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Investition und Finanzierung

Prof. Dr. Rainer Elschen - 88 -

Prof. Dr. Rainer Elschen

Investition und Finanzierung - Vorlesung 5 12.11.2013 -



Inflation und dynamische Modelle (1)

Z.B.: 1000 € bei 10 % für 20 Jahre angelegt, ergeben:

nominale Zahlung = 1000 € * (1+0,1)20

= 6.727,50 €

bei einer Inflationsrate von 6 % folgt:

(in Preisen von heute) trate)Inflations(1

t in Zahlung Nominalet in Zahlung Reale

€0,06)(1

6.727,5020

reale Zahlung = = 2.097,67 €



Inflation und dynamische Modelle (2)

FISHER-GLEICHUNG

Regelmäßig wird mit Nominalgrößen gerechnet, da z.B. zur Steuerberechnung regelmäßig Nominalgrößen benötigt werden.

Literaturhinweise: Brealey / Myers

einheitlich nominal

oder

einheitlich real

In einem Entscheidungsmodell sind die Zahlungsgrößen und die

Zinssätze entweder

anzugeben.

1rateInflations1

sNominalzin1Realzins

z.B. Realzins 1 0 10

1 0 061 3 774

,

,, %



Der Planungshorizont

• Er muss grundsätzlich alle Perioden umfassen, in denen die betrachteten Alternativen zusätzliche Zahlungen auslösen.

• Ein sehr langer Planungshorizont ist problematisch:

– zunehmende Unsicherheiten (Prognoseprobleme)

– zunehmende Planungskosten bei sinkendem Planungsertrag



Die Kapitalwertmethode (1)

Für das Beispiel ergibt sich:

Typ A

t Et At Nt BWF (i=10%) Barwert

0 -480.000,00 -480.000,00 1,000000 -480.000,00

1 207.000,00 -71.500,00 135.500,00 0,909091 123.181,82

2 190.800,00 -66.100,00 124.700,00 0,826446 103.057,85

3 183.600,00 -63.700,00 119.900,00 0,751315 90.082,64

4 172.800,00 -60.100,00 112.700,00 0,683013 76.975,62

5 165.600,00 -57.700,00 107.900,00 0,620921 66.997,41

6 170.400,00 -55.300,00 115.100,00 0,564474 64.970,95

Kapitalwert = 45.266,29

• Entscheidungsgröße: Kapitalwert C0 (Net present value)

• Entscheidungsregel: C0 Max u.d.B. C0 > 0

n

1tt

t00

i)(1

N-AC

Et= Einnahmen At= Ausgaben Nt= Einnahmen-Ausgaben BWF= Diskontierungsfaktor



Die Kapitalwertmethode (2)

Typ B

t Et At Nt BWF (i=10%) Barwert

0 -250.000,00 -250.000,00 1,000000 -250.000,00

1 187.000,00 -74.500,00 112.500,00 0,909091 102.272,73

2 180.200,00 -71.900,00 108.300,00 0,826446 89.504,13

3 181.400,00 -69.300,00 112.100,00 0,751315 84.222,39

Kapitalwert = 25.999,25

• Der Kapitalwert entspricht dem im Planzeitpunkt im Vergleich zur

Anlagealternative zusätzlich entziehbaren Betrag oder dem nach

Begleichung der Finanzierungskosten noch vorhandenen Betrag.

• Ein negativer Kapitalwert zeigt, dass die Investition nicht durchgeführt werden sollte.

• Ein Kapitalwert von 0 zeigt an, dass diese Investition genauso ertragreich ist wie der zugrunde gelegte Zins, der die beste Alternative darstellen soll.



Was geschieht in den Perioden 4-6 bei Investition in Typ B?

• Komplementärinvestition am Kapitalmarkt Kapitalwert unverändert (übliche pauschale Prämisse bei Kapitalwertmethode)

• Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 (explizite Prämisse über Komplementärinvestition)

Typ B*

t Et At Nt BWF Barwert

0 -250.000,00 -250.000,00 1,000000 -250.000,00

1 187.000,00 -74.500,00 112.500,00 0,909091 102.272,73

2 180.200,00 -71.900,00 108.300,00 0,826446 89.504,13

3 181.400,00 -319.300,00 -137.900,00 0,751315 -103.606,31

4 163.200,00 -65.400,00 97.800,00 0,683013 66.798,72

5 156.400,00 -62.800,00 93.600,00 0,620921 58.118,24

6 157.600,00 -60.200,00 97.400,00 0,564474 54.979,76

i = 10 % Kapitalwert = 18.067,26



Beurteilung der Kapitalwertmethode

• Zeitliche Verteilung der Ein- und Auszahlungen wird über die Zinseszinswirkungen erfasst.

