JOURNAL OF THE OPTICAL SOCIETY OF AMERICA VOLUME 52, NUMBER 11 NOVEMBER 1962

Letters to the Editor

Über die neue Grunddeterminante der Optotechnik ALEXANDER MAJOROS

Forschungs-Laboratorium der Ungarischen Optischen Werke, Budapest, Hungary

(Received March 14, 1962)

EINE alte Frage seitens der Autoren1,2 auf dem Gebiet der Optotechnik war es, jede beliebige der zu ermittelnden

Zwischenwerte oder mittelbaren Endgrössen eines aus beliebigen Anzahl k von optischen Elementen (Brech- oder Spiegelflächen, Linsen, oder aus solchen kombinierten optischen Teilsystemen) zusammengesetzten optischen Systems, wie zum Beispiel das Höhenverhältnis ωk, die Dingschnittweite sk, oder Bildschnittweite sk', den Abbildungsmassstab β', oder die resultierende Brechkraft φ, unmittelbar und auf einfache Weise derart aus den verfügbaren Werten s1 e′1, e2', · · ·, ek-1′, φ1, φ2, · · ·, φk aufzuschreiben, dass daraus der gesuchte Wert mit Sicherheit bestimmt werden kann.

Auf dem Gebiet der unmittelbar en Berechnung treten tatsäch-lich grosse Schwierigkeiten auf. Es genügt daran denken, dass bei einem optischen System, das aus einer Anzahl k von Brechflächen besteht, deren Radien r1 r2, · · ·, rk, an der Achse gemessenen Abstände e′

1, e′2, · · ·, ek-1′, die Brechzahlen der Medien vor und

hinter den Flächen n1, n′1, n2, n′2, · · ·, nk, nk' und die anfängliche Dingschnittweite s1 sind, die letzte Bildschnittweite s′k der Kettenbruch

ergibt, wobei die angedeuteten Operationen wahrhaftig nur von unten nach oben, in auf einander folgenden Schritten ausgeführt werden können. In diesem Fall erhält man im Zuge der auf einander folgenden Operationen aus den Konstruktionsdaten (ni, ni′,ri,ei-1′)ki-1, sowie aus dem anfänglichen Dingabstand s1 der Reihe nach die dingseitigen bzw. bildseitigen Schnittweiten s1, s2, s2′, · · ·, sk, sk′, und aus diesen für den Fall ω1= 1 das Me Höhenverhältnis mittels der Formel

den Abbildungsmassstab aus der Formel

die Brennweite für den Fall s1= ∞ aus der Formel

beziehungsweise die resultierende Brechkraft aus der Formel

Die Ermittlung der resultierenden Brechkraft gestaltet sich selbst dann nicht günstiger, wenn sie aus der Formel

bestimmt wird, in der

ist. Diese Formel ist stark inhomogen, weil sie die von einander abhängigen Grössen ωi und e' i -1 gemischt enthält und deshalb ihr Gebrauch nur im Falle s1= ∞, das heisst S1=0 angenehm ist, da dann

Die Vorliebe zu dieser Formel lässt sich daraus erklären, dass die Anzahl der Glieder tφ der algebraischen Summe an der rechten Seite der Gleichung gerade so gross ist, als die Anzahl k der Elemente im optischen System, das heisst

also verbürgt ihre Anwendung eine relative Einfachheit. Die Lage verschlechtert sich stark, falls an Stelle der Höhen-

verhältnisse ωi die Abstände e′i-1 zwischen den einzelnen Elemen­ten des optischen Systems eingesetzt werden, weil dann

u.s.w., und deshalb die Anzahl der Glieder stürmisch wächst, da ja

ω1 durch eine algebraische Summe aus 1 Glied, ω2 durch eine algebraische Summe aus 2 Gliedern, ω3 durch eine algebraische Summe aus 5 Gliedern, ω4 durch eine algebraische Summe aus 13 Gliedern,

ausgedrückt wird, u.s.w., und demzufolge die Anzahl der Glieder jener algebraischen Summe, die die resultierende Brechkraft φ zum Ausdruck bringt, noch stürmischer anwächst. Ist die Anzahl der Elemente im optischen System, ferner tω die Zahl der Glieder im Ausdruck für die Bestimmung der Höhenverhältnisse ω, und tφ diejenige im algebraischen Ausdruck für die resultierende Brechkraft φ, dann gibt Tabelle I den zahlenmässigen Zusamm-enhang zwischen diesen Grössen.

Für die Bestimmung der resultierenden Brechkraft φ des optischen Systems auf unmittelbarem Weg—bei einer beliebig

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FIG. 1. Die Brechkraftkomponenten φ1, φ2, · · ·, φk, die Höhenverhältnisse ω1, ω2, · · ·, ωk und die Dingschnittweite s1.

