weihnachtsvorlesung statistik 2: copulas und abhängigkeit · de nition und entwicklung einige...
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Motivation
In den letzten Jahren hat das Management von Finanzrisiken
immer mehr an Bedeutung gewonnen (Basel II, Solvency II).
Dabei ist insbesondere die Abhangigkeit von verschiedenen
Risiken untereinander immer mehr in den Blickpunkt geruckt
(”Im Moment scheint alles mit allem zusammenzuhangen“,
FAZ zur Subprime-Krise).
Copulas sind zur Zeit im quantitativen Risikomanagement und
der Versicherungsmathematik sehr popular.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Motivation
In den letzten Jahren hat das Management von Finanzrisiken
immer mehr an Bedeutung gewonnen (Basel II, Solvency II).
Dabei ist insbesondere die Abhangigkeit von verschiedenen
Risiken untereinander immer mehr in den Blickpunkt geruckt
(”Im Moment scheint alles mit allem zusammenzuhangen“,
FAZ zur Subprime-Krise).
Copulas sind zur Zeit im quantitativen Risikomanagement und
der Versicherungsmathematik sehr popular.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Motivation
In den letzten Jahren hat das Management von Finanzrisiken
immer mehr an Bedeutung gewonnen (Basel II, Solvency II).
Dabei ist insbesondere die Abhangigkeit von verschiedenen
Risiken untereinander immer mehr in den Blickpunkt geruckt
(”Im Moment scheint alles mit allem zusammenzuhangen“,
FAZ zur Subprime-Krise).
Copulas sind zur Zeit im quantitativen Risikomanagement und
der Versicherungsmathematik sehr popular.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Motivation
Suche nach dem Wort”Copula“ in Google lieferte 2003
10.000 Treffer, im September 2005 bereits 650.000 Treffer.
Es gibt allerdings auch Kritik an diesem regelrechten
”Copula-Hype“: Z.B. Thomas Mikosch: Copulas: Tales and
Facts, 2005 (”Aber er tragt gar keine Kleider“)
Link zur Vorlesung: Abhangigkeit
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
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Beispiele fur Copulas
Motivation
Suche nach dem Wort”Copula“ in Google lieferte 2003
10.000 Treffer, im September 2005 bereits 650.000 Treffer.
Es gibt allerdings auch Kritik an diesem regelrechten
”Copula-Hype“: Z.B. Thomas Mikosch: Copulas: Tales and
Facts, 2005 (”Aber er tragt gar keine Kleider“)
Link zur Vorlesung: Abhangigkeit
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Beispiele fur Copulas
Motivation
Suche nach dem Wort”Copula“ in Google lieferte 2003
10.000 Treffer, im September 2005 bereits 650.000 Treffer.
Es gibt allerdings auch Kritik an diesem regelrechten
”Copula-Hype“: Z.B. Thomas Mikosch: Copulas: Tales and
Facts, 2005 (”Aber er tragt gar keine Kleider“)
Link zur Vorlesung: Abhangigkeit
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Literatur
Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas, 2. Auflage,
Springer, 2006
McNeil, Alexander J.; Frey, Rudiger; Embrechts, Paul:
Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, Tools,
Princeton University Press, 2005
Embrechts, Paul; Lindskog, Filip; McNeil, Alexander J.:
Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk
Management, in Rachev, Svetlozar T. (Hrsg.): Handbook of
Heavy Tailed Distributions in Finance, Elseriver, 2003, S.
176-223
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Literatur
Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas, 2. Auflage,
Springer, 2006
McNeil, Alexander J.; Frey, Rudiger; Embrechts, Paul:
Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, Tools,
Princeton University Press, 2005
Embrechts, Paul; Lindskog, Filip; McNeil, Alexander J.:
Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk
Management, in Rachev, Svetlozar T. (Hrsg.): Handbook of
Heavy Tailed Distributions in Finance, Elseriver, 2003, S.
176-223
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Literatur
Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas, 2. Auflage,
Springer, 2006
McNeil, Alexander J.; Frey, Rudiger; Embrechts, Paul:
Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, Tools,
Princeton University Press, 2005
Embrechts, Paul; Lindskog, Filip; McNeil, Alexander J.:
Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk
Management, in Rachev, Svetlozar T. (Hrsg.): Handbook of
Heavy Tailed Distributions in Finance, Elseriver, 2003, S.