• Es wird immer eine ganze Handlungsalternative betrachtet.

• Genauigkeit hängt von der Periodenlänge (Tag, Woche, Monat, Jahr) ab.

Oft werden alle Zahlungen auf das Periodenjahresende bezogen.

• Bei unterjähriger Verzinsung gilt für den Abzinsungsfaktor:

Beurteilung der Kapitalwertmethode

nm

m

i1

1

nq

1

• Unterschiedliche Kapitalbindungen sind nur bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß unbeachtlich.



Endwert- und Zeitwertmethode

• Unterschiedlicher zeitlicher Bezugspunkt, auf den die Ein- und Auszahlungen auf- bzw. abgezinst werden.

• Ansonsten mit der Kapitalwertmethode identisch.

Endwertmethode: Alle Zahlungen auf das Ende des Planungshorizonts tn bezogen.

Zeitwertmethode: Alle Zahlungen werden auf einen beliebig, aber einheitlich gewählten Bezugspunkt ti bezogen.



Die Interne Zinsfußmethode (1)

• Der Interne Zinsfuß entspricht dem Zinssatz, bei dem sich ein Kapitalwert von 0 ergibt:

– Lösung dieses Polynoms n-ten Grades ist nicht immer einwertig, z.T. auch ohne reelle Lösung.

– Interpolation als eine mögliche Näherungslösung

• Der Interne Zinsfuß ist die durchschnittliche Wachstumsrate des investierten Kapitals.

• Entscheidungsgröße: Interner Zinsfuß r

• Entscheidungsregel: r Max u.d.B. r > i




r

C0

i

i1 i2

i*

C02

C01

rCC

iiCii

0102

12011

*

Lineare Interpolation:




Betrachtet wird aus unserem Beispiel die Investition Typ B: Versuchszinssätze 15% und 16%

15,83%0,158273.424715

0,150,163.4240,15

CC

iiCir

0102

12011

0,15 0,16

Jahr Überschuß q-t Barwert q-t Barwert

1 112.500 0,8696 97.826 0,8621 96.983

2 108.300 0,7561 81.890 0,7432 80.485

3 112.100 0,6575 73.708 0,6407 71.818

Summe der Barwerte 253.424 249.285

- Anschaffungskosten -250.000 -250.000

= Kapitalwert Co 3.424 -715




Die Berechnung nach Newton (Tangential-Annäherung):

1. Man startet mit einem beliebigen

Wert r0 und berechnet für diesen C(q0) und die 1. Ableitung C´(q0)

2. Dann setzt man den Startwert (x=0) und die damit berechneten Werte C und C´in diese Formel ein

qx+1=qx-C/C´

3. Dies geschieht solange, bis sich die vierte Stelle hinter dem Komma nicht mehr ändert (uns reicht das!)

Klappt im übrigen auch, wenn man mit r1 > r startet!

mit q=1+r

r

C0

r2 r1 r0

C0(r3)

C0(r2)

C0(r1)

r



to t1 t2 t3

Zahlungsreihe -250.000,00 112.500,00 108.300,00 112.100,00

C' -112.500,00 -216.600,00 -336.300,00

q0 C C'

1,16 -250.000,00 96.982,76 80.484,54 71.817,73 -714,973964

-83.605,83 -138.766,45 -185.735,50 -408.107,77

q1 = q0 - C(q0) / C'(q0) q11,1582481 =

q1 C C'

1,1582481 -250.000,00 97.129,45 80.728,20 72.144,11 1,758754

-83.858,94 -139.397,08 -186.861,80 -410.117,82

q2 = q1 - C(q1) / C'(q1) q21,1582524 =

q2 C C'

1,1582524 -250.000,00 97.129,09 80.727,60 72.143,30 0,000011

-83.858,32 -139.395,54 -186.859,03 -410.112,88

q3 = q2 - C(q2) / C'(q2) q31,15825236 =


Die Berechnung des internen Zinsfußes (Newton) – Beispiel:

mit q=1+r




Für unser Beispiel gilt:

(1) Komplementärinvestition zum internen Zinsfuß (übliche Prämisse der Internen Zinsfußmethode, oft kritisiert)

läßt internen Zinsfuß unverändert

(2) Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 (explizite Prämisse über Komplementärinvestition)

Typ A Typ B

rA1=0,13 rA2=0,14 rB1=0,15 rB2=0,16

3.636,10 -9.053,33 3.424,02 -714,97

rA= 13,29% rB= 15,83%

Was geschieht in den Perioden 4-6 und was mit

der geringeren Kapitalbindung?




