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Weierstraß-Institut für
Angewandte Analysis und Stochastik
Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel. +49 30 203 72 0 · www.wias-berlin.de · 11.04.23
Adrian Lehmann
Die Beziérkurve
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Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 2
Inhalt
1. Allgemeines und Geschichte
2. Definition
3. Eigenschaften
4. Beispiele
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Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 3
Allgemeines und Geschichte
● parametrisch modellierte Kurve
● Werkzeug für Vektorgrafiken
● in Computergrafik wegen mathematischer
Leichtigkeit und geometrischer Eleganz
● besteht aus relativ einfacher Formel, nicht aus
Pixeln
● wurde zum Anfang der 1960er von Pierre Bézier
und Paul de Casteljau entdeckt
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Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 4
Definition
● Bezierkurve n-ten Grades besitzt n+1 Kontrollpunkte, die das Kontrollpolygon
bilden
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Eigenschaften
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 5
● Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons
● geht durch Endpunkte P0 und P
n
● C(0)=P0
● C(1)=Pn
● Kurve wird von Gerade höchstens so oft geschnitten wie Kontrollpolygon
● Kontrollpunkte auf einer Gerade → Strecke
● Einfluss eines Kontrollpunkts ist global
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Beispiel 1: Lineare Beziérkurve
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 6
● n=1
● 2 Kontrollpunkte P0 und P1 bestimmen Kurve, entspricht Gerade zwischen den
Punkten
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Beispiel 2: Quadratische Beziérkurve
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● n=2
● durch Funktion C(t) für P0,P
1 und P
2 verfolgt
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Beispiel 3: Kubische Kurven
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● n=3
● Bestimmt von 4 Punkten P0 bis P
3
● P1 legt fest in welche Richtung die Kurve in P
0 geht
● P2 legt fest aus welcher Richtung die Kurve zu P
3 geht
● Abstand von P0
und P1
bzw P2
und P3 bestimmen wie weit sich
Kurve in Richtung P1/P
2 bewegt bevor sie in Richtung P
3 läuft
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Beispiel 3: Kubische Kurven
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Beispiel 3: Kubische Kurven
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Beziérkurve 4. Grades
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Beziérkurve 5. Grades
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Gebrochenrationale Beziérkurven
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● Vereinfacht: Beziérkurve, deren Kontrollpunkte mit Anziehungskraft versehen sind
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Gebrochenrationale Beziérkurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 14
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Eckpunkt
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Glatter Punkt
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Symmetrischer Punkt
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