t~ber die Durchschnit te translationsgleicher konvexer K~rper und eine Klasse konvexer Polyeder

Herrn Professor Dr. Emanuel Sperner zum 60. Geburtstag am 9. Dezember 1965 gewidmet

Von RoT.P SCH~EID~.R in Frankfurt

1. Einleitung. Unter einem konvexen KSrper verstehen wir eine kon- vexe, abgeschlossene, beschr~inkte Punktmenge mit inneren Punkten im n-dimensionalen Euklidischen Raum.

ROGERS und SHEPHARD [6] haben bewiesen: Hat ein ~nvexer K~rper K mit jedem zu K translationsgleichen KSrper, mit dem er mehr als einen Punkt gemeinsam hat, einen zu K homothetisehen Durehsehnitt, dann ist K ein Simplex. Durch diesen Satz wird die folgende allgemeinere Pro- blemsteUung nahegelegt: Gegeben sei eine bin~re Relation fiir konvexe KSrper; man bestimme aile konvexen KSrper, fiir die der Durehsehnitt je zweier translationsgleicher Exemplare, fails er selbst ein konvexer KSrper ist, zum AusgangskSrper in der genannten Relation steht. In der vorliegenden ~ote wird diese Frage behandelt fiir die im folgenden definierte Relation, die ailgemeiner ist als ttomothetie. Als LSsung er- gibt sieh eine Klasse konvexer Polyeder.

Diese Untersuehung en~stand aus dem Wunseh, den ,,geomeSrisehen Grund" ftir den Satz yon ROG~,RS und SrrEPrTARD besser zu verstehen. Diesen Grund kiinnte man etwa in der Tatsaehe erblieken, daft der Durehsehni~t zweier translationsgleicher konvexer Kiirper i.a. ,,mehr Singularit~ten hat" als der AusgangskSrper (der Durchsehnitt zweier reguliirer KSrper hat eine (n-2)-dimensionale Kante usw.) und dab das Simplex in gewissem Sinne als der KSrper ,,mit den stiirksten Singu- larit~ten" betrA.chtet werden kSnnte. Der Versueh, diese rage Vor- stellung zu einem neuen Beweis des Satzes yon ROGERS und SrTEP~ARD ZU pr~zisieren, ergab die allgemeinere Aussage 2.2, aus der man den genannten Satz unsehwer herlei~en kann.

2. Formulierung des Ergebnisses. Es sei R n (n _~ 2) der n-dimensionale Euklidische Raum, V n sein Vektorraum. ~ sei die Menge a]ler konvexen KSrper des ~". Ist K ~ ~ u n d p ~ Rd K (Rand yon K), so verstehen wir unter einem l~ormalenvektor des KSrpers K im Punkte p jeden vom l~uilvektor verschiedenen Vektor des V " , d e r orthogonal ist zu einer

Uber die Durchsctmitte translationsgleicher konvexer KSrper usw. 119

Stiitzebene an K in p und der dabei in denjenigen yon der Stiitzebene begrenzten Halbraum weist, der K nieht enth~lt. ~ (K, p) sei die Menge dieser ~ormalenvektoren.

2.1. Delinition. Seien K 1, K 2 E ~. Es ist K 1 ~ K s dann und nut dann, wenn es zu jedem Punkt P l e Rd K 1 einen P u n ~ Ps e Rd K s gibt mit

(K,, Pl) ---- ~ (K2, Ps).

K1 a Ks und K s a K 1 gilt z.B. trivialerweise, wenn K~ und K 2 homo- thetiseh sind, ebenso falls K~ und K s nut regulate Randpunkte haben. Als Beispiel, in dem K 1 a K s, abet nicht K s a K 1 gilt, fiihren wir an: Im R 2 sei K~ eine Halbkreisscheibe; der konvexe Bereich K 2 sei die Vereinigung yon K 1 und einem an den ttalbkreisdurchmesser angesetzten passenden Reehteek.

Is t t e V ~, so bezeiehne K Jr t den dutch Translation um den Vektor t aus dem konvexen K6rper K hervorgehenden KSrper. Wir setzen

~(a) = { K e e l ( r e V~, K n (K + t ) e ~ ) ~ K n (K-I-t) aK}.

