultiplikaton von wenigen1000 pro Photoelektron (sehr schwaches Signal). Dieser Betriebsmodus wird als Sub-Geiger-Mode bezeichnet. Die sehr kleinen Detektionspulse erfordern dann zu ihrer Erkennung sehrrauscharme Vorverstärker und Diskriminatoren.

APD im Geiger-Mode

Wird hingegen die Spannung höher gesetzt als die Durchbruchspannung, so wird durch jedeLadungsträgermultiplikation in der APD ein dauerhafter Durchbruch (Stromfluß im mA-Bereich) der Diode bewirkt, der extern gestoppt werden muß. Mit dieser Betriebsart, dieals Geiger-Mode bezeichnet wird, werden sehr große Detektionspulse erzeugt, die auf ein-fachste Art schon auswertbar sind. Dies ist auch die am häufigsten zum Einsatz kommendeBetriebsart der APD.

Eine in diesem Modus ausgelöste Lawine in der Multiplikationszone der Diode führtzu einem kompletten Durchbruch der APD, welcher unaufhörlich weiterlaufen würde. Ausdiesem Grunde muß dafür gesorgt werden, daß es zu einer Auslöschung des Durchbruchskommt, und die APD für die nächste Detektion eines Photons ‘scharf’ gemacht wird. DieserVorgang wird als ‘quenchen’ bezeichnet. Dazu sind mehrere Schaltungsvarianten entwickeltworden, wie die passive-quenching oder die active-quenching Schaltung.

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eps/apdkenn2.eps


4.1.2 Gängige APD-Strukturen

Derzeit sind im Grunde drei verschiedene Strukturen von Si-APDs mit jeweils leicht unter-schiedlichen Eigenschaften bzw. Einsatzbereichen in Verwendung.

SPAD

oder thin-SPAD. Die sogenannte Single-Photon Avalanche Diode1 wurde von Cova et al,siehe z.B. [19], hauptsächlich für Korrelationsuntersuchungen von Photonen entwickelt, undzeichnet sich vor allem durch eine hohe Zeitauflösung von bis zu 20 ps FWHM aus.

Diese Zeitgenauigkeit wird durch ein kleines aktives Volumen mit einem Durchmesser∼ 10 µm und einer Sperrschichtdicke von< 5 µm erreicht, wodurch jedoch eine relativ niedereerreichbare Detektionseffizienz von ∼ 10% (830 nm) bedingt ist. Die Durchbruchspannungder Thin-SPADs liegt bei 10 - 50 V.

Reach-Through APD

Bei dieser APD ist die Sperrschicht in zwei verschiedene Regionen aufgeteilt. Erstens ineine relativ dicke Schicht von 30 - 150 µm Dicke mit geringerer Feldstärke, in der das Lichtabsorbiert und die Ladungsträger gesammelt werden, und zweitens eine dünne Schicht voneinigen µm Dicke mit größerer Feldstärke, in der die Ladungsträgervervielfachung stattfindet.Der Durchmesser des aktiven Bereiches liegt dabei in der Größenordnung von 0.5 mm.

EG&G stellt diese Reach-Through APDs her, die Typen C30921S und C30902S. DieDetektionseffizienzen dieser Dioden liegt im Bereich von > 50% und die Zeitauflösung beietwa 400 ps FWHM [22]. Die Durchbruchspannung dieser APDs ist ∼200 V.

Diese APD-Typen finden weitreichende Anwendung als Geiger-Mode Avalanche Photo-dioden zur Einzelphotonendetektion.

SLIK

oder thick-SPAD. Die SLIKs werden von EG&G erzeugt. ‘SLIK’ steht für Super-Low-Ionisation-k, da der Feldverlauf in der etwa 25 µm dicken Sperricht so ausgelegt ist, daßmöglichst nur die Elektronen des bei einer Photonenabsorption erzeugten e− − h+-Paaresvervielfacht werden, wodurch die Wahrscheinlichkeit vergrößert wird, ein Photoelektron zudetektieren. Betrachtet man k, das Verhältnis des Ionisationskoeffizienten der Löcher zudem der Elektronen, so erreichen SLIKs ein k ≈ 0.002, während die reach-through-APDs eink ≈ 0.02 erzielen.

