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Wiederholung Vektoren Klasse 10 Mathe
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Punkte im kartesischen Koordinatensystem:
Koordinaten besonderer Punkte im Koordinatensystem:
• Punkte auf der x1-Achse: P(p1|0|0)
• Punkte auf der x2-Achse: P(0|p2|0)
• Punkte auf der x3-Achse: P(0|0|p3)
Mittelpunkt M einer Strecke 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :
Da 𝑎+𝑏
2 der Mittelwert zweier Zahlen a und b ist, erhält man den Mittelpunkt M einer Strecke 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ mit
A(a1|b2|a3) und B(b1|b2|b3) wie folgt: M(𝑎1+𝑏1
2|𝑎2+𝑏2
2 |
𝑎3+𝑏3
2)
Abstand 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ zweier Punkte A und B:
Der Abstand 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ der Punkte A(a1|b2|a3) und B(b1|b2|b3) kann man berechnen, indem man den Satz
des Pythagoras anwendet:
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = (b2-a2)2 + (b1-a1)2 und daraus ergibt sich
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = (b2-a2)2 + (b1-a1)2 + (b3-a3)2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √(b2 − a2)2 + (b1 − a1)2 + (b3 − a3)2
Bearbeite zum Training „Punkte im Raum“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 4.
x1
x2
x3
P(p1|p2|p3)
• Punkte in der x1- x2-Ebene: P(p1|p2|0)
• Punkte in der x1- x3-Ebene: P(p1|0|p3)
• Punkte in der x2- x3-Ebene: P(0|p2|p3)
Jeder Punkt ist im räumlichen
Koordinatensystem durch seine drei
Koordinaten p1, p2 und p3 eindeutig festgelegt.
x1
x2
x3
A
D
B
b3-a3
b1-a1
b2-a2 C
Quelle: Eigener Entwurf
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Quelle: Eigener Entwurf
Vektoren als Verschiebungen:
Gegeben seien die Punkte A(2|3|2), B(3|2|2),
C(4|3|2), D(3|4|2) und A´(3|1|4).
Die Verschiebung von A(2|3|2) zu A´(3|1|4) ergibt sich durch
den Vektor (1|-2|2), da 2 + 1 = 3, 3 + (-2) = 1 und 2 + 2 = 4.
Durch diese Verschiebung ergeben sich die neuen Punkte
B´, C´ und D´: B´(4|0|4), C´(5|1|4) und D´(4|2|4).
Dementsprechend beschreibt jeder Vektor 𝑣 = ( 𝑣1𝑣2𝑣3
) eine Verschiebung im Raum. Die Verschiebungs-
pfeile 𝐴𝐴´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐵´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐶´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ und 𝐷𝐷´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (siehe oben) sind parallel zueinander, gleich lang und haben alle die
gleiche Richtung. Alle veranschaulichen den gleichen Vektor 𝑣 = ( 1−22
). Im Koordinatensystem werden
Vektoren als Pfeile dargestellt, d.h. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ( 𝑏1 − 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏3 − 𝑎3
). Der Abstand von Punkt und Bildpunkt wird auch
als Betrag des Vektors bezeichnet, d.h.|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2
Bearbeite zum Training „Vektoren“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 6.
x1
x2
x3
A D B
C
A´ B´
C´
D´
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Bearbeitet nun anschließend die nachfolgenden Aufgaben: S.178, Nr.11 und 12, S.179, Nr.15 und 19.
Seite 178, Aufgabe 11:
Das Viereck ABSD ist ein Parallelogramm mit dem Diagonalenschnittpunkt M. Berechne die
Koordinaten der fehlenden Punkte.
a) A(1|2|3), B(2|5|3), C(4|8|6) b) B(3|9|2), C(1|5|6), M(5|6|2)
c) A(3|3|6), D(5|-1|6), M(8|1|2) d) C(-1|3|5), D(1|9|-4), M(15|3|-2)
Seite 178, Aufgabe 12:
Gegeben sind die Punkte A(2|4|5), B(5|8|5) und D(2|0|2).
a) Zeige, dass das Dreieck ABD gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.
b) Bestimme die Koordinaten des Punktes C so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist.
Seite 179, Nummer 15:
Wahr oder falsch? Begründe deine Entscheidung.
a) �⃗� + (- �⃗� ) = 0
b) �⃗� + 𝑣 + ( - 𝑣 ) = �⃗�
c) Der Vektor ( 710
) hat den siebenfachen Betrag des Vektors ( 110
).
d) Der Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ mit A(2|3|4) und B(4|-2|1) ist der Ortsvektor von C(2|-5|-3).
e) Die Koordinaten des Vektors - 𝑣 sind negativ.
Seite 179, Nummer 19:
In einem Viereck ABCD gilt 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = r · 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, r > 0.
a) Zeichne ein Viereck für r = 0,5. Wie heißt ein solches Viereck?
b) Welches besondere Viereck ergibt sich für r = 1?