176-223
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Literatur
Embrechts, Paul; McNeil, Alexander J.; Straumann, Daniel:
Correlation and Dependence in Risk Management: Properties
and Pitfalls, in Dempster, M. (Hrsg.): Risk Management:
Value at Risk and Beyond, 2002, S. 176-223
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gliederung
1 Definition und Entwicklung
2 Einige Eigenschaften von Copulas
3 Beispiele fur Copulas
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Gliederung
1 Definition und Entwicklung
Hilfsmittel
Grundidee und Entwicklung
Definition und der Satz von Sklar
2 Einige Eigenschaften von Copulas
3 Beispiele fur Copulas
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Verallgemeinerte Inverse
Definition
Sei T : R→ R eine nichtfallende Funktion. Dann heißt die
Funktion T−1 : R→ R := [−∞,+∞] mit
T−1(y) := inf {x ∈ R | T (x) ≥ y} die verallgemeinerte (linksseitig
stetige) Inverse von T .
Proposition
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F . Dann gilt
P(F−1 ◦ F (X ) = X
)= 1.
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Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Verallgemeinerte Inverse
Definition
Sei T : R→ R eine nichtfallende Funktion. Dann heißt die
Funktion T−1 : R→ R := [−∞,+∞] mit
T−1(y) := inf {x ∈ R | T (x) ≥ y} die verallgemeinerte (linksseitig
stetige) Inverse von T .
Proposition
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F . Dann gilt
P(F−1 ◦ F (X ) = X
)= 1.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
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Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Verallgemeinerte Inverse
Proposition
Sei F die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X und
F−1 ihre verallgemeinerte Inverse, das heißt
F−1(y) = inf{x ∈ R | F (x) ≥ y}. Dann gilt
1 ( Quantilstransformation) Fur U ∼ U(0, 1) gilt
P(F−1(U) ≤ x
)= F (x).
2 ( Wahrscheinlichkeitstransformation) Falls X die stetige
Verteilungsfunktion F hat, gilt F (X ) ∼ U(0, 1).
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Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Grundidee
Isolierung der Information uber die Abhangigkeitsstruktur
zwischen den einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors
X = (X1, . . . ,Xn), welche implizit in der gemeinsamen
Verteilungsfunktion F (x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, . . . ,Xn ≤ xn)
von X enthalten ist.
Eine n-dimensionale Copula C verknupft die
Verteilungsfunktionen F1, . . . ,Fn der einzelnen Komponenten
von X mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F .
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Grundidee
Isolierung der Information uber die Abhangigkeitsstruktur
zwischen den einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors
X = (X1, . . . ,Xn), welche implizit in der gemeinsamen
Verteilungsfunktion F (x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, . . . ,Xn ≤ xn)
von X enthalten ist.
Eine n-dimensionale Copula C verknupft die
Verteilungsfunktionen F1, . . . ,Fn der einzelnen Komponenten
von X mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F .
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Entstehung und Entwicklung
Copula (lat.): Band, Verbindungsstuck
Im statistischen Sinne wurde das Wort Copula erstmals von
Abe Sklar im Jahr 1959 benutzt.
Viele Ideen und grundlegende Ergebnisse gehen allerdings
schon auf Wassily Heoffding zuruck (Anfang 40er Jahre des
20. Jh).
Ohne Hoeffdings Arbeiten zu kennen, kam Maurice Frechet
1951 zu einer Vielzahl gleicher Ergebnisse.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Entstehung und Entwicklung
Copula (lat.): Band, Verbindungsstuck
Im statistischen Sinne wurde das Wort Copula erstmals von
Abe Sklar im Jahr 1959 benutzt.
Viele Ideen und grundlegende Ergebnisse gehen allerdings
schon auf Wassily Heoffding zuruck (Anfang 40er Jahre des
20. Jh).
Ohne Hoeffdings Arbeiten zu kennen, kam Maurice Frechet
1951 zu einer Vielzahl gleicher Ergebnisse.