Der interne Zinsfuß gibt auch die Verzinsung des noch nicht amortisierten Kapitals an.

Zeitpunkt 0 1 2 3 Summen

Zahlungsreihe -250.000,00 112.500,00 108.300,00 112.100,00 82.900,00

Effektivzins (IZ) 15,83%

Kalk. Investitionsertrag - -39.563,09 -28.020,65 -15.316,26 -82.900,00

Amortisation - 72.936,91 80.279,35 96.783,74 250.000,00

(Rest-)Kapital -250.000,00 -177.063,09 -96.783,74 0,00 -523.846,83

Investition 0

Nachträglich, d.h. wenn man den internen Zinsfuß schon berechnet hat (wie wir mit dem Newton`schen Verfahren), lässt er sich auch als Relation der Summe aller Zahlungen und der Kapitalsumme darstellen:

523.846,83

82.900,00

96.783,74177.063,09250.000

112.100108.300112.500250.00015,83%

15,83% 15,83% 15,83%




Bei einem Kredit ohne Disagio mit jährlichen Zinszahlungen und endfälliger Rückzahlung ist der interne Zinsfuß (IZ) einfacher zu berechnen:


Zahlungsreihe 250.000,00 -20.000,00 -20.000,00 -270.000,00 -60.000,00


Kalk. Investitionsertrag - 20.000,00 20.000,00 20.000,00 60.000,00

Amortisation - 0,00 0,00 -250.000,00 -250.000,00

(Rest-)Kapital 250.000,00 250.000,00 250.000,00 0,00 750.000,00

Finanzierung 1

8% 8% 8%

%8000.250

000.20

agKreditbetr

ng Zinszahlujährliche nsEffektivzi

Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital verändert sich nicht!



• Disagio-Varianten werden i.d.R. aus steuerlichen Gründen vom Kreditnehmer gewählt.

• Hierbei wird zur Effektivzins-Berechnung wieder das Newton`schen Verfahren benötigt.

• Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital steigt zwischenzeitlich, da

Effektivzins > Nominalzins.


Zum gleichen Effektivzins kann man auch mit einem Disagio (Abschlag vom Nennwert) und einer geringeren Nominalverzinsung kommen.


Zahlungsreihe 224.225,00 -10.000,00 -10.000,00 -260.000,00 -55.775,00



Amortisation - 7.938,00 8.573,04 -240.741,12 -224.230,08

(Rest-)Kapital 224.225,00 232.163,00 240.736,04 ~ 0,00 697.124,04

Finanzierung 1a

8% 8% 8%

Kredit (nominal) = 250.000 € Disagio = 25.775 € (10,31%) Nominalzins = 4 %




Zur Investition 0 würde aber besser die nachfolgende Finanzierung 2 passen:


Zahlungsreihe 250.000,00 -92.936,91 -94.444,40 -104.526,44 -41.907,75



Amortisation - -72.936,91 -80.279,35 -96.783,74 -250.000,00

(Rest-)Kapital 250.000,00 177.063,09 96.783,74 0,00 523.846,82

Finanzierung 2

8% 8% 8%

Besonderes Kennzeichen: Gleicher Kapitalverlauf wie bei Investition 0!




Die Finanzierung 2 könnte durch Aufnahme von drei Einzelkrediten konstruiert werden:

Finanzierung 2

+250.000 -92.936,91 -94.444,40 -104.526,44

0 1 2 3

konstruiert durch:

1.Zerobond-Kredit (1 Jahr) 1,08-1

86.052,69 -92.936,91

80.970,85 -94.444,40 1,08-2

2.Zerobond-Kredit (2 Jahre)

82.976,46 -104.526,44 1,08-3

3.Zerobond-Kredit (3 Jahre)




Den Kapitalwert einer Investition kann man auch über die periodischen Überschüsse berechnen.

