2 ~ 4 ARCII. MATH.

Z u r T h e o r i e d e r P o l y n o m p e r m u t a t i o n e n f iber e n d l i c h e n G r u p p e n

~,ToII

HANS L,~ uscJt

1. Es sei G cinc cndliche Gruppe, Coo(x) dic yon ciner U n b e s t i m m t e n x erzeugte uncndliche zyklischc Gruppe. Die E lementc des frcien Produk tes G[x] -~ G . C,~(x)

haben die Gesta l t ~ ( x ) ~ - - a l x k . . . . a r x k ' a r + l , at ~ G , kl ganz. Jedes solehe r licfert eine Abbi ldung yon G in sich, n~mlich g -+ ~v(g), g ~ G. Mit u ( G ) bezeichnen wit die Gruppe jener Abbi ldungen f f > of(g), die Pe rmuta t i onen der E lemente yon G sind. Diese Gruppe wurde in ciner ]~eihe yon Arbei ten ([3], [4], [5], [6], [9]) s tudiert . Ins- besondere stelltc sich die Fragc nach dcr Auf l6sbarke i t yon u (G). Da sich G in u (G) c inbet ten l'~f3t, ist die Auf l6sbarke i t yon G ffir die Auf lSsbarke i t yon u(G) notwen- dig. Aus dem Beweis von [311, Satz 7 folgt sofort, dab u (G) auf lbsbar ist, falls G' nil- po ten t ist, jedoch gibt es daneben noch weitere Gruppcn, fiir die u(G) auf lSsbar ist, c twa die symmet r i sche Gruppe $4. I m folgenden wird nun gezeigt, dab es jedoch auf lSsbare Gruppen gibt, ffir die u(G) nicht mehr auf lSsbar ist. Ein wichtiges Hills- mitre] hierffir ist die Differentiat ion in Gruppenr ingen (vgl. [2]). Mitf~ls dieses ,,diffe- rential calculus" lassen sich auch die E lemente yon u (G) charakterisieren. Ffir einige sehr nfitzliche Hinweise bin ich t I e r rn Professor R. BAER ZU grof~em D a n k verpflich- tet , ebenso danke ieh dem Referenten ffir die wertvol len Vorschl/~ge zur Erwei te rung der Resul ta te .

2. Definition. Es sei G eine Gruppe, R ein lr mi t Einse]ement und k o m m u t a t i v und Ir der Gruppcnr ing von G fiber R. H a t ~v ~ G[x] die Gesta l t

of(x) = a l x a 2 x " " a r x a r + l ,

so sei V'~ R G [ x ] erkl/~rt durch

~'(X) ~ a 2 x a 3 x ' " a r X a r + 1 -Jr- a 3 x a 4 x " * a r X a r + l ~- *'* -I- a r X a r l 1 ~- a r l l �9

Bemerkung. Die Abbi ldung ~ -+ ~ ' ist ein Spezialfall der yon F o x [2 ; Scitc 549] eingeffihrten Der iva t ion in Gruppenringen.

Es gelten folgende Derivat ionsregeln:

(I) (cp,p)' = qJ'~, + V/,

(2) (rrr)' = rq~', r ~ R.

Mittels Induk t ion finder man sofort, dab aueh die , ,Ket tenregel" erfiillt ist :

(3) [m (V, (~)).l' = ,{(x) �9 m'(7, (x)).

Vol. XIX, 1968 Polynompermutationen 285

Sei nun G eine endl iehe Gruppe , q~ ~G[x] . Dann g ib t es s te t s ein v / ~ G [ x ] yon der Ges ta l t

(4) y~ (x) = alxa~ x ' . . ar xar+l,

so d~B ~(g) = y~(g) ffir alle g e G gilt , denn t r e ten in q~(x) ~ b t x ~ b z x ~" . . . . brxk'br+l negat ive kl auf, so wird an der durch ~ gel iefer ten Abb i ldung von G in sich n ieh ts ge/indert , wenn man zu den E x p o n e n t e n ganzzahl ige Vielfache des Gruppenexponen - ten hinzuzhhl t . I m ib lgenden sollen dahe r nur solche ~0 b e t r a e h t e t werden.

Bemerkung. Die ffir diese E lemen te erkli t r te Der iva t ion t r i t t schon in [3] ~uf.

3. Sei nun G eine endl iche auf l6sbare Gruppe . I s t H / K ein H a u p t f a k t o r von G, r ~ ~ ~gg ~ ZG, dem Gruppenr ing yon G fiber dem Ring Z der ganz ra t iona len Zahlen,

geG

dann induz ie r t r in H / K cinch E n d o m o r p h i s m u s du tch (hK)r ~ ] - ] (ha)~K. J e d e m H a u p t f a k t o r H / K ordnen wir nun das Idea l ~'~

I a ( H / K ) =- { r ~ Z G I ( h K ) r ~- K f~ir alle h e l l } yon ZG zu.