Rechnen mit Vektoren:
Gegeben seien die Vektoren 𝑎 = ( 132
) und �⃗� = ( 2
−13
). Hieraus ergibt sich:
𝑎 + �⃗� = ( 132
) + ( 2
−13
) = ( 1 + 2
3 + (−1)
2 + 3 ) = (
325
)
Geometrische Veranschaulichung der
Addition von Vektoren:
Einen Pfeil des Vektors 𝑎 + �⃗� erhält man
durch Hintereinandersetzen des Pfeils von
�⃗� an einen Pfeil von 𝑎 .
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und 𝑎 - �⃗� = ( 132
) - ( 2
−13
) = ( 1 − 2
3 − (−1)
2 − 3 ) = (
−14
−1 )
Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren, sind auch Skalarmultipikationen (mit einer
reellen Zahl) möglich, zum Beispiel die Skalarmultiplikation des Vektors 𝑎 = ( 0,5
1,51
) mit 3:
3 · ( 0,5
1,51
) = ( 3 · 0,5
3 · 1,53 · 1
) = ( 1,5
4,53
)
Gilt für zwei Vektoren �⃗� = r · 𝑎 , dann sagt man, 𝑎 und �⃗� sind kollinear bzw. die zugehörigen Pfeile
sind parallel.
Der Gegenvektor des Vektors 𝑎 mit 𝑎 = ( 0,5
1,51
)
ist der Vektor - 𝑎 = ( −1−2−3
).
𝑜 = ( 000
) heißt Nullvektor. 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ heißt Ortsvektor des Punktes A. Einen Ausdruck wie r · 𝑎 + s · �⃗� + t · 𝑐
nennt man Linearkombination der Vektoren 𝑎 , �⃗� und 𝑐 (r, s, t Є ℝ).
Da wir mit Vektoren koordinatenweise rechnen, sind die gleichen Rechengesetzte wie bei den reellen
Zahlen gültig: Klammern werden zuerst berechnet, die Skalarmultiplikation wird vor der Vektor-
addition durchgeführt, Kommutativgesetz der Addition und der Skalarmultiplikation, Assoziativgesetz
der Addition und Skalarmultiplikation sowie das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation.
Bearbeite zum Training „Rechnen mit Vektoren“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 5 sowie zum
Training „Punkte und Vektoren“ die Aufgaben 1 bis 4.
Geometrische Veranschaulichung der
Subtraktion von Vektoren:
Die Subtraktion 𝑎 - �⃗� ist als Addition des
Vektors 𝑎 mit dem Gegenvektor von �⃗�
festgelegt: 𝑎 - �⃗� = 𝑎 + (- �⃗� )
Geometrische Veranschaulichung der
Skalarmultiplikation:
Der Pfeil des Vektors 3 · 𝑎⃗⃗⃗ ist drei Mal so
lang wie der Pfeil des Vektors 𝑎 und zeigt
in dieselbe Richtung.
Multipliziert man mit einer negativen
Zahl, so zeigt der Pfeil des Skalarprodukts
in die entgegengesetzte Richtung.
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Geraden im Raum:
Gegeben sind die Punkte A(2|3|2), B(1|1|1) und C(3|-1|1). Liegen diese drei Punkte auf einer
Geraden?
Überlegungen:
• Zwei Punkte legen eine Gerade eindeutig fest, zum Beispiel legen die Punkte A und B die
Gerade g eindeutig fest:
g: 𝑥 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + t · 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
g: 𝑥 = ( 232
) + t · ( −1−2−1
) (Parameter t Є ℝ)
• Nun müssen wir mithilfe einer Punktprobe testen, ob der Punkt C auf der Geraden g liegt:
( 3
−11
) = ( 232
) + t · ( −1−2−1
) Hieraus ergibt sich 𝑡 = −1𝑡 = 2𝑡 = 1
und damit ergibt sich eine falsche Aussage.
C liegt nicht auf der Geraden g
Parametergleichung einer Geraden:
g: 𝑥 = 𝑝 + t · �⃗� , t Є ℝ ist eine Gerade durch den Punkt P (mit seinem Ortsvektor 𝑝 ) mit dem
Richtungsvektor �⃗� (�⃗� ≠0⃗ ). 𝑝 heißt Stützvektor.
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Gegenseitige Lage von Geraden:
Geraden können zueinander wie folgt liegen:
• zueinander parallel und verschieden
• sich schneiden
• zueinander parallel und identisch
• windschief
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Zur Überprüfung der gegenseitigen Lagebeziehung zweier Geraden könnt ihr das nachfolgende
Schema nutzen:
Gegeben sind die Geraden g und h mit g: 𝑥 = 𝑝 + r �⃗� und h: 𝑥 = 𝑞 + s 𝑣
Sind die Richtungsvektoren �⃗�
und 𝑣 Vielfache voneinander?
Liegt der Punkt P mit dem
Ortsvektor 𝑝 auf der Geraden h?
Hat die Gleichung
𝑝 + r �⃗� = 𝑞 + s 𝑣 eine Lösung?
g || h und
g identisch h
g || h und
g verschieden h
g und h schneiden
sich
g und h sind zueinander
windschief
ja
ja ja nein
nein
nein