Um die LSsung des angegebenen Problems fiir die Relation a formulieren zu kSnnen, benStigen wir den Begriff der starken positiven Basis eines reeUen Vektorraumes (DxvIs [2], N [ c K ~ E r [4], BON~ICE und K~EE [1], REAr [5]): Sei V ein reeller Vektorraum. Ist M C V, so bezeiehne Tos M die Menge aller x e V der Form x ---- ~ ~u~ mit ui e M und end- lich vielen nicht s~mtlich versehwindenden reellen Zahlen ~ ~ 0. Eine Teilmenge U C V heist positive Basis von V, wenn pos U ---- V und u ~ pos ( U - - ( u } ) fiir alle u e U gilt. Eine positive Basis U heiBt starlce positive Basis, wenn fiir je zwei disjunkte Teilmengen U~, Us C U gilt: (pos U1) n (pos U~) C (0}. Mit (positiven, starken positiven) Basen sind im folgenden, falls nichts anderes gesagt ist, stets Basen des V" ge- meint.

Is t P e ~ ein Polyeder, so wird die Menge der s Normalenein- heitsvektoren seiner ( n - 1)-dimensionalen Seitenfli~ehen als sein /~'or- malensystem N ( P ) bezeichnet. Unser Ergebnis lautet nun:

2, 2. Satz. Die Klasse ~ (a) besteht genau aus denjenigen konvexen Poly- edern P, deren Normalensystem N ( P ) eine starke positive Basis bildet.

Die Menge aUer Polyeder P e ~, fiir die N ( P ) eine starke positive Basis ist, bezeichnen wir mit ~ . Zu ~ gehSren in alien Dimensionen Simplex und Parallelepiped; im R 2 keine weiteren Polygone. Im R a kommt nur noch das dreiseitige Prisms hinzul).

1) Die konvexen Polyeder des R a, deren Nomalensystem eine positive Basis bfldet, sind yon S~i~rITZ (Enzykl. d. Math. Wiss. 3, Teil 1,2, S. 94) bestimmt worden (vgl. such F~.J~,S TOTH [3]). Das Normalensystem des dort beschriebenen ,,Dachpolyeders" ist eine positive, abet keine starke positive Basis.

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Beim Beweis yon 2.2 (im 5. Abschnitt) benutzen wir kennzeichnende Eigenschaften der konvexen Polyeder, deren l~ormalensystem eine posi- tive bzw. starke positive Basis bildet. Die erforderlichen S~tze werden im n~chsten Absehnitt bewiesen. Der 4. Abschnitt enth~lt einen Hilfssatz fiber die l~'ormalenvektoren des Durchschnittes zweier konvexer KSrper in einem gemeinsamen Randpunkt.

3. Starke positive Basen und konvexe Polyeder. Zunaehst einige Be- zeiehnungen: Ist K e ~, u e V " - - (0) , so bezeiehnet H(K, u) den ab- gesehlossenen, K enthaltenden Stfitzhalbraum an K mit ~uBerem l~or- malenvektor u und S(K, u) die den Halbraum berandende Stfitzebene. Sei M C R ~. 1Kit konv M wird die konvexe Hiille yon M und mit rel M das relative Innere yon M bezeichnet, d. h. das Innere yon M bezfiglich der M enthaltenden linearen Untermannigfaltigkeit ]deinster Dimension des R ~. Ist P E ~ ein Polyeder und p e R d P , so setzen wir N(P) (~ ~ ( P , p ) ~ N(P ,p ) . Ist x e R % so wird nach Wahl eines Ko- ordinatenursprungs im R" mit ~ e V ~ der Ortsvektor yon x bezeichnet. Ffir u, v E V ~ ist u v das Skalarprodukt.

Der folgende Hilfssatz enthiilt zwei sp/iter mehrfaeh zu benutzende Eigenschaften konvexer Polyeder. Den einfaehen Beweis fibergehen wir.

3.1. Hilfssatz. Sei P E ~ ein Polyeder. Sei p ~ Rd P. Dann gilt:

(a) Es ist ~ ( P , p ) -~ p o s N ( P , p ) .

(b) Sei p~ e Rd P (1 ~ i ~ m), sei ~ =- konv (Pl, �9 �9 P~) C Rd P und pe re l~ . Dann ist N ( P , p ) ~ f IN(P,p~) (1 ~ i ~ m ) .