~atz 1. Sei q~ c- G [x] yon der Gestalt (4). g -7- ~ (g) ist genau dann eine Permutalio~ der Elemente g ~ G, wenn ~o'(g) /iir alle g ~ G und alle Haupt/aktoren H / K yon G Ein- heit modulo I a ( H / K ) in ZG ist.

B o w e l s . Sei H / K H ~ u p t f a k t o r , und ~ E G[x] liefere eine P e r m u t a t i o n dcr Ele- mente von G, dann wird yon ~ auch eine P e r m u t a t i o n ~ ([3], Sa tz 3) der E lemente yon G/K induz ie r t durch ~ ( g K ) = ~ ( g ) K . Sei nun g ~ G, h c H, d a n n gil t q~(gh) -~ 9)(g)h~"(~) rood K. Ws q/(g) n ieh t E inhe i t rood Ic,(H/K), so g ib t es ein hi ~z h rood K, so dab h~ '(tt) = h q''(f~) rood K, und cs wSre

q)(ghl) - F(g)h] ''(a) ~ ([~(g)h ~/(~) -- cf(gh) rood K ,

Was ein W i d e r s p r u c h dazu is~,, dab rf in G/K eine P e r m u t a t i o n induzier t . I s t um- gekehr t die Bedingung des Satzes fiir ~ ~ G [x] erffdlt , so tb lgt die B c h a u p t u n g mi t t e l s I n d u k t i o n nach der Ordnung yon G: Sei 57 min ima le r Normal t e i l e r yon G, dann it~duziert ~ naeh I n d u k t i o n s a n n a h m e eine P e r m u t a t i o n in G/N. I s t ~(g) = ~ (h) fiir g, b e G , so folgt daher ff ~ h m o d N , d .h . es g ib t ein n e N , so daf~ h = gn. Dann gilt q~(g) ~ q~(h) = q~(gn) -- q~(g)n r und somi t n -~ 1, da q~'(g) au f N einen Auto-

marph i smus induzier t , d .h . g = h. Q . E . D .

4. Seien nun R.i(x) c G[x[, i ~ t , . . . , n yon der Gosta.lt (4) de ra r t , d a b Rt(ff) = 1

ffir alle g c G. ] ) ann gi l t Ri (g) = R i(g) (folgt aus dcr Ke t t cn regc l mi t te l s \ i = 1 i = 1

I~lduktion). Sei nun R(x) c G [ x ] mi t R(ff) ~ 1 ffir alle g c G und :oh o Z . W i t bilden

T(:,,) =~- ~ R~,.(.,,.,,:h). l )ann ist ffir l ~ G ~ a J,~cz

k

ge(1 h~(~ \bEG / gE(,'

286 H. LAvsclt A~Cm MATH,

W~hlen wir insbesondere ffir R (x) ~ x ~, w o k der Exponen t von G ist, d~nn is~ R'(x) = x ~-1 q- x ~-2 § .. . § x § 1.

Es gilt nun folgender

Satz 2. Sei G eine endliche nicht-abelsche Gruppe vom Exponenten m u n d q eine zu m teilerlremde Primzahl. Welters sei R eine endliche Gruppe mit elementar-abelschem Normalteiler N, so daft der Zentralisator C(N) -~ N und yore Exponenten q ist und R / N ~ G. Die Gruppe u ( R ) ist nicht au/16sbar, wenn die Summe

ge(g

eine Einheit in der Gruppenalgebra i~ber dem KSrper GF (q) mit q Elementen ist, aufler wenn q : 2 oder 3 und G eine Untergruppe yon GL(2,2) bzw. GL(2,3) ist.

B e w e is. Der kanonische Homomorph i smus yon R auf G werde mi t 0 bezeichnet. Dadurch ist ein Homomorph i smus u(0) yon u(R) in u(G) erkls dessert Kern aus ~llen ~ e u ( R ) besteht, so daft ~(t) ~ t rood N ffir alle t ~/~ gilt. Die Abbildung

V~G Ik~O \ h * 1 I

hat die Eigenschaft g~ (t) ~ t mod 24 ffir alle t ~ R, Es ist cp ~ Ker u (0) genau dann, wenn n -+ n ~'(0 (n E N) ein Automorphismus ffir alle t ~ R ist. Nun gilt

q~'(t) : l~l- T ' ( t ) - (,~e:a h)u~ (1 -~g -~ . . . _]_ gin-l)~,,ec~~ W m o d I , ( N ) .

