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Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich von Gruppen It-Test und einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)
Werner Brannath
VO Biostatistik im WS 2006/2007
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Inhalt
1 Der unverbundene t-Test mit homogener VarianzBeispielModellTeststatistik und p-WertNullverteilung
2 Einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)Vom t-Test zur ANOVAOne Way ANOVA für drei GruppenOne Way ANOVA für k Gruppen
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der unverbundene t-Test für homogeneVarianzen
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichprobenbezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit(Erwartungswerte) verschieden sind.
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte injeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungenin beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzenhomogen sind.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der unverbundene t-Test für homogeneVarianzen
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichprobenbezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit(Erwartungswerte) verschieden sind.
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte injeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungenin beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzenhomogen sind.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der unverbundene t-Test für homogeneVarianzen
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichprobenbezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit(Erwartungswerte) verschieden sind.
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte injeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungenin beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzenhomogen sind.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der unverbundene t-Test für homogeneVarianzen
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichprobenbezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit(Erwartungswerte) verschieden sind.
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte injeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungenin beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzenhomogen sind.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beispiel für t-Test für zwei unverbundeneStichproben
Geburtsgewicht von 50 Kindern mit schwerem „idiopathicrespiratory distress syndrom”
Überlebende Kinder (n1 = 23)1.130 1.575 1.680 1.760 1.930 2.015 2.0902.600 2.700 2.950 3.160 3.400 3.640 2.8301.410 1.715 1.720 2.040 2.200 2.400 2.5502.570 3.005
Verstorbene Kinder (n2 = 27)1.050 1.175 1.230 1.310 1.500 1.600 1.7201.750 1.770 2.275 2.500 1.030 1.100 1.1851.225 1.262 1.295 1.300 1.550 1.820 1.8901.940 2.200 2.270 2.440 2.560 2.730
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Boxplots
Baby verstorben Baby lebt
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Geb
urts
gew
icht
(kg
)
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittelwerte und Standardabweichungen
Überlebende Kinder (n1 = 23):
Mittelwert y1 =Pn1
j=1 y1j
n1= 2.307
Standardabweichung s1 =
√Pn1j=1(y1j−y1)2
n1−1 = 0.665
Verstorbene Kinder (n2 = 27):
Mittelwert y2 =Pn2
j=1 y2j
n1= 1.692
Standardabweichung s2 =
√Pn2j=1(y2j−y2)2
n2−1 = 0.518
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittelwerte und Standardabweichungen
Überlebende Kinder (n1 = 23):
Mittelwert y1 =Pn1
j=1 y1j
n1= 2.307
Standardabweichung s1 =
√Pn1j=1(y1j−y1)2
n1−1 = 0.665
Verstorbene Kinder (n2 = 27):
Mittelwert y2 =Pn2
j=1 y2j
n1= 1.692
Standardabweichung s2 =
√Pn2j=1(y2j−y2)2
n2−1 = 0.518
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Fragestellung im Beispiel
Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durchreinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) einidentisches mittleres Geburtsgewicht.
oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufallerklärbar, d.h. gilt . . .
H1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihremmittleren Geburtsgewicht.
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Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Fragestellung im Beispiel
Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durchreinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) einidentisches mittleres Geburtsgewicht.
oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufallerklärbar, d.h. gilt . . .
H1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihremmittleren Geburtsgewicht.