Die Polyeder in ~, deren ~ormalensystem eine positive Basis bildet, lassen sieh leicht kennzeichnen: ])as Polyeder P e ~ heiBt naeh F~.JES TOTH [3] primitives Polyeder, wenn fiir jede (nicht leere) eehte Teilmenge U C N(P) die konvexe )/Ienge f] H(P, u) (u ~ U) nieht besehr/~nkt ist. Es gilt nun:

3.2. Satz. Sei P ~ ~ ein Polyeder. Das Normalensystem N (P) ist dann und nur dann eine positive Basis, wenn P ein primitives Polyeder ist.

Beweis . Die Aussage des Satzes ergibt sich mater Berficksiehtigung der Definition einer positiven Basis wegen P---- NH(P, u) (u ~N(P)) aus folgender Behauptung:

(1) Sel K ~ und U C V'--{0}. Die Menge f ] H ( K , u ) (u~U) ist dann und nut dann be.sehranld, wenn pos U = V" ist.

Zum Beweis yon (1) w~hlen wir den Koordinatenursprung des R" in K. Mit geeigneten reellen Zahlen ~ ~ 0 gilt dann: H(K, u)

b~ber die Durchschnitte translationsgleicher konvoxer KSrper usw. 121

-~{xeRnlSu~__r162 Wir benutzen (DAvis [2], Satz 3.1. Die dort vorausgesetzte Endlichkeit yon U ist offenbar entbehrlich):

(2) pos U = V" gilt genau dann, wenn es zu jedem f e V n - {0} ein u e U mit ~u > O gibt.

Ist rl H(K, u) (u ~ U) beschr~nkt und f e V"--{0}, so gilt fiir ge- niigend groBe reelle p, wenn p y den Punkt mit dem Ortsvektor p f bezeichnet: # y r H ( K , u) (u ~ U). Es gibt also ein u0 e U mit p f u 0 > a~ fiir aUe grol~en p, woraus fu0 > 0 folgt. Da f beliebig war, folgt pos U = V n. Ist umgekehrt 17 H ( K , u) ( u e U) nieht beschr~nkt, so existiert ein f E V ~ - - ( 0 } mit p y ~ f l H(K , u) (u ~ U) fiir alle p ~ 0. Somit ist # f lu ~_ ~ ffir # ~ 0, also flu ~ 0 fiir alle u e U, d. h. es ist pos U ~ V ~, womit 3.2 bewiesen ist.

Um weiter die Polyeder P e ~ zu charakterisieren, benStigen wir zwei kennzeichnende Eigenschaften starker positiver Basen. Sei U eine posi- tive Basis des V'. U hat mindestens n + 1 und hSchstens 2n Elemente (STEr~rrz, Literaturangaben s. REAY [6]). Eine positive Basis mit genau n + 1 Elementen heiBt minimale Basis. Ein linearer Teilraum L C V" hei~t minimaler Unterraum bezaglich U, wenn L n U eine minimale Basis yon L ist. Sei v e V" --{0}. Die Darstellung v = ~ u , mit u~ e U, ~ > 0, heil3t minimale DarstelIung, wenn in keiner anderen derartigen Darstellung des Vektors v weniger Summanden vorkommen. Es gilt nun (s. REAY [6], BON~IC~ und I~EE [1]):

3.3. Hilfssatz. Sei U eine positive Basis des V'. Dann sind /olgende Aus- sagen dquivalent :

(a) U ist eine starke positive Basis des V'.

(b) V ~ ist die direkte lineare Summe der minimalen Unterraume bezaglivh U.

(c) Sind v = ~ a ~ u ~ = ~fliv~ mit u ~ , v ~ U , oq,f l~> 0 (1 < i ~ m ) zwei minimale DarsteUungen eines v ~ V " - - { 0 } , so ist {u~ . . . . . urn} = . . . . , v m L

Nun beweisen wir:

3.4. Satz. Sei P e ~ ein Polyeder. Genau dann ist P c ~ , wenn gilt: Ist u~ e N ( P ) (1 < i ~ m), so ist

r ~

iO lS (P , ui) ~ P 4= 0

dann und nur dann, wenn die Vektoren u~, . . ., um linear unabhangig sind.

B e w e i s . Zun~chst sei P e ~ , also N ( P ) eine starke positive Basis. Nach 3.3 ist V" die direkte lineare Summe der minimalen Unterr~ume L ~ , . . . , L~ beziiglich N(P) . Ui = N ( P ) n L~ ist minimale Basis des

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linearen Unterraumes L~, enth/ilt also ds ~ 1 Elemente, wo di ~ dim Ls (Dimension yon Ls) ist (1 < i < r).