( IR(N) wurde zunachst nur fiir minimale Normaltei ler N erkl~rt, jedoch genfigt es, N als elementar-abelsch anzunehmen). Lassen wit ~ aah die volle Einhei tengruppe

h e q der Gruppenalgebra yon G rood IR (N) fiber GF (q) durchlaufen, so durehli~uft auch q/(t) die volle Einhei tengruppe dieser Gruppenalgebra mod IR (N). Da die Abbi ldung (t --~ ~(t)) --~ (n -~ n ~'(u)) ein t tomomorph i smus A : Ker u(O) --> Aut N ist, derart , d~fi ira Bild yon A die volle Einhei tengruppe der Gruppenalgebra yon G fiber GF (q) auft r i t t - - da die Voraussetzung C ( N ) ~ N eine treue Darstel lung yon G in N garant ier t - - , kann das Bild yon A nicht auflSsbar sein. Denn die Gruppenalgebra yon G fiber GF(q) ist nach dem Satz yon MASCHK~ halbeinfach, und somit t r i t t unter ihren einfachen Komponen ten ein roller Matrizenring fiber GF (q) yon einem Grad ~ 2 auf. Fiir q =~ 2,3 ist aber GL(n, q) nicht auflSsbar, ebenso fiir q ~ 2 oder q ~ 3, falls G nieht Untergruppe yon GL (2,2) bzw. GL (2,3) ist. Q. E. D.

Z u s a t z. Sind die Voraussetzungen yon Satz 2 erffillt, so ist insbesondere u (N wr G) nichtauflSsbar, wo N wr G das Kranzp roduk t yon N mit G bedeute t (siehe z.B. [8]), und IN[ --~ q ist.

5. I m folgenden sollen nun einige Beispiele yon Gruppen angegeben werden, ffir die W Einheit der Gruppenalgebra bei passender Wahl yon q ist.

I. G babe Ordnung pa, sei nichtabelsch und yore Exponen ten p, ungerade. Dann ist

W = ( p - - 1 ) ~ g + p 3 _ 1 + p = ( p _ 1 ) ~ g + p 3 g-~l ge(~

Vol. XIX, 1 9 6 8 Polynompermutationen 287

Multipliziert man IV mi~ (p - - 1) ~ g - - / )4 , so erhiilt man -- pT, eine Einheit , falls p , q. ~G

2. Es sei G die nichtabe/sche Gruppe der Ordnung p% p ungerade, mit zyklischer

Untergruppe der Ordnung p n - l , n ~ 3. ~Tciters sei G~ ~ ~g~". Dann ist g E G

n - - !

i=l

Fiihrt man in W . [ ~ oqG -]~--1 -~ OCn] ~ f in, mit fin ~ 0 rood q einen Vergleich der

Koeffizienten der GS-~ durch, so erhSlt man ein System yon n Kongruenzen

n ~ 1

p2n-t o~ -~- pn (pn-~ __ pn- l -1) ~ o~ + (pn ~ __ pn- t -1 ) zcn ~: 0 rood q i=i+J ( i = 1 , 2 , . . . , n - - 1 ) ,

pn ~n ~- fin rood q.

Die Sys temdeterminante ist p(3n-1)n/2 also ist W genau dann Einheit , wenn q , p.

3. Es seien u und v Primzahlen, u > v, und G sei die nichtabelsche Gruppe der

0 rdnung uv , sofern diese existiert. (~ sei definiert als Gl = ~ 9 i . Mit dieser Be- zeichnung erh/~lt man ftir ~ a

W = ( u - - 1 ) ( v - - 1 ) ~ + ( v - - 1)G u + ( u ~ l ) G v -4- u v :

-- (u - I ) (v - I ) (7 + (v - I ) (u + (7 - iV} + (u - - I ) [ (v - I ) u -I 2 ] + u v :

= u ( v - 1)0+ ( u - v ) ~ + u ' Z v - u ~ + u v ,

Wobei N der Normaltei ler der Ordmmg u ist und 2~ = ~ g bedeutet . g e N

I~fihrt man in W . [cr ~ + u2 P7 + v.a] -~ fl rood q mit /5 ~ 0 mod q einen Vergleich der Koeffizienten yon ~ bzw. ,~ und 1 dutch, so erh/~lt man ein Sys tem v~n drei Kongruenzen

~e2 v2r -t- ~t2( v - 1 ) ~ + u(v - 1)~3 ~ 0 m o d q ,

u 2 v ~ z + ( u - - v } o ~ O m o d q ,

(u~v - - u ~ + u v ) g a ~ /5 m o d q .

Die Sys temdeterminante ist u S va (u v - - u -t- v), also is~b i f Einheit , wenn q von u und v verschieden und kein Teiler yon (uv - - u + v) ist.

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Eingegangen am 13. 7. I967

Ansehrift des Autors:

Hans Lauseh The Australian National University Institute of Advanced Studies Department of Mathematics Canberra, A.C.T., Australi~