Die SLIK hat eine aktive Schichte mit einem Durchmesser von < 150 µm und eineDurchbruchspannung von 200 - 500 V. Die maximale Detektionseffizienz liegt bei etwa 70%,siehe Abbildung 4.3, und die Zeitauflösung bei etwa ∼ 150 - 350 ps FWHM.

4.1.3 Die Photonen-Detektionseffizienz

Prinzipiell ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die APD ein Photon in einen Detektionspulsumwandelt, das Produkt der Quanteneffizienz η und der Photoelektron-DetektionseffizienzPe:

Pd = ηPe, (4.1)1Aus der Literatur ist nicht klar ersichtlich, welche APDs als SPADs bezeichnet werden sollen. In [18]werden nur die von Cova ([19]) entwickelten APDs als SPADs bezeichnet, während dieser hingegen, alleAPDs generell als SPADs bezeichnet, seine Eigenentwicklung jedoch als thin-SPAD, und die EG&G SLIKals thick-SPAD.

29


wobei η die Wahrscheinlichkeit ist, daß ein Photon ein (e−-h+)-Paar in der APD erzeugt,und Pe die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dieses Elektron-Loch-Paar in einen makroskopi-schen Strompuls umgewandelt wird. Diese beiden Größen sind unabhängig voneinander zuoptimieren um eine gute Photonendetektionseffizienz zu erhalten.

Quanteneffizienz η

η ist von den Absorptionseigenschaften des Materials abhängig. Für Si wird bei Wellenlängen< 400 nm der Großteil des Lichtes knapp an der Oberfläche absorbiert, und die e-h-Paarerekombinieren noch an der Oberfläche. Für Wellenlängen > 850 nm ist die Absorption in Siso gering, daß das einfallende Licht die aktive Schicht teilweise schon durchdringt.

Vor allem mithilfe geeigneter Beschichtungen der Diode und des Schutzfensters kann dieQuanteneffizienz für Wellenlängen von etwa 500-850 nm in den Bereich von 70-95% gebrachtwerden.

Photoelektron-Detektionseffizienz Pe

Die Pe ist hauptsächlich davon abhängig, ob die Diode im Geiger- oder im Sub-Geiger-Modebetrieben wird.

Wird die APD im Sub-Geiger-Modus betrieben, also mit einer Spannung knapp unterhalbihrer Durchbruchspannung (1 - 2 V), so müssen die Detektionspulse mit einem rauscharmen,ladungssensitiven Vorverstärker und einem Komparator aufbereitet werden. Die Effizienzein Photoelektron zu detektieren ist dann grundsätzlich abhängig vom Rauschen des Vor-verstärkers und dem Wert der Diskriminatorschwelle. Die theoretischen Werte von Pe liegenfür die SLIK-APD bei maximal 70%, und für die reach-through-APD bei maximal 40%.

Zwar werden im Geiger-Mode höhere Werte für die Pe erreicht, jedoch ist beim Sub-Geiger-Mode aufgrund der sehr leistungsschwachen Detektionssignale der Strom durch dieAPD so klein, daß Effekte wie Erwärmung der Diode, Totzeit und Afterpulsing die Zählrateder Diode nicht begrenzen.

In der Praxis sind im Sub-Geiger-Modus Detektionseffizienzen im Bereich von 5 - 10%erzielbar [18].

In [21] ist die Realisierung eines Sub-Geiger-APD Detektors beschrieben, der in flüssigenStickstoff (77 K) getaucht wurde. Dabei konnte eine Dunkelzählrate von < 0.1 cps2 sowieeine Detektionseffizienz von maximal 5% bei ∼ 560 nm erreicht werden. Die maximaleZählrate lag bei ∼ 105 cps.

Im Geiger-Mode der APD ist die Durchbruchwahrscheinlichkeit Pb bei Auftreten einesLadungsträgerpaares ausschlaggebend, da es bei dieser Betriebsart darum geht, daß es zueinem kompletten Durchbruch der APD kommt.