Sei us e N ( P ) (1 ~ i < m). Wir nehmen zun/~ehst

m

iA=IS(P, us) (3 P =~ r

an. Dann enth~It fl S (P, u~) (1 < i < m) einen Eekpunkt e des Poly- eders P. Sei k die Anzahl der Vektoren aus N ( P , e) und ks die Anzahl der Vektoren aus N ( P , e) t3 Ls. Wir zeigen ks --<_ d~ (1 < i ~ r):

Angenommen, es ist ks > ds fiir ein i; dann ist N ( P , e) (3 L~ : Us. Wir w/~hlen e als Koordinatenursprung im g ~ und kSnnen dann sehreiben: H (P, u) -= {x e B" I Y.u < 0} fiir u e N (P, e). Sei L* C V" das orthogo- nale Komplement des Unterraumes Ls. Ist x e R" und 5 = v + v* mit v e Ls, v* e L*, so ist

(3) x e fl H ( P , u ) u e U~

genau dann, wenn vu <__ 0 ffir alle u e Us gilt. Da pos Ui ---- L~ ist, gibt es naeh (2) zu v e L~ - - {0} ein u e U~ mit vu > O. (3) gilt also genau ffir v = 0, d. h. ffir ~ e L*. Wegen dim L* < n ist ein Widersprueh erreieht, da

P - = A H ( P , u ) C fl H ( P , u ) u e N ( P ) ue U~

gilt und P n-dimensional ist. Damit ist ks --<_ ds (1 < i _< r) gezeigt, und wegen V ~ ---- LI $ . . �9 @ Lr

folgt k - - - - - k l - i - . . . - 4 - k r < d l ~ . . . ~ - d r : n . Da e Eckpunkt des Polyeders ist, miissen in N ( P , e ) n linear unabh/ingige Vektoren ent- halten sein, also folgt die lineare Unabh/~ngigkeit der Vektoren aus N (P, e) und wegen {ul, �9 �9 u,,,} C N (P, e) die der Vektoren ul . . . . . u~.

Wir setzen nun umgekehrt voraus, dab die Vektoren us e N ( P ) ( 1 < i < m) linear unabh/~ngig sind. Wir k6nnen (falls m < n) {ul . . . . . u~} durch Vektoren aus N (P) zu einer Menge V yon n linear unabh/ingigen Vektoren erg/inzen, s sei der Sehnit tpunkt der Ebenen S (P, u) (u e V). Wir wollen s e P, also s e H ( P , u) ffir alle u e N ( P ) zeigen und kSnnen dazu u e N (P) - - V annehmen.

Sei h~ die Anzahl der Vektoren in V (3 L~. Da die d~ + 1 Vek- toren der positiven Basis Us linear abh/~ngig sind, ist hs < d~, wegen n = h l + . . - + h r < d x + . . . + d , - - - - n also h s = d t (1 ~ i - < r ) . Sei u e N ( P ) - - V und etwa o. B. d. A. u e L~. Sei V r L~ = { u ~ , . . . , ud~} (o. B. d. A. in dieser Numerierung). E sei die zu L1 parallele, dureh s gehende, d~-dimensionale Ebene des R". Die konvexe Menge

---- E t3 H (P, u) t3 f'I~IH u~) T

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ist, da ( u l , . . . , ud~, u} = U t positive Basis des Raumes L 1 ist, be- schr~nkt, also ein dl-dimensionales Simplex in der Ebene E. s ist Eck- punkt von T, ist also enthalten in dem zur gegeniiberliegenden (dl - - 1)- dimensionalen Seite yon T gehSrigen Stiitzhalbraum (beziiglich E), d. h. es gilt s e E n H (P, u)C H (P, u). Da dies ffir alle u e N ( P ) - V gilt und da s ~ S(P, u') C H ( P , u') fiir u' ~ V ist, ist s e P und damit

(4) n=lS(P, u~) n P ~= 0

gezeigt. Nun setzen wir umgekehrt voraus, dab fiir u~ e N ( P ) (1 ~ i g m)

dann und nur dann (4) gilt, wenn die Vektoren u~ . . . . , u~ linear un- abh~ngig sind. Dann ist N(P) zun~chst eine positive Basis: W~re das nicht der Fall, so g~be es naeh 3.2 eine eehte Teilmenge U C N(P) derart, dab P ' = ['IH(P, u) (u e U) noch besehr~inkt und also ein konvexes Polyeder w~re. Da ein konvexes Polyeder die konvexe Hiille seiner Eekpunkte ist und da P eine echte Teilmenge von P' ist, hat P" einen Eekpunkt p', der nieht Eekpunkt yon P ist. In N(P) (~ 9~(P', p') sind n linear unabh~ngige Vektoren us . . . . . u, enthalten. Naeh Voraus- setzung mull der Schnit tpunkt der Ebenen S(P, u~) (1 <: i <: n) abet zu P gehSren. Aus dem Widersprueb folgt, dab N(P) eine positive Basis ist.