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TABELLE I. System zu tun haben, das jeden LichtstrahJ des vom Dingpunkt ausgehenden homozentrischen Bündels wiederum homozentrisch im Bildpunkt vereinigt, dann ist laut den statoptischen Dual-begriffen jede einzelne Strahlkette an denselben Festpunkten gelagert und jede einzelne Strahlkette, somit also die gesamte Strahlkettenreihe, die das ganze Bündel bildet, bleibt unter dem Einfluss der wirkenden Kräfte in Ruhe, dass heisst, nicht allein die auf die einzelnen Strahlketten wirkenden Kräfte, sondern auch die auf die ganze Strahlkettenreihe wirkenden Kräfte sind in ihrer Gesamtheit im Gleichgewicht.

In dieser Weise wird es möglich, optotechnische Aufgaben mit Hilfe von statischen Verfahren, also auf statoptischem Wege zu behandeln. Die allgemeinen Voraussetzungen hierfür habe ich bereits in meinem Vortrag an der Optischen Konferenz des Vereins für Optik, Akustik, und Filmtechnik, Budapest am 7 September 1960 eingehend erörtert, unter anderen auch das, dass die sta-toptische Brechkraft in ihrer Definition

in der Statik und in der Statoptik wohl zu einer Gleichheit hin-sichtlich Ort, Richtung und Sinn der resultierenden Kraft eines aus einer Anzahl von k Kräften bestehenden Kräftesystems führt. Die Ermittlung ihrer Grösse wird aber sie hingegen nicht bestimmt, weil diese in der Statik durch die Form

grossen Anzahl k—kann noch immer eine Hoffnung bleiben, wenn äusser den Kraf tkomponenten φi die Höhenverhältnisse ωi gegeben sind (Fig. 1). Doch wird dies gemäss obene Tabelle I gänzlich hoffnungslos, sobald ausser den Brechkräften die von einander gemessenen Abstände ei-1′ von parallelen Kräften in einer Ebene (Fall des paraxialen Gebiets) oder von den in zwei Richtungen fallenden Komponenten disperser Kräfte in einer Ebene (Fall von marginalen und schiefen Strahlen) gegeben sind (Fig. 2).

Zur Lösung dieser Aufgabe wurde Verfasser durch die Anwend-barkeit der von ihm in die Optotechnik eingeführten statischen Verfahren, also seine statoptische Auffassung gezwungen, der gemäss er jeden der Strahlen des homozentrischen Lichtbündels, das aus dem Dingpunkt ausgeht und in den Bildpunkt gelangt, für einen auf zwei Festpunkten gelagerten Träger mit k+2 Gelenken betrachtet, wobei die Trägerform durch die auf einer Zwangsbahn beweglichen k Zwischengelenke wirkende Kräfte bestimmt wird, da der aus dem Dingpunkt ausgehende mathema-tisch gerade Lichtstrahl urn die an den Grenzflächen befindlichen Brechpunkte als fiktive Gelenke immer wieder kantet und infolge dieser wiederholten Verkantung die Gestalt einer aus geraden Strecken bestehenden Bruchlinie, das heisst einer Strahlkette einnimmt. Es kann die Annahme gemacht werden, dass die Verkantungen um die an den Brechpunkten gedachten Gelenke durch Kräfte ausgelöst werden, die auf dem verformten und gerade in Ruhe befindlichen Lichtstrahlträger ebenfalls im Gleichgewicht sind. Wenn man nun annimmt, dass wir es mit einem optischen

FIG. 2. Die Brechkraftkoniponenten φ1, φ2, · · ·, φk, die Abstände e1′, et', · · ·, ek-1' und die Dingschnittweite s\.

also durch die in der Optotechnik unter der Bezeichnung "Nor-malform" bekannte Formel, in ihrer optotechischen beziehung-sweise statoptischen genauen Form hingegen durch die unter (8) aufgeschriebene Formel

gegeben ist, die also mittelbar auch durch die Höhenverhältnisse ωi und unmittelbar auch durch die Abstände e i - 1 ' beeinflusst wird.