In erster Näherung kann Pb durch einen exponentiellen Zusammenhang mit der Spannungüber der Durchbruchspannung ausgedrückt werden:

Pb = 1− exp(−∆VVc

) (4.2)

wobei ∆V = V − VB die Differenz zwischen der Diodenspannung V und der Durchbruch-spannung VB ist, und Vc eine charakteristische Spannung, welche von der Geometrie unddem Material der Diode abhängt [18]. Für eine APD vom Type C30902S mit k = 0.02 istVc ≈ 16 V und für eine SLIK mit k = 0.002 gilt Vc ≈ 8− 9 V.

In Abbildung 4.2 ist der Verlauf der Pb über ∆V dargestellt. Experimentell ist die Durch-bruchwahrscheinlichkeit niedriger als die theoretischen Werte, was auf das Selbstauslöschender Lawinendurchbrüche kurz nach deren Entstehung zurückgeführt wird.

2cps steht für counts-per-second, also die Anzahl der Detektionen pro Sekunde.

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Abbildung 4.2: Theoretisch berechnete Kurven der Durchbruchwahrscheinlichkeit Pb für dieC30902S und die SLIK-APD, in Abhängigkeit von ∆V , der Spannung überder Breakdownspannung. (Graph entnommen aus [18])

In der Praxis kann das ∆V nicht beliebig erhöht werden, um große Pb zu erhalten, dadie Dunkelzählrate ebenfalls mit ∆V zunimmt.

In Abbildung 4.3 ist die Detektionseffizienz einer APD über die Wellenlänge für ver-schiedene ∆V , der Differenz zwischen der Diodenspannung und der Durchbruchspannung,dargestellt.

Abbildung 4.3: Darstellung der Detektionseffizienz über der Wellenlänge für eine SLIK-APD,für verschiedene ∆V . (Graph entnommen aus [19])

4.1.4 Nichtideale Eigenschaften der APD

Die folgenden Angaben beziehen sich auf die APD im Geiger-Mode, da dies die üblicheBetriebsart für die Detektion von Einzelphotonen mit APDs ist.

Zeitauflösung

Die Zeitauflösung für Einzelphotonendetektionen liegt je nach APD-Type im Bereich von 20 -400 ps FWHM. Dabei ist die Zeitauflösung eine Funktion von ∆V , der Spannungsüberhöhungüber die Durchbruchspannung. Siehe Abbildung 4.4 für die Messung der Zeitauflösung einerAPD vom Type C30902S.

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Abbildung 4.4: Zeitauflösung einer EG&G C30902S in einer passive-quenching Schaltung mit∆V = 40 V, Diode auf −30◦C abgekühlt. Aus dieser Kurve ergibt sich einFWHM von 410 ps. Dabei wurden Laserpulse (70 ps) auf eine APD und einePIN-Diode gegeben, und die Zeitdifferenzen mittels eines Time-Amplitude-Converters bestimmt. (Graph entnommen aus [22])

Totzeit

Die Totzeit der APD hängt stark von den Eigenschaften der verwendeten quenching-Schaltungab. Die einfachste Variante, die passive-quenching Schaltung, hat eine Totzeit von ∼ 1 µs.Mittels komplizierter active-quenching Schaltungen (AQS) sind Totzeiten herab bis ∼ 40 nsmöglich. Generell wird die Totzeit mit ∆V ansteigen, sowie mit der internen Diodenkapazitätund den Streukapazitäten.

In Abschnitt 4.2 (Seite 34) wird die Funktionsweise der passive-quenching Schaltung(PQS) erklärt, und in den folgenden Abschnitten 4.3 – 4.5 weitere Beschaltungen der APDgenauer beschrieben.

Dunkelzählrate

Hier müssen zwei Arten von Dunkelzählungen berücksichtigt werden. Zum einen die so-genannten primären Dunkeldetektionen. Diese entstehen bei Absenz jeglicher Beleuchtungdurch thermische Generation von Lawinendurchbrüchen in der Diode. Die Dunkeldetektio-nen sind zeitlich poissonverteilt, und ihre Rate steigt mit mit der Temperatur sowie mit ∆Van.