Angenommen, es w~re P r ~ . Da dann N (P) eine positive, aber keine starke positive Basis ist, existiert nach 3.3 ein Vektor v e V " - (0}, ffir den zwei verschiedene minimale Darstellungen dureh Vektoren aus N (P) mSglieh sind:

m m

i = 1 i=l

mit ~i, fl~ > 0, ui, vi ~ N(P) (1 ~ i "< m) und U = {ul, �9 �9 u~} =~: {vt . . . . . v~} ~-- V. Die Vektoren aus U sind, da sie in einer minimalen Darstellung vorkommen, linear unabh~ngig (BoNNICE und KL]~E [1], 3.2), also existiert nach Voraussetzung ein Punkt p e P mit p e f) S (P, u~) (1 ~ i _ < m ) . Analog gibt es einen Punkt q e P mit qeFIS(P ,v~) (1 < _ i ~ m ) . Zun~chst sei p + q . Wegen v e p o s U C p o s N ( P , p ) ist v ~ ~ (P ,p ) , also liegt p in der Stfitzebene S(P , v). Analog liegt q in S (P, v) und daher auch konv {p, q}. Sei x ~ rel konv {p, q}. Es ist v e ~ ( P , x) = p o s N ( P , x), d .h. es gibt eine Darstellung v ---- ~y~w~ mit ? ~ > 0 , w ~ e N ( P , x ) ( l g i g l c ) . Die Menge W----{w~ . . . . . w~} ist verschieden yon U oder von V, sei etwa W ~= U. Es ist W C N ( P , x) = N ( P , p ) (~ N(P , q) (s. 3.1), also W ~J U C N ( P , p ) . Im Falle p = q ist U u V CN(P ,p ) . In jedem Falle kann v aus Vektoren aus N(P ,p ) auf zwei verschiedene Weisen linear kombiniert werden, d.h. die Vektoren

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aus N(P, p) sind linear abh/ingig im Widersprueh z u r Voraussetzung. Es folgt P e ~. Damit ist 3.4 bewiesen.

Wir betrachten jetzt die in 2. ! definierte Relation a speziell fiir kon- vexe Polyeder. Seien P, P' e ~ Polyeder. Es ist leicht zu sehen, dab mit PaP ' aueh P ' a P gilt. Fiir PaP ' ist N(P) ~ N(P') notwendig und bei n -~ 2 aueh hinreichend, aber bei n :> 2 i. a. natiirlieh nicht hinreiehend. Es gilt jedoch:

3.5. Satz. Seien P, P' e ~. Sei N(P) -~ N(P'). Dann ist PAP'.

B e w e i s . Sei e ein Eckpunkt yon P. In N(P,e) sind n linear unabhiingige Vektoren u ~ , . . . , u , enthalten und naeh 3.4 keine weiteren Vektoren. Gleiehfalls nach 3.4 existiert ein Punkt e" e P' mit e' e f l S(P', u~) (1 ~ i ~ n), also mit N(P', e') D {ul . . . . , u.}, wobei wieder N(P', e') ---- {ul, . . . , u~} sein mul l Es ist also ~ ( P , e) = pos {u~, . . . , u~} = ~ ( P ' , e').

Sei nun p e Rd P und p kein Eekpunkt yon P. Sei ~r = (1 S (P, u) (3 P (u e N(P, p)). Sind el . . . . . e~ die mit ~r inzidenten Eekpunkte yon P, so ist, wie man leieht zeigt, N ( P , p) = [1 N(P, e~) (1 ~ i ~ m). Zu e~ existiert ein Punkt e; e Rd P ' mit N ( P , e,) = N ( P ' , e~) (1 ~ i g m ) . Sei z~' = konv {e~ , . . . , e~} und p e rel :r'. ~ach 3.1 ist

N ( P ' , p') ---- i 9 1 N ( P ' , e',) -~ ,0~ N(P, e,) ---- N(P, p).

