2011_11_25_schnittgr_en (2)

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Anna Wieging Übung - Mechanik 14.10.2011 1 Übung Technische Mechanik – 25.11 Schnittgrößen 1)Definition Die Schnittgrößen geben die inneren Kräfte eines Tragwerkes an. Sie bieten ein Maß für die Materialbeanspruchung eines Tragwerkes. Beispiel: Schnittgrößen in der Ebene: Normalkraft ( () ); Querkfraft ( () ); Biegemoment ( () ) Um die Belastung an jedem Punkt des Systems zu zeigen, werden Schnittgrößenverläufe angegeben. 2)Berechnung der Schnittgrößen -Die Schnittgrößen werden mittels der Gleichgewichtsbedingungen im jeweiligen Schnitt bestimmt (∑;∑;∑) -sinnvolle Schnittführung (vor und nach Unstetigkeitsstellen) 3)Definition der Schnittufer und Schnittgrößen -Die gestrichelte Faser dient zur eindeutigen Festlegung des positiven bzw. negativen Schnittufers. -ein positives Moment erzeugt Zug auf der Seite der gestrichelten Faser

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Page 1: 2011_11_25_Schnittgr_en (2)

Anna Wieging

Übung - Mechanik 14.10.2011 1

Übung Technische Mechanik – 25.11

Schnittgrößen 1)Definition Die Schnittgrößen geben die inneren Kräfte eines Tragwerkes an. Sie bieten ein Maß für die Materialbeanspruchung eines Tragwerkes. Beispiel:

Schnittgrößen in der Ebene: Normalkraft (�(�)); Querkfraft (�(�)); Biegemoment (�(�)) Um die Belastung an jedem Punkt des Systems zu zeigen, werden Schnittgrößenverläufe angegeben. 2)Berechnung der Schnittgrößen -Die Schnittgrößen werden mittels der Gleichgewichtsbedingungen im jeweiligen Schnitt bestimmt (∑� ;∑ ;∑�) -sinnvolle Schnittführung (vor und nach Unstetigkeitsstellen) 3)Definition der Schnittufer und Schnittgrößen

-Die gestrichelte Faser dient zur eindeutigen Festlegung des positiven bzw. negativen Schnittufers. -ein positives Moment erzeugt Zug auf der Seite der gestrichelten Faser

Page 2: 2011_11_25_Schnittgr_en (2)

Anna Wieging

Übung - Mechanik 14.10.2011 2

Aufgabe 1: 1.Auflager berechnen

→ ∑� = 0 ⇒ �� = � ↷ ∑�� = 0 ⇒ −�� ∗ � + � ∗ �

� = 0 ⇒ �� = ��

↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� − � = 0 ⇒ �� = ��

2.Schnittgrößen berechnen

Schnitt I (0 < � < ��)

→ ∑� = 0 ⇒ �(�!) + �� = 0 ⇒ �(�!) = −�

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ −�� = 0 ⇒ �#�!$ = ��

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �& ∗ � = 0 ⇒�#�!$ = �� ∗ �

�#�!'($ = 0;�*�!'+,-

= �∗�.

Schnitt II(�� < � < �)

→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!) + �� = 0 ⇒ �(�!!) = −�

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!$ −�� + � = 0 ⇒ �#�!!$ = − ��

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − �& ∗ � + � ∗ *� − ��- = 0

⇒ �#�!!$ = �∗�� − �

� ∗ �

�*�!!'+,-

= �∗�. ; �#�!!'�$ = 0

Schnitt III (Alternative zu Schnitt II) (�� < � < �)

→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!!) − �(�!) = 0 ⇒ �(�!!!) = −�

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!!$ −�#�!$ + � = 0 ⇒ �#�!!!$ = − ��

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!!$ − �#�!$ + � ∗ � − �#�!$ ∗ � = 0

⇒ �#�!!!$ = �∗�� − �

� ∗ �

�#�!!!'($ = �∗�. ; �*�!!!'+

,-= 0

Oder Schnitt IV (Alternative zu Schnitt II) Hier ausgelassen.