Zum anderen die sogenannten afterpulsing-Effekte, welche als sekundäre Dunkeldetek-tionen bezeichnet werden. Diese entstehen durch das Einfangen von Ladungsträgern anStörstellen während eines Durchbruchs der Diode, welche dann nach einiger Zeit wieder ab-gegeben werden. Vor allem bei active-quenching Schaltungen mit sehr kleinen Totzeitenkönnen nach einer echten Detektion eines Photons, eine oder mehrere solcher Dunkeldetek-tionen folgen.

Die Anzahl der eingefangenen Ladungsträger steigt mit der Gesamtzahl der Ladungs-träger, welche die Sperrschicht der Diode während eines Lawinendurchbruches passieren.Deshalb nimmt die afterpulse-Rate mit ∆V zu, da dabei der Strompuls größer wird. DieLebensdauer solcher gebundener Ladungsträger liegt je nach Temperatur bei ∼ 10− 100 ns.

Das Afterpulsing kann durch eine lange Totzeit (> 500 ns) der Detektoren verringert wer-den, was bei den PQS sicherlich gegeben ist. Bei active-quenching Schaltungen können durchein kurzes absenken der Diodenspannung unterhalb der Durchbruchspannung die gebunde-nen Ladungsträger abgezogen werden, und dadurch das Afterpulsing unterdrückt werden.

Siehe Abbildung 4.5 für Dunkelzählraten einiger APDs bei Raumtemperatur. DurchAbkühlen der Dioden kann eine signifikante Absenkung der Dunkelzählraten erreicht werden.

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Abbildung 4.5: Abhängigkeit der Dunkelzählrate von ∆V . (a) Thin-SPAD bei Raumtem-peratur, bei zwei verschiedenen Totzeiten. (b) SLIK bei Raumtemperatur,Totzeit 40 ns. Es wurde festgestellt, daß die Kurve (b) für verschiedene Tot-zeiten gleichbleibt, also keine afterpulsing-Effekte zur Dunkelzählrate beitra-gen. (Graph entnommen aus [19])

Thermische Effekte

Die Durchbruchspannung VB der APD ist mit etwa 0.3%/K von der Temperatur abhängig.Bei einer konstanten Betriebsspannung V bedeutet eine Änderung der VB also eine großeÄnderung von ∆V da VB � ∆V ist, und deshalb kann die Temperatur signifikante Einflüsseauf die Eigenschaften der APD haben.

Abbildung 4.6: Reaktion der Zählrate einer APD auf ein zu t = 0 eingeschaltetes Lichtsignal.(a) C30902S Originalversion, die in der APD dissipierte ist Leistung 3 mW.(b) C30902S-Chip direkt auf keramischen Wärmeleiter montiert; in APDdissipierte Leistung 10 mW. (Graph entnommen aus [18])

Bei den Lawinendurchbrüchen werden Energien im Bereich ∼ 10−8 J dissipiert, was beieiner Zählrate von 106 zu einer Verlustleistung in der Diode von 10 mW führt. Ist dieDiode nicht direkt mit einer Kühlfläche verbunden, was bei der APD CS30902S (EG&G)der Fall ist da diese Diode für die Detektion sehr schwacher Lichtsignale im linearen Bereich

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entwickelt wurde, so werden die Eigenschaften der APD zählratenabhängig, und als Reaktionauf Lichttransienten zu Einschwingvorgängen führen. In Abbildung 4.6 ist das Verhaltenzweier APDs beim Einschalten einer ‘starken’ Lichtquelle mit ∼ 106 Photonen/s dargestellt.

Es muß also versucht werden, die Temperatur der APD möglichst konstant zu halten, undgleichzeit möglichst nieder, um die Dunkelzählraten der APD zu minimieren. In der Praxiswerden häufig thermoelektrische Kühlelemente eingesetzt, wodurch die Diodentemperaturauf ∼ −20 – −30◦C gehalten werden kann.

synchroneerfassungvon photonendetektionen anentferntenorten · 2005. 6. 30. ·...

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