Es gibt also zu jedem Punkt p e Rd P einen Punkt p ' e Rd P' mit 9~(P,p) ~-9~(P ' ,p ' ) , d .h . es ist P A P ' .

4. fJber die Durchschnitte konvexer K6rper.

4.1. Hilfssatz. Seien K, K', K n K' ~ ~. ~ei p ~ R d K n R d K' (also auch p ~ Rd (K n K')). Dann ist

?~(K n K',p) = pos [9~(K,p) u !l~(K',p)].

B e w e i s . p wird als Koordinatenursprung des R n gew/~hlt. Dann ist H ( K, u ) = {x e Rn i Su ~_ 0} ffir u e ~ ( K , p ) und entsprechend fiir K' und K r3 K'.

Sei UoEpOS[~(K,p) u~ (K ' , p ) ] , also Uo=~atu~ mit ~ > 0 , u~eO~(K,p) Ug~(K',p). Sei x e K r3 K', dann ist

xe,,,m(K,~)f] H(K, u) (3 u~m~,,n) H(K ' , u),

also ~u ~ 0 fiir alle u e ~ ( K , p) u ~ ( K ' , p). Es folgt ~u o = ~ u i ~ 0. Die Ebene durch p mit der Normalenriehtung u0 ist also eine Stiitzebene an K n K', d .h . es ist u o e ~ ( K n K',p).

(J~ber die Durchschnitte translationsgleicher konvexer KSrper usw. 125

Sei nun ~ e V n --{0}, ~ ~pos [~R(K,p) u ~ ( K ' , p ) ] . Die Menge

X -- {x e Rn]5 e pos [ ~ ( g , p) u ~R(K', p)] oder 5 ---- 0}

ist ein abgeschlossener, konvexer Kegel mit dem Scheitel p. Sei y E R ~ der Punkt mit dem Ortsvektor ~. Wegen y ~ X existiert eine (durch p gehende) Stiitzebene an X derart, dab y enthalten ist in dem vonder Ebene berande- ten offenen Halbraum, der frei ist yon Punkten aus X. Fiir diese Stfitz- ebene sei 5 ein l~ormalenvektor, der in denjenigen Halbraum weist, d e r y enth~lt. D ann ist ~ ~ > 0 und ~ u _~ 0 ffir aUe u e pos [~ (K, p) (J ~ ( K', p]). Ftir den Punkt z e R ~ mit dem Ortsvektor ~ gilt also

ze ['l H(K,u) A ['l H(K' ,u ) - - - -C(K,p) fhC(K' ,p ) . u~t(K,~) ue~(K~,~)

Dabei ist ffir A E ~, 1o ~ Rd A gesetzt: C (A, p) : A H (A, u) (u ~ ~ (A, p)). Diese Menge, der Projelctionskegel des K6rpers A im Randpunkt p, kann bekanntlieh auch folgendermaBen erhalten werden: C (A, p) sei die Menge der Punkte aller von p ausgehenden Halbgeraden, die einen inneren Punkt des KSrpers A enthalten. C(A, p) ist die abgeschlossene Hiille dieser Menge. Wir zeigen jetzt:

C(K A K', p) = C(K, p) n O(K', p).

Da ffir konvexe Mengen M, N, deren Durehsehnitt innere Punkte enth~lt,

M (~ N ---- M n N (wo - die abgeschlossene Hiille bezeiehnet) gilt, und da C(K, p) n C(K', p) den konvexen KSrper K r K' und damit innere Punkte enth~lt, genfigt es, zu zeigen:

(5) C(K ~ K', p) ----- C(K, p) ~ G(K', p).

Trivialerweise ist C ( K n K', p) C C ( K, p) n C ( K', p). Sei nun 9 C C (K, p) n C(K' ,p) eine yon p ausgehende Halbgerade. g enth/ilt innere Punkte aus K und solche aus K', wegen p e K n K' und der Kon- vexit~t yon K und K' also innere Punkte aus K f~ K'. Also ist aueh g C C(K (~ K', p), woraus (5) folgt.

Damit ist nun z e C(K n K', p) gezeigt. Wegen ~,~ > 0 ist die dureh i~ gehende Ebene der Normalenriehtung y keine Stiitzebene an C (K ~ K',p) und daher keine Stiitzebene an K ~ K'. Es folgt ~ ~ ?R (K ~ K', p) und damit die Behauptung des Hiffssatzes.