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Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Entstehung und Entwicklung
Copula (lat.): Band, Verbindungsstuck
Im statistischen Sinne wurde das Wort Copula erstmals von
Abe Sklar im Jahr 1959 benutzt.
Viele Ideen und grundlegende Ergebnisse gehen allerdings
schon auf Wassily Heoffding zuruck (Anfang 40er Jahre des
20. Jh).
Ohne Hoeffdings Arbeiten zu kennen, kam Maurice Frechet
1951 zu einer Vielzahl gleicher Ergebnisse.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Entstehung und Entwicklung
Copula (lat.): Band, Verbindungsstuck
Im statistischen Sinne wurde das Wort Copula erstmals von
Abe Sklar im Jahr 1959 benutzt.
Viele Ideen und grundlegende Ergebnisse gehen allerdings
schon auf Wassily Heoffding zuruck (Anfang 40er Jahre des
20. Jh).
Ohne Hoeffdings Arbeiten zu kennen, kam Maurice Frechet
1951 zu einer Vielzahl gleicher Ergebnisse.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Nach 1959 wurden Copulas von unterschiedlichen Autoren
wiederentdeckt und teilweise mit anderen Namen wie”uniform
representations“ oder”dependence functions“ bezeichnet.
Bei der Untersuchung der Abhangigkeit zwischen
Zufallsvariablen wurden Copulas das erste Mal von Schweizer
und Wolff im Jahre 1981 explizit benutzt.
Bezeichnung: Wir bezeichnen die Menge der n-dimensionalen
Copulas mit Cn.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Nach 1959 wurden Copulas von unterschiedlichen Autoren
wiederentdeckt und teilweise mit anderen Namen wie”uniform
representations“ oder”dependence functions“ bezeichnet.
Bei der Untersuchung der Abhangigkeit zwischen
Zufallsvariablen wurden Copulas das erste Mal von Schweizer
und Wolff im Jahre 1981 explizit benutzt.
Bezeichnung: Wir bezeichnen die Menge der n-dimensionalen
Copulas mit Cn.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Nach 1959 wurden Copulas von unterschiedlichen Autoren
wiederentdeckt und teilweise mit anderen Namen wie”uniform
representations“ oder”dependence functions“ bezeichnet.
Bei der Untersuchung der Abhangigkeit zwischen
Zufallsvariablen wurden Copulas das erste Mal von Schweizer
und Wolff im Jahre 1981 explizit benutzt.
Bezeichnung: Wir bezeichnen die Menge der n-dimensionalen
Copulas mit Cn.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Definition
Definition (Copula 1)
Eine n-dimensionale Copula ist die multivariate Verteilungsfunktion
eines Zufallsvektors (U1, . . . ,Un) mit lauter auf [0, 1]
gleichverteilten Komponenten.
Alternativ zu dieser recht anschaulichen Definition, kann eine
Copula auch foldendermaßen etwas formaler definiert werden:
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Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Definition 2
Definition (Copula 2)
Eine n-dimensionale Copula ist eine Funktion C : [0, 1]n → [0, 1],
welche die folgenden drei Eigenschaften erfullt:
1 C (u1, . . . , un) ist in jeder Komponente ui , i = 1, . . . , n
wachsend.
2 C (1, . . . , 1, ui , 1, . . . , 1) = ui fur alle i ∈ {1, . . . , n}, ui ∈ [0, 1].
3 Fur alle (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn) ∈ [0, 1]n mit ai ≤ bi fur
i = 1, . . . , n gilt
2∑i1=1
· · ·2∑
in=1
(−1)i1+···+inC (u1i1 , . . . , unin) ≥ 0, (1)
mit uj1 = aj und uj2 = bj fur alle j ∈ {1, . . . , n}.Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Satz von Sklar
Satz (Sklar, 1959)
Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen
F1, . . . ,Fn. Dann existiert eine Copula C : [0, 1]n → [0, 1], so dass
fur alle x1, . . . , xn ∈ R
F (x1, . . . , xn) = C (F1(x1), . . . ,Fn(xn)) (2)
gilt. Falls die Randverteilungen stetig sind, ist C eindeutig.