Als Folge des Gesagten ergab sich die zwangsläufige Notwen-digkeit, die resultierende Brechkraft φ in homogener Form, als Funktion der Kraftkomponenten φi, ihrer reduzierte Abstände di-1 = ei-1′/ni-1′ und des Reziprokwertes der reduzierten Ding-weite mit verändertem Vorzeichen S1= — n1/s1 aufzuschreiben. Als Ergebnis erhält man die Determinante M, die in ihrer ohne Beispiel stehenden Einfachheit, ihrer Merkbarkeit und uner-warteten Vielseitigkeit selbst die schönsten Erwartungen über-trifft: mit ihrer Hilfe lassen sich leicht und rasch bestimmen die folgende Werte: die Höhenverhältnisse ωk, die dingseitigen Schnittweiten Sk, die bildseitigen Schnittweiten Sk′ die resultierende Brechkraft φ, das Abbildungsmassstab β', sowie die Abstände z1 und Zk′· · · der Hauptpunkte H und H′, oder im Falle gegebenen Werte φ und β', die Brechkraftkoniponenten φi, der Abstand di, endlich die Grösse S1. Bekanntlich liegt die Bedeutung und der Vorteil des Aufschreibens von Funktionen in Determinantenform gerade darin, dass dadurch eine komplizierte Reihe von Opera-tionen, die eben wegen ihrer Kompliziertheit auch unübersichtlich ist, in einer einfachen Form zusammengefasst und in einen handlichen, leicht übersichtlichen und leicht entwickelbaren mathematischen Ausdruck umgewandelt wird. Die Ansätze gebe ich hier ohne Ableitung, sie können aber mit Hilfe mathematischen Induktion leichterhand bewiesen werden.

Ein nach Fig. 2 aus k;2 Elementen zusammengesetztes optisches System sei durch seine Elemente mit der Brechkraft φ1, φ2, · · ·, φk und den reduzierten Abständen d1 d2, · · ·, dk-1 gegeben und sei s1 der Abstand des Dingpunktes P1 vom ersten Element, dann können die oben gegebenen Grössen aus untenste-

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hender Determinante M bestimmt werden: TABELLE II.

(12) M nach φ0, d0, dk-1, φk und zwar

Die Grunddeterminante M ist also derart aufgebaut, dass die von links nach rechts und von unten nach oben verlaufende Hauptdiagonale in der Reihenfolge die nacheinander stehenden φ1, di enthält, wobei φ0 und d0 fiktive, ergänzende Elemente sind. Die Grunddeterminante ist also von der Ordnung 2 k + 1 und enthält (2k+l) 2 Elemente. Die unmittelbar neben der Hauptdia­gonale links-oben und rechts-unten verlaufenden Nebendiagonalen 2£ter Ordnung enthalten als Elemente die Einheit, mit Ausnahme der Stelle links vom Element φ1, wo der Wert S1 stent, dessen Bedeutung ist:

Die Nebendiagonalen enthalten also 4k—1 Einheitselemente und einen einzigen Element S1. An sämtlichen übrigen Stellen der Grunddeterminante steht Null, also es sind insgesamt 2k(2k- l ) = 4k 2 -2k Nullelemente, was die Entwicklung der Determinante in hohem Mass erleichtert.

Der in der Nebendiagonale vorkommende Wert S1 und die in der Hauptdiagonale stehenden reduzierte Abstände di, beziehung-sweise Brechkräfte φi können als ermittelt betrachtet werden und zwar diese letzgenannte gegeben durch folgende Formeln :

Da die Grunddeterminante von der Ordnung r=2k+1 ist, soil ihre

erste Zeile und Spalte mit 1, zweite Zeile und Spalte mit 2, vorletzte Zeile und Spalte mit 2k, letzte Zeile und Spalte mit 2k+1

bezeichnet werden, worauf man nach Streichen der in unten stehender Tabelle II bestimmten Zeilen und Spalten (x) sechs Subdeterminanten und zwar die Subdeterminanten MI, MII, MIII, MIV, MV, und MVI erhält.

Die so erhaltenen sechs Subdeterminanten sind nichts anderes, als die partiellen Differentialquotienten der Grunddeterminante