5. Beweis des Satzes 2.2. Um 2.2 zu beweisen, nehmen wir zun~chst K ~ ~ an und betrachten ein zu K translationsgleiches Polyeder K~ mit K n K~ ~ ~. Dann ist K n Kr jedenfalls ein konvexes Polyeder, und es gilt N ( K n K r) C N(K). Da N(K) eine positive Basis ist, w/ire nach 3.2 die Menge I '1H(K ~ Kr, u) (u ~ N ( K n Kr)) nieht beschr~nkt, wenn

126 Rolf Schneider

N ( K n K~) eine eehte Teilmenge yon N(K) w~re. Also ist N ( K n K r) : N(K), und 3.5 ergibt K n K r g K. Also ist K e ~(a).

Nun nehmen wir K e ~(a) an. Mit N(K) bezeiehnen wir die l~enge der Einheitsvektoren des V", die als ~uBere 1Kormalenvektoren in reguls Randpunkten yon K auftreten (ffir Polyeder st immt diese Erkl/irung offenbar mit der friiher gegebenen iiberein). Aus der Tatsache, dab die regul/iren Randpunkte auf Rd K dicht liegen, folgert man leieht, dab K : n H ( K , u ) ( u e N ( K ) ) ist. Da [ 1 H ( g , u ) ( u e N ( g ) ) also be- sehr/~nkt ist, ist pos N(K) = V ~ (naeh (1)), deshalb enth/~It N(K) eine positive Basis U des V ~. Die Menge P = fl H(K, u) (u e U) ist ein den K6rper K enthaltendes konvexes Polyeder. Um K = P zu beweisen, geniigt es, zu zeigen, dab K die Eckpunkte von P enth~lt. Da sieh in jedem Eekpunkt e yon P n Stiitzebenen S(K, u~) (u~ e U, 1 ~ i ~ n) mit linear unabh~ngigen Vektoren u ~ , . . . , un sehneiden, ergibt sieh dies aus der folgenden Behauptung:

(6) Die Ve~oren u~ e U (1 ~ i ~ n) seien linear unabh4ngig. Dann existiert zu jedem r (1 ~ r ~ n) ein Punkt q~ e Rd K mit ~ ( K , q,) ----- p O S { U l , �9 . , , U ~ . } .

Insbesondere gibt es also einen Punkt q ~ e R d K mit u ~ e ~ ( K , q,) (1 ~ i ~ n), also

IB

Wir beweisen (6) durch vollst~ndige Induktion: Sei p~ (1 ~ i ~ n) ein regul/~rer Randpunkt yon K mit u~ e ~ ( K , p~). Fiir r---- 1 ist die Be- hauptung riehtig mit ql = Pl. Sei die Behauptung bewiesen ffir ein r (1 ~ r < n). Wir w/~hlen q, als Koordinatenursprung im R" und setzen K* ---- K n (K + Pr+l)" "US ist P,+I e K*. H~tten K und K + P~+I nut Randpunkte gemeinsam, so gi~be es durch P~+I eine beiden KSrpern gemeinsame Stiitzebene, die wegen der Regularit~t von p~+~ mit S (K, U,+z) identisch w/~re. Dann h/~tte K in q~ eine zu S(K, u,+l) paraUele Stfitz- ebene, d .h . es w~re u,+l (oder - - u~+l) e ~ (K, q~) = pos (u I, . . . , ur}, was nieht sein kann, da U,+l yon ul, . . . . u~ linear unabh/~ngig ist. K* hat also innere Punkte, so da~ naeh Voraussetzung K* a K ist. Daher gibt es einen Punkt q,+l e Rd K mit

Yt (K, q,+l) = !~ (K*, P,+I) ~ ( K n (K + ~,,~), p,+~) pos [~(K, p,+~) u ~(K, q,)] pos [pos {u,+~} u pos { U l , . . . , u~}] pos {ul . . . . , U,+l},

~ber die Durchschmtte translationsgleicher konvexer K6rper usw. 127

wobei Hilfssatz 4.1 sowie die Induktionsannahme und die Regularitgt yon P~+l benutzt wurden. Damit ist die Behauptung (6) bewiesen, und es folgt K = P, d .h . K ist ein Polyeder, dessen l~ormalensystem N ( P ) = U eine positive Basis ist.

