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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? Florian Schacht 17.12.2013 Eine fachdidaktische Perspektive auf mathematischen Sprachgebrauch im Unterricht am Beispiel der Differentialrechnung

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Page 1: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung?

Florian  Schacht  17.12.2013  

Eine fachdidaktische Perspektive auf mathematischen Sprachgebrauch im Unterricht am Beispiel der

Differentialrechnung

Page 2: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Struktur: 1.  Motivation zum Vortrag 2.  Eine Diskussion um mathematische Begriffe – am Beispiel der

Differentialrechnung 3.  Fachdidaktische Konsequenzen 4.  Forschungsinteressen 5.  Ausblick - Fazit

Page 3: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Motivation

Fachsprache  im  Mathema8kunterricht  zum  Thema  

Zufall  

Individuelle  Begriffsbildung  beim  Variablenbegriff  

Fach-­‐  und  Werkzeugsprache  im  Mathema8kunterricht  (Differen8alrechnung)  

BeschäMigung  mit  mathema8schen  Begriffen      Diskussionsanlässe  aus  mathema8kdidak8scher  und  mathema8scher  Perspek8ve  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Struktur: 1.  Motivation zum Vortrag 2.  Eine Diskussion um mathematische Begriffe – am Beispiel der

Differentialrechnung 3.  Fachdidaktische Konsequenzen 4.  Forschungsinteressen 5.  Ausblick - Fazit

Page 5: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Die Schüler durchdenken hier ein uraltes epistemologisches Problem (Grenzwertbegriff).

Gibt  es  überhaupt  eine  Momentangeschwindigkeit?  

Gibt es in einem gewissen Punkt einer Kurve eine Tangente und – wenn ja – wie groß ist ihre Steigung?

Gottfried Wilhelm Leibniz Isaac Newton

Physikalische Herangehensweise: Problem der Momentangeschwindigkeit

1687  

1684   Geometrische Herangehensweise: Tangentenproblem

Inkommensurabilität (Pythagoreer, etwa 500 v.Chr.)

Exhaustion (Ausschöpfen durch endlich viele n-Ecke)

„Das  nützlichste  und  allgemeinste  Problem“  (Descartes,  zit.  nach  Heuser  1986)  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Leibniz

•  Entwicklung eines leistungsfähigen Kalküls

•  Analytische Präzisierung •  Mathematisierung beliebig kleiner Größen •  Grundlagen für den Grenzwertbegriff Newton

ε-δ-Definition von Karl Weierstraß

•  Zusammenhänge von Differential- und Integralrechnung

Eine präzise Definition des Grenzwerts...

...am  Ende  eines  über  2000  Jahre  andauernden  Aushandlungsprozesses.    

Differen8alrechnung  „ermögliche  der  Mi_elmäßigkeit,  Probleme  anzugreifen,  die  bisher  nur  den  Hochbegabten  zugänglich  gewesen  seien“    (Leibniz,  zit.  nach  Heuser  1986,  S.  670)  

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

Präzise Formulierung der Ableitung

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Eine Funktion heißt differenzierbar an der Stelle , falls der Grenzwert f : D→ x0 ∈

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f nach x in x0.

Beispiel eines mathematischen Begriffsbildungsprozesses.

Lösung eines wichtigen epistemologischen Problems.

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

Werkzeug theoretisches Objekt

Zur besonderen Natur mathematischer Begriffe (Sfard 1991)

Ableitung ist praktisch, -  zur Bestimmung von

Momentangeschwindikeiten -  zur Berechnung von Flugbahnen -  zur Bestimmung von Änderungsraten i.A. -  zur Bestimmung eines Flächenintegrals

über die Rotation eines Vektorfeldes (Integralsatz von Stokes)

-  ...

•  Quantifizierung von Änderungsprozessen

•  Bestimmung physikalisch nicht messbarer Phänomene (z.B. Momentangeschwindigkeit)

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Mathematische Begriffe

„There is a deep ontological gap betweeen operational and structural conceptions“ Anna Sfard (1991)

„Concepts can be tools and objects.“ Gérard Vergnaud (1992)

operationaler Charakter

Algorithmen Prozesse Kalküle

Euklidischer Algorithmus zur Ermittlung des ggT

Dijkstra Algorithmus zum Finden kürzester Wege

Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Ableitungsregeln ...

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Mathematische Begriffe

„There is a deep ontological gap betweeen operational and structural conceptions“ Anna Sfard (1991)

„Concepts can be tools and objects.“ Gérard Vergnaud (1992)

operationaler Charakter

Algorithmen Prozesse Kalküle

struktureller Charakter

Beschreibung von Strukturen Existenzaussagen und Zusammenhänge

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Terme zur Beschreibung mathematischer Strukturen

Eigenschaften geometrischer Formen Eulerscher Polyedersatz: E+F-K=2

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Mathematische Begriffe

„There is a deep ontological gap betweeen operational and structural conceptions“ Anna Sfard (1991)

„Concepts can be tools and objects.“ Gérard Vergnaud (1992)

operationaler Charakter

struktureller Charakter

Propädeu8k  der  Ableitung  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung

Mathematische Begriffe

operationaler Charakter

struktureller Charakter

Propädeu8k  der  Ableitung  

Fazit

Bedeutung des Grenzwertes kann in der Schule auf beiden Ebenen – als theoretisches Objekt und als praktisches Werkzeug – auch schon auf propädeutischem Niveau erfahren werden.