Nämlich betrachtet man zum Beispiel φ0 als unabhängige Verän-derliche,—dieses Element kommt nur in der (2k+1)ten Zeile und in der ersten Spalte vor und zwar lediglich am Schnittpunkt der beiden, so erhält den Differentialquotient MI nach φ0 der Deter­minante M, indem man in die (2k+1)te Zeile der Determinante an Stelle von φ0 den Wert 1 und an die Stelle sämtlicher von 0 abweichender Elemente 0 schreibt. Dies ist zulässig, weil ja M das φ0 mit der Einheitskoeffiziente und auf der ersten Potenz enthält und weil das φ0 in den übrigen von 0 abweichenden Elementen nicht mehr vorkommt, weshalb ihre derivierte nach φ0 den Wert 0 ergibt. Somit gelangen wir zu dem Ergebnis, dass ∂M/∂φ0 jene der algebraischen Subdeterminanten 2kter Ordnung ist, die man erhält, in dem man die (2k+1)te Zeile und die erste Spalte streicht. Wird nun M1 nach dem als unabhängige Veränderliche betrachteten d0 abermals differenziert und dementspechend an Stelle von d0 die Einheit, anstatt sämtlicher übriger von 0 abweich­ender Elemente in der 2kten Zeile 0 eingesetzt, was zulässig ist, da MI das d0 mit dem Einheitskoefhzient und auf der ersten Potenz enthält und weil in alien übrigen von 0 abweichenden Elementen das d0 nicht mehr enthalten ist, infolgedessen die Derivierte nach d0 gleich Null ist, erhält man die Subdeterminante MII. So kommt man wieder darauf, das die partielle Derivierte 2. Ordnung ∂2M/∂φ0∂d0 diejenige algebraische Subdeterminante (2k — 1)ter Ordnung der Determinante M ist, die man erhält, indem man die Zeilen 2k+1 und 2k, sowie die Spalten 1 und 2 streicht, und so weiter.

Der Zusummenhang zwischen den Grössen MI, MII, . . . , MVI

ist der folgende:

Die Anzahl tr der Glieder jener algebraischer Summen, die durch die Entwicklung der Determinante r = 2kter Ordnung MI, der Determinanten r = ( 2 k —1)ter Ordnung MII und MIII, der Determinanten r=(2k-2)ter Ordnung MIV und MV, sowie der Determinante r = ( 2 k - 3 ) t e r Ordnung MVI entstehen, lässt sich

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von Fibonacci genannten Formel unmittelbar aufschreiben:

Aus der für Binomialkoeffizienten bekannten Relation

folgt nun, class

was ein Beweis für die Richtigkeit der Aufschreibung in erste Tabelle ist.

In der Kenntnis der Subdeterminanten MI, MII, · · ·, MVI bei endlichem oder unendlichem Wert von s1 können die Höhen-verhältnisse ωk, die reduzierte Dingschnittweite sk/nk, bezie-hungsweise die reduzierte Bildschnittweite sk'/nk', das Abbil-dungsmassstab β' und die resultierende Brechkraft φ, sowie die Abstände z1 und zk′ der Hauptpunkten H und H′ bestimmt werden:

wenn s1 = ∞: und wenn s1 ≠ ∞, so erhält man unter Anwendung der Formelreihe (19):

Ebenso kann man erhalten in Falle einer gegebenen resultier-enden Brechkraft φ und eines gegebenen Abbildungsmassstab β' jede beliebige φi aus der Formel

ferner jeden beliebigen reduzierten Abstand di aus der Formel

schliesslich die Dingweite s1 aus der Formel

Betrachten wir nun beispielweise den Gang der Berechnung für den einfachsten Fall k = 2. Gegeben seien die Brechkräfte φ1 und φ2, ihr reduzierter Abstand d1′ = e1′/n1', sowie die Dingweite s1 und es sei (d0)MI, MIII, MV = 1, dann wird mit der Anwendung der Tabelle II , bzw. der Formelreihe (14):

und die gesuchten Werte ω2, s2, s2', β', φ, z1, z2' erhält man, λvenn s1= ∞, unter Anwendung der Formelreihe (18):

wenn s1 ≠ ∞: Ferner erhält man unter Anwendung der Formelreihe (20):

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Bereits die ruhige Abwicklung dieses einfachsten Beispiels vermittelt einen Begriff darüber, wie verhältnismässig einfach zum Beispiel im Falle von k = 28, das der Schablonfall eines Gummiobjektivs für einem Fotoapparat sein dürfte, die mehr als 139 Milliarden Glieder im Aùsdruck für ω28, oder die mehr als 225 Milliarden Glieder im Ausdruck für φ angedeutet, ange-schrieben und die Grösse ihrer algebraischen Summe bestimmt werden kann, besonders, wenn man bedenkt, dass bei den modernen elektronischen Rechenmaschinen die Programmierung der Entwicklung von Determinanten höherer Ordnung verhält­nismässig wesentlich einfacher von sich geht, als diejenige von Ausdrücken, die nicht in Determinanten geschrieben sind oder nicht in Determinantenform umgeschrieben werden können. Eben deshalb, erhoffe ich, meinen auf diesem Arbeitsfeld tätigen Kollegen durch die Bekanntgabe der Grunddeterminante M und ihrer Anwendungsweise einen Dienst erwiesen zu haben.

1 S. Rosin and O. H. Clark, J. Opt. Soc. Am. 31, 198 (1941). 2 M. Herzberger, J. Opt. Soc. Am. 33, 651 (1943).