Vergleich vonGruppen I
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Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich der Gruppen
Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615
Gemeinsame Varianz
s2 =(n1 − 1) · s2
1 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
48= 0.348
Gemeinsame Standardabweichung: s =√
s2 = 0.590
Vergleich vonGruppen I
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Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich der Gruppen
Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615
Gemeinsame Varianz
s2 =(n1 − 1) · s2
1 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
48= 0.348
Gemeinsame Standardabweichung: s =√
s2 = 0.590
Vergleich vonGruppen I
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Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich der Gruppen
Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615
Gemeinsame Varianz
s2 =(n1 − 1) · s2
1 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
48= 0.348
Gemeinsame Standardabweichung: s =√
s2 = 0.590
Vergleich vonGruppen I
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Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich der Gruppen
Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615
Gemeinsame Varianz
s2 =(n1 − 1) · s2
1 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
48= 0.348
Gemeinsame Standardabweichung: s =√
s2 = 0.590
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich der Gruppen
Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615
Gemeinsame Varianz
s2 =(n1 − 1) · s2
1 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
48= 0.348
Gemeinsame Standardabweichung: s =√
s2 = 0.590
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Zweiseitiger unverbundener t-Test mithomogenen Varianzen (Software R)
> t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Two Sample t-test
data: sirdsa and sirdsdt = 3.6797, df = 48, p-value = 0.0005902alternative hypothesis: true differencein means is not equal to 0
sample estimates:mean of x mean of y2.307391 1.691741
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Zweiseitiger unverbundener t-Test mithomogenen Varianzen (Software R)
> t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Two Sample t-test
data: sirdsa and sirdsdt = 3.6797, df = 48, p-value = 0.0005902alternative hypothesis: true differencein means is not equal to 0
sample estimates:mean of x mean of y2.307391 1.691741
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Zweiseitiger unverbundener t-Test mithomogenen Varianzen (Software R)
> t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Two Sample t-test
data: sirdsa and sirdsdt = 3.6797, df = 48, p-value = 0.0005902alternative hypothesis: true differencein means is not equal to 0
sample estimates:mean of x mean of y2.307391 1.691741
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ2Standardabweichung σ
Geburtsgewichte unabhängig
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ
Gewicht (kg)
Dic
hte
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ2Standardabweichung σ
Geburtsgewichte unabhängig
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ
Gewicht (kg)
Dic
hte
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ2Standardabweichung σ
Geburtsgewichte unabhängig
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ
Gewicht (kg)
Dic
hte
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ2Standardabweichung σ
Gewicht (kg)D
icht
e
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Geburtsgewichte unabhängig
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ
Gewicht (kg)
Dic
hte
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ2Standardabweichung σ
Gewicht (kg)D
icht
e
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Geburtsgewichte unabhängig
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Dichten der Normalverteilung
−10 −5 0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Dic
hte
versch. Mittelwerte
−2 0 4
−10 −5 0 5 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Dic
hte
versch. Standardabw.
0.51 1.5
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Dichten der Normalverteilung
−10 −5 0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Dic
hte
versch. Mittelwerte
−2 0 4
−10 −5 0 5 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Dic
hte
versch. Standardabw.
0.51 1.5
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Teststatistik t
n1, n2 Stichprobenumfänge; y1, y2 die Mittelwerte
s die gemeinsame Standardabweichung
Teststatistik des unverbundenen t-Tests
t =1√
1n1
+ 1n2
· (y1 − y2)/s
Je grösser der Absolutwert von t desto unplausibler H0.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mitzwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,
Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der
die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,
ansonsten alles wie in der Grundgesamtheitunserer Studie ist, d.h.:
die Geburtsgewichte normalverteilt sind unddie Varianz σ2 wie in unserer Studie ist.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mitzwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,
Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der
die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,
ansonsten alles wie in der Grundgesamtheitunserer Studie ist, d.h.:
die Geburtsgewichte normalverteilt sind unddie Varianz σ2 wie in unserer Studie ist.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Defintion des p-WertsMit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t∗
grösser als der Absolutwert von t?
p −Wert = P(t2∗ > t2)
Welche Verteilung hat t2∗ ?
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Defintion des p-WertsMit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t∗
grösser als der Absolutwert von t?
p −Wert = P(t2∗ > t2)
Welche Verteilung hat t2∗ ?
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Defintion des p-WertsMit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t∗
grösser als der Absolutwert von t?
p −Wert = P(t2∗ > t2)
Welche Verteilung hat t2∗ ?
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Bestimmung der H0-Verteilung von t2
Quadrat der t-Teststatistik
t2 =(y1 − y2)
2(1n1
+ 1n2
)· s2
=(y1 − y2)
2
σ2 ·(
1n1
+ 1n2
) /s2
σ2
= Zähler/Nenner
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Zähler
y1 − y2 normalverteilt mit E(y1 − y2) = µ1 − µ2
und Var(y1 − y2) = Var(y1) + Var(y2) = σ2
n1+ σ2
n2.