Page 12: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Struktur: 1.  Motivation zum Vortrag 2.  Eine Diskussion um mathematische Begriffe – am Beispiel der

Differentialrechnung 3.  Fachdidaktische Konsequenzen 4.  Forschungsinteressen 5.  Ausblick - Fazit

Page 13: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

Dimensionen der Beschäftigung mit mathematischen Begriffen

1) Ontologie mathematischer Begriffe

Begriff als Werkzeug

Begriff als theoretisches Objekt

2) Genese mathematischer Begriffe

Begriff als Produkt

Begriff als Prozess

3) Strukturierung mathematischer Begriffe

Rolle der Logik

inferentielle Struktur

Klärung der Dimensionen Konsequenzen aus fachdidaktischer Sicht

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

2) Genese mathematischer Begriffe Begriff als Produkt

Begriff als Prozess

•  Mathematische Begriffe sind nicht apriori gegeben •  Mathematik entwickelt sich ständig weiter

•  Mathematische Fachkultur als Kultur „mit eigenen Werten, Entwicklungsgesetzmäßigkeiten, sozialen Institutionen“ (Prediger 2004, vgl. auch Hersh 1997)

•  Mathematische Begriffe entstehen (i.d.R.) in langen Aushandlungsprozessen

•  Mathematische Forschung ist auf Austausch angewiesen und geschieht i.d.R. nicht allein hinter verschlossener Türe.

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

Mathematik als dynamisches System, das sich ständig weiterentwickelt

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

2) Genese mathematischer Begriffe Begriff als Produkt

Begriff als Prozess

•  (heutige) Mathematik als kulturelles Produkt •  Konkrete Probleme als Anlässe für die Entstehung neuer Mathematik

•  Mathematik als wichtiger Teil der Gesellschaft (Mathematisierung)

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

Mathematik als kulturelles Produkt, dass unser gesellschaftliches Leben (mit) prägt.

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

•  fundamentale Rolle der Logik für den Aufbau mathematischer Systeme •  Mathematische Argumentations- und Begründungsweisen sind logisch gegliedert

•  Mit Hilfe des logischen Vokabulars werden Relationen zwischen Begriffen beschrieben

•  Logisches Vokabular ermöglicht es, inferentielle Relationen zwischen math. Begriffen explizit zu machen

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

Rolle der Logik 3) Strukturierung mathematischer Begriffe inferentielle Struktur

Wenn in existiert, dann ist die Funktion f in x0 differenzierbar.

Unvollständigkeitssatz (Gödel): Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

•  Mathematische Zusammenhänge lassen sich inferentiell gliedern

•  Mathematische Begriffe sind (über ihre Eigenschaften) eingebettet in eine inferentielle Struktur.

limh→0

f (x0 + h)− f (x0 )h

= 0

Rolle der Logik 3) Strukturierung mathematischer Begriffe inferentielle Struktur

Wenn f in x0 einen Hochpunkt hat, dann ist

Differen8alquo8ent  

Satz  über  lokale  Extrema  

Mi_elwertsatz  

Satz  von  Rolle  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Fachdidaktisches Konsequenzen

Wichtige (und heikle) Fragen nach fachdidaktischen Konsequenzen aus der Beschäftigung mit Begriffen

•  Inwiefern kann der Doppelcharakter mathematischer Begriffe (Werkzeug und theoretisches Objekt) in der Schule erfahren werden?

•  Was bedeutet es für die Relevanz mathematischer Gegenstände und das Mathematikbild der Schüler, sie an der Erfahrung teilhaben zu lassen, dass Mathematik historisch gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt?

Zahlentheorie: Satz von Fermat

Diskrete Mathematik

•  Inwiefern lässt sich mathematische Fachkultur eigentlich in redlicher Weise in der Schule erfahren?

•  Inwiefern kann die inferentielle Struktur von Mathematik in der Schule zum Thema werden?

Digitale Werkzeuge

Relevante  Fragen  für  Fachdidak8ker  und  Fachmathema8ker!  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Struktur: 1.  Motivation zum Vortrag 2.  Eine Diskussion um mathematische Begriffe – am Beispiel der

Differentialrechnung 3.  Fachdidaktische Konsequenzen 4.  Forschungsinteressen 5.  Ausblick - Fazit

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

1) Ontologie mathematischer Begriffe

Begriff als Werkzeug

Begriff als theoretisches Objekt

2) Genese mathematischer Begriffe

Begriff als Produkt

Begriff als Prozess 3) Strukturierung mathematischer Begriffe

Rolle der Logik

inferentielle Struktur

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Normative Ebene

Konstruktive Ebene

Rekonstruktive Ebene

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Normative Ebene Inwiefern verändern sich die mathematischen Gegenstände des Mathematikunterrichts in Zeiten digitaler Medien im Unterricht?