3. Schnittkraftverläufe zeichnen

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Übung - Mechanik 14.10.2011 3

Aufgabe 2(Aufgabe 51m aus dem Übungsskript):

1.Auflager berechnen → ∑� = 0 ⇒ �� = 0 ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� + /0∗�

� ∗ �1 � = 0 ⇒ �� = − /0∗�

1

↑ ∑ = 0 ⇒ �� − /0∗�� = 0 ⇒ �� = /0∗�

� 2.Schnittgrößen berechnen

Schnitt I (0 < � < �)

/0� = /2

� ⇒ 3� = /0� ∗ �

→ ∑� = 0 ⇒ �(�) = 0

↓ ∑ = 0 ⇒ �(�) −�� + 4/2 = 0 ⇒ �(�) = /0∗�� − /0∗�,

��

�(�'() = /0∗�� ; �(�'�) = /0∗�

� − /0∗�,�� = 0

↶ ∑� = 0 ⇒ �(�) − �& ∗ � − �� − 3� ∗ �� ∗ �

1 =0

⇒ �(�) = − /0∗�5

6� + /0∗�∗�� − /0∗�5

1

�(�'() = − /0∗�51 ;

�(�'�) = − /0∗�56� + /0∗�,

� − /0∗�51 = − /0∗�,71/0∗�,8�/0∗�,

6 = 0 3. Schnittkraftverläufe zeichnen

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Übung - Mechanik 14.10.2011 4

Aufgabe 3: 1.Auflager berechnen

→ 0 ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� ∗ 6 − 3( ∗ 2 ∗ 1 = 0 ⇒ �� = /0

1

↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� − 3( ∗ 2 = 0 ⇒ �� = <1 3(

2.Schnittgrößen berechnen

Schnitt I (0 < � < 2) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) + �� = 0 ⇒ �(�!) = 0

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ −�� + 3( ∗ � = 0 ⇒ �#�!$ = <1 3( − 3( ∗ �

�#�!'($ = <1 3(; �#�!'�$ = − =

1 3(

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �& ∗ � + 3( ∗ �,

� = 0 ⇒ �#�!$ = <

1 3( ∗ � − /0� ∗ � �

�#�!'($ = 0;�#�!'�$ = 1 =1 3(

Schnitt II(0 < � < 4) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!) = 0

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!$ + �& = 0 ⇒ �#�!!$ = − /01

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − �& ∗ � = 0

⇒ �#�!!$ = /01 ∗ �

�#�!!'($ = 0;�#�!!'.$ = .1 3(

4)Bestimmung des max. Biegemoments (maxM) Das Moment ist da maximal, wo �`(�) = 0 ist oder an den Rändern des Definitionsbereiches. Berechnung maxM in Aufgabe 3: Schnitt I �#�!$ = <

1 3( ∗ � − /0� ∗ � �

⇒ �`(�!) = <1 3@ − 3( ∗ �

AB�� ⇒ �`#�!$ = 0 ⇒ 533@ − 3( ∗ � = 0

⇒ � = <1

�B��*�!'<1- = 5

33( ∗ � − 3(2 ∗ � � = 25

18 3(

Schnitt II �#�!!$ = /0

1 ∗ �

⇒ �`(�!!) = /01 ≠ 0

�#�!!$ ist eine lineare Funktion, d.h. es gibt keine Extremstelle => MaxM liegt am Rand �B��#�!!'.$ = .