Falls H0 : µ1 = µ2, dann
√Zähler =
y1 − y2√σ2
n1+ σ2
n2
∼ N(0, 1)
Damit ist auch die H0-Verteilung vom Zähler bekannt!
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Zähler
y1 − y2 normalverteilt mit E(y1 − y2) = µ1 − µ2
und Var(y1 − y2) = Var(y1) + Var(y2) = σ2
n1+ σ2
n2.
Falls H0 : µ1 = µ2, dann
√Zähler =
y1 − y2√σ2
n1+ σ2
n2
∼ N(0, 1)
Damit ist auch die H0-Verteilung vom Zähler bekannt!
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Zähler
y1 − y2 normalverteilt mit E(y1 − y2) = µ1 − µ2
und Var(y1 − y2) = Var(y1) + Var(y2) = σ2
n1+ σ2
n2.
Falls H0 : µ1 = µ2, dann
√Zähler =
y1 − y2√σ2
n1+ σ2
n2
∼ N(0, 1)
Damit ist auch die H0-Verteilung vom Zähler bekannt!
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition der χ2k -Verteilung
DefinitionZ1, Z2, . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt
Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen
X 2 = Z 21 + Z 2
2 + . . . + Z 2k
die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k
Beispiel
Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition der χ2k -Verteilung
DefinitionZ1, Z2, . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt
Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen
X 2 = Z 21 + Z 2
2 + . . . + Z 2k
die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k
Beispiel
Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Dichten der χ2k -Verteilungen
0 5 10 15
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Dic
hte
Freiheitsgrade
1 248
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Summeneigenschaft
Summeneigenschaft der χ2-VerteilungenWenn
X 21 ∼ χ2
k1und X 2
2 ∼ χ2k2
und X 21 und X 2
2 sind unabhängig, dann ist
X 21 + X 2
2 ∼ χ2k1+k2
Beispiel
X 21 ∼ χ2
22 und X 22 ∼ χ2
26, dann X 21 + X 2
2 ∼ χ248
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Summeneigenschaft
Summeneigenschaft der χ2-VerteilungenWenn
X 21 ∼ χ2
k1und X 2
2 ∼ χ2k2
und X 21 und X 2
2 sind unabhängig, dann ist
X 21 + X 2
2 ∼ χ2k1+k2
Beispiel
X 21 ∼ χ2
22 und X 22 ∼ χ2
26, dann X 21 + X 2
2 ∼ χ248
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Nenner:s2
σ2 =(n1 − 1) · s2
1σ2 + (n2 − 1) · s2
2σ2
n1 + n2 − 2
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·s2
1σ2 ∼ χ2
n1−1 und (n2 − 1) ·s2
2σ2 ∼ χ2
n2−1
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Nenner:s2
σ2 =(n1 − 1) · s2
1σ2 + (n2 − 1) · s2
2σ2
n1 + n2 − 2
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·s2
1σ2 ∼ χ2
n1−1 und (n2 − 1) ·s2
2σ2 ∼ χ2
n2−1
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Nenner:s2
σ2 =(n1 − 1) · s2
1σ2 + (n2 − 1) · s2
2σ2
n1 + n2 − 2
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·s2
1σ2 ∼ χ2
n1−1 und (n2 − 1) ·s2
2σ2 ∼ χ2
n2−1
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Wegen der Summeneigenschaft der χ2-Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 ∼ χ2n1+n2−2
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 }/(n1 + n2 − 2)
die χ2-Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteiltdurch n1 + n2 − 2
Symbolisch: Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2).
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Wegen der Summeneigenschaft der χ2-Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 ∼ χ2n1+n2−2
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 }/(n1 + n2 − 2)
die χ2-Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteiltdurch n1 + n2 − 2
Symbolisch: Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2).
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung vom Nenner
Wegen der Summeneigenschaft der χ2-Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 ∼ χ2n1+n2−2
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·s2
1σ2 + (n2 − 1) ·
s22
σ2 }/(n1 + n2 − 2)
die χ2-Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteiltdurch n1 + n2 − 2
Symbolisch: Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2).