Ansonsten ist C auf Ran F1 × Ran F2 × . . .× Ran Fn eindeutig
bestimmt, wobei Ran Fi = Fi (R). Umgekehrt gilt, dass falls C eine
Copula und F1,. . . , Fn univariate Verteilungsfunktionen sind, die in
(2) definierte Funktion eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit
Randverteilungen F1,. . . ,Fn ist.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Aus dem Satz von Sklar erhalten wir mit ui := Fi (xi ), i = 1, . . . , n
unmittelbar das folgende Korollar:
Korollar
Sei F eine n-dimensionale Verteilungsfunktion mit stetigen
Randverteilungen F1, . . . ,Fn und Copula C (wobei C (2) erfullt).
Dann gilt fur alle u = (u1, . . . , un) ∈ [0, 1]n
C (u1, . . . , un) = F (F−11 (u1), . . . ,F−1
n (un)). (3)
Ohne die Annahme der Stetigkeit, muss man vorsichtig sein.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
HilfsmittelGrundidee und EntwicklungDefinition und der Satz von Sklar
Copula von F
Definition
Sei X = (X1, . . . ,Xn) ein Zufallsvektor mit gemeinsamer
Verteilungsfunktion F und stetigen Randverteilungen F1, . . . ,Fn.
Dann ist die Copula von F (beziehungsweise die Copula von X) die
Verteilungsfunktion C von (F1(X1), . . . ,Fn(Xn)).
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Gliederung
1 Definition und Entwicklung
2 Einige Eigenschaften von Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und Invarianz
Frechet-Hoeffding Schranken
3 Beispiele fur Copulas
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Gleichmaßige Stetigkeit auf [0, 1]n
Eine n-dimensionale Copula ist auf [0, 1]n gleichmaßig stetig, wie
folgender Satz besagt.
Satz
Sei C : [0, 1]n → [0, 1] eine Copula. Dann gilt fur alle
u = (u1, . . . , un) und u = (u1, . . . , un) in [0, 1]n
|C (u)− C (u)| ≤n∑
k=1
|uk − uk | .
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Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Invarianz
Eine weitere wichtige Eigenschaft von Copulas ist ihre Invarianz
unter streng wachsenden Transformationen.
Proposition
Sei X = (X1, . . . ,Xn) ein Zufallsvektor mit stetigen
Randverteilungen und Copula C , weiter seien T1, . . . ,Tn streng
wachsende Funktionen auf Ran X1, . . . ,Ran Xn. Dann besitzt
(T1(X1), . . . ,Tn(Xn)) ebenfalls die Copula C.
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Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Partielle Ordnung fur Copulas
Wir fuhren nun eine Ordnung fur Copulas ein.
Definition
Seien C1 und C2 zwei n-dimensionale Copulas. Dann sagen wir C1
ist großer [ kleiner ] als C2 und schreiben C1 ≥ [ ≤ ]C2 genau dann,
wenn
C1(u) ≥ [ ≤ ]C2(u) fur alle u ∈ [0, 1]n
gilt.
Bemerkung
Diese Ordnung auf der Menge der Copulas ist nicht vollstandig. Sie
ist unvollstandig, da nicht jedes Paar von Copulas in ihr
vergleichbar ist.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Frechet-Hoeffding Schranken
Satz
Fur jede Copula C : [0, 1]n → [0, 1] gilt
max
{n∑
i=1
ui − n + 1, 0
}≤ C (u1, . . . , un) ≤ min{u1, . . . , un}.
(4)
Definition
Die untere Schranke in (4) wird gewohnlich mit W (u1, . . . , un)
bezeichnet und die untere Frechet-Hoeffding Schranke genannt.
Die obere Schranke in (4) wird gewohnlich mit M(u1, . . . , un)
bezeichnet und entsprechend die obere Frechet-Hoeffding Schranke
genannt.
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Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Frechet-Hoeffding Schranken
Satz
Fur jede Copula C : [0, 1]n → [0, 1] gilt
max
{n∑
i=1
ui − n + 1, 0
}≤ C (u1, . . . , un) ≤ min{u1, . . . , un}.
(4)
Definition
Die untere Schranke in (4) wird gewohnlich mit W (u1, . . . , un)
bezeichnet und die untere Frechet-Hoeffding Schranke genannt.