Um zu zeigen, dab N ( P ) eine starke positive Basis ist, benutzen wir Satz 3.4. Is t u~ E N (P) (1 ~ i ~ m) mit linear unabh/ingigen Vektoren ul . . . . , urn, so folgt

(7) iA1S(P, u,) n P ~= r

aus (6). Es bleibt zu zeigen, dab umgekehrt aus u~ e N ( P ) (1 ~ i ~ m) und (7) die lineare Unabhs der Vektoren ul, . . . . u~ folgt:

W/iren die Vektoren u l , . . . , u~, fiir die (7) gilt, linear abh/~ngig, so gs es auch einen Eckpunkt e e Rd P derart, dab N ( P , e) linear ab- h/ingige Vektoren, also, da in N ( P , e) n linear unabh/~ngige Vektoren vorkommen, mehr als n Vektoren enthielte. Wir zeigen aber, dab jede Ecke yon P nur mit n Seitenebenen S (P , u) (u e N ( P ) ) inzidiert:

Sei k eine den Eckpunkt e enthaltende Kante des Polyeders P und p ein Punkt der Kante, aber kein Eckpunkt. Sei N (P, p) = { v l , . . . , %}. Es gilt N ( P , p ) C N ( P , e). N ( P , e) enthfilt wenigstens noch einen yon vl . . . . . vs verschiedenen Vektor vs+~. Sei q e Rd P ein regul/irer Rand- punkt mit v~+l e ~ (P, q). Wir w/~hlen q als Koordinatenursprung des R ~ und setzen P * : P ~ (P + ~). Es ist p e P*. Enthielte P* keine inneren Punkte, so hs P in p eine zu S (P, v~+l ) parallele Stiitzebene. Da diese Stiitzebene den Kantenpunkt p enth/flt, enth/~lt sie die ganze Kante/r und damit den Punkt e, was nicht sein kann. P* hat also innere Punkte, somit ist P* ~ P. Es gibt daher einen Punkt r e Rd P mit

TO(P, r) = ?ft(P*,p) = pos [ ~ ( P , T ) u T~(P, q)]

= p o s [pos {v~ . . . . , v,} w p o s {v.+l}]

---- pos {v 1 . . . . . v,+l}.

Offensichtlich ist r : e. G/~be es nun in N (P, e) auJ3er v l , . . . , v,+~ noch einen Vektor v, so wi~re v ~ pos {v 1 . . . . , v8+1 }, also v ~ pos (N (P) - - {v}) im Widerspruch zur Tatsache, dab N(P) eine positive Basis ist. Also gilt N (P, e) = {vl . . . . , v,+~}.

Damit ist gezeigt: Schneiden sich in einer Eeke e genau s + 1 Seiten- ebenen S(P , u) (u e N(P)) , so schneiden sich in jeder von e ausgehenden Kante des Polyeders genau s Seitenebenen. Hieraus l~Bt sich s § 1 : n folgern:

Es gibt eine Hyperebene E, die alle yon e ausgehenden Kanten des Polyeders in von e verschiedenen Punkten schneidet. P ' ---- P (~ E ist ein

128 Rolf Schneider, Durchschnitte translationsgleicher konvexer KSrper usw.

( n - 1)-dimensionales konvexes Polyeder. Seine ( n - 2)-dimensionalen Seitenfl~chen sind die Durehsehnitte yon E und den m i t e inzidenten (n - - 1)-dimensionalen Seitenfl~ehen yon P. Also hat P' s + 1 Seiten- fliichen, und jede Ecke von P' inzidiert mit s dieser Seitenfl~chen. Hat P ' r Eckpunkte, so miissen je r - 1 Eckp,ml~te zu derselben (n~mlich der mit dem iibrigen Eckpunkt nicht inzidenten) Seitenfl~che gehSren. P' enths n Eckpunkte, die nieht alle in einer ( n - 2)-dimensionalen Ebene liegen. Die konvexe Hiille dieser Punkte ist ein in P' enthaltenes ( n - 1)-dimensionales Simplex T. P ' kann keinen weiteren Eckpunkt enthalten, da sonst die n genannten Eckpunkte s~mtlich in einer (n--2)- dimensionalen Ebene liegen mill]ten. Also ist P , - - - -T und daher s + l = n. Damit ist der Beweis yon K e ~, also } (a) = ~ abgesehlossen.

Literaturverzeichnis

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Eingegangen am 23. 6. 1965