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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Biegung offener ProfileVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
2 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und Festigkeitslehre Biegung offener Profile
TrägheitsmomentSpannungsnachweise
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
3 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
d
min σ−
max σ+
xy
Querschnitt
b
de
σ(e)
(e) max e(e) maxe d/ 2 d/ 2
++σ σ
= ⇒ σ = σ ⋅
2 3y
M e M e M M(e) e eW d/ 2 b d / 6 d/ 2 b d /12 I
σ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
Spannung an der Stelle e
Trägheitsmoment [cm4]
z
3
yb dI12⋅
=
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
4 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
d
∆L(1-ε)
∆L(1+ε)
x y
z
Querschnitt
b
d∆L
Allgemein
min σ−
max σ+
z
y
M(z) zI
σ = ± ⋅y
Mfür z 0 (z) 0 0I
= ⇒ σ = ± ⋅ =
3 21 1y 12 6
d M d M d Mz (z)2 I 2 b d 2 b d
= ⇒ σ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
yy
IW (z)
z=
TrägheitsmomentWiders tandsmomentAbs tand von Mittelachse
=
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
5 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
y
zz1
z2 zS S1
S2
A1
A2
zs
ys
n
i ii 1
S n
ii 1
A zz
A
=
=
⋅=∑
∑3 4
y,1 1 11I b d [cm ]
12= ⋅ ⋅
3 4y,2 2 2
1I b d [cm ]12
= ⋅ ⋅
2 2y,ges y,1 y,2 1 1 S 2 2 SI I I A (z z ) A (z z )= + + ⋅ − + ⋅ −
2 2z,ges z,1 z,2 1 1 S 2 2 SI I I A (y y ) A (y y )= + + ⋅ − + ⋅ −
Zusammengesetzter Querschnitt
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
6 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
y
zz1
z2 zS S1
S2
A1
A2
zs
ys3 4
z,1 1 11I d b [cm ]
12= ⋅ ⋅
3 4z,2 2 2
1I d b [cm ]12
= ⋅ ⋅
= + + ⋅ + ⋅ = + = ⋅ ⋅ + ⋅2 2 3 3z,ges z,1 z,2 1 2 z,1 z,2 1 1 2 2
1I I I A (0) A (0) I I (d b d b )12
1 S 2y y y= =
Zusammengesetzter Querschnitt
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
7 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
y,gesy,oben
S
IW
(d z )=
−
y,gesy,unten
S
IW
z=
y
zd =
d 1+
d 2
zS S1
S2
A1
A2
zs
ys
z,gesz,links z,rechts
IW W
b / 2= =
b = b2
Widerstandsmomente
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8 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmomente
n n2
y,ges y,i i i Si 1 i 1
I I A (z z )= =
= + ⋅ −∑ ∑n n
2z,ges z,i i i S
i 1 i 1I I A (y y )
= =
= + ⋅ −∑ ∑
z S=
e u
dges
bmax
z
y
A1
A2
A3
S1
S2
S3
Trägheitsmomente
Widerstandmomente
y,ges y,gesy,oben
ges S o
I IW
(d z ) e= =
−
y,ges y,gesy,unten
S u
I IW
z e= =
e o
ey ey
Sgesys
zs
Fachgebiet Bautechnologie
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9 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
Genormte Stahlprofile
IPE HEA HEB HEM U
L L Quadratrohr Rechteckrohr Rundrohr ungleich- gleichschenkligschenklig
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
10 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
11 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
12 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
BH = 0
A8 m 2,5 m
BV
Charakteristische Einwirkungen
Eigenlast g = 5,0 kN/m²
(Deckenaufbau)
Nutzlast p = 2,0 kN/m²
Abstand der Träger a = 4,0 m
Bemessungswert der Einwirkungen
qd = (1,35·5,0 kN/m² + 1,5 · 2,0 kN/m²)·4,0 m = 39 kN/m2
V,d39 kN/m (8 m + 2,5 m)B 268,73 kN
8 m 2= ⋅ =Auflagerkräfte
Ad = 39 kN/m · (8 m + 2,5 m) – 192,94 kN
= 140,77 kN
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13 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Querkraftverlauf140,77 kN
97,5 kN
x
B,reQ 39 kN/m 2,5 m = 97,5 kN
= ⋅
B,liQ 97,5 kN - 268,84 kN = -171,23 kN
=
2
St(2,5 m)minM 39 kN/m
2 121,88 kNm
= − ⋅
= −
2 2
maxA (140,77 kN)M 254,05 kNm2 q 2 39 kN/m
= = =⋅ ⋅
A 140,77 kNx 3,61 mq 39 kN/m
= = =
Momentenverlauf
-171,23 kN
-121,88 kNm
254,05 kNm
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
14 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
,, ,
,
1E dE d R d
R d
σσ σ
σ≤ ⇒ ≤
E,d 3 3
254,05 kNm 25405 kNcm1380 cm 1380 cm
σ = =
2 2E,d 18,41 kN/cm 184,1 N/mmσ = =
Biegespannungsnachweis Feldmoment
dE,d
y
max MW
σ =
aus Tabelle HEB 280, Wy = 1 380 cm³
Bemessungswert der Bauteilfestigkeit
σR,d = fy,k/γM = 240 N/mm² / 1,1= 218,2 N/mm2
Nachweis der Tragfähigkeit
Bemessungswerte der Bauteilwiderstände Stahl S 325
Charakteristische Festigkeitfy,k = 240 N/mm²
184,1 0,84 1218,2
= ≤
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
15 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
,, ,
,
1E dE d R d
R d
σσ σ
σ≤ ⇒ ≤
E,d 3 3
121,88 kNm 12188 kNcm1380 cm 1380 cm
σ = =
2 2E,d 8,83 kN/cm 88,3 N/mmσ = =
Biegespannungsnachweis Stützmoment
St,dE,d
y
min MW
σ =
aus Tabelle HEB 280, Wy = 1 380 cm³
Bemessungswert der Bauteilfestigkeit
σR,d = fy,k/γM = 240 N/mm² / 1,1= 218,2 N/mm2
Nachweis der Tragfähigkeit
Bemessungswerte der Bauteilwiderstände Stahl S 325
Charakteristische Festigkeitfy,k = 240 N/mm²
88,3 0,40 1218,2
= ≤
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
16 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
E,d 3
25405 kNcm 16,94 kN/ cm²1500 cm
σ = =
Alternative Querschnitte
Nachweis der Tragfähigkeit
169,4 0,78 1218,2
= ≤
IPE 450 Wy = 1 500 cm³
IPE 320 Wy = 1 480 cm³
E,d 3
25405 kNcm 17,17 kN/ cm²1480 cm
σ = =
Nachweis der Tragfähigkeit
171,7 0,79 1218,2
= ≤
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
17 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
IPE 450 Wy = 1 500 cm³b/H = 190/450 mmg = 0,663 kN/m
HEA 320 Wy = 1 480 cm³b/H = 300/310 mmg = 0,976 kN/m
HEB 280 Wy = 1 380 cm³b/H = 280/280 mmg = 1,03 kN/m