1 3(

�B��*�!'<1- > �B��#�!!'.$

Das maximale Biegemoment ist �B��*�!'H5-

= �<=I 3( an der Stelle � = <

1

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Übung - Mechanik 14.10.2011 5

3.Schnittgrößenverläufe

Aufgabe 4 (Aufgabe 51d aus dem Übungsskript): 1.Auflager berechnen

→ ∑� = 0 ⇒ �� = � ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� ∗ (B + J) + � ∗ K

� = 0 ⇒ �� = − �∗K�(L7K)

↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� = 0 ⇒ �� = �∗K�(L7K)

2.Schnittgrößen berechnen Schnitt I (0 < � < B) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) = −�

↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ − �∗K�(L7K) = 0 ⇒ �#�!$ = �∗K

�(L7K)

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �∗K�(L7K) ∗ � = 0

⇒ �#�!$ = �∗K�(L7K) ∗ �

�#�!'($ = 0;�#�!'L$ = �∗L∗K�(L7K)

Schnitt II(0 < � < K�)

→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!) = −� ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!$ = 0

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − � ∗ � = 0

⇒ �#�!!$ = � ∗ �

�#�!!'($ = 0;�*�!!'M,-

= �∗K�

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Übung - Mechanik 14.10.2011 6

Schnitt III(0 < � < J) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!!) =0

↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!!$ = �∗K�(L7K)

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − − �∗K�(L7K) ∗ � = 0

⇒ �#�!!!$ = − �∗K�(L7K) ∗ �

�#�!!!'($ = 0;�#�!!!'K$ = − �∗K,

�(L7K)

Schnittgrößenverläufe:

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Übung - Mechanik 14.10.2011 7

Aufgabe 5 (Aufgabe 56d aus dem Übungsskript): 1.Auflager gegeben

�� = −1N� �� = 0,56N� �� = 1,44N�

2.Schnittgrößen berechnen

Schnitt I(0 < � < 1,75) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) =1N� ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!$ = −0,56N�

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ + (−1N�) ∗ � = 0

⇒ �#�!$ = 1N� ∗ � �#�!'($ = 0;�#�!'=,Q<R$ = 1,75N�A

Schnitt II(0 < � < 1,75) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!) =0 ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!$ = −0,56N�

↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ = 1N� ∗ � �#�!!'($ = 0;�#�!!'=,Q<R$ = 1,75N�A

Schnitt 3 (0 < � < 4√2) Zu Beginn Drehung der Gleichstreckenlast. Beachte: Die Resultierende der Streckenlast muss erhalten bleiben. A) 4 = 0,5 ∗ 4 = 2

4 = 4T ⇒ 2 = 3U ∗ 4 ∗ √2 ⇒ 3U = =

� ∗ √2 B) 4T = 3U ∗ 4 ∗ √2

Aufteilung von 3U in 3V ∧ 3∥

YZ[45° ∗ 3U = 3∥ = 3V = =.

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Übung - Mechanik 14.10.2011 8

Aufteilung ��]^�V_^`�∥ �V = �∥ = =

√� − 1,44N�

∑�a = 0 ⇒ �#�!!!$ + =. ∗ � − =

√� ∗ 1,44N� = 0

⇒ �#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ �

�#�!!!'($ = 1,02N�;�#�!!!'.√�$ = −0,4N�

∑�b = 0 ⇒ �#�!!!$ + =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ � = 0

⇒ �#�!!!$ = 0,25N� ∗ � − =√� ∗ 1,44N�

�#�!!!'($ = −1,02N�;�#�!!!'.√�$ = 0,4N�

∑� = 0 ⇒ �#�!!!$ + 0,25N� ∗ �!!!,

� − =√� ∗ 1,44N� ∗ � = 0

⇒ �#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� ∗ � − 0,125N� ∗ � �

�#�!!!'($ = 0N�A;�#�!!!'.√�$ = 1,76N�A

Bestimmung MaxM: �#�!!!$ = =

√� ∗ 1,44N� ∗ � − 0,125N� ∗ � �

⇒ �`#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ � = 0 ⇒ � = 4,07

�#�!!!'.,(Q$ = 2,07N�A

MaxM=2,07kNm � M an den Rändern der übrigen Bereiche < maxM

3.Schnittgrößenverläufe