2.Kredit (2 Jahre)

0 1 2 3

Investition 0 -250.000,00 112.500,00 108.300,00 112.100,00

Finanzierung 2 250.000,00 -92.936,91 -94.444,40 -104.526,44

Marge 7,83% 7,83% 7,83%

x Kapital 250.000,00 177.063,09 96.783,74

= Überschuß 19.563,09 13.855,60 7.573,56

+18.113,97

+11.878,94

+6.012,13

+36.005,05

-19.563,09

-13.855,60 1,08-2

-7.573,56 1,08-3

1,08-1

3.Kredit (3 Jahre)

1.Kredit (1 Jahr)

Wenn man die kapitalkongruente Finanzierung kennt ...

... oder die Marge und den Kapitalverlauf




Bei Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 folgt unter Beachtung der geänderten Absatzzahlen:

Weiterhin Problem durch unterschiedliche Kapitalbindung!

rB+B´ 12,00% 13,00%

C0 3.238,72 -3.631,38

rB+B´ 12,47%

Gesamtinvestition (B+B´)

Typ B

rB1 15,00% 16,00%

C0 3.424,02 -714,97

rB= 15,83%

t Et At Nt Barwert(1) Barwert(2)

3 -250.000,00

4 163.200,00 -65.400,00 97.800,00 91.401,87 90.555,56

5 156.400,00 -62.800,00 93.600,00 81.753,86 80.246,91

6 157.600,00 -60.200,00 97.400,00 79.507,41 77.319,26

C0 2.663,15 -1.878,27

Typ B´

Typ B´

rAi 7,00% 8,00%

C0 2.663,15 -1.878,27

rB´= 7,59%



Beurteilung der Internen Zinsfußmethode

• Zeitliche Verteilung der Ein- und Auszahlungen wird über die Zinseszinswirkungen erfasst.

• Genauigkeit hängt von der Länge der Periode (Tag, Woche, Monat, Jahr) ab

Oft werden alle Zahlungen auf das Periodenjahresende bezogen.

• Unterschiedliche Kapitalbindungen sind nur bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum jeweiligen internen Zinsfuß der Ausgangsinvestition unbeachtlich.



Finanzierungsrechnung und Investitionsrechnung

Investitionsrechnung und Finanzierungsrechnung sind mathematisch äquivalent. In der Praxis findet man aber in der Finanzierungsrechnung selten den Kapitalwert, dafür aber den Effektivzinssatz.

Investition

Finanzierung

t0 t1

F: 1.000 -1.200-300

-200

-100

0

100

200

300

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 Zins

Kap

italw

ertf

un

kti

on

(C

0)

t0 t1

I: -1.000 1.200



1i)(1

i)i(1Ca

n

n

0

Annuität = Kapitalwert * Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Die Annuitätenmethode

Die Annuität entspricht

dem jährlich während

des Planungshorizontes

entziehbaren Betrag.

• Entscheidungsgröße: Annuität a

• Entscheidungsregel: a Max u.d.B. a > 0

Für unser Beispiel folgt: Typ A Typ B

KZF i 10% 10%

Nutzungdauer n 6 3

WGF(i;n) 0,229607 0,402115

Kapitalwert C0 45.266,29 25.999,25

Annuität a 10.393,47 10.454,68



Beurteilung der Annuitätenmethode

• nur bei identischen Planungshorizonten sinnvoll (hier nicht gegeben)

• Bei identischem Planungshorizont ist die unterschiedliche Kapitalbindung bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß unbeachtlich.

• Die Vor- und Nachteile der Annuitätenmethode entsprechen weitgehend denen der Kapitalwertmethode, außer in der Exaktheit der Ergebnisse und u.U. in der leichteren Verständlichkeit des Ergebnisses.



Literaturhinweise zu Vorlesung 5

• Blohm, H. / Lüder, K.: Investition, 10. Aufl., München 2012.

• Brealey, R. A. / Myers, S. T.: Principles of Corporate Finance, 10. Aufl., Boston 2011.

• Götze, U.: Investitionsrechnung, 6. Aufl., Berlin et al. 2008.

• Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 13. Aufl., München 2011.

• Perridon, L. / Steiner, M.: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 16. Aufl., München 2012.

• Rolfes, B.: Moderne Investitionsrechnung, 3. Auflage, München-Wien 2003.

• Schmidt, R. H. / Terberger, E.: Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 2003.

• Süchting, J.: Finanzmanagement, 6. Aufl., Wiesbaden 1995.

vorlesung 5 12.11.2013 - uni-due.de€¦ · investition und finanzierung prof. dr. rainer elschen -...

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