Die obere Schranke in (4) wird gewohnlich mit M(u1, . . . , un)
bezeichnet und entsprechend die obere Frechet-Hoeffding Schranke
genannt.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Bemerkung
1 M(u1, . . . , un) = min{u1, . . . , un} ist fur alle n ≥ 2 eine
Copula.
2 Fur n = 2 ist W (u1, u2) = max{u1 + u2 − 1, 0} eine Copula.
3 Fur n ≥ 3 ist W (u1, . . . , un) = max{∑n
i=1 ui − n + 1, 0} keine
Copula.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Gleichmaßige Stetigkeit und InvarianzFrechet-Hoeffding Schranken
Aber obwohl W fur n ≥ 3 keine Copula ist, ist die untere
Frechet-Hoeffding Schranke die bestmogliche untere Schranke im
folgenden Sinne.
Satz
Fur alle n ≥ 3 und alle u ∈ [0, 1]n existiert eine (von u abhangige)
Copula C , so dass gilt
C (u) = W (u).
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Gliederung
1 Definition und Entwicklung
2 Einige Eigenschaften von Copulas
3 Beispiele fur Copulas
Fundamentale Copulas
Implizite Copulas
Explizite Copulas
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Copulas, die wichtige Abhangigkeitsstrukturen
reprasentieren
Die Unabhangigkeitscopula ist gegeben durch
Π(u1, . . . , un) :=n∏
i=1
ui .
Die Komonotoniecopula ist die obere Frechet-Hoeffding
Schranke
M(u1, . . . , un) = min{u1, . . . , un}. (5)
Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion
des Zufallsvektors U = (U, . . . ,U) mit U ∼ U(0, 1).
Man sagt manchmal auch, dass M perfekte positive
Abhangigkeit beschreibt.Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Copulas, die wichtige Abhangigkeitsstrukturen
reprasentieren
Die Unabhangigkeitscopula ist gegeben durch
Π(u1, . . . , un) :=n∏
i=1
ui .
Die Komonotoniecopula ist die obere Frechet-Hoeffding
Schranke
M(u1, . . . , un) = min{u1, . . . , un}. (5)
Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion
des Zufallsvektors U = (U, . . . ,U) mit U ∼ U(0, 1).
Man sagt manchmal auch, dass M perfekte positive
Abhangigkeit beschreibt.Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Copulas, die wichtige Abhangigkeitsstrukturen
reprasentieren
Die Kontramonotoniecopula ist die untere Frechet-Hoeffding
Schranke fur n = 2
W (u1, u2) = max{u1 + u2 − 1, 0}. (6)
Diese Copula ist gerade die gemeinsame Verteilungsfunktion
des Zufallsvektors U = (U, 1− U) mit U ∼ U(0, 1).
Analog zum komonotonen Fall sagt man manchmal auch, dass
W perfekte negative Abhangigkeit beschreibt.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Definition komonotoner und kontramonotoner
Zufallsvariablen
Definition
Die Zufallsvariablen X1, . . . ,Xn heißen komonoton, wenn sie die
obere Frechet-Hoeffding Schranke (5) als Copula haben.
Fur n = 2 definiert man entsprechend:
Definition
Die Zufallsvariablen X1 und X2 heißen kontramonoton, wenn sie
die untere Frechet-Hoeffding Schranke fur n = 2, also gerade (6),
als Copula haben.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Definition komonotoner und kontramonotoner
Zufallsvariablen
Definition
Die Zufallsvariablen X1, . . . ,Xn heißen komonoton, wenn sie die
obere Frechet-Hoeffding Schranke (5) als Copula haben.