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung von t2
t2 = Zähler/Nenner
Zähler ∼ χ21
Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2),
Zähler und Nenner sind unabhängig.
Die Verteilung von t2 heißt
F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilung von t2
t2 = Zähler/Nenner
Zähler ∼ χ21
Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2),
Zähler und Nenner sind unabhängig.
Die Verteilung von t2 heißt
F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Geburtsgewichte
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition von Mean Sq
t2 =(y1 − y2)
2/
( 1n1
+ 1n2
)
{(n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2}/(n1 + n2 − 2)
=Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residuals=
4.710.35
= 13.5
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion von Sum Sq Residual
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2
=
n1∑j=1
(y1j − y1)2 +
n2∑j=1
(y2j − y2)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate derindividuellen Beobachtungen vom jeweiligenGruppenmittelwert;. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen(sum of squares within groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion von Sum Sq Residual
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2
=
n1∑j=1
(y1j − y1)2 +
n2∑j=1
(y2j − y2)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate derindividuellen Beobachtungen vom jeweiligenGruppenmittelwert;. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen(sum of squares within groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion von Sum Sq Residual
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2
=
n1∑j=1
(y1j − y1)2 +
n2∑j=1
(y2j − y2)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate derindividuellen Beobachtungen vom jeweiligenGruppenmittelwert;. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen(sum of squares within groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Betrachten den Gesamtmittelwert:
y =
∑n1j=1 y1j +
∑n2j=1 y2j
n1 + n2=
n1
n1 + n2· y1j +
n2
n1 + n2· y2j
Man kann ausrechnen, dass
Sum Sq Gruppe = (y1 − y2)2/
(1n1
+1n2
)
= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Betrachten den Gesamtmittelwert:
y =
∑n1j=1 y1j +
∑n2j=1 y2j
n1 + n2=
n1
n1 + n2· y1j +
n2
n1 + n2· y2j
Man kann ausrechnen, dass
Sum Sq Gruppe = (y1 − y2)2/
(1n1
+1n2
)
= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Betrachten den Gesamtmittelwert:
y =
∑n1j=1 y1j +
∑n2j=1 y2j
n1 + n2=
n1
n1 + n2· y1j +
n2
n1 + n2· y2j
Man kann ausrechnen, dass
Sum Sq Gruppe = (y1 − y2)2/
(1n1
+1n2
)
= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe = n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zweiGruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum ofsquares between groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe = n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zweiGruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum ofsquares between groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Definition Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe
Sum Sq Gruppe = n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zweiGruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum ofsquares between groups) genannt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Mean Sq Gruppe ∼ χ21/1
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
F Statistic ∼χ2
n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
χ21/1
= F1,n1+n2−2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Mean Sq Gruppe ∼ χ21/1
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
F Statistic ∼χ2
n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
χ21/1
= F1,n1+n2−2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Mean Sq Gruppe ∼ χ21/1
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
F Statistic ∼χ2
n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)
χ21/1
= F1,n1+n2−2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Vergleich von drei Gruppen - Beispiel
22 Patienten mit künstlicher Beatmung wurdendrei Beatmungsgruppen per Zufall zugeteilt (randomisiert)
Gruppe A: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemischfür 24 Stunden.Gruppe B: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemischnur wärend der Operation.Gruppe C: kein Stickoxid, 35-50% Sauerstoff für 24Stunden.
Endpunkt: Die Wirkung der Beatmung wird durch dieBlutplättchenzahl nach 24 stündiger Beatmung beurteilt.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beispiel: Fragestellung
Unterscheiden sich die drei Methoden inihrer Wirkung auf die Bluttplättchenzahl?