Diskussionspunkt Funktionsuntersuchung

AuMräge:    -­‐  Beschreibe  Zusammenhänge  

zwischen  einzelnen  Punkten  und  den  Tangenten.    

-­‐  ...  

-  Entlastung von Umformungen und Rechnungen, aber nicht von der Mathematik (Elschenbroich 2003)

-  Wechsel zw. Repräsentationsebenen -  Erfahrung von Dynamik

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Normative Ebene Das Verhältnis von Fach- und Werkzeugsprache in einem CAS-gestützten MU

Inwiefern sollten Schüler die Problembearbeitung dokumentieren?

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Kriterien für eine abgestimmte Verwendung von Fach- und Werkzeugsprache

2 Argumente

Produkt (Ergebnisse) und Prozess (Lösungsweg) muss sichtbar werden Formulierung von Standards für die Nutzung von Fach- und Werkzeugsprache

1) Es kann nicht sein, dass eine Lösung einer zentral gestellten Klausuraufgabe für einen Korrektor nur dann verständlich ist, wenn er ein bestimmtes Gerät besitzt. Die Lösung muss allgemein verständlich sein.

2) Schüler müssen ihren Lösungsweg dokumentieren. Wenn sie ein CAS nutzen, müssen sie das auch schriftlich entsprechend fixieren.

Normative Ebene Das Verhältnis von Fach- und Werkzeugsprache in einem CAS-gestützten MU

Inwiefern sollten Schüler die Problembearbeitung dokumentieren?

solve(x2=4, x) ergibt x1=2 und x2=-2 Angemessen?

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Konstruktive Ebene

Welche Konsequenzen ergeben sich für die Konstruktion von Unterrichtsdesigns?

Authentisches Bild mathematischen Tuns

„Roter  Kasten“  am  Anfang?  

Doppelnatur mathematischer Begriffe

Genetische Perspektive auf Mathematik

Bigalke / Köhler (2010): Mathematik. Einführungsphase. Berlin: Cornelsen. S. 117

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Struktur: 1.  Motivation zum Vortrag 2.  Eine Diskussion um mathematische Begriffe – am Beispiel der

Differentialrechnung 3.  Fachdidaktische Konsequenzen 4.  Forschungsinteressen 5.  Ausblick - Fazit

Page 26: Was ist (individuelle) mathematische Begriffsbildung? · Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Mathematische Begriffe am Beispiel der Differentialrechnung Die Schüler

Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung? Forschungsinteressen

1) Ontologie mathematischer Begriffe

Begriff als Werkzeug

Begriff als theoretisches Objekt

2) Genese mathematischer Begriffe

Begriff als Produkt

Begriff als Prozess 3) Strukturierung mathematischer Begriffe

Rolle der Logik

inferentielle Struktur

(Persönliche) Forschungsinteressen, die sich aus der Beschäftigung mit math. Begriffen ergeben

Normative Ebene

Konstruktive Ebene

Rekonstruktive Ebene

Faszina8on  Begriff  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Mathematische Begriffe in Schule und Universität

Inwiefern sind mathematische Begriffe an Schule und Universität als Produkt und als Prozess erfahrbar?

Inwiefern kann gelingt es uns, Mathematik(treiben) und mathematische Fachkultur authentisch erfahrbar werden zu lassen?

Interessant  aus  der  Perspek8ve  der  Mathema8k  und  der  Mathema8kdidak8k!!!  

Welche Auswirkungen hat der Einsatz digitaler Werkzeuge auf die zu erlernenden mathematische Begriffe?

- spannende aktuelle mathematische Fragestellungen - Kreativität im Arbeitsprozess

Vielen  Dank!  

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Florian Schacht Was ist mathematische Begriffsbildung?

Literatur: Ableitinger, Christoph / Heitzer, Johanna (2013): Grenzwerte unterrichten. Propädeutische Erfahrungen und Präzisierungen. In: mathematik lehren 180. S. 2-11. Bigalke / Köhler (2010): Mathematik. Einführungsphase. Berlin: Cornelsen. Elschenbroich, Hans-Jürgen (2003): Unterrichtsgestaltung mit Computerunterstützung. In: Leuders, Timo (Hrsg.): Mathematik-Didaktik. Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen. S. 212-233. Foster, Otto (62001): Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Braunschweig / Wiesbaden. Hersh, Reuben: What is Mathematics, really? Jonathan Cape, London 1997. Heuser, Harro (31986): Ein historischer tour d‘horizon. In: Ders.: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. Stuttgart. S. 634-700. Prediger, Susanne (2004): Mathematiklernen in interkultureller Perspektive. Mathematikphilosophische, deskriptive und präskriptive Betrachtungen. München, Wien: Profil (Klagenfurter Beiträge zur Didaktik der Mathematik; 6). Sfard, Anna (1991): On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. In: Educational Studies in Mathematics 22, S. 1-36. Vergnaud, Gérard (1992): Conceptual Fields, Problem-Solving and Intelligent Computer-Tools. In: De Corte, Erik / Linn, Marcia / Mandl, Heinz / Verschaffel, Lieven (Hrsg): Comptuter-based learning environments and problem-solving. Berlin: Springer, S. 287-208.