Fur n = 2 definiert man entsprechend:
Definition
Die Zufallsvariablen X1 und X2 heißen kontramonoton, wenn sie
die untere Frechet-Hoeffding Schranke fur n = 2, also gerade (6),
als Copula haben.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Komonotone Zufallsvariablen
Satz
Sei X = (X1, . . . ,Xn) ein Zufallsvektor mit den Randverteilungen
F1, . . . ,Fn. Dann sind die folgende Aussagen aquivalent:
1 Die Zufallsvariablen X1, . . . ,Xn sind komonoton;
2 Es existieren eine Zufallsvariable Z und wachsende Funktionen
f1, . . . , fn, so dass
Xd= (f1(Z ), . . . , fn(Z ));
3 Fur U ∼ U(0, 1) gilt Xd= (F−1
1 (U), . . . ,F−1n (U))
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Kontramonotone Zufallsvariablen
Proposition
Die Zufallsvariablen X1 und X2 sind genau dann kontramonoton,
wenn
(X1,X2)d= (f1(Z ), f2(Z ))
fur eine Zufallsvariable Z , eine wachsende Funktion f1 und eine
fallende Fuktion f2 oder umgekehrt, das heißt f1 eine fallende
Funktion und f2 eine wachsende Fuktion, erfullt ist.
Bemerkung
Das Konzept der Kontramonotonie kann nicht auf hohere
Dimensionen, das heißt n ≥ 3, verallgemeinert werden, da die
untere Frechet-Hoeffding Schranke dann keine Copula mehr ist.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Weitere Beispiele fur Copulas
Die hier vorgestellten Copulas konnen in drei Kategorien eingeteilt
werden:
Die so genannten fundamentalen Copulas, die wichtige
Abhangigkeitsstrukturen reprasentieren.
Die so genannten impliziten Copulas, die mit Hilfe von (3) aus
bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen abgeleitet
werden und nicht notwendigerweise in einer einfachen
geschlossenen Form angegeben werden konnen.
Die so gennaten expliziten Copulas, die in einfachen
geschlossenen Ausdrucken angegeben werden konnen.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Weitere Beispiele fur Copulas
Die hier vorgestellten Copulas konnen in drei Kategorien eingeteilt
werden:
Die so genannten fundamentalen Copulas, die wichtige
Abhangigkeitsstrukturen reprasentieren.
Die so genannten impliziten Copulas, die mit Hilfe von (3) aus
bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen abgeleitet
werden und nicht notwendigerweise in einer einfachen
geschlossenen Form angegeben werden konnen.
Die so gennaten expliziten Copulas, die in einfachen
geschlossenen Ausdrucken angegeben werden konnen.
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Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Weitere Beispiele fur Copulas
Die hier vorgestellten Copulas konnen in drei Kategorien eingeteilt
werden:
Die so genannten fundamentalen Copulas, die wichtige
Abhangigkeitsstrukturen reprasentieren.
Die so genannten impliziten Copulas, die mit Hilfe von (3) aus
bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen abgeleitet
werden und nicht notwendigerweise in einer einfachen
geschlossenen Form angegeben werden konnen.
Die so gennaten expliziten Copulas, die in einfachen
geschlossenen Ausdrucken angegeben werden konnen.
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit
Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Weitere Beispiele fur Copulas
Die hier vorgestellten Copulas konnen in drei Kategorien eingeteilt
werden:
Die so genannten fundamentalen Copulas, die wichtige
Abhangigkeitsstrukturen reprasentieren.
Die so genannten impliziten Copulas, die mit Hilfe von (3) aus
bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen abgeleitet
werden und nicht notwendigerweise in einer einfachen
geschlossenen Form angegeben werden konnen.
Die so gennaten expliziten Copulas, die in einfachen
geschlossenen Ausdrucken angegeben werden konnen.
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Definition und EntwicklungEinige Eigenschaften von Copulas
Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Fundamentale Copulas
Die wichtigsten Beispiele der ersten Kategorie, namlich die
Unabhangigkeitscopula Π, die Komonotoniecopula M wie in (5)
und die Kontramonotoniecopula W wie in (6), haben wir bereits
kennengelernt.
Als nachstes wollen wir zwei Beispiele fur implizite Copulas
angeben.
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Beispiele fur Copulas
Fundamentale CopulasImplizite CopulasExplizite Copulas
Implizite Copulas: Gauß-Copula
Sei Y ∼ Nn(µ, Σ) ein multivariat normalverteilter Zufallsvektor,
dann hat er die sogenannte Gauß-Copula (Normalcopula) als
Copula:
CGaP (u) = P (Φ(X1) ≤ u1, . . . ,Φ(Xn) ≤ un)
= ΦP
(Φ−1(u1), . . . ,Φ−1(un)
),
(7)
wobei Φ die Verteilungsfunktion der univariaten
Standardnormalverteilung ist und ΦP die gemeinsame
Verteilungsfunktion von X ∼ Nn(0,P), mit P = (ρ(Y))i ,j die
Korrelationsmatrix von Y, bezeichnet.