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beispiel: Blutplättchenzahl
Gruppe A Gruppe B Gruppe Bn = 8 n = 9 n = 5
243 206 241251 210 258275 226 270291 249 293347 255 328354 273380 285392 295
309
arithm. Mittel 316.6 256.4 278.0Standardabw. 58.7 37.1 33.8
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beispiel: Boxplots der Blutblättchenzahl
A B C
200
250
300
350
Gruppe
Blu
tplä
ttche
nzah
l
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Beispiel: Vergleich der Mittelwerte
Sind die Unterschiede in der mittleren Blutplättchenzahldurch reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
H0 : Die drei Beatmungsmethoden wirken (in Wirklichkeit)gleich auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.
oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufallerklärbar, d.h. gilt . . .
H1 : Die Beatmungsmethoden unterscheiden sich in ihrerWirkung auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Blutplättchenzahl
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Group 2 15516 7758 3.7113 0.04359Residuals 19 39716 2090
Im folgenden betrachten wir:Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Blutplättchenzahl
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Group 2 15516 7758 3.7113 0.04359Residuals 19 39716 2090
Im folgenden betrachten wir:Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Blutplättchenzahl
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Group 2 15516 7758 3.7113 0.04359Residuals 19 39716 2090
Im folgenden betrachten wir:Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA für Blutplättchenzahl
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Group 2 15516 7758 3.7113 0.04359Residuals 19 39716 2090
Im folgenden betrachten wir:Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion der Qudratsummen
Quadratsumme zwischen den Gruppen
Sum Sq Gruppe = n1·(y1−y)2+n2·(y2−y)2+n3·(y3−y)2
Quadratsumme innerhalb der Gruppen
Sum Sq Residuals =
= (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2 + (n3 − 1) · s23
=
n1∑j=1
(y1j − y1)2 +
n2∑j=1
(y2j − y2)2 +
n3∑j=1
(y3j − y3)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion der Qudratsummen
Quadratsumme zwischen den Gruppen
Sum Sq Gruppe = n1·(y1−y)2+n2·(y2−y)2+n3·(y3−y)2
Quadratsumme innerhalb der Gruppen
Sum Sq Residuals =
= (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2
2 + (n3 − 1) · s23
=
n1∑j=1
(y1j − y1)2 +
n2∑j=1
(y2j − y2)2 +
n3∑j=1
(y3j − y3)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
2
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
2
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
2
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Mean Sq Gruppe ∼ χ22/2
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2+n3−3/(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic ∼ F2,n1+n2+n3−3
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Mean Sq Gruppe ∼ χ22/2
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2+n3−3/(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic ∼ F2,n1+n2+n3−3
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Mean Sq Gruppe ∼ χ22/2
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2+n3−3/(n1 + n2 + n3 − 3)
F Statistic ∼ F2,n1+n2+n3−3
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA mit k Gruppen
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
N =∑k
i=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
Modellyij = µi + εij , εij ∼ N(0, σ2) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk , H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA mit k Gruppen
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
N =∑k
i=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
Modellyij = µi + εij , εij ∼ N(0, σ2) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk , H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
ANOVA mit k Gruppen
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
N =∑k
i=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
Modellyij = µi + εij , εij ∼ N(0, σ2) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk , H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen
Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)
Sum Sq Gruppe =k∑
i=1
ni · (yi − y)2
Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)
Sum Sq Residuals =k∑i1
(ni −1) · s2i =
k∑i=1
ni∑j=1
(yij − yi)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen
Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)
Sum Sq Gruppe =k∑
i=1
ni · (yi − y)2
Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)
Sum Sq Residuals =k∑i1
(ni −1) · s2i =
k∑i=1
ni∑j=1
(yij − yi)2
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
k − 1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(N − k)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
k − 1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(N − k)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Mittlere Qudratsummen
Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe
k − 1
Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals
(N − k)
F Statistic =Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k−1/k − 1
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k/(N − k)
F Statistic ∼ Fk−1,N−k
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k−1/k − 1
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k/(N − k)
F Statistic ∼ Fk−1,N−k
Vergleich vonGruppen I
WernerBrannath
Inhalt
t-TestBeispiel
Modell
Teststatistik undp-Wert
Nullverteilung
One WayANOVAVom t-Test zurANOVA
One Way ANOVA fürdrei Gruppen
One Way ANOVA fürk Gruppen
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k−1/k − 1
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k/(N − k)
F Statistic ∼ Fk−1,N−k