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Beispiele fur Copulas
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Implizite Copulas: t-Copula
Die n-dimensionale t-Copula hat die Form
C tν,P(u) = tν,P
(t−1ν (u1), . . . , t−1
ν (un)), (8)
wobei tν die Verteilungsfunktion der univariaten
Standard-t-Verteilung ist und tν,P die gemeinsame
Verteilungsfunktion des Zufallsvektors X ∼ tn(ν, 0,P) bezeichnet
und P eine Korrelationsmatrix ist.
Wahrend die gerade kennengelernten Gauß- und t-Copula Copulas
sind, die von bekannten multivariaten Verteilungsfunktionen
impliziert werden und selbst keine einfache geschlossene Form
haben, wollen wir jetzt fur den bivariaten Fall zwei Beispiele fur
Copulas mit einer einfachen geschlossenen Form geben.
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Beispiele fur Copulas
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Explizite Copulas: Bivariate Gumbel-Copula
Die bivariate Gumbel-Copula ist durch
CGuθ (u1, u2) = exp
{−(
(− ln u1)θ + (− ln u2)θ)1/θ
}, 1 ≤ θ ≤ ∞,
gegeben.
Fur θ = 1 erhalten wir die Unabhangigkeitscopula als Spezialfall
und der Grenzfall von CGuθ fur θ −→∞ ist die zweidimensionale
Komonotoniecopula.
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Explizite Copulas: Bivariate Clayton-Copula
Die bivariate Clayton-Copula ist durch
CClθ (u1, u2) = (u−θ1 + u−θ2 − 1)−1/θ, 0 < θ <∞,
gegeben.
Im Grenzfall θ −→ 0 gehen wir gegen die Unabhangigkeitscopula
und fur θ −→∞ gehen wir gegen die zweidimensionale
Komonotoniecopula.
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Beispiele fur Copulas
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Archimedische Copulas
Die bivariate Gumbel-Copula und die bivariate Clayton-Copula
gehoren beide zu der so genannten Familie der archimedischen
Copulas.
Diese Familie wurde in der Vergangenheit sehr ausfuhrlich
untersucht.
Diese Familie von Copulas hat sich unter anderem bei der
Modellierung des Risikos aus einem Kreditportfolio als sehr
hilfreich erwiesen.
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Archimedische Copulas: Pseudo Inverse
Definition
Angenommen φ : [0, 1]→ [0,∞] sei stetig und streng wachsend
mit φ(1) = 0 und φ(0) ≤ ∞. Dann definieren wir eine
Pseudo-Inverse von φ mit Definitionsbereich [0,∞] durch
φ[−1](t) =
{φ−1(t), 0 ≤ t ≤ φ(0)
0, φ(0) < t ≤ ∞.(9)
Mit Hilfe dieser Definition konnen wir jetzt bivariate Archimedische
Copulas definieren:
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Archimedische Copulas
Satz
Sei φ : [0, 1]→ [0,∞] stetig und streng wachsend mit φ(1) = 0
und φ[−1](t) wie in (9). Dann ist
C (u1, u2) = φ[−1](φ(u1) + φ(u2)) (10)
genau dann eine Copula, wenn φ konvex ist.
Alle Copulas die gemaß (10) konstruiert wurden, heißen bivariate
Archimedische Copulas.
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Generator einer Archimedischen Copula
Definition
Eine stetige, streng wachsende, konvexe Funktion
φ : [0, 1]→ [0,∞], die φ(1) = 0 erfullt, wird als Generator einer
Archimedischen Copula bezeichnet. Ein solches φ heißt strikter
Generator, falls φ(0) =∞.
Die Generatoren fur die Gumbel- und die Clayton-Copula sind
folglich φGu(t) = (−ln t)θ bzw. φCl(t) =1
θ(t−θ − 1).
Dirk Engel Weihnachtsvorlesung Statistik 2: Copulas und Abhangigkeit